精品解析：山西省朔州市多校2024—2025学年上学期期中监测九年级数学试卷

2024－2025学年山西省期中监测试卷九年级数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 国内某地图软件自2005年上线以来，秉持“科技让出行更简单”的品牌使命，以科技为手段不断探索创新，如今已经发展成为国内领先的互联网地图服务商．下面是该地图软件中的四个图标，其文字左边的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，．小明以点为圆心，的长为半径作圆，所作圆恰好经过的中点，则的半径为（ ） A. B. 3 C. D. 2 4. 下列用配方法解方程的步骤中，开始出现错误的是（ ） 第①步：， 第②步：， 第③步：， 第④步：． A. 第①步 B. 第②步 C. 第③步 D. 第④步 5. 关于x的一元二次方程的一个根为1，则m的值为（　　） A. B. C. 1 D. 2 6. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的半径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，设一元二次方程的根为，，且，则下列说法正确的是（ ） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 0.13 A. B. C. D. 8. 若是抛物线上的三个点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 在数学综合实践活动课上，科技小组成员设计了一个机器人指令：．根据这个指令，机器人可以在平面直角坐标系中完成如下动作：先在原地逆时针旋转角度，再朝其面对的方向沿直线行走距离．若此时机器人在平面直角坐标系的原点，且面对轴的正方向，接着给机器人下了另一个指令，机器人移动到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 当时，二次函数的最小值为6，则的值为（ ） A. 或3 B. C. 或1 D. 1 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，已知OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在圆周上（与点A、B不重合），则∠ACB的度数为__________． 12. 小雅家有一张如图所示的长方形桌子，桌面长，宽．有一块长方形桌布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等．设垂下的长度为，根据题意，可列方程：______． 13. 抛物线的图象上有两点，则b的值为____________． 14. 在利用量角器进行角度测量时，刘新同学放错了位置，将角的顶点放到了量角器的弧线上（如图），爱动脑筋的李涛同学忽然发现，这样也能测量得到的度数．通过仔细观察，李涛同学发现射线与量角器的交点和对应的刻度分别是和，则的度数为______． 15. 如图1是边长为2的正方形，连接，并沿着将此正方形剪开，之后将绕点顺时针旋转一定的度数，此时将记作．当旋转到和的交点恰好是边的中点时（如图2），线段的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）解方程：． （2）关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围． 17. 某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元. （1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率； （2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元. 18. 如图，在平面直角坐标系中（每个方格的边长均为1个单位长度），的三个顶点坐标分别为，，． （1）请画出，使与关于轴对称． （2）将绕点逆时针旋转，请画出旋转后得到的，并直接写出点的坐标． （3）若是内的任意一点，试写出将绕点逆时针旋转后点的对应点的坐标． 19. 如图，在中，为弦，为直径，且于点，连接，过点作于点与相交于点，连接． （1）求证：是线段的中点． （2）若，求的半径． 20. 某超市出售一种水果，进价为每千克2元．根据长期的销售情况，超市发现，当这种水果售价为每千克3元时，每天能卖出500千克，如果售价每千克上涨元，其销售量将减少10千克． （1）若该种水果每千克售价上涨元，则每千克利润为______元，平均每天销售______千克，当天利润为______元． （2）当该种水果售价为每千克多少元时，该超市销售这种水果的总利润最大?最大利润是多少? 21. 阅读与思考 下面是小勇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日星期六 “用函数思想解决生活中的实际问题” 爸爸计划利用一张如图1所示的的正方形纸板，制作一个简易的无盖长方体储物箱，我也积极参与了储物箱的设计与制作．根据实际需求，在现有纸板的条件下，要求使储物箱的容积最大．现遇到的问题是怎样制作才能使无盖长方体储物箱的容积最大，我通过绘制图象来解决以上问题． 如图1，在纸板的四个角上分别剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折叠得到如图2所示的无盖长方体储物箱．设四个角上分别剪去的正方形的边长为，纸箱的底面积为S，容积为V，通过列表、描点、连线绘制出如图3所示的函数图象，通过观察函数图象即可确定当x为何值时，所制作的无盖长方体储物箱的容积最大． （1）当_________时，无盖长方体储物箱的容积最大，最大值为________ （2）请你列出S关于x的函数表达式，并根据实际意义直接写出x的取值范围． （3）在解决问题的过程中，你获得什么启示？（写出一条日记中所体现的数学观点即可） 22. 综合与实践 实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他不仅是一个蔬菜种植能手，还是一个喜爱动脑筋的创意设计者．下面是他设计的一个大棚构建纵切面示意图，他将大棚左侧的一根立柱作为轴，水平地面作为轴，构造平面直角坐标系，使整个大棚设计图样类似于抛物线，该抛物线的解析式为，对称轴为，且． （1）当与恰好相等时，求抛物线的解析式． （2）在（1）中的条件下，小宇想在大棚内上找一固定点，并设计一根支撑柱，使得与平行，请通过计算判断能不能找到符合条件的固定点．若能，计算的长；若不能，请说明理由． 23. 综合与探究 问题情境已知在中，．如图1，是线段上一点，将线段绕点逆时针旋转到，连接． （1）若，求的长度． 猜想证明 （2）如图2，连接，取的中点为，连接，试判断与之间的数量关系，写出结论并证明． 深入探究 （3）当点在直线上运动时，在上述变换情况不变的条件下，若，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年山西省期中监测试卷九年级数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念：方程经整理后，若只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，其一般形式为，且a、b、c是常数；根据方程的概念进行判断即可． 【详解】解：A、当时，不是一元二次方程，故不符合题意； B、符合一元二次方程的概念，故符合题意； C、方程整理后为，是一元一次方程，故不符合题意； D、方程是分式方程，故不符合题意； 故选：B． 2. 国内某地图软件自2005年上线以来，秉持“科技让出行更简单”的品牌使命，以科技为手段不断探索创新，如今已经发展成为国内领先的互联网地图服务商．下面是该地图软件中的四个图标，其文字左边的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的概念，根据“把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，这个图形就叫做中心对称图形”判断即可， 熟练掌握中心对称图形的概念是解决此题的关键． 【详解】A、图案不是中心对称图形，不符合题意； B、图案不是中心对称图形，不符合题意； C、图案是中心对称图形，符合题意； D、图案不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 3. 如图，在中，．小明以点为圆心，的长为半径作圆，所作圆恰好经过的中点，则的半径为（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，结合圆的性质解答即可． 本题考查了圆的性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：连接，由．小明以点为圆心，的长为半径作圆，所作圆恰好经过的中点， 得, 故的半径为2． 故选：D． 4. 下列用配方法解方程的步骤中，开始出现错误的是（ ） 第①步：， 第②步：， 第③步：， 第④步：． A. 第①步 B. 第②步 C. 第③步 D. 第④步 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．按照配方法的步骤逐步分析即可． 【详解】解：第③步出现错误，配方时，方程的左、右两边应同时加上一次项系数一半的平方，即方程的左、右两边应同时加上， 故选：C． 5. 关于x的一元二次方程的一个根为1，则m的值为（　　） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的根，把一元二次方程的根代入方程，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为1， ∴， 解得， 故选：C． 6. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的半径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，熟练掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键． 根据勾股定理求得的长，根据垂径定理可得，进而即可求解． 【详解】解：根据题意得： ， ， ，， ， 在中， ， 故选：B. 7. 二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，设一元二次方程的根为，，且，则下列说法正确的是（ ） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 0.13 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据表格找出y的值接近0时对应的x的值的取值范围，从而分析求解． 【详解】解：由表格可得： 当时，； 当时，， 又∵一元二次方程的根为，，且， ∴，， 故选：A． 【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，结合表格中的数据找出方程（，a，b，c为常数）的一个解的近似值是解题的关键． 8. 若是抛物线上的三个点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由二次函数解析式可知抛物线开口向下，且对称轴为直线，根据二次函数的性质来判断纵坐标的大小即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线，， ∴离对称轴最远，其次为，最近为， ∴， 故选：D． 9. 在数学综合实践活动课上，科技小组成员设计了一个机器人指令：．根据这个指令，机器人可以在平面直角坐标系中完成如下动作：先在原地逆时针旋转角度，再朝其面对的方向沿直线行走距离．若此时机器人在平面直角坐标系的原点，且面对轴的正方向，接着给机器人下了另一个指令，机器人移动到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转，勾股定理，理解运动指令的含义是解本题的关键．画出图形，过点B作轴于点C，机器人原地逆时针旋转，再向前行走10个单位，结合图形，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，过点B作轴于点C； 则， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴点B的坐标为； 故选：D． 10. 当时，二次函数的最小值为6，则的值为（ ） A. 或3 B. C. 或1 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，先求出抛物线的顶点式，可得出顶点坐标，再求出时x的值，然后根据抛物线的增减性判断即可． 【详解】二次函数， ∴抛物线的开口向上，当时，y有最小值2. 当时，， 解得． 当时，函数值y随着x的增大而减小， 当时，二次函数则最小值是6， 所以． 故选：B． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，已知OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在圆周上（与点A、B不重合），则∠ACB的度数为__________． 【答案】45°． 【解析】 【分析】分类讨论：当C点在优弧AB上，根据圆周角定理得到∠ACB=∠AOB=45°；当C点在弧AB上，根据圆内接四边形的性质得到∠ACB=135°． 【详解】解：∵OA⊥OB， ∴∠AOB=90° 当C点在优弧AB上， 当C点在弧AB上，∠ACB=180°-45°=135°． 故答案为45°或135°． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 12. 小雅家有一张如图所示的长方形桌子，桌面长，宽．有一块长方形桌布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等．设垂下的长度为，根据题意，可列方程：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据各边之间的关系，可得出台布的长为，宽为，利用台布的面积是桌面面积的2倍，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】∵垂下的长度为， ∴台布的长为，宽为， 又∵台布的面积是桌面面积的2倍， ∴， 故答案为：． 13. 抛物线的图象上有两点，则b的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质和二次函数的对称性可知，A、B两点纵坐标相等，则A和B关于对称轴对称．二次函数的对称轴为，所以，最后解出答案即可． 【详解】A和B都在二次函数y=的图象上，且纵坐标相等， 点A和B关于对称轴对称， ， 解得． 故答案为-6． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质与二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键． 14. 在利用量角器进行角度测量时，刘新同学放错了位置，将角的顶点放到了量角器的弧线上（如图），爱动脑筋的李涛同学忽然发现，这样也能测量得到的度数．通过仔细观察，李涛同学发现射线与量角器的交点和对应的刻度分别是和，则的度数为______． 【答案】##130度 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，应用圆周角定理和圆内接四边形的性质即可解答. 【详解】解：构造如图，在下半圆上取点，连接, 设的直径为, 如图： 由题意可知，， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图1是边长为2的正方形，连接，并沿着将此正方形剪开，之后将绕点顺时针旋转一定的度数，此时将记作．当旋转到和的交点恰好是边的中点时（如图2），线段的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，相交于点．由正方形的性质得出，证明，再证明，进一步得出，利用勾股定理得出，由求出，进一步即可得出． 【详解】解：如图，连接，相交于点． 四边形是正方形， ， ， ． ． ， ， ， ． ， 垂直平分线段， ， 在中， ， ． ， ， ， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的综合问题，正方形的性质，线段垂直平分线的判定以及性质，勾股定理，旋转的性质等知识，掌握全等三角形的综合问题是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）解方程：． （2）关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）的取值范围是且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，解一元二次方程，切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． （1）运用因式分解法求解即可； （2）若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围，还要注意二次项系数不为0． 【详解】（1）， 或， ． （2）关于的一元二次方程有实数根， ，即，解得． 关于的一元二次方程中， 的取值范围是且． 17. 某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元. （1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率； （2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元. 【答案】10%；3327.5万元 【解析】 【分析】（1）一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2014年要投入教育经费是2500（1+x）万元，在2014年的基础上再增长x，就是2015年的教育经费数额，即可列出方程求解． （2）利用2015年的经费×（1+增长率）即可． 【详解】解：（1）设增长率为x，根据题意2014年为2500（1+x）万元，2015年为． 则， 解得（不合题意舍去）． 答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%． （2）3025×（1+10%）=3327.5（万元）． 故根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费3327.5万元． 18. 如图，在平面直角坐标系中（每个方格的边长均为1个单位长度），的三个顶点坐标分别为，，． （1）请画出，使与关于轴对称． （2）将绕点逆时针旋转，请画出旋转后得到的，并直接写出点的坐标． （3）若是内的任意一点，试写出将绕点逆时针旋转后点的对应点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 即为所求； 点的坐标是 （3）点的坐标是 【解析】 【分析】本题综合考查了利用对称变换作图，利用旋转变化作图，熟知网格结构特点找出变换后的对应点的位置是解题的关键． （1）根据网格特点，找出点、、关于轴的对称点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）分别找出、、绕点逆时针旋转的对应点、、的位置，然后顺次连接即可； （3）根据各点坐标的变化即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点的坐标是 【小问3详解】 解：点的坐标是 19. 如图，在中，为弦，为直径，且于点，连接，过点作于点与相交于点，连接． （1）求证：是线段的中点． （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：， ． ， ． ∵， ∴， ． ∵， ， ， 是线段的中点． （2）的半径为 【解析】 【分析】（1）证明，则，进而结论得证； （2）如图，连接．设，则．．由勾股定理得，，即，计算求出满足要求的解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接． 设，则． 由（1），知， ． ， ，即， 解得（负值已舍去）， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，垂径定理，三角形内角和定理，勾股定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，垂径定理，三角形内角和定理，勾股定理是解题的关键． 20. 某超市出售一种水果，进价为每千克2元．根据长期的销售情况，超市发现，当这种水果售价为每千克3元时，每天能卖出500千克，如果售价每千克上涨元，其销售量将减少10千克． （1）若该种水果每千克售价上涨元，则每千克利润为______元，平均每天销售______千克，当天利润为______元． （2）当该种水果售价为每千克多少元时，该超市销售这种水果的总利润最大?最大利润是多少? 【答案】（1）；450；675 （2）该种水果售价为5元每千克时，该超市销售这种水果的总利润最大，最大利润为900元 【解析】 【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题． （1）根据题意计算填空即可； （2）依据题意根据销售利润＝销售量×（售价-进价），列出每天的销售利润（元）与销售价x（元/个）之间的函数关系式，再依据二次函数的性质求得最大利润． 【小问1详解】 解：该种水果每千克售价上涨0.5元，则每千克利润为元， 平均每天销售千克，当天利润为元． 故答案为：；450；675； 【小问2详解】 解：设该种水果售价为每千克元， 由题意得 ， ∵， ∴当时，最大，最大利润为900元． 答：该种水果售价为每千克5元时，该超市销售这种水果的总利润最大，最大利润为900元． 21. 阅读与思考 下面是小勇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日星期六 “用函数思想解决生活中的实际问题” 爸爸计划利用一张如图1所示的的正方形纸板，制作一个简易的无盖长方体储物箱，我也积极参与了储物箱的设计与制作．根据实际需求，在现有纸板的条件下，要求使储物箱的容积最大．现遇到的问题是怎样制作才能使无盖长方体储物箱的容积最大，我通过绘制图象来解决以上问题． 如图1，在纸板的四个角上分别剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折叠得到如图2所示的无盖长方体储物箱．设四个角上分别剪去的正方形的边长为，纸箱的底面积为S，容积为V，通过列表、描点、连线绘制出如图3所示的函数图象，通过观察函数图象即可确定当x为何值时，所制作的无盖长方体储物箱的容积最大． （1）当_________时，无盖长方体储物箱的容积最大，最大值为________ （2）请你列出S关于x的函数表达式，并根据实际意义直接写出x的取值范围． （3）在解决问题的过程中，你获得什么启示？（写出一条日记中所体现的数学观点即可） 【答案】（1）5；2000 （2）， （3）函数是解决实际问题常用的数学模型；数形结合是一种解决数学问题常用的思想方法；函数思想可以解决生活中的很多问题等 【解析】 【分析】本题考查数形结合以及正方体面积，读懂题意是解答本题的关键． （1）根据函数图象解答即可； （2）根据题意先得出底面边长，再解答即可； （3）根据题意结合数学观点解答即可． 【小问1详解】 解：由函数图象可得：当时，无盖长方体储物箱的容积最大，最大值为； 【小问2详解】 解：剪去的正方形的边长为，纸箱的底面积为S，纸箱底为正方形， ，； 【小问3详解】 解：根据题意可得：函数是解决实际问题常用的数学模型；数形结合是一种解决数学问题常用的思想方法；函数思想可以解决生活中的很多问题等． 22. 综合与实践 实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他不仅是一个蔬菜种植能手，还是一个喜爱动脑筋的创意设计者．下面是他设计的一个大棚构建纵切面示意图，他将大棚左侧的一根立柱作为轴，水平地面作为轴，构造平面直角坐标系，使整个大棚设计图样类似于抛物线，该抛物线的解析式为，对称轴为，且． （1）当与恰好相等时，求抛物线的解析式． （2）在（1）中的条件下，小宇想在大棚内上找一固定点，并设计一根支撑柱，使得与平行，请通过计算判断能不能找到符合条件的固定点．若能，计算的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）解：在大棚内上找不到符合条件的固定点，理由： 设直线的解析式为． 把点代入得到， ， 解得 直线的解析式为． ∵， 设直线的解析式为． 点在直线上， ， 直线的解析式为． 令，解得； 令，解得（负值不合题意，已舍去） ， 故在大棚内上找不到符合条件的固定点． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出，由对称轴得到，由，即当时，，得到，即可得到函数解析式； （2）求出直线的解析式为，再求出直线的解析式为．令，解得；令，解得（负值不合题意，已舍去），即可进行判断得到结论． 【小问1详解】 解：， ， ，即， ． ，即当时，， ， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查二次函数的图象和性质、勾股定理、一次函数的图象和性质、解一元二次方程等知识，数形结合是解题的关键． 23. 综合与探究 问题情境已知在中，．如图1，是线段上一点，将线段绕点逆时针旋转到，连接． （1）若，求的长度． 猜想证明 （2）如图2，连接，取的中点为，连接，试判断与之间的数量关系，写出结论并证明． 深入探究 （3）当点在直线上运动时，在上述变换情况不变的条件下，若，请直接写出的面积． 【答案】（1）； （2）． 证明：如图1，延长到点，使交于点． ， ． ， ， ． 为的中点， ， 点在的垂直平分线上． ， 点在的垂直平分线上， 垂直平分， ． 在和中， ， ． ， ． 在和中， ， ． ， ． （3）或 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识． （1）证明，则，得到则，即可得到； （2）延长到点，使交于点．证明，则．证明，则．又由即可得到结论； （3）分点在的延长线上和点在的延长线上两种情况，分别画出图形，进行解答即可． 【详解】（1）， 是等腰直角三角形， ． ， 是等腰直角三角形， ． 在和中， ， ， ． ， ， ． （2）略 （3）或． ①如图2，当点在的延长线上时， ， ． ， ． ②如图3，当点在的延长线上时， ， ． ， ． 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $