精品解析：宁夏永宁县上游高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

永宁上游高级中学2024-2025学年第一学期期中考试 高一数学试题 时间：120分钟 分值：150分 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 若全集，集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集的定义可得，再由并集的定义求解即可. 【详解】解：因为，， 所以， 所以. 故选：A. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可. 【详解】命题“，”为全称量词命题， 其否定为：，. 故选：D 3. 中国清朝数学家李谱兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做“函数”沿用至今，已知集合，， 给出下列四个对应关系， 请由函数定义判断， 其中能构成从到的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义一一判断即可. 【详解】对于A：因为，，当时， 所以不能构成从到的函数，故A错误； 对于B：因为，，当时， 所以不能构成从到的函数，故B错误； 对于C：因为，，当时， 所以不能构成从到的函数，故C错误； 对于D：因为，当时，当时， 当时，当时， 所以能构成从到的函数，故D正确. 故选：D 4. “”是“成立”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义分别进行证明即可． 【详解】由，可得或，所以“”是“或”的充分不必要条件，即“”是“成立”的充分不必要条件．故选A． 【点睛】本题考查了充分必要条件，考查了不等式的解法，是一道基础题． 5. 设，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：D 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的性质判断即可. 【详解】因为在上单调递增，所以，即， 又， 所以. 故选：A 7. 已知定义在上的函数，满足当时，，则=（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由知道函数为奇函数，又因为函数在处由定义，所以满足，解得值. 【详解】∵，为奇函数， ∴，∴. 故选：B. 8. 已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分段函数在R上单调递减，需满足在每一段上单调递减，且分段处左端点值大于等于右端点值，从而得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】由题意得在上单调递减，在上单调递减， 且分段处左端点值大于等于右端点值， 故，解得. 故选：C 二、多选题（每题5分，共20分） 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为8 B. 的最大值为5 C. 的最大值为12 D. 的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据不等式的性质计算可得. 【详解】因为，， 所以，所以，所以最大值为，故A错误； 则，所以，所以的最大值为，故B正确； 因为，所以，所以的最大值为，故C错误； 因为，所以，所以的最大值为，故D正确. 故选：BD 10. 下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】首先根据奇偶函数的定义判断奇偶性；然后再根据函数单调性的定义来判断函数在区间上的单调性即可. 【详解】对于A选项，函数，其定义域为R，， 所以是偶函数； 函数对称轴为，所以在区间上单调递增，故A正确； 对于B选项，函数，其定义域为，，， 所以不是偶函数，故B错误； 对于C选项，函数，其定义域为， 所以是奇函数，不是偶函数，故C错误； 对于D选项，函数，其定义域为，， 所以是偶函数， 当时，在区间上单调递增，故D正确. 故选：AD. 11. 已知函数图象经过点，则下列命题正确的有（ ） A. 函数为增函数 B. 函数为偶函数 C 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】代入法求出，然后根据幂函数的性质判断ABC，平方作差法判断D． 【详解】将点代入函数得：，则． 所以， 显然在定义域上为增函数，所以A正确． 的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B不正确． 当时，，即，所以C正确． 当时， 即成立，所以D正确． 故选：ACD． 12. 对于任意的表示不超过的最大整数.在十八世纪被“数学王子”高斯采用，称[x]为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.则下列说法正确的是（ ） A. B. 对任意的，都有 C. 不等式的解集为 D. 对任意的，则不超过的所有正实数中，是的倍数的数共有个 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据高斯函数的含义可判断AB；解得不等式的解，即可确定，结合高斯函数的含义即可判断C；根据，则可得，由此可判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，设x的小数部分为，则， 则，B正确； 对于C，结可得， 由于为整数，故，则， 即不等式的解集为，C正确； 对于D，因为，则， 则是所有不超过x的所有正实数中n的倍数，共有个，D正确， 故选：BCD 三、填空题（每小题5分，共20分） 13. 函数的定义域为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据解析式，列出不等式，求出使解析式有意义的自变量的范围，即可得出结果. 【详解】解：根据题意，要使函数有意义， 则需满足，解得且. 所以函数的定义域为： 故答案为： 【点睛】本题考查函数定义域的求解，是基础题. 14. 设函数若 则实数a的值为____________. 【答案】或. 【解析】 【分析】讨论与两种情况，分别代入对应解析式进行求解即可. 详解】已知函数， 当时，，解得或，舍去，所以； 当时，，得. 综上，或. 故答案为：或. 15. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则____________；当时，____________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意结合奇函数的定义运算求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，当时，， 所以； 当，则，所以. 故答案为：；. 16. 已知函数是定义域为R的偶函数，且对任意，当时总有，则满足的x的范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用单调性及偶函数的性质解不等式. 【详解】由对任意，当时总有，得函数在上单调递增， 而函数是定义域为R的偶函数，则函数在上单调递减， 不等式，则， 即，解得， 所以所求x的范围是. 故答案为： 四、解答题（本大题共6个小题，共70分） 17. 依据要求解决以下问题： （1）化简； （2）求不等式的解集. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的计算法则计算可得； （2）将分式不等式等价转化为一元二次不等式，求出一元二次不等式的解集即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 不等式，即，等价于， 解得或， 所以不等式的解集为或. 18. 已知. （1）判断并证明该函数的奇偶性； （2）画出该函数的图象. 【答案】（1）为偶函数，证明见解析 （2）函数图象见解析 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性的定义判断即可； （2）根据函数解析式画出函数图象. 【小问1详解】 为偶函数，证明如下： 因为，定义域为， 当时，，则； 当时，，则； 又，综上可得对任意的，均有， 所以为偶函数； 【小问2详解】 由可得的图象如下所示： 19. 已知函数 （1）若函数在 上是单调函数，求实数m的取值范围； （2）若函数恒成立问题，求m的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由二次函数的对称轴得到单调区间，所以包含于某一个单调区间内，从而得出实数m的取值范围； （2）由（1）可知函数最小值为，解出结果即为实数m的取值范围. 【小问1详解】 函数对称轴为：， ∴在上单调递增；在单调递减， 有题意可知：或， 即或， 【小问2详解】 由（1）可知， ∴， ∴ 20. 已知函数. （1）判断并证明在上的单调性； （2）求函数在上的值域. 【答案】（1）在上单调递减.证明见详解. （2） 【解析】 【分析】（1）由双勾函数知道在上单调递减，由定义法证明函数单调递减； （2）由（1）知道单调区间，从而求出值域. 【小问1详解】 在上单调递减. 证明：任取， ∵，∴，，， ∴， ∴在上单调递减. 【小问2详解】 由（1）可知在上单调递减， ∴ ∴在的值域： 21. 中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛，展现强劲实力和竞争力.中国自主创新，多项技术取得突破，全球布局加速，现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备.预计使用该设备后，第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为50万元，设使用年后该设备的盈利额为万元. （1）写出与之间的函数关系式； （2）从第几年开始，该设备开始盈利（盈利额为正值）； （3）使用若干年后，对设备处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备； ②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该设备. 请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额为，） 【答案】（1） （2）从第3年开始盈利 （3）方案①比较合理 【解析】 【分析】（1）根据题目描述得到函数关系，化简即可. （2）根据题意列出不等关系，解不等式得到结果，向上取整即可. （3）①先表示出年平均盈利额，利用基本不等式求出去年平均盈利额最大年份，求出总获利；②由二次函数的性质求出盈利额最大年份，求出总获利；比较获利金额，金额相同比较时间，即可得到合理方案. 【小问1详解】 依题得：， 【小问2详解】 解不等式，得：， ，，故从第3年开始盈利. 【小问3详解】 ①， 当且仅当时，即时等号成立， 故第七年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利万元， ②，当时，， 故第十年，盈利额达到最大值，工厂获利万元， 盈利额达到的最大值相同，而方案①所用的时间较短，故方案①比较合理. 22. 已知函数，. （1）若，求方程的根； （2）函数.求的表达式及在上的值域； （3）函数， 求在区间上的最小值. 【答案】（1）或 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）列出分式方程并求解； （2）由函数图像和函数定义可直接写出函数解析式并能得到值域； （3）由定义得出解析式，找到对称轴，分类讨论的取值范围，得到对应的最小值，从而写出的解析式. 【小问1详解】 当时，， 则或. 【小问2详解】 如图： 由函数图象可知：， 当时，，即函数的值域为； 【小问3详解】 ， 对称轴：， ①时，，所以在上单调递减， ∴ ； ②当时，，即， ③当时，所以在上单调递增，即， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 永宁上游高级中学2024-2025学年第一学期期中考试 高一数学试题 时间：120分钟 分值：150分 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 若全集，集合，则 （ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 中国清朝数学家李谱兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做“函数”沿用至今，已知集合，， 给出下列四个对应关系， 请由函数定义判断， 其中能构成从到的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. “”是“成立”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上函数，满足当时，，则=（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8. 已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题5分，共20分） 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 最大值为8 B. 的最大值为5 C. 的最大值为12 D. 的最大值为 10. 下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（ ） A B. C. D. 11. 已知函数图象经过点，则下列命题正确的有（ ） A. 函数为增函数 B. 函数偶函数 C. 若，则 D. 若，则 12. 对于任意的表示不超过的最大整数.在十八世纪被“数学王子”高斯采用，称[x]为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.则下列说法正确的是（ ） A. B. 对任意的，都有 C. 不等式的解集为 D. 对任意的，则不超过的所有正实数中，是的倍数的数共有个 三、填空题（每小题5分，共20分） 13. 函数的定义域为_____________. 14. 设函数若 则实数a的值为____________. 15. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则____________；当时，____________. 16. 已知函数是定义域为R的偶函数，且对任意，当时总有，则满足的x的范围是__________. 四、解答题（本大题共6个小题，共70分） 17. 依据要求解决以下问题： （1）化简； （2）求不等式的解集. 18. 已知. （1）判断并证明该函数的奇偶性； （2）画出该函数图象. 19. 已知函数 （1）若函数在 上是单调函数，求实数m的取值范围； （2）若函数恒成立问题，求m的取值范围. 20. 已知函数. （1）判断并证明在上的单调性； （2）求函数在上的值域. 21. 中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛，展现强劲实力和竞争力.中国自主创新，多项技术取得突破，全球布局加速，现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入98万元购进一套生产设备.预计使用该设备后，第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为50万元，设使用年后该设备的盈利额为万元. （1）写出与之间的函数关系式； （2）从第几年开始，该设备开始盈利（盈利额为正值）； （3）使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备； ②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该设备. 请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由.（注：年平均盈利额为，） 22. 已知函数，. （1）若，求方程的根； （2）函数.求的表达式及在上的值域； （3）函数， 求在区间上的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$