专题02 一元二次函数、方程和不等式-【好题汇编】备战2025年高中学业水平合格考真题分类汇编（全国通用）

专题02 一元二次函数、方程和不等式 考点一：等式性质与不等式性质 1．（2022河北）若实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】对于ABC，令，举反例即可；对于D，直接由不等式的传递性即可得证. 【详解】对于ABC，令，显然满足，同时，，，故ABC错误； 对于D，若，则，故D正确. 故选：D. 2．（2024安徽）若，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】取特殊值作反例，可判断A、B、C项；根据不等式的性质可判断D项. 【详解】对于A，取，，则，，显然，但是，A项错误； 对于B，取，，，满足，， ，，但，B项错误； 对于C，取，，但，故C项错误； 对于D，若，，则，故D正确. 故选：D. 3．（2023广西）若实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】利用已知条件，根据不等式的性质可得答案. 【详解】因为，所以，故A正确，B错误； 因为，所以，故C错误； 因为，所以，故D错误. 故选：A. 4．（2024云南）已知都是实数.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【分析】由不等式的性质依次判断即可． 【详解】对于A项，，由于，得，但的正负无法判断，故A项错误； 对于B项，当时，得，故B项错误； 对于C项，，由于，得，但的正负无法判断，故C项错误； 对于D项，由于，得，故D项正确， 故选：D 5．（2024新疆）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】举反例排除ABD，利用不等式的性质判断C，从而得解. 【详解】对于A，若，取，则，故A错误； 对于B，若，取，则，故B错误； 对于C，若，则由不等式的性质可知，故C正确. 对于D，若，取，此时无意义，故D错误. 故选：C. 6．（2024浙江杭州）若，，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】先给出作为A，C，D的反例，再直接证明B正确. 【详解】当时，有，，但，，，故A，C，D错误； 由于 ，当且仅当时等号成立，故B正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用不等式的性质证明不等式. 7．（2024浙江）下列不等式中成立的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 【答案】B 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小 【分析】利用作差法可求得A错误，B正确，D错误，取特殊值可证明C错误，可得结论. 【详解】对于A，易知， 又，所以，，所以，即，A错误； 对于B，， 又，可得，所以，即，可得B正确； 对于C，当时，不成立，即C错误； 对于D，易知，又，所以，即， 可得，因此D错误. 故选：B 8．（2024福建）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】利用特殊值判断A、B、C，根据不等式的性质判断D. 【详解】对于A，当，时，满足，但是，故A错误； 对于B，当，时，满足，但是，故B错误； 对于C，当，时，满足，但是，故C错误； 对于D，因为，所以，即，故D正确. 故选：D 9．（2024北京）已知，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】先通过条件求出的范围，再消去求范围即可. 【详解】由得， 所以，得， 所以. 故选：C. 10．（2024湖南）若，则下列各式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式的性质以及反例即可求解. 【详解】对于A，因为，不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变， 所以，故A正确； 对于B，因为，不等式两边同时乘（或除以）同一个小于的整式，不等号方向改变， 所以，故B错误； 对于C，因为，不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变， 所以，故C错误； 对于D，若，，此时，故D错误. 故选：A. 11．（2024江苏）已知，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】ACD可举出反例；B选项，可利用不等式的性质得到. 【详解】A选项，若，则，A错误； B选项，由不等式的性质可得，B正确； C选项，若，满足，但，C错误； D选项，若，满足，但，D错误. 故选：B 12．（2023辽宁）如果，那么下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】利用不等式的性质可判断B；通过特值法可判断ACD. 【详解】取，则，此时，故A错误； 如果，由不等式的性质可得，故B正确； 当时，，故C错误； 取，得，此时，故D错误． 故选：B． 13．（2023江苏）若，则以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较对数式的大小、作差法比较代数式的大小、由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】举反例可判断选项A；利用不等式的性质可判断选项B；利用对数函数的单调性可判断选项C；作差法可判断选项D. 【详解】对于选项A：当时，若， 则，与矛盾，故选项A错误； 对于选项B：因为 所以由不等式性质可得，故选项B成立； 对于选项C：因为，函数在上单调递增 所以，故选项C成立； 对于选项D：因为，， 所以，故选项D成立. 故选：A 14．（2023新疆）若，则下列不等式①；②；③；④中，正确的不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】基本（均值）不等式的应用、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】将转化为，利用不等式性质和基本不等式判断即可. 【详解】因为，即， 所以，，（因为，所以等号取不到）， 即①④正确，②③错误， 故选：B 15．（2023黑龙江）若，则下列各式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式的性质以及举反例逐项分析判断. 【详解】因为，则，，， 故A正确，BC错误； 对于D：例如，满足，但无意义，故D错误. 故选：A. 16．（2022甘肃）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式的性质推导可判断AB；取特值验证可判断CD. 【详解】因为，所以，A错误； 因为，且，所以，B正确； 当时，，C错误； 取，则，故D错误. 故选：B 17．（多选）（2023山西）设，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【知识点】判断命题的真假、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】举反例得到AC错误，根据不等式性质知BD正确，得到答案. 【详解】对选项A：取，则，错误； 对选项B：据不等式性质知正确； 对选项C：取，则，错误； 对选项D：，则，正确； 故选：BD. 18．（2024北京）已知，且，则 （填“>”或“<”）. 【答案】< 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据不等式的基本性质即可求解. 【详解】由题意知，，则， 所以，即. 故答案为：< 考点二：基本不等式 1．（2022河北）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据重要的不等式直接计算即可求解. 【详解】由题意知，， 得，当且仅当时等号成立， 即的最大值为3. 故选：C 2．（2022河北）已知正数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】条件等式求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】根据条件，利用基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为，所以，当且仅当时取等号， 故选：C. 3．（2024安徽）已知，且，则（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】A 【知识点】条件等式求最值、基本不等式求积的最大值 【分析】由基本不等式求解即可． 【详解】因为，且， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为1， 而，且，故无最小值. 故选：A 4．（2024湖南）已知，，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据“1”的变形技巧，利用均值不等式求最值即可得解. 【详解】因为，， 所以，即， 所以 ，当且仅当，即时等号成立， 故. 故选：C 5．（2024湖南）已知，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】利用基本不等式直接求出最大值. 【详解】当时，，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为3. 故选：D 6．（2024江苏）若，则函数的最小值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】D 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式分析求解. 【详解】因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为15. 故选：D. 7．（2024广东）若，则有（    ） A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值 【答案】A 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式求出最值. 【详解】因为，由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，所以当时，则有最小值6. 故选：A. 8．（2023江西）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、基本不等式求和的最小值 【分析】举反例判断A，利用基本不等式判断BC，利用函数单调性判断D. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，， 当且仅当，即时取等号，又，等号取不到，故B错误； 对于C，，当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于D，因为和在和单调递增， 所以在和单调递增，无最小值，故D错误. 故选：C 9．（2023新疆）设，若，则的最小值等于（    ） A．1 B．3 C．2 D．4 【答案】D 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 10．（2023新疆）设，，则以下不等式中不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小、由基本不等式证明不等关系、绝对值的三角不等式应用 【分析】利用基本不等式判断A；特殊值验证判断B；作差法判断C；利用绝对值性质去绝对值判断D. 【详解】对于A，因为，，所以， 当且仅当时取等号，所以恒成立，故A错误； 对于B，当时，，，此时，所以不恒成立，故B正确； 对于C，，因为， 所以，即，所以恒成立，故C错误； 对于D，因为，，所以，，此时， 所以恒成立，故D错误， 故选：B. 11．（2022广东）已知，且，，则的最小值是（     ） A．24 B．25 C．26 D．27 【答案】B 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据基本不等式“1”的妙用即可求解. 【详解】， 当且仅当时等号成立，又，解得. 故选：B. 12．（2023广东）若，则的最小值（　　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由基本不等式，当且仅当时等号成立 【详解】，当且仅当时取等号. 故选：C 13．（2024广东）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立问题 【分析】根据恒成立问题结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，当且仅当，即时，等号成立， 即的最小值为18，可得， 所以实数m的取值范围为. 故选：B. 14．（2023广东）已知且，则的最小值为（    ） A． B．4 C．6 D．12 【答案】D 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为且，可得，当且仅当时，等号成立. 故选：D. 15．（2024安徽）某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率和降低生产成本．已知购买台设备的总成本为（单位：万元）．若要使每台设备的平均成本最低，则应购买设备 台． 【答案】400 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】由的表达式得到每台设备的平均成本，由均值不等式等号成立条件得到答案. 【详解】每台设备的平均成本， 当且仅当，时，等号成立， 故答案为：400. 【点睛】方法点睛：均值不等式常用结论 1、如果，，则，当且仅当时取等号； 推论：； 2、如果，那么，当且仅当时取等号； 推论：； 3、 16．（2024浙江）已知正数a，b，c满足，，则的最小值为 . 【答案】2 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、条件等式求最值 【分析】使用不等式将放缩，使用“1”的代换及基本不等式求得目标最小值. 【详解】由题意知，当时取等号， 故 ，当时取等号， 综上，当时，的最小值为2. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：本题求最小值关键是第一步用放缩法将放掉，第二步是将中的2代换为，将整式处理为，再用“1”的代换求最小值. 17．（2024天津）已知，的最小值为 ． 【答案】12 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用不等式即可求解. 【详解】, 当且仅当,即或时,等号成立, 故的最小值为12. 故答案为：12. 18．（2024浙江）已知正实数，满足，则的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】条件等式求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】依题意可得，令，，即可得到且，，目标式子，利用基本不等式计算可得. 【详解】因为正实数，满足， 即，令，，则且，， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故答案为： 19．（2023江西）正实数满足，写出一个满足不等式恒成立的整数的值为 . 【答案】1（中任一个均可以） 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据“1”的灵活应用可得的最小值为2，结合恒成立问题可得，运算求解即可. 【详解】由题可知，， 当且仅当，即时，等号成立， 要使不等式恒成立，则，解得， 且，所以. 故答案为：1（中任一个均可以）. 20．（2023宁夏）若，且，则的最大值为 . 【答案】 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值即得. 【详解】由，且，得，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最大值. 故答案为： 考点三：二次函数与一元二次方程，不等式 1．（2022辽宁）已知关于的方程有两个相等的实数根，下列选项中可以取的值是（    ）． A．4 B．2 C．0 D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】根据判别式求解即可. 【详解】解：因为关于的方程有两个相等的实数根， 所以，即 所以选项中可以取的值是 故选：B 2．（2022贵州）记函数的两个零点为，，若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求函数的零点、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】将题设转化为的两根为，，再由韦达定理求解即可. 【详解】由整理得， 则的两根为，，则， 又，则，则. 故选：B. 3．（2024北京）在下列各数中，满足不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】解二次不等式，判断数是否在解集内即可得到答案. 【详解】解不等式得. 故选：B. 4．（2022河北）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】区间的定义与表示、解不含参数的一元二次不等式 【分析】由二次不等式解法可得答案. 【详解】. 故选：C 5．（2024安徽）不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】因式分解，求出不等式解集. 【详解】，解得， 故不等式的解集为. 故选：A 6．（2023广西）二次函数的图象如图所示，不等式的解集为（    ）    A．R B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数图象的应用、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据函数的图象数形结合得出解集. 【详解】根据函数的图象可得的解集为. 故选：B. 7．（2024云南）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】由一元二次不等式求解即可． 【详解】由，得， 则不等式的解集为：， 故选：D 8．（2023安徽）不等式的解集为（    ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】B 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据一元二次不等式的解的特征即可求解. 【详解】由可得， 解得或， 故不等式的解为或， 故选：B 9．（2024广东）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据一元二次不等式的解法求解. 【详解】由得，， 解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 10．（2023新疆）不等式的解集是（     ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】解：不等式即为， 解得， 故不等式的解集为， 故选：B 11．（2023浙江）已知函数，其中，，若对任意，恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求二次函数的值域或最值、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】先按a的不同取值区间分类讨论在上的最大值，得到a与b 的关系，结合a的范围，求得的最小值，再取不同情况下最小值中的最小者. 【详解】， ①当时，，对称轴为， 在上单调递增， 所以，则， 所以. ②当时，，对称轴为， 在上递增，在上递减， 所以，则， 所以. ③当时， 若，，； 若，， . 当时，， ，； 当时，， ，. 综上所述：的最小值为. 故选：C. 12．（2023浙江）不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、公式法解绝对值不等式 【分析】依题意可得，再解一元二次不等式（组）即可. 【详解】不等式，即，所以， 即，解得或， 故不等式的解集为或. 故选：B 13．（2023福建）不等式的解集为（    ） A．或. B．或. C． D． 【答案】B 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】不等式，解得：或， 所以不等式的解集为或. 故选：B 14．（多选）（2023浙江）关于x的不等式的解集中恰有3个正整数解，则a的值可以为（    ） A． B． C． D．2 【答案】CD 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由题意先判断出，写出不等式的解集，由不等式的解集中恰有3个正整数，分析的这3个正整数为,计算求解即可. 【详解】不等式化简为的解集中恰有3个正整数， 当时，不等式化为，则解集中有无数个整数. 当时，不等式的解集中有无数个正整数，故A错误； 所以，，，所以 所以不等式的解集为：， 根据0一定属于此集合， 则由不等式的解集中恰有3个正整数， 则这3个整数中一定为：， 则，解得 故可取和2，故C,D正确，AB错误； 故选：CD. 15．（2024浙江）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、函数不等式恒成立问题 【分析】将原问题条件等价转换为对任意恒成立，故只需求出在上的最大值即可. 【详解】由题意对任意恒成立， 由复合函数单调性可知在上单调递减， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为：. 16．（2022福建）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为 ．    【答案】1 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式的实际应用 【分析】设花卉带的宽度为米，根据题设有求解集，即可确定最小值. 【详解】设花卉带的宽度为米，则，即， 所以，故， 所以花卉带的宽度至少应为1米. 故答案为：1 17．（2022浙江）已知函数，（是实数） (1)若，求关于的方程的解； (2)若关于的方程有三个不同的正实数根且，求证： ①； ② 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②证明见解析. 【知识点】分类讨论解绝对值不等式、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】（1）由，分，求解；， （2）由，易知时，在上单调递增，得到且，然后由是方程和是方程的根求解. 【详解】（1）解：， 当时，则或（舍）； 当时，则无实数解， . （2）， 若，则在上单调递增，题设方程不可能存在3个不同正实根， 且，满足题设， ， 是方程，即的两个根， 是方程，即的较大根， 且在区间上单调递减． ①； ②是关于的递增函数， ， 不等式成立. 18．（2022浙江）已知函数，.定义，设，，为常数. (1)当时，判断函数的奇偶性； (2)定义区间的长度为.若的解集为，问是否存在，使得的全部区间长度之和等于6，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)偶函数 (2)存在， 【知识点】分段函数的性质及应用、函数奇偶性的定义与判断、解含有参数的一元二次不等式、函数新定义 【分析】（1）代入得，则可判断其奇偶性； （2）对进行分，和讨论即可. 【详解】（1）当时，. 当时，成立； 当时，成立； 则此时， 因为.且因此为偶函数.      （2）①因为函数的最小值为1，函数的最小值为2， 函数是函数和函数左右平移取小后得到， 所以函数的最小值为1. 若有解，首先应满足. 由于函数的最小值为2，则当时， ，即，解得， 则其解集为， 此时的区间长度为，解得，舍去.    ②当，， 化简得 时，恒成立， 则两根为 当时，. 当时，的解集为， ，即，解得， 的解集为， 此时 此时的区间长度为，解得舍去)成立.      ③当时，由于 恒成立. 此时， 此时的区间长度为， 解得或，全部舍去.    综上，. 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是通过作图，找到分界点位置从而对进行合理地分类讨论，如首先分析出必须大于1，然后再找到两个分界点2和3即可. 19．（2023天津）设，，函数． (1)求不等式的解集； (2)若在上的最大值为，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】求二次函数的值域或最值、解含有参数的一元二次不等式、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】（1）根据题意可知，将不等式分解可得，求出该不等式对应方程的两个根再进行分类讨论即可； （2）利用二次函数性质，讨论对称轴与区间的关系，求出在上的最大值，即可求得的取值范围． 【详解】（1）根据题意可得即，即， 的两根为1和， 当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为． 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． （2）因为，，所以，的对称轴为， 当时，即时，，与矛盾，不合题意； 当时，即时，，而，符合题意； 所以可得，又，，因此； 故取值范围为． 20．（2023河北）已知二次函数（且），其对称轴为，函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，求函数在区间上的最小值和最大值； (3)若函数有两个零点，，且，求证：． 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为-3 (3)证明见解析 【知识点】求二次函数的值域或最值、根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）根据一元二次不等式的求解即可得解， （2）利用二次函数的单调性即可求解最值， （3）根据韦达定理得，，由判别式可得或．进而分情况讨论即可求解. 【详解】（1）当时，， 即，解得或， ∴当时，不等式的解集为． （2）当时，． ∵二次函数图象的对称轴为直线且二次项系数为，开口向上， ∴在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∴． ∵,， ∴， ∴函数在区间上的最小值为，最大值为-3． （3）证明：令，则，． 由得． 则，． 由，解得或． 又，所以或． 又函数的对称轴为，所以． 显然，故或， ①当时，．这时． 因为，所以．故，即． ②当时，，即． 又因为或，所以，所以． 这时． 因为，，所以，故． 所以，故，即． 综上可知： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 考点一：等式性质与不等式性质 1．（2022河北）若实数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024安徽）若，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023广西）若实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024云南）已知都是实数.若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024新疆）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（2024浙江杭州）若，，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 7．（2024浙江）下列不等式中成立的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 8．（2024福建）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 9．（2024北京）已知，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2024湖南）若，则下列各式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（2024江苏）已知，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 12．（2023辽宁）如果，那么下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 13．（2023江苏）若，则以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 14．（2023新疆）若，则下列不等式①；②；③；④中，正确的不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．（2023黑龙江）若，则下列各式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 16．（2022甘肃）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（多选）（2023山西）设，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 18．（2024北京）已知，且，则 （填“>”或“<”）. 考点二：基本不等式 1．（2022河北）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C．3 D．6 2．（2022河北）已知正数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．（2024安徽）已知，且，则（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 4．（2024湖南）已知，，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 5．（2024湖南）已知，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．3 6．（2024江苏）若，则函数的最小值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 7．（2024广东）若，则有（    ） A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值 8．（2023江西）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 9．（2023新疆）设，若，则的最小值等于（    ） A．1 B．3 C．2 D．4 10．（2023新疆）设，，则以下不等式中不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 11．（2022广东）已知，且，，则的最小值是（     ） A．24 B．25 C．26 D．27 12．（2023广东）若，则的最小值（　　　） A．4 B．5 C．6 D．7 13．（2024广东）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 14．（2023广东）已知且，则的最小值为（    ） A． B．4 C．6 D．12 15．（2024安徽）某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率和降低生产成本．已知购买台设备的总成本为（单位：万元）．若要使每台设备的平均成本最低，则应购买设备 台． 16．（2024浙江）已知正数a，b，c满足，，则的最小值为 . 17．（2024天津）已知，的最小值为 ． 18．（2024浙江）已知正实数，满足，则的最小值为 ． 19．（2023江西）正实数满足，写出一个满足不等式恒成立的整数的值为 . 20．（2023宁夏）若，且，则的最大值为 . 考点三：二次函数与一元二次方程，不等式 1．（2022辽宁）已知关于的方程有两个相等的实数根，下列选项中可以取的值是（    ）． A．4 B．2 C．0 D． 2．（2022贵州）记函数的两个零点为，，若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024北京）在下列各数中，满足不等式的是（    ） A． B． C． D． 4．（2022河北）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．（2024安徽）不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 6．（2023广西）二次函数的图象如图所示，不等式的解集为（    ）    A．R B． C． D． 7．（2024云南）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 8．（2023安徽）不等式的解集为（    ） A． B．，或 C． D．，或 9．（2024广东）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 10．（2023新疆）不等式的解集是（     ） A．或 B． C． D． 11．（2023浙江）已知函数，其中，，若对任意，恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 12．（2023浙江）不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 13．（2023福建）不等式的解集为（    ） A．或. B．或. C． D． 14．（多选）（2023浙江）关于x的不等式的解集中恰有3个正整数解，则a的值可以为（    ） A． B． C． D．2 15．（2024浙江）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 16．（2022福建）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为 ．    17．（2022浙江）已知函数，（是实数） (1)若，求关于的方程的解； (2)若关于的方程有三个不同的正实数根且，求证： ①； ② 18．（2022浙江）已知函数，.定义，设，，为常数. (1)当时，判断函数的奇偶性； (2)定义区间的长度为.若的解集为，问是否存在，使得的全部区间长度之和等于6，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19．（2023天津）设，，函数． (1)求不等式的解集； (2)若在上的最大值为，求的取值范围． 20．（2023河北）已知二次函数（且），其对称轴为，函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，求函数在区间上的最小值和最大值； (3)若函数有两个零点，，且，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$