专题04 指数函数与对数函数-【好题汇编】备战2025年高中学业水平合格考真题分类汇编（全国通用）

专题04 指数函数与对数函数 考点一：指数 1．（2023福建）已知，，则的值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 2．（2022浙江）设，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023河北）已知，下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2023广东）下列运算错误的是（    ） A．a3+a3=2a6 B．a6÷a-3=a9 C．a3·a3=a6 D．（-2a2）3=-8a6 5．（2022湖南） . 考点二：指数函数的图象与性质 1．（2022河北）已知函数为偶函数，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（2024新疆）已知函数，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2024湖南）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 4．（2024浙江）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 5．（2023辽宁）已知函数，则函数的图象和的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 6．（2023黑龙江）函数（，且）图象过的定点是（    ） A． B． C． D． 7．（2023甘肃）已知指数函数的图象经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 8．（2024广东）函数 的值域为（ ） A． B． C． D． 9．（2023湖北）设，，，都是不等于1的正数，函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ）    A． B． C． D． 10．（2023浙江）已知函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（    ）      A．   B．       C．       D．     11．（2023浙江）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．现有一物体放在的空气中冷却，物体的温度为， 再过后物体的温度为，则该物体的初始温度约为（    ）（结果精确到个位） A． B． C． D． 12．（2023浙江）已知函数，则使得成立的的取值范围是 . 13．（2023福建）函数，. (1)求函数的定义域； (2)若为奇函数，求m的值； (3)当时，不等在恒成立，求k的取值范围. 14．（2023宁夏）已知函数的图象经过点． (1)求的解析式； (2)求函数在区间上的值域． 15．（2023浙江）已知函数，. (1)若是奇函数，求a的值并判断的单调性（单调性不需证明）； (2)对任意，总存在唯一的，使得成立，求正实数a的取值范围. 16．（2024浙江）设函数. (1)判断函数在区间和上的单调性（不需要证明过程）； (2)若函数在其定义域内为奇函数，求与的关系式； (3)在（2）的条件下，当时，不等式在恒成立，求的取值范围. 17．（2023浙江）已知定义在上的函数． (1)当时，求的值域； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (3)若函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为函数的局部对称点．若是的局部对称点，求实数的取值范围． 考点三：对数 1．（2024福建）已知函数，则（     ） A．0 B．1 C．2 D．10 2．（2024浙江）已知，则下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024北京）（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2023北京）（    ） A． B． C．0 D．1 5．（2023辽宁）若和是方程的两个根，则等于（    ） A． B． C．1 D．10 6．（2022广东）下列算式正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2023黑龙江）（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 8．（2023浙江）下列算式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（2023天津）已知，，则的值为（    ） A． B．3 C．4 D．8 10．（2023湖南）已知，那么（    ） A．2 B． C． D． 11．（2023重庆）（   ） A．70 B． C．3 12．（2024北京） ． 13．（2023安徽） ． 14．（2023宁夏） 15．（2022广东）计算： 16．（2023浙江）计算 ， . 考点四：对数函数的图象和性质 1．（2024湖北）若函数满足“对定义域内任意实数，都有”，则可以是（    ） A． B． C． D． 2．（2022河北）下列函数中，在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023广西）对数函数的图象经过点（    ） A． B． C． D． 4．（2023安徽）下列函数为减函数的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024江苏）函数（，）的图象过定点，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（2023新疆）下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 7．（2023四川）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 8．（2023江苏）已知函数且，则等于（    ） A． B． C． D． 9．（2023辽宁）已知函数与的图象关于对称，则的值域为（    ） A． B． C． D． 10．（2024湖南）若，则函数的最大值与最小值的和为 . 11．（2023江苏）已知函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)若不等式在上有解，求的取值范围. 12．（2022甘肃）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)若函数的图象过，求的单调区间． 13．（2023广东）已知函数为偶函数． (1)求的值； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 14．（2022浙江）已知函数. (1)当时，判断的单调性，并写出单调区间（不用证明）； (2)求在上的最大值（用来表示）； (3)令对于给定实数，定义，若存在实数满足对于定义域内的任意都有，求实数的取值范围. 15．（2022安徽）已知函数. (1)求函数的定义域，并判断其奇偶性； (2)若关于的方程有解，求实数的取值范围. 考点五：指数对数比较大小 1．（2022河北）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024福建）三个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（2024天津）三个数，，之间的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 4．（2024浙江）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024陕西）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023黑龙江）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 考点六：函数的零点与方程的解 1．（2022河北）关于函数，实数满足，且，有以下四个结论： ①； ②； ③若，则； ④若，则. 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024新疆）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 3．（2024湖南）函数的零点是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2024湖南）函数的零点是（    ） A．0 B．1 C．2 D． 5．（2024北京）函数的零点为（    ） A． B．0 C．1 D．2 6．（2023北京）函数的零点个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2023山西）函数（无理数的零点所在的大致区间是（    ） A． B． C． D． 8．（2023新疆）函数的零点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．不确定 9．（2023浙江）设实数a为常数，则函数存在零点的充分必要条件是（    ） A． B． C． D． 10．（2023浙江）定义在R上且图象连续不断的函数，若存在常数使得对任意实数x都成立，我们称是R上“m相伴函数”.下列关于“m相伴函数”的描述正确的是（    ） A．存在唯一的常数函数是“m相伴函数” B．是“m相伴函数” C．“2023相伴函数”至少有一个零点 D．“相伴函数”至少有一个零点 11．（多选）（2024浙江）已知函数的定义域为，则（    ） A． B． C．3是的零点 D． 12．（2023江苏）已知函数函数，则（    ） A．函数的值域为 B．存在实数，使得 C．若恒成立，则实数的取值范围为 D．若函数恰好有5个零点，则函数的5个零点之积的取值范围是 13．（2023浙江）关于x的方程，给出下列四个判断：其中正确的为（    ） A．存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根； B．存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根； C．存在实数k，使得方程恰有6个不同的实根； D．存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根； 14．（2023浙江）已知函数，若关于的方程有两解，则实数的值可能为（    ） A． B． C． D． 15．（2024北京）已知的，给出下列三个结论： ①的定义域为； ②； ③，使曲线与恰有两个交点. 其中所有正确结论的序号是 . 16．（2023江西）已知函数是定义在R上的偶函数且满足，当时，，则函数的零点个数为 . 17．（2024云南）已知常数满足，且. (1)证明：且是的一个零点； (2)若，使得，记，下列结论：，你认为哪个正确？请说明理由. 18．（2024浙江）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若有两个不相等的实根，且 ①求的取值范围； ②证明：． 19．（2023江苏）设（为实常数），与的图像关于原点对称. (1)当，若关于的方程有两个不等实根，求的范围； (2)当，求方程的实数根的个数，并加以证明. 20．（2023浙江）已知函数，（，为常数）． (1)若函数是偶函数，求实数的值； (2)若函数有个零点，求实数的取值范围； (3)记，若与在有两个互异的交点，且，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 指数函数与对数函数 考点一：指数 1．（2023福建）已知，，则的值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】D 【知识点】指数幂的运算 【分析】根据给定条件，利用指数运算法则计算作答. 【详解】因为，，所以. 故选：D 2．（2022浙江）设，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】利用分数指数幂以及指数的运算性质求解. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：A. 3．（2023河北）已知，下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数幂的运算 【分析】根据指数幂的运算法则依次计算得到答案. 【详解】对选项A：，故A错误； 对选项B：，故B错误； 对选项C：，故C错误； 对选项D：，故D正确． 故选：D 4．（2023广东）下列运算错误的是（    ） A．a3+a3=2a6 B．a6÷a-3=a9 C．a3·a3=a6 D．（-2a2）3=-8a6 【答案】A 【知识点】指数幂的运算 【分析】根据指数幂的运算规则，逐个验证选项. 【详解】，选项A的运算错误； ，选项B的运算正确； ，选项C的运算正确； ，选项D的运算正确； 运算错误的是A， 故选：A 5．（2022湖南） . 【答案】2 【知识点】指数幂的运算 【分析】根据指数幂的运算，直接计算求值即可. 【详解】解：. 故答案为：2. 考点二：指数函数的图象与性质 1．（2022河北）已知函数为偶函数，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】由奇偶性求参数、求指数型复合函数的值域 【分析】根据偶函数的性质计算可得. 【详解】因为函数为偶函数，又函数的定义域为， 所以，即， 所以对任意的恒成立， 又，所以，解得. 故选：B 2．（2024新疆）已知函数，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据指数函数单调性即可得到不等式，解出即可. 【详解】根据指数函数单调性知为单调减函数， 因为，则，解得， 则的取值范围是. 故选：D. 3．（2024湖南）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状 【分析】根据指数函数的单调性及定点即可判断. 【详解】函数单调递增，且过点，B选项满足条件. 故选：B 4．（2024浙江）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求指数型复合函数的值域 【分析】根据题意结合指数函数的值域分析求解. 【详解】由题意可得：的值域是，即，可得， 所以的值域是. 故选：C. 5．（2023辽宁）已知函数，则函数的图象和的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】B 【知识点】指数函数图像应用 【分析】在的图象上任取一点，可得点在的图象上，从而得解. 【详解】在的图象上任取一点，则， 因为， 所以点在的图象上， 则函数的图象和的图象关于轴对称． 故选：B． 6．（2023黑龙江）函数（，且）图象过的定点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】根据给定条件，利用指数函数图象性质直接判断即可. 【详解】由于指数函数（，且）图象过定点， 所以函数（，且）图象过定点. 故选：D 7．（2023甘肃）已知指数函数的图象经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 【答案】A 【知识点】指数函数的判定与求值、求指数函数解析式 【分析】根据指数函数的特征，结合经过的点即可求解. 【详解】由指数函数的图象经过点可得 ，解得， 所以， 故选：A 8．（2024广东）函数 的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求指数型复合函数的值域 【分析】根据指数函数的单调性来得到值域. 【详解】因为， 那么可知 ， 而函数在上是增函数，故有：， 所以: ，故C项正确 故选：C. 9．（2023湖北）设，，，都是不等于1的正数，函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围 【分析】先根据指数函数的单调性，确定，，，与的关系，再由时，函数值的大小判断. 【详解】因为当底数大于时，指数函数是定义域上的增函数， 当底数大于且小于时，指数函数是定义域上的减函数， 所以，大于，，大于且小于， 由图知： ，即， ，即， 所以. 故选：B 10．（2023浙江）已知函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（    ）      A．   B．       C．       D．     【答案】A 【知识点】函数图像的识别、指数函数图像应用 【分析】根据指数函数的图象与性质结合函数的图象可求得的范围，再根据二次函数的图象即可得解. 【详解】函数的图象是由函数的图象向下或向上平移个单位得到的， 由函数的图象可得函数为单调递减函数，则， 令得，则， 则函数的大致图象为A选项. 故选：A. 11．（2023浙江）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．现有一物体放在的空气中冷却，物体的温度为， 再过后物体的温度为，则该物体的初始温度约为（    ）（结果精确到个位） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数函数模型的应用（1） 【分析】由题意可得，，求解即可. 【详解】由题意可知， ， 所以，， 故选：B 12．（2023浙江）已知函数，则使得成立的的取值范围是 . 【答案】 【知识点】函数对称性的应用、根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的定义与判断、判断指数型复合函数的单调性 【分析】令，则的图象是由的图象向右平移个单位得到，分析的奇偶性与单调性，即可得到的单调性与对称性，则等价于，解得即可. 【详解】因为，则， 令，则的图象是由的图象向右平移个单位得到， 又，即为偶函数， 且当时，所以在上单调递增，则在上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减，且关于对称， 所以时，有，解得. 故答案为： 13．（2023福建）函数，. (1)求函数的定义域； (2)若为奇函数，求m的值； (3)当时，不等在恒成立，求k的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】基本不等式求和的最小值、由奇偶性求参数、具体函数的定义域、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由具体函数的定义域可得，求解即可； （2）由化简即可得出答案； （3）由题意可得在恒成立，令，由基本不等式求出即可得出答案. 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以的定义域为. （2）若为奇函数，所以， ，所以， 所以，所以. （3）当时，, 所以不等式在恒成立，即， 即，令， ， 因为，所以， 所以， 当且仅当取等， 所以. 故k的取值范围为. 14．（2023宁夏）已知函数的图象经过点． (1)求的解析式； (2)求函数在区间上的值域． 【答案】(1) (2) 【知识点】求指数型复合函数的值域、求解析式中的参数值 【分析】（1）将点的坐标代入函数中可求出的值，从而可求出函数解析式； （2）由在上是增函数，求出函数的最大值和最小值，从而可求出函数的值域. 【详解】（1）因为函数图象过点（2，5）， 所以， 所以，解得， 因为，所以， 所以， （2）因为在上为增函数， 所以在上是增函数， 所以， ， 所以函数的值域为． 15．（2023浙江）已知函数，. (1)若是奇函数，求a的值并判断的单调性（单调性不需证明）； (2)对任意，总存在唯一的，使得成立，求正实数a的取值范围. 【答案】(1)，在上单调递增 (2) 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间、求已知指数型函数的最值、由奇偶性求参数、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】（1）函数为奇函数，举特例求出的值，再证明函数为奇函数，根据的正负，可观察出 在上单调性. （2）由题意可知，而，分，， 讨论求解. 【详解】（1）∵为奇函数， 则，解得. 此时， 又，又的定义域为， 此时为奇函数 所以若为奇函数，， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增， 又为定义在上的连续函数， 故在上单调递增. （2）当时，，∴ . ①当时，在上单调递增，∴，，∴. ②当时，在上单调递减，在上单调递增. ∴，，∴. ③当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. ∴，，不成立. 综上可知，. 【点睛】关键点点睛：本题中对任意，总存在唯一的，使得成立的理解及合理转化是解题的关键所在，先处理任意，求出函数的值域，为，则总存在唯一的，使得成立转化为值域包含且在时函数单调，据此可分类讨论，列出不等式求解. 16．（2024浙江）设函数. (1)判断函数在区间和上的单调性（不需要证明过程）； (2)若函数在其定义域内为奇函数，求与的关系式； (3)在（2）的条件下，当时，不等式在恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【知识点】基本（均值）不等式的应用、函数不等式恒成立问题、判断指数型复合函数的单调性、由奇偶性求参数 【分析】（1）根据复合函数单调性即可判断出结论； （2）利用奇函数定义可求得，经验证满足题意； （3）将不等式转化成在恒成立，再利用基本不等式即可得出. 【详解】（1）由指数函数单调性可知单调递增， 对分类讨论如下： ①当时，为常函数； ②当时，在区间上单调递减，在区间上单调递减 ③当时，在区间上单调递增，在区间上单调递增 （2）易知函数的定义域为， 是奇函数，， 即， 所以， 经验证时，满足， 所以与的关系式为. （3）由已知得， 整理可得：在恒成立， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以. 17．（2023浙江）已知定义在上的函数． (1)当时，求的值域； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (3)若函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为函数的局部对称点．若是的局部对称点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求指数型复合函数的值域、由指数（型）的单调性求参数、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）利用二次函数的性质求得的值域. （2）利用换元法，对进行分类讨论，结合二次函数的性质求得的取值范围. （3）由分离参数，利用换元法，结合二次函数的性质求得的取值范围. 【详解】（1）当时，， 由于，所以，当时等号成立， 所以的值域为. （2）依题意，函数在上单调递增， ， 当时，令，则①， 当时，，在上单调递减， 即在上单调递减，不符合题意. 当时，①的对称轴， 要使在上单调递增，则在上单调递增， 所以，解得. 当时，①的对称轴， 函数的开口向下，在区间上单调递减，不符合题意. 综上所述，的取值范围是. （3）根据局部对称函数的定义可知，， 即， ， ， ，令， 当且仅当时等号成立， 则 ， 所以， 则， 函数在区间上单调递增，所以， 所以， 所以的取值范围是. 【点睛】关键点睛：形如二次函数、指数函数结合的问题，无论是单调性还是值域（最值），都可以考虑利用换元法，再结合二次函数的性质来进行求解.研究含参数的二次函数的性质，关键点是对参数进行分类讨论，结合二次函数的开口方向、单调性、值域等知识可将问题解决. 考点三：对数 1．（2024福建）已知函数，则（     ） A．0 B．1 C．2 D．10 【答案】B 【知识点】求函数值、对数的运算 【分析】根据特殊对数值，代入即可求解. 【详解】. 故选：B 2．（2024浙江）已知，则下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用换底公式化简计算、对数的运算性质的应用、指数幂的运算 【分析】由公式可得A、 B；换底公式可得C；可得D. 【详解】，故A错；，故B错； ，故C对；，故D错. 故选：C. 3．（2024北京）（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】直接利用对数的运算性质计算即可. 【详解】. 故选：B. 4．（2023北京）（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【知识点】对数的运算性质的应用、指数幂的化简、求值 【分析】根据指数幂的性质及对数的运算求解. 【详解】. 故选：B 5．（2023辽宁）若和是方程的两个根，则等于（    ） A． B． C．1 D．10 【答案】D 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】根据韦达定理，结合对数运算计算即得. 【详解】由和是方程的两个根，得，即， 所以． 故选：D 6．（2022广东）下列算式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】 根据对数的运算性质逐一判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 7．（2023黑龙江）（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】A 【知识点】对数的概念判断与求值、对数的运算性质的应用 【分析】根据对数的运算法则运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：A. 8．（2023浙江）下列算式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】指数幂的运算、对数的运算 【分析】利用指数幂运算法则与对数运算法则求解即可. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，因为，所以，故D错误. 故选：C. 9．（2023天津）已知，，则的值为（    ） A． B．3 C．4 D．8 【答案】B 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】先求得x的值，再利用对数运算性质即可求得的值. 【详解】由，可得， 则 故选：B 10．（2023湖南）已知，那么（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算 【分析】根据对数运算的知识求得，进而求得. 【详解】依题意，， 所以，所以， 所以. 故选：C 11．（2023重庆）（   ） A．70 B． C．3 【答案】C 【知识点】对数的运算 【分析】根据对数运算公式求解. 【详解】. 故选：C 12．（2024北京） ． 【答案】2 【知识点】对数的运算 【分析】由同底数的对数计算公式化简，即可得出结果. 【详解】. 故答案为：2. 13．（2023安徽） ． 【答案】0 【知识点】对数的运算性质的应用、对数的运算 【分析】根据对数的运算性质即可求解. 【详解】, 故答案为：0 14．（2023宁夏） 【答案】8 【知识点】对数的运算 【分析】由指数、对数的运算公式即可求得. 【详解】由指数、对数的运算性质可得. 故答案为：8 15．（2022广东）计算： 【答案】2 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】根据对数运算性质即可求解. 【详解】. 故答案为：2 16．（2023浙江）计算 ， . 【答案】 【知识点】指数幂的运算、对数的运算 【分析】根据指数幂的运算法则及对数的运算法则计算可得. 【详解】， . 故答案为：； 考点四：对数函数的图象和性质 1．（2024湖北）若函数满足“对定义域内任意实数，都有”，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对数的运算、求函数值、比较函数值的大小关系 【分析】根据解析式代入检验判断A，取特殊值检验判断BC，根据解析式及基本不等式可判断D. 【详解】对A，，，所以满足条件，故A正确； 对B，取，，不满足条件，故B错误； 对C，取，，不满足条件，故C错误； 对D，，，， 由知当时，，故，故D错误. 故选：A 2．（2022河北）下列函数中，在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对数型复合函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性、判断指数函数的单调性 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性即可． 【详解】对于A，函数在定义域内单调递增，函数在区间上单调递减， 所以函数在区间上为减函数，A选项错误； 对于B，由反比例函数的性质可知，在区间上为增函数，B选项正确； 对于C，由二次函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，C选项错误； 对于D，由指数函数性质可知，在区间上为减函数，D选项错误. 故选：B 3．（2023广西）对数函数的图象经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【分析】令即可. 【详解】令，解得， 则其过点. 故选：A. 4．（2023安徽）下列函数为减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、判断指数函数的单调性、研究对数函数的单调性 【分析】根据基本函数的单调性即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，，由于，所以不是减函数， 对于B，为上的单调递增函数， 对于C，为上的单调递增函数， 对于D, 为单调递减函数， 故选：D 5．（2024江苏）函数（，）的图象过定点，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【分析】由对数函数的性质求函数所过的定点坐标. 【详解】令，则，此时，故定点的坐标为. 故选：C 6．（2023新疆）下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、对数型复合函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】A：根据奇偶性作出判断；B：根据单调性作出判断；C：根据奇偶性作出判断；D：根据奇偶性和单调性作出判断. 【详解】对于A：为非奇非偶函数，故A错误； 对于B：由幂函数性质可知在上单调递增，故B错误； 对于C：的定义域为且关于原点对称， 又，所以是偶函数，故C错误； 对于D：因为，所以，所以的定义域为且关于原点对称， 又，所以为奇函数， 又因为， 且在上单调递增，所以在上单调递减， 由复合函数的单调性可知在上单调递减，故D正确； 故选：D. 7．（2023四川）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数图像的识别、判断对数型函数的图象形状 【分析】根据函数定义域及函数值的正负判断即可. 【详解】因为的定义域为，故BD错误； 又，故C错误；故A正确. 故选：A 8．（2023江苏）已知函数且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】根据分段函数解析式，先求得，再求得. 【详解】依题意，或，解得， 所以. 故选：B 9．（2023辽宁）已知函数与的图象关于对称，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求对数型复合函数的值域、求二次函数的值域或最值、求反函数 【分析】根据对称性可知，利用二次函数及对数函数单调性即可求得值域为. 【详解】因为与的图象关于对称，所以与互为反函数， 即可得． 因为，所以， 因为，所以在上单调递减， 即可得，即的值域为． 故选：D． 10．（2024湖南）若，则函数的最大值与最小值的和为 . 【答案】 【知识点】研究对数函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域 【分析】根据对数函数的单调性求最值即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，， 所以 故答案为： 11．（2023江苏）已知函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)若不等式在上有解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求对数型复合函数的值域、对数函数最值与不等式的综合问题 【分析】（1）换元令，结合二次函数的性质求值域； （2）换元令，整理可得在上有解，根据存在性问题分析求解. 【详解】（1）因为， 由对数函数单调性可知，当时，， 令，，即可得，， 可知的开口向上，对称轴为， 由二次函数性质可知当时，，当时，， 所以可得当时，函数的值域为. （2）当时，可得，令，， 可得，即在上有解， 整理可得在上有解， 因为函数在上单调递增，当时， 所以的取值范围是. 12．（2022甘肃）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)若函数的图象过，求的单调区间． 【答案】(1) (2)增区间为，减区间为. 【知识点】具体函数的定义域、对数型复合函数的单调性 【分析】（1）根据解析式有意义解不等式可得； （2）根据图象过点求a，然后由复合函数单调性求解即可. 【详解】（1）由题可知，即， 解得，所以函数的定义域. （2）由函数的图像过，有，解得， 令，则， 因为为增函数，在上单调递增，在上单调递减， 所以，由复合函数单调性可知，函数在的增区间为，减区间为. 13．（2023广东）已知函数为偶函数． (1)求的值； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】基本不等式的恒成立问题、由奇偶性求参数、对数函数最值与不等式的综合问题 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义化简可得实数的值； （2）由基本不等式结合对数函数的单调性可求得函数在上的单调性，由此可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为函数为偶函数，则， 即， 所以， ， . （2）解：， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故. 14．（2022浙江）已知函数. (1)当时，判断的单调性，并写出单调区间（不用证明）； (2)求在上的最大值（用来表示）； (3)令对于给定实数，定义，若存在实数满足对于定义域内的任意都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2) (3) 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、分段函数的值域或最值、求函数的单调区间、复合函数的单调性 【分析】（1）去绝对值，根据分段函数的特征可确定单调性. （2）讨论的范围，确定的单调性，进而可求最值. （3）根据的定义，可知有上界，根据第二问对的单调性的讨论，可得的单调性，进而可得的范围. 【详解】（1）由可得： 当单调递减，当单调递增，的单调递增区间是，递减区间是. （2） 当时，在单调递减，在单调递增，此时 当时，，此时， 当时，在单调递减，在单调递增，在上单调递减，在上单调递增 当即时， 当即时， 综上 （3）由可知，表示取和两者中的较小者，又对于定义域内的任意都有，可知有上界， 因为，所以单调性与的单调性相反，结合第二问知，只有当时，在单调递增，在单调递减，有最大值为，故 15．（2022安徽）已知函数. (1)求函数的定义域，并判断其奇偶性； (2)若关于的方程有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)函数的定义域为，函数为奇函数 (2) 【知识点】求对数型复合函数的定义域、函数奇偶性的定义与判断、对数型复合函数的单调性、函数与方程的综合应用 【分析】（1）由对数函数性质求定义域，根据奇偶性定义判断奇偶性； （2）利用奇偶性、单调性化简方程，然后方程有解转化为求函数值域，从而得参数范围． 【详解】（1） 为奇函数. （2）由（1）可知：有解 有解 又， 且在上单调递减 有解 设，则 有解 当时， . 考点五：指数对数比较大小 1．（2022河北）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较对数式的大小、运用换底公式化简计算 【分析】利用对数的运算法则及对数函数的性质计算即可. 【详解】易知， 而，所以， 即. 故选：A 2．（2024福建）三个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可. 【详解】因为在定义域上单调递增，所以， 又， 所以. 故选：A 3．（2024天津）三个数，，之间的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】根据指数和对数的性质，确定范围即可. 【详解】因为，所以， ， ， 则， 故选：C. 4．（2024浙江）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较指数幂的大小、由基本不等式比较大小、比较对数式的大小 【分析】化简可得，结合对数函数性质证明，结合基本不等式及对数性质证明，结合函数为上的增函数，证明，由此可得结论. 【详解】， 因为，所以，又， 所以，因为函数为上的增函数， 所以，即， 因为， 所以， 因为函数为上的增函数， 所以， 所以， 故选：D. 5．（2024陕西）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性确定幂值和对数值的范围即得. 【详解】因，即， 又，即， 而，即， 故. 故选：A. 6．（2023黑龙江）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】根据指数函数、对数函数单调性分析判断. 【详解】因为，可知在内均为增函数， 且，可得，，故A错误，C正确； 又因为，可知在内均为减函数， 且，可得，，故BD错误； 故选：C. 考点六：函数的零点与方程的解 1．（2022河北）关于函数，实数满足，且，有以下四个结论： ①； ②； ③若，则； ④若，则. 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、指数函数图像应用 【分析】首先将函数写成分段函数，画出函数图象，数形结合即可判断①；结合及基本不等式判断②；再结合的范围确定、的范围，即可判断③④. 【详解】因为， 当时，则，当时，则， 所以的图象如下所示： 因为实数满足，且，即与有两个交点，由图可知，故①正确； 因为，所以，所以， 所以，所以，即， 所以，所以，所以，故②正确； 当时，则，即， 又，所以， 所以，即， 又，所以，所以，则， 又， 所以， 所以，即，故③错误； 当时，则，即，所以， 又，所以，所以， 所以， 又因为，所以， 所以，故④错误； 综上所述，正确的结论有个. 故选：B 2．（2024新疆）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断零点所在的区间 【分析】根据对数函数单调性和零点存在性定理即可. 【详解】根据对数函数单调性知为上的单调递增函数， 又因为，，且函数图象连续不间断， 则根据零点存在性质定理知的零点所在的区间是. 故选：C. 3．（2024湖南）函数的零点是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】求函数的零点 【分析】根据零点定义计算即可. 【详解】令，解得，则其零点为2. 故选：C. 4．（2024湖南）函数的零点是（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【知识点】求函数的零点 【分析】令，求解方程即得. 【详解】由，设，则得， 解得，从而，所以. 故选：C. 5．（2024北京）函数的零点为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【知识点】求函数的零点 【分析】解方程求得方程的根，即可得相应函数的零点. 【详解】令，则， 即函数的零点为0， 故选：B 6．（2023北京）函数的零点个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】判断指数函数的单调性、求函数零点或方程根的个数 【分析】由函数的单调性结合即可判断零点个数. 【详解】函数是R上的单调递增函数，且， 所以函数只有一个零点， 故选：A. 7．（2023山西）函数（无理数的零点所在的大致区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断零点所在的区间 【分析】确定函数的单调性，计算得到答案. 【详解】当时，，在上单调递增， ，则函数的零点所在的大致区间为. 故选：B 8．（2023新疆）函数的零点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．不确定 【答案】C 【知识点】求函数零点或方程根的个数 【分析】根据二次函数与二次方程间的关系，利用判别式即可判断函数的零点个数. 【详解】函数的零点个数等价于根的个数， 因为，即有2个根， 所以函数有2个零点. 故选：C 9．（2023浙江）设实数a为常数，则函数存在零点的充分必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程根的分布问题、根据零点求函数解析式中的参数 【分析】利用二次函数与二次方程之前的关系，以及根的分布列出关于的不等式，解之即可得解. 【详解】因为函数存在零点，等价于方程在上存在零点， 注意到的图像开口向上，对称轴为，且， 故上述条件等价于，即，解得. 所以函数存在零点的充分必要条件是. 故选：A. 10．（2023浙江）定义在R上且图象连续不断的函数，若存在常数使得对任意实数x都成立，我们称是R上“m相伴函数”.下列关于“m相伴函数”的描述正确的是（    ） A．存在唯一的常数函数是“m相伴函数” B．是“m相伴函数” C．“2023相伴函数”至少有一个零点 D．“相伴函数”至少有一个零点 【答案】C 【知识点】函数新定义、零点存在性定理的应用 【分析】对于A举反例即可判断，对于B根据定义得到关于的方程组，解出即可判断；对于C，利用赋值法结合零点存在定理即可判断，对于D代入分析即可. 【详解】对于A，令，，则， 所以，解得，，函数有无数个，故A错误； 对于B，对恒成立， 化简得对恒成立， 则无解，则不是“m相伴函数”，故B错误； 对于C，， 令，， 当时，有实根0， 当时，， 因为函数在上的图象连续不断，则函数在上必有实根， 所以“2023相伴函数”至少有一个零点，故C正确； 对于D，， 当，， 若，， 不能判定此区间内是否有根，由于的任意性，则不能确定在上有无零点，故D错误； 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题的关键是理解“m相伴函数”的定义，通过举反例、列方程组、零点存在定理以及赋值法即可判断. 11．（多选）（2024浙江）已知函数的定义域为，则（    ） A． B． C．3是的零点 D． 【答案】AB 【知识点】求函数值、求对数型复合函数的定义域、求函数的零点、比较函数值的大小关系 【分析】A选项，解不等式，求出定义域，得到；B选项，代入求值；C选项，令，求出零点；D选项，举出反例. 【详解】A选项，，解得， 故的定义域为， 故，解得，A正确； B选项，，，B正确； C选项，令，即，解得， 故是的零点，C错误； D选项，当时，，故D错误. 故选：AB 12．（2023江苏）已知函数函数，则（    ） A．函数的值域为 B．存在实数，使得 C．若恒成立，则实数的取值范围为 D．若函数恰好有5个零点，则函数的5个零点之积的取值范围是 【答案】BCD 【知识点】函数不等式恒成立问题、分段函数的值域或最值、根据零点求函数解析式中的参数 【分析】根据分段函数的图象性质逐项判断即可. 【详解】对于A选项，画出函数的大致图象，如图所示， 可知函数的值域为，其中，故选项A错误； 对于B选项，若时，若，有，函数和的图象有交点，如图： 故选项B正确； 对于C选项，令，由，设， ①当时，，舍去； ②当时，，，可得，故选项C正确； 对于D选项，∵函数恰好有5个不同的零点，∴方程有5个根，可得，有或，不妨设，如图： 可知，可得，故，故选项D正确. 故选：BCD． 【点睛】关键点睛：本题D选项的关键是作出图象，找到各零点之间的关系，从而减少变量，求出范围. 13．（2023浙江）关于x的方程，给出下列四个判断：其中正确的为（    ） A．存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根； B．存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根； C．存在实数k，使得方程恰有6个不同的实根； D．存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根； 【答案】ABC 【知识点】求函数零点或方程根的个数、函数图象的应用 【分析】令，作出的函数图象，根据函数图象即可判断的解的个数，再结合方程的解的个数从而得出原方程的解的个数，分类讨论即可判断. 【详解】由得①，设，则， 设作出的函数图象如图所示：    由图象可知：当或时，关于t的方程只有1解，不妨设为，显然或， 而关于x的方程有两解，故方程①有2个解; 当或时，关于t的方程有两解，不妨设为，，显然， 而关于x的方程有两解，故方程①有4个解; 当时，关于t的方程有三解，且其中一解为，不妨设三个解为，，，且， 而关于x的方程只有1解，关于x的方程有两解，故方程①有5个解; 当时，当关于t的方程有三解，不妨设为，，，显然， 而关于x的方程有两解，故方程①有6个解. 综上所述，存在实数k，满足选项ABC 故选：ABC 【点睛】求解方程根的个数有关问题常见方法：1.代数法，利用根的分布列不等式组求解；2数形结合，转化为图像交点个数问题. 14．（2023浙江）已知函数，若关于的方程有两解，则实数的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据题意分析可得方程的根的个数可以转化为与的交点个数，结合的单调性与值域以及图象分析判断. 【详解】①当时，在内单调递增，且，所以； ②当时，则， 可知在内单调递增，且， 所以，且. 方程的根的个数可以转化为与的交点个数，可得： 当时，与没有交点； 当时，与有且仅有1个交点； 当时，与有且仅有2个交点； 当时，与有且仅有1个交点； 若关于的方程有两解，即与有且仅有2个交点， 所以实数的取值范围为， 因为，而A、C不在相关区间内， 所以A、C错误，B、D正确. 故选：BD.    15．（2024北京）已知的，给出下列三个结论： ①的定义域为； ②； ③，使曲线与恰有两个交点. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①② 【知识点】函数图象的应用、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、具体函数的定义域 【分析】①直接观察函数可得答案；②通过求出的最值即可；③将问题转化为与的交点个数即可. 【详解】对于①：由恒成立得的定义域为，①正确； 对于②：，②正确； 对于③：令，变形得， 作出函数的图象如下图： 根据图象可得在上单调递增， 故与只有一个交点，即不存在，使曲线与恰有两个交点，③错误. 故答案为：①②. 16．（2023江西）已知函数是定义在R上的偶函数且满足，当时，，则函数的零点个数为 . 【答案】4 【知识点】求函数零点或方程根的个数、函数图象的应用、函数奇偶性的定义与判断 【分析】由已知可得函数的周期为2，由可得，所以函数的零点个数转化为函数的图像与的图像交点个数，画出两函数图像可得答案 【详解】因为函数是定义在R上的偶函数且满足， 所以，所以， 所以函数的周期为2. 由可得，所以函数的零点个数转化为函数的图像与的图像交点个数， 对于的定义域为， 因为， 所以为偶函数， 所以画出和在轴右侧的图像如图所示，有2个交点， 又和都是偶函数，所以轴左边也有2个交点， 综上所述，的图像与的图像交点个数为4， 即的零点个数为4. 故答案为：4. 17．（2024云南）已知常数满足，且. (1)证明：且是的一个零点； (2)若，使得，记，下列结论：，你认为哪个正确？请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【知识点】二次函数的图象分析与判断、求函数的零点、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】（1）先应用不等式性质证明，再根据零点定义证明即可； （2）先根据求出范围，再根据函数单调性求函数值范围，最后分类讨论判断式子正负即可. 【详解】（1）因为，所以，即， 因为，所以是的一个零点. （2）， 因为，可得， 所以所以， 又因为，所以，所以，所以， 所以. 因为，所以，所以， 所以，而在上单调递增，所以， 所以， 因为，所以可得： 当时， 当时， 当时. 【点睛】方法点睛：先根据已知判断参数范围，再根据函数单调性求函数值范围，最后分类讨论判断式子正负即可. 18．（2024浙江）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若有两个不相等的实根，且 ①求的取值范围； ②证明：． 【答案】(1) (2)① ；②证明见解析 【知识点】指数函数最值与不等式的综合问题、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）得到不等式，结合函数单调性得到不等式，求出答案； （2）①变形得到，即与有两个不同的交点，根据的单调性和图象，数形结合得到答案 ②根据①得到，，且满足，即，计算出， 又，代入后求出. 【详解】（1）由可得，所以， 即，解得． （2）①因为有两个不相等的实根，即有两个不相等的实根， ， 即，设，即与有两个不同的交点， 其中当时，单调递减， 当时，单调递增， 其中，当时，， 结合图像可知； ②由①可知，所以，， 且满足，，即． ， ， 又， 所以 ， 因为，所以，， 故． 【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 19．（2023江苏）设（为实常数），与的图像关于原点对称. (1)当，若关于的方程有两个不等实根，求的范围； (2)当，求方程的实数根的个数，并加以证明. 【答案】(1) (2)有且仅有一个实数根，证明见解析 【知识点】求函数零点或方程根的个数、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）根据对称求的解析式，把关于x的方程有两个不等实根，转化成一元二次方程根的分布去解决即可； （2）先构建一个新函数，再去判定函数的零点情况即可解决. 【详解】（1）设点为图象上任意一点，关于原点的对称点为， 由题意可知在上，则有，，故 时， 由可得，，即 令，则有两个不等正根 则有，，解得，. （2）令， 由，可知， 则时，与均单调递增，故在上单调递增， 又时，， ， 故在上有唯一零点； 又当时，恒成立，即在上无零点. 综上可知，方程有且仅有一个实数根. 20．（2023浙江）已知函数，（，为常数）． (1)若函数是偶函数，求实数的值； (2)若函数有个零点，求实数的取值范围； (3)记，若与在有两个互异的交点，且，求证：． 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【知识点】函数不等式恒成立问题、由奇偶性求参数、根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用 【分析】（1）利用偶函数的性质求得，再进行检验即可； （2）分类讨论，或时，的大致图像，结合图像即可得解； （3）分类讨论与时，的大致图像，从而得到，，，从而利用分析法将问题一路转化为证，由此得解. 【详解】（1）因为是偶函数， 所以，则，解得， 当时，，其定义域为， 又， 所以是偶函数，故. （2）因为， 当，即时，， 此时开口向下，对称轴为，且， 当，即或时，， 所以当时，在，上单调递增，且，， 则的图像如下：    显然，当，即时，有个零点； 当时，在，上单调递减，且，， 则的图像如下：    显然，当，即时，有个零点； 当时，为偶函数，其零点个数必为偶数，不满足题意； 综上：或. （3）因为， 所以当时，，则，易知在上单调递减， 当时，，则，易知在上单调递增， 因为与在有两个互异的交点， 所以与在与各有且只有一个交点， 又，所以，且，， 则，，故，即，则， 要证，即证，即证， 只需证，即证， 即证，即证， 因为，所以，则， 所以显然成立，证毕. 【点睛】关键点睛：本题第3小问解决的关键是熟练掌握基本初等函数的大致图像，结合图像得到，，从而利用分析法将问题转化为单变量不等式，由此得解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$