2.4 单摆【三大必考点+五大秒杀招+七大题型+分层训练】-2024-2025学年高二上学期物理人教版（2019）选择性必修第一册题型归类+解题大招

2.4 单摆【三大必考点+五大秒杀招+七大题型+分层训练】 课前预习+知识精讲 知识点01单摆及单摆的回复力 1．单摆 (1)如果细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫做单摆。单摆是实际摆的理想化模型。 (2)单摆的平衡位置：摆球静止时所在的位置。 2．单摆的回复力 (1)回复力的来源：如图所示，摆球的重力沿圆弧切向的分力提供回复力。 (2)回复力的特点：在偏角很小时，sinθ≈，所以单摆的回复力为F＝－x，即小球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置，单摆的运动可看成是简谐运动。 3．单摆的运动特点 (1)摆线以悬点为圆心做变速圆周运动，因此在运动过程中只要速度v≠0，半径方向都受向心力． (2)摆线同时以平衡位置为中心做往复运动，因此在运动过程中只要不在平衡位置，轨迹的切线方向都受回复力． 知识点02 单摆的周期 1．伽利略发现了单摆运动的等时性，惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟。 2．单摆的周期 (1)单摆的周期T＝2π，只与摆长l及单摆所在处的重力加速度有关，与振幅及摆球的质量无关。单摆的周期叫固有周期。 (2)单摆的周期公式在单摆偏角很小 时成立(偏角为5°时，由周期公式算出的周期和精确值相差0.01%)。 (3)单摆周期公式中的g应为单摆所在处的重力加速度，l应为单摆的摆长。摆长是指从悬点到摆球重心的长度，l＝l′＋，l′为摆线长，d为摆球直径。 知识点03单摆的“等效思维” l等效＝lsin α 做垂直纸面的小角度摆动 l等效＝lsin α＋l 垂直纸面摆动 l等效＝l 纸面内摆动 左侧：l等效＝l 右侧：l等效＝l 纸面内摆动T＝π＋π l等效＝R 当半径R远大于小球位移x时，小球做单摆运动 解题大招 大招01关于单摆的回复力的两点提醒 (1)单摆振动中的回复力不是它受到的合力，而是重力沿圆弧切线方向的一个分力．单摆振动过程中，“摆线拉力”与“重力沿摆线方向的分力”的合力提供向心力，这是与弹簧振子的不同之处． (2)在最大位移处时，因速度为零，所以向心力为零，故此时合力等于回复力． 大招02单摆模型及问题的分析、解答 (1)单摆模型指符合单摆规律的运动模型。满足条件： ①圆弧运动。②小角度摆动。③回复力F＝－kx。 (2)首先确认符合单摆模型的条件，然后寻找等效摆长l及等效加速度g，最后利用公式T＝2π或筒谐运动规律分析、解答。 大招03回复力的特点： 在偏角很小时，，所以单摆的回复力，即小球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，方向总是指向平衡位置，由此可见单摆在摆角很小的条件下的振动为简谐运动。 大招04圆弧摆和圆锥摆 （1）圆弧摆：如图所示，有一固定光滑圆弧曲面 AO'B，在A处放一小球。 圆弧摆做简谐运动的条件：①圆AO'B弧曲面光滑；②小球直径和圆弧弧长远小于圆弧的半径R；③小球在曲面 AO'B上做往复运动。 周期。 （2）圆锥摆：如图所示，一根质量和伸长量均可忽略不计的细线，一端固定在悬点上，另一端系一个摆球。 摆球只受两个力，重力和拉力，两个力的合力提供摆球做圆周运动的向心力FN，由 ，解得周期。 大招05摆钟的快慢变化及调整方法 1.计时原理 摆钟是单摆做简谐运动的一个典型应用，摆钟每摆动一次（完成一次全振动），摆钟就会显示一定的时间，也就是走时准确的摆钟的周期T。 2.摆钟快慢变化的原因 （1）g值变化：如摆钟地理位置的变化等。 （2）摆长变化：如热胀冷缩等。 3.摆钟快慢调整的方法 （1）摆钟变快说明周期变小，应增大摆长。 （2）摆钟变慢说明周期变大，应减小摆长。 题型分类 题型01对单摆模型及其回复力的理解 【例1】单摆是秋千、摆钟等实际摆的理想化模型，下列有关单摆的说法中正确的是（　　） A．单摆在任何情况下的运动都是简谐运动 B．单摆做简谐运动的振动周期由摆球的质量和摆角共同决定 C．当单摆的摆球运动到最低点时，回复力为零，但是所受合力不为零 D．单摆移到太空实验舱中可以用来研究简谐运动的规律 【答案】C 【解析】A．由单摆的条件可知单摆在摆角很小的情况下才做简谐运动，故A错误； B．由单摆做简谐运动的周期公式 即振动周期与摆球的质量和摆角无关，故B错误； C．当单摆的摆球运动到最低点时，回复力为零，但是单摆的向心力不为零，所受合力不为零，故C正确； D．单摆移到太空实验舱中，由于完全失重，其回复力为零，单摆不能做简谐运动，更不能研究简简谐运动的规律，故D错误。 故选C。 【变式1-1】如图所示，单摆在竖直平面内的、之间做简谐运动，点为单摆的固定悬点，点为运动中的最低位置，则下列说法正确的是（　　） A．摆球在点时，动能最大，回复力最大 B．摆球由点向点摆动过程中，细线拉力增大，回复力增大 C．摆球在点和点时，速度为零，故细线拉力最小，但回复力最大 D．摆球在点时，重力势能最小，机械能最小 【变式1-2】如图所示，O点为单摆的固定悬点，现将可视为质点的摆球拉至A点，此时细线处于张紧状态，静止释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置。整个过程忽略空气阻力，则在摆动稳定后的一个周期内（    ） A．摆球受到重力、拉力、回复力、向心力四个力的作用 B．摆球在经过A点和C点处，速度为零，向心力不为零 C．摆球在经过B点处，速度最大，回复力为零 D．摆球相邻两次经过B点时，细线拉力大小不相等 题型02单摆周期公式的应用 【例2】用细线悬挂一小球，保持摆线长度一定，选项A、B两种情况下小球做振幅不同的单摆运动，选项C、D两种情况下小球做高度不同的圆锥摆运动，则四种情况中周期最短的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设摆线长度为l，选项A、B两种情况下小球做振幅不同的单摆运动，由单摆周期公式可得 小球做圆锥摆运动时，设摆线与竖直方向夹角为，高度为h，小球质量为m，圆周半径为R，则有 解得 由此综合可得 故选D。 【变式2-1】一个理想单摆，已知其周期为T．如果转移到其他星球自由落体加速度变为原来的，振幅变为原来的，摆长变为原来的，摆球的质量变为原来的，它的周期变为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图所示，一小球用细线悬挂于O点，细线长为，O点正下方处有一铁钉。重力加速度为g，不计空气阻力，将小球拉至A处无初速度释放（摆角很小），这个摆的周期为（　　） A． B． C． D． 题型03单摆振动的图像及表达式 【例3】如图甲所示，一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置开始计时，相对平衡位置的位移随时间变化的图象如图乙所示。不计空气阻力，取重力加速度。对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（　　） A．单摆的摆长约为2.0m B．单摆的位移x随时间t变化的关系式为 C．从到的过程中，摆球的重力势能逐渐减小 D．从到的过程中，摆球所受回复力逐渐减小 【答案】BC 【解析】A．由题图乙可知，单摆的周期为，由单摆的周期公式 可得单摆的摆长为 故A错误； B．由图乙可知，振幅，角速度为 则单摆的位移x随时间t变化的关系式为 故B正确； C．由图乙可知，到的过程中，摆球从右侧最高点向平衡位置运动，摆球的速度逐渐增大，动能逐渐增大，重力势能逐渐减小，故C正确； D．由图乙可知，从到的过程中，摆球从平衡位置向左运动到最大位移处，可知摆球所受回复力逐渐增大，故D错误。 故选BC。 【变式3-1】（多选）同一地点的甲、乙两单摆的部分振动图像如图所示，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两单摆的摆长之比为16∶25 B．乙单摆的机械能大于甲单摆的机械能 C．两图线交点对应的时刻（t0）甲、乙两摆球速率相等 D．甲单摆的振动方程为 【变式3-2】如图甲所示的漏斗在做简谐运动的同时，小付同学将下方的薄木板沿箭头方向拉出，漏斗3s内漏出的细沙在板上形成的曲线如图乙所示，当地重力加速度大小，下列说法正确的是（  ） A．该沙摆的周期为3s B．该沙摆的摆长约为2m C．由图乙可知，木板被匀加速拉出 D．当图乙中的B点通过沙摆正下方时，薄木板的速度大小为17.5m/s 题型04圆弧摆和圆锥摆 【例4】如图所示，两根轻质细线分别连接两个可视为质点的小球，小球甲在竖直面内摆动，摆线的最大摆角为，小球乙在水平面内绕点做匀速圆周运动，连接小球乙的细线与竖直方向的夹角始终为，两小球运动的周期恰好相等，下列说法正确的是（    ） A．两根细线的长度相等 B．两小球的质量一定相等 C．两小球的机械能一定相等 D．连接甲、乙两球的细线长度之比为 【答案】D 【解析】BC．两小球的运动周期及速度大小与质量无关，B、C错误； AD．小球甲做简谐运动，周期 对乙受力分析结合牛顿运动定律有 解得 A错误、D正确。 故选D。 【变式4-1】如图甲，小球在光滑球面上的A、B之间来回运动。t=0时刻将小球从A点由静止释放，球面对小球的支持力大小F随时间t变化的曲线如图乙，若弧长AB远小于半径，则（　　） A．小球运动的周期为0.2πs B．光滑球面的半径为0.1m C．小球的质量为0.05kg D．小球的最大速度约为0.10m/s 【变式4-2】（多选）如图甲所示，一可视为质点的小球在光滑圆弧曲面上做简谐运动，圆弧轨道对小球的支持力大小随时间变化的曲线如图乙所示，图中时刻小球从点开始运动，重力加速度为。下列说法正确的是（   ） A．该圆弧轨道的半径为 B．小球简谐振动的周期为t0 C．小球的质量为 D．小球在平衡位置O点时所受的合力为零 题型05用等效摆长计算周期 【例5】如图所示，一根质量不计的细线和一根很轻的硬杆连接一个小球组成“杆线摆”，小球可以绕着固定轴来回摆动。摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内，这相当。于单摆在光滑斜面上来回摆动，轻杆长为L，摆角很小时，细线与轻杆间的夹角为α，轻杆与水平面间的夹角为θ，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．单摆的等效摆长为 Lsinθ B．单摆的等效摆长为 C．等效重力加速度为gsinα D．等效重力加速度为gsinθ 【答案】D 【解析】根据题图可知等效重力加速度沿斜面向下，则等效重力加速度为 单摆的等效摆长为杆长。 故选D。 【变式5-1】如图所示，一倾角很小、高为h的斜面固定在水平地面上，光滑小球由斜面顶点A从静止开始下滑，到达底端B所用时间为，如果过A、B两点将斜面剜成一个圆弧面，使圆弧面B点恰与底面相切，该小球由A到B所用时间为t2，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】如图所示，两根线的一端都系在小球的同一点，另一端分别固定在天花板上，组成一个双线摆，两根线的长度均为l、与竖直方向的夹角均为，小球的直径为d，重力加速度为g。现将小球垂直纸面向外拉动，使悬线偏离竖直方向一个很小的角度后由静止释放，若不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．该双线摆的摆长为 B．该双线摆的周期为 C．该双线摆的角越小越好 D．小球宜采用密度较小的塑料球 题型06 用等效重力加速度计算周期 【例6】如图所示，一带正电的小球用绝缘细绳悬于O点，将小球拉开较小角度后静止释放，形成一个单摆，下列操作能使其做简谐运动的周期变大的是（　　） A．减小摆长 B．初始拉开的角度更小一点 C．在此空间加一竖直向上的较小的匀强电场 D．在悬点O处放置一个带负电的点电荷 【答案】C 【解析】A．根据单摆周期公式有 若减小摆长，则周期变小，故A错误； B．结合上述可知，初始拉开的角度更小一点，不影响周期，故B错误； C．在此空间加一竖直向上的较小的匀强电场，小球所受电场力与重力反向，则等效重力加速度为 可知，等效重力加速度减小，则周期变大，故C正确； D．在悬点O处放置一个带负电的点电荷，则库仑力始终沿绳的方向，不影响回复力，回复力仍然为重力沿切线方向的分力，则单摆周期不变，故D错误。 故选C。 【变式6-1】（多选）某同学把单摆固定在光滑斜面上（斜面静止不动），并让小球在斜面上来回摆动（摆角很小），下列选项中与单摆周期有关的量是（　　） A．斜面的倾角 B．摆球的质量 C．摆球的振幅 D．摆线的长度 【变式6-2】如图所示，在一倾角为的光滑绝缘斜面上，将一长为L的细线（不可伸长）一端固定，另一端系一质量为m的小球，小球静止时在O点。将小球拉开一很小的倾角后由静止释放，小球的运动可视为单摆运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．摆球的摆动周期为 B．摆球刚释放时的回复力大小为 C．摆球经过平衡位置时合力为零 D．摆球摆动过程中，机械能不守恒 题型07摆钟的快慢变化及调整方法 【例7】摆钟是一种较有年代的计时钟表。其基本原理是利用了单摆的周期性，结合巧妙的擒纵器设计，实现计时的功能。图示为摆钟内部的结构简图。设原先摆钟走时准确，则（　　） A．摆动过程中，金属圆盘所受合力为其回复力 B．该摆钟在太空实验室可正常使用 C．该摆钟从北京带到广州，为走时准确，需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向下移动 D．该摆钟在冬季走时准确，到夏季为了准时，考虑热胀冷缩需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向上移动 【答案】D 【解析】A．回复力是指向平衡位置的力，摆动过程中，金属圆盘所受重力沿轨迹切线方向的分力为其回复力，金属圆盘所受合力还有一部分提供向心力，A错误； B．金属圆盘所受重力沿轨迹切线方向的分力为其回复力，该摆钟在太空实验室内处于失重状态，因此不可正常使用，B错误； C．该摆钟从北京带到广州，重力加速度减小，由单摆的周期公式，可知周期变大，摆钟变慢，为走时准确，需要摆钟的摆长变短，需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向上移动，C错误； D．该摆钟在冬季走时准确，到夏季温度升高，由于热胀冷缩，摆长变长，为了准时，需要摆长变短，因此考虑热胀冷缩需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向上移动，D正确。 故选D。 【变式7-1】惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟。摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重锤的势能提供，运行的速率由钟摆控制。旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动，如图所示，以下说法正确的是（　　） A．当摆钟不准确时需要调整圆盘的位置 B．摆钟快了应使圆盘沿摆杆上移 C．由冬季变为夏季时应使圆盘沿摆杆下移 D．把摆钟从福建移到北京应使圆盘沿摆杆上移 【变式7-2】已知火星表面的重力加速度值约为地球表面重力加速度值的0.4倍，将在地球表面走时准确的摆钟放到火星表面，则时针在钟面上从“1”走到“2”，在地球上已经过了约多少小时（　　） A． B． C． D． 分层训练 【基础过关】 1．下列对理想模型的应用，正确的是（　　） A．研究百米赛跑运动员的平均速度时，可以将运动员视为质点 B．研究从地面附近以一定初速度水平抛出的塑料飞盘时，可以认为它做平抛运动 C．研究两个半径为r、球心相距3r的带电金属球之间的库仑力时，可以将它们视为点电荷 D．研究一根轻质弹簧绳下挂着的小球的摆动时，可以认为两者构成一个单摆 2．如图所示，小明在家尝试用挂锁作为摆锤，测定当地的重力加速度。下列说法中正确的是（　　） A．将摆锤摆动到最高点时作为计时起点 B．摆锤摆动到最低点时其加速度为零 C．摆线可以选长度约为的不可伸长的细线 D．摆锤摆角越大，实验误差越小 3．图甲中的弹簧振子竖直放置，将小球从平衡位置往下拉至某一位置后释放，小球在平衡位置附近上下振动，弹簧在弹性限度内；图乙中小球由静止释放后可绕固定点来回摆动。忽略一切阻力，则下列说法正确的是（　　）    A．图甲中的小球在运动过程中机械能守恒 B．图乙中的小球一定做简谐运动 C．图乙中的小球在经过最低点时合力为零 D．图甲中的小球的回复力方向与位移方向始终相反 4．如图所示，绝缘细线的上端固定，下端系一带正电的小球，空间存在竖直向下的匀强电场，小球处于静止状态。若给小球一垂直于细线的很小的初速度，使小球在竖直面内开始运动，则小球的运动情况与下列情境中小球运动情况类似的是（各情境中，小球均由静止释放）（　　） A． B． C． D． 5．如图所示，细绳的上端固定，下端挂一小球，现将小球拉到A点由静止释放，小球在竖直平面内沿曲线ABC摆动，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．在B位置小球受重力、拉力和向心力的作用 B．在B位置小球处于平衡状态 C．在C位置小球的向心力比在B位置小球的向心力大 D．在A位置小球受拉力与重力作用，处于非平衡状态 6．如图甲所示，一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（　　） A．若仅将摆球质量变大，单摆周期变大 B．单摆的位移x随时间t变化的关系式为 C．从t=0.5s到t=1.0s的过程中，摆球的重力势能逐渐增大 D．从t=1.0s到t=1.5s的过程中，摆球所受回复力逐渐减小 7．某同学在探究单摆运动中，图甲是用力传感器对单摆运动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的F-t图像，则以下说法正确的是（    ） A．时刻摆球速度最大 B．时刻摆球经过最低点 C．单摆振动周期 D．单摆振动周期 8．一个单摆在竖直平面内摆动（摆角较小），摆球运动到最高点时对细线的拉力大小为、摆动的周期为；保持摆长不变，让该小球在水平面内做圆锥摆运动，摆线偏离竖直方向的夹角也为，运动过程中摆球对细线的拉力大小为，摆动的周期为。则（    ） A． B． C． D． 9．位于同一地点的甲、乙两个单摆做简谐运动的图像如图所示，则下列说法中不正确的是（　　） A．甲、乙两摆的摆长之比为1∶4 B．时，乙摆刚好摆到平衡位置 C．由于甲的振幅比乙大，所以甲摆的机械能大于乙摆 D．甲、乙两摆的振幅之比为2∶1 10．将一个力电传感器接到计算机上，可以测量快速变化的力，用这种方法测得的某单摆摆动过程中悬线上拉力大小随时间变化的曲线如图所示，由此图线提供的信息做出下列判断：①时刻摆球正经过最低点；②时摆球正处于最高点；③摆球摆动过程中机械能时而增大时而减小；④摆球摆动的周期约是。上述判断中正确的是（　　） A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 11．（多选）如图所示，光滑圆弧槽半径为R（未知），A为最低点，C到A的距离远远小于R，小球B位于A点的正上方，且到A点的距离为H。若同时释放小球B、C，则要使两小球B和C在A点相遇（小球B和C可视为质点），R的可能值为（　　） A． B． C． D． 12．（多选）如图甲所示，一可视为质点的小球在光滑圆弧曲面上做简谐运动，圆弧轨道对小球的支持力大小随时间变化的曲线如图乙所示，图中时刻小球从点开始运动，重力加速度为。下列说法正确的是（   ） A．该圆弧轨道的半径为 B．小球简谐振动的周期为t0 C．小球的质量为 D．小球在平衡位置O点时所受的合力为零 13．（多选）关于甲、乙图对应的说法正确的是（　　） A．图甲是研究弹簧振子的运动实验图，弹簧振子在弹簧弹力作用下做匀变速直线运动 B．图甲是研究弹簧振子的运动实验图，弹簧振子的加速度方向永远指向平衡位置O点 C．图乙是研究单摆的回复力实验图，单摆的回复力是摆球重力和细线拉力的合力 D．图乙中单摆的摆球运动到O点时所受合力不为零 14．如图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置。设向右为正方向，图乙是这个单摆的振动图象。求： （1）开始时摆球在B、O、C哪个位置； （2）单摆振动的频率是多少； （3）若重力加速度为，取3.14，这个摆的摆长是多少。（结果保留两位有效数字） 15．朝鲜族是爱好体育运动的民族，荡秋千更是入选了国家级遗产名录。将一台智能手机水平粘在秋千的座椅上，使手机边缘与座椅边缘平行，如图甲所示，手机质量为m，让秋千以小摆角（小于5°）自由摆动，此时秋千可看作一个理想的单摆，摆长为L。从手机传感器中得到了其垂直手机平面方向的a-t关系图如图乙所示，图中各量均为已知量。求： （1）当地的重力加速度； （2）当秋千摆至最低点时，手机对秋千的压力（重力加速度用g表示）。 【能力提升】 1．关于下列几幅图说法正确的是（　　） A．甲图中“10V”指的是电容的电压是“10V”时才可以正常工作状态 B．乙图是利用等效替代法观察桌面的微小形变 C．丙图的心电图是简谐振动的 D．丁图的单摆利用了等时性原理 2．如图甲所示，细线下悬挂一个除去了柱塞的注射器，注射器可在竖直面内摆动，且在摆动过程中能持续向下流出一细束墨水。沿着与注射器摆动平面垂直的方向匀速拖动一张硬纸板，摆动的注射器流出的墨水在硬纸板上形成了如图乙所示的曲线。注射器喷嘴到硬纸板的距离很小，且摆动中注射器重心的高度变化可忽略不计。若按图乙所示建立xOy坐标系，则硬纸板上的墨迹所呈现的图样可视为注射器振动的图像。关于图乙所示的图像，下列说法中正确的是（　　） A．x轴表示拖动硬纸板的速度 B．y轴表示注射器振动的速度 C．匀速拖动硬纸板移动距离L的时间等于注射器振动的周期的2倍 D．拖动硬纸板的速度增大，可使注射器振动的周期变短 3．如图甲所示，假设航天员登上月球后做了个圆锥摆运动实验，测得摆球在t时间内转了n圈，用尺子测量悬点与球心的高度差为h，然后让此摆球做单摆运动，作出的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．月球表面的重力加速度为 B．单摆的周期为 C．圆锥摆的摆长为 D．做单摆运动时，时间内摆球走过的路程为11A 4．如图甲，小球在光滑球面上的A、B之间来回运动。t=0时刻将小球从A点由静止释放，球面对小球的支持力大小F随时间t变化的曲线如图乙，若弧长AB远小于半径，则（　　）    A．小球运动的周期为0.2πs B．光滑球面的半径为0.1m C．小球的质量为0.05kg D．小球的最大速度约为0.10m/s 5．“滑水”是近些年兴起的一项热门运动。摩托艇后面拉着一根绳子，后面的人手拉绳子、脚踩冲浪板。摩托艇行驶起来后，人就可以借助冲浪板“滑水”。有人注意到摩托艇匀速行驶时，冲浪板相对于摩托艇并不是静止，而是做简谐运动。在俯视图中建立坐标系xOy，已知摩托艇的速度为v，绳长为L，绳上的最大拉力为F，人和冲浪板的总质量为m。水的阻力仅存在x方向，且正比于速度沿x轴的分量，比例系数为k。下列说法正确的是（　　） A．当绳子与x方向达到最大倾角时，绳上拉力为0 B．人和冲浪板做简谐运动时机械能守恒 C．人和冲浪板做简谐运动的周期为 D．人和冲浪板做简谐运动的周期为 6．对于下面甲、乙、丙三种情况，可认为是简谐运动的是（　　） ①倾角为的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距离，然后松开，假设空气阻力可忽略不计 ②粗细均匀的一根木筷，下端绕几圈铁丝，竖直浮在较大的装有水的杯中。把木筷往上提起一段距离后放手，木筷就在水中上下振动 ③小球在半径为的光滑球面上的、（）之间来回运动 A．只有① B．只有② C．只有①③ D．都可以 7．如图甲所示，单摆在竖直面内的A、C之间做简谐运动。小南同学利用传感器得到了单摆的摆球沿摆线方向的关系图（图乙）。为了进一步研究单摆的特性，小华继续实验。先使摆球（视为质点）带负电（摆线是绝缘的），然后分别将其放在垂直纸面向外的匀强磁场和竖直向上的匀强电场中。对于此次研究，小华的猜想正确的是（　　） A．由图像可得单摆摆动的周期为 B．摆球运动到最低点B时，回复力为零，所受合力为零 C．加上匀强磁场后，A与C不在同一水平面 D．加上匀强电场后，单摆周期变小 8．如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，该运动可看成简谐运动。从某次摆球到达右侧最大位移处开始计时，摆球相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示，取，。下列说法正确的是（　　） A．单摆的摆长约为1.0m B．单摆的位移x随时间t变化的关系式为 C．从到的过程中，摆球的动能逐渐增加 D．从到的过程中，摆球的回复力逐渐增大 9．如图所示，有一光滑并带有圆弧的曲面，倾斜放在平面上，在曲面的底部平行于轴线画一条虚线，现将一个可视为质点的小球从图中位置平行于虚线以一定的初速度进入曲面，将小球下滑过程中经过虚线时的位置依次记为a、b、c、d，以下说法正确的是（    ） A．虚线处的ab、bc、cd间距相等 B．经过ab、bc、cd的时间相等 C．小球从释放到离开曲面末端时（曲末端的圆弧可认为在水平面内）动能的变化量与初速度大小有关 D．小球通过a、b、c三点时对曲面的压力大小与初速度大小有关 10．如图所示，在电场强度为E的水平匀强电场中，有一足够大的绝缘光滑水平面，一根长为L的绝缘轻软细绳一端固定在平面上的O点，另一端系有一个质量为m、带电荷量为的小球A（可看作质点）。当小球A在水平面上静止时，细绳被拉直且与OO′重合，OO′的方向与电场方向平行。在水平面内将小球由平衡位置拉开一小段距离，保持细绳拉直，直至细绳与OO′间有一个小角度后由静止释放，不计空气阻力，则下列说法中正确的是（　　）    A．小球A通过OO′时的受力平衡 B．细绳通过OO′后小球A速度为0时，细绳与OO′的夹角可能小于 C．细绳通过OO′时小球A的速度与其质量m无关 D．小球A释放后经历的时间，细绳会与OO′重合 11．（多选）如图所示，在倾角为的斜面顶端固定一摆长为L的单摆，单摆在斜面上做小角度摆动，摆球经过平衡位置时的速度为v，则以下判断正确的是（　　） A．单摆在斜面上的周期 B．摆球经过平衡位置时受到的回复力大小为0 C．若小球带正电，并加一沿斜面向下的匀强电场，则单摆的周期将减小 D．若小球带正电，并加一沿斜面向下的匀强电场，则单摆的周期将增大 12．（多选）某研究性学习小组设计了如图1所示的实验装置，将一倾角可调的光滑斜面固定在水平面上，斜面上固定一力传感器，将小球通过摆线挂在力传感器上，摆线与斜面始终保持平行，小球能在斜面上做单摆运动。当斜面倾角时，传感器输出的细线拉力F随时间t的变化曲线如图2所示，则下列说法正确的是（　　） A．由图2可知单摆的周期为 B．只减小斜面倾角，则单摆周期将变大 C．摆线应选用不易伸缩的轻质细绳 D．只增大摆线的长度，则单摆周期将减小 13．（多选）为了使金属小球稳定在同一竖直平面内运动，避免单摆稳定性差的问题。如图所示，用两条长为1.15m的不可伸长的细线固定一质量为的金属小球，悬挂在水平直杆两端上，小球静止时，端细线与杆的夹角为。当小球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动时（已知，重力加速度。则（　　） A．金属小球做简谐运动 B．摆角变小，周期将变大 C．金属小球摆动周期约为 D．金属小球经过最低点时，端拉力为 14．如图甲所示，用细线把质量为的摆球吊在悬点O处做成单摆，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，忽略空气阻力。其中B点为运动中的最低位置。图乙表示细线对摆球的拉力大小随时间变化的曲线，时将摆球从A点静止释放，摆角小于。图中、、已知，重力加速度为，求： (1)单摆的振动摆长； (2)小球运动到B点时的速度大小； (3)摆球在A点时的加速度大小。 15．惠更斯在1657年时利用自己对单摆的研究发明了摆钟。下面是某学校研究小组做的单摆研究，如图1所示，质量为的甲球和质量为的乙球用轻绳悬挂，悬点到球心的距离都为L，两球静止在最低点位置B刚好接触且没有相互挤压。如图2所示，将甲球拉到与竖直方向夹角为（小于5°）的A位置由静止释放，甲球到达最低点位置B时与乙球发生对心碰撞，碰撞时间极短，研究小组在图2的A、B位置固定了光电门（图中没画出），记录了甲球从A位置到B位置的时间，并得到碰撞前瞬间甲球的速度，碰撞后瞬间甲球的速度的大小为0.1m/s，重力加速度，，不计空气阻力，求： （1）悬点到球心的距离L； （2）甲球从A位置到B位置的过程中所受重力的冲量和合外力的冲量； （3）通过计算，判断甲球与乙球的碰撞可能是哪类碰撞（弹性碰撞、非弹性碰撞、完全非弹性碰撞）。 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4 单摆【三大必考点+五大秒杀招+七大题型+分层训练】 课前预习+知识精讲 知识点01单摆及单摆的回复力 1．单摆 (1)如果细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫做单摆。单摆是实际摆的理想化模型。 (2)单摆的平衡位置：摆球静止时所在的位置。 2．单摆的回复力 (1)回复力的来源：如图所示，摆球的重力沿圆弧切向的分力提供回复力。 (2)回复力的特点：在偏角很小时，sinθ≈，所以单摆的回复力为F＝－x，即小球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置，单摆的运动可看成是简谐运动。 3．单摆的运动特点 (1)摆线以悬点为圆心做变速圆周运动，因此在运动过程中只要速度v≠0，半径方向都受向心力． (2)摆线同时以平衡位置为中心做往复运动，因此在运动过程中只要不在平衡位置，轨迹的切线方向都受回复力． 知识点02 单摆的周期 1．伽利略发现了单摆运动的等时性，惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟。 2．单摆的周期 (1)单摆的周期T＝2π，只与摆长l及单摆所在处的重力加速度有关，与振幅及摆球的质量无关。单摆的周期叫固有周期。 (2)单摆的周期公式在单摆偏角很小 时成立(偏角为5°时，由周期公式算出的周期和精确值相差0.01%)。 (3)单摆周期公式中的g应为单摆所在处的重力加速度，l应为单摆的摆长。摆长是指从悬点到摆球重心的长度，l＝l′＋，l′为摆线长，d为摆球直径。 知识点03单摆的“等效思维” l等效＝lsin α 做垂直纸面的小角度摆动 l等效＝lsin α＋l 垂直纸面摆动 l等效＝l 纸面内摆动 左侧：l等效＝l 右侧：l等效＝l 纸面内摆动T＝π＋π l等效＝R 当半径R远大于小球位移x时，小球做单摆运动 解题大招 大招01关于单摆的回复力的两点提醒 (1)单摆振动中的回复力不是它受到的合力，而是重力沿圆弧切线方向的一个分力．单摆振动过程中，“摆线拉力”与“重力沿摆线方向的分力”的合力提供向心力，这是与弹簧振子的不同之处． (2)在最大位移处时，因速度为零，所以向心力为零，故此时合力等于回复力． 大招02单摆模型及问题的分析、解答 (1)单摆模型指符合单摆规律的运动模型。满足条件： ①圆弧运动。②小角度摆动。③回复力F＝－kx。 (2)首先确认符合单摆模型的条件，然后寻找等效摆长l及等效加速度g，最后利用公式T＝2π或筒谐运动规律分析、解答。 大招03回复力的特点： 在偏角很小时，，所以单摆的回复力，即小球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，方向总是指向平衡位置，由此可见单摆在摆角很小的条件下的振动为简谐运动。 大招04圆弧摆和圆锥摆 （1）圆弧摆：如图所示，有一固定光滑圆弧曲面 AO'B，在A处放一小球。 圆弧摆做简谐运动的条件：①圆AO'B弧曲面光滑；②小球直径和圆弧弧长远小于圆弧的半径R；③小球在曲面 AO'B上做往复运动。 周期。 （2）圆锥摆：如图所示，一根质量和伸长量均可忽略不计的细线，一端固定在悬点上，另一端系一个摆球。 摆球只受两个力，重力和拉力，两个力的合力提供摆球做圆周运动的向心力FN，由 ，解得周期。 大招05摆钟的快慢变化及调整方法 1.计时原理 摆钟是单摆做简谐运动的一个典型应用，摆钟每摆动一次（完成一次全振动），摆钟就会显示一定的时间，也就是走时准确的摆钟的周期T。 2.摆钟快慢变化的原因 （1）g值变化：如摆钟地理位置的变化等。 （2）摆长变化：如热胀冷缩等。 3.摆钟快慢调整的方法 （1）摆钟变快说明周期变小，应增大摆长。 （2）摆钟变慢说明周期变大，应减小摆长。 题型分类 题型01对单摆模型及其回复力的理解 【例1】单摆是秋千、摆钟等实际摆的理想化模型，下列有关单摆的说法中正确的是（　　） A．单摆在任何情况下的运动都是简谐运动 B．单摆做简谐运动的振动周期由摆球的质量和摆角共同决定 C．当单摆的摆球运动到最低点时，回复力为零，但是所受合力不为零 D．单摆移到太空实验舱中可以用来研究简谐运动的规律 【答案】C 【解析】A．由单摆的条件可知单摆在摆角很小的情况下才做简谐运动，故A错误； B．由单摆做简谐运动的周期公式 即振动周期与摆球的质量和摆角无关，故B错误； C．当单摆的摆球运动到最低点时，回复力为零，但是单摆的向心力不为零，所受合力不为零，故C正确； D．单摆移到太空实验舱中，由于完全失重，其回复力为零，单摆不能做简谐运动，更不能研究简简谐运动的规律，故D错误。 故选C。 【变式1-1】如图所示，单摆在竖直平面内的、之间做简谐运动，点为单摆的固定悬点，点为运动中的最低位置，则下列说法正确的是（　　） A．摆球在点时，动能最大，回复力最大 B．摆球由点向点摆动过程中，细线拉力增大，回复力增大 C．摆球在点和点时，速度为零，故细线拉力最小，但回复力最大 D．摆球在点时，重力势能最小，机械能最小 【答案】C 【解析】A．单摆近似可以看作简谐运动，在最低点B处，即平衡位置处时，速度最大，回复力为零，故A错误； B．摆球做圆周运动，摆球由A点向B点摆动过程中，细线拉力增大，回复力减小，故B错误； C．摆球在A点和C点时，即最大位移处时，速度为零，故细线拉力最小，回复力最大，故C正确； D．摆球运动过程中，机械能守恒，在最低点B处，动能最大，重力势能最小，故D错误。 故选C。 【变式1-2】如图所示，O点为单摆的固定悬点，现将可视为质点的摆球拉至A点，此时细线处于张紧状态，静止释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置。整个过程忽略空气阻力，则在摆动稳定后的一个周期内（    ） A．摆球受到重力、拉力、回复力、向心力四个力的作用 B．摆球在经过A点和C点处，速度为零，向心力不为零 C．摆球在经过B点处，速度最大，回复力为零 D．摆球相邻两次经过B点时，细线拉力大小不相等 【答案】C 【解析】A．摆球受到重力、拉力两个力的作用，A错误； B．摆球在经过A点和C点处，速度为零，向心力等于沿着半径方向的合力，向心力也为零，B错误； C．摆球在经过B点处，速度最大，回复力等于沿着切线方向的合力，回复力也为零，C正确； D．摆球相邻两次经过B点时，速度大小相等，根据牛顿第二定律得 解得 细线拉力大小相等，D错误。 故选C。 题型02单摆周期公式的应用 【例2】用细线悬挂一小球，保持摆线长度一定，选项A、B两种情况下小球做振幅不同的单摆运动，选项C、D两种情况下小球做高度不同的圆锥摆运动，则四种情况中周期最短的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设摆线长度为l，选项A、B两种情况下小球做振幅不同的单摆运动，由单摆周期公式可得 小球做圆锥摆运动时，设摆线与竖直方向夹角为，高度为h，小球质量为m，圆周半径为R，则有 解得 由此综合可得 故选D。 【变式2-1】一个理想单摆，已知其周期为T．如果转移到其他星球自由落体加速度变为原来的，振幅变为原来的，摆长变为原来的，摆球的质量变为原来的，它的周期变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】单摆的周期为 所以有 故选A。 【变式2-2】如图所示，一小球用细线悬挂于O点，细线长为，O点正下方处有一铁钉。重力加速度为g，不计空气阻力，将小球拉至A处无初速度释放（摆角很小），这个摆的周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，根据单摆周期公式，有 则这个摆的周期为 故选A。 题型03单摆振动的图像及表达式 【例3】如图甲所示，一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置开始计时，相对平衡位置的位移随时间变化的图象如图乙所示。不计空气阻力，取重力加速度。对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（　　） A．单摆的摆长约为2.0m B．单摆的位移x随时间t变化的关系式为 C．从到的过程中，摆球的重力势能逐渐减小 D．从到的过程中，摆球所受回复力逐渐减小 【答案】BC 【解析】A．由题图乙可知，单摆的周期为，由单摆的周期公式 可得单摆的摆长为 故A错误； B．由图乙可知，振幅，角速度为 则单摆的位移x随时间t变化的关系式为 故B正确； C．由图乙可知，到的过程中，摆球从右侧最高点向平衡位置运动，摆球的速度逐渐增大，动能逐渐增大，重力势能逐渐减小，故C正确； D．由图乙可知，从到的过程中，摆球从平衡位置向左运动到最大位移处，可知摆球所受回复力逐渐增大，故D错误。 故选BC。 【变式3-1】（多选）同一地点的甲、乙两单摆的部分振动图像如图所示，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两单摆的摆长之比为16∶25 B．乙单摆的机械能大于甲单摆的机械能 C．两图线交点对应的时刻（t0）甲、乙两摆球速率相等 D．甲单摆的振动方程为 【答案】AD 【解析】A．根据单摆周期公式 可得 由图可知甲单摆的周期为，乙单摆的周期为，甲、乙两单摆的摆长之比为 故A正确； B．甲、乙两单摆的质量不知，无法比较甲、乙两单摆的机械能，故B错误； C．图像斜率表示速度，两图线交点对应的时刻（）图像斜率绝对值不同，甲、乙两摆球速率不相等，故C错误； D．甲单摆的振动方程为 故D正确。 故选AD。 【变式3-2】如图甲所示的漏斗在做简谐运动的同时，小付同学将下方的薄木板沿箭头方向拉出，漏斗3s内漏出的细沙在板上形成的曲线如图乙所示，当地重力加速度大小，下列说法正确的是（  ） A．该沙摆的周期为3s B．该沙摆的摆长约为2m C．由图乙可知，木板被匀加速拉出 D．当图乙中的B点通过沙摆正下方时，薄木板的速度大小为17.5m/s 【答案】C 【解析】A．由题图乙知 知该沙摆的周期为 T=2s 故A错误； B．沙摆的周期 得 故B错误； C．由题图乙中数据可知，木板在连续且相等的时间段内的位移差 得 即木板被匀加速拉出，加速度大小为，故C正确； D．匀变速直线运动在一段时间间隔的中间时刻的瞬时速度，等于这段时间内的平均速度，所以有 故D错误。 故选C。 题型04圆弧摆和圆锥摆 【例4】如图所示，两根轻质细线分别连接两个可视为质点的小球，小球甲在竖直面内摆动，摆线的最大摆角为，小球乙在水平面内绕点做匀速圆周运动，连接小球乙的细线与竖直方向的夹角始终为，两小球运动的周期恰好相等，下列说法正确的是（    ） A．两根细线的长度相等 B．两小球的质量一定相等 C．两小球的机械能一定相等 D．连接甲、乙两球的细线长度之比为 【答案】D 【解析】BC．两小球的运动周期及速度大小与质量无关，B、C错误； AD．小球甲做简谐运动，周期 对乙受力分析结合牛顿运动定律有 解得 A错误、D正确。 故选D。 【变式4-1】如图甲，小球在光滑球面上的A、B之间来回运动。t=0时刻将小球从A点由静止释放，球面对小球的支持力大小F随时间t变化的曲线如图乙，若弧长AB远小于半径，则（　　） A．小球运动的周期为0.2πs B．光滑球面的半径为0.1m C．小球的质量为0.05kg D．小球的最大速度约为0.10m/s 【答案】C 【解析】A．小球在一个周期内经过两次最低点，根据图乙可知，小球的运动周期为，故A错误； B．小球在光滑球面上做简谐振动，根据周期公式 式中的即为光滑球面的半径，代数数据可得 故B错误； CD．设小球在光滑球面上最高点时与其做圆周运动的圆心连线与竖直方向的夹角为，小球到达最低点时的速度的最大值为，则在最高点有 在最低点有 从最高点到最低点由动能定理有 其中 ， 联立以上各式解得 ， 故C正确，D错误。 故选C。 【变式4-2】（多选）如图甲所示，一可视为质点的小球在光滑圆弧曲面上做简谐运动，圆弧轨道对小球的支持力大小随时间变化的曲线如图乙所示，图中时刻小球从点开始运动，重力加速度为。下列说法正确的是（   ） A．该圆弧轨道的半径为 B．小球简谐振动的周期为t0 C．小球的质量为 D．小球在平衡位置O点时所受的合力为零 【答案】AC 【解析】AB．由图像知半个周期是t0，小球运动的周期为 根据 可得该圆弧轨道的半径为 A正确，B错误； CD．小球在A点时 在O点时 联立解得小球的质量为 小球在平衡位置时回复力为零，但所受的合力不为零；C正确，D错误。 故选AC。 题型05用等效摆长计算周期 【例5】如图所示，一根质量不计的细线和一根很轻的硬杆连接一个小球组成“杆线摆”，小球可以绕着固定轴来回摆动。摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内，这相当。于单摆在光滑斜面上来回摆动，轻杆长为L，摆角很小时，细线与轻杆间的夹角为α，轻杆与水平面间的夹角为θ，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．单摆的等效摆长为 Lsinθ B．单摆的等效摆长为 C．等效重力加速度为gsinα D．等效重力加速度为gsinθ 【答案】D 【解析】根据题图可知等效重力加速度沿斜面向下，则等效重力加速度为 单摆的等效摆长为杆长。 故选D。 【变式5-1】如图所示，一倾角很小、高为h的斜面固定在水平地面上，光滑小球由斜面顶点A从静止开始下滑，到达底端B所用时间为，如果过A、B两点将斜面剜成一个圆弧面，使圆弧面B点恰与底面相切，该小球由A到B所用时间为t2，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，设的长度为，小球光滑，沿斜面方向由牛顿第二定律有 又有 联立解得 由于倾角较小，小球从圆弧面下滑可看成单摆运动，由几何关系可得，单摆的等效摆长为 则周期为 可得 则有 故选A。 【变式5-2】如图所示，两根线的一端都系在小球的同一点，另一端分别固定在天花板上，组成一个双线摆，两根线的长度均为l、与竖直方向的夹角均为，小球的直径为d，重力加速度为g。现将小球垂直纸面向外拉动，使悬线偏离竖直方向一个很小的角度后由静止释放，若不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．该双线摆的摆长为 B．该双线摆的周期为 C．该双线摆的角越小越好 D．小球宜采用密度较小的塑料球 【答案】B 【解析】A．由题意可知，该双线摆的摆长为 A错误； B．该双线摆的周期为 B正确； C．题图中双线摆的角越小的话，摆动起来越不稳定，C错误； D．小球宜采用密度大的铅球或者铁球，以减小空气阻力的影响，D错误。 故选B。 题型06 用等效重力加速度计算周期 【例6】如图所示，一带正电的小球用绝缘细绳悬于O点，将小球拉开较小角度后静止释放，形成一个单摆，下列操作能使其做简谐运动的周期变大的是（　　） A．减小摆长 B．初始拉开的角度更小一点 C．在此空间加一竖直向上的较小的匀强电场 D．在悬点O处放置一个带负电的点电荷 【答案】C 【解析】A．根据单摆周期公式有 若减小摆长，则周期变小，故A错误； B．结合上述可知，初始拉开的角度更小一点，不影响周期，故B错误； C．在此空间加一竖直向上的较小的匀强电场，小球所受电场力与重力反向，则等效重力加速度为 可知，等效重力加速度减小，则周期变大，故C正确； D．在悬点O处放置一个带负电的点电荷，则库仑力始终沿绳的方向，不影响回复力，回复力仍然为重力沿切线方向的分力，则单摆周期不变，故D错误。 故选C。 【变式6-1】（多选）某同学把单摆固定在光滑斜面上（斜面静止不动），并让小球在斜面上来回摆动（摆角很小），下列选项中与单摆周期有关的量是（　　） A．斜面的倾角 B．摆球的质量 C．摆球的振幅 D．摆线的长度 【答案】AD 【解析】等效重力加速度 g等效=a=gsinθ 由单摆周期公式 得与单摆周期有关的量是斜面的倾角和摆线的长度，则选项AD正确，选项BC错误。 故选AD。 【变式6-2】如图所示，在一倾角为的光滑绝缘斜面上，将一长为L的细线（不可伸长）一端固定，另一端系一质量为m的小球，小球静止时在O点。将小球拉开一很小的倾角后由静止释放，小球的运动可视为单摆运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．摆球的摆动周期为 B．摆球刚释放时的回复力大小为 C．摆球经过平衡位置时合力为零 D．摆球摆动过程中，机械能不守恒 【答案】B 【解析】A．根据题意，小球做单摆运动的等效重力加速度为 所以 故A错误； B．摆球刚释放时的回复力大小为 故B正确； C．摆球经过平衡位置时具有向心加速度，即沿绳方向合力不为零，故合力不为零，故C错误； D．摆球摆动过程中，只有重力做功，机械能守恒，故D错误。 故选B。 题型07摆钟的快慢变化及调整方法 【例7】摆钟是一种较有年代的计时钟表。其基本原理是利用了单摆的周期性，结合巧妙的擒纵器设计，实现计时的功能。图示为摆钟内部的结构简图。设原先摆钟走时准确，则（　　） A．摆动过程中，金属圆盘所受合力为其回复力 B．该摆钟在太空实验室可正常使用 C．该摆钟从北京带到广州，为走时准确，需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向下移动 D．该摆钟在冬季走时准确，到夏季为了准时，考虑热胀冷缩需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向上移动 【答案】D 【解析】A．回复力是指向平衡位置的力，摆动过程中，金属圆盘所受重力沿轨迹切线方向的分力为其回复力，金属圆盘所受合力还有一部分提供向心力，A错误； B．金属圆盘所受重力沿轨迹切线方向的分力为其回复力，该摆钟在太空实验室内处于失重状态，因此不可正常使用，B错误； C．该摆钟从北京带到广州，重力加速度减小，由单摆的周期公式，可知周期变大，摆钟变慢，为走时准确，需要摆钟的摆长变短，需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向上移动，C错误； D．该摆钟在冬季走时准确，到夏季温度升高，由于热胀冷缩，摆长变长，为了准时，需要摆长变短，因此考虑热胀冷缩需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向上移动，D正确。 故选D。 【变式7-1】惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟。摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重锤的势能提供，运行的速率由钟摆控制。旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动，如图所示，以下说法正确的是（　　） A．当摆钟不准确时需要调整圆盘的位置 B．摆钟快了应使圆盘沿摆杆上移 C．由冬季变为夏季时应使圆盘沿摆杆下移 D．把摆钟从福建移到北京应使圆盘沿摆杆上移 【答案】A 【解析】A．根据周期公式 当摆钟不准确时，则需要调整摆长，即调整圆盘的位置，故A正确； B．摆钟快了，周期小，则需将摆长增加，增大周期，故B错误； C．由冬季变为夏季时摆杆受热伸长，则需上移调节，故C错误； D．摆钟从福建移到北京，加速度增大，则需将摆长增加，应需要沿摆上移，故D错误。 故选A。 【变式7-2】已知火星表面的重力加速度值约为地球表面重力加速度值的0.4倍，将在地球表面走时准确的摆钟放到火星表面，则时针在钟面上从“1”走到“2”，在地球上已经过了约多少小时（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设钟摆在地球和火星上的周期分别为和，时针从“1”走到“2”钟摆摆动的次数为，则在地球上 在火星上 根据单摆周期公式 可得 解得 可见，在月球上时针从“1”走到“2”，在地球上已经过了1.6 h。 故选A。 分层训练 【基础过关】 1．下列对理想模型的应用，正确的是（　　） A．研究百米赛跑运动员的平均速度时，可以将运动员视为质点 B．研究从地面附近以一定初速度水平抛出的塑料飞盘时，可以认为它做平抛运动 C．研究两个半径为r、球心相距3r的带电金属球之间的库仑力时，可以将它们视为点电荷 D．研究一根轻质弹簧绳下挂着的小球的摆动时，可以认为两者构成一个单摆 【答案】A 【详解】A．研究百米赛跑运动员的平均速度时，运动员的形状大小可以忽略不计，可以将运动员视为质点，故A正确； B．研究从地面附近以一定初速度水平抛出的塑料飞盘时，由于塑料飞盘受到的空气阻力相对于塑料飞盘的重力不能忽略不计，不可以认为它做平抛运动，故B错误； C．研究两个半径为r、球心相距3r的带电金属球之间的库仑力时，由于两球的大小不能忽略不计，库仑力会应影响电荷的分布，所以不可以将它们视为点电荷，故C错误； D．研究一根轻质弹簧绳下挂着的小球的摆动时，只有当摆角小于时，才可以认为两者构成一个单摆，故D错误。 故选A。 2．如图所示，小明在家尝试用挂锁作为摆锤，测定当地的重力加速度。下列说法中正确的是（　　） A．将摆锤摆动到最高点时作为计时起点 B．摆锤摆动到最低点时其加速度为零 C．摆线可以选长度约为的不可伸长的细线 D．摆锤摆角越大，实验误差越小 【答案】C 【详解】 A．应从摆锤到达平衡位置开始计时，这样误差小一些。A错误； B．摆锤摆动到最低点时，由圆周运动知，最低点需要合外力提供向心力，所以摆锤摆动到最低点时其加速度不为零。B错误； C．摆锤直径与摆线长度相比可以忽略不计，所以摆线可以选长度约为1m的不可伸长的细线。C正确； D．当摆角很小时 单摆的回复力为 则可知，摆角越大，误差越大。D错误； 故选C。 3．图甲中的弹簧振子竖直放置，将小球从平衡位置往下拉至某一位置后释放，小球在平衡位置附近上下振动，弹簧在弹性限度内；图乙中小球由静止释放后可绕固定点来回摆动。忽略一切阻力，则下列说法正确的是（　　）    A．图甲中的小球在运动过程中机械能守恒 B．图乙中的小球一定做简谐运动 C．图乙中的小球在经过最低点时合力为零 D．图甲中的小球的回复力方向与位移方向始终相反 【答案】D 【详解】A．图甲中的小球在运动过程中机械能不守恒，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，A错误； B．图乙中的小球在摆角小于时，可认为小球做简谐运动，B错误； C．图乙中的小球在经过最低点时由于速度不为0 ，合力等于向心力，不为0，C错误； D．图甲中的小球的回复力方向始终指向平衡位置，而位移的方向始终背离平衡位置，所以回复力方向始终与位移方向相反，D正确。 故选D。 4．如图所示，绝缘细线的上端固定，下端系一带正电的小球，空间存在竖直向下的匀强电场，小球处于静止状态。若给小球一垂直于细线的很小的初速度，使小球在竖直面内开始运动，则小球的运动情况与下列情境中小球运动情况类似的是（各情境中，小球均由静止释放）（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】图中小球的电场力和重力的合力可以等效为新的重力，那么其运动规律与竖直面内单摆的运动类似，由于初速度v0很小，故小球摆动的幅度很小，可看作简谐运动；四种运动中只有D是简谐运动。 故选D。 5．如图所示，细绳的上端固定，下端挂一小球，现将小球拉到A点由静止释放，小球在竖直平面内沿曲线ABC摆动，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．在B位置小球受重力、拉力和向心力的作用 B．在B位置小球处于平衡状态 C．在C位置小球的向心力比在B位置小球的向心力大 D．在A位置小球受拉力与重力作用，处于非平衡状态 【答案】D 【详解】A．小球在运动过程中只受到重力和绳子的拉力，向心力和回复力都是效果力，故A错误； B．在B位置小球受到重力和绳子的拉力，且 故在B位置小球不处于平衡状态，故B错误； C．小球从C到B的过程中，小球做加速运动，则在B位置速度最大，向心力最大，故C错误； D．在A位置小球受拉力与重力作用，它们的合力提供向心力，故小球处于非平衡状态，故D正确。 故选D。 6．如图甲所示，一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（　　） A．若仅将摆球质量变大，单摆周期变大 B．单摆的位移x随时间t变化的关系式为 C．从t=0.5s到t=1.0s的过程中，摆球的重力势能逐渐增大 D．从t=1.0s到t=1.5s的过程中，摆球所受回复力逐渐减小 【答案】B 【详解】A．根据单摆周期公式 可知仅将摆球质量变大，单摆周期不变，故A错误； B．由图乙可知单摆的位移x随时间t变化的关系式为 故B正确； C．由图乙可知，从t=0.5s到t=1.0s的过程中，摆球从最高点摆动最低点，摆球的重力势能逐渐减小，故C错误； D．由图乙可知，从t=1.0s到t=1.5s的过程中，摆球的位移大小逐渐增大，摆球所受回复力逐渐增大，故D错误。 故选B。 7．某同学在探究单摆运动中，图甲是用力传感器对单摆运动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的F-t图像，则以下说法正确的是（    ） A．时刻摆球速度最大 B．时刻摆球经过最低点 C．单摆振动周期 D．单摆振动周期 【答案】B 【详解】A．时刻摆球受拉力最小，则摆球在最大位移处，速度最小，故A错误； B．时刻摆球受拉力最大，则摆球经过最低点，故B正确； CD．由图可知摆球的周期为 s=1.6s 故CD错误； 故选B。 8．一个单摆在竖直平面内摆动（摆角较小），摆球运动到最高点时对细线的拉力大小为、摆动的周期为；保持摆长不变，让该小球在水平面内做圆锥摆运动，摆线偏离竖直方向的夹角也为，运动过程中摆球对细线的拉力大小为，摆动的周期为。则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设摆球质量为m，摆长为L，对单摆有 ， 对圆锥摆有 ， 联立以上四式可得 ， 故选B。 9．位于同一地点的甲、乙两个单摆做简谐运动的图像如图所示，则下列说法中不正确的是（　　） A．甲、乙两摆的摆长之比为1∶4 B．时，乙摆刚好摆到平衡位置 C．由于甲的振幅比乙大，所以甲摆的机械能大于乙摆 D．甲、乙两摆的振幅之比为2∶1 【答案】C 【详解】A．由图可知，甲、乙两个单摆周期之比为，根据公式可知，甲、乙两摆的摆长之比为1∶4，故A正确； B．由图可知，时，乙摆刚好摆到平衡位置，故B正确； C．因为两摆摆球的质量未知，所以无法比较两摆机械能的大小，故C错误； D．由图可知，甲、乙两摆的振幅之比为2∶1，故D正确。 本题选不正确的，故选C。 10．将一个力电传感器接到计算机上，可以测量快速变化的力，用这种方法测得的某单摆摆动过程中悬线上拉力大小随时间变化的曲线如图所示，由此图线提供的信息做出下列判断：①时刻摆球正经过最低点；②时摆球正处于最高点；③摆球摆动过程中机械能时而增大时而减小；④摆球摆动的周期约是。上述判断中正确的是（　　） A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 【答案】C 【详解】由图像可知，时刻摆线的拉力最大，此时摆球正经过最低点，则①正确； 时摆线的拉力最小，此时摆球正处于最高点，则②正确； 由图像知悬线上最大拉力在逐渐减小，说明摆球摆动过程中有阻力做功，机械能逐渐减小，则③错误； 由图像可知，摆球摆动的周期约是，则④错误。 故选C。 11．（多选）如图所示，光滑圆弧槽半径为R（未知），A为最低点，C到A的距离远远小于R，小球B位于A点的正上方，且到A点的距离为H。若同时释放小球B、C，则要使两小球B和C在A点相遇（小球B和C可视为质点），R的可能值为（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】小球C做简谐运动，根据题意得 （n = 0，1，2…）或（n = 0，1，2…） 解得 （n = 0，1，2…）或（n = 0，1，2…） 当n = 0时，则有 或 故选AD。 12．（多选）如图甲所示，一可视为质点的小球在光滑圆弧曲面上做简谐运动，圆弧轨道对小球的支持力大小随时间变化的曲线如图乙所示，图中时刻小球从点开始运动，重力加速度为。下列说法正确的是（   ） A．该圆弧轨道的半径为 B．小球简谐振动的周期为t0 C．小球的质量为 D．小球在平衡位置O点时所受的合力为零 【答案】AC 【详解】AB．由图像知半个周期是t0，小球运动的周期为 根据 可得该圆弧轨道的半径为 A正确，B错误； CD．小球在A点时 在O点时 联立解得小球的质量为 小球在平衡位置时回复力为零，但所受的合力不为零；C正确，D错误。 故选AC。 13．（多选）关于甲、乙图对应的说法正确的是（　　） A．图甲是研究弹簧振子的运动实验图，弹簧振子在弹簧弹力作用下做匀变速直线运动 B．图甲是研究弹簧振子的运动实验图，弹簧振子的加速度方向永远指向平衡位置O点 C．图乙是研究单摆的回复力实验图，单摆的回复力是摆球重力和细线拉力的合力 D．图乙中单摆的摆球运动到O点时所受合力不为零 【答案】BD 【详解】A．题图甲是研究弹簧振子的运动实验图，弹簧振子在弹簧弹力作用下做简谐运动，简谐运动是变加速运动，A错误； B．弹簧振子在弹簧弹力作用下做加速度方向永远指向平衡位置O点的变速直线运动，B正确； C．题图乙是研究单摆的回复力实验图，单摆的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力，C错误； D．题图乙中单摆的摆球运动到O点时所受合力指向圆心，D正确。 故选BD。 14．如图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置。设向右为正方向，图乙是这个单摆的振动图象。求： （1）开始时摆球在B、O、C哪个位置； （2）单摆振动的频率是多少； （3）若重力加速度为，取3.14，这个摆的摆长是多少。（结果保留两位有效数字） 【答案】（1）B处；（2）0.5Hz；（3）0.99m 【详解】（1）由图乙所示图象可知，在时，摆球处于负的最大位移，摆球向右运动方向为正方向，因此开始时，摆球在B处。 （2）由图乙所示图象可知，单摆周期 单摆的频率 （3）由单摆周期公式 得 这个摆的摆长为 15．朝鲜族是爱好体育运动的民族，荡秋千更是入选了国家级遗产名录。将一台智能手机水平粘在秋千的座椅上，使手机边缘与座椅边缘平行，如图甲所示，手机质量为m，让秋千以小摆角（小于5°）自由摆动，此时秋千可看作一个理想的单摆，摆长为L。从手机传感器中得到了其垂直手机平面方向的a-t关系图如图乙所示，图中各量均为已知量。求： （1）当地的重力加速度； （2）当秋千摆至最低点时，手机对秋千的压力（重力加速度用g表示）。 【答案】（1）；（2），方向竖直向下 【详解】（1）由图乙可知，单摆的周期为 由单摆的周期公式 解得 （2）由牛顿第二定律可得 可得 由牛顿第三定律可知，手机对秋千的压力为 方向竖直向下 【能力提升】 1．关于下列几幅图说法正确的是（　　） A．甲图中“10V”指的是电容的电压是“10V”时才可以正常工作状态 B．乙图是利用等效替代法观察桌面的微小形变 C．丙图的心电图是简谐振动的 D．丁图的单摆利用了等时性原理 【答案】D 【详解】A．甲图中“”指的是耐压值，即电容器两端的最大电压，故A错误； B．乙图是利用放大法观察桌面的微小形变，故B错误； C．由简谐运动的定义可知丙图的心电图不是简谐振动的图像，故C错误； D．单摆具有等时性即丁图的单摆利用了等时性原理，故D正确。 故选D。 2．如图甲所示，细线下悬挂一个除去了柱塞的注射器，注射器可在竖直面内摆动，且在摆动过程中能持续向下流出一细束墨水。沿着与注射器摆动平面垂直的方向匀速拖动一张硬纸板，摆动的注射器流出的墨水在硬纸板上形成了如图乙所示的曲线。注射器喷嘴到硬纸板的距离很小，且摆动中注射器重心的高度变化可忽略不计。若按图乙所示建立xOy坐标系，则硬纸板上的墨迹所呈现的图样可视为注射器振动的图像。关于图乙所示的图像，下列说法中正确的是（　　） A．x轴表示拖动硬纸板的速度 B．y轴表示注射器振动的速度 C．匀速拖动硬纸板移动距离L的时间等于注射器振动的周期的2倍 D．拖动硬纸板的速度增大，可使注射器振动的周期变短 【答案】C 【详解】A．注射器振动周期一定，根据白纸上记录的完整振动图像的个数可确定出时间长短，所以白纸上x轴上的坐标代表时间，故A错误； B．白纸上与x轴垂直的坐标是变化的，代表了注射器的位移，故B错误； C．由图可知，注射器恰好完成两次全振动，所以拖动硬纸板移动距离L的时间等于注射器振动的周期的2倍，故C正确； D．注射器振动周期与拖动白纸的速度无关，拖动白纸的速度增大，注射器振动周期不改变，故D错误。 故选C。 3．如图甲所示，假设航天员登上月球后做了个圆锥摆运动实验，测得摆球在t时间内转了n圈，用尺子测量悬点与球心的高度差为h，然后让此摆球做单摆运动，作出的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．月球表面的重力加速度为 B．单摆的周期为 C．圆锥摆的摆长为 D．做单摆运动时，时间内摆球走过的路程为11A 【答案】C 【详解】AB．设圆锥摆的摆线与竖直方向的夹角为，由题意可得圆锥摆的周期为 对圆锥摆受力分析，由牛顿第二定律可得 由几何关系可得 解得 故AB错误； C．由题图乙可知摆球做单摆运动的周期为T，设摆长为L，则有 解得 故C正确； D．由题图乙可知单摆的振幅为A，且从最大位移处开始振动，则时间内摆球走过的路程为 故D错误。 故选C。 4．如图甲，小球在光滑球面上的A、B之间来回运动。t=0时刻将小球从A点由静止释放，球面对小球的支持力大小F随时间t变化的曲线如图乙，若弧长AB远小于半径，则（　　）    A．小球运动的周期为0.2πs B．光滑球面的半径为0.1m C．小球的质量为0.05kg D．小球的最大速度约为0.10m/s 【答案】C 【详解】A．小球在一个周期内经过两次最低点，根据图乙可知，小球的运动周期为，故A错误； B．小球在光滑球面上做简谐振动，根据周期公式 式中的即为光滑球面的半径，代数数据可得 故B错误； CD．设小球在光滑球面上最高点时与其做圆周运动的圆心连线与竖直方向的夹角为，小球到达最低点时的速度的最大值为，则在最高点有 在最低点有 从最高点到最低点由动能定理有 其中 ， 联立以上各式解得 ， 故C正确，D错误。 故选C。 5．“滑水”是近些年兴起的一项热门运动。摩托艇后面拉着一根绳子，后面的人手拉绳子、脚踩冲浪板。摩托艇行驶起来后，人就可以借助冲浪板“滑水”。有人注意到摩托艇匀速行驶时，冲浪板相对于摩托艇并不是静止，而是做简谐运动。在俯视图中建立坐标系xOy，已知摩托艇的速度为v，绳长为L，绳上的最大拉力为F，人和冲浪板的总质量为m。水的阻力仅存在x方向，且正比于速度沿x轴的分量，比例系数为k。下列说法正确的是（　　） A．当绳子与x方向达到最大倾角时，绳上拉力为0 B．人和冲浪板做简谐运动时机械能守恒 C．人和冲浪板做简谐运动的周期为 D．人和冲浪板做简谐运动的周期为 【答案】D 【详解】A．当绳子与x方向达到最大倾角时，绳上的拉力在x轴方向的分力与水的阻力大小相等，故A错误； B．人和冲浪板做简谐运动时重力势能不变，动能不断变化，机械能不守恒，故B错误； CD．人和冲浪板做简谐运动类似单摆的运动，由单摆的周期公式 等效重力加速度为 可得人和冲浪板做简谐运动的周期为 故C错误，D正确。 故选D。 6．对于下面甲、乙、丙三种情况，可认为是简谐运动的是（　　） ①倾角为的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距离，然后松开，假设空气阻力可忽略不计 ②粗细均匀的一根木筷，下端绕几圈铁丝，竖直浮在较大的装有水的杯中。把木筷往上提起一段距离后放手，木筷就在水中上下振动 ③小球在半径为的光滑球面上的、（）之间来回运动 A．只有① B．只有② C．只有①③ D．都可以 【答案】D 【详解】①把图甲中倾角为θ的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距离，然后松开，小球的往复运动，与弹簧振子的运动规律相似，满足F=-kx，为简谐运动； ②如果不考虑水的粘滞阻力，木筷受力情况是，受到重力和水的浮力；重力恒定不变，浮力与排开水的体积成正比，木筷静止时位置看做平衡位置；由此可知以平衡位置为坐标原点，木筷所受合力与其偏离平衡位置的位移成正比，且方向相反，则可以判定木筷做简谐运动； ③小球的受力情况是，受到重力和圆弧面的支持力；重力恒定不变，支持力始终与运动方向垂直；这样，就回到了与单摆类似的运动，从而判定小球做简谐运动； 故甲、乙、丙三种情况都可认为是简谐运动，故选D。 7．如图甲所示，单摆在竖直面内的A、C之间做简谐运动。小南同学利用传感器得到了单摆的摆球沿摆线方向的关系图（图乙）。为了进一步研究单摆的特性，小华继续实验。先使摆球（视为质点）带负电（摆线是绝缘的），然后分别将其放在垂直纸面向外的匀强磁场和竖直向上的匀强电场中。对于此次研究，小华的猜想正确的是（　　） A．由图像可得单摆摆动的周期为 B．摆球运动到最低点B时，回复力为零，所受合力为零 C．加上匀强磁场后，A与C不在同一水平面 D．加上匀强电场后，单摆周期变小 【答案】D 【详解】A．单摆运动的过程在A点时沿细绳方向的加速度最小，在B点时沿细绳方向的加速度最大，到达C点沿细绳方向的加速度又最小，所以单摆的一个周期为A—B—C—B—A，结合图乙可知，单摆摆动的周期为，故A错误； B．摆球运动到最低点B时，质点相对平衡位置的位移为0，则回复力为零，由于沿绳方向的合力提供向心力，则沿绳方向的加速度不为零，即所受合力不为零，故B错误； C．加上匀强磁场后，根据左手定则可知，小球所受洛伦兹力方向与速度方向垂直，垂直绳方向的运动不受影响，即A与C仍然在同一水平面，故C错误； D．加上竖直向上的匀强电场后，小球受竖直向下的电场力，可知等效重力加速度变大，根据 可知单摆周期减小，故D正确。 故选D。 8．如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，该运动可看成简谐运动。从某次摆球到达右侧最大位移处开始计时，摆球相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示，取，。下列说法正确的是（　　） A．单摆的摆长约为1.0m B．单摆的位移x随时间t变化的关系式为 C．从到的过程中，摆球的动能逐渐增加 D．从到的过程中，摆球的回复力逐渐增大 【答案】B 【详解】A．由公式 解得 故A错误； B．由振动图象读出周期 T=0.8s 振幅 A=2cm 又根据 则单摆的位移x随时间t变化的关系式为 代入数据得 故B正确； C．由图像可知从到的过程中，摆球远离平衡位置，则动能逐渐减少，故C错误； D．同理可以看出从到的过程中，摆球靠近平衡位置，摆球的回复力逐渐减小，故D错误。 故选B。 9．如图所示，有一光滑并带有圆弧的曲面，倾斜放在平面上，在曲面的底部平行于轴线画一条虚线，现将一个可视为质点的小球从图中位置平行于虚线以一定的初速度进入曲面，将小球下滑过程中经过虚线时的位置依次记为a、b、c、d，以下说法正确的是（    ） A．虚线处的ab、bc、cd间距相等 B．经过ab、bc、cd的时间相等 C．小球从释放到离开曲面末端时（曲末端的圆弧可认为在水平面内）动能的变化量与初速度大小有关 D．小球通过a、b、c三点时对曲面的压力大小与初速度大小有关 【答案】B 【详解】B．小球在垂直于虚线所在平面内做类似单摆运动，具有等时性规律，所以经过ab、bc、cd的时间相等，故B正确； A．小球在沿虚线方向做匀加速直线运动，所以，故A错误； C．小球从释放到离开斜面末端时，只有重力作用，动能变化量等于重力做功大小，与初速度大小无关，故C错误； D．小球通过a、b、c三点时，斜面对小球的支持力与小球重力在垂直斜面方向的合力提供其在垂直于虚线平面内分（圆周）运动的向心力，小球初速度方向沿虚线向下，无论初速度大小如何，小球通过a、b、c三点时在垂直于虚线方向的分速度大小相同，所需向心力大小相同，受到斜面的支持力大小相同，根据牛顿第三定律可知小球通过a、b、c三点时对斜面的压力大小相同，与初速度无关，故D错误。 故选B。 10．如图所示，在电场强度为E的水平匀强电场中，有一足够大的绝缘光滑水平面，一根长为L的绝缘轻软细绳一端固定在平面上的O点，另一端系有一个质量为m、带电荷量为的小球A（可看作质点）。当小球A在水平面上静止时，细绳被拉直且与OO′重合，OO′的方向与电场方向平行。在水平面内将小球由平衡位置拉开一小段距离，保持细绳拉直，直至细绳与OO′间有一个小角度后由静止释放，不计空气阻力，则下列说法中正确的是（　　）    A．小球A通过OO′时的受力平衡 B．细绳通过OO′后小球A速度为0时，细绳与OO′的夹角可能小于 C．细绳通过OO′时小球A的速度与其质量m无关 D．小球A释放后经历的时间，细绳会与OO′重合 【答案】D 【详解】A．由于拉开的角度很小，小球做简谐运动，小球A通过OO′时的受力不平衡，故A错误； B．根据能量守恒，小区经过OO′后，小球A速度为0时，细绳与OO′的夹角仍为，故B错误； C．根据动能定理 解得 细绳通过OO′时小球A的速度与其质量m有关，故C错误； D．单摆在重力场的周期为 电场力等效重力，设等效重力为 小球A的运动周期为 由于 故小球A释放后经历的时间，细绳会与OO′重合,故D正确。 故选D。 11．（多选）如图所示，在倾角为的斜面顶端固定一摆长为L的单摆，单摆在斜面上做小角度摆动，摆球经过平衡位置时的速度为v，则以下判断正确的是（　　） A．单摆在斜面上的周期 B．摆球经过平衡位置时受到的回复力大小为0 C．若小球带正电，并加一沿斜面向下的匀强电场，则单摆的周期将减小 D．若小球带正电，并加一沿斜面向下的匀强电场，则单摆的周期将增大 【答案】BC 【详解】A．单摆在平衡位置时，等效重力加速度为 单摆在斜面上的周期 A错误； B．回复力大小与偏离平衡位置位移大小成正比，故摆球经过平衡位置时受到的回复力大小为0，B正确； CD．若小球带正电，并加一沿斜面向下的匀强电场，单摆在平衡位置时，等效重力加速度为 所以单摆在斜面上的周期 周期减小，C正确，D错误。 故选BC。 12．（多选）某研究性学习小组设计了如图1所示的实验装置，将一倾角可调的光滑斜面固定在水平面上，斜面上固定一力传感器，将小球通过摆线挂在力传感器上，摆线与斜面始终保持平行，小球能在斜面上做单摆运动。当斜面倾角时，传感器输出的细线拉力F随时间t的变化曲线如图2所示，则下列说法正确的是（　　） A．由图2可知单摆的周期为 B．只减小斜面倾角，则单摆周期将变大 C．摆线应选用不易伸缩的轻质细绳 D．只增大摆线的长度，则单摆周期将减小 【答案】BC 【详解】A．根据题意，由图乙可知，小磁铁摆动的周期为 s=1.6s 故A错误； BD．根据题意可知，斜面倾角为时，等效重力加速度为 由单摆周期公式有 只减小斜面倾角，则单摆周期将变大，只增大摆线的长度，则单摆周期将增大，故B正确，D错误； C．为避免单摆摆动过程中摆长变化，摆线应选用不易伸缩的轻质细绳，故C正确； 故选BC。 13．（多选）为了使金属小球稳定在同一竖直平面内运动，避免单摆稳定性差的问题。如图所示，用两条长为1.15m的不可伸长的细线固定一质量为的金属小球，悬挂在水平直杆两端上，小球静止时，端细线与杆的夹角为。当小球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动时（已知，重力加速度。则（　　） A．金属小球做简谐运动 B．摆角变小，周期将变大 C．金属小球摆动周期约为 D．金属小球经过最低点时，端拉力为 【答案】AC 【详解】A．金属小球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动，可知其类似单摆，小球做简谐运动，选项A正确； B．单摆的周期与摆角无关，选项B错误； C．摆长 则金属小球摆动周期约为 选项C正确； D．若金属球静止在最低点时，A端拉力 解得 当金属小球经过最低点时，因为速度不为零，根据 可知端拉力 选项D错误。 故选AC。 14．如图甲所示，用细线把质量为的摆球吊在悬点O处做成单摆，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，忽略空气阻力。其中B点为运动中的最低位置。图乙表示细线对摆球的拉力大小随时间变化的曲线，时将摆球从A点静止释放，摆角小于。图中、、已知，重力加速度为，求： (1)单摆的振动摆长； (2)小球运动到B点时的速度大小； (3)摆球在A点时的加速度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由图乙可知，单摆的周期为 根据单摆周期公式可得 解得单摆的振动摆长为 （2）小球运动到B点时的速度最大，细线拉力最大，根据牛顿第二定律可得 解得 （3）设摆球在A点时细线与竖直方向的夹角为，此时摆球的速度为0，所需的向心力为0，则有 沿切线方向根据牛顿第二定律可得 联立解得摆球在A点时的加速度大小为 15．惠更斯在1657年时利用自己对单摆的研究发明了摆钟。下面是某学校研究小组做的单摆研究，如图1所示，质量为的甲球和质量为的乙球用轻绳悬挂，悬点到球心的距离都为L，两球静止在最低点位置B刚好接触且没有相互挤压。如图2所示，将甲球拉到与竖直方向夹角为（小于5°）的A位置由静止释放，甲球到达最低点位置B时与乙球发生对心碰撞，碰撞时间极短，研究小组在图2的A、B位置固定了光电门（图中没画出），记录了甲球从A位置到B位置的时间，并得到碰撞前瞬间甲球的速度，碰撞后瞬间甲球的速度的大小为0.1m/s，重力加速度，，不计空气阻力，求： （1）悬点到球心的距离L； （2）甲球从A位置到B位置的过程中所受重力的冲量和合外力的冲量； （3）通过计算，判断甲球与乙球的碰撞可能是哪类碰撞（弹性碰撞、非弹性碰撞、完全非弹性碰撞）。 【答案】（1）1m；（2）2.5；0.15；（3）完全非弹性碰撞 【详解】（1）甲球从A位置到B位置的时间，根据单摆周期公式有 解得 m （2）根据冲量的计算公式有 根据动量定理有 （3）根据动量守恒定律有 解得 碰后两球速度相等，则甲球与乙球的碰撞是完全非弹性碰撞。 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$