第八单元《数学广角—数与形》-2024-2025学年人教版数学六年级上册单元培优冲关检测卷（学生版+教师版）

2024-2025学年人教版数学六年级上册单元培优冲关卷【名校真题汇编】 第八单元《数学广角——数与形》 时间：90分钟 满分：100分 难度系数：0.47（较难） 班级： 姓名： 学号： 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分 评卷人 得 分 一、慎重选择(共5题；每题2分，共10分) 1．（2分）（2024秋•樊城区期中）夏天到了，妈妈带贝贝姐弟去沙滩玩耍，他们用树枝在沙滩上画出了这样的图案。照这样摆下去，第n幅图中应该有（　　）个。 A．2n B．2n+6 C．n+4 D．2n+4 2．（2分）（2024•安化县）把边长为1厘米的正方形纸片，按如图的规律拼成长方形。用2个正方形拼成的大长方形的周长是6厘米，用2024个正方形拼成的大长方形的周长是（　　）厘米。 A．2024 B．4046 C．4050 D．8096 3．（2分）（2024秋•晋江市期中）笑笑用计算器计算下面的题：81÷9＝9，88.2÷9＝9.8，88.83÷9＝9.87，88.884÷9＝9.876。根据这个规律，当商是9.87654时，被除数是（　　） A．88.886 B．88.8886 C．88.88886 D．88.888886 4．（2分）（2024•福田区）光明农场发展日光温室大棚种植项目，如图，搭建图①这样的单顶帐篷需要17根竹竿，搭建两顶这样的帐篷可以像图②串起来搭建，需要28根竹竿。依此类推，搭建n顶这样的帐篷需要（　　）根竹竿。 A．17n B．17n﹣6 C．11n+6 D．11n﹣6 5．（2分）（2024春•醴陵市校级期末）如图，按照此规律，图形⑥需要（　　）个〇。 A．15 B．21 C．28 评卷人 得 分 二．仔细想，认真填（共7小题，满分18分） 6．（3分）（2024秋•新会区校级期中）找规律填数：26、31、　 　、41、　 　、　 　。 7．（1分）（2024秋•无锡期中）先观察前三题计算结果，再直接写出最后一题的得数。 9.9+9.9＝19.8 9.99+9.99＝19.98 9.999+9.999＝19.998 …… +＝ 　 　 8．（3分）（2024秋•姑苏区期中）一组图形按下面的规律摆放排列，第21个图形是 　 　；排列到第45个图形时，一共摆放了 　 　个。 9．（4分）（2024秋•江宁区期中）先找规律，再填数。 （1），1，，，　 　，　 　。 （2）1，，，，　 　，　 　。 10．（2分）（2024秋•东昌府区期中）找规律，在横线上填入适当的数.1，4，5，4，9，4，　 　，　 　． 11．（2分）（2024秋•雁塔区期中）不计算，找出规律，直接写出后两题的得数。 8.7×9＝78.3 8.76×9＝78.84 8.765×9＝78.885 8.7654×9＝ 　 　 8.76543×9＝ 　 　 12．（3分）（2024秋•海珠区月考）根据前3题的得数，直接写出后3题的得数。 81÷9＝9 88.884÷9＝ 　 　 88.2÷9＝9.8 88.8885÷9＝ 　 　 88.83÷9＝9.87 88.88886÷9＝ 　 　 评卷人 得 分 三．判断正误（共4小题，满分8分，每小题2分） 13．（2分）（2024春•项城市期末）根据，□，□中的规律，□里应填。 　 　（判断对错） 14．（2分）（2023秋•召陵区期末）摆一个等边三角形需要3根火柴，往后每多摆1个就增加2根火柴，按这样的规律摆n个三角形，一共需要（2n+3）根火柴。 　 　（判断对错） 15．（2分）（2023春•马龙区期末）如果两个乘数的末尾都有2个1，那么它们的积的末尾至少应有4个1。 　 　（判断对错） 16．（2分）（2023秋•九台区期中）在3，6，9，12，（　　）中，（　　）里应填14。 　 　（判断对错） 评卷人 得 分 四．计算能手（共3小题，满分12分，每小题4分） 17．（4分）（2024春•南海区期中） …… 观察这些算式，请你的发现算出下面算式的结果 18．（4分）（2023秋•郑州期末）根据规律做一做。 37×3＝111 37×12＝444 37×6＝222 37×15＝ 37×9＝333 37×18＝ 请你接着写出下一道算式：　 　。 19．（4分）（2023秋•南郑区期末）根据下列算式的规律，直接写出后面两个算式的结果。 99×98＝9702 999×998＝997002 9999×9998＝99970002 99999×99998＝ 999999×999998＝ 评卷人 得 分 五、解决实际问题(共7题；共27分) 20．（4分）（2024秋•望都县期中）阅读材料。 “回文”是汉语特有的一种使用词序回环往复的修辞方法，正着读，倒着读，文字一样，韵味无穷。数学中，也有像回文一样的回文数和回文式。例如： 12×42＝24×21 12×462＝264×21 两位数与三位数相乘的回文等式：如果两位数十位上的数与三位数百位上的数的积，正好等于两位数个位上的数与三位数个位上的数的积，且三位数十位上的数恰好等于个位上的数与百位上的数的和（这个和不大于9），那么这个两位数乘三位数就等于这个三位数的倒序数乘两位数的倒序数。如： 1×4＝2×2，4+2＝6→12×462＝264×21 9×2＝6×3，2+3＝5→96×253＝352×69 根据9×2＝3×6，2+6＝8，请你列出对应的两位数乘三位数的回文等式，并列竖式计算验证等式两边是否相等。 21．（4分）（2024•梁子湖区）探索与发现。 圆柱形物体的上下底面为圆形，生活中常像下面这样用绳子捆扎圆柱形物体。如图中每个圆柱的底面直径都是8厘米，捆所用的绳子长度与圆柱的个数及其底面周长、直径有什么关系？（接头处忽略不计）明明用下面这样的方式进行研究： 序号 图① 图② 图③ …… 图形 …… 圆柱的个数 1 3 6 …… 绳子的长度/厘米 8π 8π+8×3 8π+8×6 …… （1）若按此规律继续摆，图④中有 　 　个圆柱，表示图④中绳子长度的算式是 　 　。 （2）根据发现的规律推理，图⑨中有多少个圆柱？表示图⑨中绳子长度是多少厘米？（π取3.14） 22．（4分）（2024春•通州区期中）康平小学四年级（3）班有35名同学在操场上体育课。在做广播操时，学生之间需保持1米的安全距离。 （1）在操场上列队时，10名同学排成一排需要多少米？ （2）操场上面积为25平方米的正方形区域内，能否容纳该班35名同学？（提示：可以画图） （3）为保证做广播体操时学生的手臂不相互接触，体育老师要求同学之间的距离是2米。保持第（2）题中的队形不变，此时该班同学所占正方形区域的面积是多少平方米？ （4）请你设计一个合理的列队方案（面图或者语言描述），要求35名同学所占区域面积小于23平方米。（保持1米距离） 23．（4分）（2023秋•武侯区期末）如图所示，将1﹣12顺次排成圈。任意选择1﹣12中的一个数a，然后，从a的下一个数起顺时针（箭头所指方向）数a个数。例如a＝3，就从4开始顺时针数3个数到6；a＝11，就从12开始顺时针数11个数到10。 （1）请你尝试一下，看看你能发现哪些规律？并写出必要的尝试过程。 （2）是否存在这样一个数a，可以数到7？ 24．（4分）（2023秋•房山区期末）“长桌宴”是独特又古老的传统民俗文化，如图是幸福村“长桌宴”摆放桌椅的方式。（桌子用表示，椅子用表示。） （1）按照这样摆放桌椅的方式，5张桌子需要配多少把椅子？ （2）旅行团共有20人参加长桌宴，按照这样摆放桌椅的方式需要多少张桌子？ （3）明明发现这样摆放桌椅的方式是有规律的，请用含有字母的式子表示出这样的规律。 25．（4分）（2023•九龙坡区）某公司进行年终分红，规定按下面的规则将钱平均分给每个人，第一个人先取1元，再取余下的；接着第二人先取2元，再取余下的；如此继续下去，第k个人先取k元，再取余下奖金的，最后奖金被分完，则公司有多少人参与分红？ 26．（3分）（2023•武城县）如图所示，用“十字”分割正方形。分割一次，分成了4个正方形，分割两次，分成了7个正方形。 （1）如果连续用“十字”分割4次，分成了 　 　个正方形。 （2）如果连续用“十字”分割n次，会分成 　 　个正方形。 （3）如果分成346个正方形。需要用“十字”分割 　 　次。 评卷人 得 分 六．动手操作（共5小题，满分25分，每小题5分） 27．（5分）（2024秋•李沧区期中）如图图案是晋商大院窗格的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸，则第8个图中所贴剪纸“〇”的个数为 　 　个。第n个图中所贴剪纸“〇”的个数为 　 　个。 28．（5分）（2024春•栖霞区期末）下面是理理设计的图案，他按照一定的规律，设计了前三幅图。 （1）仔细观察，第③幅图中涂色的部分是原来大正方形的。 （2）像这样继续设计下去，想一想，第④幅图的每一小份是原来大正方形的。 29．（5分）（2022秋•济源期末）找规律填一填。 …… 照这样画下去，用同样长的小棒摆第6个图形需要 　 　根小棒，第8个图形是 　 　。 30． （5分）（2023春•兴宾区期末）找规律，画图。 31．（5分）（2023春•临沭县期末）找规律，画一画、填一填。 （1）　 　。 （2） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学六年级上册单元培优冲关卷【名校真题汇编】 第八单元《数学广角——数与形》 时间：90分钟 满分：100分 难度系数：0.47（较难） 一、慎重选择(共5题；每题2分，共10分) 1．（2分）（2024秋•樊城区期中）夏天到了，妈妈带贝贝姐弟去沙滩玩耍，他们用树枝在沙滩上画出了这样的图案。照这样摆下去，第n幅图中应该有（　　）个。 A．2n B．2n+6 C．n+4 D．2n+4 【思路点拨】下一个图案比上一个图案多2 个，第n幅图形，需要（2n+4）个，据此解答即可。 【规范解答】解：夏天到了，妈妈带贝贝姐弟去沙滩玩耍，他们用树枝在沙滩上画出了这样的图案。照这样摆下去，第n幅图中应该有（2n+4）个。 故选：D。 【考点评析】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 2．（2分）（2024•安化县）把边长为1厘米的正方形纸片，按如图的规律拼成长方形。用2个正方形拼成的大长方形的周长是6厘米，用2024个正方形拼成的大长方形的周长是（　　）厘米。 A．2024 B．4046 C．4050 D．8096 【思路点拨】用2个正方形拼成的大长方形的周长是6厘米，再结合图示可知，从左到右，每增加一个正方形，周长增加（6﹣4）厘米，用n个正方形拼成的大长方形的周长是（2n+2）厘米。据此解答。 【规范解答】解：根据分析可知：用n个正方形拼成的大长方形的周长是（2n+2）厘米。 当n＝2024时，2n+2＝2×2024+2＝4050 答：用2024个正方形拼成的大长方形的周长是4050厘米。 故选：C。 【考点评析】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 3．（2分）（2024秋•晋江市期中）笑笑用计算器计算下面的题：81÷9＝9，88.2÷9＝9.8，88.83÷9＝9.87，88.884÷9＝9.876。根据这个规律，当商是9.87654时，被除数是（　　） A．88.886 B．88.8886 C．88.88886 D．88.888886 【思路点拨】根据题意： 81÷9＝9 88.2÷9＝9.8 88.83÷9＝9.87 88.884÷9＝9.876 即每个算式的除数都是9，被除数整数部分都是两位数，从第2个算式开始，整数部分都是88，小数部分位数依次增加1位，且小数点后末位数字从2开始依次递增1，小数部分其他位次都是数字8，商的整数部分都是9，小数部分从第2个算式开始首位都是8，且随着小数位数的增加，小数点后的数字从8开始依次递减1，小数部分的位数和被除数小数位数一样。据此解答。 【规范解答】解：根据分析可知：88.88886÷9＝9.87654 故选：C。 【考点评析】解答此题的关键是观察所给出的算式，找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题。 4．（2分）（2024•福田区）光明农场发展日光温室大棚种植项目，如图，搭建图①这样的单顶帐篷需要17根竹竿，搭建两顶这样的帐篷可以像图②串起来搭建，需要28根竹竿。依此类推，搭建n顶这样的帐篷需要（　　）根竹竿。 A．17n B．17n﹣6 C．11n+6 D．11n﹣6 【思路点拨】观察可得，搭建图①这样的单顶帐篷需要17根竹竿，搭建两顶这样的帐篷可以像图②串起来搭建需要17+11＝28（根），搭建三顶这样的帐篷可以像图③串起来搭建需要17+（3﹣1）×11＝39（根），搭建n顶这样的帐篷串起来搭建需要17+（n﹣1）×11＝11n+6（根）。据此解答。 【规范解答】解：17+（n﹣1）×11 ＝11n+6（根） 答：搭建n顶这样的帐篷需要（11n+6）根竹竿。 故选：C。 【考点评析】仔细观察，找到规律是解决本题的关键。 5．（2分）（2024春•醴陵市校级期末）如图，按照此规律，图形⑥需要（　　）个〇。 A．15 B．21 C．28 【思路点拨】第一个图形有1个〇，第二个图形有3个〇，第三个图形有6个〇，1＝1；3＝1+2；6＝1+2+3；那么第n个图形中〇的数量就是1+2+3+……+n，据此解答即可。 【规范解答】解：图形⑥的〇数： 1+2+3+4+5+6＝21（个） 故选：B。 【考点评析】本题解题关键是找出圆的数量规律，根据规律求解。 二．仔细想，认真填（共7小题，满分18分） 6．（3分）（2024秋•新会区校级期中）找规律填数：26、31、　36　、41、　46　、　51　。 【思路点拨】后一个数与前一个数相比，相差（31﹣26＝5），照此规律填空。 【规范解答】解：26、31、36、41、46、51。 故答案为：36，46，51。 【考点评析】仔细观察，找到规律是解决本题的关键。 7．（1分）（2024秋•无锡期中）先观察前三题计算结果，再直接写出最后一题的得数。 9.9+9.9＝19.8 9.99+9.99＝19.98 9.999+9.999＝19.998 …… +＝ 　19.9999999998　 【思路点拨】两个相同的小数加数相加，整数部分都是9，小数部分各数位数字也都是9，和的整数部分都是19，小数部分除最后一位都是9，最后一位是8，加数是几位小数，和即为几位小数，据此计算。 【规范解答】解：因为9.9+9.9＝19.8 9.99+9.99＝19.98 9.999+9.999＝19.998 …… 所以： +＝19.9999999998 故答案为：19.9999999998。 【考点评析】解答此题的关键是观察所给出的算式，找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题。 8．（3分）（2024秋•姑苏区期中）一组图形按下面的规律摆放排列，第21个图形是 　〇　；排列到第45个图形时，一共摆放了 　22　个。 【思路点拨】根据图示可知，图形规律是按照〇□□△，周期为4，依次有规律的出现的，用21除以4根据商和余数即可判断第21个图形是什么图形； 用45除以4，根据商和余数，求出组数和余数是什么图形，根据每组有2个□，结合余数即可求解第二个空。 【规范解答】解：21÷4＝5（组）……1（个） 即第21个图形是第6组的第1个图形，和第1组的第1个图形一样，是〇。 45÷4＝11（组）……1（个） 即第45个图形是第12组的第1个图形，和第1组的第1个图形一样，是〇。 11×2＝22（个） 即排列到第45个图形时，一共摆放了22个□。 故答案为：〇；22。 【考点评析】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力以及周期规律的应用。 9．（4分）（2024秋•江宁区期中）先找规律，再填数。 （1），1，，，　　，　　。 （2）1，，，，　　，　　。 【思路点拨】（1）根据题意，后面的数依次是前面数的倍，据此解答即可。 （2）根据题意，分数的分子都是1，分母依次是1、2、3、4、5、6的平方，据此解答即可。 【规范解答】解：（1），1，，，，。 （2）1，，，，，。 故答案为：，；，。 【考点评析】本题考查了数列的排列规律，结合题意分析解答即可。 10．（2分）（2024秋•东昌府区期中）找规律，在横线上填入适当的数.1，4，5，4，9，4，　13　，　4　． 【思路点拨】数列的排列规律是：奇数项每次递增4，偶数项不变，始终是4，据此解答． 【规范解答】解：根据分析可得， 9+4＝13； 偶数项是：4； 故答案为：13，4． 【考点评析】数列中的规律关键是找到前后项之间的排列规律（往往是差、和、积或商的联系），然后用这个规律解决问题． 11．（2分）（2024秋•雁塔区期中）不计算，找出规律，直接写出后两题的得数。 8.7×9＝78.3 8.76×9＝78.84 8.765×9＝78.885 8.7654×9＝ 　78.8886　 8.76543×9＝ 　78.88887　 【思路点拨】通过观察可知，结果是小数，整数部分都是78，小数部分除最后一个数字，前面的数字都是8；第一个因数的小数末尾是几，则积的末尾就是10减去几；第一个因数是几位小数，则积就是几位小数。 【规范解答】解：8.7654×9＝78.8886 8.76543×9＝78.88887 故答案为：78.8886、78.88887。 【考点评析】解决本题的关键是找出题中的规律，利用规律去解答。 12．（3分）（2024秋•海珠区月考）根据前3题的得数，直接写出后3题的得数。 81÷9＝9 88.884÷9＝ 　9.876　 88.2÷9＝9.8 88.8885÷9＝ 　9.8765　 88.83÷9＝9.87 88.88886÷9＝ 　9.87654　 【思路点拨】从第二个算式开始，被除数的小数位的末尾依次是从2开始的连续自然数，被除数小数位的最高位上从第三个算式开始每次多添1个8，则结果的小数位的末尾每次增加一个比前一位上的数字小1的数。 【规范解答】解： 81÷9＝9 88.884÷9＝ 9.876 88.2÷9＝9.8 88.8885÷9＝9.8765 88.83÷9＝9.87 88.88886÷9＝ 9.87654 故答案为：9.876，9.8765，9.87654。 【考点评析】仔细观察，找到规律是解决本题的关键。 三．判断正误（共4小题，满分8分，每小题2分） 13．（2分）（2024春•项城市期末）根据，□，□中的规律，□里应填。 　√　（判断对错） 【思路点拨】根据题意，后面的分数的分子依次比前面的分数的分子少1，后面的分数的分母依次比前面分数的分母少1，据此解答即可。 【规范解答】解：分析可知，根据，□，□中的规律，□里应填。所以原题说法正确。 故选：√。 【考点评析】本题考查了数列的排列规律，结合题意分析解答即可。 14．（2分）（2023秋•召陵区期末）摆一个等边三角形需要3根火柴，往后每多摆1个就增加2根火柴，按这样的规律摆n个三角形，一共需要（2n+3）根火柴。 　×　（判断对错） 【思路点拨】根据题意，摆一个三角形用3根火柴棒，3＝2×1+1， 摆两个三角形用5根火柴棒，5＝2×2+1， 摆三个三角形用7根火柴棒，7＝2×3+1， 摆四个三角形用9根火柴棒，9＝2×4+1…… 所摆三角形个数的2倍加1就是所用火柴棒的根数，即摆n个三角形要用（2n+1）根火柴棒。据此解答即可。 【规范解答】解：分析可知，摆一个等边三角形需要3根火柴，往后每多摆1个就增加2根火柴，按这样的规律摆n个三角形，一共需要（2n+1）根火柴。所以原题说法错误。 故答案为：×。 【考点评析】本题考查了数与形的组合知识，解答此题的关键是找规律，只要找到规律，根据规律解答即可。 15．（2分）（2023春•马龙区期末）如果两个乘数的末尾都有2个1，那么它们的积的末尾至少应有4个1。 　×　（判断对错） 【思路点拨】举个例子说明即可。211×211＝44521，据此判断即可。 【规范解答】解：211×211＝44521 44521有1个1。 所以如果两个乘数的末尾都有2个1，那么它们的积的末尾至少应有4个1。原题说法错误。 故答案为：×。 【考点评析】本题考查算式中乘法的规律。注意计算的准确性。 16．（2分）（2023秋•九台区期中）在3，6，9，12，（　　）中，（　　）里应填14。 　×　（判断对错） 【思路点拨】根据题意，后面的数比前面的数多3，所以在3，6，9，12，（　　）中，括号里应填15，据此解答即可。 【规范解答】解：后面的数比前面的数多3，所以在3，6，9，12，（　　）中，括号里应填15，所以原题说法错误。 故答案为：×。 【考点评析】本题考查了数列中的排列规律，结合题意分析解答即可。 四．计算能手（共3小题，满分12分，每小题4分） 17．（4分）（2024春•南海区期中） …… 观察这些算式，请你的发现算出下面算式的结果 【思路点拨】观察题中算式可知，，，，，，，，由此解答本题。 【规范解答】解： ＝1+﹣+ ＝1+ ＝1 【考点评析】解决本题的关键是找出题中的规律，利用规律去解答。 18．（4分）（2023秋•郑州期末）根据规律做一做。 37×3＝111 37×12＝444 37×6＝222 37×15＝ 37×9＝333 37×18＝ 请你接着写出下一道算式：　37×21＝777　。 【思路点拨】观察题中算式可知，一个乘数是37，另一个乘数是3的倍数，依次增加，积是三位数，每个数位是数字相同，数字与3的倍数相同，由此解答本题。 【规范解答】解：由分析可知：37×15 ＝37×3×5 ＝555 37×18 ＝37×3×6 ＝666 37×3＝111 37×12＝444 37×6＝222 37×15＝555 37×9＝333 37×18＝666 37×21 ＝37×3×7 ＝777 故答案为：555，666，37×21＝777。 【考点评析】解决本题的关键是找出题中的规律，利用规律去解答。 19．（4分）（2023秋•南郑区期末）根据下列算式的规律，直接写出后面两个算式的结果。 99×98＝9702 999×998＝997002 9999×9998＝99970002 99999×99998＝ 999999×999998＝ 【思路点拨】依据题意结合算式可知，乘数是几位数，积的位数是乘数位数的2倍，积的最高位上数字是9，积中9的个数比乘数位数少1，积的个位上数字都是2，其他数位上都是0，由此解答本题。 【规范解答】解：由分析可知，99999×99998＝9999700002 999999×999998＝999997000002 【考点评析】解决本题的关键是找出题中的规律，利用规律去解答。 五、解决实际问题(共7题；共27分) 20．（4分）（2024秋•望都县期中）阅读材料。 “回文”是汉语特有的一种使用词序回环往复的修辞方法，正着读，倒着读，文字一样，韵味无穷。数学中，也有像回文一样的回文数和回文式。例如： 12×42＝24×21 12×462＝264×21 两位数与三位数相乘的回文等式：如果两位数十位上的数与三位数百位上的数的积，正好等于两位数个位上的数与三位数个位上的数的积，且三位数十位上的数恰好等于个位上的数与百位上的数的和（这个和不大于9），那么这个两位数乘三位数就等于这个三位数的倒序数乘两位数的倒序数。如： 1×4＝2×2，4+2＝6→12×462＝264×21 9×2＝6×3，2+3＝5→96×253＝352×69 根据9×2＝3×6，2+6＝8，请你列出对应的两位数乘三位数的回文等式，并列竖式计算验证等式两边是否相等。 【思路点拨】两位数的十位上是9，三位数的百位上是2，两位数的个位上是3，三位数的个位上是6，三位数的十位上是8。写出乘法算式后再倒写即可。 【规范解答】解：93×286＝26598 682×39＝26598 验算： 【考点评析】明确“回文等式”的特点是解决本题的关键。 21．（4分）（2024•梁子湖区）探索与发现。 圆柱形物体的上下底面为圆形，生活中常像下面这样用绳子捆扎圆柱形物体。如图中每个圆柱的底面直径都是8厘米，捆所用的绳子长度与圆柱的个数及其底面周长、直径有什么关系？（接头处忽略不计）明明用下面这样的方式进行研究： 序号 图① 图② 图③ …… 图形 …… 圆柱的个数 1 3 6 …… 绳子的长度/厘米 8π 8π+8×3 8π+8×6 …… （1）若按此规律继续摆，图④中有 　10　个圆柱，表示图④中绳子长度的算式是 　8π+8×9　。 （2）根据发现的规律推理，图⑨中有多少个圆柱？表示图⑨中绳子长度是多少厘米？（π取3.14） 【思路点拨】（1）图①圆柱的个数是1个；绳长为8π厘米； 图②圆柱的个数是3个，3＝1+2；绳长为（8π+8×3）厘米，8π+8×3＝8π+8×（2﹣1）×3； 图③圆柱的个数是6个，6＝1+2+3；绳长为（8π+8×6）厘米，8π+8×6＝8π+8×（3﹣1）×3； 图④圆柱的个数是10个，10＝1+2+3+4；绳长为（8π+8×9）厘米，8π+8×9＝8π+8×（4﹣1）×3； …… 图n圆柱的个数是（1+2+3+……+n）个，绳长为[8π+8×（n﹣1）×3]厘米。 即图n中圆柱的个数是：1+2+3+……+n，捆一圈所用绳子的长度由两部分组成，曲线部分刚好是一个底面圆的周长，即8π厘米，直线部分是每条边上的（n﹣1）条直径的长度，共3条边，即[8×（n﹣1）×3]厘米，所以捆一圈所用绳子的长度是[8π+8×（n﹣1）×3]厘米。 （2）根据（1）的规律，计算当n＝9时圆柱的个数及绳子的长度即可。 【规范解答】解：图①圆柱的个数是1个；绳长为8π厘米； 图②圆柱的个数是3个，3＝1+2；绳长为（8π+8×3）厘米，8π+8×3＝8π+8×（2﹣1）×3； 图③圆柱的个数是6个，6＝1+2+3；绳长为（8π+8×6）厘米，8π+8×6＝8π+8×（3﹣1）×3； 图④圆柱的个数是10个，10＝1+2+3+4；绳长为（8π+8×9）厘米，8π+8×9＝8π+8×（4﹣1）×3； …… 图n圆柱的个数是（1+2+3+……+n）个，绳长为[8π+8×（n﹣1）×3]厘米。 即图n中圆柱的个数是：1+2+3+……+n，捆一圈所用绳子的长度由两部分组成，曲线部分刚好是一个底面圆的周长，即8π厘米，直线部分是每条边上的（n﹣1）条直径的长度，共3条边，即[8×（n﹣1）×3]厘米，所以捆一圈所用绳子的长度是[8π+8×（n﹣1）×3]厘米。所以： （1）图④中有10个圆柱，表示图④中绳子长度的算式是8π+8×9。 （2）图⑨中有45个圆柱，表示图⑨中绳子长度是： 8×3.14+8×24 ＝25.12+192 ＝217.12（厘米） 答：图⑨中有45个圆柱，表示图⑨中绳子长度是217.24厘米。 故答案为：10，8π+8×9。 【考点评析】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 22．（4分）（2024春•通州区期中）康平小学四年级（3）班有35名同学在操场上体育课。在做广播操时，学生之间需保持1米的安全距离。 （1）在操场上列队时，10名同学排成一排需要多少米？ （2）操场上面积为25平方米的正方形区域内，能否容纳该班35名同学？（提示：可以画图） （3）为保证做广播体操时学生的手臂不相互接触，体育老师要求同学之间的距离是2米。保持第（2）题中的队形不变，此时该班同学所占正方形区域的面积是多少平方米？ （4）请你设计一个合理的列队方案（面图或者语言描述），要求35名同学所占区域面积小于23平方米。（保持1米距离） 【思路点拨】（1）根据两端都植树可知，间隔数＝人数﹣1，用间隔数乘间隔距离即可求解； （2）根据正方形的面积以及面积＝边长×边长即可求出正方形区域的边长，根据两端都植树可知，一排可以站的人数为边长+1，可以站的排数也是边长+1，据此即可判断是否能容纳； （3）根据（2）可知，一排站6人，共计5个间隔，每个间隔2米，用间隔数乘间隔距离即是正方形区域的边长，再根据正方形面积＝边长×边长即可解答； （4）设计为长为11米，宽为2米的长方形也可以容纳36人，此时面积为11×2＝22（平方米）＜23平方米，满足题意。 【规范解答】解：（1）（10﹣1）×1＝9（米） 答：10名同学排成一排需要9米。 （2）因为5×5＝25 所以正方形的边长为5米 5+1＝6（名） 6×6＝36（名） 36＞35，即能容纳。 如下图所示：每个黑点代表1人，则正方形区域最多可以站36人。 答：操场上面积为25平方米的正方形区域内，能容纳该班35名同学。 （3）（6﹣1）×2＝10（米） 10×10＝100（平方米） 答：此时该班同学所占正方形区域的面积是100平方米。 （4）当长方形队列的长为11米，宽为2米时，最多可容纳的人数为（11+1）×（2+1）＝36（人） 36＞35，满足题意。 此时队形的面积为11×2＝22（平方米） 22＜23，满足题意。 如下图所示：每个黑点代表1人，则长方形区域最多可以站36人。 【考点评析】本题考查了植树问题的应用，以及长方形和正方形面积的计算等。 23．（4分）（2023秋•武侯区期末）如图所示，将1﹣12顺次排成圈。任意选择1﹣12中的一个数a，然后，从a的下一个数起顺时针（箭头所指方向）数a个数。例如a＝3，就从4开始顺时针数3个数到6；a＝11，就从12开始顺时针数11个数到10。 （1）请你尝试一下，看看你能发现哪些规律？并写出必要的尝试过程。 （2）是否存在这样一个数a，可以数到7？ 【思路点拨】（1）当1≤a≤6时，从a的位置顺时针走a个数的位置，应到达2a的位置；当7≤a≤12时，从a的位置顺时针走a个数的位置，应该到达（2a﹣12）的位置，由此解答本题； （2）依据（1）分析可知，无论a是什么数，结果总是走到偶数的位置，由此解答本题。 【规范解答】解：（1）当a＝5，就从6开始顺时针数5个数到10；当a＝10，就从11开始顺时针数10个数到8，我发现：当1≤a≤6时，从a的位置顺时针走a个数的位置，应到达2a的位置；当7≤a≤12时，从a的位置顺时针走a个数的位置，应该到达（2a﹣12）的位置。 （2）不存在这样的数，依据（1）分析可知，无论a是什么数，结果总是走到偶数的位置，数不到7。 【考点评析】解决本题的关键是找出题中的规律，利用规律去解答。 24．（4分）（2023秋•房山区期末）“长桌宴”是独特又古老的传统民俗文化，如图是幸福村“长桌宴”摆放桌椅的方式。（桌子用表示，椅子用表示。） （1）按照这样摆放桌椅的方式，5张桌子需要配多少把椅子？ （2）旅行团共有20人参加长桌宴，按照这样摆放桌椅的方式需要多少张桌子？ （3）明明发现这样摆放桌椅的方式是有规律的，请用含有字母的式子表示出这样的规律。 【思路点拨】（1）图1：1张桌子6把椅子；图2：2张桌子10把椅子；图3：3张桌子14把椅子；……n张桌子（4n+2）把椅子；据此解答； （2）20人需要20把椅子，代入（1）的关系式求解； （3）根据（1）总结的规律直接解答。 【规范解答】解：图1：1张桌子6把椅子； 图2：2张桌子10把椅子； 图3：3张桌子14把椅子； …… n张桌子（4n+2）把椅子； 4×5+2 ＝20+2 ＝22（把） 答：5张桌子需要配22把椅子。 （2）4n+2＝20 4n＝20﹣2 4n＝18 4n÷4＝18÷4 n＝4.5 4.5≈5 答：按照这样摆放桌椅的方式需要5张桌子。 （3）4n+2 答：含有字母的式子表示出这样的规律为：4n+2。 【考点评析】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 25．（4分）（2023•九龙坡区）某公司进行年终分红，规定按下面的规则将钱平均分给每个人，第一个人先取1元，再取余下的；接着第二人先取2元，再取余下的；如此继续下去，第k个人先取k元，再取余下奖金的，最后奖金被分完，则公司有多少人参与分红？ 【思路点拨】根据题目中描述的分红规则来建立方程解答，首先设总钱数为一个未知数x，然后根据每个人取钱的规则列出方程，最后通过解方程求出总钱数，再根据总钱数求出每人分到的钱数，进而得出参与分红的人数。 【规范解答】解：设总钱数为x元。 第一个人先取1元，此时剩下（x﹣1）元，再取余下的，即（x﹣1）×＝（元） 所以第1个人共取钱数为：1+＝（元） 第二个人先取2元，此时剩下（x﹣﹣2）元，再取余下的，即（x﹣﹣2）×＝（元） 所以第2个人共取钱数为：2+＝（元） 因为最后奖金被分完，即第一个人分的钱和第二个分的钱相等（这里假设只有2个人先进行分析，实际对于任意相邻的人分的钱数是相等的），即列方程为：＝ 解得：x＝4080400 所以每人分得钱数为：＝（4080400+2020）÷2021＝2020（元） 即参与分红的人数为4080400÷2020＝2020（人） 答：公司有2020人参与分红。 【考点评析】解答此题的关键是通过设未知数，根据每人分红金额相同的求出一共分红的金额。 26．（3分）（2023•武城县）如图所示，用“十字”分割正方形。分割一次，分成了4个正方形，分割两次，分成了7个正方形。 （1）如果连续用“十字”分割4次，分成了 　13　个正方形。 （2）如果连续用“十字”分割n次，会分成 　（3n+1）　个正方形。 （3）如果分成346个正方形。需要用“十字”分割 　115　次。 【思路点拨】分割1次，分成了4个正方形，分割2次，分成了（4+3）个正方形，分割3次，分成了（4+3+3）个正方形，分割n次，分成了[4+3×（n﹣1）]个正方形，结合题意去解答即可。 【规范解答】解：（1）分割3次，分成的正方形的个数：4+3×（4﹣1） ＝4+9 ＝13（个） （2）分割n次，分成的正方形个数：4+3×（n﹣1） ＝4+3n﹣3 ＝（3n+1）个 （3）3n+1＝346，则n＝115，所以需要分割115次。 故答案为：（1）13；（2）（3n+1）；（3）115。 【考点评析】解决本题的关键是找出题中的规律，利用规律去解答。 六．动手操作（共5小题，满分25分，每小题5分） 27．（5分）（2024秋•李沧区期中）如图图案是晋商大院窗格的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸，则第8个图中所贴剪纸“〇”的个数为 　26　个。第n个图中所贴剪纸“〇”的个数为 　（3n+2）　个。 【思路点拨】观察可得规律是，第（1）幅图有5个“〇”，第（2）幅图有（5+3）个“〇”，第（3）幅图有（5+3+3）个“〇”，第n幅图有5+（n﹣1）×3个“〇”。 【规范解答】解：当n＝8时， 5+（n﹣1）×3 ＝5+（8﹣1）×3 ＝26（个） 5+（n﹣1）×3＝3n+2 答：第8个图中所贴剪纸“〇”的个数为26个。第n个图中所贴剪纸“〇”的个数为 （3n+2）个。 故答案为：26，（3n+2）。 【考点评析】仔细观察，找到规律是解决本题的关键。 28．（5分）（2024春•栖霞区期末）下面是理理设计的图案，他按照一定的规律，设计了前三幅图。 （1）仔细观察，第③幅图中涂色的部分是原来大正方形的。 （2）像这样继续设计下去，想一想，第④幅图的每一小份是原来大正方形的。 【思路点拨】（1）根据图示可知，第n幅图涂色部分的面积占整个图形的，据此解答。 （2）根据（1）的规律计算第④幅图的每一小份是原来大正方形的几分之几。 【规范解答】解：（1）＝ 答：第③幅图中涂色的部分是原来大正方形的。 （2）＝ 答：第④幅图的每一小份是原来大正方形的。 故答案为：1，64；1，256。 【考点评析】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 29．（5分）（2022秋•济源期末）找规律填一填。 …… 照这样画下去，用同样长的小棒摆第6个图形需要 　13　根小棒，第8个图形是 　平行四边形　。 【思路点拨】观察图形可知，第1个图形需要3根小棒，第2个图形需要3+2＝5根小棒，第3个图形需要3+2+2＝7根小棒，则第n个图形需要3+2（n﹣1）＝2n+1根小棒；除第1个图形以外，第偶数个图形是平行四边形，第奇数个图形是梯形，据此填空即可。 【规范解答】解：由分析可知： 第6个图形需要： 2n+1＝2×6+1 ＝12+1 ＝13（根） 则第6个图形需要13根小棒。 因为第8个图形是第偶数个图形，所以第8个图形是平行四边形。 答：用同样长的小棒摆第6个图形需要13根小棒，第8个图形是平行四边形。 故答案为：13；平行四边形。 【考点评析】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。 30． （5分）（2023春•兴宾区期末）找规律，画图。 【思路点拨】根据图示，后面的图形依次比前面的图形减少1列2个小正方形，据此解答即可。 【规范解答】解：如图： 【考点评析】本题考查了图形排列的规律，结合题意分析解答即可。 31．（5分）（2023春•临沭县期末）找规律，画一画、填一填。 （1）　　。 （2） 【思路点拨】（1）三角前面是圆形。 （2）圆的数量是相差2的数列。 【规范解答】解：（1） （2） 故答案为：。 【考点评析】仔细观察，找到规律是解决本题的关键。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$