上海市静安区新中高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

新中高级中学2024-2025学年高二上期中考试数学试卷 学校:_________姓名：_________班级：__________考号：___________ 一、填空题（共10题，每题4分，共40分） 1．已知，，则直线m、n的位置关系为 . （填平行、相交、异面） 2.已知向量平行于向量 则 3.在长方体 中, F 是DC 的中点, 设 用表示 . 4.已知向量 则与的夹角为 . 5．如图，已知长方体的棱长， 则点到棱的距离是 6．已知圆锥的底面半径为，沿该圆锥的母线把侧面展开后可得到圆心角为的扇形，则该圆锥的高为 . 7．已知正四棱锥的所有棱长都为2，则此四棱锥体积为 . 8．如图，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径 所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为 . 9．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱．若侧面水平放置时， 液面恰好过的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为 . 10．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也，甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，其中四边形为矩形，，若，和都是正三角形，为的中点，则异面直线与 所成角的余弦值为 .    二、单选题（共3题，每题4分，共12分） 11．已知空间向量，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 12．如图是一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，则球的体积与圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 13．如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界）， 则下列说法中不正确的是（    ）    A． 若平面，则动点的轨迹是一条线段 B．不存在点，使得平面 C．当且仅当点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大 D．若，那么点的轨迹长度为 三、解答题（共4题，共48分） 14．（本题满分8分）如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径， 圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等． （1）求圆柱的侧面积；（2）求三棱柱的体积． 15．（本题满分8分）如图，在棱长为1的正方体中，分别为的中点， 点在上，且．（1）求与所成角的余弦值； （2）求点E到平面C的距离． 16．（本题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且， 点分别为棱的中点，且平面. （1）证明： 平面；（2）求二面角的大小. 17．（本题满分20分）如图，在等腰梯形中，，，，为中点， 点，分别为，的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面（如图）．    （1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 新中高级中学2024-2025学年高二上期中考试数学试卷解析 学校:_________姓名：_________班级：__________考号：___________ 一、填空题（共10题，每题4分，共40分） 1．已知，，则直线m、n的位置关系为 平行或异面 . （填平行、相交、异面） 1．平行或异面【分析】利用线面平行的定义直接判断即可.【详解】由，得直线与平面无公共点， 而，因此直线没有公共点，所以直线m、n的位置关系为平行或异面.故答案为：平行或异面. 2.已知向量平行于向量 则 3.在长方体 中, F 是DC 的中点, 设 用表示 -++ . 4.已知向量 则与的夹角为 120° . 5．如图，已知长方体的棱长， 则点到棱的距离是 5 5．5【分析】根据长方体的性质，结合线面垂直性质以及点线距离定义，可得答案. 【详解】连结，如图：在长方体中，由平面， 平面，所以，则点到棱的距离是， 在矩形中，.故答案为：5. 6．已知圆锥的底面半径为，沿该圆锥的母线把侧面展开后可得到圆心角为的扇形，则该圆锥的高为 . 6．【分析】设圆锥的母线为，高为，根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面周长求出，再由勾股定理计算 可得.【详解】设圆锥的母线为，高为，底面半径，扇形的半径为. 由已知可得的长为，又，由可得， 所以圆锥的高.故答案为：. 7．已知正四棱锥的所有棱长都为2，则此四棱锥体积为 . 7．【分析】求出四棱锥的高，即可得到此四棱锥体积. 【详解】设底面正方形两条对角线相交于O点， 由题可得，PO⊥底面ABCD，在Rt△AOP中, ∵AO=AC=，AP=2， ∴PO=. 故=.故答案为.【点睛】求解空间几何体体积的常用策略： （1） 公式法：对于规则几何体的体积问题，直接利用公式即可破解； （2） 切割法：对于不规则的几何体，可以将其分割成规则的几何体，再利用公式分别求解之后进行相加求和即可； （3） 补形法：同样对于不规则的几何体，还可以将其补形成规则图形，求出规则几何体的体积后减去多于部分 即可求解，但需注意的是补形后多于部分的几何体也应该是规则的，若不是规则的，此方法不建议使用； （4） 等体积法：一个几何体无论怎样变化，其体积是不会发生变化的. 如果遇到一个几何他的底面面积和高较难求解时，常常采用此种方法进行解题. 8．如图，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径 所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为 . 8．【分析】在三角形中作于点，求得圆锥的底面半径和高，计算出球体和圆锥体积即可 求得结果.【详解】由题，为等腰直角三角形，作于点，如图， 则绕着直径所在直线旋转一周得到的几何体为两个全等的圆锥和， 由半径为2可得圆锥底面圆半径为，圆锥的高为2， 则圆锥的体积为， 半圆面旋转一周形成半径为2的球体，其体积为， 因此剩余部分所形成的几何体的体积为.故答案为：. 9．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱．若侧面水平放置时， 液面恰好过的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为 . 9．6【分析】根据题意，当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，由已知条件求出水的体积；当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，故水的体积可以用三角形的面积直接表示出，计算即可得答案． 【详解】根据题意，当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形，设△ABC的面积为S，则S梯形＝S，水的体积V水＝S×AA1＝6S，当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，则有V水＝Sh＝6S， 故h＝6.【点睛】本题考点是棱柱的体积计算，考查用体积公式来求高，考查转化思想以及计算能力，属于基础题． 10．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也，甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，其中四边形为矩形，，若，和都是正三角形， 为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 10． 【分析】取中点，连接，，易证平面， 再由等边三角形可知四边形为等腰梯形，高为，建立空间直角坐标系，利用向量法可得异面直线夹角余弦值.【详解】如图所示，设，取中点，连接，， 则，又，，四边形为矩形，， 又为正三角形，为的中点，，， 且，平面，平面，易知， 则，四边形为等腰梯形，高为，在平面内，过点作的垂线， 以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，， ，，即，，， 即异面直线与的夹角余弦值为，故答案为：. 二、单选题（共3题，每题4分，共12分） 11．已知空间向量，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 11．C【分析】根据空间向量的坐标运算求，结合投影向量的坐标运算求解. 【详解】因为，，则， ，所以在上的投影向量为.故选：C. 12． 如图是一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等， 则球的体积与圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 12．B【分析】设球的半径为，根据球、圆柱的体积公式计算可得. 【详解】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，所以球的体积， 圆柱的体积，所以.故选：B. 13． 如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点， 为正方形内一动点（含边界），则下列说法中不正确的是（    ）   B． 若平面，则动点的轨迹是一条线段 B．不存在点，使得平面 C．当且仅当点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大 D．若，那么点的轨迹长度为 13．D【分析】利用线面平行与面面平行的判定定理与性质定理判断A；建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，从而利用线面垂直的向量表示可判断B；利用空间向量法求得点到平面的距离关于的表达式，分类讨论的取值范围求得三棱锥的体积，从而判断C；利用勾股定理求得为定值，从而判断Q的轨迹， 进而求其长度判断D.【详解】选项A，分别取中点，连接，  由与，平行且相等得平行四边形，所以 ， 又平面，平面，所以 平面，同理 平面，又平面，所以平面 平面，当时，平面，所以 平面，即点轨迹是线段， 故A正确；选项B，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则， 设，则，设是平面的一个法向量，则，取，则，若平面，则 ，所以存在， 使得，则，解得，因此正方形内（含边界）不存在点， 使得平面，故B正确； 选项C，面积为定值，当且仅当点到平面的距离最大时，三棱锥的体积最大， 又，则到平面的距离为，当时，， 则当时，有最大值；当时，，则当时，有最大值， 综上，当时，取得最大值1，即与重合时，取得最大值，三棱锥的体积最大，故C正确； 选项D，平面平面，所以，所以， 所以点轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，圆心角是，则其轨迹长度为，故D错误.故选：D. 三、解答题（共4题，共48分） 14．（本题满分8分）如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径， 圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等． （1）求圆柱的侧面积；（2）求三棱柱的体积． 14． （1）；（2）2. 【分析】（1）根据圆柱的体积可求得半径为，代入侧面积公式可得结果； （2）求出三棱柱底面的面积，再由体积公式可得结果. 【详解】（1）设底面圆的直径为，则其高也为；由题可知， 圆柱的体积，解得，因此圆柱的侧面积为； （2）因为是等腰直角三角形，底面圆的半径为1，因此边长， 所以三棱柱的体积． 15． （本题满分8分）如图，在棱长为1的正方体中， 分别为的中点，点在上，且． （1）求与所成角的余弦值；（2）求点E到平面C的距离． 15．（1）；（2）.【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间 向量的坐标运算，由，即可证明；（2）根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）证明：以所在直线分别为轴，轴，轴，建系如图， 则根据题意可得： ，又与所成角的范围为， 与所成角的余弦值为； （2）由三垂线定理得：B⊥平面C，平面C法向量为， =，点E到平面C的距离d===. 16． （本题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形， 且，点分别为棱的中点，且平面. （1）证明： 平面；（2）求二面角的大小. 16．（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）取中点，连接， 可证 ，进而 平面；（2）根据已知可证平面，取中点，以所在直线 分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，由两平面夹角的向量公式可解. 【详解】（1）取中点，连接点为中点， ，底面是边长为2的正方形， 为中点， ， 四边形是平行四边形. ,平面平面 平面； （2）平面平面，又底面是边长为2的正方形， 平面，平面，平面，平面.又平面. ，底面是边长为2的正方形，， 为中点，，又 平面，平面，平面， 取中点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 所以， 设平面法向量为，则 设平面法向量为，则， ，，所以向量的夹角为， 结合图形可知二面角为锐角，所以二面角的大小为. 17．（本题满分20分）如图，在等腰梯形中，，，，为中点， 点，分别为，的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面（如图）．    （1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 17．(1)证明见解析；(2)；(3)存在，. 【分析】（1）通过证明，，可证明相关结论；（2）如图建立空间直角坐标系，求出平面 法向量，后由空间向量知识可得答案；（3）由题目信息可表示出平面的法向量，后由可解决问题. 【详解】（1）证明：因，且，则四边形是平行四边形，则， 又四边形为等腰梯形，则，结合可得是等边三角形.又为中点，则； 如图连接，注意到，，则四边形是平行四边形，结合是等边三角形， 可得四边形是菱形，则是等边三角形，又为中点，则， 因为平面，，所以； （2） 因平面平面， 平面平面，平面， ，则平面. 又由（1）可得，则如图建立以为原点的 空间直角坐标系，则 .则. 设平面的法向量为，则，取，则， 所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则； （3） 假设存在满足条件的点，设，则.又， 得，则.又由题可得，结合， 为的中点，可得，则，设平面的法向量为，则，取，则，，所以为平面的一个法向量. 要使平面，则，又， 则.故在侧棱上存在点，使得平面，且.    成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$