2.3 简谐运动的回复力和能量【两大必考点+三大秒杀招+五大题型+分层训练】-2024-2025学年高二上学期物理人教版（2019）选择性必修第一册题型归类+解题大招

2.3 简谐运动的回复力和能量【两大必考点+三大秒杀招+五大题型+分层训练】 课前预习+知识精讲 知识点01简谐运动的回复力 1．简谐运动的动力学定义：如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。 2．回复力：由于力的方向总是指向平衡位置，它的作用总是要把物体拉回到平衡位置，所以通常把这个力称为回复力。 3．弹簧振子的回复力与位移的关系：F＝－kx，式中k是弹簧的劲度系数。 4．回复力的性质：回复力是根据力的效果命名的，它可以是一个力，也可以是多个力的合力，还可以由某个力的分力提供．如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，m随M一起振动，m的回复力是静摩擦力． 5．简谐运动的回复力的特点 (1)由F＝－kx知，简谐运动的回复力大小与振子的位移大小成正比，回复力的方向与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置． (2)公式F＝－kx中的k指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数k由振动系统自身决定． (3)根据牛顿第二定律得，a＝＝－x，表明弹簧振子做简谐运动时振子的加速度大小也与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反． 知识点02简谐运动的能量 1．能量转化：弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。 (1)在最大位移处，势能最大，动能为零。(2)在平衡位置处，动能最大，势能最小。 2．能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。 3．简谐运动的特点： 如图所示的弹簧振子． 振子的运动 位移 加速度 速度 动能 势能 O→B 增大，方向向右 增大，方向向左 减小，方向向右 减小 增大 B 最大 最大 0 0 最大 B→O 减小，方向向右 减小，方向向左 增大，方向向左 增大 减小 O 0 0 最大 最大 0 O→C 增大，方向向左 增大，方向向右 减小，方向向左 减小 增大 C 最大 最大 0 0 最大 C→O 减小，方向向左 减小，方向向右 增大，方向向右 增大 减小 说明:简谐运动的位移、回复力、加速度、速度都随时间做周期性变化（正弦或余弦函数），变化周期为T，振子的动能、势能也做周期性变化，周期为T/2。 (1)凡离开平衡位置的过程，v、Ek均减小，x、F、a、EP均增大；凡向平衡位置移动时，v、Ek均增大, x、F、a、EP均减小. (2)在平衡位置时，x、F、a为零，EP最小，v、Ek最大；在最大位移时，x、F、a、EP最大，v、Ek最为零； (3)在平衡位置两侧的对称点上,x、F、a、v、Ek、EP的大小均相同． (4)在简谐运动中，位移、回复力、加速度和势能四个物理量同时增大或减小，与速度和动能的变化步调相反． (5)平衡位置是位移、加速度和回复力方向变化的转折点． (6)最大位移处是速度方向变化的转折点． (7)简谐运动的位移与前面学过的位移不同，简谐运动的位移是从平衡位置指向某一位置的有向线段，位移起点是平衡位置，是矢量． 4．因x＝Asin(ωt＋φ)，故回复力F＝－kx＝－kAsin(ωt＋φ)，可见回复力随时间按正弦规律变化。 5．表达式中k虽然是系数，但有单位，其单位是由F和x的单位决定的，即为N/m。 6．简谐运动中，x变化，回复力F随之改变，可见a＝也是随x在改变，所以简谐运动是一个变加速运动。其位移跟加速度的关系为a＝－x，加速度大小跟位移大小成正比，方向相反。 解题大招 大招01 理解回复力的两点注意 (1)分析物体做简谐运动的回复力，首先要明确回复力是效果力，是由物体受到的力来充当的，不要认为回复力是物体受到的一种新力． (2)对于相关联的多个物体，整体法和隔离法在分析简谐运动时，仍然适用． 大招02对简谐运动能量的三点认识 (1)决定因素：对于一个确定的振动系统，简谐运动的能量由振幅决定，振幅越大，系统的能量越大． (2)能量获得：系统开始振动的能量是通过外力做功由其他形式的能转化来的． (3)能量转化：当振动系统自由振动后，如果不考虑阻力作用，系统只发生动能和势能的相互转化，机械能守恒． 大招03简谐运动的振动图像总结 (1)最大位移处、平衡位置处物理量的大小：简谐运动中的最大位移处，F、a、Ep最大，Ek＝0；在平衡位置，F＝0，a＝0，x＝0，Ep＝0，而Ek最大。 (2)竖直弹簧振子的能量组成：对竖直弹簧振子来说，振动能量包含动能、弹性势能、重力势能。 题型分类 题型01简谐运动的回复力 【例1】如图所示，对做简谐运动的弹簧振子的受力情况分析正确的是（    ） A．重力、支持力、弹簧的弹力 B．重力、支持力、弹簧的弹力、回复力 C．重力、支持力、回复力、摩擦力 D．重力、支持力、摩擦力、弹簧的弹力 【答案】A 【解析】A.振子只受重力、支持力及弹簧给它的弹力.故选项A符合题意。 B.回复力为效果力，受力分析时不分析此力. 故选项B不符合题意。 CD.弹簧振子的简谐运动中忽略了摩擦力.故选项CD不符合题意。 【变式1-1】如图所示，斜面体固定在水平地面上，滑块和弹簧组成弹簧振子，滑块在光滑斜面上的A、B两点之间做往复运动，O为平衡位置，下列说法正确的是（　　） A．滑块运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用 B．滑块运动到O点时，弹簧的弹力为0 C．滑块由A向O运动过程中，弹簧弹性势能一直在减小 D．滑块由O向B运动过程中，滑块的机械能一直在增大 【答案】C 【解析】A．滑块运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力3个力的作用，回复力是效果力，并非滑块受到的力，故A错误； B．滑块运动到O点时，所受合力为0，则弹簧的弹力等于重力沿斜面向下的分力，不为0，故B错误； C．滑块由A向O运动过程中，弹簧的形变量减小，弹性势能一直在减小，故C正确； D．滑块由O向B运动过程中，如果到达B点时，弹簧仍处于伸长状态，则弹力一直做正功，滑块的机械能一直在增大；如果到达B点时，弹簧处于压缩状态，则弹力先做正功后做负功，滑块的机械能先增大后减小，故D错误。 故选C。 【变式1-2】如图所示，弹簧振子B上放一个物块A，在A与B一起做简谐运动的过程中，下列关于A受力的说法中正确的是（　　） A．物块A受重力、支持力及B对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力 B．物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力 C．物块A受重力、支持力及B对它的回复力 D．物块A受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力 【答案】A 【解析】物块A受到重力、支持力和摩擦力的作用，重力和支持力二力平衡，摩擦力提供A做简谐运动所需的回复力，由F＝－kx知，摩擦力的大小和方向都随时间变化。A正确，BCD错误。 故选A。 题型02简谐运动的能量 【例2】如图所示，竖直轻弹簧上端与一个质量为m的小球相连，下端固定在地面上，用力向下压小球并从静止释放，小球在竖直方向上做振幅为A的简谐运动，振动到最高点时弹簧恰好恢复原长，重力加速度为g，弹簧在弹性限度内，则小球在振动过程中弹簧的最大弹性势能为 ，小球在最低点时所受弹簧的弹力大小为 。 【答案】 【解析】[1][2]因小球振动到最高点时，弹簧正好处于原长状态，此时弹簧弹力等于零，小球的重力 当小球在最低点时，小球下降高度为 此时弹簧的弹性势能最大且其等于该过程小球重力势能的减少量，即 由简谐运动的对称性可知，在最低点，由 ， 解得 【变式2-1】如图所示，在斜面上有一个弹簧振子，从A点由静止释放，O点为振动的平衡位置，振动物体在A、B两点之间做简谐运动，不计一切摩擦，下列说法正确的是（    ） A．振动物体在O点时，弹簧处于原长，弹簧振子的弹性势能为0 B．在振动物体运动的过程中，由弹簧弹力充当回复力 C．振动物体在B点时弹簧的弹性势能一定比振动物体在A点时的大 D．振动物体从A向B运动的过程中，其速度和加速度方向始终相同 【答案】C 【解析】A．O点为简谐运动的平衡位置，则振动物体在O点时受到的合外力为零，则重力沿斜面向下的分力与弹簧弹力平衡，可知此时弹簧处于伸长状态，弹性势能大于零，A错误。 B．在振动物体运动的过程中，由弹簧弹力与重力沿斜面向下的分力的合力充当回复力，B错误。 C．在简谐运动过程中，机械能的总量不变，在AB两点时，振动物体的动能均为零，且振动物体在B点时的重力势能比在A点时的小，则振动物体在B点时弹簧振子的弹性势能一定比振动物体在A点时的大，C正确。 D．振动物体从A到O做加速运动，速度和加速度方向相同；从O向B运动的过程中，振动物体的速度减小，则速度和加速度方向相反，D错误。 故选C。 【变式2-2】（多选）如图所示，质量均为m的四个小球A、B、C、D，通过轻绳或轻弹簧互相连接，悬挂于O点，处于静止状态，重力加速度为g，两根弹簧的劲度系数均为k，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若将 B、C间的细线剪断，此后A、B间弹簧始终处于拉伸状态 B．若将 B、C间的细线剪断，此后 B的加速度最大值为2g C．若将B、C间的细线剪断，落地前C、D与轻弹簧组成的系统机械能守恒 D．若将C、D间的弹簧剪断，此后C的最大动能为 【答案】BCD 【解析】AB．以B、C、D三个小球为整体，可知初始时A、B间弹簧弹力为 若将 B、C间的细线剪断，剪断瞬间弹簧弹力保持不变，B的加速度最大，以B为对象，根据牛顿第二定律可得 B球将做简谐运动，根据对称性可知，B球在最高点的加速度为，方向竖直向下，则B球在最高点弹簧弹力大小为，方向竖直向下，弹簧处于压缩状态，此时A上方的绳子拉力刚好为0，所以A一直处于静止状态，B做简谐运动，A、B间弹簧不是始终处于拉伸状态，也有处于压缩状态，故A错误，B正确； C．若将B、C间的细线剪断，落地前C、D与轻弹簧组成的系统只有重力和弹簧弹力做功，所以系统满足机械能守恒，故C正确； D．若将C、D间的弹簧剪断，剪断瞬间，以BC为整体，根据牛顿第二定律可得 设B、C保持相对静止一起做简谐运动，根据对称性可知，处于最高点时的加速度大小为，方向竖直向下；以C对象进行受力分析，可知此时绳子对C的拉力为，则B、C一直保持相对静止做简谐运动，当弹簧弹力等于B、C的总重力时，B、C的动能最大；最低点时，弹簧的伸长量为 当处于平衡位置时，弹簧的伸长量为 根据系统机械能守恒可得 联立解得C的最大动能为 故D正确。 故选BCD。 题型03判断物体是否做简谐运动 【例3】（1）两根质量均可不计的弹簧，劲度系数分别为、，它们与一个质量为的小球组成的弹簧振子如图1所示。试证明弹簧振子做的运动是简谐运动。 （2）如图2所示，弹簧劲度系数为，试证明竖直方向的弹簧振子的振动是简谐运动。 【答案】见解析 【解析】（1）以水平向右为正方向，令 当振子离开平衡位置时，两弹簧发生形变而使振子受到指向平衡位置的合力。设振子向右移动的位移为，则物体受到的合力为 所以，弹簧振子做的运动是简谐运动。 （2）如图所示 设振子的平衡位置为，向下为正方向，此时弹簧的形变量为，根据胡克定律及平衡条件有 当振子向下偏离平衡位置的位移为时，回复力（即合外力）为 解得 所以竖直方向的弹簧振子的振动是简谐运动。 【变式3-1】如图甲所示，一个劲度系数为k的轻弹簧一端固定在桌面上，使其直立，另一端上下叠放着物块A、B，两物块质量分别为3m和m。当弹簧和两物块组成的系统静止时，从上方拿走物块B，物块A开始做竖直方向上的运动，如图乙所示。已知重力加速度大小为。 （1）证明：当拿走物体B后，物块A在竖直方向上做简谐运动； （2）求A做简谐运动的最大加速度和振幅； （3）求A上升到最高点时，桌面受到弹簧给的弹力大小和方向。 【答案】（1）见解析；（2），；（3）竖直向下的的弹力 【解析】（1）A处于甲图中的状态时，设弹簧压缩量为 解得 设A弹簧压缩量为时，物块A上升到最大高度，有动能定理得 解得 当A的加速度为0时，设此时弹簧的压缩量为 解得 弹簧形变量在时，设弹簧距离加速度为0的点为，由牛顿第二定律得 方向指向加速度为0的点 弹簧形变量在时，设弹簧距离加速度为0的点为，由牛顿第二定律得 方向指向加速度为0的点 由以上两个结论可知，物块A以加速度为0的点为平衡位置，做简谐运动。 （2）由上题可知，当弹簧压缩量在、两位置时，物块A的加速度最大，由牛顿第二定律得 解得 由上题可知A做简谐运动的振幅 （3）A上升到最高点时，由（1）问可知，此时弹簧的压缩量为，此时弹簧弹力 弹簧对物块竖直向上的弹力，同时弹簧对桌面有竖直向下的的弹力。 【变式3-2】1610年，伽利略用自制的望远镜发现了木星的四颗主要卫星。根据他的观察，其中一颗卫星P做振幅为A、周期为T的简谐运动，他推测该卫星振动是卫星做圆周运动在某方向上的投影。如图所示是卫星P运动的示意图，在xOy平面内，质量为m的卫星P绕坐标原点O做匀速圆周运动。若认为木星位于坐标原点O，求： （1）卫星P做圆周运动的向心力大小； （2）物体做简谐运动时，回复力应满足。试证明：卫星P绕木星做匀速圆周运动在x轴上的投影是简谐运动。 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】（1）卫星P做圆周运动的向心力大小为 （2）如图 取向右为正方向，则 则卫星P绕木星做匀速圆周运动在x轴上的投影是简谐运动。 题型04简谐运动与力学结合问题 【例4】（多选）如图所示为一款玩具“弹簧公仔”，该玩具由头部、轻弹簧及底座组成，已知公仔头部质量为，弹簧劲度系数为，底座质量为。压缩公仔头部，然后由静止释放公仔头部，此后公仔头部在竖直方向上做简谐运动。重力加速度为，当公仔头部运动至最高点时，底座对桌面的压力刚好为零，弹簧始终在弹性限度内。下列说法中正确的是（　　） A．公仔头部做简谐运动的振幅为 B．公仔头部运动至最高点时，头部的加速度为 C．公仔头部有最大速度时，弹簧处于原长 D．公仔头部运动至最低点时，桌面对底座支持力的大小为 【答案】AD 【解析】A．公仔头部在最高点时，底座对桌面的压力刚好为零，故此时弹簧处于伸长状态弹力大小为 对公仔头部 又 解得 选项A正确； B．公仔头部运动至最高点时，头部的加速度 选项B错误； C．公仔头部有最大速度时，弹簧的弹力和公仔头部的重力等大反向，弹簧处于压缩状态，选项C错误； D．根据简谐运动的对称性，当公仔头部运动到最低点时 得 此时对底座受力分析 公仔头部运动至最低点时，桌面对底座支持力的大小为，选项D正确。 故选AD。 【变式4-1】如图所示，在倾角为θ的固定光滑斜面上，有两个用轻质弹簧相连的物块A和B，它们的质量均为m，弹簧的劲度系数为k，C为一固定的挡板，现将一个质量也为m的物体D从距A为L的位置由静止释放，D和A相碰后立即粘在一起，之后在斜面上做简谐运动。在简谐运动过程中，物体B对C的最小弹力为，则以下说法正确的是（　　） A．简谐运动的振幅为 B．简谐运动的振幅为 C．B对C的最大弹力 D．B对C的最大弹力 【答案】A 【解析】AB．当弹力等于AD的重力的分力时AD处于平衡位置，由 可知，平衡位置时弹簧的形变量为 处压缩状态；当B对C弹力最小时，对B分析，则有 故弹簧此时形变量 此时弹簧处于压缩状态；故简谐运动的振幅为 故A正确，B错误； CD．当AD运动到最低点时，B对C的弹力最大；由对称性可知，此时弹簧的形变量为 此时弹力为 B对C的弹力为 故CD错误。 故选A。 【变式4-2】（多选）如图所示，水平光滑桌面上，轻弹簧的左端固定，右端连接物体P，P和Q通过细绳绕过定滑轮连接。开始时，系统处于静止状态，滑块P处于位置O。将滑块P向左推至弹簧原长的位置A点后由静止释放，P物体将在A点和右侧的某位置（图中未画出）之间来回运动，滑块未与定滑轮相碰，弹簧未超出弹性限度，已知P和Q的质量均为m，弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，不计一切摩擦，则（　　） A．刚释放瞬间，P的加速度为g B．P做简谐运动的振幅为 C．绳上最大拉力为2mg D．弹簧的最大弹性势能为 【答案】BD 【解析】A．开始时将滑块P向左推至弹簧原长的位置A点后由静止释放，则在释放瞬间，由牛顿第二定律，对P、Q整体分析可得 解得 故A错误； B．根据题意可知，P、Q以及弹簧组成的连接体静态平衡时，物块P位于位置O，则可知物块P做简谐运动时的平衡位置位于O点，根据平衡条件可得 解得平衡时弹簧的伸长量为 而释放时弹簧处于原长，则可知AO间的距离为x，即可得P做简谐运动的振幅为，故B正确； C．做简谐运动的物体，加速度在振幅最大处最大，即加速度的最大值为，而绳的拉力在P运动至最右端时最大，将Q隔离分析，由牛顶第二定律有 解得 故C错误； D．当物块P运动至最右端时弹簧的弹性势能最大，此时弹簧的伸长量为，根据弹簧弹性势能的表达式 代入可得 故选BD。 题型05简谐运动中功和能量问题 【例5】如图，劲度系数为2N/cm，竖直放置的弹簧上连接有质量为2kg的A物块，静止时A在y=0cm处，此刻将一质量为1kg的物块B无初速度的放置于A上，使A与B开始运动，忽略空气阻力，弹簧足够长且始终未超出弹性限度。已知弹簧弹性势能表达式为，x为弹簧形变量。下列说法正确的是（　　） A．A向下运动到y=5cm后保持静止 B．存在某一时刻A与B会分离 C．A最大能运动到y=20cm处 D．当A运动到y=5cm处时，A的动能达到最大值 【答案】D 【解析】A．静止时A在y=0cm处，令此时弹簧压缩量为，则有 解得 放上B后，令对平衡位置的位移大小为，A、B在平衡位置的压缩量为，则有 ， 解得 回复力大小与相对平衡位置的位移大小成正比，方向相反，可知，放上B后，B与A一起开始向下做简谐运动，根据对称性可知，A、B先向下做加速度减小的加速运动，后向下做加速度增大的减速运动，减速至0后，又向上做做加速度减小的加速运动，后向上做加速度增大的减速运动，减速至0后回到出发点，之后，重复先前的运动过程，根据上述可以解得 根据简谐运动的对称性可知，振幅为 可知，A、B向下运动到两倍的振幅位置，即y=10cm到达最低点，但不能够保持静止，故A错误； B．结合上述可知，B与A一起保持相对静止做简谐运动，两者不会发生分离，故B错误； C．结合上述可知，A最大能运动到y=10cm处，故C错误； D．结合上述可知，当A运动到y=5cm处时，恰好处于平衡位置，此时速度最大，A的动能达到最大值，故D正确。 故选D。 【变式5-1】如图所示，在竖直的光滑套管中有一根劲度系数k=800N/m、长30cm的轻弹簧。现让质量m=4kg的物块P与弹簧上端轻轻接触并静止释放，则物块P将在套管中做简谐运动。取平衡位置为重力势能零点，弹簧处于原长时弹性势能为零，（g=10m/s2）。求： （1）物块P振动加速度的最大值am和振幅A； （2）弹簧的最大弹力Fm和振动系统的最大势能Epm。 【答案】（1），；（2）， 【解析】（1）根据物块P在套管中做简谐运动可知放手时，物块P处在最高点，离开平衡位置的位移最大，加速度也最大。由于物块P在最高处只受重力，所以物块振动的最大加速度大小 物块在平衡位置时，有 由胡克定律得振幅 （2）根据简谐运动的对称性可知物块P在最低点对平衡位置的位移大小与最高点时偏离平衡位置的位移大小相等。弹簧被压缩的最大长度为 则弹簧的最大弹力 物块P和弹簧组成的系统机械能守恒，根据简谐振动中能量的关系得物块P在最高处时速度为零，动能为零，动能最小此时总势能最大（弹性势能为零，重力势能最大）；最低点处动能也为零，总势能也最大（重力势能最小，弹性势能最大），有 【变式5-2】如图所示，倾角α为30°的足够长的光滑斜面固定在水平面上，斜面底端有一挡板，质量为m的木块甲紧靠挡板放置，轻质弹簧一端与木块甲相连，另一端与质量为m的木块乙相连，弹簧劲度系数为k。开始时两木块均静止，用沿斜面向下的力缓慢推木块乙，到某一位置后撤去该力，将该时刻记为t=0。此后木块乙在斜面上做简谐运动，t0时刻第一次运动到最高点，此时木块甲恰要离开挡板。已知重力加速度为g，弹簧的弹性势能的表达式为 。求∶ （1） 木块乙做简谐运动的振幅A； （2） 弹簧弹性势能最大值； （3）木块乙与最高点距离为 的时刻t。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）开始时弹簧的压缩量为 到滑块乙到达最高点时，甲恰离开挡板，则此时弹簧伸长量 则木块乙做简谐运动的振幅 （2） 物块乙在最低点时弹簧压缩量最大，此时弹簧弹性势能最大，则弹簧弹性势能最大值 （3）由题意可知，振子振动的周期 T=2t0 则振子从最低点到平衡位置的时间为 从平衡位置到距离最高点的时间满足 解得 则木块乙与最高点距离为 的时刻为 分层训练 【基础过关】 1．做简谐运动的物体经过点时，加速度大小为，方向指向点；当它经过点时，加速度大小为，方向指向点。若A、B之间的距离是5cm，则关于它的平衡位置，说法正确的是（    ） A．平衡位置在AB连线左侧 B．平衡位置在AB连线右侧 C．平衡位置在AB连线之间，且距离点为4cm处 D．平衡位置在AB连线之间，且距离点为2cm处 【答案】C 【详解】根据牛顿第二定律可知简谐运动物体的加速度大小为 可知物体的加速度大小与相对于平衡位置的位移大小成正比，由于回复力方向总是指向平衡位置，则加速度方向总是指向平衡位置，由题意可知，物体经过点时，加速度方向指向点；物体经过点时，加速度方向指向点；则平衡位置在AB连线之间，设平衡位置与点距离为x1，与点距离为，则有 又 联立解得 故选C。 2．如图所示，将一轻弹簧与小圆桶连接在一起，弹簧左端固定在墙上，保持弹簧水平且整个装置放在光滑的水平面上，小圆桶刚好静止在O点。用手缓慢拉动小圆桶到达B点，松开手后小圆桶一直在AB之间振动，若小圆桶运动到A处时将一小物体放到小圆桶内，小物体和小圆桶无相对运动而一起运动，下列说法正确的是（　　） A．振幅变小 B．周期不变 C．最大速度不变 D．最大速度减小 【答案】D 【详解】 A．根据系统机械能守恒可知，振动的振幅不变，故A错误； BCD．根据系统机械能守恒可知，小物体和小桶一起运动过程中，在同一位置的速度都会减小，而振动的振幅不变，故周期变大，故BC错误，D正确。 故选D。 3．如图所示为弹簧振子在到内的振动图像，下列判断正确的是（　　） A．在时振子的振动方向向上 B．在到时间内振子的速度减小，回复力增大 C．在到时间内振子的加速度和速度都增大 D．在到时间内振子的位移为零 【答案】B 【详解】A．由振动图像可知，时振子的振动方向向下，故A错误； B．在到时间内振子的位移增大，速度减小，回复力增大，故B正确； C．在到时间内振子的位移减小，加速度减小，速度增大，故C错误； D．在到时间内振子从正向最大位移处运动到负向最大位移处，位移不为零，故D错误。 故选B。 4．两个带等量正电的点电荷，固定在图中P、Q两点，MN为PQ连线的中垂线，交PQ于O点，A、为MN上的两点，关于O点对称，一带负电的试探电荷q，从A点由静止释放，仅在静电力作用下运动，取无限远处的电势为零，则（    ） A．q由A向O的运动过程中加速度先增大后减小 B．q由A向O运动的过程电势能逐渐增大 C．q运动到O点时的动能最大 D．q在A与之间做简谐运动 【答案】C 【详解】A．两等量正电荷周围部分电场线如图所示 其中P、Q连线的中垂线MN上，从无穷远到O过程中电场强度先增大后减小，但A点到O不一定是先增大后减小的，可能是一直减小，故加速度可能一直减小，A错误； B．电场力方向与AO方向一致，电场力做正功，电势能逐渐减小，B错误； C．从A到O做加速直线运动，在O点，场强为零，电场力为零，加速度为零，速度最大，动能最大，C正确； D．质点做简谐振动时回复力始终指向平衡位置，且和位移成正比，q在A与之间受到的电场力始终指向O点，但它的大小与位移不成正比，所以它的运动不是简谐振动。D错误。 故选C。 5．如图甲所示，装有一定量液体的试管竖直漂浮在宽广的水域中。若将试管压入水中适当深度，并忽略运动时受到的阻力，可认为试管能在竖直方向做简谐运动。某次将试管缓慢下压3cm后释放，以竖直向上为正方向，从某随机时刻开始计时，可得到图乙所示的振动图像，已经测得振动周期为0.5s，则下列说法正确的是（　　） A．试管的振幅为6cm B．回复力由试管受到的浮力提供 C．试管振动的圆频率 D．在时间内，位移、速度、加速度均在减小 【答案】C 【详解】A．把玻璃管向下缓慢按压3cm后放手，此时玻璃管速度为零，偏离位置距离最大，所以振幅为3cm，故A错误； B．回复力由玻璃管所受的浮力和重力的合力提供，故B错误； C．振动周期为0.5s，则玻璃管振动的圆频率 故C正确； D．由图乙可知在时间内，玻璃管向上运动，位移减小，加速度减小，速度增大，故D错误。 故选C。 6．如图所示，光滑水平面上的弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点间做简谐运动，取向左为正方向，则振子从O点运动到B点的过程中（　　） A．位移不断增大 B．加速度不断减小 C．位移方向与加速度方向始终相同 D．速度增大，弹性势能增大 【答案】A 【详解】振子从O点运动到B点的过程是远离平衡位置，故位移增大，回复力增大，加速度增大，位移方向与加速度方向相反，速度减小，弹性势能增大。 故选A。 7．如图所示，在斜面上有一个弹簧振子，从A点由静止释放，O点为振动的平衡位置，振动物体在A、B两点之间做简谐运动，不计一切摩擦，下列说法正确的是（    ） A．振动物体在O点时，弹簧处于原长，弹簧振子的弹性势能为0 B．在振动物体运动的过程中，由弹簧弹力充当回复力 C．振动物体在B点时弹簧的弹性势能一定比振动物体在A点时的大 D．振动物体从A向B运动的过程中，其速度和加速度方向始终相同 【答案】C 【详解】A．O点为简谐运动的平衡位置，则振动物体在O点时受到的合外力为零，则重力沿斜面向下的分力与弹簧弹力平衡，可知此时弹簧处于伸长状态，弹性势能大于零，A错误。 B．在振动物体运动的过程中，由弹簧弹力与重力沿斜面向下的分力的合力充当回复力，B错误。 C．在简谐运动过程中，机械能的总量不变，在AB两点时，振动物体的动能均为零，且振动物体在B点时的重力势能比在A点时的小，则振动物体在B点时弹簧振子的弹性势能一定比振动物体在A点时的大，C正确。 D．振动物体从A到O做加速运动，速度和加速度方向相同；从O向B运动的过程中，振动物体的速度减小，则速度和加速度方向相反，D错误。 故选C。 8．如图所示，平台沿竖直方向做简谐运动，一物体置于振动平台上始终随平台振动，两者保持相对静止。下列说法正确的是（    ）    A．物体的速度最大时，物体对平台的压力最大 B．物体的加速度为零时，物体对平台的压力最小 C．振动平台位于最低点时，物体对平台的压力最大 D．振动平台位于最高点时，物体对平台的压力最大 【答案】C 【详解】AB．当平台振动经过平衡位置时，加速度为零，速度最大，物体对平台的正压力等于物体的重力，此时物体对平台的压力不是最小，也不是最大，故AB错误； C．物体和平台一起做简谐运动，加速度方向总是指向平衡位置，当处于平衡位置下方时，加速度向上，处于超重状态，根据牛顿第二定律 可知，在最低点加速度最大，支持力最大，根据牛顿第三定律，物体对平台的正压力最大，故C正确； D．振动平台位于最高点时，处于完全失重状态，物体对平台的压力最小，故D错误。 故选C。 9．两个弹簧振子甲、乙沿水平方向放置，其振动图像如图所示，则（　　） A．甲、乙两弹簧振子的频率之比为 B．时甲具有负向最大加速度 C．时乙具有正向最大位移 D．时甲、乙两弹簧振子的速度方向相同 【答案】C 【详解】A．如图所示，得甲的周期为 乙的周期为 得 由关系式 联立解得 故A错误； B．时，甲在平衡位置处，回复力为零，得加速度为零，故B错误； C．时，乙速度为零，在正向最大位移处，故C正确； D．时，甲乙都处于平衡位置，具有最大的速度，但甲在下时刻位移为正，即甲向正向运动，此时速度方向为正，而乙在下时刻位移为负，即乙向负向运动，此时速度方向为负，得甲、乙两弹簧振子的速度方向相反，故D错误。 故选C。 10．如图1所示，小球以O点为平衡位置，在A、B间做简谐运动，规定水平向右为正方向，其位移x与时间t的关系图线如图2所示，下列说法正确的是（    ） A．时，小球的位移为 B．时，小球的回复力为最大值，且方向水平向右 C．从到时间内，小球做加速度增大的减速运动 D．在与两个时刻，小球的速度相同 【答案】C 【详解】A．由图2可知，小球位移x与时间t的关系表达式为 则时，小球的位移为 故A错误； B．时，小球处于正向最大位移处，小球的回复力为最大值，且方向水平向左，故B错误； C．从到时间内，小球从平衡位置运动到负向最大位移处，小球做加速度增大的减速运动，故C正确； D．在与两个时刻，小球的速度大小相等，方向相反，故D错误。 故选C。 11．（多选）如图所示，为一个水平弹簧振子的振动图像，下列说法正确的是（    ） A．到内，弹簧振子的动能不断减小 B．该弹簧振子的振动方程为 C．时，弹簧振子的加速度沿x轴负方向 D．到弹簧振子的路程为50cm 【答案】BC 【详解】A．到内，弹簧振子从位移最大位置向平衡位置运动，则振子的动能不断增加，选项A错误； B．由图可知角频率 该弹簧振子的振动方程为 选项B正确； C．时，弹簧振子的位移正向最大，根据牛顿第二定律可知加速度沿x轴负方向，选项C正确； D．由于 则到弹簧振子的路程为 选项D错误。 故选BC。 12．（多选）某种弹簧振子做简谐振动，动能与弹性势能随时间变化的图像如图所示，下列说法正确的是（　　） A．此弹簧振子在光滑的水平面上振动 B．时刻弹簧振子处在平衡位置 C．弹簧振子的周期为 D．弹簧振子的周期为 【答案】AD 【详解】A．由图像分析可得，弹簧振子只有动能和弹性势能互相转化，且机械能守恒，只有弹簧的弹力做功，重力不做功，则弹簧振子在光滑的水平面上振动，故A正确； B．时刻弹簧振子的动能最小，弹簧振子处在位移最大处，故B错误； CD．弹簧振子的周期为或，故C错误，D正确。 故选AD。 13．（多选）如图甲所示，下端附着重物的粗细均匀木棒，竖直浮在河面，在重力和浮力作用下，沿竖直方向做简谐运动。以木棒所受浮力F为纵轴，振动时间t为横轴建立直角坐标系，浮力F随振动时间t的变化如图乙所示。关于木棒的说法正确的是（　　）    A．在0到0.50s内一直在下沉 B．0时刻沉入水中部分长度最长 C．0.25s时加速度为0，速度最大 D．在水中完成一次全振动的时间为0.50s 【答案】BC 【详解】A．由图乙可知，在0到0.50s内浮力一直减小，则木棒排开水的体积减小，即木棒一直在上升，故A错误； B．由图乙可知，0时刻浮力最大，则木棒排开水的体积最大，即木棒沉入水中部分长度最长，故B正确； C．由图乙可知，0.25s时木棒在平衡位置，加速度为0，速度最大，故C正确； D．由图乙可知，木棒在水中完成一次全振动的时间为1.00s，故D错误。 故选BC。 14．如图所示，在竖直的光滑套管中有一根劲度系数k=800N/m、长30cm的轻弹簧。现让质量m=4kg的物块P与弹簧上端轻轻接触并静止释放，则物块P将在套管中做简谐运动。取平衡位置为重力势能零点，弹簧处于原长时弹性势能为零，（g=10m/s2）。求： （1）物块P振动加速度的最大值am和振幅A； （2）弹簧的最大弹力Fm和振动系统的最大势能Epm。 【答案】（1），；（2）， 【详解】（1）根据物块P在套管中做简谐运动可知放手时，物块P处在最高点，离开平衡位置的位移最大，加速度也最大。由于物块P在最高处只受重力，所以物块振动的最大加速度大小 物块在平衡位置时，有 由胡克定律得振幅 （2）根据简谐运动的对称性可知物块P在最低点对平衡位置的位移大小与最高点时偏离平衡位置的位移大小相等。弹簧被压缩的最大长度为 则弹簧的最大弹力 物块P和弹簧组成的系统机械能守恒，根据简谐振动中能量的关系得物块P在最高处时速度为零，动能为零，动能最小此时总势能最大（弹性势能为零，重力势能最大）；最低点处动能也为零，总势能也最大（重力势能最小，弹性势能最大），有 15．如图所示，弹簧振子以点为平衡位置，在水平面上的两点间做简谐运动。某时刻振子从左向右经过点时的速度大小，从该时刻开始计时，经过振子第一次经过点时的速度大小，振子的质量，两点相距，已知劲度系数为的弹簧形变量为时的弹性势能。求： （1）与振子连接的弹簧的劲度系数； （2）振子经过点时受到的回复力的大小； （3）弹簧振子的振动周期。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）根据题意可知，振子的振幅 振子运动过程中，弹簧和振子组成的系统机械能守恒，则 解得 （2）设振子经过点时的位移大小为，根据机械能守恒定律有 振子经过点时受到的回复力的大小 解得 （3）取向右为正方向，振子的振动方程为 则 解得 【能力提升】 1．如图所示，两根完全相同的弹簧和一根张紧的细线将甲、乙两物块束缚在光滑水平面上，已知甲的质量大于乙的质量。当细线突然断开后，两物块都开始做简谐运动，在运动过程中（　　） A．甲的振幅大于乙的振幅 B．甲的振幅小于乙的振幅 C．甲的最大速度小于乙的最大速度 D．甲的最大速度等于乙的最大速度 【答案】C 【详解】AB．细线断开前，两根弹簧上的弹力大小相同，弹簧的伸长量相同，细线断开后，两物块都开始做简谐运动，简谐运动的平衡位置都在弹簧原长位置，所以它们的振幅相等，故AB错误； CD．两物块做简谐运动时，动能和势能相互转化，总机械能保持不变，细线断开前，弹簧的弹性势能就是物块做简谐运动时的机械能，所以振动过程中，它们的机械能相等，到达平衡位置时，它们的弹性势能为零，动能达到最大，因为甲的质量大于乙的质量，所以甲的最大速度小于乙的最大速度，故C正确，D错误。 故选C。 2．如图所示，一轻弹簧一端固定在天花板上，另一端连接一小球，小球在A、B之间做简谐运动，规定竖直向上的方向为正方向，已知A、B之间的距离为4cm，O为A、B连线的中点，时，小球正位于O、A连线的中点处且向上运动，时，小球第一次到达B点，下列说法正确的是（    ） A．小球运动的周期为4s B．小球从A向O运动时，弹性势能一定增加 C．小球运动的初相位为 D．小球运动时位移的方向与加速度的方向始终相同 【答案】A 【详解】AC．由题意可知，小球做简谐运动的振幅为2cm，设简谐运动的方程为 时，有 解得 所以 当时，有 解得 所以 小球运动的初相位为，小球运动的周期，故A正确，C错误； B．小球从A向O运动时，弹簧可能由压缩状态变为伸长状态，弹性势能可能先减少后增加，故B错误； D．小球运动时位移的方向由平衡位置O点指向小球所处的位置，加速度方向由小球所处的位置指向平衡位置O点，两者方向总是相反的，故D错误。 故选A。 3．如上图a所示，下端附有重物的粗细均匀木棒，在水池中沿竖直方向做简谐运动，已知水的密度为ρ，木棒的横截面积为S，重力加速度大小为g，木棒所受的浮力F随时间变化的图像如图b所示，下列说法正确的是（   ） A．水的浮力是木棒做简谐运动的回复力 B．0.25s~0.50s内木棒的加速度逐渐减小 C．木棒的重力为 D．木棒所受回复力大小与位移大小的比值为 【答案】C 【详解】A．木棒做简谐运动的回复力是水的浮力与木棒重力的合力，选项A错误；B．0.25s~0.50s内木棒的浮力减小，则木棒从平衡位置向最高点运动，根据 可知则其加速度逐渐增大，选项B错误； C．在平衡位置时木棒所受的浮力等于木棒的重力，则由图可知木棒的重力为 选项C正确； D．设向下为正，则在平衡位置时 在平衡位置以下x位置时 则木棒所受回复力大小与位移大小的比值为，选项D错误。 故选C。 4．如图所示，假想沿地轴方向凿通一条贯穿地球两极的隧道PQ，隧道极窄，地球仍可看做一个球心为O、半径为R、质量分布均匀的球体。已知一个质量分布均匀的薄球壳对位于球壳内任意位置质点的万有引力都等于0。现从隧道口P点由静止释放一小球，则（　　） A．小球将一直做匀加速运动 B．小球先做匀加速运动，后做匀减速运动 C．小球以O点为平衡位置做简谐运动 D．小球将运动到地心后减速到0，最终悬停在地心 【答案】C 【详解】AB．设小球距地心距离为x，地球的密度为ρ，小球的质量为m，根据题意，质量均匀的球壳对内部任意质点的万有引力为零，根据牛顿第二定律有 所以 由此可知，当小球下落时，在O点上方时，x越来越小，则a越来越小，加速度与速度同向，速度不断增大，到达O点时，有 ， 小球的速度达到最大，在O点下方时，x越来越大，则a越来越大，但加速度与速度方向相反，小球速度减小，则小球下落过程中，先做加速度减小的加速运动，再做加速度增大的减速运动，故AB错误； CD．小球下落过程中所受引力的大小为 引力的大小与小球到地心的距离成正比，且方向指向地心，故小球以O点为平衡位置做简谐运动，故C正确，D错误。 故选C。 5．如图甲所示，一个小球与轻弹簧连接套在光滑水平细杆上，在A、B间做简谐运动，O点为AB的中点。以O点为坐标原点、水平向右为正方向建立坐标系，得到小球的振动图像如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．小球振动的频率是2Hz B．t=0.5s时，小球在A位置，此时弹簧的弹性势能最大，速度为零 C．t=1s时，小球经过O 点向右运动，此时小球受到弹簧向左的力的作用 D．小球的振动方程是x=10sinπt（cm） 【答案】D 【详解】A．小球的振动周期为 频率 故A错误； B．因为水平向右为正方向，t=0.5s时，小球在B位置，故B错误； C．t=1s时，小球经过O点向负方向运动，即向左运动，故C错误； D．由图乙知，振幅 A=10cm 小球的振动方程是 x==10sinπt（cm） 故D正确。 故选D。 6．两个弹簧振子甲、乙沿水平方向放置，取向右为正方向，其振动图像如图所示，以下说法正确的是（　　） A．两弹簧振子具有相同的相位 B．甲的振幅比乙大，所以甲的能量比乙大 C．甲、乙两弹簧振子回复力最大值之比一定为 D．时甲具有负向最大速度，乙具有正向最大位移 【答案】D 【详解】A．由图像可知，甲的周期为4s，乙的周期为8s，两个弹簧振子的周期不同，只是初相位相同，所以相位不同，故A错误； B．由图像可知，甲的振幅为2cm，乙的振幅为1cm，但是两个弹簧振子的劲度系数不确定，所以两个弹簧振子的能量大小无法比较，故B错误； C．弹簧振子的最大回复力为 振幅之比为，但是无法确定两弹簧振子的劲度系数，所以两个弹簧振子回复力的最大值无法比较，故C错误； D．由图像可知，当 时，甲处于平衡位置且向x轴的负向运动，此时的速度最大；乙处于正方向的最大位移处，速度为0，故D正确。 故选D。 7．如图甲所示，弹簧振子以点O为平衡位置，在M、N两点之间做简谐运动。取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．到内，振子的加速度逐渐增大 B．和时，振子的速度相同 C．时，振子受到的回复力最大 D．振子的位移一时间函数为 【答案】A 【详解】A．0.8s到1.2s内，振子的位移增大，根据 可知振子的加速度逐渐增大。故A正确； B．图像中，和时，图线斜率的绝对值相同，正负不同，所以振子的速度大小相同，方向不同。故B错误； C．时，振子的位移为零，由 可知振子受到的回复力为零。故C错误； D．振子的位移一时间函数为 其中 ， 可得 故D错误。 故选A。 8．如图所示，质量均为m、电荷量均为q的绝缘小球A和B均可视为质点，小球A固定在水平面上，将小球B在小球A正上方高h处由静止释放后开始向上运动。取无穷远处电势为0，电荷量为q1、q2的两点电荷相距为r时的电势能表达式为，其中k为静电力常量，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．初始状态两小球之间的距离 B．小球B速率达到最大值时上升的高度为 C．小球B运动过程中离地面的最大高度为 D．小球B做简谐运动 【答案】C 【详解】A．由静止释放小球B时，小球B向上运动，有 解得 故A错误； B．加速度为零时，小球B的速率最大，有 解得 小球B上升的高度为 故B错误； C．设小球B离地面的最大高度为H，由能量守恒定律得 解得 故C正确； D．小球B运动过程中受到的合力为重力与库仑力之和，大小与离开平衡位置的距离不成正比，所以其运动不是简谐运动，故D错误。 故选C。 9．如图1所示，质量为的物块与劲度系数为的轻弹簧连接，置于光滑水平面上，物块在水平拉力与弹簧弹力（式中如图2所示）共同作用下，由弹簧原长位置向右运动至伸长量（未超过弹簧的弹性限度）处，则此运动过程中（　　） A．物块的速度先增大后减小 B．物块的加速度一直减小 C．物块以O点为平衡位置做简谐运动 D．拉力与弹力的合力对物块做正功 【答案】D 【详解】A．对弹簧弹力由图可知 水平拉力由图可知 则 由弹簧原长位置向右运动至伸长量（未超过弹簧的弹性限度）处，水平拉力始终大于弹簧弹力，加速度方向始终向右，物块的速度一直增大，故A错误； B．由物块所受的合力 可知合力一直增大，由牛顿第二定律可知物块的加速度一直增大，故B错误； C．物块离开O点时合力的方向与位移的方向相同，所以物块不是以O点为平衡位置做简谐运动，故C错误； D．物块由弹簧原长位置向右运动至伸长量（未超过弹簧的弹性限度）处，拉力与弹力的合力方向与物块的运动方向相同，所以拉力与弹力的合力对物块做正功，故D正确。 故选D。 10．智能手机集成了很多传感器，结合相应APP可应用于物理实验。如图甲所示，轻质弹簧上端固定，下端挂有钩码，钩码下表面吸附一个小磁铁。钩码在竖直方向做简谐运动时，某段时间内，小磁铁正下方的智能手机中的磁传感器采集到磁感应强度随时间变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，下列判断正确的是（　　） A．钩码做简谐运动的周期为t3-t1 B．在t1和t5时刻，钩码的重力势能最大 C．在t2和t4时刻，钩码的动能最大 D．在t2到t4时间内，钩码所受合外力的冲量为零 【答案】C 【详解】A．磁铁距离手机最近时，采集到的磁感应强度最大，磁铁距离手机最远时，采集到的磁感应强度最小，根据图乙可知，钩码做简谐运动的周期为 故A错误； B．在t1和t5时刻，采集到的磁感应强度最大，表明磁铁距离手机最近时，可知，在t1和t5时刻，钩码的重力势能最小，故B错误； C．根据图乙可知，磁感应强度最大与最小位置关于t2和t4时刻位置对称，结合简谐运动的对称性，可知，在t2和t4时刻，钩码处于平衡位置，则在t2和t4时刻，钩码的动能最大，故C正确； D．结合上述可知，在t2到t4时间内，钩码先由平衡位置向下运动至最低点，后由最低点向上运动至平衡位置，始末速度相反，即始末动量方向相反，根据动量定理可知，钩码所受合外力的冲量不为零，故D错误。 故选C。 11．（多选）如图所示，质量均为m的四个小球A、B、C、D，通过轻绳或轻弹簧互相连接，悬挂于O点，处于静止状态，重力加速度为g，两根弹簧的劲度系数均为k，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若将 B、C间的细线剪断，此后A、B间弹簧始终处于拉伸状态 B．若将 B、C间的细线剪断，此后 B的加速度最大值为2g C．若将B、C间的细线剪断，落地前C、D与轻弹簧组成的系统机械能守恒 D．若将C、D间的弹簧剪断，此后C的最大动能为 【答案】BCD 【详解】AB．以B、C、D三个小球为整体，可知初始时A、B间弹簧弹力为 若将 B、C间的细线剪断，剪断瞬间弹簧弹力保持不变，B的加速度最大，以B为对象，根据牛顿第二定律可得 B球将做简谐运动，根据对称性可知，B球在最高点的加速度为，方向竖直向下，则B球在最高点弹簧弹力大小为，方向竖直向下，弹簧处于压缩状态，此时A上方的绳子拉力刚好为0，所以A一直处于静止状态，B做简谐运动，A、B间弹簧不是始终处于拉伸状态，也有处于压缩状态，故A错误，B正确； C．若将B、C间的细线剪断，落地前C、D与轻弹簧组成的系统只有重力和弹簧弹力做功，所以系统满足机械能守恒，故C正确； D．若将C、D间的弹簧剪断，剪断瞬间，以BC为整体，根据牛顿第二定律可得 设B、C保持相对静止一起做简谐运动，根据对称性可知，处于最高点时的加速度大小为，方向竖直向下；以C对象进行受力分析，可知此时绳子对C的拉力为，则B、C一直保持相对静止做简谐运动，当弹簧弹力等于B、C的总重力时，B、C的动能最大；最低点时，弹簧的伸长量为 当处于平衡位置时，弹簧的伸长量为 根据系统机械能守恒可得 联立解得C的最大动能为 故D正确。 故选BCD。 12．（多选）如图所示，水平光滑桌面上，轻弹簧的左端固定，右端连接物体P，P和Q通过轻绳绕过定滑轮连接。开始时，系统处于静止状态，滑块P处于位置O。将滑块P向左推至弹簧原长的位置A点后由静止释放，P物体将在A点和右侧的某位置（图中未画出）之间来回运动，滑块未与定滑轮相碰，弹簧未超出弹性限度，已知P和Q的质量均为m，弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，不计一切摩擦，则（　　）    A．刚释放瞬间，P的加速度为g B．绳上最大拉力为 C．从A点到O点，物体P与弹簧所组成的系统机械能的增加量等于物体Q所受重力对Q所做的功 D．弹簧的最大弹性势能为 【答案】BD 【详解】A．开始时将滑块P向左推至弹簧原长的位置A点后由静止释放，则在释放瞬间，由牛顿第二定律，对P、Q整体分析可得 解得 故A错误； B．做简谐运动的物体，加速度在振幅最大处最大，即加速度的最大值为，而绳的拉力在P运动至最右端时最大，将Q隔离分析，由牛顶第二定律有 解得 故B正确； C．从A点到O点，物体P与弹簧所组成的系统机械能的增加量等于物体Q所受重力对Q所做的功与Q的动能之差，故C错误； D．根据题意可知，P、Q以及弹簧组成的连接体静态平衡时，物块P位于位置O，则可知物块P做简谐运动时的平衡位置位于O点，根据平衡条件可得 解得平衡时弹簧的伸长量为 而释放时弹簧处于原长，则可知AO间的距离为x，即可得P做简谐运动的振幅为，当物块P运动至最右端时弹簧的弹性势能最大，此时弹簧的伸长量为，根据弹簧弹性势能的表达式 代入可得 故D正确。 故选BD。 13．（多选）如图甲所示，足够长的水平传送带以某一恒定速率顺时针转动，一根轻弹簧两端分别与物块和竖直墙面连接，将物块在传送带左端无初速度释放，此时弹簧恰处于原长且为水平。物块向右运动的过程中，受到的摩擦力大小与物块位移的关系如图乙所示，已知物块质量为m，物块与传送带间的动摩擦因数为，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为已知量，则下列说法正确的是（    ） A．过程，物块所受摩擦力方向向右 B．弹簧的劲度系数为 C．传送带的速度为 D．物块能运动到处 【答案】ABD 【详解】A．在0-x0过程，物块相对于传送带向左运动，物块所受的摩擦力方向向右，故A正确； B．由题意可知，当x=2x0时，物块静止且所受静摩擦力达到最大值，则有 μmg=k•2x0 解得弹簧的劲度系数为 故B正确； C．设传送带的速度为v0，由动能定理得 可得 故C错误； D．在2x0处弹簧为拉力，由于 μmg=kx0 此后物块受到的滑动摩擦力始终向右，滑块向右做简谐运动 可得 即物块向右运动的最大距离为 所物块能够到达3x0处，故D正确。 故选ABD。 14．如图所示，一质量不计的轻质弹簧的上端与盒子A连接在一起，盒子A放在倾角为的光滑固定斜面上，下端固定在斜面上。盒子内装一个光滑小球，盒子内腔为正方体，一直径略小于此正方体边长的金属圆球B恰好能放在盒内，已知弹簧劲度系数为k=100N/m，盒子A和金属圆球B质量均为m=0.5kg。将A沿斜面向上提起，使弹簧从原长伸长5cm，从静止释放盒子A，A和B一起在斜面上做简谐振动，g取10m/s2，求： （1）盒子A的振幅； （2）盒子运动到最低点时，盒子A对金属圆球B沿斜面方向的作用力大小。 【答案】（1）10cm；（2）7.5N 【详解】（1）振子在平衡位置时，所受合力为零，设此时弹簧被压缩Δx，有 解得     开始释放时振子处在最大位移处，故振幅为 A=5cm+5cm=10cm （2）在最低点，沿斜面方向上振子受到的重力的分力和弹力方向相反，根据牛顿第二定律有 对B受力分析，可知A对B的作用力方向向上，其大小为 ==7.5N 15．将一个力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力，如图所示，图中O点为单摆的悬点，现将一质量小球（可视为质点）拉到点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，则摆球在竖直平面内的之间来回摆动，其中点为运动中最低位置，小于且是未知量。计算机得到细线对摆球的拉力最大值是，两个相邻的最大值之间时间间隔，且图中时刻为摆球从点开始运动的时刻，根据力学规律和题中信息（重力加速度取）求： （1）求单摆的摆长； （2）求细线对摆球的最小拉力。      【答案】（1）0.4m；（2）0.495N 【详解】（1）小球运动到最低点时，绳子的拉力最大，在一个周期内两次经过最低点，根据该规律知 根据 可得 （2）小球通过A点时细线对摆球的拉力最小，根据圆周运动的规律可知 小球通过B点时细线对摆球的拉力最大，根据圆周运动的规律可知 小球从A运动到B的过程中，根据动能定理可得 联立解得 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 简谐运动的回复力和能量【两大必考点+三大秒杀招+五大题型+分层训练】 课前预习+知识精讲 知识点01简谐运动的回复力 1．简谐运动的动力学定义：如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。 2．回复力：由于力的方向总是指向平衡位置，它的作用总是要把物体拉回到平衡位置，所以通常把这个力称为回复力。 3．弹簧振子的回复力与位移的关系：F＝－kx，式中k是弹簧的劲度系数。 4．回复力的性质：回复力是根据力的效果命名的，它可以是一个力，也可以是多个力的合力，还可以由某个力的分力提供．如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，m随M一起振动，m的回复力是静摩擦力． 5．简谐运动的回复力的特点 (1)由F＝－kx知，简谐运动的回复力大小与振子的位移大小成正比，回复力的方向与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置． (2)公式F＝－kx中的k指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数k由振动系统自身决定． (3)根据牛顿第二定律得，a＝＝－x，表明弹簧振子做简谐运动时振子的加速度大小也与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反． 知识点02简谐运动的能量 1．能量转化：弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。 (1)在最大位移处，势能最大，动能为零。(2)在平衡位置处，动能最大，势能最小。 2．能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。 3．简谐运动的特点： 如图所示的弹簧振子． 振子的运动 位移 加速度 速度 动能 势能 O→B 增大，方向向右 增大，方向向左 减小，方向向右 减小 增大 B 最大 最大 0 0 最大 B→O 减小，方向向右 减小，方向向左 增大，方向向左 增大 减小 O 0 0 最大 最大 0 O→C 增大，方向向左 增大，方向向右 减小，方向向左 减小 增大 C 最大 最大 0 0 最大 C→O 减小，方向向左 减小，方向向右 增大，方向向右 增大 减小 说明:简谐运动的位移、回复力、加速度、速度都随时间做周期性变化（正弦或余弦函数），变化周期为T，振子的动能、势能也做周期性变化，周期为T/2。 (1)凡离开平衡位置的过程，v、Ek均减小，x、F、a、EP均增大；凡向平衡位置移动时，v、Ek均增大, x、F、a、EP均减小. (2)在平衡位置时，x、F、a为零，EP最小，v、Ek最大；在最大位移时，x、F、a、EP最大，v、Ek最为零； (3)在平衡位置两侧的对称点上,x、F、a、v、Ek、EP的大小均相同． (4)在简谐运动中，位移、回复力、加速度和势能四个物理量同时增大或减小，与速度和动能的变化步调相反． (5)平衡位置是位移、加速度和回复力方向变化的转折点． (6)最大位移处是速度方向变化的转折点． (7)简谐运动的位移与前面学过的位移不同，简谐运动的位移是从平衡位置指向某一位置的有向线段，位移起点是平衡位置，是矢量． 4．因x＝Asin(ωt＋φ)，故回复力F＝－kx＝－kAsin(ωt＋φ)，可见回复力随时间按正弦规律变化。 5．表达式中k虽然是系数，但有单位，其单位是由F和x的单位决定的，即为N/m。 6．简谐运动中，x变化，回复力F随之改变，可见a＝也是随x在改变，所以简谐运动是一个变加速运动。其位移跟加速度的关系为a＝－x，加速度大小跟位移大小成正比，方向相反。 解题大招 大招01 理解回复力的两点注意 (1)分析物体做简谐运动的回复力，首先要明确回复力是效果力，是由物体受到的力来充当的，不要认为回复力是物体受到的一种新力． (2)对于相关联的多个物体，整体法和隔离法在分析简谐运动时，仍然适用． 大招02对简谐运动能量的三点认识 (1)决定因素：对于一个确定的振动系统，简谐运动的能量由振幅决定，振幅越大，系统的能量越大． (2)能量获得：系统开始振动的能量是通过外力做功由其他形式的能转化来的． (3)能量转化：当振动系统自由振动后，如果不考虑阻力作用，系统只发生动能和势能的相互转化，机械能守恒． 大招03简谐运动的振动图像总结 (1)最大位移处、平衡位置处物理量的大小：简谐运动中的最大位移处，F、a、Ep最大，Ek＝0；在平衡位置，F＝0，a＝0，x＝0，Ep＝0，而Ek最大。 (2)竖直弹簧振子的能量组成：对竖直弹簧振子来说，振动能量包含动能、弹性势能、重力势能。 题型分类 题型01简谐运动的回复力 【例1】如图所示，对做简谐运动的弹簧振子的受力情况分析正确的是（    ） A．重力、支持力、弹簧的弹力 B．重力、支持力、弹簧的弹力、回复力 C．重力、支持力、回复力、摩擦力 D．重力、支持力、摩擦力、弹簧的弹力 【答案】A 【解析】A.振子只受重力、支持力及弹簧给它的弹力.故选项A符合题意。 B.回复力为效果力，受力分析时不分析此力. 故选项B不符合题意。 CD.弹簧振子的简谐运动中忽略了摩擦力.故选项CD不符合题意。 【变式1-1】如图所示，斜面体固定在水平地面上，滑块和弹簧组成弹簧振子，滑块在光滑斜面上的A、B两点之间做往复运动，O为平衡位置，下列说法正确的是（　　） A．滑块运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用 B．滑块运动到O点时，弹簧的弹力为0 C．滑块由A向O运动过程中，弹簧弹性势能一直在减小 D．滑块由O向B运动过程中，滑块的机械能一直在增大 【变式1-2】如图所示，弹簧振子B上放一个物块A，在A与B一起做简谐运动的过程中，下列关于A受力的说法中正确的是（　　） A．物块A受重力、支持力及B对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力 B．物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力 C．物块A受重力、支持力及B对它的回复力 D．物块A受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力 题型02简谐运动的能量 【例2】如图所示，竖直轻弹簧上端与一个质量为m的小球相连，下端固定在地面上，用力向下压小球并从静止释放，小球在竖直方向上做振幅为A的简谐运动，振动到最高点时弹簧恰好恢复原长，重力加速度为g，弹簧在弹性限度内，则小球在振动过程中弹簧的最大弹性势能为 ，小球在最低点时所受弹簧的弹力大小为 。 【答案】 【解析】[1][2]因小球振动到最高点时，弹簧正好处于原长状态，此时弹簧弹力等于零，小球的重力 当小球在最低点时，小球下降高度为 此时弹簧的弹性势能最大且其等于该过程小球重力势能的减少量，即 由简谐运动的对称性可知，在最低点，由 ， 解得 【变式2-1】如图所示，在斜面上有一个弹簧振子，从A点由静止释放，O点为振动的平衡位置，振动物体在A、B两点之间做简谐运动，不计一切摩擦，下列说法正确的是（    ） A．振动物体在O点时，弹簧处于原长，弹簧振子的弹性势能为0 B．在振动物体运动的过程中，由弹簧弹力充当回复力 C．振动物体在B点时弹簧的弹性势能一定比振动物体在A点时的大 D．振动物体从A向B运动的过程中，其速度和加速度方向始终相同 【变式2-2】（多选）如图所示，质量均为m的四个小球A、B、C、D，通过轻绳或轻弹簧互相连接，悬挂于O点，处于静止状态，重力加速度为g，两根弹簧的劲度系数均为k，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若将 B、C间的细线剪断，此后A、B间弹簧始终处于拉伸状态 B．若将 B、C间的细线剪断，此后 B的加速度最大值为2g C．若将B、C间的细线剪断，落地前C、D与轻弹簧组成的系统机械能守恒 D．若将C、D间的弹簧剪断，此后C的最大动能为 题型03判断物体是否做简谐运动 【例3】（1）两根质量均可不计的弹簧，劲度系数分别为、，它们与一个质量为的小球组成的弹簧振子如图1所示。试证明弹簧振子做的运动是简谐运动。 （2）如图2所示，弹簧劲度系数为，试证明竖直方向的弹簧振子的振动是简谐运动。 【变式3-1】如图甲所示，一个劲度系数为k的轻弹簧一端固定在桌面上，使其直立，另一端上下叠放着物块A、B，两物块质量分别为3m和m。当弹簧和两物块组成的系统静止时，从上方拿走物块B，物块A开始做竖直方向上的运动，如图乙所示。已知重力加速度大小为。 （1）证明：当拿走物体B后，物块A在竖直方向上做简谐运动； （2）求A做简谐运动的最大加速度和振幅； （3）求A上升到最高点时，桌面受到弹簧给的弹力大小和方向。 【变式3-2】1610年，伽利略用自制的望远镜发现了木星的四颗主要卫星。根据他的观察，其中一颗卫星P做振幅为A、周期为T的简谐运动，他推测该卫星振动是卫星做圆周运动在某方向上的投影。如图所示是卫星P运动的示意图，在xOy平面内，质量为m的卫星P绕坐标原点O做匀速圆周运动。若认为木星位于坐标原点O，求： （1）卫星P做圆周运动的向心力大小； （2）物体做简谐运动时，回复力应满足。试证明：卫星P绕木星做匀速圆周运动在x轴上的投影是简谐运动。 题型04简谐运动与力学结合问题 【例4】（多选）如图所示为一款玩具“弹簧公仔”，该玩具由头部、轻弹簧及底座组成，已知公仔头部质量为，弹簧劲度系数为，底座质量为。压缩公仔头部，然后由静止释放公仔头部，此后公仔头部在竖直方向上做简谐运动。重力加速度为，当公仔头部运动至最高点时，底座对桌面的压力刚好为零，弹簧始终在弹性限度内。下列说法中正确的是（　　） A．公仔头部做简谐运动的振幅为 B．公仔头部运动至最高点时，头部的加速度为 C．公仔头部有最大速度时，弹簧处于原长 D．公仔头部运动至最低点时，桌面对底座支持力的大小为 【答案】AD 【解析】A．公仔头部在最高点时，底座对桌面的压力刚好为零，故此时弹簧处于伸长状态弹力大小为 对公仔头部 又 解得 选项A正确； B．公仔头部运动至最高点时，头部的加速度 选项B错误； C．公仔头部有最大速度时，弹簧的弹力和公仔头部的重力等大反向，弹簧处于压缩状态，选项C错误； D．根据简谐运动的对称性，当公仔头部运动到最低点时 得 此时对底座受力分析 公仔头部运动至最低点时，桌面对底座支持力的大小为，选项D正确。 故选AD。 【变式4-1】如图所示，在倾角为θ的固定光滑斜面上，有两个用轻质弹簧相连的物块A和B，它们的质量均为m，弹簧的劲度系数为k，C为一固定的挡板，现将一个质量也为m的物体D从距A为L的位置由静止释放，D和A相碰后立即粘在一起，之后在斜面上做简谐运动。在简谐运动过程中，物体B对C的最小弹力为，则以下说法正确的是（　　） A．简谐运动的振幅为 B．简谐运动的振幅为 C．B对C的最大弹力 D．B对C的最大弹力 【变式4-2】（多选）如图所示，水平光滑桌面上，轻弹簧的左端固定，右端连接物体P，P和Q通过细绳绕过定滑轮连接。开始时，系统处于静止状态，滑块P处于位置O。将滑块P向左推至弹簧原长的位置A点后由静止释放，P物体将在A点和右侧的某位置（图中未画出）之间来回运动，滑块未与定滑轮相碰，弹簧未超出弹性限度，已知P和Q的质量均为m，弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，不计一切摩擦，则（　　） A．刚释放瞬间，P的加速度为g B．P做简谐运动的振幅为 C．绳上最大拉力为2mg D．弹簧的最大弹性势能为 题型05简谐运动中功和能量问题 【例5】如图，劲度系数为2N/cm，竖直放置的弹簧上连接有质量为2kg的A物块，静止时A在y=0cm处，此刻将一质量为1kg的物块B无初速度的放置于A上，使A与B开始运动，忽略空气阻力，弹簧足够长且始终未超出弹性限度。已知弹簧弹性势能表达式为，x为弹簧形变量。下列说法正确的是（　　） A．A向下运动到y=5cm后保持静止 B．存在某一时刻A与B会分离 C．A最大能运动到y=20cm处 D．当A运动到y=5cm处时，A的动能达到最大值 【答案】D 【解析】A．静止时A在y=0cm处，令此时弹簧压缩量为，则有 解得 放上B后，令对平衡位置的位移大小为，A、B在平衡位置的压缩量为，则有 ， 解得 回复力大小与相对平衡位置的位移大小成正比，方向相反，可知，放上B后，B与A一起开始向下做简谐运动，根据对称性可知，A、B先向下做加速度减小的加速运动，后向下做加速度增大的减速运动，减速至0后，又向上做做加速度减小的加速运动，后向上做加速度增大的减速运动，减速至0后回到出发点，之后，重复先前的运动过程，根据上述可以解得 根据简谐运动的对称性可知，振幅为 可知，A、B向下运动到两倍的振幅位置，即y=10cm到达最低点，但不能够保持静止，故A错误； B．结合上述可知，B与A一起保持相对静止做简谐运动，两者不会发生分离，故B错误； C．结合上述可知，A最大能运动到y=10cm处，故C错误； D．结合上述可知，当A运动到y=5cm处时，恰好处于平衡位置，此时速度最大，A的动能达到最大值，故D正确。 故选D。 【变式5-1】如图所示，在竖直的光滑套管中有一根劲度系数k=800N/m、长30cm的轻弹簧。现让质量m=4kg的物块P与弹簧上端轻轻接触并静止释放，则物块P将在套管中做简谐运动。取平衡位置为重力势能零点，弹簧处于原长时弹性势能为零，（g=10m/s2）。求： （1）物块P振动加速度的最大值am和振幅A； （2）弹簧的最大弹力Fm和振动系统的最大势能Epm。 【变式5-2】如图所示，倾角α为30°的足够长的光滑斜面固定在水平面上，斜面底端有一挡板，质量为m的木块甲紧靠挡板放置，轻质弹簧一端与木块甲相连，另一端与质量为m的木块乙相连，弹簧劲度系数为k。开始时两木块均静止，用沿斜面向下的力缓慢推木块乙，到某一位置后撤去该力，将该时刻记为t=0。此后木块乙在斜面上做简谐运动，t0时刻第一次运动到最高点，此时木块甲恰要离开挡板。已知重力加速度为g，弹簧的弹性势能的表达式为 。求∶ （1） 木块乙做简谐运动的振幅A； （2） 弹簧弹性势能最大值； （3）木块乙与最高点距离为 的时刻t。 分层训练 【基础过关】 1．做简谐运动的物体经过点时，加速度大小为，方向指向点；当它经过点时，加速度大小为，方向指向点。若A、B之间的距离是5cm，则关于它的平衡位置，说法正确的是（    ） A．平衡位置在AB连线左侧 B．平衡位置在AB连线右侧 C．平衡位置在AB连线之间，且距离点为4cm处 D．平衡位置在AB连线之间，且距离点为2cm处 2．如图所示，将一轻弹簧与小圆桶连接在一起，弹簧左端固定在墙上，保持弹簧水平且整个装置放在光滑的水平面上，小圆桶刚好静止在O点。用手缓慢拉动小圆桶到达B点，松开手后小圆桶一直在AB之间振动，若小圆桶运动到A处时将一小物体放到小圆桶内，小物体和小圆桶无相对运动而一起运动，下列说法正确的是（　　） A．振幅变小 B．周期不变 C．最大速度不变 D．最大速度减小 3．如图所示为弹簧振子在到内的振动图像，下列判断正确的是（　　） A．在时振子的振动方向向上 B．在到时间内振子的速度减小，回复力增大 C．在到时间内振子的加速度和速度都增大 D．在到时间内振子的位移为零 4．两个带等量正电的点电荷，固定在图中P、Q两点，MN为PQ连线的中垂线，交PQ于O点，A、为MN上的两点，关于O点对称，一带负电的试探电荷q，从A点由静止释放，仅在静电力作用下运动，取无限远处的电势为零，则（    ） A．q由A向O的运动过程中加速度先增大后减小 B．q由A向O运动的过程电势能逐渐增大 C．q运动到O点时的动能最大 D．q在A与之间做简谐运动 5．如图甲所示，装有一定量液体的试管竖直漂浮在宽广的水域中。若将试管压入水中适当深度，并忽略运动时受到的阻力，可认为试管能在竖直方向做简谐运动。某次将试管缓慢下压3cm后释放，以竖直向上为正方向，从某随机时刻开始计时，可得到图乙所示的振动图像，已经测得振动周期为0.5s，则下列说法正确的是（　　） A．试管的振幅为6cm B．回复力由试管受到的浮力提供 C．试管振动的圆频率 D．在时间内，位移、速度、加速度均在减小 6．如图所示，光滑水平面上的弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点间做简谐运动，取向左为正方向，则振子从O点运动到B点的过程中（　　） A．位移不断增大 B．加速度不断减小 C．位移方向与加速度方向始终相同 D．速度增大，弹性势能增大 7．如图所示，在斜面上有一个弹簧振子，从A点由静止释放，O点为振动的平衡位置，振动物体在A、B两点之间做简谐运动，不计一切摩擦，下列说法正确的是（    ） A．振动物体在O点时，弹簧处于原长，弹簧振子的弹性势能为0 B．在振动物体运动的过程中，由弹簧弹力充当回复力 C．振动物体在B点时弹簧的弹性势能一定比振动物体在A点时的大 D．振动物体从A向B运动的过程中，其速度和加速度方向始终相同 8．如图所示，平台沿竖直方向做简谐运动，一物体置于振动平台上始终随平台振动，两者保持相对静止。下列说法正确的是（    ）    A．物体的速度最大时，物体对平台的压力最大 B．物体的加速度为零时，物体对平台的压力最小 C．振动平台位于最低点时，物体对平台的压力最大 D．振动平台位于最高点时，物体对平台的压力最大 9．两个弹簧振子甲、乙沿水平方向放置，其振动图像如图所示，则（　　） A．甲、乙两弹簧振子的频率之比为 B．时甲具有负向最大加速度 C．时乙具有正向最大位移 D．时甲、乙两弹簧振子的速度方向相同 10．如图1所示，小球以O点为平衡位置，在A、B间做简谐运动，规定水平向右为正方向，其位移x与时间t的关系图线如图2所示，下列说法正确的是（    ） A．时，小球的位移为 B．时，小球的回复力为最大值，且方向水平向右 C．从到时间内，小球做加速度增大的减速运动 D．在与两个时刻，小球的速度相同 11．（多选）如图所示，为一个水平弹簧振子的振动图像，下列说法正确的是（    ） A．到内，弹簧振子的动能不断减小 B．该弹簧振子的振动方程为 C．时，弹簧振子的加速度沿x轴负方向 D．到弹簧振子的路程为50cm 12．（多选）某种弹簧振子做简谐振动，动能与弹性势能随时间变化的图像如图所示，下列说法正确的是（　　） A．此弹簧振子在光滑的水平面上振动 B．时刻弹簧振子处在平衡位置 C．弹簧振子的周期为 D．弹簧振子的周期为 13．（多选）如图甲所示，下端附着重物的粗细均匀木棒，竖直浮在河面，在重力和浮力作用下，沿竖直方向做简谐运动。以木棒所受浮力F为纵轴，振动时间t为横轴建立直角坐标系，浮力F随振动时间t的变化如图乙所示。关于木棒的说法正确的是（　　）    A．在0到0.50s内一直在下沉 B．0时刻沉入水中部分长度最长 C．0.25s时加速度为0，速度最大 D．在水中完成一次全振动的时间为0.50s 14．如图所示，在竖直的光滑套管中有一根劲度系数k=800N/m、长30cm的轻弹簧。现让质量m=4kg的物块P与弹簧上端轻轻接触并静止释放，则物块P将在套管中做简谐运动。取平衡位置为重力势能零点，弹簧处于原长时弹性势能为零，（g=10m/s2）。求： （1）物块P振动加速度的最大值am和振幅A； （2）弹簧的最大弹力Fm和振动系统的最大势能Epm。 15．如图所示，弹簧振子以点为平衡位置，在水平面上的两点间做简谐运动。某时刻振子从左向右经过点时的速度大小，从该时刻开始计时，经过振子第一次经过点时的速度大小，振子的质量，两点相距，已知劲度系数为的弹簧形变量为时的弹性势能。求： （1）与振子连接的弹簧的劲度系数； （2）振子经过点时受到的回复力的大小； （3）弹簧振子的振动周期。 【能力提升】 1．如图所示，两根完全相同的弹簧和一根张紧的细线将甲、乙两物块束缚在光滑水平面上，已知甲的质量大于乙的质量。当细线突然断开后，两物块都开始做简谐运动，在运动过程中（　　） A．甲的振幅大于乙的振幅 B．甲的振幅小于乙的振幅 C．甲的最大速度小于乙的最大速度 D．甲的最大速度等于乙的最大速度 2．如图所示，一轻弹簧一端固定在天花板上，另一端连接一小球，小球在A、B之间做简谐运动，规定竖直向上的方向为正方向，已知A、B之间的距离为4cm，O为A、B连线的中点，时，小球正位于O、A连线的中点处且向上运动，时，小球第一次到达B点，下列说法正确的是（    ） A．小球运动的周期为4s B．小球从A向O运动时，弹性势能一定增加 C．小球运动的初相位为 D．小球运动时位移的方向与加速度的方向始终相同 3．如上图a所示，下端附有重物的粗细均匀木棒，在水池中沿竖直方向做简谐运动，已知水的密度为ρ，木棒的横截面积为S，重力加速度大小为g，木棒所受的浮力F随时间变化的图像如图b所示，下列说法正确的是（   ） A．水的浮力是木棒做简谐运动的回复力 B．0.25s~0.50s内木棒的加速度逐渐减小 C．木棒的重力为 D．木棒所受回复力大小与位移大小的比值为 4．如图所示，假想沿地轴方向凿通一条贯穿地球两极的隧道PQ，隧道极窄，地球仍可看做一个球心为O、半径为R、质量分布均匀的球体。已知一个质量分布均匀的薄球壳对位于球壳内任意位置质点的万有引力都等于0。现从隧道口P点由静止释放一小球，则（　　） A．小球将一直做匀加速运动 B．小球先做匀加速运动，后做匀减速运动 C．小球以O点为平衡位置做简谐运动 D．小球将运动到地心后减速到0，最终悬停在地心 5．如图甲所示，一个小球与轻弹簧连接套在光滑水平细杆上，在A、B间做简谐运动，O点为AB的中点。以O点为坐标原点、水平向右为正方向建立坐标系，得到小球的振动图像如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．小球振动的频率是2Hz B．t=0.5s时，小球在A位置，此时弹簧的弹性势能最大，速度为零 C．t=1s时，小球经过O 点向右运动，此时小球受到弹簧向左的力的作用 D．小球的振动方程是x=10sinπt（cm） 6．两个弹簧振子甲、乙沿水平方向放置，取向右为正方向，其振动图像如图所示，以下说法正确的是（　　） A．两弹簧振子具有相同的相位 B．甲的振幅比乙大，所以甲的能量比乙大 C．甲、乙两弹簧振子回复力最大值之比一定为 D．时甲具有负向最大速度，乙具有正向最大位移 7．如图甲所示，弹簧振子以点O为平衡位置，在M、N两点之间做简谐运动。取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．到内，振子的加速度逐渐增大 B．和时，振子的速度相同 C．时，振子受到的回复力最大 D．振子的位移一时间函数为 8．如图所示，质量均为m、电荷量均为q的绝缘小球A和B均可视为质点，小球A固定在水平面上，将小球B在小球A正上方高h处由静止释放后开始向上运动。取无穷远处电势为0，电荷量为q1、q2的两点电荷相距为r时的电势能表达式为，其中k为静电力常量，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．初始状态两小球之间的距离 B．小球B速率达到最大值时上升的高度为 C．小球B运动过程中离地面的最大高度为 D．小球B做简谐运动 9．如图1所示，质量为的物块与劲度系数为的轻弹簧连接，置于光滑水平面上，物块在水平拉力与弹簧弹力（式中如图2所示）共同作用下，由弹簧原长位置向右运动至伸长量（未超过弹簧的弹性限度）处，则此运动过程中（　　） A．物块的速度先增大后减小 B．物块的加速度一直减小 C．物块以O点为平衡位置做简谐运动 D．拉力与弹力的合力对物块做正功 10．智能手机集成了很多传感器，结合相应APP可应用于物理实验。如图甲所示，轻质弹簧上端固定，下端挂有钩码，钩码下表面吸附一个小磁铁。钩码在竖直方向做简谐运动时，某段时间内，小磁铁正下方的智能手机中的磁传感器采集到磁感应强度随时间变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，下列判断正确的是（　　） A．钩码做简谐运动的周期为t3-t1 B．在t1和t5时刻，钩码的重力势能最大 C．在t2和t4时刻，钩码的动能最大 D．在t2到t4时间内，钩码所受合外力的冲量为零 11．（多选）如图所示，质量均为m的四个小球A、B、C、D，通过轻绳或轻弹簧互相连接，悬挂于O点，处于静止状态，重力加速度为g，两根弹簧的劲度系数均为k，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若将 B、C间的细线剪断，此后A、B间弹簧始终处于拉伸状态 B．若将 B、C间的细线剪断，此后 B的加速度最大值为2g C．若将B、C间的细线剪断，落地前C、D与轻弹簧组成的系统机械能守恒 D．若将C、D间的弹簧剪断，此后C的最大动能为 12．（多选）如图所示，水平光滑桌面上，轻弹簧的左端固定，右端连接物体P，P和Q通过轻绳绕过定滑轮连接。开始时，系统处于静止状态，滑块P处于位置O。将滑块P向左推至弹簧原长的位置A点后由静止释放，P物体将在A点和右侧的某位置（图中未画出）之间来回运动，滑块未与定滑轮相碰，弹簧未超出弹性限度，已知P和Q的质量均为m，弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，不计一切摩擦，则（　　）    A．刚释放瞬间，P的加速度为g B．绳上最大拉力为 C．从A点到O点，物体P与弹簧所组成的系统机械能的增加量等于物体Q所受重力对Q所做的功 D．弹簧的最大弹性势能为 13．（多选）如图甲所示，足够长的水平传送带以某一恒定速率顺时针转动，一根轻弹簧两端分别与物块和竖直墙面连接，将物块在传送带左端无初速度释放，此时弹簧恰处于原长且为水平。物块向右运动的过程中，受到的摩擦力大小与物块位移的关系如图乙所示，已知物块质量为m，物块与传送带间的动摩擦因数为，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为已知量，则下列说法正确的是（    ） A．过程，物块所受摩擦力方向向右 B．弹簧的劲度系数为 C．传送带的速度为 D．物块能运动到处 14．如图所示，一质量不计的轻质弹簧的上端与盒子A连接在一起，盒子A放在倾角为的光滑固定斜面上，下端固定在斜面上。盒子内装一个光滑小球，盒子内腔为正方体，一直径略小于此正方体边长的金属圆球B恰好能放在盒内，已知弹簧劲度系数为k=100N/m，盒子A和金属圆球B质量均为m=0.5kg。将A沿斜面向上提起，使弹簧从原长伸长5cm，从静止释放盒子A，A和B一起在斜面上做简谐振动，g取10m/s2，求： （1）盒子A的振幅； （2）盒子运动到最低点时，盒子A对金属圆球B沿斜面方向的作用力大小。 15．将一个力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力，如图所示，图中O点为单摆的悬点，现将一质量小球（可视为质点）拉到点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，则摆球在竖直平面内的之间来回摆动，其中点为运动中最低位置，小于且是未知量。计算机得到细线对摆球的拉力最大值是，两个相邻的最大值之间时间间隔，且图中时刻为摆球从点开始运动的时刻，根据力学规律和题中信息（重力加速度取）求： （1）求单摆的摆长； （2）求细线对摆球的最小拉力。      1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$