小升初拓展培优：牛吃草问题(讲义)-2023-2024学年六年级下册数学人教版

牛吃草问题 (知识归纳+典例分析+高频考题+答案解析) 一、牛吃草问题的基本概念 牛吃草问题是一类经典的奥数应用题，主要涉及牛的头数、草的数量和时间这三个量之间的关系。这类问题也被称为牛顿问题或消长问题，其特点是草的数量在牛吃草的过程中会发生变化（增长或减少），但存在一些不变量，如原有草量、草的每天生长量（或减少量）等。 二、解题需要明确的量 1、不变量 （1）、草的增长（或减少）速度不变：在整个牛吃草的过程中，草要么以固定的速度生长，要么以固定的速度减少。例如，一片牧场的草每天匀速生长一定的量，这个生长速度是不变的；或者在寒冷天气下，牧场的草每天匀速减少的量也是固定的。 （2）、草场原有草的量不变：在牛开始吃草之前，牧场上草的总量是一个固定的值，不会随着牛吃草的过程而改变，它是解决问题的一个关键不变量。 2、相关量的关系 （1）、草的总量的组成：草的总量由两部分组成，即牧场原有草和新长出来（或减少后剩余）的草。新长出来草的数量会随着天数的变化而变化，所以要清楚三个量的关系，分别是草的均匀变化速度（是均匀生长还是均匀减少）、求出原有草量、明确题意让我们求的是时间、牛头数还是其他相关量（如抽水机问题中的抽水机台数等）。 三、解题基本思路 1、求出草的均匀变化速度和原有草量 先求出草的均匀变化速度，这是解题的关键步骤之一。通常可以根据已知条件中不同牛的头数和对应的吃草天数来计算。例如，设1头牛1天吃草量为1份，根据公式“草的生长速度 =（对应的牛头数×吃的较多天数 - 相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数 - 吃的较少天数）”计算草的生长速度。在求出草的生长速度后，再根据公式“原有草量 = 牛头数×吃的天数 - 草的生长速度×吃的天数”求出原有草量。 2、根据已知量求未知量 （1）、已知头数求时间：在求出每天新增长的草量和原有草量后，如果已知牛头数求时间，就用原有草量÷每天实际减少的草量（即头数与每日生长量的差）求出天数。例如，有一片牧场，已知草的生长速度和原有草量，养了若干头牛，就可以按照这个方法计算出这些牛吃完草需要的天数。 （2）、已知天数求只数：同样需要先求出每天新生长的草量和原有草量，然后根据公式“牛头数 = 原有草量÷吃的天数 + 草的生长速度”求出牛头数。比如，已知一片牧场的原有草量、草的生长速度和牛吃完草需要的天数，就可以计算出需要多少头牛来吃这片草。 四、解题基本公式 1、草的生长速度计算公式：草的生长速度 =（对应的牛头数×吃的较多天数 - 相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数 - 吃的较少天数）。 2、原有草量计算公式：原有草量 = 牛头数×吃的天数 - 草的生长速度×吃的天数。 3、吃的天数计算公式：吃的天数 = 原有草量÷（牛头数 - 草的生长速度）。 4、牛头数计算公式：牛头数 = 原有草量÷吃的天数 + 草的生长速度。 五、问题的变形及应对方法 牛吃草问题有很多变形题目，像抽水问题（将水看作草，抽水机看作牛，进水管进水相当于草生长，出水管抽水相当于牛吃草）、检票口检票问题（将排队的人看作草，检票口看作牛）等。解决这些变形问题的关键是理解牛吃草问题的本质和解题思路，将其转化为牛吃草问题的基本模型，然后运用上述的基本公式和解题思路进行求解。 【典例1】一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15天将草吃尽；如果让马和羊去吃，20天将草吃尽；如果让牛和羊去吃，30天将草吃尽。已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量。现在让马、牛、羊一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？ 【答案】12天 【思路点拨】设1匹马1天吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析： 马和牛          15天    15天马和牛吃草量＝原有草量＋15天新长草量（1） 马和羊          20天    20天马和羊吃草量＝原有草量＋20天新长草量（2） 牛和羊（同马）  30天    30天马（牛和羊）吃＝原有草量＋30天新长草量（3） 由（1）×2－（3）可得：30天牛吃草量＝原有草量÷牛每天吃草量＝原有草量÷30； 由（3）分析知道：30天羊吃草量＝30天新长草量，羊每天吃草量＝每天新长草量； 将分析的结果带入（2）得：原有草量＝20，带入（3）30天牛吃草量＝20，得牛每天吃草量＝。 这样如果马、牛和羊一起吃，可以让羊去吃新生草，马和牛吃原有草可以吃：20÷（1＋）＝12（天）。 【详解】20÷30＝ 20÷（1＋） ＝20÷1 ＝12（天） 答：现在让马、牛、羊一起去吃草，12天可以将这片牧草吃尽。 【名师点睛】此题属于典型的牛吃草问题，解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量，我们可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量。显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，我们也能找到另一个不变量：一定时间内新长出的草的数量。 【典例2】22头牛吃33亩草地上的草，54天可以吃完．17头牛吃28亩同样草地上的草，84天可以吃完．问：同样的牧草40亩可供多少头牛食用24天（每亩草地原有草量相等，草生长速度相等）？ 【答案】35头 【详解】解：设每头牛每天吃草量为1份，每亩原有草量为x份，每天每亩新长草量为y份， 54×（22-33y）=33x，① 84×（17-28y）=28x，② 把方程①②联立，解得：y=0.5，x=9 那么：（40×9+0.5×40×24）÷24=360÷24+20=35（头）； 答：40亩草地可供35头牛食用24天． 【名师点睛】本题与一般的牛吃草的问题有所不同，关键的是求出青草的每天生长的速度（份数）和草地原有的草的份数；知识点：（牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数）÷（吃的较多的天数-吃的较少的天数）=草地每天新长草的量；牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草量． 【典例3】一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时船内已经进入一些水，如果以8个人淘水，5小时可以淘完；如果以5个人淘水，10小时才能淘完．现在要想在2小时内淘完，需要多少人？ 【答案】17人 【详解】设每人每小时淘水1份，根据“如果以8个人淘水，5小时可以淘完；如果以5个人淘水，10小时才能淘完．”可以求出每小时漏水的份数，列式是：（5×10-5×8）÷（10-5）=2（份）；进而可以求出原来水的份数：8×5-2×5=30（份）；现在要想在2小时内淘完，需要的人数为：（30+2×2）÷2=17（人）． 解：设每人每小时淘水1份． （1×10－5×8）÷（10－5） =10÷5 =2（份） （30＋2×2）÷2 =34÷2 =17（人） 答：现在要想在2小时内淘完，需要17人． 【典例4】在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过30级台阶到达地面．从站台到地面有多少级台阶． 【答案】60级 【详解】本题非常类似于“牛吃草问题”，如将题目改为： “在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20秒后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过15秒到达地面．问：从站台到地面有多少级台阶？” 采用牛吃草问题的方法，电梯秒内所走的阶数等于小强多走的阶数：阶，电梯的速度为阶/秒，扶梯长度为（阶）． 【典例5】由于天气逐渐寒冷，牧场的草不仅不生长反而以固定的速度在减少．已知某块草地的草可供20头牛吃5天，可供15头牛吃6天，照这样计算，可以供几头牛吃10天？ 【答案】5头 【详解】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天自然减少的草量为：，原有草量为：； 10天吃完需要牛的头数是：(头)． 1．一个露天水池底部有若干同样大小的进水管，这天蓄水时恰好赶上下雨，每分钟注入水池的雨水量相同．如果打开24根进水管，5分钟能注满水池；如果打开12根进水管，8分钟能注满水池；如果打开8根进水管，多少分钟能将水池注满？ 2．由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而在匀速地在减少，已知某块地上的草可供21头牛吃10天，或可供30头牛吃8天，照此计算，可供45头牛吃多少天。 3．一牧场放牛58头，7天把草吃完；若放牛50头，则9天吃完。假定草的生长量每日相等，每头牛每日的吃草量也相同，那么放多少头牛6天可以把草吃完？ 4．现有速度不变的甲、乙两车，如果甲车以现在速度的2倍去追乙车，5小时后能追上，如果甲车以现在速度的3倍去追乙车，3小时后能追上．那么甲车以现在的速度去追，几小时后能追上乙车？ 5．有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得一样快，它们的面积分别是3亩、10亩和24亩，12头牛4星期吃完第一片牧场的草；21头牛9星期吃完第二片牧场的草.问多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草？ 6．内蒙古草原的一个牧场有一片青草，这片青草每天都在匀速生长。这片牧草可供24头牛吃12天，可供30头牛吃8天，问可供多少头牛吃4天？ 7．某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派250个工人砌砖墙，6天可以把砖用完，如果派160个工人，10天可以把砖用完，现在派120名工人砌了10天后，又增加5名工人一起砌，还需要再砌几天可以把砖用完？ 8．一片牧草，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供20头牛吃12天，或可供60只羊吃24天。如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么12头牛与88只羊一起吃可以吃几天？ 9．三块牧场，场上的草长得一样密，而且长得一样快，它们的面积分别是3公顷、10公顷和24公顷。第一块牧场饲养12头牛，可以维持4周；第二块牧场饲养25头牛，可以维持8周。问第三块牧场上饲养多少头牛恰好可以维持18周？ 10．有一个蓄水池，池中已经有一些水，一个进水管不断向池内匀速进水．如果打开10个相同的出水管放水，3小时放完；如果打开5个相同的出水管放水，8小时放完．如果要求在2小时放完，要安排多少个相同的出水管？ 11．自动扶梯以均匀速度由下往上行驶，小明和小丽从扶梯上楼，已知小明每分钟走25级台阶，小丽每分钟走20级台阶，结果小明用了5分钟，小丽用了6分钟分别到达楼上．该扶梯共有多少级台阶？ 12．某牧场的牧草匀速生长，已知27头牛6天可以吃完牧草，23头牛9天可以吃完牧草。一群牛12天吃完这片牧草，这群牛有多少头？ 13．由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草可供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供多少头牛吃12天？ 14．一个蓄水池有1个进水口和15个出水口，水从进水口匀速流入。当池中有一半的水时，如果打开9个出水口，9小时可以把水排空。如果打开7个出水口，18小时可以把水排空。如果是一满池水，打开全部出水口放水，那么经过多少时间水池刚好被排空？ 15．林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果要4周吃光野果，则需有多少只猴子一起吃？（假定野果生长的速度不变） 16．一个蓄水池装有9根水管，其中1根为进水管，其余8根为相同的出水管。开始进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池蓄水。池内注入了一些水后，有人想把出水管也打开，使池内的水再全部排光。如果把8根出水管全部打开，需要3小时可将池内的水排光；而若仅打开3根出水管，则需要18小时。问如果想要在8小时内将池中的水全部排光，最少要打开几根出水管？ 17．牧场上有一片牧草，可以供27头牛吃6天，供23头牛吃9天，如果每天牧草生长的速度相同，那么这片牧草可以供21头牛吃几天？ 18．12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可以吃完30公亩牧场上全部牧草．多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场上每天生长草量相等）？ 19．一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水．如果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完．如果要求2小时淘完，需要安排多少人淘水？ 20．有一口井，用四部抽水机40分钟可以抽干，若用同样的抽水机6部，24分钟可以抽干，那么，同样用抽水机5部，多少时间可以抽干？ 21．有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽．如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的．” 22．某足球赛检票前几分钟就有观众排队，每分钟来的观众人数一样多，从开始检票到等候入场的队伍消失，若同时开4个入场口需50分钟，若同时开6个入场口需30分钟。如果要使队伍25分钟消失，需要同时开几个入场口？ 23．两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶走向井底，白天往下走，一只蜗牛一个白天能走20分米，另一只只能走15分米；黑夜里往下滑，两只蜗牛下滑速度相同，结果一只蜗牛5昼夜到达井底，另一只却恰好用了6昼夜．问井深是多少？ 24．有一个牧场，牧场上的牧草每天都在匀速生长，这片牧场可供15头牛吃20天，或可供20头牛吃10天，那么，这片牧场每天新生的草量可供几头牛吃1天？ 25．进入冬季后，有一片牧场上的草开始枯萎，因此草会均匀地减少．现在开始在这片牧场上放羊，如果有38只羊，把草吃完需要25天；如果有30只羊，把草吃完需要30天．如果有20只羊，这片牧场可以吃多少天？ 26．仓库里原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多。用同样的汽车运货出仓，如果每天用4辆汽车，则9天恰好运完；如果每天用5辆汽车，则6天恰好运完。仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要多少天运完？ 27．有一牧场长满牧草，牧草每天匀速生长，这个牧场可供17头牛吃30天，可供19头牛吃24天，现在有若干头牛在吃草，6天后，4头牛死亡，余下的牛吃了2天将草吃完，问原来有牛多少头？ 28．有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给6人喝，4天可喝完；如果由4人喝，5天可喝完．这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？如果桶没有裂缝由4个人来喝需要几天喝完？ 29．星星家有一片草场，原有一些草，草场每天长出的草一样多，如果用来养12匹马可以吃12天，如果用来养6匹马可以吃30天，如果养8匹马，可以吃多少天？ 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1．10分钟 【详解】试题分析：此题可以用牛吃草的算法进行解答． 设1个水管1分钟注入水池的水量为1，则蓄水池1分钟注入水池的雨水量为： （24×5﹣12×8）÷（8﹣5）=8．一分钟雨水下的就是8个单位的量，也就是相当于8个水管同时注水的量． 然后水池的总量是24×5+8×5=160，下雨量相当于8个水管的注水量，所以每分钟注水总量是8+8=16，然后160÷（8+8）=10分钟，据此解答即可． 解：①设1个水管1分钟注入水池的水量为1，则蓄水池1分钟注入水池的雨水量为： （24×5﹣12×8）÷（8﹣5）=8 ②水池的总量是：24×5+8×5=160 ③下雨量相当于8个水管的注水量，所以每分钟注水总量是 8+8=16 160÷（8+8）=10（分钟） 答：如果打开8根进水管，10分钟能将水池注满． 点评：此题的解法是把工程为题转化成牛吃草问题来解答，很好理解．所以希望同学们在今后的学习中，遇到问题可灵活处理． 2．6天 【思路点拨】总草量可以分为牧场上原有的草和每天减少的草两部分。牧场上原有的草是不变的，每天减少的草因为是匀速减少，所以每天这片草地每天减少的草数量是相同的，即每天减少的草量是不变的。由两个用草量的差可知（10-8）天的减少量，即可求出每天减少的草的量。抓住这两个量即可得解。 【详解】解：设1头牛1天吃草1份。 每天减少的草量：（30×8－21×10）÷（10－8） =（240－210）÷2 =30÷2 =15（份） 原有草量：210+15×10 =210+150 =360（份） 可供45头牛吃的天数：360÷（45×1+15） =360÷（45+15） =360÷60 =6（天） 答：可供45头牛吃6天。 【名师点睛】此题属于牛吃草问题，这类题目有一定难度。对于本题而言，关键的是要求出青草每天减少的数量和原有的草量。 3．64头 【思路点拨】因为草的生长量每天相等，所以先求出每天草的生长量，再求原来有多少草；将原有的草加上生长的草，再除以6天即可求出。 【详解】设1头牛1天的吃草量为1个单位，则每天生长的草量为： ＝44÷2 ＝22 原有草量为： ＝450－198 ＝252 ＝384÷6 ＝64（头） 答：放64头牛6天可以把草吃完。 【名师点睛】熟练掌握牛吃草问题的一般解法是解决本题的关键。 4．15小时 【详解】设甲车现在的速度为每小时行单位“1”，那么乙车的速度为：（2×5-3×3）÷（5-3）=0.5 乙车原来与甲车的距离为：2×5-0.5×5＝7.5 所以甲车以现在的速度去追，追及的时间为：7.5÷（1-0.5）=15（小时） 5．36头 【思路点拨】吃草总量=一头牛每星期吃草量×牛头数×星期数.根据这一计算公式，可以设定“一头牛每星期吃草量”作为草的计量单位. 为了计算简便，不妨假定牧场面积用3亩作“单位”来计算，注意10=3×3，21=7×3，因此题目中第二个条件，可以改变为7头牛9星期吃完3亩草地上原有草和新长出来的草． 【详解】对3亩草地来说， 原有草+4星期新长的草=12×4. 原有草+9星期新长的草=7×9. 由此可得出，每星期新长的草是（7×9-12×4）÷（9-4）=3. 那么原有草是7×9-3×9=36（或者12×4-3×4）. 对第三片牧场来说，原有草和18星期新长出草的总量是（36+3×18）×（24÷3）=90×7.2 这些草能让90×7.2÷18=36（头）牛吃18个星期. 答：36头牛18个星期能吃完第三片牧场的草. 6．48头 【思路点拨】这类题难在牧场上的草的数量每天都在变化，我们要想办法从变化中找出不变的量，总草量可以分为牧场上原有的草和新长出的草两部分。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以每天这片草地每天新长出的草的数量是相同的，即每天新长出的草量是不变的。有两个用草量的差可知（12-8）天的生长量，即可求出每天新长出的草的量。再将某一组的草总量减去若干天的生长量，即是原有的牧草量。抓住这两个量，解决问题就容易多了。 【详解】解：设1头牛一天吃的草为1份。 ①24头牛12天吃草的总量：1×24×12﹦288（份） ②30头牛8天吃草的总量：1×30×8﹦240（份） ③每天新长出的草的量：（288－240）÷（12－8） ﹦48÷4 ﹦12（份） ④这片牧场原有的草量：288－12×12 ＝288-144 ＝144（份） 或240－12×8 =240-96 ＝144（份） ⑤可供多少头牛吃4天？ （144＋12×4）÷4 ＝（144+48）÷4 ＝192÷4 ＝48（头） 答：这片牧场可供48头牛吃4天。 【名师点睛】考查了牛吃草问题，解答这类问题的关键是想办法从变化中找到不变的量。 7．4天 【思路点拨】此题相当于“牛吃草问题”，开工前运进的砖相当于“原有草量”，开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草”，工人砌砖相当于“牛在吃草”。所以设1名工人1天砌砖数量为“1”，那么每天运来的砖为（160×10－250×6）÷（10－6）＝25，原有砖的数量为：250×6－6×25＝1350。果120名工人砌10天，将会砌掉10天新运来的砖以及950原有的砖，还剩1350－950＝400原有的砖未用，变成120＋5＝125人来砌砖，还需要：400÷（125－25）＝4（天）。 【详解】设1名工人1天砌砖数量为1。 则每天运来的砖： （160×10－250×6）÷（10－6） ＝100÷4 ＝25 原有砖数： 250×6－6×25 ＝1500－150 ＝1350 120名工人砌10天后还剩的砖︰ 1350－120×10＋10×25 ＝1350－1200＋250 ＝400 400÷（120＋5－25） ＝400÷100 ＝4（天） 答∶还需要4天可以把砖用完。 【名师点睛】牛吃草问题的基本公式是：生长量＝（较长时间×长时间牛头数－较短时间×短时间牛头数）÷（长时间－短时间）；原有草量＝较长时间×长时间牛头数－较长时间×生长量。灵活运用公式解题，是解答本题的关键。 8．5天 【思路点拨】设1头牛1天的吃草量为“1”，只羊的吃草量等于头牛的吃草量，只羊的吃草量等于头牛的吃草量，所以草的生长速度为，原有草量为，12头牛与88只羊一起吃可以吃：（天） 【详解】 ＝ ＝10 ＝ ＝ ＝ ＝5（天） 答：那么12头牛与88只羊一起吃可以吃5天。 【名师点睛】牛吃草问题得以解决的前提条件是每头牛单位时间内吃的草量是相同的。需要特别注意的是，若干头牛一定时间内的吃草量与草场同样时间内的草总量是相等的。解题时要先求出长草速度，然后解得原草量数，最后回答问题。 9．头 【思路点拨】设1头牛1周吃草量为“1”。第一块牧场饲养12头牛，可以维持4周，相当于1公顷牧场可供4头牛吃4周；第二块牧场饲养25头牛，可以维持8周，相当于1公顷牧场可供2.5头牛吃8周。然后求出1公顷牧场1周新生长的草量及1公顷牧场原有草量，再考虑第三块牧场上饲养多少头牛恰好可以维持18周。 【详解】1公顷牧场1周新生长的草量为： 1公顷牧场原有草量为： 24公顷牧场每天新生长的草量为，原有草量为； 若想维持18周，需要饲养：（头）牛。 答：需要饲养40头牛。 【名师点睛】本题考查的是复杂的牛吃草问题，求出1公顷牧场的草速及1公顷牧场原有草量是解题的关键。 10．14个 【详解】排水问题对照“牛吃草问题”，蓄水池原注入的水量相当于“原有的草量”，打开出水管时新注入的水量相当于“新生长的草量”，每小时注入的水量相当于“每天新生长的草量”． 解：(1)每小时新注入的水量是： （5×8-10×3）÷（10-5） =（40-30）÷5 =10÷5 =2（个） (2)排水前原有的水量是： 10×3-2×3 =30-6 =24（个） （3）蓄水池2小时的总水量是： 24+2×2=28（个） 4.2小时把池内的水排完需要安排同样的出水管数是：28÷2=14（个） 答：要想2小时内把池内的水排完需要安排同样的14个出水管． 11．150级 【详解】在这道题中，“总的草量”变成了“扶梯的台阶总级数”，“草”变成了“台阶”，“牛”变成了“速度”,所以也可以看成是“牛吃草”问题来解答． 12．21头 【思路点拨】牛的头数×吃的天数＝原有牧草和相应天数生长的牧草，因此（23×9－27×6）表示（9－6）天生长的牧草，用除法求出每天生长出来的牧草，牛的头数×吃的天数－每天生长的牧草×吃的天数＝原有牧草，原有的牧草加12天新增的牧草，最后再除以12，就可以求出一共有牛的头数。 【详解】（23×9－27×6）÷（9－6） ＝（207－162）÷3 ＝45÷3 ＝15（份） 27×6－15×6 ＝（27－15）×6 ＝12×6 ＝72（份） （72＋12×15）÷12 ＝（72＋180）÷12 ＝252÷12 ＝21（头） 答：这群牛有21头。 【名师点睛】解决“牛吃草”问题的关键是要求出牧场上的“老草”有多少，“新长出的草”是多少。 13．7头 【思路点拨】先求出25头牛4天吃草的份数，以及16头牛6天吃草份数，用份数差除以天数差求出青草每天减少的份数；再求出牛吃草前牧场有草的份数，减去12天每天减少的份数，就是12天这些牛吃完的份数；再用12天这些牛吃完的份数除以吃的天数12天，就能得到这些草可供多少头牛吃12天。 【详解】青草每天减少： （25×4－16×6）÷（6－4）＝2（份） 牛吃草前牧场有草： 25×4＋2×4＝108（份） 12天吃完需要牛的数量为： （108－12×2）÷12＝7（头） 答：可供7头牛吃12天。 【名师点睛】此题属于牛吃草问题，解答的关键是求出青草每天减少的数量。 14．7小时12分钟 【思路点拨】当水从进水口匀速流入的同时出水口以更快的速度排出，假设1个出水口1小时排1份水，就可以知道9个出水口9小时排水9×9＝81份，7个出水口18小时排水7×18＝126份，从而可以求出进水口每小时进水多少份，用9小时排水的份数－9小时进水的份数＝半池水的份数，也就知道了一满池水的份数，再用一满池水的份数÷（15个出水口1小时排水份数－进水口1小时的进水份数）就可以了。 【详解】假设1个出水口1小时的出水量为1份，则进水口1小时的进水量为： ＝45÷2 ＝5（份） 半池水的量为： ＝4×9 ＝36（份） 所以一池水的量为：36×2＝72（份）， 如果打开全部15个出水口，排空水池所需要的时间为： ＝72÷10 ＝7.2（小时） 即7小时12分钟。 答：如果是一满池水，打开全部出水口放水，那么经过7小时12分水池刚好被排空。 【名师点睛】此题为复杂的工程问题，是牛吃草问题的变形，解决此题的关键是假设1个出水口1小时排1份水，进而可以求出进水口每小时进水多少份。 15．33只 【思路点拨】把每只猴吃的野果数量视为1份，23只猴9周吃掉23×9＝207份，21只猴12周吃掉21×12＝252份，那么12周与9周时间相差的252－207＝45份就是12－9＝5周新长的，则每周新长（252－207）÷（12－9）＝15份，原有野果207－15×9＝72份，4周吃完，那么有猴子72÷4＝18只，每周新长的15份可共15只猴子吃，所以一共有猴子18＋15＝33只，据此解答即可。 【详解】设一只猴子一周吃的野果为“”，则野果的生长速度是 ＝45÷3 ＝15， 原有的野果为 ＝8×9 ＝72， 如果要4周吃光野果，则需有 ＝18＋15 ＝33（只） 答：需有33只猴子一起吃。 【名师点睛】这是典型的牛吃草问题，利用题中的两种假设求出野果每天长的份数和原来野果的份数为本题解答的关键。 16．5根 【思路点拨】根据题意，设出1根出水管每小时的排水量为1份，先求出进水管每小时的进水量，在求出蓄水池原有水量，由此问题可以解决。 【详解】设根排水管小时排水为“”份， 进水速度为： （3×18－8×3）÷（18－3） ＝（54－24）÷15 ＝30÷15 ＝2（份） 原有水量为： （8－2）×3 ＝6×3 ＝18（份） 如果想要在小时内将池中的水全部排光，最少要打开： 18÷8＋2 ＝2.25＋2 ＝4.25（根） 根出水管，每根出水管1小时排水1份，又出水管的根数是整数，故最少要打开5根出水管。 答：最少要打开5根出水管。 【名师点睛】本题属于牛吃草问题，只要求出进水管每小时的进水量是解题的关键。 17．12天 【详解】根据题意，设每头牛每天吃“1”份草，先求出牧场每天的长草量，再求出牧场原有的草量，由此即可算出这片牧草可供21头牛吃的天数． 解：设每头牛每天吃“1”份草． 每天新生草量为： （23×9-27×6）÷（9-6） =（207-162）÷3 =45÷3 =15（份） 原有草量为：27×6-15×6=72（份） 21头牛吃的天数： 72÷（21-15） =72÷6 =12（天） 答：这片牧草可供21头牛吃12天． 18．36头 【详解】设1头牛1天吃1份牧草，则每公亩牧场上的牧草每天的生长量：（21×63÷30-12×28÷10）÷（63-28）=0.3（份），每公亩牧场上的原有草量：21×63÷30-0.3×63=25.2（份），则72公亩的牧场126天可提供牧草：（25.2+0.3×126）×72=4536（份），可供养4536÷126=36头牛 19．17人 【详解】这道题是“牛吃草问题”的一个变化题。已流进的水，加上3小时流进的水，每小时需要（12×3）人舀完，也就是36人用1小时才能舀完。已流进的水，加上10小时流进的水，每小时需要（5×10）人舀完，也就是50人用1小时才能舀完。通过比较，我们可以得出1小时内流进的水及船中已流进的水。 1小时流进的水，几人用1小时能舀完：（5×10－12×3）÷（10－3）＝2（人） 已流进的水：（12－2）×3＝30（份）） 已流进的水加上2小时流进的水，需多少人1小时舀完：30＋2×2＝34（人） 用2小时来舀完这些水需要：34÷2＝17（人） 20．30分钟 【详解】这是典型的牛吃草问题，要先求出变化的量（井每分钟涌出的水量）和不变的量（井里原有的水量）；由于每台抽水机的工作效率是一定的，所以可以用4部抽水机和6部抽水机的工作总量之差÷时间差（40-24）即为井每分钟涌出的水量，然后用四部抽水机40分钟的工作总量-40分钟涌出的水量就是井里原有的水量，进而可以求出同样用抽水机5部，多少时间可以抽干？ 解：设每台抽水机每分钟的抽水量为1份． 井每分钟涌出的水量为： （4×40-6×24）÷（40-24） =16÷16 =1（份） 井里原有水量为：4×40-40×1=120（份）或6×24-24×1=120（份）； 井每分钟涌出的水即1份，要用1台抽水机去抽，剩下5-1=4（台）抽水机就要去抽原有的水：120÷（5－1） =120÷4 =30（分钟） 答：同样用抽水机5部，30分钟可以抽干． 21．12天 【详解】设牛每天吃掉x，草每天长出y，原来有牧场的草量是a a=(27x-y)*6=(23x-y)*9 可解出y=15x,a=72x,所以a=(21x-y)*12,所以需要12天． 22．7个 【思路点拨】设每个入场口每分钟进1份人，根据两种情况求出原有的人数和每分钟来的人数，然后考虑队伍25分钟消失需要开几个口。 【详解】 （人/分钟） （人） （个） 答：需要同时开7个入场口。 【名师点睛】本题实质上考查的是牛吃草问题，这里人相当于是草，入场口相当于是牛。 23．150分米 【详解】蜗牛黑夜下滑的速度为﹙20×5-15×6﹚÷﹙6-5﹚=10（分米）． 井深：﹙20+10﹚×5=150（分米） 24．10头 【思路点拨】设1头牛1天吃1份草，先根据题目给出的两种情况求出草的增长速度，每天新生的草量是几份，就可以供几头牛吃1天。 【详解】设1头牛1天吃1份草； （份/天） （头） 答：这片牧场每天新生的草量可供10头牛吃1天。 【名师点睛】本题考查的是牛吃草问题，这里考查的比较简单，只需要求出草的增长速度即可。 25．40天． 【详解】试题分析：设每只羊每天吃1份草．38只羊，则25天吃完草，说明25天减少的草+原来的草共：38×25=950份； 30只羊，30天吃完，说明30天减少的草+原来的草共有30×30=900份； 所以（30﹣25=5）天枯萎的草为950﹣900=50份，即每天减少50÷5=10份，这样原来草为900+30×10=1200份，那么草地每天减少的草够5只羊吃一天．如果放20只羊，每天减少20+10份，这样可以吃1200÷30=40天． 解：设每只羊每天吃1份草； 草的减少速度即每天长的份数为： （38×25﹣30×30）÷（30﹣25） =（950﹣900）÷5 =50÷5 =10（份） 原来草的份数为：30×30+10×30=1200（份） 那么草地每天减少的草够10羊吃一天．如果放20只羊，那么每天减少20+10=30份 这样可以吃的天数为：1200÷30=40（天）． 答：如果有20只羊，这片牧场可以吃40天． 点评：这是典型的牛吃草问题，利用题中的两种假设求出草每天长的份数和原来草的份数为本题解答的突破口． 26．18天 【思路点拨】假设每辆汽车每天能运走的货物为1份，4辆9天能运4×9＝36份，5辆6天能运5×6＝30份，相差36－30＝6份，这6份就是仓库在9－6＝3天内进仓的，每天进仓6÷3＝2份，算出仓库原来有的份数，有多少份，若用1辆汽车运，就需要多少天运完。 【详解】设1辆汽车1天运货为“1”，进货速度为： （9×4－5×6）÷（9－6） ＝6÷3 ＝2 原有存货为： （4－2）×9 ＝2×9 ＝18 仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要： 18÷1＝18（天） 答：仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要18天运完。 【名师点睛】本题考查了牛吃草问题，要理解第一种运法比第二种运法多用的3天中，还在运进货物，每天运进来的货物恰好就是两辆车运进来的货物之和。本题关键是得出仓库原来有的份数。 27．40头 【详解】略 28．4人   10天 【详解】一桶酒相当于原有“草”，喝酒人相当于“牛”，漏掉酒相当于草在减少，设1人1天喝酒量为“1”      6人    4天   6×4＝24：原有酒－4天自然减少的酒      4人    5天   4×5＝20：原有酒－5天自然减少的酒 从上面看出：1天减少的酒为（24－20）÷（5－4）＝4，可供4人喝一天． 原有酒为：24＋4×4＝40，由4个人来喝需要：40÷4＝10（天）． 29．20天 【思路点拨】牛吃草问题又称为消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。 其基本数量关系是： （牛的头数×吃草较多的天数－牛头数×吃草较少的天数）÷（吃的较多的天数－吃的较少的天数）＝草地每天新长草量。 牛的头数×吃草天数－每天新长量×吃草天数＝草地原有的草。 设每匹马每天的吃草量假设为1份，则12匹马可以吃12天可以吃144份草，6匹马可以吃30天可以吃180份草，则两种吃草方式多了36份草，是18天多出来的，草场每天长的草量为2份。144份草里面分为原来的草和新长的草，12天每天新长草2分，一共长草24份，原来的草就是120份。设养8匹马可以吃x天，根据数量关系：原来的草＋新长的草＝8匹马吃的草。 【详解】设每匹马每天的吃草量假设为1份。 草场每天长的草量为： （30×6×1－12×12×1）÷（30－12） ＝（180－144）÷18 ＝36÷18 ＝2（份） 原来草场的草为： 12×12－2×12 ＝144－24 ＝120（份） 解：设养8匹马可以吃x天。 120＋2x＝8x 8x－2x＝120 6x＝120 x＝120÷6 x＝20 答：如果养8匹马，可以吃20天。 【名师点睛】牛吃草问题的难点在于草每天都在不断生长，草的数量都在不断变化。解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量，我们可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量。显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，我们也能找到另一个不变量——一定时间内新长出的草的数量。 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$