专题01 集合与充要条件（4大考点）-【中职专用】2025年职教高考数学二轮复习专项突破（福建专用）

专题01 集合与充要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 了解元素与集合的概念 · 理解元素与集合、集合和集合的关系 · 了解集合的表示方法 · 理解集合的运算 考点预测 · 集合的三个特征 · 元素与集合、集合与集合的关系 · 集合的运算 · 判断充分条件、必要条件和充要条件 · 理解充分条件、必要条件和充要条件的概念 课堂笔记 1.集合的有关概念 （1）集合元素的三大特性：确定性、无序性、互异性． （2）元素与集合的两种关系：属于，记为；不属于，记为. （3）集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． （4）五个特定的集合 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N*或N＋ 2.集合间的基本关系 文字语言 符号语言 集合间的 基本关系 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 子集 集合A中任意一个元素均为集合B中的元素 A⊆B 真子集 集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 4.集合的运算性质 (1)A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A. (2)A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A. (3)A∩(∁UA)＝，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A. 5．常用结论 （1）空集性质：①空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅； ②空集是任何集合的子集（即∅⊆A）； 空集是任何非空集合的真子集（若A≠∅，则∅A）． （2）子集个数：若有限集A中有n个元素， 则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有个． 6.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p ⇒ q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p ⇒ q且q ⇏ p p是q的必要不充分条件 p ⇏ q且q ⇒ p p是q的充要条件 p ⇔ q p是q的既不充分也不必要条件 p ⇏ q且q ⇏ p 7.充分、必要条件与集合的关系 设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B． （1）p是q的充分条件⇔A⊆B，p是q的充分不必要条件⇔AB； （2）p是q的必要条件⇔B⊆A，p是q的必要不充分条件⇔BA； （3）p是q的充要条件⇔A＝B． 考点突破 考点1 集合的含义与表示 例1．用列举法可将集合表示为（   ） A． B． C． D． 例2．以下选项中，是集合的元素的是（    ） A． B． C． D． 练习1．设集合，，，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．不等式 的解集为（  ） A． B． C． D． 考点2 集合间的基本关系 例1．已知集合，则的真子集个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 例2．设集合，，则集合，的关系是（   ） A． B． C． D． 练习1．下列集合中表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 练习2．若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 考点3 集合的基本运算 例1．若集合，则（   ） A． B． C． D． 例2．设集合，，（    ） A． B． C． D． 练习1．集合，，则（   ） A． B． C． D． 练习2．设全集，，，则（    ） A． B． C． D． 考点4 充分条件与必要条件 例1．设，则“”是“或”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 例2．“是等腰三角形”是“是等边三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 练习1．已知实数同号，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知，，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 模拟演练 一、单选题 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合或，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，0，1，，，则（    ） A． B． C． D． 4．集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．设集合，则（    ） A． B． C． D． 6．设集合，则（   ） A． B． C． D． 7．集合 是（  ） A． B． C． D． 8．已知，则“，”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．“小明是成都人”是“小明是四川人”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 12．“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．已知，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 14．已知集合A={1,2,3,4,5}，集合，则 . 15．满足的集合的个数是 . 16．方程组的解集是 ． 17．已知全集，则 . 18．设p：；q：.若p是q的充分不必要条件，a取值范围是 三、解答题 19．已知集合，. (1)分别求，. (2)已知，且，求实数的取值范围. 20．设集合，； (1)求； (2)求. $$专题01 集合与充要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 了解元素与集合的概念 · 理解元素与集合、集合和集合的关系 · 了解集合的表示方法 · 理解集合的运算 考点预测 · 集合的三个特征 · 元素与集合、集合与集合的关系 · 集合的运算 · 判断充分条件、必要条件和充要条件 · 理解充分条件、必要条件和充要条件的概念 课堂笔记 1.集合的有关概念 （1）集合元素的三大特性：确定性、无序性、互异性． （2）元素与集合的两种关系：属于，记为；不属于，记为. （3）集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． （4）五个特定的集合 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N*或N＋ 2.集合间的基本关系 文字语言 符号语言 集合间的 基本关系 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 子集 集合A中任意一个元素均为集合B中的元素 A⊆B 真子集 集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 4.集合的运算性质 (1)A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A. (2)A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A. (3)A∩(∁UA)＝，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A. 5．常用结论 （1）空集性质：①空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅； ②空集是任何集合的子集（即∅⊆A）； 空集是任何非空集合的真子集（若A≠∅，则∅A）． （2）子集个数：若有限集A中有n个元素， 则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有个． 6.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p ⇒ q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p ⇒ q且q ⇏ p p是q的必要不充分条件 p ⇏ q且q ⇒ p p是q的充要条件 p ⇔ q p是q的既不充分也不必要条件 p ⇏ q且q ⇏ p 7.充分、必要条件与集合的关系 设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B． （1）p是q的充分条件⇔A⊆B，p是q的充分不必要条件⇔AB； （2）p是q的必要条件⇔B⊆A，p是q的必要不充分条件⇔BA； （3）p是q的充要条件⇔A＝B． 考点突破 考点1 集合的含义与表示 例1．用列举法可将集合表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将集合化简改写为列举法即可. 【详解】由题可知 故选：C 例2．以下选项中，是集合的元素的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逐个验证即可. 【详解】对于A：满足， 对于B: ，错误； 对于C: ，错误； 对于D: ，错误； 故选：A 练习1．设集合，，，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据给定条件计算出所有的值，再借助集合中元素的性质即可作答. 【详解】，时，的值依次为，有4个不同值，即，因此中有4个元素． 故选：B． 2．不等式 的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次不等式的解法求得正确答案. 【详解】由，解得， 所以不等式 的解集为. 故选：A 考点2 集合间的基本关系 例1．已知集合，则的真子集个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据交集运算和真子集的定义求解. 【详解】因为， 所以， 所以的真子集个数为个. 故选：B. 例2．设集合，，则集合，的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，将集合化简，即可得到结果. 【详解】由题意得，，集合， 所以. 故选：A． 练习1．下列集合中表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合相等的概念逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，； 对于B选项，； 对于C选项，为点集，为数集，则； 对于D选项，为数集，为点集，则. 故选：B. 练习2．若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据子集个数确定是空集，然后由方程无实数解得参数范围，确定正确选项． 【详解】由集合A有且仅有1个子集可知，A是， 当时，，不符合题意； 当时，由可得． 故选：C． 考点3 集合的基本运算 例1．若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按交集定义求解即可. 【详解】解：， 故选：D. 例2．设集合，，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据并集的定义直接求解即可. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：C. 练习1．集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由补集定义可得答案. 【详解】因为，， 所以，. 故选：D. 练习2．设全集，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由补集、并集的概念即可得解. 【详解】因为，， 所以，又， 所以. 故选：D. 考点4 充分条件与必要条件 例1．设，则“”是“或”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】一方面：或； 另一方面：或，但此时不满足； 所以“”是“或”的充分不必要条件. 故选：B. 例2．“是等腰三角形”是“是等边三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】因为等腰三角形不一定是等边三角形，所以“是等腰三角形”推不出“是等边三角形”， 又等边三角形一定是等腰三角形，所以“是等边三角形”可以推出“是等腰三角形”， 所以“是等腰三角形”是“是等边三角形”的必要不充分条件， 故选：B. 练习1．已知实数同号，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充要条件的判断方法，利用不等式的性质即可完成推理判断. 【详解】因为实数同号，所以， 由不等式，两边同乘，可得； 由不等式，两边同乘ab，可得. 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 2．已知，，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】D 【分析】根据充分、必要条件等知识确定正确答案. 【详解】若，如，则，所以不能推出； 若，如，但，所以不能推出. 所以“”是“”的既非充分也非必要条件. 故选：D 模拟演练 一、单选题 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集的含义即可求解. 【详解】因为 所以. 故选：C. 2．已知集合或，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由交集定义直接计算即可得解. 【详解】因为集合或，， 所以或. 故选：B. 3．已知集合，0，1，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的交集运算求解. 【详解】，， . 故选：D. 4．集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用交集定义即可求得. 【详解】，，则 故选：B 5．设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用交集的定义直接求解即可. 【详解】因为， 所以，故C正确. 故选：C 6．设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简两集合，再求即可. 【详解】解：因为 ， 所以或， 所以. 故选：B 7．集合 是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，. 故选：A 8．已知，则“，”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】由，，，得，，于是， 由，取，满足，显然“，”不成立， 所以“，”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 9．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案. 【详解】由解得； 由解得； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 10．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据条件间的推出关系判断充分、必要性，即可得答案. 【详解】由，充分性成立； 而时，但不成立，必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 11．“小明是成都人”是“小明是四川人”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由充分不必要条件的概念判断即可. 【详解】“小明是成都人”则一定有“小明是四川人”，反之不成立， 所以“小明是成都人”是“小明是四川人”的充分不必要条件. 故选：B 12．“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件与必要条件的概念判断即可. 【详解】“”不能推出“”，故充分性不成立； “”能推出“”，故必要性成立. 综上可知，“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B 13．已知，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】因为，因此，是的必要不充分条件. 故选：B. 二、填空题 14．已知集合A={1,2,3,4,5}，集合，则 . 【答案】 【分析】根据交集的概念及运算求解即可. 【详解】J集合与集合的公共元素为， 所以， 故答案为：. 15．满足的集合的个数是 . 【答案】3 【分析】根据子集、真子集的知识进行列举，从而确定正确答案. 【详解】由题意得，是集合的子集，集合是的真子集， 则符合题意的集合为，，，共3个． 故答案为： 16．方程组的解集是 ． 【答案】 【分析】解方程结合列举法表示集合即可得结果. 【详解】因为，解得， 所以方程组的解集是. 故答案为：. 17．已知全集，则 . 【答案】 【分析】根据补集的定义计算可得. 【详解】因为全集， 所以. 故答案为： 18．设p：；q：.若p是q的充分不必要条件，a取值范围是 【答案】 【分析】由充分不必要条件列出关于的不等式组即可得解. 【详解】，若p是q的充分不必要条件， 则当且仅当，解得. 故答案为：. 三、解答题 19．已知集合，. (1)分别求，. (2)已知，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）解出集合后，结合集合的运算性质运算即可得； （2）利用子集概念即可求解. 【详解】（1）由，解得，所以， 所以， . （2）因为，， 所以，解得， 求实数的取值范围为. 20．设集合，； (1)求； (2)求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据交集、并集的概念求解即可. （2）结合补集的概念求解. 【详解】（1）由题意：，. （2）或， 所以 $$