专题01 集合与充要条件（6大基础题型）-【中职专用】2025年职教高考数学二轮复习专项突破（福建专用）

专题01 集合与充要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 重点题型目录 · 题型一 集合的含义与表示 · 题型二 集合间的基本关系 · 题型三 集合的基本运算 · 题型四 充分条件与必要条件 题型一 1．设全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据补集定义可求得集合，进而判断各个选项即可. 【详解】，，， ，，，，ABD错误，C正确. 故选：C. 2．在下列表达式中，①；②；③；④，其中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】元素与集合的关系是“”或“”，集合与集合的关系是“”关系. 【详解】①中自然数集有元素0，∴，正确； ②中有理数集里面没有无理数，∴，不正确； ③有理数集包含了集合，∴，不正确； ④集合中的元素都在集合里面，∴，正确. 故选：B. 3．设集合，集合的真子集的个数为（ ） A．2 B．4 C．1 D．3 【答案】D 【分析】求出集合的真子集求解. 【详解】集合的真子集有，和. 故选：D. 4．下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用元素与集合间的关系，和集合与集合间的关系判断即可. 【详解】对于A，，正确； 对于B，，一个是数集，一个是点集，错误； 对于C，，是的子集，错误； 对于D，，两集合之间的关系是包含，错误. 故选：A. 5．下列说法中正确的是（   ） ①空集与表示同一个集合； ②由1，2，3组成的集合可表示为或； ③方程的所有解的集合可表示为； ④集合可以用列举法表示． A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．只有②和④ 【答案】C 【分析】根据集合的概念及表示逐项分析即得. 【详解】对于①，集合中有个元素，而中没有元素，两集合不相等，故①错误； 对于②，由1，2，3组成的集合可表示为或，故②正确； 对于③，方程的所有解的集合可表示为，故③错误； 对于④，集合为无限集，不能用列举法表示，故④错误. 故选：C. 题型二 1．下列元素与集合、集合与集合之间的关系表达正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用元素与集合、集合与集合的关系逐项分析判断即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，中不含任何元素，0不是中元素，B错误； 对于C，中不含任何元素，而含有元素0，C错误； 对于D，方程无实数根，因此，D正确. 故选：D 2．集合的真子集个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据含有个元素的集合的真子集有个计算可得. 【详解】集合含有个元素， 所以集合的真子集有个. 故选：C 3．下列是关于的描述，其中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合与集合，元素与集合的关系逐一判断即可. 【详解】对于AB，，故A正确，B错误； 对于CD，，，故CD正确. 故选：B. 4．已知集合，，若，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C．1或3 D．3 【答案】D 【分析】利用集合相等求解. 【详解】解：因为集合，，且， 所以，解得， 故选：D 5．下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由元素与集合、集合与集合的关系即可求解. 【详解】对于A，集合与集合的关系连接符不能用属于，故A错误； 对于B，空集不包含任何元素，故B错误； 对于C，空集是任何集合的子集，故C正确； 对于D，不是有理数，故D错误. 故选：C. 题型三 1．已知集合，， 则集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，解得，所以， 又，所以. 故选：A 2．已知全集，，，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集、补集的知识求得正确答案. 【详解】由题意得，，所以． 故选：D 3．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得集合，利用交集的意义求解即可. 【详解】由，得，解得，所以 由，所以，所以， 所以. 故选：D. 4．“我住在广西”是“我住在中国”的（     ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由充分不必要条件的性质推出即可； 【详解】 “我住在广西”则一定有“我住在中国”，反之不成立， 所以“我住在广西”则一定有“我住在中国”的充分不必要条件. 故选：B. 5．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分与必要条件的概念即可. 【详解】若，无法得到，因为当时，，所以不充分； 若，则可得到，则是必要条件. 即是的必要不充分条件. 故选：. 题型四 1．已知平面，和直线，若，，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据两者之间的推出关系可判断它们之间的条件关系. 【详解】若“，”，则，可能相交，故“”不一定成立； 若“”，则由面面平行的性质可得“，”， 故“，”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 2．若“”，“”，则是的什么条件（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由定义，分别验证充分性与必要性即可. 【详解】时满足，而时不一定有， 所以是的充分不必要条件. 故选：B. 3．若集合恰有两个子集，则实数的值是（   ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】分析可知，集合只有一个元素，即关于的方程只有一个实数根，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，可得出.综合可得出实数的值. 【详解】因为集合恰有两个子集，则集合只有一个元素， 即关于的方程只有一个实数根，分以下两种情况讨论： 当，即当时，原方程为，解得，合乎题意； 当，即当时，则， 解得或. 综上所述，或. 故选：D. 4．已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】讨论的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M，进而确定正确的选项. 【详解】当均为负数时，代数式的值为； 当两负一正时，代数式的值为； 当均为正数时，代数式的值为； ∴，故只有B正确. 故选：B. 5．已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则.则下列说法正确的个数为（   ） （1），（2），（3） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】（1）根据题目条件得到，，故；（2），故；（3）分，和且三种情况进行求解，当且时，得到，进而，得到. 【详解】因为，，由②得，即， 故，即，由③得，（1）正确； ，，由②得，故，（2）正确； 若，则，若，则， 若且，因为，，由②得， 由③得，，又， 由②得，由③得， 由②得，（3）正确. 故选：D 难点突破训练（可选） 1．已知集合，则A子集的个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】结合题意 ，由集合中元素的特性解出集合，再求子集数即可； 【详解】由已知可得， 所以，所以， 所以A子集的个数为个， 故选：D. 2．“”是“关于的不等式的解集为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由时，判断关于的不等式的解集是否为；再根据“关于的不等式的解集为”求得的范围，从而可判断两个条件之间的关系. 【详解】当时，二次函数开口向下， 又的， 所以关于的不等式的解集为； 又，因为关于的不等式的解集为， 所以有，解得， 所以“”是“关于的不等式的解集为”的充分必要条件. 故选：C. 3．设全集，集合 ，则 的补集为 . 【答案】 【分析】根据补集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，全集，集合 ， 所以. 故答案为： 4．设全集 集合,， 则 ． 【答案】 【分析】由交集运算即可求解. 【详解】由,， 可得：. 故答案为： 5．“”是“”的 条件 【答案】必要非充分 【分析】根据条件间的推出关系确定充分、必要性. 【详解】由，有或，充分性不成立； 由，必有，必要性成立， 所以“”是“”的必要非充分条件. 故答案为：必要非充分 6．设条件有意义，条件，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先分别求出条件表示的集合，再由p是q的必要不充分条件，可得集合是集合的真子集，从而可求出实数的取值范围 【详解】由，得，记为， 由，得，且， 当时，， 因为p是q的必要不充分条件， 所以集合是集合的真子集，则，所以； 当时，，显然满足题意； 当时，， 则集合是集合的真子集，则，所以； 综上所述，实数的取值范围为， 故答案为：. 7．若集合，，且，则实数组成的集合是 . 【答案】 【分析】计算集合，再分别求和时，的值即可. 【详解】由题意，， 又， 若，则，满足题意； 若，则，所以或. 故答案为：. 8．已知函数.若，则 ；若的值域是，则实数的取值范围是 . 【答案】 1 【分析】把代入，判断并求出函数值；根据给定的值域，分段讨论求出实数的取值范围. 【详解】当时，，所以； 函数的定义域为，值域为， 显然，且，否则在上的值域包含，矛盾，因此， 函数在上单调递减，在上的值域为，于是， 则，从而，当时，，当且仅当时取等号， 又，因此，解得，于是， 所以实数的取值范围是. 故答案为：1； 9．设集合. (1)若，求的取值； (2)记，若集合的非空真子集有6个，求实数的取值范围. 【答案】(1)或或 (2) 【分析】（1）通过和两类情况讨论即可； （2）确定中元素个数，由（1）即可确定. 【详解】（1） 若，则此时 若则，当时；当且时 ，即，解得或，， 由若可知有或或 （2）若集合的非空真子集有6个，则，可得， 即中的元素只有3个，又 由（1）知，且且即且且 故实数的取值所构成的集合为 10．已知全集集合，，． (1)求； (2)若，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简集合，由集合的并、补运算求解即可； （2）通过讨论和即可求解. 【详解】（1）集合，， ； （2），， ①当时，，， ②当时，则，解得， 综上所述，a的取值范围为； $$专题01 集合与充要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 重点题型目录 · 题型一 集合的含义与表示 · 题型二 集合间的基本关系 · 题型三 集合的基本运算 · 题型四 充分条件与必要条件 题型一 1．设全集，，则（    ） A． B． C． D． 2．在下列表达式中，①；②；③；④，其中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 3．设集合，集合的真子集的个数为（ ） A．2 B．4 C．1 D．3 4．下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．下列说法中正确的是（   ） ①空集与表示同一个集合； ②由1，2，3组成的集合可表示为或； ③方程的所有解的集合可表示为； ④集合可以用列举法表示． A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．只有②和④ 题型二 1．下列元素与集合、集合与集合之间的关系表达正确的是（   ） A． B． C． D． 2．集合的真子集个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．下列是关于的描述，其中错误的是（   ） A． B． C． D． 4．已知集合，，若，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C．1或3 D．3 5．下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三 1．已知集合，， 则集合是（    ） A． B． C． D． 2．已知全集，，，则=（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．“我住在广西”是“我住在中国”的（     ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型四 1．已知平面，和直线，若，，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若“”，“”，则是的什么条件（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．若集合恰有两个子集，则实数的值是（   ） A．或 B．或 C． D．或 4．已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则.则下列说法正确的个数为（   ） （1），（2），（3） A．0 B．1 C．2 D．3 难点突破训练（可选） 1．已知集合，则A子集的个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．“”是“关于的不等式的解集为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设全集，集合 ，则 的补集为 . 4．设全集 集合,， 则 ． 5．“”是“”的 条件 6．设条件有意义，条件，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 7．若集合，，且，则实数组成的集合是 . 8．已知函数.若，则 ；若的值域是，则实数的取值范围是 . 9．设集合. (1)若，求的取值； (2)记，若集合的非空真子集有6个，求实数的取值范围. 10．已知全集集合，，． (1)求； (2)若，求a的取值范围． $$