专题07 立体几何初步-【好题汇编】备战2025年高中学业水平合格考真题分类汇编（全国通用）

专题07 立体几何初步 考点一：简单几何体的表面积和体积 1．（2024北京）小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（    ）    A．108 B．162 C．180 D．189 2．（2024福建）圆柱的底面半径和高都是1，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（2022河北）已知是球的球面上一点，过线段的中点作垂直于直线的平面，若该球被这个平面截得的圆面的面积为，则该球的表面积是（    ） A． B． C． D． 4．（2022河北）已知圆锥的母线长为2，母线与底面所成的角是，则该圆锥的体积是（    ） A． B． C． D． 5．（2022北）若球O被一个平面所截，所得截面的面积为，且球心O到该截面的距离为1，则球O的表面积是（    ） A． B． C． D． 6．（2022河北）已知圆锥的底面半径为1，母线与底面所成的角是，则该圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 7．（2023广西）已知圆柱的底面积为1，高为2，则该圆柱的体积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 8．（2024浙江）一个棱长为1的正方体顶点都在同一个球上，则该球体的表面积为（    ） A． B． C． D． 9．（2023吉林）一个棱长为的正方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的体积是（    ） A． B． C． D． 10．（2024天津）一个圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与该圆柱的体积之比为（    ）． A． B． C． D． 11．（2023浙江）上、下底面圆的半径分别为、，高为的圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 12．（2024湖南）已知圆柱的底面半径为3cm，体积为，则该圆柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 13．（2024安徽）在中，，，，若将绕所在的直线旋转一周，则所形成的几何体的体积为 . 14．（2024云南）一商场门口有个球形装饰品.若该球的半径为1米，则该球的表面积为 平方米. 15．（2024云南）若一个半径为的球和一个上，下底面边长分别为和的正四棱台的体积相同，则正四棱台的高为 ． 16．（2024浙江）上、下底面面积分别为1，4，高为3的圆台体积为 . 考点二：空间点、直线、平面的位置关系 1．（2024北京）如图，在三棱柱中，底面是的中点，则直线（    ） A．与直线相交 B．与直线平行 C．与直线垂直 D．与直线是异面直线 2．（2022河北）已知是一条直线，是两个不同的平面，有以下结论： ①若，则；    ②若，则； ③若，则.    ④若，则. 其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 3．（2024天津）若，是两条不同的直线，是一个平面，，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024北京）在空间中，若两条直线与没有公共点，则a与b（    ） A．相交 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线 5．（2023辽宁）设，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 6．（2023黑龙江）如图，在正方体中，与平行的是（    ） A． B． C． D． 7．（2022浙江温州）已知，是不同的直线，，是不同的平面，下列命题中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 8．（2023天津）已知空间三条直线，，.若，，则（    ） A．与平行 B．与相交 C．与异面 D．与平行、相交、异面都有可能 9．（2023广东）已知α和β是两个不同平面，A:，B:α和β没有公共点，则A是B的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2023江苏）已知直线平面，直线平面，则与不可能（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 考点三：异面直线所成角 1．（2024浙江）在正四面体中，是的中点，在的延长线上，，则异面直线和所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（2022河北）如图，在正方体中，E是棱的中点，则异面直线DE和所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 3．（2024云南）如图，在正方体中，异面直线与所成的角等于（    ） A． B． C． D． 4．（2024湖南）如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 5．（2023湖南）如图，在正方体中，异面直线AC与所成的角为（    ）    A． B． C． D． 6．（2023云南）在正方体中，异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 7．（2023安徽）如图，在正方体中，直线与所成的角是（　　） A． B． C． D． 8．（2023河北）如图,在正方体中,点E,F分别是棱AD,的中点,则异面直线与BF所成角的大小为 ． 考点四：直线与平面所成角 1．（2024湖南）如图，为圆柱底面直径，为母线，若，则与圆柱底面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（2023江苏）如图，正方体中，直线与平面所成角的正切值为（    ） A．1 B． C． D． 3．（2023河北）如图，在三棱柱中，所有的棱长都相等，侧棱底面ABC，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（2023安徽）如图，在直三棱柱中，．若，则与平面所成的角的大小为 ． 5．（2024浙江）已知一个各棱均相等的四面体成，则棱与平面的夹角的余弦值为 ． 6．（2023四川）如图，在正方体中，直线与平面所成角的正切值为 . 7．（2023湖南）如图，在正方体中，E是的中点，则直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为 ．    考点五：二面角 1．（2023河北）如图，在四棱锥中，底面为矩形，是等边三角形，平面底面，，四棱锥的体积为，E为PC的中点．平面与平面所成二面角的正切值是（    ） A．2 B． C． D．1 2．（2024浙江）如图，在底面边长为2的菱形的四棱锥中，，平面平面，，设是棱上一点，三棱锥的体积为. (1)证明：； (2)求； (3)求二面角的正弦值. 3．（2024浙江）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面底面，点M在线段PD上且.    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求二面角的正切值. 4．（2023浙江）如图，在三棱锥中，平面，，，． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面平面； (3)设点在棱上，，求二面角的正弦值． 5．（2023浙江）如图，在三棱柱中，已知平面，且.    (1)求的长； (2)若为线段的中点，求二面角的余弦值. 6．（2023湖南）如图所示，平面平面，四边形为矩形，，，，．    (1)求多面体的体积； (2)求二面角的余弦值． 考点六：立体几何解答题 1．（2024北京）如图，在三棱锥中，分别是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 请先写出第（1）问的解答过程，然后阅读下面第（2）问的解答过程. 证明：（2）因为是的中点， 所以①_________. 因为，由（1）知，， 所以②_________ 所以③_________. 所以. 在第（2）问的解答过程中，设置了①～③三个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理.请选出符合逻辑推理的选项，并填写在横线上（只需填写“A”或“B”）. 空格序号 选项 ① （A） （B） ② （A） （B）平面 ③ （A）平面 （B）平面 2．（2024福建）如图，四棱锥的底面是正方形，底面.    (1)若，求四棱锥的体积 (2)求证：平面 3．（2024湖北）《九章算术》是我国古代数学名著中的瑰宝，该书中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.在如图所示的阳马中，底面，点是的中点，连结. (1)证明：两两垂直； (2)设阳马的体积为，四面体的体积为，求的值. 4．（2024安徽）如图，四棱柱中，底面是菱形，底面，点为的中点.求证： (1)直线平面； (2)平面平面. 5．（2023广西）《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称为“垫堵”．如图，在垫堵中，已知，且点，，分别是，，边的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 6．（2024云南）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，.    (1)证明：； (2)若，三棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值. 7．（2024新疆）如图，在四棱锥中，，，. (1)证明：； (2)求三棱锥的体积. 8．（2023安徽）如图，在三棱锥中，底面是正三角形，是的中点，底面． (1)求证：； (2)若，求三棱锥的体积． 9．（2024湖南）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，. (1)求四棱锥的体积； (2)求证：平面. 10．（2023吉林）如图，在三棱锥中，底面，，，分别是，的中点，，． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 11．（2024天津）如图，在正方体中，    (1)求证：平面平面； (2)求直线和平面所成角． 12．（2024福建）如图，正方体的棱长为2，E为的中点. (1)求三棱锥的体积； (2)求证：. 13．（2024浙江）如图，在三棱锥中，，是正三角形． (1)求证：平面平面； (2)若，，求与平面所成角的正弦值． 14．（2024湖南）如图，在直三棱柱中，，，． (1)求证：平面平面； (2)若，求点B到平面的距离． 15．（2024广东）如图，直线和直线均垂直于平面，且，，为线段上一动点. (1)求证平面； (2)求面积的最小值. 16．（2024北京）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，E为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 立体几何初步 考点一：简单几何体的表面积和体积 1．（2024北京）小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（    ）    A．108 B．162 C．180 D．189 【答案】C 【知识点】锥体体积的有关计算、求组合体的体积 【分析】正方体的体积减掉8个以为底面的正三棱锥的体积即得此半正多面体模型的体积. 【详解】设此半正多面体模型的体积为， 则. 故选：C. 2．（2024福建）圆柱的底面半径和高都是1，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】根据给定条件，利用圆柱的体积公式计算即得. 【详解】圆柱的底面半径和高都是1，则该圆柱的体积. 故选：D 3．（2022河北）已知是球的球面上一点，过线段的中点作垂直于直线的平面，若该球被这个平面截得的圆面的面积为，则该球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】球的表面积的有关计算 【分析】本题涉及球的截面相关概念.球的截面是一个圆，根据圆的面积公式（其中为面积，为半径），可求出截面圆的半径.再利用球的截面性质，设球的半径为，截面圆半径为，球心到截面的距离（这里），通过勾股定理求出球的半径，进而求出球的表面积. 【详解】已知截面圆的面积为，根据圆的面积公式，可得，解得. 设球的半径为，因为是的中点，所以球心到截面的距离. 根据勾股定理，将，代入可得： ,则，则，则，解得. 根据球的表面积公式，将代入可得： 故选：C. 4．（2022河北）已知圆锥的母线长为2，母线与底面所成的角是，则该圆锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】根据圆锥的性质求得圆锥的高和底面半径，再由体积公式计算． 【详解】设圆锥的高为，底面半径为，又母线长为，而母线与底面所成的角是， 则，， 所以体积为， 故选：A． 5．（2022北）若球O被一个平面所截，所得截面的面积为，且球心O到该截面的距离为1，则球O的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】球的截面的性质及计算、球的表面积的有关计算 【分析】先求出截面圆的半径，再利用勾股定理求得球的半径，再根据球的表面积公式即可得出答案. 【详解】因为球的一截面的面积为，所以截面圆的半径为， 又因为球心到该截面的距离为1， 所以球的半径为， 所以球的表面积为. 故选：B. 6．（2022河北）已知圆锥的底面半径为1，母线与底面所成的角是，则该圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【分析】根据给定条件，求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式计算即得. 【详解】由圆锥的母线与底面所成的角是，得圆锥轴截面等腰三角形且底角为， 所以圆锥轴截面等腰三角形是正三角形，因此圆锥母线长为2， 所以该圆锥的侧面积是. 故选：B 7．（2023广西）已知圆柱的底面积为1，高为2，则该圆柱的体积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】根据圆柱的体积公式计算可得答案. 【详解】因为圆柱的底面积为1，高为2， 所以该圆柱的体积为. 故选：B. 8．（2024浙江）一个棱长为1的正方体顶点都在同一个球上，则该球体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，球的直径是正方体的对角线，从而得到结果． 【详解】∵棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上， ∴球的直径是正方体的对角线， ∴球的半径是r， ∴球的表面积是4 故选：A 9．（2023吉林）一个棱长为的正方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】由已知可得所求球是棱长为的正方体的外接球，代入正方体对角线公式，求出外接球的半径，代入球的体积公式，可得答案． 【详解】若棱长为的正方体的八个顶点都在同一个球面上， 则该球是正方体的外接球， 球的半径， 则球的体积. 故选：. 10．（2024天津）一个圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与该圆柱的体积之比为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】柱体体积的有关计算、球的体积的有关计算 【分析】设球的半径为，即可求出球、圆柱的体积，从而得解. 【详解】设球的半径为，则， 依题意圆柱的底面半径为，高为，所以， 所以. 故选：D 11．（2023浙江）上、下底面圆的半径分别为、，高为的圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】根据圆台的体积公式计算可得. 【详解】因为圆台的上、下底面圆的半径分别为、，高为， 所以. 故选：A 12．（2024湖南）已知圆柱的底面半径为3cm，体积为，则该圆柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】柱体体积的有关计算、圆柱表面积的有关计算 【分析】利用圆柱体积求得圆柱的高，再利用表面积公式计算即得. 【详解】设圆柱的高为，由题意，，解得， 则圆柱的表面积为cm2. 故选：D. 13．（2024安徽）在中，，，，若将绕所在的直线旋转一周，则所形成的几何体的体积为 . 【答案】 【知识点】锥体体积的有关计算、求旋转体的体积 【分析】画出旋转体的图象，根据圆锥体积公式求出几何体的体积. 【详解】如图所示， 旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥， 所以， 所以旋转体的体积为：. 故答案为： 14．（2024云南）一商场门口有个球形装饰品.若该球的半径为1米，则该球的表面积为 平方米. 【答案】 【知识点】球的表面积的有关计算 【分析】由球的表面积公式求解． 【详解】因为该球的半径为1米，所以该球的表面积为：（平方米）， 故答案为： 15．（2024云南）若一个半径为的球和一个上，下底面边长分别为和的正四棱台的体积相同，则正四棱台的高为 ． 【答案】/ 【知识点】球的体积的有关计算、台体体积的有关计算 【分析】利用球和正四棱台的体积公式直接建立等式计算即可． 【详解】解：球的体积为①， 设正四棱台的高为，则正四棱台的体积为②， 由， 解得：． 故答案为：． 16．（2024浙江）上、下底面面积分别为1，4，高为3的圆台体积为 . 【答案】7 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】由圆台体积公式即可求解. 【详解】由题意知,,， 所以. 故答案为：. 考点二：空间点、直线、平面的位置关系 1．（2024北京）如图，在三棱柱中，底面是的中点，则直线（    ） A．与直线相交 B．与直线平行 C．与直线垂直 D．与直线是异面直线 【答案】D 【知识点】异面直线的判定 【分析】由直三棱柱的特征逐项判断即可. 【详解】易知三棱柱为直三棱柱， 由图易判断与异面，AB错误； 因为,与相交但不垂直，所以与直线不垂直，C错误； 由图可判断与直线是异面直线，D正确. 故选：D 2．（2022河北）已知是一条直线，是两个不同的平面，有以下结论： ①若，则；    ②若，则； ③若，则.    ④若，则. 其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】根据空间中线面、面面之间的基本关系，依次判断命题即可. 【详解】①：若，则，故①正确； ②：若，则或与相交或，故②错误； ③：若，则或与相交，故③错误； ④：若，则，故④正确. 故选：D 3．（2024天津）若，是两条不同的直线，是一个平面，，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、线面关系有关命题的判断 【分析】根据空间中线线、线面的位置关系及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，是两条不同的直线，是一个平面，， 若，则或，故充分性不成立； 若，则在平面存在直线，使得，又，，所以，所以，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4．（2024北京）在空间中，若两条直线与没有公共点，则a与b（    ） A．相交 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线 【答案】D 【知识点】异面直线的概念及辨析 【分析】根据空间直线的位置关系判断，即可得答案. 【详解】由题意知在空间中，两条直线与没有公共点，即与不相交， 则a与b可能平行，也可能是异面直线， 故选：D 5．（2023辽宁）设，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】A 【知识点】线面关系有关命题的判断、平行公理、面面关系有关命题的判断、判断面面是否垂直 【分析】选项A由平行的传递性可得；BCD由长方体中的线面、面面位置关系举反例可知. 【详解】选项A，若，，则由平行的传递性可知，，故A正确； 选项B，若，，则或都有可能， 如图，长方体中（以下同）， 设直线为，直线为，底面为， 满足，，但，与不平行，故B错误；    选项C，若，，则与不一定垂直， 如图，设上底面为，下底面为，平面为， 满足，，但，与不垂直， 故C错误；    选项D，若，，则或或与相交都有可能， 如图，设直线为，直线为，设上底面为， 满足，，但，与不平行，故D错误．    故选：A. 6．（2023黑龙江）如图，在正方体中，与平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】异面直线的判定 【分析】根据正方体的性质结合空间中线线位置关系分析判断. 【详解】根据题意可知：、与相交，与平行，与异面， 故ABD错误，C正确. 故选：C. 7．（2022浙江温州）已知，是不同的直线，，是不同的平面，下列命题中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 【答案】D 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】根据空间中的直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系和符号表示，判断选项中的命题是否正确即可． 【详解】在A中，若，，则与相交、平行或异面，故A错误； 在B中，若，，则，故B错误； 在C中，必须平面内有两条相交直线分别与平面平行，此时两平面才平行，故C错误； 在D中，，时，过作平面，所以，且，所以，故D正确. 故选：D. 8．（2023天津）已知空间三条直线，，.若，，则（    ） A．与平行 B．与相交 C．与异面 D．与平行、相交、异面都有可能 【答案】D 【知识点】异面直线的判定 【分析】根据线线关系举例可得答案. 【详解】如图，在长方体中，，，则与平行、相交、异面都有可能. 故选：D. 9．（2023广东）已知α和β是两个不同平面，A:，B:α和β没有公共点，则A是B的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】充要条件的证明、面面关系有关命题的判断 【分析】根据面面平行的定义判断. 【详解】两个平面平行的定义是：两个平面没有公共点，则这两个平面平行，因此是的充要条件． 故选：C． 10．（2023江苏）已知直线平面，直线平面，则与不可能（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 【答案】B 【知识点】线面关系有关命题的判断 【分析】若与相交，得到与有交点，这与题设矛盾，得到答案. 【详解】直线平面，直线平面，则与可能平行，异面和垂直， 若与相交，，则，，直线平面，故， 即与有交点，这与题设矛盾. 故选：B 考点三：异面直线所成角 1．（2024浙江）在正四面体中，是的中点，在的延长线上，，则异面直线和所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】连接，或其补角为异面直线和所成角，在中由余弦定理求得及和所成角的正弦值. 【详解】连接，因为，是的中点，所以， 所以或其补角为异面直线和所成角， 设正四面体的棱长为2，则， 在中由余弦定理得， 所以和所成角的正弦值为， 故选：B    2．（2022河北）如图，在正方体中，E是棱的中点，则异面直线DE和所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】设为的中点，连接，可证或其补角即为异面直线DE和所成的角，故可求它的余弦值. 【详解】 设为的中点，连接， 由正方体的性质可得则四边形为平行四边形， 故，而为所在棱的中点，故， 故，故或其补角即为异面直线DE和所成的角， 设正方体的棱长为2，则， 故，故异面直线DE和所成的角的余弦值为， 故选：C. 3．（2024云南）如图，在正方体中，异面直线与所成的角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】连接，分析可知异面直线与所成的角为（或其补角），结合正方体的性质分析求解. 【详解】连接， 因为∥，，可知为平行四边形， 则∥，可知异面直线与所成的角为（或其补角）， 由正方体可知，即为正三角形，可知， 所以异面直线与所成的角等于. 故选：C. 4．（2024湖南）如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角、棱柱的结构特征和分类 【分析】根据给定条件，利用几何法求出异面直线所成的角. 【详解】在正方体中，连接，四边形是其对角面， 则四边形是矩形，，于是是异面直线与所成的角， 而，即为正三角形，， 所以异面直线与所成的角为. 故选：C 5．（2023湖南）如图，在正方体中，异面直线AC与所成的角为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】由异面直线所成角的概念求解， 【详解】由题意，正方体中得，故异面直线AC与所成的角，即正方形对角线与的夹角， 故选：D 6．（2023云南）在正方体中，异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】把平移到，连结构成等边三角形，异面直线与所成角即为. 【详解】连结、，如下图： 在正方体中，且； 四边形为平行四边形，则； 又在正方体中，为等边三角形， 就是异面直线与所成角,， 异面直线与所成角的大小为. 故选：C. 7．（2023安徽）如图，在正方体中，直线与所成的角是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】连接，，证明，则即为直线与所成的角或其补角，根据正三角形即可求解. 【详解】连接，，在正方体中， 因为，且，所以四边形为平行四边形，所以，则即为直线与所成的角或其补角，由正方体的性质可得：为正三角形，所以，则直线与所成的角是， 故选：. 8．（2023河北）如图,在正方体中,点E,F分别是棱AD,的中点,则异面直线与BF所成角的大小为 ． 【答案】 【知识点】异面直线所成的角的概念及辨析、求异面直线所成的角 【分析】先取中点为,连接,记与交点为,根据平行可知与BF所成角即为与所成角,通过正方体性质可得,即,根据可知,即,即可知与BF所成角为. 【详解】取中点为,连接,记与交点为,如图所示: 因为G,F分别是棱,的中点, 所以,且,故四边形为平行四边形, 所以,所以与BF所成角即为与所成角, 因为正方体,E,G是棱AD,的中点, 所以, 所以,即, 因为,所以, 所以, 故与所成角为,即与BF所成角为. 故答案为: 考点四：直线与平面所成角 1．（2024湖南）如图，为圆柱底面直径，为母线，若，则与圆柱底面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求线面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据线面角定义得为所求的角，再利用等腰直角三角形性质即可得到答案. 【详解】因为母线底面， 则与圆柱底面所成角即为，又因为为圆柱底面直径，则， 因为，所以. 故选：B. 2．（2023江苏）如图，正方体中，直线与平面所成角的正切值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【知识点】求线面角 【分析】连接，平面，故是与平面所成角，计算得到答案. 【详解】如图所示：连接，因为平面，故线与平面所成角，设正方体棱长为1，则， . 故选：C 3．（2023河北）如图，在三棱柱中，所有的棱长都相等，侧棱底面ABC，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】证明线面垂直、求线面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】取的中点，连接，根据题意，先得到平面，则所求直线与平面所成的角为，通过几何关系求其正弦值即可 【详解】取的中点，连接，易得 因为侧棱底面ABC，侧棱侧棱， 所以侧棱底面ABC，底面ABC， 所以， 因为，平面， 故平面， 所以所求直线与平面所成的角为， 由平面，平面可得 因为所有的棱长都相等，不妨假设棱长为，则，， 则. 故选：A 4．（2023安徽）如图，在直三棱柱中，．若，则与平面所成的角的大小为 ． 【答案】/ 【知识点】求线面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据线面垂直可得线面角的几何角，即可利用三角形的边角关系求解. 【详解】连接, 由于直三棱柱中，平面，平面， 故,又,平面， 故平面, 由于,所以平面, 故为与平面所成的角， 由于，所以, ， 由于为锐角，所以， 故答案为： 5．（2024浙江）已知一个各棱均相等的四面体成，则棱与平面的夹角的余弦值为 ． 【答案】/ 【知识点】求线面角 【分析】作平面， 由即为所求的角，然后利用正棱锥的性质结合条件即得． 【详解】 在四面体成中，作平面，连接， 则即为棱与平面的夹角，令， 由四面体的棱长均相等，则为的中心， 所以， . 故答案为：. 6．（2023四川）如图，在正方体中，直线与平面所成角的正切值为 . 【答案】 【知识点】求线面角 【分析】根据正方体性质及线面角定义求解. 【详解】设正方体的棱长为1， 在正方体中，平面， 故在平面上的射影为， 所以为直线与平面所成角， 故. 故答案为： 7．（2023湖南）如图，在正方体中，E是的中点，则直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为 ．    【答案】 【知识点】求线面角 【分析】根据线面角的知识求得正确答案. 【详解】连接，由于平面， 所以是直线与平面所成角， 设正方体的边长为，则， 所以， 所以直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为. 故答案为：    考点五：二面角 1．（2023河北）如图，在四棱锥中，底面为矩形，是等边三角形，平面底面，，四棱锥的体积为，E为PC的中点．平面与平面所成二面角的正切值是（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【知识点】面面垂直证线面垂直 【分析】由底面得出，进而由，得出平面与平面所成二面角的正切值. 【详解】分别取的中点为，连接， 设，则. 因为是等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 底面， 因为四棱锥的体积为， 所以，解得. 则，，所以，， 又因为底面为矩形，所以， 所以为平面与平面所成二面角的平面角， . 故选：B 2．（2024浙江）如图，在底面边长为2的菱形的四棱锥中，，平面平面，，设是棱上一点，三棱锥的体积为. (1)证明：； (2)求； (3)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求二面角、证明线面垂直、锥体体积的有关计算 【分析】（1）取中点，连结，，证明平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）作于，根据面面垂直的性质证明平面，再根据三棱锥的体积公式即可得解； （3）作交于的延长线于点，连接，证明平面，则，则即为二面角的平面角，再解即可. 【详解】（1）取中点，连结，， 因为，所以， 在菱形中，，则是等边三角形， 所以， 又平面， 故平面， 又平面，所以； （2）作于， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以，所以， 所以； （3）作交于的延长线于点，连接， 由平面，平面，得， 又平面， 所以平面， 又平面，所以， 所以即为二面角的平面角， . 3．（2024浙江）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面底面，点M在线段PD上且.    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】面面垂直证线面垂直、求二面角、证明线面垂直、锥体体积的有关计算 【分析】（1）利用面面垂直的性质证明平面，则有，再利用勾股定理证明，再根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）过作，交于点，利用面面垂直的性质证明平面，再根据棱锥的体积公式即可得解； （3）过作交于点，则即为二面角的平面角，再解即可. 【详解】（1）∵，平面平面，平面， 平面平面， 平面， 又平面，， 又， 由余弦定理得， 则，， 又平面， 平面； （2）过作，交于点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，则， 所以； （3）过作交于点，连接， 因为平面，平面， 所以， 则即为二面角的平面角， 在中，，所以， 所以二面角的正切值为.    4．（2023浙江）如图，在三棱锥中，平面，，，． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面平面； (3)设点在棱上，，求二面角的正弦值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】锥体体积的有关计算、求二面角、证明面面垂直 【分析】（1）先求出底面积，再利用体积公式求解体积即可. （2）先利用线面垂直判定定理得到平面，再利用面面垂直定理判定面面垂直即可. （3）合理作图，找到二面角的平面角，利用三角函数的定义求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 因为平面, 所以三棱锥的体积. （2）因为平面,平面, 所以,又 平面,所以平面, 因为平面,所以平面平面. （3） 过点作于, 取的中点, 连接 因为平面平面所以平面⊥平面, 又平面平面平面 所以平面∥， 因为且是的中点, 所以平面, 所以是二面角的平面角, 因为是的中点，所以是的中点， 又//，所以是的中点, 在中, ， 所以即二面角的正弦值为. 5．（2023浙江）如图，在三棱柱中，已知平面，且.    (1)求的长； (2)若为线段的中点，求二面角的余弦值. 【答案】(1)2 (2) 【知识点】求二面角、证明线面垂直 【分析】 （1）根据题意可得平面，进而分析可知正方形，即可得结果； （2）根据题意利用补形法分析可得二面角的平面角为，利用余弦定理运算求解. 【详解】（1）连接， 因为平面，平面，则， 又因为，平面， 所以平面， 且平面，可得， 因为为平行四边形，且，则为矩形， 所以正方形，可得. （2）根据题意将三棱柱转化为正四棱柱， 取的中点，连接，则三点共线，且//， 因为//，可得//， 所以平面即为平面， 同理平面即为平面， 因为//，平面，则平面， 且平面，则， 所以二面角的平面角为， 可得， 在中，则， 所以二面角的余弦值为.   . 6．（2023湖南）如图所示，平面平面，四边形为矩形，，，，．    (1)求多面体的体积； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【知识点】面面垂直证线面垂直、证明线面垂直、求组合体的体积、求二面角 【分析】（1）通过割补法，结合锥体体积计算公式求得正确答案. （2）作出二面角的平面角，进而计算出其余弦值. 【详解】（1）如图，连接BD，    ∵四边形AEFB为矩形， ∴，， ∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面， 平面ABEF，平面ABEF， ∴AE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD， ∵平面ABCD， ∴， 又，AB∩AE＝A，平面， ∴AD⊥平面AEFB， ∴， ∵，， ∴． ∴， ∴多面体ABCDEF的体积为 ． （2）如图，过B作交DC的延长线于点G，连接FG，    ∵FB⊥平面ABCD，平面， ∴DG⊥FB， 又DG⊥BG，BG∩FB＝B，平面， ∴DG⊥平面FBG， ∵平面， ∴DG⊥FG， ∴∠FGB为二面角F-CD-A的平面角，由题意得， ∵， ∴， 在Rt△FBG中，，， ∴， ∴， ∴二面角F-CD-A的余弦值为． 考点六：立体几何解答题 1．（2024北京）如图，在三棱锥中，分别是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 请先写出第（1）问的解答过程，然后阅读下面第（2）问的解答过程. 证明：（2）因为是的中点， 所以①_________. 因为，由（1）知，， 所以②_________ 所以③_________. 所以. 在第（2）问的解答过程中，设置了①～③三个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理.请选出符合逻辑推理的选项，并填写在横线上（只需填写“A”或“B”）. 空格序号 选项 ① （A） （B） ② （A） （B）平面 ③ （A）平面 （B）平面 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【知识点】证明线面平行、线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直 【分析】（1）由中位线得到线线平行，然后得到线面平行，即得证； （2）等腰三角形三线合一得到线线垂直，由（1）的结论和条件得到另一组垂线，从的证明面面垂直. 【详解】（1）在中，因为，分别是，的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）①A，②A，③B. 2．（2024福建）如图，四棱锥的底面是正方形，底面.    (1)若，求四棱锥的体积 (2)求证：平面 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直 【分析】（1）根据体积公式可求四棱锥的体积. （2）可证 ，结合可证平面. 【详解】（1）因为底面，故四棱锥的高为， 而正方形的面积为，故. （2）因为底面，而平面，故， 由正方形可得，因平面， 故平面. 3．（2024湖北）《九章算术》是我国古代数学名著中的瑰宝，该书中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.在如图所示的阳马中，底面，点是的中点，连结. (1)证明：两两垂直； (2)设阳马的体积为，四面体的体积为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直 【分析】（1）利用线面垂直的性质可得，，和“阳马”的定义得； （2）取的中点，连接，可得底面，再利用锥体的体积公式即可求解. 【详解】（1）由底面，底面， 则，， 又在阳马中，底面为矩形， 则， 因此可得两两垂直. （2） 取的中点，连接， 又点是的中点，则，且， 又底面， 则底面， 则四面体的体积， 又阳马的体积， 则， 因此可得. 4．（2024安徽）如图，四棱柱中，底面是菱形，底面，点为的中点.求证： (1)直线平面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明面面垂直、证明线面平行 【分析】（1）设，连接，可证，故由线面平行的判定定理可得平面. （2）由线面垂直的判定定理可证平面，故可得平面平面. 【详解】（1） 设，连接， ∵底面是菱形，∴为的中点， 又∵是的中点，∴， 又平面，平面，∴直线平面. （2）∵底面是菱形，∴. 又平面，平面，∴. 又，平面，平面， ∴平面，∵平面，∴平面平面. 5．（2023广西）《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称为“垫堵”．如图，在垫堵中，已知，且点，，分别是，，边的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】面面垂直证线面垂直、证明线面平行 【分析】（1）根据线面平行的判定定理转化为证明线面平行，通过构造平行四边形，证明； （2）利用面面垂直的性质定理，即可证明. 【详解】（1）连结，因为分别是的中点， 所以，且， 因为点是的中点，所以，且， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 且平面，平面， 所以平面； （2）因为，为的中点，所以， 由平面，平面， 所以平面平面， 又平面平面，平面， 所以平面； 6．（2024云南）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，.    (1)证明：； (2)若，三棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【知识点】求线面角、线面垂直证明线线垂直、锥体体积的有关计算、证明线面垂直 【分析】（1）根据题意可证平面，结合线面垂直的性质分析证明； （2）根据体积关系可得，利用等体积法可得到平面的距离为，再根据线面夹角的定义分析求解. 【详解】（1）因为，，平面， 可得平面，且平面，所以. （2）因为，，则， 由（1）可知：平面，可知三棱锥的高为， 则三棱锥的体积，解得， 设到平面的距离为，则， 因为，则，解得， 设与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为. 7．（2024新疆）如图，在四棱锥中，，，. (1)证明：； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、三角形面积公式及其应用、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）利用线面垂直的判定与性质定理即可得证； （2）利用三棱锥的体积公式与三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）因为， 又平面， 所以平面， 又平面，所以. （2）因为平面，所以是三棱锥的高， 又，， 所以， 所以. 8．（2023安徽）如图，在三棱锥中，底面是正三角形，是的中点，底面． (1)求证：； (2)若，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直 【分析】（1）利用正三角形性质和线面垂直性质得，，最后再利用线面垂直的判定和性质即可证明； （2）利用勾股定理求出，最后利用椎体体积公式即可. 【详解】（1）连接，因为△ABC为正三角形，M为BC的中点， 所以，因为底面，平面，所以， 又，平面， 所以平面，因为平面，所以. （2）因为底面是正三角形，， 则，因为底面，底面，所以， 所以， 所以. 9．（2024湖南）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，. (1)求四棱锥的体积； (2)求证：平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）首先求出，再利用锥体体积公式即可得到答案； （2）利用线面垂直的性质得，再利用线面垂直的判定即可. 【详解】（1）因为平面，平面，则， 所以， 则. （2）因为平面，平面，则， 因为底面为正方形，所以， 又因为，平面， 所以平面. 10．（2023吉林）如图，在三棱锥中，底面，，，分别是，的中点，，． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明线面平行； （2）根据等体积法，转化为求，根据棱锥的体积公式求解即可 【详解】（1）因为，分别是，的中点，所以是中位线， 所以，平面，平面，所以平面 （2）因为, 因为底面，即平面ADC, 又，，，所以， 又是的中点，所以， 又，所以. 11．（2024天津）如图，在正方体中，    (1)求证：平面平面； (2)求直线和平面所成角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明面面平行、求线面角、证明线面垂直 【分析】（1）在正方体中，可得，则得平面，同理平面，所以得平面平面； （2）在正方体中，可得AC⊥平面，则得为直线和平面所成角，则在中，，即可的. 【详解】（1）在正方体中， 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 同理，平面， 又， 所以平面平面. （2）    设，连接， 因为平面ABCD，所以， 又因为AC⊥BD，，平面， 所以AC⊥平面， 所以为在平面的射影， 则为直线和平面所成角， 设正方体的棱长为a， 则在中，， 所以. 12．（2024福建）如图，正方体的棱长为2，E为的中点. (1)求三棱锥的体积； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）根据三棱锥体积计算公式即可； （2）通过证明，得平面即可. 【详解】（1）由题意可知，为的中点，且正方体棱长为2， 所以三棱锥体积为： . （2）因为正方体中平面，且平面， 所以. 连接，又因为底面为正方形，所以. 因为，且平面， 所以平面， 又因为平面，所以. 13．（2024浙江）如图，在三棱锥中，，是正三角形． (1)求证：平面平面； (2)若，，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明面面垂直、求线面角 【分析】（1）作交PC于，连接，根据已知条件可得即为二面角的平面角，利用边长关系可得，从而可得结论； （2）首先证明平面，利用等体积法求出点到平面的距离，由，即可得结果. 【详解】（1）作交PC于，连接， 设，由，得， 因为是正三角形，所以 在中，， 所以，所以， 故， 所以即为二面角的平面角， 因为，，则 所以，则 所以由面面垂直定义可知，平面平面． （2）因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面，设点到平面的距离为， 由，，，则， 由余弦定理可得：， 在中，，，，所以 则 在中，，，，由余弦定理可得：， 所以在中，，取的中点，连接 则，所以 则 根据等体积法可得：， 所以， 因为，所以与平面所成角的正弦值． 14．（2024湖南）如图，在直三棱柱中，，，． (1)求证：平面平面； (2)若，求点B到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、求点面距离、证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）利用线线垂直证线面垂直，再证面面垂直即得； （2）先证明，再利用三棱锥等体积转化即可求得点到平面的距离. 【详解】（1）在直三棱柱中，底面，因底面，所以， 又，平面,且，则平面， 又平面，故平面平面. （2）因为，所以， 又由（1）知，平面，平面，则， 设点B到平面的距离为d，因为， 即，解得，故点B到平面的距离为． 15．（2024广东）如图，直线和直线均垂直于平面，且，，为线段上一动点. (1)求证平面； (2)求面积的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直、证明线面平行 【分析】（1）由条件可得，利用线面平行的判定定理即可证明； （2）由题意得，，从而平面，得，又，则，即最小时，最小，结合已知条件求解即可. 【详解】（1）∵平面，平面，∴， 又∵平面，平面， ∴平面. （2）∵平面，平面，∴，， ∵，平面，平面，， ∴平面， ∵平面，∴， ∵，∴，即最小时，最小， ∵为线段上一点，∴当时，最小， ∵，∴为等腰直角三角形， ∴，∴， ∴面积的最小值为. 16．（2024北京）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，E为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，结合线面垂直判定定理即可证明； （2）设AC与BD交于点O，连接OE，则，结合线面平行的判定定理即可证明. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又平面为菱形，所以， 又平面， 所以平面； （2）E为PD的中点，设AC与BD交于点O，连接OE， 则，又平面，平面， 所以平面. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$