第二章匀变速直线运动的研究专题四：追及和相遇问题 课件-2024-2025学年高一上学期物理人教版（2019）必修第一册

第二章　匀变速直线运动的研究 专题：追及和相遇问题 【学习目标】 1.会分析追及相遇问题，理解两者速度相等为临界条件. 2.学习解决追及相遇问题的四种方法 3.会根据位移关系、时间关系列方程. 一、追及与相遇—— 1、追及与相遇问题的实质： 2、理清三大关系： 两者速度相等。它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。 研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。 速度关系、时间关系、位移关系。 3、巧用一个条件： 两种典型追及问题—— 1、速度大者减速(如匀减速)追速度小者(如匀速) 1)当v1=v2时，A未追上B，则A、B永不相遇，此时两者间有最小距离； v1 a v2 v1> v2 A B 2)当v1=v2时，A恰好追上B，则A、B相遇一次，也是避免相撞刚好追上的临界条件； 3)当v1=v2时，A已超过B，则A、B相遇两次，且之后当两者速度相等时，两者间有最大距离。 匀减速追匀速 匀速追匀加速 匀减速追匀加速 1.t0时刻以前(v2＞v1)两物体距离减小 2.t0时刻(v2＝v1) 若Δx＝x0，恰好追上 若Δx＜x0，追不上，有最小距离 若Δx＞x0，相遇两次 两种典型追及问题—— 2、同地出发，速度小者加速(如初速度为零的匀加速)追速度大者(如匀速) 1)当 v1=v2 时，A、B距离最大； 2)当两者位移相等时，有 v1=2v2 且A追上B。 匀加速追匀速 匀速追匀减速 匀加速追匀减速 三、巧解追及问题的四种方法 1、临界法 寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离。 速度相等时可能有最大距离或最小距离 9 2、函数法 思路一：先求出在任意时刻t两物体间的距离y＝f(t)，若对任何t，均存在y＝f(t)>0，则这两个物体永远不能相遇；若存在某个时刻t，使得y＝f(t)≤0，则这两个物体可能相遇。 思路二：设两物体在t时刻两物体相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0无正实数解，则说明这两物体不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正实数解，说明这两个物体能相遇。 通过讨论两物体间的距离来判断两物体是否相遇 写出位移关系列出方程，根据根的判别式，判断方程是否有解，若有解则相遇；若无解则不能相遇。 10 3、图象法 (1)若用位移图象求解，分别作出两个物体的位移图象，如果两个物体的位移图象相交，则说明两物体相遇。 (2)若用速度图象求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积。 常常应用速度图象求解 11 4、相对运动法 用相对运动的知识求解追及或相遇问题时，要注意将两个物体对地的物理量(速度、加速度和位移)转化为相对的物理量。在追及问题中，常把被追及物体作为参考系，这样追赶物体相对被追物体的各物理量即可表示为： x相对＝x后－x前＝x0，v相对＝v后－v前，a相对＝a后－a前， 且上式中各物理量(矢量)的符号都应以统一的正方向进行确定 应用此法关键是确定相对量 https://www.zxxk.com/soft/33476826.html 解此问可以用数学求极值的方法。 设汽车在追上自行车之前t秒两车相距最远 由于△x=x自 – x汽 = v自t –at2/2 代入数据得△x =6t - 1.5t2 = - 1.5t2 +6t 由二次函数求极值条件知 t = - b/ 2a =6/3 =2 (s)时 ，△x最大 令 △x=0则t=4s即 4s时候追上，此时汽车速度 12m/s 且△xm= 6t - 1.5t2 =6×2 - 1.5×22 = 6 (m) 法二：数学法 ⑴汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？ ⑵什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？ 例1.一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶，此时一辆自行车以6m/s的速度匀速从后边驶来恰好经过汽车，求： a＝3m/s2 V自＝6m/s V汽 法三：图象法 t/s V/m·s－1 t t' t' ⑴汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？ ⑵什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？ 例1.一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶，此时一辆自行车以6m/s的速度匀速从后边驶来恰好经过汽车，求： a＝3m/s2 V自＝6m/s V汽 追及相遇问题的几种常用方法： (1)物理分析法：应用运动学公式，根据每个物体的运动情况，分别确定出各物体间的位移、时间和速度关系，并列出方程，进行求解． (2)极值法：设相遇问题为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次，若Δ＝0，说明刚好追上或相碰；若Δ＜0，说明追不上或不能相碰． (3)图象法：将两者的v－t图象在同一个坐标系中画出，然后利用图象求解． (4)相对参考系法 强推：物理分析法+图像法 利用一个条件：追及问题中两者的速度相等时，两者距离是极大值或极小值，通过速度相等时两者位置还能判断是否能追上 解决追击相遇问题的方法小结： 利用二个关系：时间关系、位移关系列出方程求解，者两个关系通过画运动过程图（或者说草图）得到 是否同时出发 是否同一地点出发 举例子：匀减速追匀速 15 相向运动的物体，当各自发生的位移的绝对值之和等于开始时两物体间的距离时即相遇。 例2、甲火车以速度v1 匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距s处有另一列乙火车同方向以速度v2匀速行驶，且v1>v2。司机立即以加速度大小为ａ紧急刹车，要使两车不相撞，ａ应满足什么条件？ 匀减追匀速 1、恰好撞上（恰好不撞上）的条件：同一位置、速度相等 3、注意：物理上习惯于对临界情况进行列等式分析，而不是列不等式 2、临界状态：某种物理现象刚好发生或者不发生的状态 由物理过程的分析求极值 两车恰不相撞时应满足以下两方程： 速度关系 v1 - a0t = v2 位移关系 v1t - a0 t2/2 = v2t +s 联立求解这两个方程可得a0 = ( v2 -v1)2/2s 所以当 a≥( v2 -v1)2/2s时，两车就不会相撞 解：设两车速度相等时恰不相撞， 此时刹车的加速度为a0 例3　一辆小汽车以30 m/s的速度匀速行驶在高速公路上，突然发现正前方30 m处有一辆大卡车以10 m/s的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，刹车过程中刹车失灵.如图1所示，图线a、b分别为小汽车和大卡车的v－t图像(忽略刹车反应时间)，以下说法正确的是 A.因刹车失灵前小汽车已减速，故不会发生追 尾事故 B.在t＝3 s时发生追尾事故 C.在t＝5 s时发生追尾事故 D.若紧急刹车时两车相距40 m，则不会发生追 尾事故且两车最近时相距10 m 图1 √ 解析　根据速度—时间图线与时间轴所围“面积”表示位移，由题图知，t＝3 s时大卡车的位移为：xb＝vbt＝10×3 m＝30 m 则：xa－xb＝30 m 所以在t＝3 s时发生追尾事故，故B正确，A、C错误； 由v－t图线可知在t＝5 s时两车速度相等，小汽车相对于大卡车的位移： 则不会发生追尾事故且两车最近时相距Δs＝x0－Δx＝5 m，故D错误. 小汽车的位移为：xa＝×(30＋20)×1 m＋×(20＋15)×2 m＝60 m Δx＝×(20＋10)×1 m＋×10×4 m＝35 m<40 m 针对训练.如图所示，图线OP、MN分别是做直线运动的质点A、B的位移—时间图象，其中OP为开口向下抛物线的一部分，P为图象上一点。PQ为过P点的切线，与x轴交于点Q。则下列说法正确的是(　　) A.t＝4 s时，质点A的速率为1 m/s B．质点A的加速度大小为0.25 m/s2 C．质点A的初速度大小为6 m/s D．t＝2 s时A、B相遇 答案　AD 解析　x­t图象切线的斜率表示速度，则t＝4 s时质点A的速率为v＝ eq \f(10－6,4) m/s＝1 m/s，故A正确；质点A的x­t图象为抛物线，结合匀变速直线运动位移与时间的关系式x＝v0t＋ eq \f(1,2)at2，当t＝4 s时，有10＝4v0＋8a，根据v＝v0＋at，当t＝4 s时，有1＝v0＋4a，联立解得v0＝4 m/s，a＝－0.75 m/s2，所以质点A的初速度大小为4 m/s，加速度的大小为0.75 m/s2，故B、C错误；由图可知质点B做匀速直线运动，其速度大小为vB＝ eq \f(13,4) m/s＝3.25 m/s， 则质点B的位移表达式为xB＝vBt＝3.25t，设经过t时间A、B相遇，由图可知，xA＋xB＝13 m，则有4t－ eq \f(1,2)×0.75t2＋3.25t＝13，解得t＝2 s eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＝\f(52,3)s舍去))，故t＝2 s时A、B相遇，故D正确。 $$