重难点09 数与式的规律探究问题（3大题型）-2024-2025学年七年级数学上册期中复习【重点·难点】专练（人教版2024）

重难点09 数与式的规律探究问题 【题型一 有理数的规律探究问题】 1．（2024秋•龙华区校级月考）下面一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，第2024个数应是（　　） A．22023 B．22024 C．22023﹣1 D．22024﹣1 2．（2024秋•济阳区校级月考）a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是，﹣2的“哈利数”是，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，……，依此类推，则a2023＝（　　） A．3 B．﹣2 C． D． 3．（2024秋•南海区校级月考）已知整数a1＝2，a2，a3，a4，…，满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，…，以此类推，则a2024的值为（　　） A．﹣1010 B．﹣1﹣1010＝﹣1011 C．﹣1012 D．﹣2024 4．（2023秋•梅州期末）将连续正整数按如图所示的位置顺序排列，根据排列规律，则2023应在（　　） A．A处 B．B处 C．C处 D．D处 5．（2024秋•吴江区校级月考）观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…，31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，…，根据上述算式中的规律，211+311的末位数字是（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 6．（2024秋•洪洞县校级月考）为了求1+2+22+23+…+220的值，可令S＝1+2+22+23+…+220，则2S＝2+22+23+24+…+221，因此2S﹣S＝221﹣1，所以1+2+22+23+…+220＝221﹣1，仿照以上推理，计算1+5+52+53+…+52024＝（　　） A．52024 B．52023﹣1 C． D． 7．（2024秋•志丹县月考）一列数a1，a2，a3，…an，其中a1＝﹣1，，，…，，则a1+a2+a3+⋯+a2024的值是（　　） A．﹣1 B． C．1010 D． 8．（2024秋•浦东新区期中）阅读理解： ； ； ； … 试运用上述方法计算： （1）； （2）． 9．（2024秋•凉州区校级期中）观察下列各式：21﹣20＝20；22﹣21＝21；23﹣22＝22；24﹣23＝23…… （1）探索式子的规律，试写出第n个等式； （2）运用上面的规律，计算22020﹣22019﹣22018﹣…﹣2； （3）计算：27+28+29+210+…+2100． 10．（2024秋•黄陂区校级月考）观察下面三行数 ﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64…① ﹣4，2，﹣10，14，﹣34，62…② 3，﹣3，9，﹣15，33，﹣63…③ （1）第①行的第10个数是 　 　； （2）分别写出第②行的第n个数 　 　，第③行的第n个数是 　 ． （3）是否存在第②行的连续三个数的和为186？若存在，说明理由并写出这三个数；若不存在说明理由． （4）是否存在正整数k，使每行的第k个数相加的和等于﹣257，若存在求出值，若不存在说明理由． 【题型二 程序图的探究问题】 11．（2024秋•江夏区月考）如图，按照所示的运算程序计算：若开始输入的x值为10，则第1次输出的结果为5，第2次输出的结果为8，…，第2024次输出的结果为（　　） A．1 B．5 C．7 D．8 12．（2024•龙凤区校级二模）如图所示的运算程序中，若开始输入的x的值为﹣48，我们发现第1次输出的结果为﹣24，第2次输出的结果为﹣12，…，第2024次输出的结果为 　 　． 13．（2023秋•达川区期末）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是﹣4，…，则第2023次输出的结果是 　 ． 14．有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是3，可发现第1次输出的结果是10，第2次输出的结果是5，第3次输出的结果是 　 　，依次继续下去…，第2016次输出的结果是 　 　． 15．（2023秋•沈丘县期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值为30，第一次得到的结果为15，第二次得到的结果为24，……，请你探索第2023次得到的结果为 　 　． 16．（2023秋•镇赉县期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为100，我们发现第1次输出的结果为50，第2次输出的结果为25，…，第2022次输出的结果为 　 　． 【题型三 图形的规律探究问题】 17．（2024秋•鹿城区校级期中）观察如图图形的规律，图1中共有3个小黑点，图2中共有9个小黑点，第3个图形中共有18个小黑点，按照此规律第5个图形中共有（　　）个小黑点． A．45 B．30 C．63 D．69 18．（2024秋•榆树市校级期中）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，这类物质前四种化合物的分子结构模型图如图所示，其中灰球代表碳原子（较大的），白球代表氢原子（较小的）．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，…按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中碳、氢原子的总个数是（　　） A．30个 B．32个 C．34个 D．36个 19．（2024•九龙坡区校级模拟）如图，已知用若干个完全一样的“△”去设计图案，第1个图案中有8个“△”，第2个图案中有13个“△”，第3个图案中有18个“△”，…按此规律排列下去，则第8个图案中“△”的个数为（　　） A．38 B．43 C．48 D．53 20．（2024秋•如皋市期中）如图，用火柴棒按照一定规律摆出一组图形，照此规律摆下去，图an比图an﹣1多出的火柴棒根数是（　　） A．2m B．2n﹣1 C．2n D．2n﹣1 21．（2024秋•香洲区校级期中）用黑、白棋子按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有黑色棋子7颗，第②个图案中有黑色棋子10颗，第③个图案中有黑色棋子13颗，依照此规律排列下去，则第100个图案中有白色棋子（　　） A．10103颗 B．10100颗 C．10097颗 D．10094颗 22．（2024秋•浦北县期中）如图所示：摆图①，需用火柴棒8根，摆图②，需用火柴棒14根……按照这样的规律，摆第6个图，需要多少根火柴棒？（　　） A．32 B．34 C．38 D．42 23．（2024秋•宜兴市期中）下列图形都是由•按照一定规律组成的，其中第①个图中共有4个•，第②个图中共有8个•，第③个图中共有13个•，第④个图中共有19个•，…，照此规律排列下去，则第⑦个图中•的个数为（　　） A．40 B．41 C．42 D．43 24．（2024秋•滕州市校级期中）如图是一组有规律的图案，它们由边长相同的小正方形组成，其中一部分小正方形被涂黑，依此规律，第2023个图案中被涂黑的小正方形个数为（　　） A．10100 B．10097 C．8080 D．8093 25．（2024秋•延庆区期中）如图，用相同的小正方形拼成大正方形，拼第一个正方形需要四个小正方形，拼第二个正方形需要9个小正方形，拼第三个正方形需要16个小正方形…想一想，按照这样的方法，拼成的第n个正方形比第（n﹣1）个正方形多出的小正方形的个数为（　　） A．1 B．n C．n+1 D．2n+1 26．（2024秋•惠城区期中）找出如图规律，第100个图形中三角形的个数是（　　） A．200 B．400 C．300 D．500 27．（2024秋•邳州市校级月考）找出图形变化的规律，则第2024个图形中黑色正方形的数量是 　 　． 28．（2024秋•盐都区校级月考）如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第23个图形需要黑色棋子的个数为　 ． 29．（2024秋•通辽期中）如图，将第1个图中的正方形剪开得到第2个图，第2个图中共有4个正方形；将第2个图中一个正方形剪开得到第3个图，第3个图中共有7个正方形；将第3个图中一个正方形剪开得到第4个图，第4个图中共有10个正方形…如此下去，则第2024个图中共有正方形的个数为 　 　． 30．（2024秋•麦积区期中）如图是用大小相等的五角星按一定规律拼成的一组图案，请根据你的观察，写出第2024个图案中小五角星有 　 　颗． 31．（2024秋•九台区期中）如图所示的图案是由正方形和三角形组成的，有着一定的规律，请完成下列问题： （1）第4个图案中，三角形有 　 个，正方形有 　 　个； （2）若用字母a、b分别代替三角形和正方形，则第1、第2个图案可表示为多项式4a+b，8a+4b，则第5个图案可表示为多项式 　 ； （3）在（2）的条件下，若a＝2，b＝2，求第5个图案所表示的多项式的值． 32．（2024秋•吴中区校级月考）如图，谢尔宾斯基三角形是一种无限分形结构，最早由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出，它是把一个等边三角形分别连接其三边中点，构成4个小等边三角形，挖去中间的一个小等边三角形（如图2），对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，将这种做法继续下去（如图3，图4，图5）观察规律解答以下各题： （1）填写下表： 图形序号 图2 图3 图4 图5 挖去三角形的个数 1 4 13 　 　 （2）若图1中的阴影三角形面积为1，则图2中的所有阴影三角形的面积之和为　 　，图3中的所有阴影三角形的面积之和为　 　． （3）在（2）的条件下，求图5中的所有阴影三角形的面积之和． 33．（2024秋•盐都区校级月考）如图，通过观察，小丽同学发现可以用这样的方法确定每个图形中黑色和白色小正方形的总个数：图（1）中共有1个黑色小正方形，图（2）中共有1+3＝22个黑白小正方形，图（3）中共有1+3+5＝32个黑白小正方形，图（4）中共有1+3+5+7＝42个黑白小正方形，回答下列问题． （1）根据前四个图中计算黑白小正方形的总个数的方法和规律，则第（5）个图中计算小正方形个数的等式是：　 　； （2）根据规律，第50个图比第49个图多 　 个小正方形； （3）根据每个图中计算黑白小正方形总个数的方法和规律，计算： ①1+3+5+…+197+199； ②201+203+205+…+297+299． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点09 数与式的规律探究问题 【题型一 有理数的规律探究问题】 1．（2024秋•龙华区校级月考）下面一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，第2024个数应是（　　） A．22023 B．22024 C．22023﹣1 D．22024﹣1 【分析】根据所给数列，发现后一个数总是前一个数的2倍，据此可解决问题． 【解答】解：由题知，因为1＝20，2＝21，4＝22，8＝23，16＝24，…， 所以第n个数可表示为：2n﹣1（n为正整数）． 当n＝2024时， 2n﹣1＝22023， 即第2024个数是22023． 故选：A． 【点评】本题考查数字变化的规律，能根据所给数列发现第n个数可表示为2n﹣1（n为正整数）是解题的关键． 2．（2024秋•济阳区校级月考）a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是，﹣2的“哈利数”是，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，……，依此类推，则a2023＝（　　） A．3 B．﹣2 C． D． 【分析】分别求出数列的前5个数，得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案， 【解答】解：根据题意有， a1＝3， ， ， ， ， ……， 该数列每4个数为1周期循环， 2023÷4＝505⋯3， a2023＝a3． 故选：C． 【点评】本题考查了数字的规律变化，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键． 3．（2024秋•南海区校级月考）已知整数a1＝2，a2，a3，a4，…，满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，…，以此类推，则a2024的值为（　　） A．﹣1010 B．﹣1﹣1010＝﹣1011 C．﹣1012 D．﹣2024 【分析】先根据题意计算出a1＝2，a2，a3，a4，a5的值，从而得到规律当n为奇数时，，当n为偶数时，，据此计算求解即可． 【解答】解：∵a1＝0， ∴a2＝﹣|a1+1|＝﹣1， a3＝﹣|a2+2|＝﹣1， a4＝﹣|a3+3|＝﹣2， a5＝﹣|a4+4|＝﹣2，……， ∴a2n＝﹣n，a2n﹣1＝﹣n， ∴a2024＝a2×1012＝﹣1012， 故选：C． 【点评】本题主要考查了数字类的变化类，找到变化规律是解题的关键． 4．（2023秋•梅州期末）将连续正整数按如图所示的位置顺序排列，根据排列规律，则2023应在（　　） A．A处 B．B处 C．C处 D．D处 【分析】根据正整数的排列顺序，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 在C处位置的数是4的整数倍． 因为4×506＝2024， 所以数字2024在C处， 则数2023在B处． 故选：B． 【点评】本题考查数字变化的规律，能根据所给正整数的排列顺序发现C处数字的特征是解题的关键． 5．（2024秋•吴江区校级月考）观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…，31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，…，根据上述算式中的规律，211+311的末位数字是（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 【分析】通过观察所给的数的尾数，找到21，22，23⋯2n这一列数的其结果的末位数字每4次运算尾数2、4、8、6循环出现，31，32，33⋯3n这一列数的其结果的末位数字每4次运算尾数3、9、7、1循环出现，据此规律求解即可． 【解答】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256， ......， 以此类推末位数字每4次运算尾数2、4、8、6循环出现， ∵11÷4＝2…3， ∴211的末位数字与23＝8的尾数相同为8， ∵31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561， ......， 以此类推，末位数字每4次运算尾数3、9、7、1循环出现， ∵11÷4＝2…3 ∴311的末位数字与33＝27的尾数相同为7， ∵8+7＝15， ∴211+311的末位数字是5． 故选：B． 【点评】本题考查数字的变化规律，发现规律是关键． 6．（2024秋•洪洞县校级月考）为了求1+2+22+23+…+220的值，可令S＝1+2+22+23+…+220，则2S＝2+22+23+24+…+221，因此2S﹣S＝221﹣1，所以1+2+22+23+…+220＝221﹣1，仿照以上推理，计算1+5+52+53+…+52024＝（　　） A．52024 B．52023﹣1 C． D． 【分析】根据题目信息，设S＝1+5+52+53+⋯+52024，求出5S，然后错位相减计算即可得解． 【解答】解：设S＝1+5+52+53+⋯+52024，则5S＝5+52+53+54⋯+52025， ∴5S﹣S＝52025﹣1， ∴， ∴1+5+52+53+…+52024（52025﹣1）， 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键． 7．（2024秋•志丹县月考）一列数a1，a2，a3，…an，其中a1＝﹣1，，，…，，则a1+a2+a3+⋯+a2024的值是（　　） A．﹣1 B． C．1010 D． 【分析】先算出前几个的值，找到规律，再求解． 【解答】解：∵a1＝﹣1， ∴， ， ，…， ∴这列数按照：﹣1，，2，依次循环出现， ∵， ∵2024÷3＝674……2， ∴a2023＝﹣1，， ∴， 故选：D． 【点评】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键． 8．（2024秋•浦东新区期中）阅读理解： ； ； ； … 试运用上述方法计算： （1）； （2）． 【分析】（1）首先根据规律把代数式转化为，再计算即可； （2）首先根据规律把代数式转化为（1），再计算即可． 【解答】解：（1） ； （2） （1） （1） ． 【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法． 9．（2024秋•凉州区校级期中）观察下列各式：21﹣20＝20；22﹣21＝21；23﹣22＝22；24﹣23＝23…… （1）探索式子的规律，试写出第n个等式； （2）运用上面的规律，计算22020﹣22019﹣22018﹣…﹣2； （3）计算：27+28+29+210+…+2100． 【分析】（1）根据式子的规律，可得2n﹣2n﹣1＝2n﹣1； （2）利用（1）的结论递推，得出答案即可； （3）把式子乘（2﹣1）递推得出答案即可． 【解答】解：（1）∵21﹣20＝20；22﹣21＝21；23﹣22＝22；24﹣23＝23…… ∴第n个等式为：2n﹣2n﹣1＝2n﹣1； （2）22020﹣22019﹣22018﹣…﹣2 ＝22019﹣22018﹣…﹣2 ＝22018﹣…﹣2 ＝2； （3）27+28+29+210+…+2100 ＝（2﹣1）（27+28+29+210+…+2100） ＝（28+29+210+211+…+2101）﹣（27+28+29+210+…+2100） ＝2101﹣27． 【点评】本题主要考查了数字变化规律，根据已知，得出数字次数的变化规律是解题关键． 10．（2024秋•黄陂区校级月考）观察下面三行数 ﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64…① ﹣4，2，﹣10，14，﹣34，62…② 3，﹣3，9，﹣15，33，﹣63…③ （1）第①行的第10个数是 　 　； （2）分别写出第②行的第n个数 　 　，第③行的第n个数是 　 ． （3）是否存在第②行的连续三个数的和为186？若存在，说明理由并写出这三个数；若不存在说明理由． （4）是否存在正整数k，使每行的第k个数相加的和等于﹣257，若存在求出值，若不存在说明理由． 【分析】（1）观察第①行数发现，后一个数是前一个数的﹣2倍，再结合第一个数是﹣2即可解决问题． （2）观察第②③行数发现，第②行的数比第①行相应位置的数小2，第③行的数是用1减去第①行相应位置数之后的结果，据此可解决问题． （3）根据（2）中发现的规律即可解决问题． （4）根据（2）中发现的规律即可解决问题． 【解答】解：（1）观察第①行数可知， 后一个数是前一个数的﹣2倍， 因为第①行的第一个数是﹣2， 所以第①行的第n个数可表示为：（﹣2）n， 当n＝10时， （﹣2）10＝1024， 即第①行的第10个数是1024． 故答案为：1024． （2）观察第②行数可知， 第②行的数比第①行相应位置的数小2， 所以第②行的第n个数可表示为：（﹣2）n﹣2． 观察第③行数可知， 第③行的数是用1减去第①行相应位置数之后的结果， 所以第③行的第n个数可表示为：1﹣（﹣2）n． 故答案为：（﹣2）n﹣2，1﹣（﹣2）n． （3）存在，理由如下： 假设第②行存在连续三个数的和为186，且中间一个数为（﹣2）n﹣2， 则（﹣2）n﹣1﹣2+（﹣2）n﹣2+（﹣2）n+1﹣2＝186， 3×（﹣2）n﹣1＝192， 解得n＝7， 则（﹣2）7﹣1﹣2＝62，（﹣2）7﹣2＝﹣130，（﹣2）7+1﹣2＝254， 所以存在，这三个数为62，﹣130，254． （4）不存在，理由如下： 由题知， （﹣2）k+（﹣2）k﹣2+1﹣（﹣2）k＝﹣257， （﹣2）k＝﹣256， 此方程无解， 所以不存在正整数k，使每行的第k个数相加的和等于﹣257． 【点评】本题主要考查了数字变化的规律，能通过观察发现每行数的变化规律是解题的关键． 【题型二 程序图的探究问题】 11．（2024秋•江夏区月考）如图，按照所示的运算程序计算：若开始输入的x值为10，则第1次输出的结果为5，第2次输出的结果为8，…，第2024次输出的结果为（　　） A．1 B．5 C．7 D．8 【分析】根据运算程序计算可得前6次的输出结果，发现从第3次输出的结果开始，4，2，1，三个数循环，进而可得结论． 【解答】解：根据运算程序可知： 开始输入的x值为10， 第1次输出的结果为5， 第2次输出的结果为8， 第3次输出的结果为4， 第4次输出的结果为2， 第5次输出的结果为1， 第6次输出的结果为4， 第7次输出的结果为2， 第8次输出的结果为1， …， 发现：从第3次输出的结果开始，4，2，1，三个数循环， ∴（2024﹣2）÷3＝674， ∴第2024次输出的结果为1． 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的运算和程序框图，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． 12．（2024•龙凤区校级二模）如图所示的运算程序中，若开始输入的x的值为﹣48，我们发现第1次输出的结果为﹣24，第2次输出的结果为﹣12，…，第2024次输出的结果为 　 　． 【分析】依次求出输出结果，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为开始输入的x的值为﹣48， 所以第1次输出的结果为﹣24； 第2次输出的结果为﹣12； 第3次输出的结果为﹣6； 第4次输出的结果为﹣3； 第5次输出的结果为﹣6； 第6次输出的结果为﹣3； …， 依次类推，从第3次输出的结果开始按﹣6，﹣3循环出现， 又因为2024÷2＝1012， 所以第2024次输出的结果为﹣3； 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查数字变化的规律，能根据输出的结果发现从第3次输出的结果开始按﹣6，﹣3循环出现是解题的关键． 13．（2023秋•达川区期末）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是﹣4，…，则第2023次输出的结果是 　 ． 【分析】分别求出第1次到第8次的运算结果，从而发现规律：从第二次的结果开始，每6次运算结果循环一次，即可求解． 【解答】解：当x＝2时， 第一次的输出结果为2＝1， 第二次的输出结果为1﹣5＝﹣4， 第三次的输出结果为（﹣4）＝﹣2， 第四次的输出结果为（﹣2）＝﹣1， 第五次的输出结果为﹣1﹣5＝﹣6， 第六次的输出结果为（﹣6）＝﹣3， 第七次的输出结果为﹣3﹣5＝﹣8， 第八次的输出结果为（﹣8）＝﹣4， ……， ∴从第二次的结果开始，每6次运算结果循环一次， ∵（2023﹣1）÷6＝337， ∴第2023次的结果与第7次的结果一样， ∴第2022次输出的结果是﹣8， 故答案为：﹣8． 【点评】本题考查数字的变化规律，由所给的运算流程图，通过计算，探索输出结果的循环规律是解题的关键． 14．有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是3，可发现第1次输出的结果是10，第2次输出的结果是5，第3次输出的结果是 　 　，依次继续下去…，第2016次输出的结果是 　 　． 【分析】根据数值转换器依次求出前几次的输出的数值，再根据数值的变化规律求解． 【解答】【答案】（1）16； （2）2． 解：∵开始输入x的值是3 第1次输出的结果是3×3+1＝10， 第2次输出的结果是10＝5， 第3次输出的结果是3×5+1＝16， 第4次输出的结果是16＝8， 第5次输出的结果是， 第6次输出的结果是， 第7次输出的结果是， 第8次输出的结果是3×1+1＝4， … 所以，从第5次开始，每3次输出为一个循环组依次循环， （2016﹣4）÷3＝670…2， 所以，第2016次输出的结果是2． 故答案为：16，2． 【点评】本题考查了代数式求值，规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，根据数值转换器求出从第3次开始，每3次输出为一个循环组依次循环是解题的关键． 15．（2023秋•沈丘县期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值为30，第一次得到的结果为15，第二次得到的结果为24，……，请你探索第2023次得到的结果为 　 　． 【分析】分别计算出前六次的输出结果可以得到从第三次输出结果开始，每三次输出结果为一个循环，由此进行求解即可． 【解答】解：由题意得，第一次得到的结果为15， 第二次得到的结果为24， 第三次得到的结果为12， 第四次得到的结果为6， 第五次得到的结果为3， 第六次得到的结果为12， …， ∴可知从第三次输出结果开始，每三次输出结果为一个循环， ∵（2023﹣2）÷3＝673…2， ∴第2023次的输出结果和第四次的输出结果相同，为6， 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了与程序流程图相关的规律问题，正确理解题意找到规律是解题的关键． 16．（2023秋•镇赉县期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为100，我们发现第1次输出的结果为50，第2次输出的结果为25，…，第2022次输出的结果为 　 　． 【分析】根据设计的程序进行计算，找到循环的规律，根据规律推导计算． 【解答】解：∵第1次输出的数为：100÷2＝50， 第2次输出的数为：50÷2＝25， 第3次输出的数为：25+7＝32， 第4次输出的数为：32÷2＝16， 第5次输出的数为：16÷2＝8， 第6次输出的数为：8÷2＝4， 第7次输出的数为：4÷2＝2， 第8次输出的数为：2÷2＝1， 第9次输出的数为：1+7＝8， 第10次输出的数为：8÷2＝4， ……， ∴从第5次开始，输出的数分别为：8、4、2、1、8、…，每4个数一个循环； ∵（2022﹣4）÷4＝504…2， ∴第2022次输出的结果为4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了有理数的计算，正确发现循环的规律是解题的关键． 【题型三 图形的规律探究问题】 17．（2024秋•鹿城区校级期中）观察如图图形的规律，图1中共有3个小黑点，图2中共有9个小黑点，第3个图形中共有18个小黑点，按照此规律第5个图形中共有（　　）个小黑点． A．45 B．30 C．63 D．69 【分析】根据所画出的图形中小黑点的个数，按照规律即可得到第5个图形中小黑点的个数． 【解答】解：由图形1、2、3可以看出， 第1个图形小黑点的个数：3×1＝3； 第2个图形小黑点的个数：3×（1+2）＝9； 第3个图形小黑点的个数：3×（1+2+3）＝18； 第4个图形小黑点的个数：3×（1+2+3+4）＝30； ……， 第n个图形小黑点的个数：， ∴第5个图形小黑点的个数：3×（1+2+3+4+5）＝45． 故选：A． 【点评】本题考查了探索图形规律问题，解决此类问题的关键是由图形到算式，采用特殊到一般的数学思想方法，归纳出一般规律． 18．（2024秋•榆树市校级期中）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，这类物质前四种化合物的分子结构模型图如图所示，其中灰球代表碳原子（较大的），白球代表氢原子（较小的）．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，…按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中碳、氢原子的总个数是（　　） A．30个 B．32个 C．34个 D．36个 【分析】根据图形，可归纳出规律表达式的特点，再解答即可． 【解答】解：由图可得， 第1种如图①有4个氢原子，即2+2×1＝4，碳原子1个， 第2种如图②有6个氢原子，即2+2×2＝6，碳原子2个， 第3种如图③有8个氢原子，即2+2×3＝8，碳原子3个， 第4种如图④有10个氢原子，即2+2×4＝10，碳原子4个， …， ∴第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：2+2×10＝22，碳原子10个， ∴第10种化合物的分子结构模型中碳、氢原子的总个数是32； 故选：B． 【点评】本题考查数字的变化类，正确地找出规律是解题的关键． 19．（2024•九龙坡区校级模拟）如图，已知用若干个完全一样的“△”去设计图案，第1个图案中有8个“△”，第2个图案中有13个“△”，第3个图案中有18个“△”，…按此规律排列下去，则第8个图案中“△”的个数为（　　） A．38 B．43 C．48 D．53 【分析】由前3个图形总结归纳得到第n个图案中有3（2n+1）＝（6n+3）个，从而可得答案． 【解答】解：第1个图案中有8个“△”，8＝5×1+3， 第2个图案中有13个“△”，13＝5×2+3， 第3个图案中有18个“△”，18＝5×3+3， …， ∴第n个图案中有（5n+3）个“△”， 当n＝8时，5n+3＝40+3＝43， 故选：B． 【点评】本题考查的是图形类的规律探究，掌握“探究的方法并总结规律并运用规律”是解本题的关键． 20．（2024秋•如皋市期中）如图，用火柴棒按照一定规律摆出一组图形，照此规律摆下去，图an比图an﹣1多出的火柴棒根数是（　　） A．2m B．2n﹣1 C．2n D．2n﹣1 【分析】由图形可得到第n个图中火柴棒的根数为：1+21+22+23+…+2n﹣1，据此可求解． 【解答】解：∵第a1个图形中火柴棒的根数为：1； 第a2个图形中火柴棒的根数为：3＝1+2＝1+21； 第a3个图形中火柴棒的根数为：7＝1+2+4＝1+21+22； 第a4个图形中火柴棒的根数为：15＝1+2+4+8＝1+21+22+23； …， ∴第an个图中火柴棒的根数为：1+21+22+23+…+2n﹣1， ∴第an﹣1个图中火柴棒的根数为：1+21+22+23+…+2n﹣2， ∴图an比图an﹣1多出的火柴棒根数是：1+21+22+23+…+2n﹣1﹣（1+21+22+23+…+2n﹣2）＝2n﹣1． 故选：B． 【点评】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律． 21．（2024秋•香洲区校级期中）用黑、白棋子按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有黑色棋子7颗，第②个图案中有黑色棋子10颗，第③个图案中有黑色棋子13颗，依照此规律排列下去，则第100个图案中有白色棋子（　　） A．10103颗 B．10100颗 C．10097颗 D．10094颗 【分析】根据所给图形，依次求出图形中黑色和白色棋子的颗数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 第①个图形中，黑色棋子的颗数为：7＝1×3+4，白色棋子的颗数为：2＝32﹣（1×3+4）； 第②个图形中，黑色棋子的颗数为：10＝2×3+4，白色棋子的颗数为：6＝42﹣（2×3+4）； 第③个图形中，黑色棋子的颗数为：13＝3×3+4，白色棋子的颗数为：12＝52﹣（3×3+4）； …， 所以第ⓝ个图形中，黑色棋子的颗数为（3n+4）颗，白色棋子的颗数为[（n+2）2﹣（3n+4）]颗， 当n＝100， （n+2）2﹣（3n+4）＝1022﹣（3×100+4）＝10100（颗）， 即第100个图案中有白色棋子的颗数为10100颗． 故选：B． 【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现白色棋子变化的规律是解题的关键． 22．（2024秋•浦北县期中）如图所示：摆图①，需用火柴棒8根，摆图②，需用火柴棒14根……按照这样的规律，摆第6个图，需要多少根火柴棒？（　　） A．32 B．34 C．38 D．42 【分析】观察不难发现，后一个图形比前一个图形多6根火柴棒，然后根据此规律写出第n个图形的火柴棒的根数即可得出答案． 【解答】解：第1个图形有8根火柴棒， 第2个图形有14根火柴棒， 第3个图形有20根火柴棒， …， 第n个图形有（6n+2）根火柴棒； ∴摆第6个图，需要火柴棒根数为6×6+2＝38． 故选：C． 【点评】本题是对图形变化规律的考查，查出前三个图形的火柴棒的根数，并观察出后一个图形比前一个图形多6根火柴棒是解题的关键． 23．（2024秋•宜兴市期中）下列图形都是由•按照一定规律组成的，其中第①个图中共有4个•，第②个图中共有8个•，第③个图中共有13个•，第④个图中共有19个•，…，照此规律排列下去，则第⑦个图中•的个数为（　　） A．40 B．41 C．42 D．43 【分析】根据已知图形得出图n中点的个数为（n+1）2﹣（1+2+3+…+n﹣1），据此可得． 【解答】解：因为图①中点的个数为4＝22﹣0， 图②中点的个数为8＝32﹣1， 图③中点的个数为13＝42﹣（1+2）， 图④中点的个数为19＝52﹣（1+2+3）， ……， 图n中点的个数为（n+1）2﹣（1+2+3+…+n﹣1）， 所以图⑦中点的个数为（7+1）2﹣（1+2+3+…+5+6）＝43， 故选：D． 【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出图n中点的个数为（n+1）2﹣（1+2+3+…+n﹣1）． 24．（2024秋•滕州市校级期中）如图是一组有规律的图案，它们由边长相同的小正方形组成，其中一部分小正方形被涂黑，依此规律，第2023个图案中被涂黑的小正方形个数为（　　） A．10100 B．10097 C．8080 D．8093 【分析】观察不难发现，第一个图案是大正方形内涂有阴影的正方形有5个，第二个图案是两个这样的打正方形，但需减去重合的一个涂有阴影的小正方形，依次观察可以写出第n个图案的涂有阴影的小正方形的个数，据此可得答案． 【解答】解：由图可得， 第1个图案涂有阴影的小正方形的个数为5， 第2个图案涂有阴影的小正方形的个数为5×2﹣1＝9， 第3个图案涂有阴影的小正方形的个数为5×3﹣2＝13， … 第n个图案涂有阴影的小正方形的个数为5n﹣（n﹣1）＝4n+1， 当n＝2023时，4n+1＝4×2023+1＝8093， 即第2023个图案中有8093个涂有阴影的小正方形， 故选：D． 【点评】本题是对图形变化规律的探究．解题的关键是找到变化规律． 25．（2024秋•延庆区期中）如图，用相同的小正方形拼成大正方形，拼第一个正方形需要四个小正方形，拼第二个正方形需要9个小正方形，拼第三个正方形需要16个小正方形…想一想，按照这样的方法，拼成的第n个正方形比第（n﹣1）个正方形多出的小正方形的个数为（　　） A．1 B．n C．n+1 D．2n+1 【分析】首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，找到规律即可． 【解答】解：第n个正方形有（n+1）2个小正方形， 第（n﹣1）个正方形有（n﹣1+1）2＝n2个小正方形， 故拼成的第n个正方形比第（n﹣1）个正方形多（n+1）2﹣n2＝2n+1个小正方形． 故选：D． 【点评】此题考查的知识点是图形数字的变化类问题，关键是通过图形找出规律，按规律求解． 26．（2024秋•惠城区期中）找出如图规律，第100个图形中三角形的个数是（　　） A．200 B．400 C．300 D．500 【分析】根据所给图形，依次求出图形中三角形的个数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 第1个图形中三角形的个数为：4＝1×4； 第2个图形中三角形的个数为：8＝2×4； 第3个图形中三角形的个数为：12＝3×4； …， 所以第n个图形中三角形的个数为4n个， 当n＝100时， 4n＝400（个）， 即第100个图形中三角形的个数为400个． 故选：B． 【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现三角形的个数依次增加4是解题的关键． 27．（2024秋•邳州市校级月考）找出图形变化的规律，则第2024个图形中黑色正方形的数量是 　 　． 【分析】根据图形找出规律：当n为偶数时，第n个图形中黑色正方形的数量为个；当n为奇数时，第n个图形中黑色正方形的数量为个；然后算出第2023个图形中黑色正方形的数量即可． 【解答】解：观察图形可得， 当n为偶数时，第n个数量为个； 当n为奇数时，第n个数量为个， ∴当n＝2024时，黑色正方形的个数为：（个）． 故答案为：3036． 【点评】本题主要考查了图形规律变化类问题，解决这类问题的基本思路是：仔细地观察图形并正确地找到规律，利用所得的规律解决问题是关键． 28．（2024秋•盐都区校级月考）如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第23个图形需要黑色棋子的个数为　 ． 【分析】根据题意，分析可得第1个图形需要黑色棋子的个数为2×3﹣3，第2个图形需要黑色棋子的个数为3×4﹣4，第3个图形需要黑色棋子的个数为4×5﹣5，以此类推，可得第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）﹣（n+2），计算可得答案． 【解答】解：第1个图形是三角形，有3条边，每条边上有2个点，重复了3个点，需要黑色棋子3个， 第2个图形是四边形，有4条边，每条边上有3个点，重复了4个点，需要黑色棋子8个， 第3个图形是五边形，有5条边，每条边上有4个点，重复了5个点，需要黑色棋子15个， 按照这样的规律摆下去， 则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）﹣（n+2）＝n（n+2）； 当n＝23时，（23+2）×23＝575， 故答案为：575． 【点评】本题考查了整式的图形规律探索题，依据图形，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 29．（2024秋•通辽期中）如图，将第1个图中的正方形剪开得到第2个图，第2个图中共有4个正方形；将第2个图中一个正方形剪开得到第3个图，第3个图中共有7个正方形；将第3个图中一个正方形剪开得到第4个图，第4个图中共有10个正方形…如此下去，则第2024个图中共有正方形的个数为 　 　． 【分析】根据所给图形，依次求出图形中正方形的个数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 第1个图形中，正方形的个数为：1＝1×3﹣2； 第2个图形中，正方形的个数为：4＝2×3﹣2； 第3个图形中，正方形的个数为：7＝3×3﹣2； …， 所以第n个图形中，正方形的个数为（3n﹣2）个， 当n＝2024时， 3n﹣2＝6070（个）， 即第2024个图形中，正方形的个数为6070个． 故答案为：6070． 【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现正方形的个数依次增加3是解题的关键． 30．（2024秋•麦积区期中）如图是用大小相等的五角星按一定规律拼成的一组图案，请根据你的观察，写出第2024个图案中小五角星有 　 　颗． 【分析】观察图案总结小五角星数与图案数间的关系，据此规律求和即可． 【解答】解：第1个图案中，小五角星有3×1+1＝4个， 第2个图案中，小五角星有3×2+1＝7个， 第3个图案中，小五角星有3×3+1＝10个， 第4个图案中，小五角星有3×4+1＝13个， ⋯ ∴第n个图案中，小五角星有3n+1个， ∴第2024个图案中小五角星有3×2024+1＝6073个． 故答案为：6073． 【点评】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出图形规律的能力，要求学生要会分析题意，找到规律，并进行推导得出答案． 31．（2024秋•九台区期中）如图所示的图案是由正方形和三角形组成的，有着一定的规律，请完成下列问题： （1）第4个图案中，三角形有 　 个，正方形有 　 　个； （2）若用字母a、b分别代替三角形和正方形，则第1、第2个图案可表示为多项式4a+b，8a+4b，则第5个图案可表示为多项式 　 ； （3）在（2）的条件下，若a＝2，b＝2，求第5个图案所表示的多项式的值． 【分析】（1）根据所给图形，依次求出图形中三角形和正方形的个数，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据题意，将a，b的值代入计算即可． 【解答】解：（1）由所给图形可知， 第1个图案中，三角形个数为：4＝1×4，正方形个数为：1＝12； 第2个图案中，三角形个数为：8＝2×4，正方形个数为：4＝22； 第3个图案中，三角形个数为：12＝3×4，正方形个数为：9＝32； …， 所以第n个图案中，三角形个数为4n个，正方形个数为n2个． 当n＝4时， 4n＝16（个），n2＝16（个）， 即第4个图案中，三角形个数为16个，正方形个数为16个． 故答案为：16，16． （2）结合（1）中发现的规律可知， 第5个图案可表示的多项式为：20a+25b． 故答案为：20a+25b． （3）由题知， 当a＝2，b＝2时， 20a+25b＝20×2+25×2＝40+50＝90， 即第5个图案所表示的多项式的值为90． 【点评】本题主要考查了图形变化的规律及多项式，能根据所给图形发现三角形及正方形个数变化的规律是解题的关键． 32．（2024秋•吴中区校级月考）如图，谢尔宾斯基三角形是一种无限分形结构，最早由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出，它是把一个等边三角形分别连接其三边中点，构成4个小等边三角形，挖去中间的一个小等边三角形（如图2），对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，将这种做法继续下去（如图3，图4，图5）观察规律解答以下各题： （1）填写下表： 图形序号 图2 图3 图4 图5 挖去三角形的个数 1 4 13 　 　 （2）若图1中的阴影三角形面积为1，则图2中的所有阴影三角形的面积之和为　 　，图3中的所有阴影三角形的面积之和为　 　． （3）在（2）的条件下，求图5中的所有阴影三角形的面积之和． 【分析】（1）根据给出的图形数出个数，得出答案即可； （2）根据每次挖去等边三角形的面积的，列式求出结果即可； （3）根据题意，每次挖去等边三角形的面积的，剩下的阴影部分面积等于原阴影部分面积的，然后根据有理数的乘方列式计算即可得解． 【解答】（1）解：根据题意可知：图2中挖去1个三角形， 图3中挖去4个三角形， 图4中挖去13个三角形， 图5中挖去13×3+1＝40个三角形； 图形序号 图2 图3 图4 图5 挖去三角形的个数 1 4 13 40 故答案为：40； （2）图2阴影的面积， 图3阴影的面积， 故答案为：，； （3）图2阴影的面积， 图3阴影的面积， 图4阴影的面积， 图5阴影的面积． 【点评】本题是考查探索和表达规律问题，根据已知条件推算出相关数据规律是解题的切入点． 33．（2024秋•盐都区校级月考）如图，通过观察，小丽同学发现可以用这样的方法确定每个图形中黑色和白色小正方形的总个数：图（1）中共有1个黑色小正方形，图（2）中共有1+3＝22个黑白小正方形，图（3）中共有1+3+5＝32个黑白小正方形，图（4）中共有1+3+5+7＝42个黑白小正方形，回答下列问题． （1）根据前四个图中计算黑白小正方形的总个数的方法和规律，则第（5）个图中计算小正方形个数的等式是：　 　； （2）根据规律，第50个图比第49个图多 　 个小正方形； （3）根据每个图中计算黑白小正方形总个数的方法和规律，计算： ①1+3+5+…+197+199； ②201+203+205+…+297+299． 【分析】（1）根据各图形中小正方形个数的变化可找出变化规律即可求出结论； （2）根据各图形中小正方形个数的变化可找出变化规律“第n个图形中有小正方形的个数为：1+3+5+7+…+（2n﹣1）＝n2（个）”，然后把n＝50和n＝49代入即可求解； （3）①利用（2）的规律即可求解； ②利用1+3+5+7+…+（2n﹣1）＝n2的规律即可求解； 【解答】解：（1）图（1）中共有12个黑色小正方形， 图（2）中共有22个黑白小正方形， 图（3）中共有32个黑白小正方形， 图（4）中共有42个黑白小正方形， ∴图（5）中共有52个黑白小正方形， 故答案为：1+3+5+7+9＝52； （2）∵图（1）中共有1个黑色小正方形， 图（2）中共有1+3＝22个黑白小正方形， 图（3）中共有1+3+5＝32个黑白小正方形， 图（4）中共有1+3+5+7＝42个黑白小正方形， ⋯， 则图（n）中共有1+3+5+7+9+（2n﹣1）＝n2个黑白小正方形， ∴第50个图比第49个图多502﹣492＝99（个）， 故答案为：99； （3）由（2）得图（n）中共有1+3+5+7+9+（2n﹣1）＝n2个黑白小正方形， ∴①2n﹣1＝199，解得：n＝100， ∴1+3+5+⋯+197+199＝1002＝10000； ②2n﹣1＝99，解得：n＝50， ∴201+203+205+⋯+297+299 ＝200×50+（1+3+5+7⋯+97+99） ＝10000+502 ＝12500． 【点评】本题考查了图形的变化规律、有理数混合运算，熟练掌握以上知识点是关键． 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