精品解析：福建省莆田市第十五中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

莆田第十五中学2024～2025学年 第一学期期中考高二数学数列直线与圆 （考试时间：120分钟满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请把答案填在答题卷的相应位置. 1. 过两点，的直线的倾斜角为60°，则 A. -9 B. -3 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】 根据直线的斜率公式即可求解. 【详解】因为过两点，的直线的倾斜角为60°， 所以， 解得， 故选：A 【点睛】本题主要考查了直线斜率的公式，属于容易题. 2. 若直线和直线平行，则m的值为（ ） A. 1 B. -2 C. 1或-2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线平行满足的系数关系即可求解. 【详解】由于和直线平行， 所以，解得， 故选：A 3. 过点且与直线平行的直线方程是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设所求的直线方程为，代入点，即可求得本题答案. 【详解】因为所求直线方程与直线平行，所以可设为，又因为经过点，代入可得，则所求直线方程为. 故选：C 【点睛】本题主要考查直线方程的求法，属于基础题. 4. 已知直线:，直线:，若，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据直线的垂直，即可求出tanα=2，再根据二倍角公式即可求出． 【详解】因为l1⊥l2，所以， 所以tanα=2， 所以. 故选：B． 【点睛】本题考查了两直线的垂直的充要条件，以及正切二倍角公式，属于容易题. 5. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线平行求出，再根据两平行直线间的距离公式求出结果. 【详解】∵直线与直线平行， ∴，得， 此时两直线为：与，即与， ∴它们之间的距离是. 故选：D． 6. 圆x2+y2+4x﹣2y+1＝0截x轴所得弦的长度等于（ ） A. 2 B. 2 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 首先令y＝0，整理得两根和与两根积，进一步求出弦长. 【详解】令y＝0，可得x2+4x+1＝0， 所以，， 所以. 故选：B 【点睛】本题考查的是圆中弦长的求法，较简单. 7. 已知等差数列的首项为1，公差不为0，若，，成等比数列，则数列的前6项和为（ ） A. 6 B. 11 C. 36 D. 51 【答案】C 【解析】 【分析】由，，成等比数列，求出，由等差数列的前项和即可求出答案. 【详解】等差数列的首项为1，所以， ，，成等比数列，所以， 所以 解得：， 所以数列的前6项和为：. 故选：C. 8. 已知数列满足：且，则此数列的前20项的和为（ ） A. 621 B. 622 C. 1133 D. 1134 【答案】C 【解析】 【分析】这个数列的奇数项是公差为2的等差数列，偶数项是公比为2的等比数列，只要分开来计算即可. 【详解】由于，所以当n为奇数时，是等差数列，即： 共10项， 和为； ，共10项， 其和为； ∴该数列前20项的和； 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.请把答案填在答题卷的相应位置. 9. 在下列四个命题中，错误的有（ ） A. 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D. 若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率不一定为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据直线的斜率与倾斜角的定义，逐项判定即可． 【详解】对于A：当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为，斜率不存在，所以A错误； 对于B：根据直线倾斜角的定义，可得直线倾斜角的取值范围是，所以B错误； 对于C：一条直线的斜率为，此直线的倾斜角不一定为， 如：直线的斜率可表示为，但它的倾斜角为，所以C错误； 对于D：一条直线的倾斜角为时，它的斜率为或不存在，所以D正确． 故选：ABC． 10. 点P是直线x+y﹣3＝0上的动点，由点P向圆O：x2+y2＝4作切线，则切线长可能为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】 根据题意，设T为切点，分析圆的圆心与半径，可得|PT|，进而可得|PT|的最小值，分析选项即可得解． 【详解】根据题意，由点P向圆O：x2+y2＝4做切线，设T为切点，连接OP、OT，如图： 圆O：x2+y2＝4，其圆心（0,0），半径r＝2； 则切线长， 当最小时，最小， 当PO与直线垂直时，取最小值，则， 所以， 分析选项：A、C、D都满足，符合题意 故选：ACD． 【点睛】本题考查了直线与圆相切的性质，涉及切线长的计算，属于基础题． 11. 已知是等差数列的前项和，且，，则（ ） A. 数列为递增数列 B. 数列为递减数列 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用等差数列的性质有，又，可得即可判断的单调性，根据等差数列前n项和判断、的符号. 【详解】由题设，，而， ∴，则，则为递减数列，A错误，B正确； ，，C正确，D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置. 12. 已知圆C的圆心，且与直线相切于点，则圆C方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆心与切点连线垂直于切线求出，由求得半径，根据圆的标准方程求得答案． 【详解】∵圆C的圆心，且与直线相切于点， ∴直线与直线垂直， ∴，即，解得， ∴圆心，圆的半径， ∴圆C方程为. 故答案为：. 13. 无论为何值，直线必过定点坐标为__ 【答案】 【解析】 【分析】把直线方程变形可得，联立方程组，即可求解. 【详解】根据题意，直线，即， 变形可得，联立方程组，解得， 即直线必过定点. 故答案为：. 14. 已知等比数列的各项都是正数，且，，成等差数列，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列的性质及它们成等差可建立方程，从而可求的值，即可求得结论. 【详解】解：由题意得： 设正项等比数列的公比为，则， ∵，，成等差数列 ∴ ∴ ∴或（舍去） ∴． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分（13，15，15，17，17）.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.把答案填在答题卷相应位置. 15. 求符合下列条件的直线的方程: （1）过点，且斜率为； （2）经过点且在两坐标轴上的截距(截距不为0)相等. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】 (1)根据点斜式求解方程再化简即可. (2)由题可设直线的截距式方程再代入点求解即可. 【详解】（1）∵直线的斜率为,且过点,∴直线的方程为,即. （2）由题可设直线的方程为:,将点代入上式,得,∴ 直线的方程为. 【点睛】本题主要考查了直线的点斜式与截距式的运用,属于基础题. 16. 已知圆C经过点，且圆心C在直线和交点上. （1）求圆C的方程； （2）求经过圆上一点的切线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由条件可得圆心坐标，再由两点间距离公式可得半径，即可得到圆的标准方程； （2）根据题意，先求得直线的斜率，即可得到切线的斜率，再由点斜式方程，即可得到结果. 【小问1详解】 根据题意，设圆心的坐标为，则有，； 则圆心的坐标为，半径， 则圆C的方程为； 【小问2详解】 根据题意，圆C的方程为， 有在圆C上，则有，则切线的斜率， 则切线的方程为，变形可得. 17. 已知在等比数列中，，且，，成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 分析】 （1）根据题意，得到，求得，进而求得数列的通项公式； (2)由（1）可得，结合等差数列和等比数列的前项和公式，即可求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为 因为，，成等差数列，可得， 所以，所以数列的通项公式. (2)由（1）可得， 所以 . 【点睛】分组求和的解题策略： 1、一个数列的的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减； 2、分组转化求和的常见类型： ①若数列满足（为等差或等比数列），可分组求和； ②若（为等差或等比数列），可分组求和. 18. 已知是等差数列，其中，. （1）求的通项公式； （2）设数列的前项和为，求的最大值. 【答案】（1） （2）117 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，然后根据已知条件列方程求出，从而可求出其通项公式， （2）由通项公式可求得当时，；当时，，从而可得时，最大，进而可求出其最大值 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为，，， 所以， 所以，， 所以. 【小问2详解】 因为，令，得， 所以当时，；当时，， 故当时，最大，且最大值为. 19. 在平面直角坐标系中，圆，以为圆心的圆记为圆，已知圆上的点与圆上的点之间距离的最大值为21. （1）求圆的标准方程； （2）求过点且与圆相切的直线的方程； （3）已知直线与轴不垂直，且与圆，圆都相交，记直线被圆，圆截得的弦长分别为，.若，求证：直线过定点. 【答案】（1）；（2）或；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）因为，可得圆为圆心，半径为，设为圆心的圆记为圆，设半径为，由圆上的点与圆上的点之间距离的最大值为，可得，即可求得圆方程，即可求得答案； （2）分别讨论切线的斜率不存在和切线的斜率存在两种情况，当切线的斜率存在时，设直线方程为，设直线到圆的距离为，由直线和圆相切，可得，求得,即可求得答案； （3）设直线的方程为，求得圆心，圆心到直线的距离分别为，，根据几何关系可得：，，结合，即可求得和关系式，即可求得方程，进而求得直线过定点. 【详解】（1） 圆为圆心，半径为 设为圆心的圆记为圆，设半径为 由圆上的点与圆上的点之间距离的最大值为. 可得 解得 圆的标准方程为. （2）①当切线的斜率不存在时，直线方程为符合题意； ②当切线的斜率存在时， 设直线方程为， 即， 直线和圆相切， 设直线到圆距离为 ， 解得，从而切线方程为. 故切线方程为或 （3）设直线的方程为， 则圆心，圆心到直线的距离分别为，， 几何关系可得：， ，. 由，得， 整理得，故， 即或， 直线为或， 直线过点定点或直线过定点. 【点睛】本题主要考查了求圆标准方程和求圆的切线方程，及其求直线过定点问题，解题关键是掌握圆的基础知识和求圆的切线方程的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 莆田第十五中学2024～2025学年 第一学期期中考高二数学数列直线与圆 （考试时间：120分钟满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请把答案填在答题卷的相应位置. 1. 过两点，的直线的倾斜角为60°，则 A -9 B. -3 C. 5 D. 6 2. 若直线和直线平行，则m的值为（ ） A. 1 B. -2 C. 1或-2 D. 3. 过点且与直线平行的直线方程是 A. B. C. D. 4. 已知直线:，直线:，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. 1 B. C. 3 D. 6. 圆x2+y2+4x﹣2y+1＝0截x轴所得弦的长度等于（ ） A. 2 B. 2 C. 2 D. 4 7. 已知等差数列的首项为1，公差不为0，若，，成等比数列，则数列的前6项和为（ ） A. 6 B. 11 C. 36 D. 51 8. 已知数列满足：且，则此数列的前20项的和为（ ） A. 621 B. 622 C. 1133 D. 1134 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.请把答案填在答题卷的相应位置. 9. 在下列四个命题中，错误的有（ ） A. 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D. 若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率不一定为 10. 点P是直线x+y﹣3＝0上的动点，由点P向圆O：x2+y2＝4作切线，则切线长可能为（ ） A. B. C. 1 D. 11. 已知是等差数列的前项和，且，，则（ ） A. 数列为递增数列 B. 数列为递减数列 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置. 12. 已知圆C的圆心，且与直线相切于点，则圆C方程为________. 13. 无论为何值，直线必过定点坐标为__ 14. 已知等比数列的各项都是正数，且，，成等差数列，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分（13，15，15，17，17）.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.把答案填在答题卷相应位置. 15. 求符合下列条件的直线的方程: （1）过点，且斜率； （2）经过点且在两坐标轴上的截距(截距不为0)相等. 16. 已知圆C经过点，且圆心C在直线和交点上. （1）求圆C的方程； （2）求经过圆上一点切线方程. 17. 已知等比数列中，，且，，成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的前项和. 18. 已知是等差数列，其中，. （1）求的通项公式； （2）设数列的前项和为，求的最大值. 19. 在平面直角坐标系中，圆，以为圆心的圆记为圆，已知圆上的点与圆上的点之间距离的最大值为21. （1）求圆的标准方程； （2）求过点且与圆相切的直线的方程； （3）已知直线与轴不垂直，且与圆，圆都相交，记直线被圆，圆截得弦长分别为，.若，求证：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$