专题06 平面向量和复数-【好题汇编】备战2025年高中学业水平合格考真题分类汇编（全国通用）

专题06 平面向量和复数 考点一：平面向量的加减数乘运算 1．（2024北京）如图，四边形是正方形，则（    ） A． B． C． D． 2．（2022河北）在中，设，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2022河北）在中，设，，若，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024云南）（    ） A． B． C． D． 5．（2024天津）如图，在平行四边形中，，点E满足，则（    ）． A． B． C． D． 6．（2023吉林）在中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023北京）如图，四边形是菱形，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 8．（2023北京）已知平面内的两个非零向量，满足，则与（    ） A．相等 B．方向相同 C．垂直 D．方向相反 9．（2023辽宁）已知四边形为平行四边形，与相交于，设，则等于（    ） A． B． C． D． 10．（2023江苏）在中，已知为的中点，为的中点，则为（    ） A． B． C． D． 考点二：平面向量的模 1．（2022河北）已知向量满足，则（    ） A． B． C．2 D． 2．（2024新疆）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（2023广东）已知向量满足 ，，则（ ） A． B．6 C． D．5 4．（2023浙江）已知平面向量满足，则的最大值是（    ） A． B．12 C． D． 5．（2024湖北）已知，且，则 . 6．（2024安徽）已知单位向量与单位向量的夹角为，则 ． 7．（2024浙江）已知向量为互相垂直的两个单位向量，若向量，，则当 时，取到最小值；此时，的最小值是 ． 8．（2023新疆）已知向量与的夹角为，且，，则 . 9．（2024广东）已知向量，，，那么 ． 10．（2023·浙江）已知向量，为单位向量，且夹角为，若向量满足，则的取值范围是 . 考点三：平面向量的数量积 1．（2024湖南）如图，是边长为2的等边三角形，则（    ） A．4 B． C．2 D． 2．（2024云南）在中，内角的对边分别为，则（    ） A． B． C． D．1 3．（2023江苏）在平行四边形中，是线段的中点，则（    ） A．1 B．4 C．6 D．7 4．（2023云南）已知与的夹角为，则（    ） A．-3 B．3 C． D． 5．（2022江苏）如图，在边长为3的正中，D，E分别在AC，AB上，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024福建）已知，与的夹角为，则 7．（2024浙江）向量是两个单位向量，夹角为，则 ． 8．（2024广东）设为所在平面内一点，，，，则 . 9．（2023广东）已知向量和的夹角为，，，则 . 考点四：平面向量的夹角 1．（2023新疆）若，，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 2．（2023河北）已知向量，满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．（2023广东）设都是单位向量,且,则向量,的夹角等于（    ） A． B． C． D． 4．（2024安徽）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为 . 5．（2023甘肃）已知向量、满足且，则向量与的夹角为 . 6．（2023广东）已知向量满足，，，则与的夹角的余弦值为 . 考点五：平面向量的平行和垂直关系 1．（2024安徽）已知向量，若，则（    ） A．9 B． C．1 D． 2．（2024云南）已知平面向量.若，则实数的值是（    ） A．4 B．1 C． D． 3．（2024湖南）已知向量，，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024湖南）已知，若，则 A． B． C． D．0 5．（2022河北）已知向量，，若，则实数（    ） A．1 B． C．4 D． 6．（2023吉林）已知向量与垂直，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 7．（2024浙江）已知，且，则实数（    ） A． B． C．3 D． 8．（2024广东）已知向量，，，则（    ） A．6 B． C． D． 9．（2023浙江）已知平面向量，，若，则实数（    ） A．2 B． C．1 D． 10．（2023江苏）已知向量，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．或1 11．（2023安徽）已知向量．若，则 ． 12．（2022甘肃）已知向量，则实数 ． 13．（2023辽宁）已知平面向量，，若，则实数y的值为 . 考点六：正余弦定理 1．（2022河北）在中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024安徽）的内角的对边分别为的面积为，且，则边（    ） A．7 B．3 C． D． 3．（2023安徽）的内角的对边分别为，c．若，．，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（2024新疆）在△ABC中，角的对边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 5．（2023吉林）在锐角中，，，分别为三个内角所对的边，且，则角为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（2024浙江）在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023广西）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则 ． 8．（2024湖南）的内角，，的对边分别为，，.若，则 . 9．（2024天津）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则 ． 10．（2024天津）在中，若，，，则为 ． 11．（2024浙江）如图，在平面四边形中，，，记与的面积分别为， 则的值为 . 12．（2024福建）在中，已知 (1)求角 (2)若，求边的取值范围. 13．（2024浙江）已知函数. (1)求的值； (2)求的最小正周期； (3)在中，内角所对的边分别是，已知，求的最大值. 14．（2024浙江）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角； (2)求的取值范围． 15．（2024广东）已知在中，内角、、的对边分别为、、，，，. (1)求； (2)求. 16．（2023四川）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)若，，求a. 17．（2023辽宁）已知的内角所对应的边分别为，且． (1)求； (2)若，求． 考点七：复数的概念及四则运算 1．（2024江苏南京）在复平面内，复数z对应的点Z在第二象限，则复数对应的点所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024安徽）已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2024安徽）已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024安徽）在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2024云南）已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2024云南）已知为虚数单位，设复数，则（    ） A．1 B．4 C． D． 7．（2023安徽）已知是虚数单位，则等于（    ） A．13 B．5 C． D． 8．（2024湖南）已知为虚数单位，则下列复数为纯虚数的是（    ） A． B．5 C． D． 9．（2024福建）i为虚数单位，计算等于（    ） A． B． C． D． 10．（2024浙江）复数（为虚数单位）的模为（    ） A．3 B．5 C．4 D．7 11．（2024湖南）i为虚数单位，若，则（    ） A． B． C．2 D． 12．（2024浙江）已知复数（为虚数单位），则（    ） A．1 B．2 C． D． 13．（2024湖南）i为虚数单位，若，则在复平面内z对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 14．（2024安徽）已知是虚数单位，复数，则 . 15．（2023广西）设复数，（i是虚数单位），则 ． 16．（2024湖南）已知复数，，则 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 平面向量和复数 考点一：平面向量的加减数乘运算 1．（2024北京）如图，四边形是正方形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量减法的法则 【分析】由三角形法则即可求解. 【详解】. 故选：B 2．（2022河北）在中，设，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】由图结合向量加减法可得答案. 【详解】由图，，又，. 则. 故选：D 3．（2022河北）在中，设，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量减法的运算律、向量加法的运算律 【分析】利用给定条件结合平面向量的线性运算求解即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为，， 所以，故D正确. 故选：D. 4．（2024云南）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量加法的法则 【分析】根据加法运算法则分析求解. 【详解】由题意可得：. 故选：D. 5．（2024天津）如图，在平行四边形中，，点E满足，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量的混合运算、向量减法的法则 【分析】根据题意，得到，结合向量的运算法则，即可求解. 【详解】由题意知，点满足，可得， 则. 故选：A. 6．（2023吉林）在中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量加法的法则、向量数乘的有关计算 【分析】根据向量的加法、减法和数乘运算表示所求向量即可. 【详解】因为为中点，为中点， 所以. 故选：B. 7．（2023北京）如图，四边形是菱形，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量加法的法则、相等向量、平面向量的概念与表示 【分析】根据向量相等的概念及向量的加法法则判断选项即可. 【详解】因为四边形是菱形， 所以根据向量加法的平行四边形法则知，， ，故C对D错； 因为向量方向不同，所以，，故AB错误. 故选：C 8．（2023北京）已知平面内的两个非零向量，满足，则与（    ） A．相等 B．方向相同 C．垂直 D．方向相反 【答案】D 【知识点】平行向量（共线向量）、相等向量、向量数乘的有关计算 【分析】根据向量的共线及模的关系确定选项即可. 【详解】因为两个非零向量，满足， 所以为共线反向向量，且模不相等， 所以ABC错误，D正确. 故选：D 9．（2023辽宁）已知四边形为平行四边形，与相交于，设，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】根据向量的运算法则可得结果. 【详解】, 故选：B. 10．（2023江苏）在中，已知为的中点，为的中点，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：B 考点二：平面向量的模 1．（2022河北）已知向量满足，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】首先根据数量积的运算律求出，再由及数量积的运算律计算可得. 【详解】因为，所以， 即，则， 所以. 故选：D 2．（2024新疆）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知数量积求模、垂直关系的向量表示、数量积的运算律 【分析】运用模长公式结合垂直结论可解. 【详解】,由于，则，代入计算得， ． 故选：A. 3．（2023广东）已知向量满足 ，，则（ ） A． B．6 C． D．5 【答案】C 【知识点】已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】利用平面向量数量积的运算律计算即得. 【详解】向量满足，， 所以. 故选：C 4．（2023浙江）已知平面向量满足，则的最大值是（    ） A． B．12 C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的运算律、用定义求向量的数量积、已知模求数量积、已知数量积求模 【分析】由题意可得，从而可得，令，利用即可求解. 【详解】由可得，即， ，即， ，即， ， 令， 则，即， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最大值是. 故选：A 【点睛】思路点睛： 求的最大值时，可利用来求解. 5．（2024湖北）已知，且，则 . 【答案】 【知识点】已知数量积求模 【分析】根据，结合条件求模长. 【详解】. 故答案为：. 6．（2024安徽）已知单位向量与单位向量的夹角为，则 ． 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模、零向量与单位向量、数量积的运算律 【分析】根据向量的数量积及模长转化法求出模长. 【详解】因为,的夹角为120°， 所以， . 故答案为：. 7．（2024浙江）已知向量为互相垂直的两个单位向量，若向量，，则当 时，取到最小值；此时，的最小值是 ． 【答案】 /0.2 3 【知识点】向量加法法则的几何应用、已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】利用数量积的运算律求出，借助二次函数求解即得；由，结合向量的三角不等式求解即得. 【详解】由向量为互相垂直的两个单位向量，得， 于是 ，当且仅当时取等号， 此时，而， 因此 ， 当且仅当且，即时取等号， 所以时，取到最小值，的最小值为3. 故答案为：；3 【点睛】关键点点睛：由数量积运算律化为，再利用向量的三角不等式是解决问题的关键. 8．（2023新疆）已知向量与的夹角为，且，，则 . 【答案】 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、用定义求向量的数量积 【分析】通过，代入条件计算即可. 【详解】由已知， 所以. 故答案为：. 9．（2024广东）已知向量，，，那么 ． 【答案】 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析、向量的模、已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】利用向量的数量积的定义、性质及运算律分析运算即可得解. 【详解】解：由题意，，，， ∴， 解得：， ∴， 又∵， ∴. 故答案为：． 10．（2023·浙江）已知向量，为单位向量，且夹角为，若向量满足，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】已知数量积求模 【分析】由条件求出，设向量与向量的夹角为，将，转化为，结合的范围解不等式即可得的取值范围. 【详解】由得， 即 ， 又， 则， 设向量与向量的夹角为， 则， 因为 ，由已知等式可知，所以， 所以，因为， 所以， 解得. 故答案为： 考点三：平面向量的数量积 1．（2024湖南）如图，是边长为2的等边三角形，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】根据向量数量积的定义进行运算即可. 【详解】因为是边长为2的等边三角形，所以， 所以. 故选：C 2．（2024云南）在中，内角的对边分别为，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】用定义求向量的数量积、诱导公式二、三、四 【分析】利用三角函数诱导公式及定义法求向量数量积． 【详解】解：中，内角，，的对边分别为，，，，，， 则， 故选：C． 3．（2023江苏）在平行四边形中，是线段的中点，则（    ） A．1 B．4 C．6 D．7 【答案】A 【知识点】数量积的运算律 【分析】根据平面向量数量积运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：A 4．（2023云南）已知与的夹角为，则（    ） A．-3 B．3 C． D． 【答案】B 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】由数量积公式求解即可. 【详解】. 故选：B 5．（2022江苏）如图，在边长为3的正中，D，E分别在AC，AB上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量的线性运算的几何应用 【分析】结合平面向量的线性运算得到，进而根据平面向量的数量积的定义即可求出结果. 【详解】因为，所以 又因为正边长为3，所以，， 故 故选：C. 6．（2024福建）已知，与的夹角为，则 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】根据条件，利用数量积的定义，即可求解. 【详解】因为，与的夹角为， 所以， 故答案为：. 7．（2024浙江）向量是两个单位向量，夹角为，则 ． 【答案】/ 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】根据题意，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】由向量是两个单位向量，夹角为，可得， 则. 故答案为：. 8．（2024广东）设为所在平面内一点，，，，则 . 【答案】 【知识点】数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】通过转化的方法求得. 【详解】∵=，∴， ∵，则， 因此， . 故答案为： 9．（2023广东）已知向量和的夹角为，，，则 . 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】利用平面向量数量积的定义可求得的值. 【详解】由平面向量数量积的定义可得. 故答案为：. 考点四：平面向量的夹角 1．（2023新疆）若，，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【分析】设与的夹角，通过代入条件计算即可. 【详解】设与的夹角， 因为 所以 解得， 所以， 故选：B. 2．（2023河北）已知向量，满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量夹角的计算 【分析】由向量垂直，利用数量积运算可得，即，代入已知条件，求得，所以，得解 【详解】因为，所以 所以 又，，，, 所以， 故选：C． 3．（2023广东）设都是单位向量,且,则向量,的夹角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】根据等式将移到另一端,两边同时平方,由都是单位向量可求出,的夹角. 【详解】解析:由,可知,故,∴. 设,的夹角为,即,又,∴. 故选::A 4．（2024安徽）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为 . 【答案】 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】根据垂直条件，得到数量积为0，结合及夹角公式求解即可. 【详解】因为, 所以， 即, 所以, 因为, 所以， 因为, 所以. 故答案为：. 5．（2023甘肃）已知向量、满足且，则向量与的夹角为 . 【答案】 【知识点】向量夹角的计算 【分析】设向量与的夹角为，则，利用平面向量数量积的运算性质以及定义可得出的值，再结合的取值范围可得出的值. 【详解】设向量与的夹角为，则， 所以，，可得， 故. 故答案为：. 6．（2023广东）已知向量满足，，，则与的夹角的余弦值为 . 【答案】 【知识点】向量夹角的计算 【分析】根据题意，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】因为向量满足，，且，可得， 所以与的夹角的余弦值为. 故答案为： 考点五：平面向量的平行和垂直关系 1．（2024安徽）已知向量，若，则（    ） A．9 B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量平行坐标运算即可求参. 【详解】因为, 所以. 故选：B. 2．（2024云南）已知平面向量.若，则实数的值是（    ） A．4 B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量共线的坐标表示运算求解. 【详解】因为，且，所以. 故选：A. 3．（2024湖南）已知向量，，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量共线得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得. 故选：B. 4．（2024湖南）已知，若，则 A． B． C． D．0 【答案】A 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量平行得到方程，化简求得的值. 【详解】由于，所以. 故选：A. 5．（2022河北）已知向量，，若，则实数（    ） A．1 B． C．4 D． 【答案】A 【知识点】利用向量垂直求参数、向量垂直的坐标表示 【分析】根据向量垂直的坐标公式，求得结果. 【详解】由，可得，解得. 故选：A. 6．（2023吉林）已知向量与垂直，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】向量垂直的坐标表示、数量积的坐标表示 【分析】运用平面向量的垂直的坐标结论可解． 【详解】向量与垂直，则，即，解得. 故选：C. 7．（2024浙江）已知，且，则实数（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】利用向量垂直求参数、向量垂直的坐标表示 【分析】根据向量垂直关系的坐标表示解方程可得. 【详解】由可得，解得. 故选：B 8．（2024广东）已知向量，，，则（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量垂直的坐标表示 【分析】运用向量垂直的坐标表示列式求解即可. 【详解】∵，∴，即，解得， 故选：D． 9．（2023浙江）已知平面向量，，若，则实数（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】已知向量垂直求参数 【分析】依题意可得，根据数量积坐标表示计算可得. 【详解】因为，且， 所以，解得. 故选：A 10．（2023江苏）已知向量，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．或1 【答案】D 【知识点】已知向量垂直求参数、向量垂直的坐标表示、数量积的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】求出的坐标表示，根据向量垂直的坐标表示，可列方程，即可求得答案. 【详解】由已知向量， 可得， 由可得， 即，解得， 故选：D 11．（2023安徽）已知向量．若，则 ． 【答案】2 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：2. 12．（2022甘肃）已知向量，则实数 ． 【答案】 【知识点】向量垂直的坐标表示 【分析】利用向量垂直的坐标表示即可得解. 【详解】因为， 所以，解得. 故答案为：. 13．（2023辽宁）已知平面向量，，若，则实数y的值为 . 【答案】/ 【知识点】已知向量垂直求参数、数量积的坐标表示 【分析】直接由得到，代入坐标计算即可. 【详解】由已知平面向量，，， ， 解得. 故答案为：. 考点六：正余弦定理 1．（2022河北）在中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】易知，在和中分别利用余弦定理计算即可求解. 【详解】由题意知，， 在中，由余弦定理得 ， 在中，由余弦定理得 ， 由，得. 故选：C 2．（2024安徽）的内角的对边分别为的面积为，且，则边（    ） A．7 B．3 C． D． 【答案】C 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】由三角形面积公式求得，再由余弦定理得到. 【详解】由得， 由余弦定理得，所以. 故选：C. 3．（2023安徽）的内角的对边分别为，c．若，．，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理可得，解得， 故选：D 4．（2024新疆）在△ABC中，角的对边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理求解即可. 【详解】根据余弦定理得，，则. 故选：A. 5．（2023吉林）在锐角中，，，分别为三个内角所对的边，且，则角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正弦定理边角互化的应用 【分析】根据题意利用正弦定理边化角，化简整理即可得结果. 【详解】因为，由正弦定理可得， 且角为锐角，则，可得，即， 且角为锐角，所以角为. 故选：D. 6．（多选）（2024浙江）在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、二倍角的余弦公式、余弦定理解三角形、数量积的运算律 【分析】由余弦定理及同角三角函数的基本关系判断AB，根据诱导公式、二倍角的余弦公式及余弦函数的单调性判断C，根据数量积的运算律及数量积定义判断D. 【详解】因为，而， 所以，故，故A正确； 由A知，，所以，故B错误； ，若成立，只需成立，即，所以只需， 即，而，，故成立，故C正确； 因为，所以，故D正确. 故选：ACD 7．（2023广西）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则 ． 【答案】1 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理计算即可. 【详解】, 故答案为：1. 8．（2024湖南）的内角，，的对边分别为，，.若，则 . 【答案】/0.25 【知识点】正弦定理边角互化的应用 【分析】利用正弦定理进行边化角，再化简即可求得. 【详解】因为，由正弦定理可得， 因为，所以， 所以，. 故答案为： 9．（2024天津）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则 ． 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理计算可得. 【详解】因为，，， 由余弦定理可得. 故答案为： 10．（2024天津）在中，若，，，则为 ． 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】利用三角形内角和定理及正弦定理即可求解. 【详解】∵， ， 由正弦定理得：， ∴. 故答案为： 11．（2024浙江）如图，在平面四边形中，，，记与的面积分别为， 则的值为 . 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】首先得出，然后根据余弦定理得、，两式相减可得，由三角形的面积公式得，即可求解. 【详解】， 所以， 所以， 在中，由余弦定理得， 即，得①， 在中，由余弦定理得， 即，得②， 又， 所以③， 由②①，得，由， 得，代入③得. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键是根据余弦定理得出，结合三角形公式即可顺利得解. 12．（2024福建）在中，已知 (1)求角 (2)若，求边的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据条件，利用边转角及正弦的和角公式，得到，即可求解； （2）根据条件，利用正弦定理得到，从而得到，即可求解. 【详解】（1）由，得到， 所以，又，则， 得到，所以. （2）由正弦定理知，又，所以，， 由，得到，整理得到， 所以，又， 所以， 得到，其中，， 则，解得， 所以边的取值范围为. 13．（2024浙江）已知函数. (1)求的值； (2)求的最小正周期； (3)在中，内角所对的边分别是，已知，求的最大值. 【答案】(1)2 (2) (3)12 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用 【分析】(1)利用两角和与差的余弦公式展开，合并，再利用辅助角公式化简即可 (2)化简后，利用,即可求出周期. (3)利用正弦定理由边化角，化简整理得到形式，利用三角函数求最值. 【详解】（1）， 则; （2）； （3）由得，因为则，. 记外接圆半径为，所以 ， 整理可得： ， . 14．（2024浙江）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】由正切（型）函数的值域（最值）求参数、三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据正弦定理化边为角，结合三角恒等变换化简可求； （2）结合，结合两角差正弦，余弦公式，同角关系化简目标解析式，可得，结合正切函数性质，不等式性质可求其范围. 【详解】（1）设的外接圆半径为， 由正弦定理可得， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以，又， 所以，即； 因为，所以； （2）由（1）知，， 所以 ； 因为，所以． 15．（2024广东）已知在中，内角、、的对边分别为、、，，，. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】（1）由余弦定理计算即可得； （2）由正弦定理计算即可得. 【详解】（1），，，由余弦定理可得： ，即； （2），，，由正弦定理可得： ，故. 16．（2023四川）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)若，，求a. 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由正弦定理及同角三角函数的关系得解； （2）由余弦定理直接求解. 【详解】（1）由正弦定理可得：， 由知，可得， 即， 由知，. （2）由余弦定理可得：， 解得. 17．（2023辽宁）已知的内角所对应的边分别为，且． (1)求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据余弦定理即可求解； （2）由正弦定理求出，结合同角的三角函数关系式即可求得结果． 【详解】（1）由，得， 由余弦定理，得， 因为，所以； （2）由正弦定理，得，即， 因为，所以，即，所以， 由，得． 考点七：复数的概念及四则运算 1．（2024江苏南京）在复平面内，复数z对应的点Z在第二象限，则复数对应的点所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【知识点】在各象限内点对应复数的特征、复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】设出复数的代数形式，利用复数的除法运算求出即可判断得解. 【详解】由在复平面内，复数z对应的点Z在第二象限，设， 则，显然， 所以点在第一象限，A正确. 故选：A 2．（2024安徽）已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、共轭复数的概念及计算 【分析】根据共轭复数的定义及复数的几何意义得解. 【详解】因为， 所以， 所以在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C 3．（2024安徽）已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】由复数的模的运算得到的值，再由复数的除法运算求出. 【详解】，即， ， 故选：A 4．（2024安徽）在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解. 【详解】，对应的点，位于第二象限. 故选：B 5．（2024云南）已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】判断复数对应的点所在的象限 【分析】由复数的几何意义求解． 【详解】复数在复平面内对应的点为，它在第三象限， 故选：C 6．（2024云南）已知为虚数单位，设复数，则（    ） A．1 B．4 C． D． 【答案】B 【知识点】复数加减法的代数运算 【分析】应用复数的加法计算即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 7．（2023安徽）已知是虚数单位，则等于（    ） A．13 B．5 C． D． 【答案】A 【知识点】复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数的乘法即可. 【详解】. 故选：A. 8．（2024湖南）已知为虚数单位，则下列复数为纯虚数的是（    ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【知识点】复数的分类及辨析 【分析】由纯虚数的概念即可得解. 【详解】由纯虚数的概念：实部为0，虚部不为0，对比选项可知，选项中复数为纯虚数的是. 故选：D. 9．（2024福建）i为虚数单位，计算等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的除法运算 【分析】利用复数的除法法则运算即可. 【详解】. 故选：A. 10．（2024浙江）复数（为虚数单位）的模为（    ） A．3 B．5 C．4 D．7 【答案】B 【知识点】求复数的模 【分析】根据复数的模的计算公式计算即可. 【详解】. 故选：B. 11．（2024湖南）i为虚数单位，若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】复数的除法运算、求复数的模 【分析】根据复数的除法运算及复数的模求解. 【详解】因为， 所以，即， 所以， 故选：A 12．（2024浙江）已知复数（为虚数单位），则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】复数的除法运算、求复数的模 【分析】利用求出模长. 【详解】. 故选：A 13．（2024湖南）i为虚数单位，若，则在复平面内z对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据复数的运算及复数的几何意义得解. 【详解】因为， 所以在复平面内z对应的点位于第三象限， 故选：C 14．（2024安徽）已知是虚数单位，复数，则 . 【答案】 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】根据复数的除法运算化简复数,再用模长公式求解即可. 【详解】, 所以. 故答案为：. 15．（2023广西）设复数，（i是虚数单位），则 ． 【答案】 【知识点】复数加减法的代数运算 【分析】根据复数的加法运算求解. 【详解】. 故答案为：. 16．（2024湖南）已知复数，，则 . 【答案】 【知识点】复数加减法的代数运算 【分析】直接由复数加法定义即可求解. 【详解】若复数，，则. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$