精品解析：上海市宝山区2024--2025学年上学期九年级期中考试数学试卷

2024学年第一学期九年级数学期中试卷 （满分150分 时间100分钟） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题． 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一．选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分） 1. 如果两个相似三角形对应边之比是1∶2，那么它们的对应高之比是（ ） A. 1∶2； B. 1∶4； C. 1∶6； D. 1∶8． 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形的对应高的比、中线、角平分线的比都等于相似比作答即可． 【详解】∵两个相似三角形对应边之比是1∶2， 又∵相似三角形的对应高的比、中线、角平分线的比都等于相似比， ∴它们的对应高之比是：1∶2， 故选：A. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比、中线、角平分线的比都等于相似比． 2. 下列选项中的两个图形一定相似的是（ ） A. 两个等边三角形 B. 两个矩形 C. 两个菱形 D. 两个等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是相似图形的判断，掌握形状相同的图形称为相似图形是解题的关键． 根据相似图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、两个等边三角形，三个角都是 ∴它们是相似图形，符合题意； B、两个矩形四个角都是，但对应边的比不一定相等 ∴它们不是相似图形，不符合题意； C、两个菱形角不一定相等 ∴它们不是相似图形，不符合题意； D、两个等腰三角形对应边的比不一定相等， ∴它们不是相似图形； 故选：A． 3. 如图，DE∥AB，如果CE∶AE =1∶2，DE=3，那么AB等于（ ） A. 6； B. 9； C. 12； D. 13． 【答案】B 【解析】 【分析】根据比例的性质得CE∶CA =1∶3，根据平行线分线段成比例定理的推论，即可求得答案. 【详解】∵CE∶AE =1∶2， ∴CE∶CA =1∶3， ∵DE∥AB， ∴ ∵DE=3， ∴AB=3 DE=9 故选：B 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的推论及比例的性质，熟练运用“平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例”是解题的关键. 4. 已知非零向量、，且有，下列说法中，不正确的是（ ） A. B. C. 与方向相反 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握平面向量的性质 根据平面向量的性质进行分析判断． 【详解】解∶ ， ，，， 故A、B、C正确，D错误， 故选∶D． 5. 如图，点、分别在的两边、的延长线上，下列条件能判定的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行线的判定的应用，主要考查学生的推理和辨析能力，注意：有两组对应边的比相等，且这两边的夹角相等的两三角形相似． 根据选项选出能推出，推出或的即可判断． 【详解】解：A、∵，，不符合两边对应成比例及夹角相等的相似三角形判定定理，无法判断与相似，即不能推出，故本选项错误； B、，， ， ，， 即不能推出，故本选项错误； C、∵，， ， ， ，故本选项正确； D、由可知，不能推出，即不能推出，即不能推出两直线平行，故本选项错误； 故选：C． 6. 如图，在△ABC中，点D在边BC上，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】A 【解析】 【分析】抓住已知条件：GE∥BD， GF∥AC，利用平行线分线段成比例以及中间比代换，对各选项一一判断即可求解. 【详解】∵GE∥BD，∴ ∵GF∥AC，∴ ∴，A选项正确； ∵GE∥BD，∴ ∵GF∥AC，∴ ∴，B选项错误； ∵GE∥BD，∴ ∵GF∥AC，∴ ∴，C选项错误； ∵GE∥BD，∴，D选项错误； 故选：A 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用中间比是解题的关键. 二．填空题：（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 7. 如果，那么锐角的度数是_______ 【答案】##60度 【解析】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值．利用特殊角的三角函数值计算即可得到锐角的度数． 【详解】解：∵，， ∴锐角的度数为． 故答案为：． 8. 如果，那么__________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质，求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 9. 已知在中，，，，那么_____________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据三角函数的定义即可求解． 【详解】∵cotB=， ∴AC= =3BC=6． 故答案是：6． 【点睛】此题考查锐角三角函数的定义及运用，解题关键在于掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，余切为邻边比对边． 10. 已知线段，如果点P是线段的黄金分割点，且，那么的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割；根据黄金分割点的定义求解，即可解题． 【详解】解：点P是线段的黄金分割点，且，， ， 即， ， 整理得或（不合题意，舍去） ， 故答案为：． 11. 已知向量与单位向量方向相反，且，那么________．（用向量的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面向量，熟练掌握单位向量以及向量反向的定义是解题的关键． 根据单位向量的定义和向量方向相反的条件，结合模长关系求解． 【详解】∵ 向量 与单位向量 方向相反，且 ，， ∴ ． 故答案为：． 12. 如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F．如果，DF=15，那么线段DE的长是__． 【答案】6 【解析】 【分析】由平行得比例，求出的长即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， 故答案为：6. 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例性质是解本题的关键． 13. 如图，的中线、交于点，点是的重心，点在边上，，那么______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线和重心的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中线性质可得，由重心的性质可得，再根据相似三角形的性质可得，进而即可求解，掌握重心的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵点是的重心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，是边长为3的等边三角形，分别是边上的点，，如果，那么_________ 【答案】 【解析】 【分析】由等边三角形的性质得出∠B＝∠C＝60°，证明△ABD∽△DCE，由相似三角形的性质得出则可求出答案． 【详解】解：∵是边长为3的等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 15. 矩形的一条对角线长为26，这条对角线与矩形一边夹角的正弦值为，那么该矩形的面积为___. 【答案】240 【解析】 【分析】由矩形的性质和三角函数求出AB，由勾股定理求出AD，即可得出矩形的面积． 【详解】解：如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°，AC=BD=26， ∵， ∴， ∴， ∴该矩形的面积为：； 故答案为：240. 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角函数；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出AB和AD是解决问题的关键． 16. 如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，联结．如果，，那么_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求角的余弦根据、分别是、的中点，知是中位线得，连接，根据菱形的性质知与垂直平分，根据余弦的定义，即可求解. 【详解】解：在菱形中，是的中点， 也是对角线的交点，且与垂直平分， 、分别是、的中点， ∴， ∴ 在中，，, ∴ 故答案为： 17. 平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD中，，点E、F分别在边AB、CD上，如果EF是梯形ABCD的“比例中线”，那么的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据是的比例中项可求得，再过点D作的平行线构造平行四边形，可求得的长度，然后再利用即可求得的值． 【详解】如图，过点D作的平行线，交于点M、N． ∵ ∴四边形、四边形、四边形均为平行四边形． ∴， ∵是梯形的比例中项， ∴． ∴ 由得， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例中项、平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是作的平行线构造平行四边形与相似三角形． 18. 如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanB=，点D是AB的中点，如果把△BCD沿直线CD翻折，使得点B落在同一平面内的B′处，联结A B′，那么A B′的长为_____． 【答案】 【解析】 【详解】分析：如图，作AE⊥BC于E，DK⊥BC于K，联结BB′交CD于H．只要证明∠AB′B=90°，求出AB、BB′，理由勾股定理即可解决问题； 详解：如图，作AE⊥BC于E，DK⊥BC于K，联结BB′交CD于H． ∵AB=AC，AE⊥BC， ∴BE=EC=4， 在Rt△ABE中，∵tanB=， ∴AE=6，AB==2， ∵DK∥AE，BD=AD， ∴BK=EK=2， ∴DK=AE=3， 在Rt△CDK中，CD=， ∵B、B′关于CD对称， ∴BB′⊥CD，BH=HB′ ∵S△BDC=•BC•DK=•CD•BH， ∴BH=， ∴BB′=， ∵BD=AD=DB′， ∴∠AB′B=90°， ∴AB′=， 故答案为: 点睛：本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 三．解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值即可代入求解. 【详解】解：原式 【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值. 20. 如图，在平行四边形中，点在边上，且，联结并延长交边的延长线于点，设，． （1）用表示，； （2）先化简，再求作：（不要求写作法，但要写明结论） 【答案】（1），; （2）原式， 如图，平行四边形ABCD，取AB的中点，则,， ∴, ∴ 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得对边相等且平行，再根据向量，平行向量的概念，性质及向量的运算进行求解； （2）根据平行四边形的性质得对边相等且平行，再根据向量的运算进行化简，根据化简结果的运算性质作图. 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD,AB∥CD,AD=BC,AD∥BC ∴ , ∵AE=2ED, ∴DF=AB,AE=AD, ∵, ∴,， ∴； （2） ， ; 【点睛】本题考查向量的性质及运算，根据平行线得平行向量及向量的运算是解答此题的关键. 21. 如图，在中，，是边上的中线，，． 求： （1）的长； （2）的余切值． 【答案】（1）7 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，勾股定理的应用； （1）过点D作于点，先求解，再求解，即可； （2）作，垂足为．求解，，可得，在中，利用余切的定义求解即可． 【小问1详解】 解：过点D作于点， 在中，，，， ， 在中，，， ∴，则， ， ． 【小问2详解】 作，垂足为． 是边上的中线，， ， ， ， ， 即在中，． 22. 如图，在中，点、分别在边、上，且，，，． （1）如果，求线段的长； （2）设的面积为2，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． （1）通过证明，即可得到答案； （2）由线段的数量关系求出面积关系即可得到答案． 【小问1详解】 解：，， ， 且， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ． 23. 如图，平行四边形中，，垂足为点，点是边中点，连接交线段于点，，连接． （1）求证：； （2）连接，求证：． 【答案】（1） 证明：，点是边中点， ， ， ， ， ， ， 平行四边形中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2） 证明：由（1）得， ， 且， ， ， ， ， ， ，即， , 是平行四边形， , . 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，由题意推出，以及平行四边形的性质得到，证明，即可得到结论； （2）根据题意证明，再根据相似三角形的性质得到对应线段成比例即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 在平面直角坐标系中，放置一个矩形，使矩形的一个顶点和坐标原点重合，点和点分别在第一和第四象限内，若点和点的纵坐标满足“”，则称矩形具有“条件”．如图，矩形中，，． （1）当矩形具有“条件0”，求此时点坐标； （2）当矩形具有“条件1”，求此时与轴正半轴所夹角的正弦值； （3）若矩形具有“条件”，当点在第一象限内，连接并延长交轴正半轴于点，连接，，若与相似，直接写出此时的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）过点作轴，过点作轴，可证得，得，由题意可知，即，则，令，，由勾股定理即可求解； （2）由题意可得，即，则，设，则，由勾股定理可得，解得（舍去），即，再根据正弦的定义即可求解； （3）由题意可知，分别两种情况：当时，则，，当时，则，分别求出即可求解． 【小问1详解】 解：过点作轴，过点作轴，则， 在矩形中，，，， 则，而， ∴， ∴， ∴，即：， 当矩形具有“条件0”时，即：， ∴，即， 则，令，， 由勾股定理可得：，即：， 解得：（负值舍去）， ∴，， 则此时点的坐标为； 【小问2详解】 当矩形具有“条件1”时，即：， ∴，即，则， 设，则， 由勾股定理可得：，即：， 解得：（舍去），即， ∴， 则此时与轴正半轴所夹角的正弦值为； 【小问3详解】 由题意可知：， 当时，则，， 此时，则， ∴，则， ∴，则， ∵， ∴，则， ∴， ∴； 当时，则， 此时，则， ∴，则， ∴，则， ∵， ∴，则， ∴， ∴； 综上，当与时，或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，解直角三角形，勾股定理，解一元二次方程，添加辅助线构造相似三角形和直角三角形是解决问题的关键． 25. 如图1，在中，是锐角，交边于点，点是边上一点，连接且满足，交边于点． （1）如图2，当点是边中点时，求证：； （2）当，且是直角三角形时，求此时的正切值； （3）记的面积为，的面积为，的面积为，若是和的比例中项，求的值． 【答案】（1） 证明：过点作， ∴，， ∴ ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）的正切值为或 （3） 【解析】 【分析】（1）过点作，由平行线分线段成比例可得，，利用比例的性质可得，结合题意得，则，进而可证明结论； （2）先证，，即可证明，得，则，由，设，，则，求得，则，，再分两种情况：当时，则， 当时，分别解直角三角形求解即可； （3）由（2）可知，，，可知，设的面积为，则，由题意可知，，令，则，，求得的值，用表示出，，，，，则，结合即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，则， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，则， 由，设，，则， ∴，则， ∴，即：， 当时，则， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴； 当时，过点作垂直于的延长线于， 则， ∴， ∵，，， ∴，， 则，， ∴，， 则， ∴； 综上，当是直角三角形时，的正切值为或； 【小问3详解】 由（2）可知，，， ∴， 设的面积为，则， 由题意可知，， ∴，令，则， 解得：（负值舍去），即：， ∴，，则，， ∴， ∵， ∴，则， ∴， 则， ∴． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，解直角三角形，勾股定理等知识点，添加辅助线构造直角三角形，利用线段比转化面积比是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期九年级数学期中试卷 （满分150分 时间100分钟） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题． 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一．选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分） 1. 如果两个相似三角形对应边之比是1∶2，那么它们的对应高之比是（ ） A. 1∶2； B. 1∶4； C. 1∶6； D. 1∶8． 2. 下列选项中的两个图形一定相似的是（ ） A. 两个等边三角形 B. 两个矩形 C. 两个菱形 D. 两个等腰三角形 3. 如图，DE∥AB，如果CE∶AE =1∶2，DE=3，那么AB等于（ ） A. 6； B. 9； C. 12； D. 13． 4. 已知非零向量、，且有，下列说法中，不正确的是（ ） A. B. C. 与方向相反 D. 5. 如图，点、分别在的两边、的延长线上，下列条件能判定的是（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，在△ABC中，点D在边BC上，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A. ； B. ； C. ； D. ． 二．填空题：（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 7. 如果，那么锐角的度数是_______ 8. 如果，那么__________________． 9. 已知在中，，，，那么_____________. 10. 已知线段，如果点P是线段的黄金分割点，且，那么的值为_____． 11. 已知向量与单位向量方向相反，且，那么________．（用向量的式子表示） 12. 如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F．如果，DF=15，那么线段DE的长是__． 13. 如图，的中线、交于点，点是的重心，点在边上，，那么______． 14. 如图，是边长为3的等边三角形，分别是边上的点，，如果，那么_________ 15. 矩形的一条对角线长为26，这条对角线与矩形一边夹角的正弦值为，那么该矩形的面积为___. 16. 如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，联结．如果，，那么_________． 17. 平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD中，，点E、F分别在边AB、CD上，如果EF是梯形ABCD的“比例中线”，那么的值为__________． 18. 如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanB=，点D是AB的中点，如果把△BCD沿直线CD翻折，使得点B落在同一平面内的B′处，联结A B′，那么A B′的长为_____． 三．解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算： 20. 如图，在平行四边形中，点在边上，且，联结并延长交边的延长线于点，设，． （1）用表示，； （2）先化简，再求作：（不要求写作法，但要写明结论） 21. 如图，在中，，是边上的中线，，． 求： （1）的长； （2）的余切值． 22. 如图，在中，点、分别在边、上，且，，，． （1）如果，求线段的长； （2）设的面积为2，求的面积． 23. 如图，平行四边形中，，垂足为点，点是边中点，连接交线段于点，，连接． （1）求证：； （2）连接，求证：． 24. 在平面直角坐标系中，放置一个矩形，使矩形的一个顶点和坐标原点重合，点和点分别在第一和第四象限内，若点和点的纵坐标满足“”，则称矩形具有“条件”．如图，矩形中，，． （1）当矩形具有“条件0”，求此时点坐标； （2）当矩形具有“条件1”，求此时与轴正半轴所夹角的正弦值； （3）若矩形具有“条件”，当点在第一象限内，连接并延长交轴正半轴于点，连接，，若与相似，直接写出此时的值． 25. 如图1，在中，是锐角，交边于点，点是边上一点，连接且满足，交边于点． （1）如图2，当点是边中点时，求证：； （2）当，且是直角三角形时，求此时的正切值； （3）记的面积为，的面积为，的面积为，若是和的比例中项，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $