重难点11 整式加减的实际应用问题（六大题型）-2024-2025学年七年级数学上册期中复习【重点·难点】专练（人教版2024）

重难点11 整式加减的实际应用问题 【题型一 与销售有关的问题】 1．（2023秋•浑南区期末）某菜农的蔬菜基地今年收获大白菜24000千克，在收获前期共投入9000元的成本，大白菜的销售有两种方式：方式一，直接在蔬菜基地销售；方式二，在市场上销售，但平均每天只出售2000千克，且每天需人工费300元，每天还需缴纳管理费等其它费用100元．设直接在蔬菜基地销售每千克为m元，在市场上销售每千克为n元，假设白菜全部销售出去没有损耗． （1）分别求出两种方式销售大白菜的纯收入（用含m，n的代数式表示）； （2）菜农了解到近期销售行情是：在蔬菜基地销售每千克为2元，在市场上销售每千克为2.5元，你建议菜农选择哪种方式销售可以获利较多？通过计算说明你的理由． 【分析】（1）根据利润＝总额﹣成本，列出代数式； （2）把m＝2，n＝2.5代入（1）中所列的代数式并计算，然后比较即可． 【解答】解：（1）蔬菜基地销售：（24000m﹣9000）元， 市场上销售：24000÷2000＝12（天）， （300+100）×12＝4800（元）， 24000n﹣4800﹣9000＝（24000n﹣13800）元； （2）把m＝2代入24000m﹣9000中， 24000×2﹣9000＝39000（元）， 把n＝2.5代入24000n﹣13800中， 24000×2.5﹣13800＝46200（元）， 46200＞39000， ∴市场上销售可以获利较多． 【点评】本题考查了列代数式的应用，关键根据题中给的条件，找出合适的数量关系列出代数式，再求出结果． 2．（2023秋•巧家县期末）“双减”政策减轻了学生的课业负担，学校里的社团活动更加受到学生们的青睐．为满足学生课外活动需要，学校决定添置一批某品牌的篮球和跳绳，已知篮球每个定价为70元，跳绳每条定价为10元．现有A，B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．具体方案如下： A网店：买一个篮球送一条跳绳； B网店：篮球和跳绳都按定价的90%付款． 已知该校计划从A，B两家网店的其中一家购买篮球50个，跳绳x条（x＞50，且x为整数）． （1）求在A，B网店购买各需付款多少元．（用含x的代数式表示，结果需化简） （2）小楠说：“当x＝100时，先在A网店购买50个篮球，剩下的50条跳绳在B网店购买更省钱．”小楠说得对吗？请通过计算说明理由． 【分析】（1）根据全部在A网店购买需付款的钱数＝购买50个篮球的钱数+（x﹣50）个跳绳的钱数，全部在B网店购买需付款的钱数＝购买50个篮球的钱数×90%+x个跳绳的钱数×90%，列出代数式，然后化简即可； （2）分别根据（1）中所求代数式，计算出x＝100时，全部在A网店和B网店购买的钱数，先在A网店购买50个篮球，再在B网店买剩下的50条跳绳的钱数，通过比较，得到答案即可． 【解答】解：（1）全部在A网店购买需付款： 50×70+10（x﹣50）＝3500+10x﹣500＝（3000+10x）元， 全部在B网点购买需付款：50×70×90%+90%×＝（3150+9x）元； （2）小楠的说法正确，理由如下： 当x＝100时，全部在A网店购买需付款：3000+10×100＝3000+1000＝4000（元）， 全部在B网店购买需付款：3150+9×100＝3150+900＝4050（元）， 先在A网店购买50个篮球，再在B网店买剩下的50条跳绳需要付款为：50×70+10×90%×50＝3500+450＝3950， ∵3950＜4000＜4050， ∴当x＝100时，在A网店购买50个篮球，剩下的50条跳绳在B网店购买更省钱， ∴小楠的说法正确． 【点评】本题主要考查了列代数式和代数式求值，解题关键是理解题意，列出正确的代数式． 3．（2023秋•平桂区 期中）“十•一”黄金周期间，姑婆山国家森林公园在7天假期中每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）：单位：千人 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化 +1.4 +1.8 +0.4 ﹣0.5 ﹣0.4 +0.2 ﹣1.4 （1）若9月30日的游客人数记为a，请用含a的代数式表示10月2日的游客人数？ （2）请判断七天内游客人数最多的是哪天？ （3）若9月30日的游客人数为2千人，门票每人40元．问黄金周期间姑婆山国家森林公园的门票收入是多少元？ 【分析】（1）根据题意可以用代数式表示出10月2号的游客人数； （2）根据题意可以写出每天的游客人数，从而可以解答本题； （3）用每人20元乘人数即可． 【解答】解：（1）10月2日的游客人数为（a+3.2）千人； （2）黄金周七天期间每天人数分别表示为：10月1日（a+1.4）千人，10月2日（a+3.2）千人，10月3日（a+3.6）千人，10月4日（a+3.1）千人，10月5日（a+2.7）千人，10月6日（a+2.9）千人，10月7日（a+1.5）千人， 所以七天内游客人数最多的是10月3日； （3）（a+1.4）+（a+3.2）+（a+3.6）+（a+3.1）+（a+2.7）+（a+2.9）+（a+1.5）＝7a+18.4， ∵a＝2，门票每人40元， ∴黄金周期间姑婆山国家森林公园的门票收入是：（7a+18.4）×1000×40＝（7×2+18.4）×1000×40＝1296000（元）． 【点评】本题主要考查列代数式及正数和负数以及有理数的混合运算，掌握正数和负数的实际意义是解题的关键． 4．（2023秋•西华县期中）小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤，下面是爸爸妈妈的对话： 妈妈：“上个月萝卜的单价是a元/斤，排骨的单价比萝卜的7倍还多2元”； 爸爸：“今天，报纸上说与上个月相比，萝卜的单价上涨了25%，排骨的单价上涨了20%”； 请根据上面的对话信息回答下列问题： （1）请用含a的式子填空：上个月排骨的单价是　 元/斤，这个月萝卜的单价是　 　元/斤，排骨的单价是　　 元/斤． （2）列式表示今天买的萝卜和排骨比上月买同重量的萝卜和排骨一共多花多少元？（结果要求化成最简） （3）当a＝3.8时，求今天买的萝卜和排骨比上月买同重量的萝卜和排骨一共多花多少元？（精确到0.1） 【分析】（1）根据“上个月萝卜的单价是a元/斤，排骨的单价比萝卜的7倍还多2元”可求出上个月排骨的单价，再根据“这个月萝卜的单价比上个月上涨了25%，排骨的单价比上个月上涨了20%”可求出这个月的萝卜、排骨的单价； （2）用代数式表示上个月和这个月买3斤萝卜、2斤排骨的总价，进而求出答案； （3）计算上个月和这个月各买3斤萝卜、2斤排骨的总价的和即可． 【解答】解：（1）∵上个月萝卜的单价是a元/斤，排骨的单价比萝卜的7倍还多2元， ∴上个月排骨的单价为（7a+2）元/斤， 又∵这个月萝卜的单价比上个月上涨了25%，排骨的单价比上个月上涨了20%， ∴这个月萝卜的单价为（1+25%）a＝1.25a元/斤，排骨的单价为（1+20%）（7a+2）＝（8.4a+2.4）元/斤， 故答案为：（7a+2），1.25a，（8.4a+2.4）； （2）上个月买3斤萝卜、2斤排骨的总价为3a+2（7a+2）＝（17a+4）（元）， 这个月买3斤萝卜、2斤排骨的总价为3×1.25a+2（8.4a+2.4）＝（20.55a+4.8）（元）， （20.55a+4.8）﹣（17a+4）＝（3.55a+0.8）（元）， 答：一共多花（3.55a+0.8）元； （3）当a＝3.8时， 3.55a+0.8＝3.55×3.8+0.8＝14.29≈14.3（元）， 答：今天买的萝卜和排骨比上月买同重量的萝卜和排骨一共多花14.3元 【点评】本题考查列代数式以及代数式求值，列出正确的代数式是求值的前提． 5．（2023秋•平桂区 期中）“十•一”黄金周期间，姑婆山国家森林公园在7天假期中每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）：单位：千人 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化 +1.4 +1.8 +0.4 ﹣0.5 ﹣0.4 +0.2 ﹣1.4 （1）若9月30日的游客人数记为a，请用含a的代数式表示10月2日的游客人数？ （2）请判断七天内游客人数最多的是哪天？ （3）若9月30日的游客人数为2千人，门票每人40元．问黄金周期间姑婆山国家森林公园的门票收入是多少元？ 【分析】（1）根据题意可以用代数式表示出10月2号的游客人数； （2）根据题意可以写出每天的游客人数，从而可以解答本题； （3）用每人20元乘人数即可． 【解答】解：（1）10月2日的游客人数为（a+3.2）千人； （2）黄金周七天期间每天人数分别表示为：10月1日（a+1.4）千人，10月2日（a+3.2）千人，10月3日（a+3.6）千人，10月4日（a+3.1）千人，10月5日（a+2.7）千人，10月6日（a+2.9）千人，10月7日（a+1.5）千人， 所以七天内游客人数最多的是10月3日； （3）（a+1.4）+（a+3.2）+（a+3.6）+（a+3.1）+（a+2.7）+（a+2.9）+（a+1.5）＝7a+18.4， ∵a＝2，门票每人40元， ∴黄金周期间姑婆山国家森林公园的门票收入是：（7a+18.4）×1000×40＝（7×2+18.4）×1000×40＝1296000（元）． 【点评】本题主要考查列代数式及正数和负数以及有理数的混合运算，掌握正数和负数的实际意义是解题的关键． 6．（2024春•东坡区期末）电动车厂计划每天平均生产n辆电动车（每周工作五天），而实际产量与计划产量相比有出入，下表记录了某周五个工作日每天实际产量情况（超过计划产量记为正、少于计划产量记为负）： 日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 实际生产量 +5 ﹣1 ﹣6 +13 ﹣2 （1）用含n的整式表示本周五天生产电动车的总数； （2）该厂实行每日计件工资制，每生产一辆车可得200元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖55元；少生产一辆扣60元，当n＝50时，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ （3）若将上面第（2）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，当n＝50时，在此方式下这一周工人的工资总额与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由． 【分析】（1）根据正负数的意义分别表示出5天的生产电动车的数量，再求和即可； （2）5天的生产电动车的总数×200元+超出部分的奖励﹣罚款可得工人这一周的工资总额； （3）计算出一周的工资，然后与（2）中数据进行比较即可． 【解答】解：（1）n+5+n﹣1+n﹣6+n+13+n﹣2＝5n+9； （2）当n＝50时，5n+9＝5×50+9＝259， 200×259+55（5+13）+60（﹣1﹣6﹣2）＝52250， 所以该厂工人这一周的工资总额是52250元． （3）5+（﹣1）+（﹣6）+13+（﹣2）＝9， 259×200+9×55＝52295， ∵52250＜52295， ∴每周计件工资制一周工人的工资总额更多． 【点评】此题主要考查了由实际问题列代数式，关键是正确理解题意，掌握每日计件工资制的计算方法． 【题型二 与面积有关的问题】 1．（2023秋•南关区校级期中）如图所示，已知长方形ABCD的长为2a，宽为a，点E是边DC上任意点． （1）用含有a的代数式表示阴影部分的面积； （2）当a＝2时，求阴影部分的面积． 【分析】（1）阴影部分的面积等于长方形的面积减去空白三角形的面积； （2）将a＝2代入阴影部分面积的代数式，可得． 【解答】解：（1）阴影部分的面积＝长方形ABCD的面积﹣△ABE的面积， S△ABE2a×a＝a2，长方形ABCD的面积＝2a×a＝2a2， ∴阴影部分的面积＝2a2﹣a2＝a2； （2）当a＝2时， 阴影部分的面积＝22＝4． 【点评】本题考查了列代数式和计算，关键是可以将要求的阴影部分面积转换成长方形面积减去空白三角形面积． 2．（2024秋•市北区期中）七年级新学期，两摞规格相同准备发放的新数学课本整齐地叠放在课桌面上，小英对其高度进行了测量，请根据图中所给出的数据信息，解答下列问题： （1）每本数学课本的厚度是 　 　cm； （2）若课本数为x（本），整齐叠放在桌面上的数学课本顶部距离地面的高度可表示为 　 （用含x的整式表示）； （3）若课桌面上有48本此规格的数学课本，整齐叠放成一摞，若从中取出13本，求桌面上余下的数学课本顶部距离地面的高度． 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）根据一本课本的厚度，课本距离地面的高度就是讲台的高度加上课本的高度； （3）叠放桌上课本的数学课本数是48﹣13，即为x值，代入即可求得代数式的值． 【解答】解：（1）一本课本的高度（92.2﹣88.6）÷（6﹣3）＝1.2（cm）． 故答案为：1.2． （2）讲台高度为：88.6﹣1.2×3＝85（cm）， ∴整齐叠放在桌面上的数学课本距离地面的高度为（85+1.2x）cm． 故答案为：85+1.2x； （3）当x＝48﹣13＝35时， 原式85+1.2x＝85+1.2×35＝127（cm） 答：余下的数学课本距离地面的高度127cm． 【点评】本题主要考查列代数式，代数式求值，弄清高度就是数学课本的高度与讲台的高度之和是解题关键． 3．（2023秋•和平区期中）如图所示，小明房间窗户高为a米，宽为b米，窗户上的装饰物由三个半圆形布艺组成（半径都相等）． （1）若图中窗框（图中所有的黑色线段）都是由铝合金做成，那么需要铝合金 　 　米； （2）用代数式表示窗户中能射进阳光部分的面积 　 米2（窗框面积忽略不计，结果保留π）； （3）若a＝3米，b＝2米，求窗户中能射进阳光部分的面积． 【分析】（1）依题意可知：窗户上面三个半圆的半径为，然后根据图形用代数式表示出图中所有黑色线段的和即可； （2）根据“矩形的面积减去三个半圆的面积”列出代数式即可； （3）将a＝3米，b＝2米代入（2）中的代数式求出代数式的值即可． 【解答】解：（1）依题意得：窗户上面三个半圆的半径为， ∴需要的铝合金为：3a+4b+3（2π）＝（3a+4b）米； 故答案为：（3a+4b）． （2）窗户中能射进阳光部分的面积为：ab﹣3（ab）米2； 故答案为：（ab）． （3）当a＝3米，b＝2米， 窗户中能射进阳光部分的面积为：ab3×2（6）米2． 【点评】此题主要考查了列代数式，求代数式的值，理解题意，正确地列出代数式，熟练掌握求代数式值的方法与技巧是解答此题的关键． 4．（2024秋•思明区校级期中）书籍是人类进步的阶梯!为爱护书本一般都将书本用封皮包好，现有一本数学课本如图1所示，其长为26cm、宽为18.5cm、厚为1cm．小军用一张长方形纸包好了这本数学书，他将封面和封底各折进去x cm，封皮展开后如图所示，求： （1）小军所用的这张包书纸的长和宽各是多少？（用含x的代数式表示） （2）当封面和封底各折进去2cm时，请帮小军计算一下他所用的包书纸的面积是多少cm2？ 【分析】（1）根据封皮的展开图表示出长和宽即可得到答案； （2）将x＝2cm代入即可求解． 【解答】解：（1）包书纸的长是2×18.5+1+2x＝37+1+2x＝（38+2x）cm， 包书纸的宽是（26+2x）cm． 答：小军所用的这张包书纸的长是（38+2x）cm，宽是（26+2x）cm． （2）当x＝2cm时， （38+2x）（26+2x） ＝（38+4）×（26+4） ＝42×30 ＝1260（cm2）． 答：他所用的包书纸的面积是1260cm2． 【点评】本题考查了列代数式，解题的关键是注意计算的准确性． 5．（2024秋•思明区校级期中）为响应国家“乡村振兴”的号召，建设绿色生态农村，王大爷承包了一片土地用于种植某品种草莓．如图所示是种植草莓的土地平面示意图（单位：米）． （1）用含a的式子表示出这片土地的总面积； （2）由于草莓品种和各个地块土壤条件存在差异，地块②平均每平方米可种植2株草莓，剩下地块平均每平方米可种植3株草莓，则当a＝5时，王大爷承包的土地一共可以种植多少株草莓？ 【分析】（1）土地总面积＝长方形的总面积﹣左下角长方形的面积，数据计算即可； （2）一共可以种植的草莓株数＝地块②的面积×2+（地块①的面积+地块③的面积）×3，代入数据计算即可． 【解答】解：（1）4a×（3+3）﹣（4a﹣a﹣2a）×3 ＝4a×6﹣a×3 ＝24a﹣3a ＝21a（平方米）； 答：这片土地的总面积是21a平方米． （2）2a×（3+3）×2+[21a﹣2a×（3+3）]×3 ＝2a×6×2+9a×3 ＝24a+27a ＝51a（株）， 当a＝5时， 51×5＝255（株）． 答：王大爷承包的土地一共可以种植255株草莓． 【点评】本题考查了列代数式、代数式求值，解决本题的关键利用长方形的面积公式计算． 6．（2024秋•如东县期中）如图1所示为对联的一种装裱形式，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是3：2，左、右边的宽相等，天头长与地头长的和是左、右边宽和的5倍．设左、右边的宽均为a厘米． （1）用含a的代数式表示装裱后对联的天头长为　 　厘米，地头长为　 　厘米； （2）如图2，现在要以上面的形式装裱一幅长为100厘米，宽为27厘米的对联．若a＝2，求装裱后的对联的长与宽的差． 【分析】（1）求出天头长与地头长的和，根据天头长与地头长的比是3：2，即可求解； （2）分别求出装裱后的长与宽即可求解． 【解答】解：设左、右边的宽均为a厘米，则左、右边宽的和为2a厘米．天头长与地头长的和为5×2a＝10a厘米． ∵天头长与地头长的比是3：2， ∴装裱后对联的天头长为10a6a（厘米），地头长为10a﹣6a＝4a（厘米）， 故答案为：6a，4a； （2）装裱后对联的长为100+10a＝100+10×2＝120（厘米）， 装裱后对联的长为27+2a＝27+2×2＝31（厘米）， 装裱后的对联的长与宽的差为120﹣31＝89（厘米）， 答：装裱后的对联的长与宽的差为89厘米． 【点评】本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键． 【题型三 与行程有关的问题】 1．（2023秋•海门市期末）甲、乙两船分别从A，B码头同时出发相向而行，两船在静水中的速度都是a km/h，水流速度是b km/h．已知甲船从A码头到B码头顺流而行，用了2h；乙船从B码头到A码头逆流而行，用了2.5小时． （1）A，B两码头相距 　 　km；（用含有a，b的式子表示） （2）1.5h后甲船比乙船多航行多少千米？（用含有b的式子表示） （3）若两船相距50km，且b＝5时，甲船行驶的时间是多少小时？ 【分析】（1）根据题意，可以用含a、b的代数式表示出甲船或乙船航行的路程，本题得以解决； （2）根据题意，可以用含a、b的代数式表示出甲船比乙船多航行的路程，即可求解； （3）分相遇前，相遇后两种情况求解即可． 【解答】解：（1）根据题意得，A，B两码头相距2（a+b）km或2.5（a﹣b）km， 故答案为：2（a+b）或2.5（a﹣b）； （2）根据题意得，1.5（a+b）﹣1.5（a﹣b）＝3b， ∴1.5h后甲船比乙船多航行3b千米； （3）∵2（a+b）＝2.5（a﹣b）， ∴a＝9b， ∴b＝5时，a＝45， ∴甲船从A码头到B码头顺流而行的速度为45+5＝50（km/h）， 乙船从B码头到A码头逆流而行的速度为45﹣5＝40（km/h）， A，B两码头相距2×50＝100（km）， ①相遇前两船相距50km，由题意得： （100﹣50）÷（50+40）（小时）； 相遇后两船相距50km，由题意得： （100+50）÷（50+40）（小时）； 答：甲船行驶的时间是小时或小时． 【点评】此题考查了列代数式，一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到等量关系． 2．（2023秋•淮南期中）两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，水流速度是a km/h． （1）若两船在静水中的速度都是50km/h，求2h后甲船比乙船多航行多少千米？ （2）一艘小快艇送游客在甲、乙两个码头间往返．其中去程的时间是回程的时间3倍，则小快艇在静水中的速度m与水流速度a的关系是 　 　． 【分析】（1）根据顺水速度＝50+a，逆水速度＝50﹣a，再根据路程＝速度×时间，即可计算出2h后甲船比乙船多航行多少千米； （2）设回程用的时间为x小时，则去程用的时间为3x小时，再根据去程和回程的路程是一样的，即可列出相应的方程，从而可以求得m与a的关系． 【解答】解：（1）由题意可得， 2（50+a）﹣2（50﹣a） ＝100+2a﹣100+2a ＝4a（千米）， 答：2h后甲船比乙船多航行4a千米； （2）由题意可得，去程为逆水航行，回程为顺水航行， 设回程用的时间为x小时，则去程用的时间为3x小时， 3x（m﹣a）＝x（m+a）， 解得m＝2a， 即小快艇在静水中的速度m与水流速度a的关系是m＝2a， 故答案为：m＝2a． 【点评】本题考查一元一次方程的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程和代数式． 3．（2023秋•安新县期末）举世瞩目的青藏铁路现已通车，实现了几代中国人梦寐以求的愿望，它是世界上海拔最高，线路最长的高原铁路．青藏铁路线上，在西宁、格尔木到拉萨（如图）之间有一段很长的冻土地段，列车在冻土地段的行驶速度是100千米/小时，在非冻土地段的行驶速度是120千米/小时． （1）列车在冻土地段行驶3小时的路程为 　 　千米，行驶a小时的路程为 　 　千米（用含a的代数式表示）； （2）在西宁到拉萨路段，列车通过非冻土地段所需时间是通过冻土地段所需时间的2.1倍，如果通过冻土地段需要a小时，西宁到拉萨路这段铁路的长为多少千米？ （3）在格尔木到拉萨路段，列车通过冻土地段比通过非冻土地段多用0.5小时，如果通过冻土地段需要b小时，在（2）的条件下，若取a＝5，b＝4，求西宁到格尔木这段铁路长为多少千米？ 【分析】（1）根据路程＝时间×速度即可列出式子； （2）根据路程＝时间×速度即可列出式子； （3）算出格尔木到拉萨的这段铁路长，西宁到拉萨的这段铁路长即可知，代入a＝5，b＝4求解即可． 【解答】解：（1）100×3＝300（千米），行驶a小时的路程为100a（千米）． 故答案为：300，100a． （2）西宁到拉萨这段铁路的长为：100a+120×2.1a＝352a（千米）； （3）格尔木到拉萨这段铁路的长为：100b+120×（b﹣0.5）＝（220b﹣60）（千米）， 西宁到格尔木这段铁路的长为：352a﹣（220b﹣60）＝（352a﹣220b+60）（千米）， 因为a＝5，b＝4． 原式＝352×5﹣220×4+60 ＝940（千米）． 即西宁到格尔木这段铁路的长约为940千米． 【点评】此题主要考查了列代数式，正确得出用路程与速度、时间之间关系是解题关键． 【题型四 与数字有关的问题】 1．（2024春•郸城县月考）一个两位数的个位数字为a，十位数字比个位数字的2倍小3． （1）用含a的式子表示这个两位数； （2）如果该两位数个位数字与十位数字之和为6，求这个两位数． 【分析】（1）根据题意可得出十位数字为2a﹣3，从而得出这个两位数为21a﹣30； （2）根据题意可列出关于a的一元一次方程，解出a的值，即得出这个两位数． 【解答】解：（1）∵该两位数的十位数字比个位数字的2倍小3， ∴十位数字为2a﹣3， ∴这个两位数为10（2a﹣3）+a＝21a﹣30； （2）∵该两位数个位数字与十位数字之和为6， ∴2a﹣3+a＝6， 解得：a＝3， ∴这个两位数为21×3﹣30＝33． 【点评】本题考查列代数式，一元一次方程的应用．理解题意，正确列出代数式和等式是解题关键． 2．（2023秋•洪山区期中）（1）一个两位数十位上的数字是a，个位上的数字是b．把这个两位数的十位上的数与个位上的数交换位置，得到一个新的两位数．计算原数与新数的和，这个和能被11整除吗？请说明理由； （2）一个四位数的千位与个位的数字均为m，百位与十位的数字均为n，这个四位数能被11整除吗？请说明理由． 【分析】（1）根据题意表示出两个两位数再求和，再判断能否被11整除即可； （2）表示出这个四位数，再进行整理即可判断． 【解答】解：（1）其和能被11整除，理由如下： 原数与新数的和为：10a+b+10b+a ＝11a+11b ＝11（a+b）， 则其和能被11整除； （2）这个中位数能被11整除，理由如下： 这个四位数为： 1000m+100n+10n+m ＝1001m+110n ＝11（91m+10n）， 则这个中位数能被11整除． 【点评】本题主要考查整式的加减，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 3．（2023秋•富锦市校级期中）有一个两位数，十位上的数字为a，个位上的数字是十位上数字的，则： （1）这个两位数可以用a表示为 　 　； （2）如果将这个两位数的十位上的数字与个位上的数字对调，那么新两位数表示为 　 　； （3）请用含a的式子表示新的两位数与原来的两位数的差？ 【分析】（1）根据题意，可以用含a的代数式表示出这个两位数； （2）根据题意可以写出对调后的两位数； （3）根据（1）和（2）的结果，用（2）中的结果和（1）中的结果作差即可． 【解答】解：（1）∵一个两位数，它的十位上的数字是a，个位上的数字是十位上数字的， ∴个位上的数字是， ∴这个两位数是， 故答案为：； （2）对调后，新两位数的十位上的数字是，个位上的数字是a， ∴新两位数表示为10+a， 故答案为：； （3）由题意得， ． 【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 【题型五 分段计费问题】 1．（2023秋•长春期末）为鼓励人们节约用水，某地实行阶梯式计量水价（如下表所示）： 级别 月用水量 水价 第1级 20吨以下（含20吨） 1.6元/吨 第2级 20吨～30吨（含30吨） 超过20吨部分按2.4元/吨 第3级 30吨以上 超过30吨部分按4.8元/吨 （1）如果某用户某月用水量为10吨，请计算该月需交水费多少元？ （2）如果某用户某月用水量为27吨，请计算该月需交水费多少元？ （3）如果某用户某月用水量为m吨（20＜m＜30），则该月需交水费 　 　元（用含m的代数式表示）． （4）如果某用户某月用水量为m吨（m＞30），则该月需交水费 　 　元（用含m的代数式表示）． 【分析】（1）1.6×10可得； （2）1.6×20+（27﹣20）×2.4可得； （3）1.6×20+（m﹣20）×2.4可得； （4）1.6×20+10×2.4+（m﹣30）×4.8可得． 【解答】解：（1）1.6×10＝16（元）， 答：该月需交水费16元； （2）1.6×20+（27﹣20）×2.4＝48.8 （元）， 答：该月需交水费48.8元； （3）1.6×20+（m﹣20）×2.4＝（2.4m﹣16）（元）， 故答案为：（2.4m﹣16）； （4）1.6×20+10×2.4+（m﹣30）×4.8＝（4.8m﹣88）（元）， 故答案为：（4.8m﹣88）． 【点评】本题考查了列代数式，关键是根据题意正确列出代数式． 2．（2023秋•济南期末）阅读与思考 滴滴打车是目前国内最受欢迎的网约车平台之一，为了给用户提供便捷、安全的出行服务，滴滴打车制定了一套收费规则：1．起步价：滴滴打车的起步价为10元，乘客预约用车、取消订单等情况都会收取起步价．2．里程费：起步里程3公里，超过3公里的部分，将按1.5元/公里的标准收取里程费用．3．时长费：起步时间8分钟，超过8分钟的部分，将按0.25元/分钟的标准收取时长费用． 注：车费由里程费、时长费、起步价构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算．任务： （1）若小爱同学乘坐滴滴打车，行车里程为2.8公里，行车时间为5分钟，需付车费 　 元． （2）若小爱同学乘坐滴滴打车，行车里程为a（a＞3）公里，行车时间为b（b＞8）分钟，则应付车费多少元？（列代数式、化简） （3）若小爱同学从家出发，乘坐滴滴打车到杭州体育馆观看亚运会，行车里程为18公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元？ 【分析】（1）根据行车里程没有超过3公里，行车时间没有超过8分钟，判断车费即可； （2）先根据行车里程超过3公里得出里程费，再根据行车时间超过了8分钟得出时长费，然后根据车费的构成解答即可； （3）将数值代入（2）计算即可． 【解答】解：（1）小爱同学需付车费为10元． 故答案为：10； （2）里程费为（a﹣3）×1.5元，时长费为（b﹣8）×0.25元， 所以应付车费为10+1.5（a﹣3）+0.25（b﹣8）＝10+1.5a﹣4.5+0.25b﹣2＝（3.5+1.5a+0.25b）元； （3）当a＝18，b＝20， 3.5+1.5×18+0.25×20＝35.5． 需付车费35.5元． 【点评】本题主要考查了列代数式，代数式求值，列出代数式是关键． 3．（2023秋•泸县期末）某市为了鼓励市民节约用电，2023年实行阶梯电价制，“一户一表”的居民用电具体收费标准如下： 一户居民一个月用电量（单位：度） 电价（单位：元/度） 第1档 不超过180度的部分 0.5 第2档 超过180度但不超过280度的部分 0.7 第3档 超过280度的部分 0.8 （1）若某户12月份用电量为220度，该户应交电费多少元？ （2）若某户12月份用电量为x度，请用含x的代数式表示该户12月份应交电费多少元． 【分析】（1）根据该户居民的用水量，发现15＜20＜30，再结合题中所给相应阶梯的收费标准即可解决问题． （2）对x的取值范围进行分类讨论即可解决问题． 【解答】解：（1）由题知， 因为15＜20＜30， 所以该户居民应付水费为：15×4+5×（20﹣15）＝85（元）． 故答案为：85． （2）当0≤x≤15时， 该用户该月应付的水费为：4x元； 当15＜x≤30时， 该用户该月应付的水费为：15×4+5（x﹣15）＝5x﹣15（元）； 当x＞30时， 该用户该月应付的水费为：15×4+（30﹣15）×5+（x﹣30）×8＝8x﹣105（元）． 【点评】本题主要考查了列代数式及有理数的混合运算，理解题中所给收费标准及对用水量进行正确的分类讨论是解题的关键． 4．（2023秋•乐亭县期末）某校组织七年级学生到距离学校10km的课外实践基地开展研学活动，圆圆同学因事没能和同学乘坐校车一起出发，于是圆圆同学准备在校门口乘出租车去课外实践基地，已知出租车的收费标准如下表： 里程（km） 收费（元） 3km以下（含3km） 5.0 3km以上（每增加1km） 1.8 （1）当出租车行驶里程为2.8km时需付车费 　 　元． （2）当出租车行驶的里程为x km（x＞3）时，需付车费多少元？（用含x的式子表示） （3）圆圆从学校乘出租车到课外实践基地需付车费多少元？ 【分析】（1）根据表格中的数据，可以得到当出租车行驶里程为2.8km时需付的车费； （2）根据表格中的数据，可以用x的代数式表示出需要付的车费； （3）将x＝10代入（2）中的结果，计算即可． 【解答】解：（1）由表格可得， 当出租车行驶里程为2.8km时需付车费5元， 故答案为：5； （2）由表格可得， 当出租车行驶的里程为x km（x＞3）时，需付车费：5+（x﹣3）×1.8＝（1.8x﹣0.4）元； （3）当x＝10时， 1.8x﹣0.4 ＝1.8×10﹣0.4 ＝18﹣0.4 ＝17.6（元）， 答：圆圆从学校乘出租车到课外实践基地需付车费17.6元． 【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 5．（2023秋•东莞市校级期中）东莞市为了节约用水，对自来的收费标准作如下规定：每月每户用水量不超过6吨的部分，按2元/吨收费；超过6吨的部分按4元/吨收费．（水费按月份结算） （1）填空：若小明家2月份用水5吨，应交水费 　 　元？ （2）若小明家3月份用水a吨（其中a＞6），则应收水费多少元？（用含a的代数式表示，并化简） （3）若小明家4、5两个月共用水15吨（5月份用水量超过了4月份），设4月份用水x吨，求小明家4、5两个月共交水费多少元．（用含x代数式表示，并化简） 【分析】（1）按收费标准应交水费＝用水吨数×2即可得出结论； （2）按收费标准应交水费＝6×2+4×（a﹣6）计算即可； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①4月份用水不超过6吨；②4月份用水超过6吨，按收费标准分别计算两个月的交费额，再相加即可得出结论． 【解答】解：（1）∵小明家2月份用水5吨＜6吨， ∴每吨按2元/吨收费， ∴小明家2月份应交水费：5×2＝10（元）． 故答案为：10． （2）∵小明家3月份用水a吨（其中a＞6）， ∴用水量不超过6吨的部分，按2元/吨收费；超过6吨的部分按4元/吨收费， ∴小明家3月份应交水费：6×2+（a﹣6）×4＝（4a﹣12）元． （3）∵小明家4、5两个月共用水15吨（5月份用水量超过了4月份）， ∴小明家5月份用水超过6吨． ①小明家4月份用水不超过6吨时， 小明家4月份应交水费：2x（元）； 小明家5月份应交水费：6×2+4×（15﹣x﹣6）＝（48﹣4x）元， ∴小明家4、5两个月共交水费：2x+48﹣4x＝（48﹣2x）元； ②明家4月份用水超过6吨时， 小明家4月份应交水费：6×2+4（x﹣6）＝（4x﹣12）元； 小明家5月份应交水费：6×2+4（15﹣x﹣6）＝（48﹣4x）元， ∴小明家4、5两个月共交水费：（4x﹣12）+（48﹣4x）＝36元． 综上，小明家4、5两个月共交水费（48﹣2x）元或32 元． 【点评】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，有理数的混合运算，利用分类讨论的思想解答小明家4、5两个月共交水费情况是解题的关键． 6．（2024秋•息县校级期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，下表是该市自来水收费价格的价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/米3 超出6立方米但不超出10立方米的部分 4元/米3 超出10立方米的部分 8元/米3 注：水费按月结算 （1）若某户居民2月份用水4立方米，则应交水费 　 　元． （2）若某户居民3月份用水a立方米（其中6＜a＜10），求该用户3月份应交水费．（用含a的整式表示，结果要化成最简形式） （3）若某户居民4，5月份共用水15立方米（5月份用水量多于4月份），设4月份用水x立方米，求该户居民4，5月份共交水费（用含x的整式表示，结果要化成最简形式）． 【分析】（1）根据题意，不超出6立方米的部分，每立方米2元，用单价乘以用水量计算即可； （2）根据题意，6立方米的部分的费用+超出的（a﹣6）立方米的费用＝3月份应交水费，列式计算即可； （3）分3种情况：当0≤x≤5时，当5＜x≤6时，当6＜x＜7.5时，分别列式计算即可． 【解答】解：（1）根据题意，得2×4＝8（元）； 答：该用户2月份应交水费8元； 故答案为：8． （2）∵6＜a＜10 ∴4（a﹣6）+6×2＝（4a﹣12）（元）， 答：该用户3月份应交水费（4a﹣12）元； （3）∵4月份用水x立方米， ∴5月份用水（15﹣x）立方米， ∵5月份用水量多于4月份， ∴15﹣x＞x≥0， 解得0≤x＜7.5， 当0≤x≤5时，则该户居民4，5月份共交水费为： 2x+2×6+4×4+8（15﹣x﹣10） ＝2x+12+16+40﹣8x ＝（68﹣6x）（元）； 当5＜x≤6时， 2x+2×6+4（15﹣x﹣6） ＝2x+12+36﹣4x ＝（48﹣2x）（元）； 当6＜x＜7.5时， 2×6+4（x﹣6）+2×6+4（15﹣x﹣6） ＝12+4x﹣24+12+36﹣4x ＝36（元）． 答：该户居民4，5月份共交水费为（68﹣6x）元或（48﹣2x）元或36元． 【点评】本题考查有理数混合运算，列代数式，整式加减混合运算，根据题意列出算式是解题关键，注意分类讨论，防止漏解． 【题型六 方案选择问题】 1．（2023秋•平山县期中）黄老师要在周五开设羽毛球社团，她计划购买16支羽毛球拍和x盒羽毛球（x＞16）．黄老师发现在学校附近有甲、乙两家商店都在出售相同品牌的羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每支售价150元，．羽毛球每盒售价40元．经过老师的洽谈，甲商店给出每买一支羽毛球拍送一盒羽毛球的优惠；乙商店给出羽毛球拍和羽毛球全部八折的优惠． （1）黄老师购买球拍和羽毛球，在甲、乙两家商店付款分别为y甲、y乙元． 直接写出：y甲＝　 　元，y乙＝　 　元（用含x的式子表示）： （2）当x＝25时，请问黄老师购买这些球拍和羽毛球，在哪个商店更合算？请说明理由． 【分析】（1）读懂题意，根据甲、乙两商店给出的优惠方式列代数式，化简代数式； （2）由（1）得到的代数式，分别代入数据求值． 【解答】解：（1）根据题意得： y甲＝16×150+（x﹣16）×40＝（1760+40x）元； y乙＝（16×150+40x）×80%＝（1920+32x）元； 故答案为：1760+40x，1920+32x； （2）x＝25时， y甲＝1760+40x＝1760+40×25＝2760（元）； y乙＝1920+32x＝1920+32×25＝2720（元）； ∵2760＞2720， ∴在乙商店买更合算． 【点评】本题考查了列代数式，代数式求值，解题的关键是读懂题意，根据题意列出正确的代数式． 2．（2024秋•山亭区期中）某学校准备在网上订购一批某品牌羽毛球拍和羽毛球，在查阅网店后发现该品牌羽毛球拍每副定价100元，羽毛球每个定价5元．现有甲，乙两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案： 甲网店：买1副羽毛球拍送3个羽毛球； 乙网店：羽毛球拍与羽毛球都按定价的90%付款． 已知学校要购买羽毛球拍20副，羽毛球x（x＞60）． （1）若在甲网店购买，需付款 　 　元；若在乙网店购买，需付款 　 　元；（用含x的式子表示） （2）若x＝100时，请你通过计算，说明此时在哪家网店购买较为合算？ （3）若x＝150时，你能给出一种最省钱的购买方案吗？请说明理由． 【分析】（1）根据题目中优惠方案，可得答案； （2）结合（1），求出当x＝100时，两个网店所需付款，再比较即可得出答案； （3）首先求得当x＝150时，两个网店所需付款，再计算在甲网店买20副球拍60个羽毛球，在乙网店买90个羽毛球所需费用，比较即可获得答案． 【解答】解：（1）甲网店：买1副羽毛球拍送3个羽毛球， ∴若在甲网店购买，需付款20×100+5（x﹣60）＝（5x+1700）元， 乙网店：羽毛球拍与羽毛球都按定价的90%付款， ∴若在乙网店购买，需付款90%（20×100+5x）＝（4.5x+1800）元， 故答案为：（5x+1700），（4.5x+1800）； （2）将x＝100分别代入甲、乙网店的购买方案所需付款的代数式， 在甲网店购买，需付款：5×100+1700＝2200（元）， 在乙网店购买，需付款：4.5×100+1800＝2250（元）， 2200＜2250， ∴此时在甲网店购买比较划算； （3）将x＝150分别代入甲、乙网店的购买方案所需付款的代数式， 甲：5×150+1700＝2450（元）， 乙：4.5×150+1800＝2475（元）， 若在甲网店买20副球拍赠送60个羽毛球，在乙网店买90个羽毛球， 此时需付款：100×20+5×90×90%＝2405元， ∵2405＜2450＜2475， 最省钱的购买方案为：在甲网店买20副球拍赠送60个羽毛球，在乙网店买90个羽毛球． 【点评】本题考查了列代数式和计算求值，根据题意用含x的代数式表示出两个店家的付款情况，是解决本题的关键． 3．（2023秋•咸宁期中）某校为适应新的中考要求，决定为体育组添置一批体育器材．学校准备在网上订购一批某品牌足球和跳绳，在查阅天猫网店后发现足球每个定价150元，跳绳每条定价30元．现有A，B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．A网店：买一个足球送一条跳绳；B网店：足球和跳绳都按定价的90%付款．已知该学校要购买足球40个，跳绳x条（x＞40）． （1）若在A网店购买，需付款　 　元（用含x的代数式表示）； 若在B网店购买，需付款　 　元（用含x的代数式表示）． （2）当x＝100时，通过计算说明学校在哪家网店购买较为合算？ （3）当x＝100时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算需付款多少元？ 【分析】（1）根据A、B两个网店的优惠方案所提供的数量关系直接列代数式化简即可； （2）把x＝100代入两个代数式计算，得出结论； （3）先到A网店买40个足球，获赠40条跳绳，再到B网店购买100﹣40＝60条跳绳，更为合算． 【解答】解：（1）由A网店的优惠方案得， 买40个足球，x条跳绳（x＞40）的总费用为：150×40+30（x﹣40）＝（30x+4800）（元）， 由B网店的优惠方案得， 买40个足球，x条跳绳（x＞40）的总费用为：150×90%×40+30×90%x＝（27x+5400）（元）， 故答案为：30x+4800，27x+5400； （2）当x＝100时， 30x+4800＝30×100+4800＝7800（元）， 27x+5400＝27×100+5400＝8100（元）， ∵7800＜8100， ∴到A网店购买比较合算； （3）先到A网店买40个足球，获赠40条跳绳， 再到B网店购买100﹣40＝60条跳绳所用的总费用为： 150×40+30×90%×（100﹣40） ＝6000+1620 ＝7620（元）， ∵7620＜7800＜8100， ∴先到A网店买40个足球，再到B网店购买60条跳绳更为合算． 【点评】本题考查列代数式，代数式求值，根据数量关系列出代数式是正确计算的前提，理解各个网店的优惠方案是解决问题的关键． 4．（2024秋•二道区校级期中）某大型商场销售一种茶具和茶碗，茶具每套定价180元，茶碗每只定价20元．“双十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供优惠方案如下： 方案一：买一套茶具送一只茶碗； 方案二：茶具和茶碗按定价的九五折付款． 现在某客户要到商场购买茶具30套，茶碗x只（x＞30）． （1）若该客户按方案一购买，需付款　 　元（用含x的式子表示）；若该客户按方案二购买，需付款　 　元（用含x的式子表示）； （2）若x＝40时，通过计算说明此时按哪种方案购买较为便宜？ （3）当x＝40，能否找到一种更为省钱的方案，如果能，写出你的方案，并计算出此方案应付钱数；如果不能，请说明理由． 【分析】（1）由题意分别求出两种方案购买的费用即可； （2）将x＝40分别代入（1）中所求的代数式，再比较哪个更便宜即可； （3）两种方案一起购买，按方案一购买30套茶具和30只茶碗，按方案二购买剩余10只茶碗，由此计算即可求解． 【解答】解：（1）若客户按方案一购买，需要付款：30×180+20（x﹣30）＝（20x+4800）元； 若客户按方案二购买，需要付款：30×180×0.95+20x×0.95＝（19x+5130）元． 故答案为：（20x+4800），（19x+5130）； （2）当x＝40时， 方案一：20x+4800＝20×40+4800＝800+4800＝5600（元）， 方案二：19x+5130＝19×40+5130＝760+5130＝5890（元）， 因为5890＞5600， 所以方案一较为便宜； （3）能，可以有更合适的购买方式． 按方案一购买30套茶具和30只茶碗，需要180×30＝5400（元）， 按方案二购买剩余10只茶碗，需要10×20×0.95＝190（元）， 共计付款：5400+190＝5590（元）， 故此方案应付钱数为5590元． 【点评】本题考查了列代数式，代数式求值，理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，并能准确的对代数式进行求值是解题的关键． 5．（2023秋•花都区校级期中）运动会期间，各班都如火如荼地准备着入场式，初一15班计划购买若干裙子和帽子作为演出服装，经调查发现某淘宝店铺每条裙子卖90元，每顶帽子卖12元，给出的优惠方案如下：方案一，以原价购买，购买一条裙子赠送两顶帽子；方案二，总价打8折．若该班级计划购买a条裙子和b顶帽子（b≥2a）． （1）请用含a、b的代数式分别表示出两种方案的实际费用； （2）当a＝10，b＝54时，哪种方案更便宜呢？请通过计算说明． （3）当a＝12时，方案一一定更便宜吗？如果是，说明理由；如果不是，请求出当方案一更便宜时b应满足的最大值． 【分析】（1）方案一：a条裙子的总价+（b﹣2a）顶帽子的总价＝实际总费用，方案二：（a条裙子的总价+b顶帽子的总价）×0.8； （2）根据（1）化简后的代数式把a＝10，b＝54，分别代入求值后进行比较； （3）把a＝12分别代入（1）化简后的代数式，求它们的差，再根据方案一更便宜列不等式，根据实际问题就出b应满足的最大值． 【解答】解：根据题意得， （1）方案一：90a+12（b﹣2a） ＝90a+12b﹣24a ＝（66a+12b）（元）， 方案二：0.8（90a+12b） ＝（72a+9.6b）（元）； （2）当a＝10，b＝54时， 方案一： 66a+12b ＝66×10+12×54 ＝660+648 ＝1308（元）， 方案二： 72a+9.6b ＝72×10+9.6×54 ＝1238.4（元）， ∵1308＞1238.4， ∴方案二便宜； （3）当a＝12 方案一：（792+12b）（元）， 方案二：（864+9.6b）（元） 864+9.6b﹣（792+12b） ＝72﹣2.4b（元） ∵b的值不确定， ∴72﹣2.4b无法确定它的大小， ∴当a＝12时，方案一不一定更便宜， ∴当方案一更便宜时， ∴72﹣2.4b＞0， ∴b＜30， ∵b为正整数， ∴b应满足的最大值为29， ∴b＝29时，方案一便宜． 【点评】本题考查了代数式的求值、列代数式，掌握用数值代替代数式里的字母进行计算，根据已知条件找到关系式是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点11 整式加减的实际应用问题 【题型一 与销售有关的问题】 1．（2023秋•浑南区期末）某菜农的蔬菜基地今年收获大白菜24000千克，在收获前期共投入9000元的成本，大白菜的销售有两种方式：方式一，直接在蔬菜基地销售；方式二，在市场上销售，但平均每天只出售2000千克，且每天需人工费300元，每天还需缴纳管理费等其它费用100元．设直接在蔬菜基地销售每千克为m元，在市场上销售每千克为n元，假设白菜全部销售出去没有损耗． （1）分别求出两种方式销售大白菜的纯收入（用含m，n的代数式表示）； （2）菜农了解到近期销售行情是：在蔬菜基地销售每千克为2元，在市场上销售每千克为2.5元，你建议菜农选择哪种方式销售可以获利较多？通过计算说明你的理由． 2．（2023秋•巧家县期末）“双减”政策减轻了学生的课业负担，学校里的社团活动更加受到学生们的青睐．为满足学生课外活动需要，学校决定添置一批某品牌的篮球和跳绳，已知篮球每个定价为70元，跳绳每条定价为10元．现有A，B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．具体方案如下： A网店：买一个篮球送一条跳绳； B网店：篮球和跳绳都按定价的90%付款． 已知该校计划从A，B两家网店的其中一家购买篮球50个，跳绳x条（x＞50，且x为整数）． （1）求在A，B网店购买各需付款多少元．（用含x的代数式表示，结果需化简） （2）小楠说：“当x＝100时，先在A网店购买50个篮球，剩下的50条跳绳在B网店购买更省钱．”小楠说得对吗？请通过计算说明理由． 3．（2023秋•平桂区 期中）“十•一”黄金周期间，姑婆山国家森林公园在7天假期中每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）：单位：千人 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化 +1.4 +1.8 +0.4 ﹣0.5 ﹣0.4 +0.2 ﹣1.4 （1）若9月30日的游客人数记为a，请用含a的代数式表示10月2日的游客人数？ （2）请判断七天内游客人数最多的是哪天？ （3）若9月30日的游客人数为2千人，门票每人40元．问黄金周期间姑婆山国家森林公园的门票收入是多少元？ 4．（2023秋•西华县期中）小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤，下面是爸爸妈妈的对话： 妈妈：“上个月萝卜的单价是a元/斤，排骨的单价比萝卜的7倍还多2元”； 爸爸：“今天，报纸上说与上个月相比，萝卜的单价上涨了25%，排骨的单价上涨了20%”； 请根据上面的对话信息回答下列问题： （1）请用含a的式子填空：上个月排骨的单价是　 元/斤，这个月萝卜的单价是　 　元/斤，排骨的单价是　　 元/斤． （2）列式表示今天买的萝卜和排骨比上月买同重量的萝卜和排骨一共多花多少元？（结果要求化成最简） （3）当a＝3.8时，求今天买的萝卜和排骨比上月买同重量的萝卜和排骨一共多花多少元？（精确到0.1） 5．（2023秋•平桂区 期中）“十•一”黄金周期间，姑婆山国家森林公园在7天假期中每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）：单位：千人 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化 +1.4 +1.8 +0.4 ﹣0.5 ﹣0.4 +0.2 ﹣1.4 （1）若9月30日的游客人数记为a，请用含a的代数式表示10月2日的游客人数？ （2）请判断七天内游客人数最多的是哪天？ （3）若9月30日的游客人数为2千人，门票每人40元．问黄金周期间姑婆山国家森林公园的门票收入是多少元？ 6．（2024春•东坡区期末）电动车厂计划每天平均生产n辆电动车（每周工作五天），而实际产量与计划产量相比有出入，下表记录了某周五个工作日每天实际产量情况（超过计划产量记为正、少于计划产量记为负）： 日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 实际生产量 +5 ﹣1 ﹣6 +13 ﹣2 （1）用含n的整式表示本周五天生产电动车的总数； （2）该厂实行每日计件工资制，每生产一辆车可得200元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖55元；少生产一辆扣60元，当n＝50时，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ （3）若将上面第（2）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，当n＝50时，在此方式下这一周工人的工资总额与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由． 【题型二 与面积有关的问题】 1．（2023秋•南关区校级期中）如图所示，已知长方形ABCD的长为2a，宽为a，点E是边DC上任意点． （1）用含有a的代数式表示阴影部分的面积； （2）当a＝2时，求阴影部分的面积． 2．（2024秋•市北区期中）七年级新学期，两摞规格相同准备发放的新数学课本整齐地叠放在课桌面上，小英对其高度进行了测量，请根据图中所给出的数据信息，解答下列问题： （1）每本数学课本的厚度是 　 　cm； （2）若课本数为x（本），整齐叠放在桌面上的数学课本顶部距离地面的高度可表示为 　 （用含x的整式表示）； （3）若课桌面上有48本此规格的数学课本，整齐叠放成一摞，若从中取出13本，求桌面上余下的数学课本顶部距离地面的高度． 3．（2023秋•和平区期中）如图所示，小明房间窗户高为a米，宽为b米，窗户上的装饰物由三个半圆形布艺组成（半径都相等）． （1）若图中窗框（图中所有的黑色线段）都是由铝合金做成，那么需要铝合金 　 　米； （2）用代数式表示窗户中能射进阳光部分的面积 　 米2（窗框面积忽略不计，结果保留π）； （3）若a＝3米，b＝2米，求窗户中能射进阳光部分的面积． 4．（2024秋•思明区校级期中）书籍是人类进步的阶梯!为爱护书本一般都将书本用封皮包好，现有一本数学课本如图1所示，其长为26cm、宽为18.5cm、厚为1cm．小军用一张长方形纸包好了这本数学书，他将封面和封底各折进去x cm，封皮展开后如图所示，求： （1）小军所用的这张包书纸的长和宽各是多少？（用含x的代数式表示） （2）当封面和封底各折进去2cm时，请帮小军计算一下他所用的包书纸的面积是多少cm2？ 5．（2024秋•思明区校级期中）为响应国家“乡村振兴”的号召，建设绿色生态农村，王大爷承包了一片土地用于种植某品种草莓．如图所示是种植草莓的土地平面示意图（单位：米）． （1）用含a的式子表示出这片土地的总面积； （2）由于草莓品种和各个地块土壤条件存在差异，地块②平均每平方米可种植2株草莓，剩下地块平均每平方米可种植3株草莓，则当a＝5时，王大爷承包的土地一共可以种植多少株草莓？ 6．（2024秋•如东县期中）如图1所示为对联的一种装裱形式，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是3：2，左、右边的宽相等，天头长与地头长的和是左、右边宽和的5倍．设左、右边的宽均为a厘米． （1）用含a的代数式表示装裱后对联的天头长为　 　厘米，地头长为　 　厘米； （2）如图2，现在要以上面的形式装裱一幅长为100厘米，宽为27厘米的对联．若a＝2，求装裱后的对联的长与宽的差． 【题型三 与行程有关的问题】 1．（2023秋•海门市期末）甲、乙两船分别从A，B码头同时出发相向而行，两船在静水中的速度都是a km/h，水流速度是b km/h．已知甲船从A码头到B码头顺流而行，用了2h；乙船从B码头到A码头逆流而行，用了2.5小时． （1）A，B两码头相距 　 　km；（用含有a，b的式子表示） （2）1.5h后甲船比乙船多航行多少千米？（用含有b的式子表示） （3）若两船相距50km，且b＝5时，甲船行驶的时间是多少小时？ 2．（2023秋•淮南期中）两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，水流速度是a km/h． （1）若两船在静水中的速度都是50km/h，求2h后甲船比乙船多航行多少千米？ （2）一艘小快艇送游客在甲、乙两个码头间往返．其中去程的时间是回程的时间3倍，则小快艇在静水中的速度m与水流速度a的关系是 　 　． 3．（2023秋•安新县期末）举世瞩目的青藏铁路现已通车，实现了几代中国人梦寐以求的愿望，它是世界上海拔最高，线路最长的高原铁路．青藏铁路线上，在西宁、格尔木到拉萨（如图）之间有一段很长的冻土地段，列车在冻土地段的行驶速度是100千米/小时，在非冻土地段的行驶速度是120千米/小时． （1）列车在冻土地段行驶3小时的路程为 　 　千米，行驶a小时的路程为 　 　千米（用含a的代数式表示）； （2）在西宁到拉萨路段，列车通过非冻土地段所需时间是通过冻土地段所需时间的2.1倍，如果通过冻土地段需要a小时，西宁到拉萨路这段铁路的长为多少千米？ （3）在格尔木到拉萨路段，列车通过冻土地段比通过非冻土地段多用0.5小时，如果通过冻土地段需要b小时，在（2）的条件下，若取a＝5，b＝4，求西宁到格尔木这段铁路长为多少千米？ 【题型四 与数字有关的问题】 1．（2024春•郸城县月考）一个两位数的个位数字为a，十位数字比个位数字的2倍小3． （1）用含a的式子表示这个两位数； （2）如果该两位数个位数字与十位数字之和为6，求这个两位数． 2．（2023秋•洪山区期中）（1）一个两位数十位上的数字是a，个位上的数字是b．把这个两位数的十位上的数与个位上的数交换位置，得到一个新的两位数．计算原数与新数的和，这个和能被11整除吗？请说明理由； （2）一个四位数的千位与个位的数字均为m，百位与十位的数字均为n，这个四位数能被11整除吗？请说明理由． 3．（2023秋•富锦市校级期中）有一个两位数，十位上的数字为a，个位上的数字是十位上数字的，则： （1）这个两位数可以用a表示为 　 　； （2）如果将这个两位数的十位上的数字与个位上的数字对调，那么新两位数表示为 　 　； （3）请用含a的式子表示新的两位数与原来的两位数的差？ 【题型五 分段计费问题】 1．（2023秋•长春期末）为鼓励人们节约用水，某地实行阶梯式计量水价（如下表所示）： 级别 月用水量 水价 第1级 20吨以下（含20吨） 1.6元/吨 第2级 20吨～30吨（含30吨） 超过20吨部分按2.4元/吨 第3级 30吨以上 超过30吨部分按4.8元/吨 （1）如果某用户某月用水量为10吨，请计算该月需交水费多少元？ （2）如果某用户某月用水量为27吨，请计算该月需交水费多少元？ （3）如果某用户某月用水量为m吨（20＜m＜30），则该月需交水费 　 　元（用含m的代数式表示）． （4）如果某用户某月用水量为m吨（m＞30），则该月需交水费 　 　元（用含m的代数式表示）． 2．（2023秋•济南期末）阅读与思考 滴滴打车是目前国内最受欢迎的网约车平台之一，为了给用户提供便捷、安全的出行服务，滴滴打车制定了一套收费规则：1．起步价：滴滴打车的起步价为10元，乘客预约用车、取消订单等情况都会收取起步价．2．里程费：起步里程3公里，超过3公里的部分，将按1.5元/公里的标准收取里程费用．3．时长费：起步时间8分钟，超过8分钟的部分，将按0.25元/分钟的标准收取时长费用． 注：车费由里程费、时长费、起步价构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算．任务： （1）若小爱同学乘坐滴滴打车，行车里程为2.8公里，行车时间为5分钟，需付车费 　 元． （2）若小爱同学乘坐滴滴打车，行车里程为a（a＞3）公里，行车时间为b（b＞8）分钟，则应付车费多少元？（列代数式、化简） （3）若小爱同学从家出发，乘坐滴滴打车到杭州体育馆观看亚运会，行车里程为18公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元？ 3．（2023秋•泸县期末）某市为了鼓励市民节约用电，2023年实行阶梯电价制，“一户一表”的居民用电具体收费标准如下： 一户居民一个月用电量（单位：度） 电价（单位：元/度） 第1档 不超过180度的部分 0.5 第2档 超过180度但不超过280度的部分 0.7 第3档 超过280度的部分 0.8 （1）若某户12月份用电量为220度，该户应交电费多少元？ （2）若某户12月份用电量为x度，请用含x的代数式表示该户12月份应交电费多少元． 4．（2023秋•乐亭县期末）某校组织七年级学生到距离学校10km的课外实践基地开展研学活动，圆圆同学因事没能和同学乘坐校车一起出发，于是圆圆同学准备在校门口乘出租车去课外实践基地，已知出租车的收费标准如下表： 里程（km） 收费（元） 3km以下（含3km） 5.0 3km以上（每增加1km） 1.8 （1）当出租车行驶里程为2.8km时需付车费 　 　元． （2）当出租车行驶的里程为x km（x＞3）时，需付车费多少元？（用含x的式子表示） （3）圆圆从学校乘出租车到课外实践基地需付车费多少元？ 5．（2023秋•东莞市校级期中）东莞市为了节约用水，对自来的收费标准作如下规定：每月每户用水量不超过6吨的部分，按2元/吨收费；超过6吨的部分按4元/吨收费．（水费按月份结算） （1）填空：若小明家2月份用水5吨，应交水费 　 　元？ （2）若小明家3月份用水a吨（其中a＞6），则应收水费多少元？（用含a的代数式表示，并化简） （3）若小明家4、5两个月共用水15吨（5月份用水量超过了4月份），设4月份用水x吨，求小明家4、5两个月共交水费多少元．（用含x代数式表示，并化简） 6．（2024秋•息县校级期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，下表是该市自来水收费价格的价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/米3 超出6立方米但不超出10立方米的部分 4元/米3 超出10立方米的部分 8元/米3 注：水费按月结算 （1）若某户居民2月份用水4立方米，则应交水费 　 　元． （2）若某户居民3月份用水a立方米（其中6＜a＜10），求该用户3月份应交水费．（用含a的整式表示，结果要化成最简形式） （3）若某户居民4，5月份共用水15立方米（5月份用水量多于4月份），设4月份用水x立方米，求该户居民4，5月份共交水费（用含x的整式表示，结果要化成最简形式）． 【题型六 方案选择问题】 1．（2023秋•平山县期中）黄老师要在周五开设羽毛球社团，她计划购买16支羽毛球拍和x盒羽毛球（x＞16）．黄老师发现在学校附近有甲、乙两家商店都在出售相同品牌的羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每支售价150元，．羽毛球每盒售价40元．经过老师的洽谈，甲商店给出每买一支羽毛球拍送一盒羽毛球的优惠；乙商店给出羽毛球拍和羽毛球全部八折的优惠． （1）黄老师购买球拍和羽毛球，在甲、乙两家商店付款分别为y甲、y乙元． 直接写出：y甲＝　 　元，y乙＝　 　元（用含x的式子表示）： （2）当x＝25时，请问黄老师购买这些球拍和羽毛球，在哪个商店更合算？请说明理由． 2．（2024秋•山亭区期中）某学校准备在网上订购一批某品牌羽毛球拍和羽毛球，在查阅网店后发现该品牌羽毛球拍每副定价100元，羽毛球每个定价5元．现有甲，乙两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案： 甲网店：买1副羽毛球拍送3个羽毛球； 乙网店：羽毛球拍与羽毛球都按定价的90%付款． 已知学校要购买羽毛球拍20副，羽毛球x（x＞60）． （1）若在甲网店购买，需付款 　 　元；若在乙网店购买，需付款 　 　元；（用含x的式子表示） （2）若x＝100时，请你通过计算，说明此时在哪家网店购买较为合算？ （3）若x＝150时，你能给出一种最省钱的购买方案吗？请说明理由． 3．（2023秋•咸宁期中）某校为适应新的中考要求，决定为体育组添置一批体育器材．学校准备在网上订购一批某品牌足球和跳绳，在查阅天猫网店后发现足球每个定价150元，跳绳每条定价30元．现有A，B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．A网店：买一个足球送一条跳绳；B网店：足球和跳绳都按定价的90%付款．已知该学校要购买足球40个，跳绳x条（x＞40）． （1）若在A网店购买，需付款　 　元（用含x的代数式表示）； 若在B网店购买，需付款　 　元（用含x的代数式表示）． （2）当x＝100时，通过计算说明学校在哪家网店购买较为合算？ （3）当x＝100时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算需付款多少元？ 4．（2024秋•二道区校级期中）某大型商场销售一种茶具和茶碗，茶具每套定价180元，茶碗每只定价20元．“双十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供优惠方案如下： 方案一：买一套茶具送一只茶碗； 方案二：茶具和茶碗按定价的九五折付款． 现在某客户要到商场购买茶具30套，茶碗x只（x＞30）． （1）若该客户按方案一购买，需付款　 　元（用含x的式子表示）；若该客户按方案二购买，需付款　 　元（用含x的式子表示）； （2）若x＝40时，通过计算说明此时按哪种方案购买较为便宜？ （3）当x＝40，能否找到一种更为省钱的方案，如果能，写出你的方案，并计算出此方案应付钱数；如果不能，请说明理由． 5．（2023秋•花都区校级期中）运动会期间，各班都如火如荼地准备着入场式，初一15班计划购买若干裙子和帽子作为演出服装，经调查发现某淘宝店铺每条裙子卖90元，每顶帽子卖12元，给出的优惠方案如下：方案一，以原价购买，购买一条裙子赠送两顶帽子；方案二，总价打8折．若该班级计划购买a条裙子和b顶帽子（b≥2a）． （1）请用含a、b的代数式分别表示出两种方案的实际费用； （2）当a＝10，b＝54时，哪种方案更便宜呢？请通过计算说明． （3）当a＝12时，方案一一定更便宜吗？如果是，说明理由；如果不是，请求出当方案一更便宜时b应满足的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$