专题05 三角函数-【好题汇编】备战2025年高中学业水平合格考真题分类汇编（全国通用）

专题05 三角函数 考点一：任意角和弧度制 1．（2023广西）将弧度化为角度是（    ） A．45° B．60° C．75° D．90° 【答案】B 【知识点】弧度化为角度 【分析】根据弧度和角度的互换计算即可. 【详解】因为, 所以， 故选：B. 2．（2023新疆）若在第三象限，那么在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限 【答案】C 【知识点】确定n分角所在象限 【分析】根据的范围求出的范围即可得答案. 【详解】因为在第三象限 所以， 所以， 所以在第二、四象限. 故选：C. 3．（2023黑龙江）把弧度化成角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】弧度化为角度 【分析】利用弧度制与角度制的转化可得解. 【详解】因为，所以. 故选：D. 4．（2022安徽）下列各角中与角的终边相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】找出终边相同的角 【分析】写出与角的终边相同的角为，，即可得出正确答案. 【详解】与角的终边相同的角为， 当时，，B正确； 将A，C，D代入，，得出均不是整数， 即其他三个选项均不合要求. 故选：B 5．（2022江苏）已知扇形的半径为1，圆心角为30°，则扇形的弧长为（    ） A．30 B． C． D． 【答案】C 【知识点】弧长的有关计算 【分析】根据弧度制与角度制互化公式，结合扇形的弧长进行求解即可. 【详解】因为30°， 所以扇形的弧长为， 故选：C 6．（2023广东）一个扇形的弧长与面积的数值都是3，则该扇形圆心角的弧度数为（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】由扇形的弧长公式和面积公式列方程组求解． 【详解】设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，则解得 故选：C． 7．（2022浙江）某圆锥的侧面积是底面积的倍，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】设圆锥的母线长和底面圆半径，表示出底面圆的周长和面积，计算圆锥的侧面积，由已知写出等式，得到母线长与半径的关系，用圆心角的公式计算即可. 【详解】设圆锥的母线长为 ，底面圆半径为， 则底面圆面积为 ，底面圆周长为 ； 又圆锥的侧面展开图为扇形，其侧面积为 ； 由圆锥的侧面积是底面积的2倍得： ，所以 所以该圆锥的侧面展开图的圆心角为 ， 故选：C. 8．（2022贵州）已知等边三角形ABC的外接圆圆心为O，半径为6，则所对的劣弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】弧长的有关计算 【分析】根据等边三角形外接圆的性质易得对应的劣弧圆心角，再应用弧长公式求劣弧的长度. 【详解】由题设，所对的劣弧，即为边对应的劣弧，故， 所以所对的劣弧长为. 故选：D 9．（2023海南）用弧度制表示为 . 【答案】/ 【知识点】角度化为弧度 【分析】根据给定条件，利用角度制与弧度制的互化关系计算作答. 【详解】因为，所以. 故答案为： 10．（2023上海）一扇形的圆心角，半径cm，则该扇形的面积为 （cm2） 【答案】/ 【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】利用扇形弧长公式与面积公式即可得解. 【详解】因为，， 所以该扇形的弧长为（cm）， 故该扇形的面积（cm2）． 故答案为：. 考点二：三角函数的概念 1．（2024湖南）已知角的顶点位于平面直角坐标系xOy的原点，始边在x轴的非负半轴上，终边上有一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数的定义式，代入点的坐标计算即得. 【详解】由题意，. 故选：A. 2．（2024浙江）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】利用三角函数的定义即可求解. 【详解】根据三角函数的定义， 故选：C. 3．（2024湖南）已知，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】由三角函数的符号确定角所在的象限. 【详解】由三角函数的定义可知，为第一、二象限角或终边在轴正半轴上；由为第一、四象限角或终边在轴的正半轴上， 两个条件同时成立，则为第一象限角. 故选：A. 4．（2022浙江）若满足，则的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】直接根据各象限三角函数的符号判断即可得答案. 【详解】由可知的终边在第三象限或第四象限或y轴负半轴上， 由，可知的终边在第一象限或在第三象限， 则的终边在第三象限， 故选：C. 5．（2024湖南）设角的终边与单位圆的交点坐标为，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义直接求解即可. 【详解】设角的终边与单位圆的交点坐标为，所以. 故选：C 6．（2024北京）若，则角可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知三角函数值求角 【分析】直接根据正切值求角即可. 【详解】, ，观察选项可得角可以为. 故选：C. 7．（2022广东）若且，则是（     ）角 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数、由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】根据任意角三角比的定义判断即可. 【详解】，， 所以是第二象限角. 故选：B. 8．（2023福建）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由三角函数的定义可得出的值. 【详解】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点， 由三角函数的定义可得. 故选：D. 9．（2023浙江）已知点在角的终边上，则角的最大负值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】找出终边相同的角、特殊角的三角函数值、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数的定义以及终边相同的角即可求解. 【详解】由题意可知点在第四象限，且，所以, 故当此时为最大的负值， 故选：C 10．（2024云南）已知是角终边上的一点，则角的正切值是 . 【答案】2 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】由正切函数的定义求解． 【详解】因为点是角终边上的上点，所以， 故答案为：2 考点三：同角三角函数的基本关系 1．（2022河北）已知是第三象限角，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知弦（切）求切（弦） 【分析】根据同角间的三角函数关系计算． 【详解】是第三象限角，则， 又，故可解得， 故选：B． 2．（2020山东）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】由题意知是第二象限角，又因为，从而可求解. 【详解】因为位于第二象限，且， 所以，故A正确. 故选：A. 3．（2023新疆）已知是第四象限的角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】根据平方关系和的象限，求出，然后根据商数关系求出. 【详解】因为是第四象限的角，所以， 又，所以， 所以， 故选：C. 4．（2023黑龙江）已知，且为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】根据同角三角关系结合象限角的三角函数值的符号分析求解. 【详解】因为，且为第二象限角， 所以. 故选：A. 5．（2023云南）已知，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】根据给定条件，利用商数关系直接计算作答. 【详解】因为，所以. 故选：D 6．（2023江苏）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】根据三角函数同角的函数关系式，结合齐次式法求值，可得答案. 【详解】由题意，可知， 则， 故选：B 7．（2022福建）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】由同角间的三角函数关系变形后按所在象限分类讨论可得． 【详解】， 当是第一象限角时，， 当是第二象限角时，， 当是第三象限角时，， 当是第四象限角时，， 综上，函数值域为． 故选：C． 8．（2023新疆）已知，求下列各式的值 (1)； (2) 【答案】(1)13 (2)2 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】（1）将分式的分子分母同除转化为用来表示，然后代入的值计算即可； （2）原式，将分式的分子分母同除转化为用来表示，然后代入的值计算即可 【详解】（1）原式； （2）原式. 9．（2021河南）已知．求的值． 【答案】 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】进行弦化切后，把即可求解. 【详解】因为， 所以将代入上式，得． 10．（2021黑龙江）已知，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】（1）利用，，即可得解； （2）分子分母同除以转化为正切表示，即可得解. 【详解】（1），，. ，所以. （2） 考点四：诱导公式 1．（2024北京）在下列各数中，与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】诱导公式二、三、四、诱导公式五、六 【分析】由半角和全角诱导公式逐项化简即可； 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误； 故选：A. 2．（2024福建）（    ） A． B． C．- D．- 【答案】A 【知识点】诱导公式一 【分析】根据诱导公式求解即可. 【详解】. 故选：A. 3．（2024湖北）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】诱导公式二、三、四 【分析】根据诱导公式求解. 【详解】. 故选：A 4．（2023广西）若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【知识点】诱导公式二、三、四 【分析】根据诱导公式即可. 【详解】. 故选：A. 5．（2024福建）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】诱导公式五、六 【分析】利用诱导公式计算可得. 【详解】因为，所以. 故选：C 6．（2023北京）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】诱导公式二、三、四 【分析】根据诱导公式求解. 【详解】因为，所以， 故选：B 7．（2024广东）已知是第四象限角，，则等于（    ） A． B．－ C． D．－ 【答案】D 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】先确定正弦，再利用诱导公式以及同角的三角函数关系化简求值，即得答案 【详解】因为是第四象限角，所以， 故． 故选：D 8．（2024新疆）已知，计算 . 【答案】/ 【知识点】诱导公式五、六 【分析】根据诱导公式即可得到答案. 【详解】. 故答案为：. 9．（2023新疆）已知，则 . 【答案】/ 【知识点】诱导公式五、六、诱导公式二、三、四 【分析】直接利用诱导公式计算即可. 【详解】由已知， 所以 故答案为：. 考点五：三角函数图象与性质 1．（2024安徽）函数的图象的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据正弦函数的对称轴计算求出对称轴. 【详解】的对称轴方程为, 即， 当时，为对称轴. 故选：C. 2．（2023广西）函数，的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】根据正弦函数的周期判断即可. 【详解】因为的最小正周期为, 所以的最小正周期也为. 故选：A. 3．（2023广西）下列选项中，函数，的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】正弦函数图象的应用 【分析】根据正弦函数图象判断即可. 【详解】根据正弦函数图象判断D选项符合题意. 故选：D. 4．（2024浙江）已知函数，则函数在区间内零点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【知识点】求函数零点或方程根的个数、正切函数图象的应用 【分析】将函数零点转化为函数与图象交点个数问题，分别对和进行讨论可得结论. 【详解】令，可得 当时，则有， 数形结合画出与在上的图象如下图所示： 可得在内两图象有三个交点； 当时，在内解得，不是方程的解，不合题意. 故选：C 5．（2024浙江）若存在，使函数的图象关于对称，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】由对称中心知，讨论的取值，找出正整数的最小值. 【详解】因为函数的图象关于对称， 所以 ，所以，所以， 当时不满足， 当时，，所以，因为，此时的最小值为3； 当时，，所以，因为，此时的最小值为6； 一般的：，所以， 当正整数增大时，的最小值也越来越大，故的最小值为3； 故选：C 6．（2024湖南）如图，已知函数在单调递增，且经过点，，则，的值分别是（    ）    A．1， B．1， C．3， D．3． 【答案】A 【知识点】利用正切函数的单调性求参数、由图象确定正切（型）函数解析式、求正切（型）函数的周期 【分析】根据函数经过的点，求得，，再由的单调性确定，即得. 【详解】因函数经过点，，则得，因，解得； 又，则得，解得，. 又由可得， 因函数在单调递增，则，解得， 故，经检验此时满足题意，. 故选：A. 7．（2024湖南）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求正弦（型）函数的奇偶性、求正弦（型）函数的最小正周期、求余弦（型）函数的奇偶性、求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】求出周期排除AC；判断奇偶性即可得解. 【详解】函数、的最小正周期为，AC不是； 函数是偶函数，D不是，是奇函数，且最小正周期为，B是. 故选：B 8．（多选）（2024浙江）已知定义域为的函数在区间上单调递增，且，若函数是奇函数，则（    ） A．4是的一个周期 B． C．函数是偶函数 D．函数在上单调递减 【答案】ACD 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断证明抽象函数的周期性、函数奇偶性的应用 【分析】由条件可得，结合周期函数定义判断A，根据奇函数性质可得，，赋值可求，判断B，由可得，结合和偶函数定义判断C，结合偶函数性质和周期函数性质，判断D. 【详解】对于A：因为，所以， 所以， 所以是函数的一个周期，A对， 对于B：因为是奇函数， 所以， 所以， 由，可得，即， 由，可得， 所以，B错误； 对于C：故，又， 所以，所以函数是偶函数，C正确； 对于D：因为函数在区间上单调递增，函数是偶函数， 所以函数在区间上单调递减，又是周期为的周期函数， 所以函数在区间上单调递减，D正确； 故选：ACD. 9．（2024天津）函数，的最小正周期是 ． 【答案】π 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】根据正弦型函数周期性即可求解. 【详解】的最小正周期为， 故答案为：π. 10．（2024福建）函数的最小值是 ． 【答案】 【知识点】求cosx（型）函数的最值 【分析】根据余弦函数的性质计算可得. 【详解】因为，所以， 所以函数的最小值是. 故答案为： 考点六：图象变换 1．（2022河北）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、辅助角公式 【分析】利用辅助角公式将化简，后由图象平移知识结合诱导公式可得答案. 【详解】由辅助角公式，将其向右平移个单位长度， 得. 故选：A 2．（2023安徽）为得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】D 【知识点】函数图象的变换、描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】根据函数的平移变换即可求解. 【详解】为得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点向左平移个单位长度, 故选：D 3．（2023吉林）为了得到函数的图象，只需把正弦曲线上所有的点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【答案】C 【知识点】求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据图象变换逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：可得，不合题意，故A错误； 对于选项B：可得，不合题意，故B错误； 对于选项C：可得，符合题意，故C正确； 对于选项D：可得，不合题意，故D错误； 故选：C. 4．（2024天津）要得到函数，的图象，只需将函数，的图象（    ） A．所有点横坐标扩大2倍，纵坐标不变 B．所有点横坐标缩小，纵坐标不变 C．所有点纵坐标缩小，横坐标不变 D．所有点纵坐标扩大2倍，横坐标不变 【答案】B 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】根据函数图像伸缩变换规则即可解决. 【详解】根据函数图像伸缩变换规则,图像所有点纵坐标不变,横坐标缩小为原来的即可得到. 故选:B. 5．（2024湖南株洲）要得到的图象只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】根据给定条件，利用图象的平移变换求解即得. 【详解】将的图象向左平移个单位，得函数的图象，A正确，BCD错误. 故选：A 6．（2024广东）要得到的图象，需将余弦函数图象（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【答案】B 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】根据三角函数图象平移规律直接判断． 【详解】因为函数图象平移左加右减， 所以将余弦函数图象向右平行移动个单位长度，得到的图象， 故选：B． 7．（2023新疆）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 【答案】D 【知识点】相位变换及解析式特征 【分析】直接根据平移规律求解即可. 【详解】， 故只需将函数的图象向右平移即可. 故选：D. 8．（2023云南）将函数的图象向右平移个单位，得到的图象对应的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据平移变换的原则即可得解. 【详解】函数的图象向右平移个单位， 得. 故选：B. 考点七：三角函数图象与性质（综合） 1．（2022河北）已知函数为上的奇函数，则实数（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【知识点】由余弦（型）函数的奇偶性求参数、由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数性质，解得，并代入检验即可. 【详解】因为函数为上的奇函数， 则，解得， 若，则，且定义域为， 则， 所以函数为上的奇函数， 综上所述：. 故选：A. 2．（多选）（2022福建）函数的一个周期内的图象如图所示，下列结论正确的有（    ）    A．函数的解析式是 B．函数的最大值是 C．函数的最小正周期是 D．函数的一个对称中心是 【答案】BCD 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】根据图象可确定最大值、最小正周期和对称中心，知BCD正确；结合五点法可构造方程求得，知A错误. 【详解】对于B，由图象可知：，B正确； 对于C，由图象可知：最小正周期，C正确； 对于A，由BC得：，，即； 或 当时，， ，解得：， ； 当时，， ，解得：， ； 或，A错误； 对于D，当时，， 的一个对称中心为，D正确. 故选：BCD. 3．（2022浙江）已知，设，是函数与图象的两个公共点，记.则（    ） A．函数是周期函数，最小正周期是 B．函数在区间上单调递减 C．函数的图象是轴对称图形 D．函数的图象是中心对称图形 【答案】BC 【知识点】函数图像的识别、求含sinx的函数的最小正周期、正弦函数对称性的其他应用、求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据三角函数以及二次函数的对称性并结合函数的图像一一判断各选项. 【详解】分别作出与（周期为）的图象（如图）. 对于B，由图可知，当时，单调递增；当时，单调递减，故B正确； 对于C、D，对于任意，此时作关于的对称函数，且也关于对称，故，即关于对称，即关于对称，故C正确，D错误. 错误. 对于A，由于当时，单调递增；当时，单调递减，关于对称，由于是最小正周期为的函数，其图象呈周期性变换，而在平移过程中大小与形状不变，所以呈周期性变换，根据函数的对称性作出的大致图像（如图），可知其为周期函数，且最小正周期为，故A错误； 故选：BC. 4．（2023海南）已知函数的图象与轴交于点，则（    ） A．的最小正周期为 B．直线是的图象的对称轴 C．当时，函数的值域为 D．在区间上有3个零点 【答案】AC 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据已知代入得出，即可根据正弦型三角函数的周期、对称轴、值域、零点的求法对选项一一验证即可得出答案. 【详解】将点代入，可得， 又，，即； 对于A，其最小正周期为，故A正确； 对于B，当时，，所以直线不是的图象的对称轴，故B错误； 对于C，当时，，所以，故C正确； 对于D，当时，，正弦函数在区间上有4个零点0，，，，故在区间上有4个零点，D错误. 故选：AC. 5．（2022安徽）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．的增区间为， B．的对称轴为， C．，使得对恒成立 D．，若，则， 【答案】ABD 【知识点】三角函数图象的综合应用 【分析】根据函数的奇偶性和周期性，得出函数为偶函数且周期为周期函数，进而只需要研究上图象即可，先画出函数在上图象，利用性质即可画出函数在上图象，结合图象即可以判断各选项. 【详解】 为偶函数， 为函数的周期， 因此只需要研究上图象即可， 当时，，再根据偶函数和周期性得到，的图象，如图所示 由图可知：的增区间为，，故A正确； 的对称轴为，，故B正确； 的最小正周期为，故C不正确； ，，故D正确. 故选:ABD. 6．（2023新疆）已知函数（）的最小正周期为，最小值是，且图象经过点，求该函数的解析式并求其单调递增区间. 【答案】，递增区间为. 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据最小正周期和最小值可得，，结合图象所过的点求得，即可得解析式，再由正弦型函数性质求增区间. 【详解】由题设，，故， 又图象经过点，则，可得，， 又，故，则，所以， 令，，可得，， 所以单调递增区间是. 7．（2023山西）已知函数的部分图像如图示，且，．    (1)求函数的解析式； (2)若，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)的最大值为,的最小值为 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、利用正弦函数的对称性求参数、由图象确定正（余）弦型函数解析式、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】（1）根据图像得到，再由，得到函数图像的一条对称轴，然后再由和求得函数的解析式. （2）根据，求出，结合正弦函数的图像性质求出最值即可. 【详解】（1）由图像可知，因为，所以函数图像的一条对称轴为直线， 设的最小正周期为，则，即，所以，又，所以，即， 所以，，即，．因为，所以，所以． （2）, 当即的最小值为； 当即的最大值为. 8．（2023宁夏）已知函数的最小正周期为， ． (1)求的值； (2)若是奇函数，求值. 【答案】(1) (2) 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数、求正弦（型）函数的最小正周期、由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】（1）通过周期即可求出的值； （2）根据函数的奇偶性结合题意即可求出值. 【详解】（1）因为函数的最小正周期为，且， 所以由， 得. （2）由（1）知， 因为   ， 所以 ， 即 又因为是奇函数， 所以， 即 - 又因为， 所以. 9．（2023江西）已知函数. (1)求函数的对称轴与对称轴中心; (2)讨论函数的单调区间. 【答案】(1)对称轴为,,对称中心为, (2)单调递增区间是,;单调递减区间是, 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】本题考查三角函数的整体代换思想.将看成一个整体,与的图像特征进行比较即可. 【详解】（1）令,, 解得, 所以函数的对称轴为,. 令,,解得,. 所以函数的对称中心为, （2）当,时, 解得,,故函数的单调递增区间是,; 令,,解得,, 故函数的单调递减区间是, 10．（2023安徽）已知函数，. (1)求出该函数的最小正周期； (2)求出该函数取最大值时自变量的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】（1）使用最小正周期公式进行求解即可； （2）由，，求出的取值范围即可. 【详解】（1）设函数，的最小正周期为， 则， ∴函数，的最小正周期为. （2）令，， 解得，， ∴函数，取最大值时，自变量的取值集合为. 11．（2023江苏）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、基本不等式求和的最小值、求含sinx（型）的二次式的最值、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）确定，再计算周期即可. （2）设，，考虑，，三种情况，利用均值不等式计算最值得到答案. 【详解】（1），最小正周期. （2），即， 设，，， 当时，即，整理得到， ，当且仅当，即时等号成立，故； 当时，不等式恒成立； 当时，即，整理得到， ，当且仅当，即时等号成立，故. 综上所述：，即 12．（2023海南）已知函数，，且在上单调递增 (1)若恒成立，求的值； (2)在（1）的条件下，若当时，总有使得，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】（1）根据恒成立可得，代入可得，进而根据单调性得，两者结合即可求解， （2）根据题意转化成两个函数的值域问题，利用三角函数的性质可求解,分类讨论求解含参的二次函数的值域即可求解. 【详解】（1）由题意得， 所以，，解得，. 设的最小正周期为. 因为在上单调递增，由于 故，即，得， 所以，经检验满足题意； （2）当时，总有使得， 设在上的值域为，在上的值域为，则, 由（1）得 当时，，. 的图象的对称轴为直线 当，即时，在上单调递增，. 由得，解得，所以. 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 由得 解得， 又因为，所以. 当，即时，在上单调递减， 由得，解得，又因为，所以. 综上，的取值范围为. 13．（2022浙江）已知函数，从下列两个问题中选择一个解答，两个都做只给第一问的分数. 问①：（1）求的最小正周期；（2）求在上的值域. 问②：（1）求的值；（2）求的单调递增区间. 【答案】选①：（1）；（2）；选②：（1）；（2），. 【知识点】诱导公式五、六、求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、求sinx型三角函数的单调性 【分析】利用诱导公式化简函数为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数性质求解． 选①，（1）由正弦函数性质求周期，（2）由正弦函数性质求最小值； 选②，（1）直接计算函数值，（2）由正弦函数的增区间列不等式求解． 【详解】, 选①，（1）， （2）时，，，所以的值域为； 选②，（1）； （2），， 所以增区间是，． 考点八：三角恒等变换 1．（2022河北）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】本题涉及正切函数的两角差公式，我们可以将所给式子转化为正切函数两角差的形式来求解. 【详解】将原式变形为 则. 故选：D 2．（2022河北）若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】给值求值型问题、二倍角的余弦公式、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】利用余弦的和角公式及二倍角公式计算即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：C 3．（2022河北）已知函数. (1)当时，函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． (2)当时，函数的最大值是（    ） A． B．1 C． D．2 (3)若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】(1)C (2)A (3)B 【知识点】由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、求余弦（型）函数的最小正周期、二倍角的余弦公式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据余弦型函数的周期求解； （2）用二倍角公式化为关于的二次函数，由此可求得最大值； （3）化为关于的二次不等式，结合，利用二次函数性质列不等式求解． 【详解】（1），，，故选：C． （2），， 时，，故选：A （3），即， 所以， 因为， 所以，解得， 故选：B. 4．（2022河北）已知函数. (1)函数的定义域是（    ） A．， B．， C．， D．， (2)当时，函数的最大值是（    ） A．0 B． C． D． (3)若恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】(1)A (2)C (3)B 【知识点】求含sinx(型)函数的定义域、辅助角公式、求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】（1）根据条件有，再利用的性质，即可求解； （2）通过换元，得到，由（1）知，再利用二次函数的性质，即可求解； （3）由（1）知，可将问题转化成在区间恒成立，令，分、和三种情况讨论，求出的最小值，即可求解. 【详解】（1）由，得到，即， 所以函数的定义域为，， 故选：A. （2）因为， 令，由（1）知，所以， 则，当时，，对称轴为， 又，所以当时，取到最大值，最大值为， 故选：C. （3）由（2）知，恒成立，即在区间恒成立， 令，对称轴， 当，即时，在区间上单调递增， 此时，得到，所以， 当，即时，，解得， 所以， 当，即时，在区间上单调递减， ，解得，所以， 综上所述，， 故选：B. 5．（2021新疆）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据两角和的正弦公式求得正确答案. 【详解】. 故选：A 6．（2023广西）的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【知识点】二倍角的正弦公式 【分析】根据二倍角的正弦公式即可. 【详解】. 故选：D. 7．（2024浙江）已知，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】D 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、由条件等式求正、余弦、二倍角的正弦公式、给值求值型问题 【分析】对两边平方，结合倍角公式运算求解. 【详解】因为，两边平方可得， 即，解得. 故选：D. 8．（2024湖南）计算（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】特殊角的三角函数值、二倍角的正弦公式 【分析】逆用二倍角的正弦公式，配凑系数计算即得. 【详解】由. 故选：B. 9．（2024北京）（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【知识点】特殊角的三角函数值、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式 【分析】按完全平方公式展开后，结合同角的三角函数关系以及二倍角正弦公式，即可求得答案. 【详解】， 故选：C 10．（2023江苏）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二倍角的余弦公式 【分析】用二倍角公式即可求解. 【详解】， 故选：B 11．（多选）（2024浙江）已知函数，则（    ） A．函数的解析式可化成 B．函数在上有2个零点 C．函数的图象关于点对称 D．函数在上的最大值为 【答案】ABD 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、三角恒等变换的化简问题 【分析】由倍角公式和辅助角公式判断A；由函数图象判断B和D；由对称中心坐标判断C. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因为，所以， 此时可得方程的解为或， 所以在上有2个零点，故B正确； 对于C，时，，， 所以点不是对称中心，故C错误； 对于D，因为，所以，， 所以最大值为，故D正确. 故答案为：ABD. 12．（多选）（2024湖北）已知函数的最大值为，则 （1）常数的值为 ； （2）取最大值时，的一个取值为 . 【答案】 1 （答案不唯一） 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、二倍角的正弦公式 【分析】根据倍角公式可得，进而结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】因为， 则，即. 当取最大值时，， 即，， 即，， 所以的一个取值为. 故答案为：1；（答案不唯一）. 13．（2024新疆）已知函数. (1)求的值； (2)设，求的单调递增区间. 【答案】(1) (2) 【知识点】二倍角的余弦公式、辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）先利用余弦的倍角公式化简，再直接代入自变量即可得解； （2）利用辅助角公式化简，再利用整体代入法，结合正弦函数的单调性即可得解. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为， 令，得， 所以的单调递增区间为. 14．（2023安徽）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边位于第一象限，且与单位圆交点的横坐标为． (1)求的值； (2)将角的终边绕原点按逆时针方向旋转，与角的终边重合，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）根据同角三角函数关系即可求出； （2），再利用两角和的正弦公式即可. 【详解】（1）由题意得，因为角的终边位于第一象限， 所以. （2）由题意得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 三角函数 考点一：任意角和弧度制 1．（2023广西）将弧度化为角度是（    ） A．45° B．60° C．75° D．90° 2．（2023新疆）若在第三象限，那么在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限 3．（2023黑龙江）把弧度化成角度是（    ） A． B． C． D． 4．（2022安徽）下列各角中与角的终边相同的是（    ） A． B． C． D． 5．（2022江苏）已知扇形的半径为1，圆心角为30°，则扇形的弧长为（    ） A．30 B． C． D． 6．（2023广东）一个扇形的弧长与面积的数值都是3，则该扇形圆心角的弧度数为（　　） A． B． C． D．2 7．（2022浙江）某圆锥的侧面积是底面积的倍，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（   ） A． B． C． D． 8．（2022贵州）已知等边三角形ABC的外接圆圆心为O，半径为6，则所对的劣弧长为（    ） A． B． C． D． 9．（2023海南）用弧度制表示为 . 10．（2023上海）一扇形的圆心角，半径cm，则该扇形的面积为 （cm2） 考点二：三角函数的概念 1．（2024湖南）已知角的顶点位于平面直角坐标系xOy的原点，始边在x轴的非负半轴上，终边上有一点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024浙江）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边过点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024湖南）已知，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 4．（2022浙江）若满足，则的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2024湖南）设角的终边与单位圆的交点坐标为，则（    ） A． B． C． D．1 6．（2024北京）若，则角可以为（    ） A． B． C． D． 7．（2022广东）若且，则是（     ）角 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（2023福建）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则值为（    ） A． B． C． D． 9．（2023浙江）已知点在角的终边上，则角的最大负值为（    ） A． B． C． D． 10．（2024云南）已知是角终边上的一点，则角的正切值是 . 考点三：同角三角函数的基本关系 1．（2022河北）已知是第三象限角，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2020山东）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023新疆）已知是第四象限的角，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（2023黑龙江）已知，且为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023云南）已知，则（    ） A． B． C． D．3 6．（2023江苏）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（2022福建）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 8．（2023新疆）已知，求下列各式的值 (1)； (2) 9．（2021河南）已知．求的值． 10．（2021黑龙江）已知，. (1)求的值； (2)求的值. 考点四：诱导公式 1．（2024北京）在下列各数中，与相等的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024福建）（    ） A． B． C．- D．- 3．（2024湖北）（    ） A． B． C． D． 4．（2023广西）若，则（    ） A． B． C． D．1 5．（2024福建）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 6．（2023北京）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024广东）已知是第四象限角，，则等于（    ） A． B．－ C． D．－ 8．（2024新疆）已知，计算 . 9．（2023新疆）已知，则 . 考点五：三角函数图象与性质 1．（2024安徽）函数的图象的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 2．（2023广西）函数，的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 3．（2023广西）下列选项中，函数，的是（    ） A．   B．   C．   D．   4．（2024浙江）已知函数，则函数在区间内零点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 5．（2024浙江）若存在，使函数的图象关于对称，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2024湖南）如图，已知函数在单调递增，且经过点，，则，的值分别是（    ）    A．1， B．1， C．3， D．3． 7．（2024湖南）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（2024浙江）已知定义域为的函数在区间上单调递增，且，若函数是奇函数，则（    ） A．4是的一个周期 B． C．函数是偶函数 D．函数在上单调递减 9．（2024天津）函数，的最小正周期是 ． 10．（2024福建）函数的最小值是 ． 考点六：图象变换 1．（2022河北）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023安徽）为得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移单位长度 D．向左平移个单位长度 3．（2023吉林）为了得到函数的图象，只需把正弦曲线上所有的点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 4．（2024天津）要得到函数，的图象，只需将函数，的图象（    ） A．所有点横坐标扩大2倍，纵坐标不变 B．所有点横坐标缩小，纵坐标不变 C．所有点纵坐标缩小，横坐标不变 D．所有点纵坐标扩大2倍，横坐标不变 5．（2024湖南株洲）要得到的图象只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 6．（2024广东）要得到的图象，需将余弦函数图象（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 7．（2023新疆）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 8．（2023云南）将函数的图象向右平移个单位，得到的图象对应的解析式是（    ） A． B． C． D． 考点七：三角函数图象与性质（综合） 1．（2022河北）已知函数为上的奇函数，则实数（    ） A． B．1 C． D．2 2．（多选）（2022福建）函数的一个周期内的图象如图所示，下列结论正确的有（    ）    A．函数的解析式是 B．函数的最大值是 C．函数的最小正周期是 D．函数的一个对称中心是 3．（2022浙江）已知，设，是函数与图象的两个公共点，记.则（    ） A．函数是周期函数，最小正周期是 B．函数在区间上单调递减 C．函数的图象是轴对称图形 D．函数的图象是中心对称图形 4．（2023海南）已知函数的图象与轴交于点，则（    ） A．的最小正周期为 B．直线是的图象的对称轴 C．当时，函数的值域为 D．在区间上有3个零点 5．（2022安徽）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．的增区间为， B．的对称轴为， C．，使得对恒成立 D．，若，则， 6．（2023新疆）已知函数（）的最小正周期为，最小值是，且图象经过点，求该函数的解析式并求其单调递增区间. 7．（2023山西）已知函数的部分图像如图示，且，．    (1)求函数的解析式； (2)若，求的最大值和最小值． 8．（2023宁夏）已知函数的最小正周期为， ． (1)求的值； (2)若是奇函数，求值. 9．（2023江西）已知函数. (1)求函数的对称轴与对称轴中心; (2)讨论函数的单调区间. 10．（2023安徽）已知函数，. (1)求出该函数的最小正周期； (2)求出该函数取最大值时自变量的取值范围. 11．（2023江苏）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若，求实数的取值范围. 12．（2023海南）已知函数，，且在上单调递增 (1)若恒成立，求的值； (2)在（1）的条件下，若当时，总有使得，求实数的取值范围 13．（2022浙江）已知函数，从下列两个问题中选择一个解答，两个都做只给第一问的分数. 问①：（1）求的最小正周期；（2）求在上的值域. 问②：（1）求的值；（2）求的单调递增区间. 考点八：三角恒等变换 1．（2022河北）（    ） A． B． C． D． 2．（2022河北）若，则（    ） A． B． C．1 D． 3．（2022河北）已知函数. (1)当时，函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． (2)当时，函数的最大值是（    ） A． B．1 C． D．2 (3)若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2022河北）已知函数. (1)函数的定义域是（    ） A．， B．， C．， D．， (2)当时，函数的最大值是（    ） A．0 B． C． D． (3)若恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2021新疆）（    ） A． B． C． D． 6．（2023广西）的值为（    ） A． B． C． D．1 7．（2024浙江）已知，则（    ） A． B．1 C． D．0 8．（2024湖南）计算（    ） A． B． C． D． 9．（2024北京）（    ） A． B．1 C． D．2 10．（2023江苏）已知，则（    ） A． B． C． D． 11．（多选）（2024浙江）已知函数，则（    ） A．函数的解析式可化成 B．函数在上有2个零点 C．函数的图象关于点对称 D．函数在上的最大值为 12．（多选）（2024湖北）已知函数的最大值为，则 （1）常数的值为 ； （2）取最大值时，的一个取值为 . 13．（2024新疆）已知函数. (1)求的值； (2)设，求的单调递增区间. 14．（2023安徽）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边位于第一象限，且与单位圆交点的横坐标为． (1)求的值； (2)将角的终边绕原点按逆时针方向旋转，与角的终边重合，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$