重难点08 数与式的新定义运算（3大题型）-2024-2025学年七年级数学上册期中复习【重点·难点】专练（人教版2024）

重难点08 数与式中的新定义运算问题 【题型一 有理数中的新定义问题】 1．（2024秋•凉州区校级期中）定义一种新运算：m⊕n＝m2﹣mn，则（﹣3）⊕2的结果为（　　） A．﹣3 B．3 C．15 D．﹣15 2．（2024•杭锦后旗模拟）我们规定：x⊗y＝（x+2）2﹣y，例如：3⊗5＝（3+2）2﹣5＝20，则1⊗（﹣2）的值为（　　） A．4 B．7 C．8 D．11 3．（2023秋•山亭区期末）用“※”定义一种新运算：对于任何有理数a和b，规定a※b＝ab+b2．如1※2＝1×2+22＝6，则﹣4※2的值为（　　） A．﹣4 B．8 C．4 D．﹣8 4．（2024秋•南召县月考）定义一种新运算*，已知1*2＝1×2﹣1＝1，2*（﹣3）＝2×（﹣3）﹣2＝﹣8，则的结果为（　　） A．﹣1 B． C．0 D． 5．（2023秋•江陵县期末）规定运算：a⊗b＝a2+ab﹣5，例如1⊗1＝12+1×1﹣5．则（﹣3）⊗6的值为（　　） A．﹣14 B．﹣32 C．﹣17 D．﹣8 6．（2023•明水县模拟）定义一种新的运算：如果x≠0，则有x▲y＝x+xy+|﹣y|，那么2▲（﹣4）的值是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣5 D．4 7．（2024秋•江夏区月考）定义新运算“*”，规定a*b＝[（a+b）÷（a﹣b）]3（其中a≠b）．例如，1*3＝[（1+3）÷（1﹣3）]3＝[4÷（﹣2）]3＝（﹣2）3＝﹣8．则（﹣9）*（﹣15）的值为（　　） A．﹣64 B．﹣4 C．4 D．64 8．（2023秋•泸县校级期末）若规定“！”是一种数学运算符号，且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1＝24，…，则的值为（　　） A． B． C． D． 9．（2023秋•江岸区期末）定义一种新运算：a*b＝a2﹣b+ab．例如：（﹣1）*3＝（﹣1）2﹣3+（﹣1）×3＝﹣5，则4*[2*（﹣3）]＝　 　． 10．（2024秋•昭通月考）用“⊕”定义一种新运算，对于任何有理数m和n，规定m⊕n＝m2+n2﹣mn，如3⊕1＝32+12﹣3×1＝7，则4⊕（﹣2）的值为　 　． 11．（2024秋•句容市月考）若定义一种新的运算“⊗”，规定有理数a⊗b＝2ab﹣a，如4⊗3＝2×4×3﹣4＝20．则（﹣1）⊗3的值 　 ． 12．（2024秋•闵行区期中）定义一种新运算：对于任意实数a、b，满足＜a，b，当|a|＝1，|b|＝2时，＜a，b＞的最大值为 　 ． 【题型二 整式加减的新定义运算问题】 13．（2024•淮滨县开学）规定符号（a，b）表示a，b两个数中较小的一个，规定符号[a，b]表示a，b两个数中较大的一个．例如（3，1）＝1，[3，1]＝3．则化简（m，m﹣2）+[﹣m，﹣m﹣1]＝（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．2m 14．（2024•民勤县三模）对于任意实数a和b，如果满足那么我们称这一对数a，b为“友好数对”，记为（a，b）．若（x，y）是“友好数对”，则2x﹣3[6x+（3y﹣4）]＝（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 15．（2023春•慈溪市期中）对于任意的有理数a、b，如果满足，那么我们称这一对数a、b为“优美数对”，记为（a，b）．若（m，n）是“优美数对”，则14m﹣2[3m﹣（2n+1）]的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．3 16．（2023秋•南平期末）定义一种新运算“※”的计算规则是：a※b＝a+b（其中a，b都是有理数）．例如3※4＝3+4＝7．下列等式成立的个数是（　　） ①a※b＝b※a ②（a※b）※c＝a※（b※c） ③a※（b+c）＝a※b+a※c A．3 B．2 C．1 D．0 17．（2023春•娄星区期中）如果表示﹣4xyz，表示2abcd，则＝　 　． 18．现规定一种新的运算：ad﹣cb，则的值是　 　． 19．（2024秋•翁源县期中）规定一种新运算：，如．若的值与x的取值无关．则的值为　 　． 20．（2023秋•大丰区期末）对于任意的有理数a，b，如果满足，那么我们称这一对数a，b为“特殊数对”，记为（a，b）．若（m，n）是“特殊数对”，则6m+4[3m+（2n﹣1）]＝　 　． 21．（2024秋•江汉区期中）定义一种新运算a☆b：当a≥b时，a☆b＝2a+b；当a＜b时，a☆b＝2a﹣b．若（x2+2x﹣7）☆（2x2﹣4x+3）＝3，则x的值是 　 　． 22．（2023秋•临汾月考）阅读材料：对于任何数，我们规定符号的意义是ad﹣bc． 例如：3×5﹣4×6＝15﹣24＝﹣9． （1）按照这个规定，请你计算的值． （2）按照这个规定，当x＝5，y＝﹣3时，求的值． 【题型三 数与式的新定义运算问题】 23．（2024•邗江区二模）对于有序实数对（a，b）、（c，d），定义关于“⊕”的一种运算如下： （a，b）⊕（c，d）＝a•c+b•d．例如（1，2）⊕（3，4）＝1×3+2×4＝11． （1）求（2，3）⊕（﹣4，3）的值； （2）若（4，y）⊕（x，3）＝﹣1，且（x，1）⊕（2，y）＝3，求x+y的值． 24．（2024秋•会泽县校级期中）定义：对于任意相邻负整数a，b，规定：． （1）理解定义： 例：；练习：（﹣2）△（﹣3）＝ 　 　； （2）探究规律： 某数学兴趣小组发现：可将a△b转换为减法．你发现了吗？是什么？（温馨提示：你可再举几个例子试试，然后用含a与b的代数式将a△b转换为减法．） （3）应用规律：运用发现的规律求（﹣1）△（﹣2）+（﹣2）△（﹣3）+（﹣3）△（﹣4）+⋯+（﹣2023）△（﹣2024）的值． 25．（2023秋•仪征市期末）对有理数a，b定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“a⊕b”．并按照此运算写出了一些式子：2⊕3＝5，（﹣2）⊕3＝﹣5，2⊕（﹣3）＝﹣5，（﹣2）⊕（﹣3）＝5，（﹣2）⊕（﹣2）＝4，2⊕（﹣2）＝﹣4，2⊕0＝2，（﹣2）⊕0＝2，⋯⋯ （1）根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整： 同号得 　 　，异号得 　 　，并把绝对值 　 　；一个数与0相“乘加”等于 　 　； （2）根据法则计算：（﹣4）⊕2＝ 　 　； ⊕（﹣3）＝ 　 　； （3）若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算： ①[（﹣11）⊕0]⊕（﹣4）； ②[6⊕（﹣1）]⊕[（﹣1）⊕]． 26．（2023秋•普宁市期末）定义一种新的运算，观察下列各式： 1⊙2＝1+2×3＝7， 4⊙（﹣1）＝4+（﹣1）×3＝1， （﹣3）⊙2＝﹣3+2×3＝3， （﹣6）⊙（﹣4）＝﹣6+（﹣4）×3＝﹣18． （1）根据你观察到的规律，计算8⊙（﹣2）； （2）请你用代数式表示m⊙n的结果； （3）若（m﹣n）⊙n＝2，请计算（m﹣4n）⊙（2n﹣1）的值． 27．（2023秋•常州期中）【阅读】对于数对（a，b），若a+b＝ab，则（a，b）称为“天宁数对”．如：因为2+2＝2×2，﹣3，所以（2，2），都是“天宁数对”． 【理解】 （1）下列数对中，是“天宁数对”的是 　 　；（填序号） ①（3，1.5）； ②； ③． 【运用】 （2）若（﹣5，x）是“天宁数对”，求x的值； （3）若（m，n）是“天宁数对”，求代数式4[mn+m﹣2（mn﹣3）]﹣2（3m2﹣2n）+6m2的值． 28．（2023秋•兴化市期末）用“⊕”定义一种新的运算：对于任意有理数x和y，规定：x⊕y＝x2y﹣3xy+y．如：1⊕3＝12×3﹣3×1×3+3＝﹣3． （1）求3⊕（﹣2）的值； （2）若2⊕（﹣3a）＝a+5，求a的值； （3）若P＝m⊕，Q⊕4m，试比较P与Q的大小，并说明理由． 29．（2024秋•大兴区期中）对于有理数a，b，我们给出如下定义：若a，b满足a﹣b＝3ab+1，则称a，b为“和谐有理数对”，记为[a，b]．例如，数对是“和谐有理数对”． （1）数对[0，﹣1]，，，其中是“和谐有理数对”的是 　 　； （2）若[a，﹣a]是“和谐有理数对”，求6a2+4a+5的值； （3）若[m，n]是“和谐有理数对”，则[﹣n，﹣m]　 　（填“是”或“不是”）“和谐有理数对”，说明你的理由． 30．（2023秋•邗江区校级期末）对于整数m，n，定义一种新的运算“⊙”：当m+n为偶数时，规定m⊙n＝2|m+n|+（m﹣n）：当m+n为奇数时，规定m⊙n＝2|m+n|﹣（m﹣n）． （1）当m＝2，n＝4时，m⊙n＝　 　． （2）已知a、b为正整数，（a﹣b）⊙（a+b﹣1）＝4b+5，求1﹣2a+b的值． （3）已知a为正整数，且满足（a⊙a）⊙a＝60+3a，求a的值． 31．（2023秋•甘井子区期中）学习《有理数》和《整式的加减》后，小明对运算产生了兴趣，借助这两章所学的知识定义了一种新运算“#”，规则如下：m#n＝m2﹣mn+1，m，n为有理数，且m≠n． （1）初识运算： 求3#2的值； （2）探究运算： ①先计算（﹣4）#3和3#（﹣4），再说明新定义的运算“#”是否满足交换律； ②请通过计算说明a#（b+c）与a#b+a#c的大小关系； （3）应用运算： 请直接写出#[（﹣3）#（﹣5）]＝　 　． 32．（2023秋•工业园区期末）定义：满足a+b＝ab的一对有理数a，b称为“和谐数对”，记作（a，b）．例如：因为2+2＝2×2，3，所以（2，2），都是“和谐数对”． （1）（﹣2，﹣2），中，是“和谐数对”的是 　 ； （2）若（x+1，5）是“和谐数对”，求x的值； （3）若（m，n）是“和谐数对”，求4mn﹣2（m﹣n+mn﹣1）﹣4n的值． 33．（2023秋•邗江区校级期末）对于整数m，n，定义一种新的运算“⊙”：当m+n为偶数时，规定m⊙n＝2|m+n|+（m﹣n）：当m+n为奇数时，规定m⊙n＝2|m+n|﹣（m﹣n）． （1）当m＝2，n＝4时，m⊙n＝　 　． （2）已知a、b为正整数，（a﹣b）⊙（a+b﹣1）＝4b+5，求1﹣2a+b的值． （3）已知a为正整数，且满足（a⊙a）⊙a＝60+3a，求a的值． 34．（2023秋•东城区校级期中）我们规定：使得a﹣b＝ab成立的一对数a，b为“积差等数对”，记为（a，b）．例如，因为1.5﹣0.6＝1.5×0.6，（﹣2）﹣2＝（﹣2）×2，所以数对（1.5，0.6），（﹣2，2）都是“积差等数对”． （1）下列数对中，是“积差等数对”的是 　 　； ①；②（1.5，3）；③． （2）若（k，﹣4）是“积差等数对”，求k的值； （3）若（m，n）是“积差等数对”，求代数式4[4mn﹣m﹣3（mn﹣1）]﹣2（3m2﹣2n）+6m2的值． 35．（2023秋•江都区期末）类似于运算符号“+、﹣、×、÷”，新定义一种运算符号“△”，规定：x△y＝3x﹣y． （1）若x△（﹣5x+3）＝13，求x的值； （2）若a△（﹣9b）＝12，请计算（a﹣2b）△（5a﹣2024）的值； （3）若m＝（a2﹣2b）△3b，n＝2b△（6a2+15b+1），比较m与n的大小，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点08 数与式中的新定义运算问题 【题型一 有理数中的新定义问题】 1．（2024秋•凉州区校级期中）定义一种新运算：m⊕n＝m2﹣mn，则（﹣3）⊕2的结果为（　　） A．﹣3 B．3 C．15 D．﹣15 【分析】利用题中的新定义计算即可求出值． 【解答】解：根据题意得， （﹣3）⊕2， ＝（﹣3）2﹣2×（﹣3）， ＝9+6， ＝15， 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，审清题意并熟练掌握运算法则是解题的关键． 2．（2024•杭锦后旗模拟）我们规定：x⊗y＝（x+2）2﹣y，例如：3⊗5＝（3+2）2﹣5＝20，则1⊗（﹣2）的值为（　　） A．4 B．7 C．8 D．11 【分析】根据x⊗y＝（x+2）2﹣y，可以计算出1⊗（﹣2）的值． 【解答】解：∵x⊗y＝（x+2）2﹣y， ∴1⊗（﹣2） ＝（1+2）2﹣（﹣2） ＝32+2 ＝9+2 ＝11， 故选：D． 【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是会用新定义解答问题． 3．（2023秋•山亭区期末）用“※”定义一种新运算：对于任何有理数a和b，规定a※b＝ab+b2．如1※2＝1×2+22＝6，则﹣4※2的值为（　　） A．﹣4 B．8 C．4 D．﹣8 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【解答】解：根据题中的新定义得： ﹣4※2 ＝﹣4×2+22 ＝﹣8+4 ＝﹣4． 故选：A． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 4．（2024秋•南召县月考）定义一种新运算*，已知1*2＝1×2﹣1＝1，2*（﹣3）＝2×（﹣3）﹣2＝﹣8，则的结果为（　　） A．﹣1 B． C．0 D． 【分析】根据新定义运算的含义列式计算即可． 【解答】解：由题意可得： （﹣1） ＝﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟知运算法则是解题的关键． 5．（2023秋•江陵县期末）规定运算：a⊗b＝a2+ab﹣5，例如1⊗1＝12+1×1﹣5．则（﹣3）⊗6的值为（　　） A．﹣14 B．﹣32 C．﹣17 D．﹣8 【分析】根据新定义的运算法则计算所求式子的值即可． 【解答】解：∵a⊗b＝a2+ab﹣5， ∴（﹣3）⊗6 ＝（﹣3）2+（﹣3）×6﹣5 ＝9﹣18﹣5 ＝9+（﹣18）+（﹣5） ＝﹣9+（﹣5） ＝﹣14． 故选：A． 【点评】本题考查含乘方的有理数的混合运算，掌握新定义的运算法则是解题的关键． 6．（2023•明水县模拟）定义一种新的运算：如果x≠0，则有x▲y＝x+xy+|﹣y|，那么2▲（﹣4）的值是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣5 D．4 【分析】原式利用题中的新定义化简，计算即可求出值． 【解答】解：根据题中的新定义得： 原式＝2+2×（﹣4）+|﹣（﹣4）| ＝2﹣8+4 ＝﹣2． 故选：B． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 7．（2024秋•江夏区月考）定义新运算“*”，规定a*b＝[（a+b）÷（a﹣b）]3（其中a≠b）．例如，1*3＝[（1+3）÷（1﹣3）]3＝[4÷（﹣2）]3＝（﹣2）3＝﹣8．则（﹣9）*（﹣15）的值为（　　） A．﹣64 B．﹣4 C．4 D．64 【分析】根据a*b＝[（a+b）÷（a﹣b）]3，可以计算出所求式子的值． 【解答】解：∵a*b＝[（a+b）÷（a﹣b）]3， ∴（﹣9）*（﹣15） ＝[（﹣9﹣15）÷（﹣9+15）]3 ＝[（﹣24）÷6]3 ＝（﹣4）3 ＝﹣64， 故选：A． 【点评】本题考查新定义及有理数的混合运算，解题的关键是明确题意，利用新定义解答． 8．（2023秋•泸县校级期末）若规定“！”是一种数学运算符号，且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1＝24，…，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意可知n！＝n（n﹣1）•…×2×1，然后化简所求式子即可． 【解答】解： ， 故选：D． 【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，会用新定义解答问题． 9．（2023秋•江岸区期末）定义一种新运算：a*b＝a2﹣b+ab．例如：（﹣1）*3＝（﹣1）2﹣3+（﹣1）×3＝﹣5，则4*[2*（﹣3）]＝　 　． 【分析】根据a*b＝a2﹣b+ab，分两步把4*[2*（﹣3）]转化为有理数的混合运算计算即可． 【解答】解：∵a*b＝a2﹣b+ab， ∴2*（﹣3） ＝22﹣（﹣3）+2×（﹣3） ＝4+3﹣6 ＝1， ∴4*[2*（﹣3）] ＝4*1 ＝42﹣1+4×1 ＝16﹣1+4 ＝19， 故答案为：19． 【点评】本题考查了新定义，以及有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 10．（2024秋•昭通月考）用“⊕”定义一种新运算，对于任何有理数m和n，规定m⊕n＝m2+n2﹣mn，如3⊕1＝32+12﹣3×1＝7，则4⊕（﹣2）的值为　 　． 【分析】根据题目中的新定义计算，即可求出4⊕（﹣2）的值． 【解答】解：4⊕（﹣2） ＝42+（﹣2）2﹣4×（﹣2） ＝16+4+8 ＝28， 故答案为：28． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，理解新定义运算是解题的关键． 11．（2024秋•句容市月考）若定义一种新的运算“⊗”，规定有理数a⊗b＝2ab﹣a，如4⊗3＝2×4×3﹣4＝20．则（﹣1）⊗3的值 　 ． 【分析】根据a⊗b＝2ab﹣a，可以求得所求式子的值． 【解答】解：∵a⊗b＝2ab﹣a， ∴（﹣1）⊗3 ＝2×（﹣1）×3﹣（﹣1） ＝﹣6+1 ＝﹣5， 故答案为：﹣5． 【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 12．（2024秋•闵行区期中）定义一种新运算：对于任意实数a、b，满足＜a，b，当|a|＝1，|b|＝2时，＜a，b＞的最大值为 　 ． 【分析】先求得a，b的值，再运用定义进行讨论、计算． 【解答】解：∵|a|＝1，|b|＝2， ∴a＝±1，b＝2， ∴当a＝1，b＝2时， ＜a，b＞＝1﹣2×2＝1﹣4＝﹣3； 当a＝1，b＝﹣2时， ＜a，b＞＝﹣2﹣2×1＝﹣2﹣2＝﹣4； 当a＝﹣1，b＝2时， ＜a，b＞＝﹣1﹣2×2＝﹣1﹣4＝﹣5； 当a＝﹣1，b＝﹣2时， ＜a，b＞＝﹣2﹣2×（﹣1）＝2﹣2＝0， ∵﹣5＜﹣4＜﹣3＜0， ∴＜a，b＞的最大值为0， 故答案为：0． 【点评】此题考查了实数运算方面新定义问题的解决能力，关键是能准确理解并运用该定义进行讨论、计算． 【题型二 整式加减的新定义运算问题】 13．（2024•淮滨县开学）规定符号（a，b）表示a，b两个数中较小的一个，规定符号[a，b]表示a，b两个数中较大的一个．例如（3，1）＝1，[3，1]＝3．则化简（m，m﹣2）+[﹣m，﹣m﹣1]＝（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．2m 【分析】根据定义的新运算可得：（m，m﹣2）+[﹣m，﹣m﹣1]＝m﹣2+（﹣m），然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：（m，m﹣2）+[﹣m，﹣m﹣1] ＝m﹣2+（﹣m） ＝﹣2， 故选：C． 【点评】本题考查了整式的加减，有理数大小比较，合并同类项，理解定义的新运算是解题的关键． 14．（2024•民勤县三模）对于任意实数a和b，如果满足那么我们称这一对数a，b为“友好数对”，记为（a，b）．若（x，y）是“友好数对”，则2x﹣3[6x+（3y﹣4）]＝（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 【分析】根据（x，y）是“友好数对”得出16x+9y＝14，再将原式化成﹣（16x+14）+12，最后整体代入求值即可． 【解答】解：∵（x，y）是“友好数对”， ∴， ∴28x+21y＝12x+12y+14， ∴16x+9y＝14， 原式＝2x﹣3（6x+3y﹣4） ＝2x﹣18x﹣9y+12 ＝﹣16x﹣9y+12 ＝﹣（16x+9y）+12 ＝﹣14+12 ＝﹣2， 故选：C． 【点评】本题考查代数式求值，理解“相随数对”的意义是正确计算的关键． 15．（2023春•慈溪市期中）对于任意的有理数a、b，如果满足，那么我们称这一对数a、b为“优美数对”，记为（a，b）．若（m，n）是“优美数对”，则14m﹣2[3m﹣（2n+1）]的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．3 【分析】利用“优美数对”定义得到关于m与n的关系式，原式去括号合并后代入计算即可求出值． 【解答】解：∵（m，n）是“优美数对”， ∴，即3m+2n＝m+n， 整理得：2m+n＝0，即n＝﹣2m， 则原式＝14m﹣6m+4n+2＝8m+4n+2＝8m﹣8m+2＝2． 故选：C． 【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16．（2023秋•南平期末）定义一种新运算“※”的计算规则是：a※b＝a+b（其中a，b都是有理数）．例如3※4＝3+4＝7．下列等式成立的个数是（　　） ①a※b＝b※a ②（a※b）※c＝a※（b※c） ③a※（b+c）＝a※b+a※c A．3 B．2 C．1 D．0 【分析】． 【解答】解：∵a※b＝a+b， ∴a※b＝a+b，b※a＝b+a， ∴a※b＝b※a，故①正确，符合题意； （a※b）※c ＝（a+b）※c ＝a+b+c， a※（b※c） ＝a※（b+c） ＝a+b+c， ∴（a※b）※c＝a※（b※c），故②正确，符合题意； a※（b+c） ＝a+b+c， a※b+a※c ＝a+b+a+c ＝2a+b+c， ∴a※（b+c）≠a※b+a※c，故③错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查整式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 17．（2023春•娄星区期中）如果表示﹣4xyz，表示2abcd，则＝　 　． 【分析】原式利用题中的新定义变形，计算即可得到结果． 【解答】解：由题意可得， ＝（﹣4mn×2）×2n2m3 ＝﹣8mn×2n2m3 ＝﹣16m4n3， 故答案为：﹣16m4n3． 【点评】此题考查了单项式乘单项式，弄清题中的新定义是解本题的关键． 18．现规定一种新的运算：ad﹣cb，则的值是　 　． 【分析】根据规定的运算方法，列式计算即可． 【解答】解：由题意得， ﹣5（xy﹣3x2）+2（﹣2xy﹣x2） ＝﹣5xy+15x2﹣4xy﹣2x2 ＝﹣9xy+13x2， 故答案为：﹣9xy+13x2． 【点评】本题考查列代数式并化简，根据“规定的运算”列出代数式是正确解答的关键． 19．（2024秋•翁源县期中）规定一种新运算：，如．若的值与x的取值无关．则的值为　 　． 【分析】根据新定义，可列式为：1×（x﹣k）﹣2kx，整理得：（1﹣2k）x﹣k，根据题意，的值与x的取值无关，可得1﹣2k＝0，由此解答即可． 【解答】解：根据新定义，可得x﹣k﹣2kx＝（1﹣2k）x﹣k， ∵结果与x的取值无关， ∴1﹣2k＝0， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了整式的混合运算，新定义，掌握有理数的混合运算法则，理解新定义是解题的关键． 20．（2023秋•大丰区期末）对于任意的有理数a，b，如果满足，那么我们称这一对数a，b为“特殊数对”，记为（a，b）．若（m，n）是“特殊数对”，则6m+4[3m+（2n﹣1）]＝　 　． 【分析】先根据“特殊数对”的规定得到m、n的关系，再化简整式整体代入得结论． 【解答】解：∵（m，n）是“特殊数对”， ∴，即15m+10n＝6m+6n． ∴9m+4n＝0． ∴6m+4[3m+（2n﹣1）]＝6m+4（3m+2n﹣1） ＝6m+12m+8n﹣4 ＝18m+8n﹣4 ＝2（9m+4n）﹣4 ＝2×0﹣4 ＝﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查了整式的化简求值，掌握去括号法则、合并同类项法则，理解“特殊数对”的意义是解决本题的关键． 21．（2024秋•江汉区期中）定义一种新运算a☆b：当a≥b时，a☆b＝2a+b；当a＜b时，a☆b＝2a﹣b．若（x2+2x﹣7）☆（2x2﹣4x+3）＝3，则x的值是 　 　． 【分析】根据新定义可得（x2+2x﹣7）☆（2x2﹣4x+3）＝2（x2+2x﹣7）﹣（2x2﹣4x+3），据此计算可得答案． 【解答】解：∵（x2+2x﹣7）﹣（2x2﹣4x+3）＝x2+2x﹣7﹣2x2+4x﹣3＝﹣x2+6x﹣10＝﹣（x2﹣6x+10）， x2﹣6x+10＝（x﹣3）2+1＞0， ∴﹣（x2﹣6x+10）＜0， ∴（x2+2x﹣7）＜（2x2﹣4x+3）， ∴（x2+2x﹣7）☆（2x2﹣4x+3） ＝2（x2+2x﹣7）﹣（2x2﹣4x+3） ＝2x2+4x﹣14﹣2x2+4x﹣3 ＝8x﹣17， ∵（x2+2x﹣7）☆（2x2﹣4x+3）＝3， ∴8x﹣17＝3， 解得x＝2.5． 故答案为：2.5． 【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 22．（2023秋•临汾月考）阅读材料：对于任何数，我们规定符号的意义是ad﹣bc． 例如：3×5﹣4×6＝15﹣24＝﹣9． （1）按照这个规定，请你计算的值． （2）按照这个规定，当x＝5，y＝﹣3时，求的值． 【分析】（1）根据题意，求5×9﹣（﹣2）×8的值即可． （2）先利用运算法则化简2（2x+4）﹣（﹣1）（3xy﹣4x），再将x＝5，y＝﹣3代入求解即可． 【解答】解：（1）由题意得，5×9﹣（﹣2）×8＝45+16＝61． （2） ＝2（2x+4）﹣（﹣1）（3xy﹣4x） ＝4x+8+3xy﹣4x ＝3xy+8． 当x＝5，y＝﹣3时，3xy+8＝﹣37． 【点评】本题考查整式的加减﹣化简求值、有理数的混合运算，正确理解题目定义的新运算，掌握运算法则是解答本题的关键． 【题型三 数与式的新定义运算问题】 23．（2024•邗江区二模）对于有序实数对（a，b）、（c，d），定义关于“⊕”的一种运算如下： （a，b）⊕（c，d）＝a•c+b•d．例如（1，2）⊕（3，4）＝1×3+2×4＝11． （1）求（2，3）⊕（﹣4，3）的值； （2）若（4，y）⊕（x，3）＝﹣1，且（x，1）⊕（2，y）＝3，求x+y的值． 【分析】（1）根据定义的新运算进行计算，即可解答； （2）根据定义的新运算可得4x+3y＝﹣1①，2x+y＝3②，然后利用整体的思想进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：（2，3）⊕（﹣4，3） ＝2×（﹣4）+3×3 ＝﹣8+9 ＝1； （2）∵（4，y）⊕（x，3）＝﹣1， ∴4x+3y＝﹣1①， ∵（x，1）⊕（2，y）＝3， ∴2x+y＝3②， ∴①﹣②得：2x+2y＝﹣4， 解得：x+y＝﹣2． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，解二元一次方程组，理解定义的新运算是解题的关键． 24．（2024秋•会泽县校级期中）定义：对于任意相邻负整数a，b，规定：． （1）理解定义： 例：；练习：（﹣2）△（﹣3）＝ 　 　； （2）探究规律： 某数学兴趣小组发现：可将a△b转换为减法．你发现了吗？是什么？（温馨提示：你可再举几个例子试试，然后用含a与b的代数式将a△b转换为减法．） （3）应用规律：运用发现的规律求（﹣1）△（﹣2）+（﹣2）△（﹣3）+（﹣3）△（﹣4）+⋯+（﹣2023）△（﹣2024）的值． 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）根据题意可得：a△b（a、b为相邻负整数）．； （3）根据（2）的规律把所求式子裂项求解即可． 【解答】解：（1）由题意得，； 故答案为：； （2）， ， ， ， ……， 以此类推可知，a△b（a、b为相邻负整数）． （3）a△b（a、b为相邻负整数）， ∴原式 ． 【点评】本题主要考查了有理数的乘法计算，数字类的规律探索发现规律是关键． 25．（2023秋•仪征市期末）对有理数a，b定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“a⊕b”．并按照此运算写出了一些式子：2⊕3＝5，（﹣2）⊕3＝﹣5，2⊕（﹣3）＝﹣5，（﹣2）⊕（﹣3）＝5，（﹣2）⊕（﹣2）＝4，2⊕（﹣2）＝﹣4，2⊕0＝2，（﹣2）⊕0＝2，⋯⋯ （1）根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整： 同号得 　 　，异号得 　 　，并把绝对值 　 　；一个数与0相“乘加”等于 　 　； （2）根据法则计算：（﹣4）⊕2＝ 　 　； ⊕（﹣3）＝ 　 　； （3）若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算： ①[（﹣11）⊕0]⊕（﹣4）； ②[6⊕（﹣1）]⊕[（﹣1）⊕]． 【分析】（1）根据新的运算，对照式子直接写出答案即可； （2）根据新的运算，写出运算的式子，再计算出结果； （3）根据新的运算和括号的作用，计算出结果． 【解答】解：（1）同号得正，异号得负，并把绝对值相加；一个数与0相“乘加”等于这个数的绝对值， 故答案为：正，负，相加，这个数的绝对值． （2）（﹣4）⊕2＝﹣（|﹣4|+|2|）＝﹣6； ⊕（﹣3）＝||+|﹣3|＝3， 故答案为：﹣6；3． （3）①[（﹣11）⊕0]⊕（﹣4） ＝（﹣11）⊕（﹣4） ＝﹣15； ②[6⊕（﹣1）]⊕[（﹣1）⊕] ＝（﹣7）⊕（﹣1） ＝8． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义的运算对式子进行计算． 26．（2023秋•普宁市期末）定义一种新的运算，观察下列各式： 1⊙2＝1+2×3＝7， 4⊙（﹣1）＝4+（﹣1）×3＝1， （﹣3）⊙2＝﹣3+2×3＝3， （﹣6）⊙（﹣4）＝﹣6+（﹣4）×3＝﹣18． （1）根据你观察到的规律，计算8⊙（﹣2）； （2）请你用代数式表示m⊙n的结果； （3）若（m﹣n）⊙n＝2，请计算（m﹣4n）⊙（2n﹣1）的值． 【分析】（1）根据题目中的例子，可知8⊙（﹣2）＝8+（﹣2）×3，然后计算即可； （2）根据题目中的例子，可以用代数式表示m⊙n的结果； （3）根据（m﹣n）⊙n＝2，可以得到（m﹣n）+3n＝2，然后化简可以得到m+2n＝2，再将所求式子化简，最后将m+2n的值代入计算即可． 【解答】解：（1）由题意可得， 8⊙（﹣2） ＝8+（﹣2）×3 ＝8+（﹣6） ＝2； （2）由题意可得， m⊙n＝m+3n； （3）∵（m﹣n）⊙n＝2， ∴（m﹣n）+3n＝2， 化简，得：m+2n＝2， ∴（m﹣4n）⊙（2n﹣1） ＝（m﹣4n）+3（2n﹣1） ＝m﹣4n+6n﹣3 ＝m+2n﹣3 ＝2﹣3 ＝﹣1． 【点评】本题考查有理数的混合运算、整式的加减、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 27．（2023秋•常州期中）【阅读】对于数对（a，b），若a+b＝ab，则（a，b）称为“天宁数对”．如：因为2+2＝2×2，﹣3，所以（2，2），都是“天宁数对”． 【理解】 （1）下列数对中，是“天宁数对”的是 　 　；（填序号） ①（3，1.5）； ②； ③． 【运用】 （2）若（﹣5，x）是“天宁数对”，求x的值； （3）若（m，n）是“天宁数对”，求代数式4[mn+m﹣2（mn﹣3）]﹣2（3m2﹣2n）+6m2的值． 【分析】（1）根据“天宁数对”的定义即可得到结论； （2）根据“天宁数对”的定义列方程即可得到结论； （3）将原式去括号，合并同类项进行化简，然后根据新定义内容列出等式并化简，最后代入求值． 【解答】解：（1）∵3+1.5＝3×1.5＝4.5， ∴数对（3，1.5）是“天宁数对”， ∵11， ∴（，1）不是“天宁数对”， ∵， ∴数对（，）是“天宁数对”， 故答案为：①③； （2）∵（﹣5，x）是“天宁数对”， ∴﹣5+x＝﹣5x， 解得：x； （3）4[mn+m﹣2（mn﹣3）]﹣2（3m2﹣2n）+6m2 ＝4mn+4m﹣8（mn﹣3）﹣6m2+4n+6m2 ＝4mn+4m﹣8mn+24﹣6m2+4n+6m2 ＝﹣4mn+4m+4n+24， ∵（m，n）是“天宁数对” ∴m+n＝mn， ∴原式＝﹣4mn+4（m+n）+24 ＝﹣4mn+4mn+24 ＝24． 【点评】本题属于新定义内容，考查解一元一次方程，整式的加减—化简求值，理解“积差等数对”的定义，掌握解一元一次方程的步骤以及合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“﹣”号，去掉“﹣”号和括号，括号里的各项都变号）是解题关键． 28．（2023秋•兴化市期末）用“⊕”定义一种新的运算：对于任意有理数x和y，规定：x⊕y＝x2y﹣3xy+y．如：1⊕3＝12×3﹣3×1×3+3＝﹣3． （1）求3⊕（﹣2）的值； （2）若2⊕（﹣3a）＝a+5，求a的值； （3）若P＝m⊕，Q⊕4m，试比较P与Q的大小，并说明理由． 【分析】（1）利用定义的新运算，进行计算即可解答； （2）利用定义的新运算可得22•（﹣3a）﹣3×2•（﹣3a）+（﹣3a）＝a+5，然后进行计算即可解答； （3）利用定义的新运算分别求出P，Q的值，进行比较即可解答． 【解答】解：（1）由题意得： 3⊕（﹣2）＝32×（﹣2）﹣3×3×（﹣2）+（﹣2） ＝9×（﹣2）+18﹣2 ＝﹣18+18﹣2 ＝0﹣2 ＝﹣2； （2）∵2⊕（﹣3a）＝a+5， ∴22•（﹣3a）﹣3×2•（﹣3a）+（﹣3a）＝a+5， 4•（﹣3a）+18a﹣3a＝a+5， ﹣12a+18a﹣3a＝a+5， ﹣12a+18a﹣3a﹣a＝5， 2a＝5， a＝2.5， ∴a的值为2.5； （3）P＞Q， 理由：由题意得： P＝m⊕m2•3m•m2﹣m， Q⊕4m＝（）2•4m﹣3•4m+4m•4m﹣6m+4m＝m﹣6m+4m＝﹣m， ∵m2﹣mm， ∴P＞Q． 【点评】本题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，整式的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键． 29．（2024秋•大兴区期中）对于有理数a，b，我们给出如下定义：若a，b满足a﹣b＝3ab+1，则称a，b为“和谐有理数对”，记为[a，b]．例如，数对是“和谐有理数对”． （1）数对[0，﹣1]，，，其中是“和谐有理数对”的是 　 　； （2）若[a，﹣a]是“和谐有理数对”，求6a2+4a+5的值； （3）若[m，n]是“和谐有理数对”，则[﹣n，﹣m]　 　（填“是”或“不是”）“和谐有理数对”，说明你的理由． 【分析】（1）先分别求出各组数据中的a﹣b和3ab+1的值，然后根据已知条件中的新定义解析判断即可； （2）先根据新定义，列出关于a的等式，求出3a2+2a的值，再利用整体代入求出答案即可； （3）先根据已知条件和新定义，求出关于m，n的等式，然后再求出当a＝﹣n，b＝﹣m时，a﹣b和3ab+1，进行判断即可． 【解答】解：（1）∵当a＝0，b＝﹣1时， a﹣b＝0﹣（﹣1）＝0+1＝1，3ab+1＝3×0×（﹣1）+1＝1， ∴a﹣b＝3ab+1， ∴[0，﹣1]是“和谐有理数对”； ∵当a，b＝5时， a﹣b，3ab+1， ∴a﹣b≠3ab+1， ∴[，5]不是“和谐有理数对”； ∵当a＝﹣2，b时， a﹣b，3ab+1， ∴a﹣b＝3ab+1， ∴[﹣2，]是“和谐有理数对”； 故答案为：[0，﹣1]，[﹣2，]； （2）∵[a，﹣a]是“和谐有理数对”， ∴a﹣（﹣a）＝3a•（﹣a）+1， a+a＝﹣3a2+1， 3a2+2a﹣1＝0， 3a2+2a＝1， ∴6a2+4a+5 ＝2（3a2+2a）+5 ＝2×1+5 ＝2+5 ＝7； （3））[﹣n，﹣m]是“和谐有理数对”，理由如下： ∵[m，n]是“和谐有理数对”， ∴m﹣n＝3mn+1， 当a＝﹣n，b＝﹣m时， a﹣b＝﹣n﹣（﹣m）＝﹣n+m＝m﹣n，3ab+1＝3•（﹣n）•（﹣m）+1＝3mn+1， ∴[﹣n，﹣m]是“和谐有理数对”， 故答案为：是，理由见解析． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算和新定义，解题关键是理解新定义的含义． 30．（2023秋•邗江区校级期末）对于整数m，n，定义一种新的运算“⊙”：当m+n为偶数时，规定m⊙n＝2|m+n|+（m﹣n）：当m+n为奇数时，规定m⊙n＝2|m+n|﹣（m﹣n）． （1）当m＝2，n＝4时，m⊙n＝　 　． （2）已知a、b为正整数，（a﹣b）⊙（a+b﹣1）＝4b+5，求1﹣2a+b的值． （3）已知a为正整数，且满足（a⊙a）⊙a＝60+3a，求a的值． 【分析】（1）根据定义的新运算，算出m⊙n的值即可； （2）先对（a﹣b）⊙（a+b﹣1）进行运算，得到2a﹣b的值，即可求出结果； （3）先算出小括号里面的运算结果，再分两种情况算出括号外面的计算结果，最后与60+3a成立等式，即可求出a的值． 【解答】解：（1）∵m+n＝2+4＝6，结果为偶数， ∴m⊙n＝2|2+4|+（2﹣4）＝10， 故答案为：10． （2）∵a﹣b+a+b﹣1＝2a﹣1， 又∵a、b为正整数， ∴2a﹣1 必为奇数． ∴（a﹣b）⊙（a+b﹣1） ＝2|a﹣b+a+b﹣1|﹣[a﹣b﹣（a+b﹣1）] ＝2|2a﹣1|﹣（﹣2b+1） ＝2（2a﹣1）+2b﹣1 ＝4a+2b﹣3， 即：4a+2b﹣3＝4b+5， ∴4a﹣2b＝8， ∴2a﹣b＝4． ∴1﹣2a+b＝1﹣（2a﹣b）＝1﹣4＝﹣3． （3）∵a为正整数，a+a＝2a， ∴2a必为偶数， ∴a⊙a＝2|a+a|+（a﹣a）＝4a． 当a为偶数时，4a+a＝5a，也为偶数， ∴（a⊙a）⊙a ＝4a⊙a ＝2|4a+a|+（4a﹣a） ＝13a， ∴13a＝60+3a， 解得a＝6； 当a为奇数时，4a+a＝5a，也为奇数， ∴（a⊙a）⊙a ＝4a⊙a ＝2|4a+a|﹣（4a﹣a） ＝7a， ∴7a＝60+3a， 解得a＝15． ∴a的值是6或15． 【点评】本题考查了整式的混合运算和有理数的混合运算，解题的关键是根据定义的新运算进行列式解答． 31．（2023秋•甘井子区期中）学习《有理数》和《整式的加减》后，小明对运算产生了兴趣，借助这两章所学的知识定义了一种新运算“#”，规则如下：m#n＝m2﹣mn+1，m，n为有理数，且m≠n． （1）初识运算： 求3#2的值； （2）探究运算： ①先计算（﹣4）#3和3#（﹣4），再说明新定义的运算“#”是否满足交换律； ②请通过计算说明a#（b+c）与a#b+a#c的大小关系； （3）应用运算： 请直接写出#[（﹣3）#（﹣5）]＝　 　． 【分析】（1）直接根据新定义计算可得； （2）①根据新定义计算，即可判断； ②根据新定义计算，即可判断； （3）根据新定义计算，即可得出答案． 【解答】解：（1）3#2 ＝32﹣3×2+1 ＝9﹣6+1 ＝4； （2）①∵（﹣4）#3 ＝（﹣4）2﹣（﹣4）×3+1 ＝16+12+1 ＝29， 3#（﹣4） ＝32﹣3×（﹣4）+1 ＝9+12+1 ＝22， ∴新定义的运算“#”不满足交换律； ②∵a#（b+c） ＝a2﹣a（b+c）+1 ＝a2﹣ab﹣ac+1， a#b+a#c ＝a2﹣ab+1+a2﹣ac+1 ＝2a2﹣ab﹣ac+2， （a#b+a#c）﹣[a#（b+c）] ＝2a2﹣ab﹣ac+2﹣a2+ab+ac﹣1 ＝a2+1＞0， ∴a#（b+c）＜a#b+a#c； （3）#[（﹣3）#（﹣5）] ＝（）#（9﹣15+1） ＝（）#（﹣5） ＝（）2﹣（）×（﹣5）+1 1 ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算，整式的混合运算顺序和运算法则及新定义的运用． 32．（2023秋•工业园区期末）定义：满足a+b＝ab的一对有理数a，b称为“和谐数对”，记作（a，b）．例如：因为2+2＝2×2，3，所以（2，2），都是“和谐数对”． （1）（﹣2，﹣2），中，是“和谐数对”的是 　 ； （2）若（x+1，5）是“和谐数对”，求x的值； （3）若（m，n）是“和谐数对”，求4mn﹣2（m﹣n+mn﹣1）﹣4n的值． 【分析】（1）利用“和谐数对”的定义判断即可； （2）利用“和谐数对”的定义列出方程解答即可； （3）利用“和谐数对”的定义得m+n＝mn，把所求的式子化简，整体代入计算即可． 【解答】解：（1）∵﹣2+（﹣2）＝﹣4，﹣2×（﹣2）＝4， ∴数对（﹣2，﹣2）不是“和谐数对”； ∵﹣1，﹣1， ∴﹣11， ∴（﹣1，）是“和谐数对”； 故答案为：（﹣1，）； （2）∵（x+1，5）是“和谐数对”， ∴x+1+5＝5（x+1）， 解得x； （3）∵（m，n）是“和谐数对”， ∴m+n＝mn， ∴4mn﹣2（m﹣n+mn﹣1）﹣4n ＝4mn﹣2m+2n﹣2mn+2﹣4n ＝2mn﹣2m﹣2n+2 ＝2mn﹣2（m+n）+2 ＝2mn﹣2mn+2 ＝2． 【点评】本题考查整式的加减—化简求值，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 33．（2023秋•邗江区校级期末）对于整数m，n，定义一种新的运算“⊙”：当m+n为偶数时，规定m⊙n＝2|m+n|+（m﹣n）：当m+n为奇数时，规定m⊙n＝2|m+n|﹣（m﹣n）． （1）当m＝2，n＝4时，m⊙n＝　 　． （2）已知a、b为正整数，（a﹣b）⊙（a+b﹣1）＝4b+5，求1﹣2a+b的值． （3）已知a为正整数，且满足（a⊙a）⊙a＝60+3a，求a的值． 【分析】（1）根据定义的新运算，算出m⊙n的值即可； （2）先对（a﹣b）⊙（a+b﹣1）进行运算，得到2a﹣b的值，即可求出结果； （3）先算出小括号里面的运算结果，再分两种情况算出括号外面的计算结果，最后与60+3a成立等式，即可求出a的值． 【解答】解：（1）∵m+n＝2+4＝6，结果为偶数， ∴m⊙n＝2|2+4|+（2﹣4）＝10， 故答案为：10． （2）∵a﹣b+a+b﹣1＝2a﹣1， 又∵a、b为正整数， ∴2a﹣1 必为奇数． ∴（a﹣b）⊙（a+b﹣1） ＝2|a﹣b+a+b﹣1|﹣[a﹣b﹣（a+b﹣1）] ＝2|2a﹣1|﹣（﹣2b+1） ＝2（2a﹣1）+2b﹣1 ＝4a+2b﹣3， 即：4a+2b﹣3＝4b+5， ∴4a﹣2b＝8， ∴2a﹣b＝4． ∴1﹣2a+b＝1﹣（2a﹣b）＝1﹣4＝﹣3． （3）∵a为正整数，a+a＝2a， ∴2a必为偶数， ∴a⊙a＝2|a+a|+（a﹣a）＝4a． 当a为偶数时，4a+a＝5a，也为偶数， ∴（a⊙a）⊙a ＝4a⊙a ＝2|4a+a|+（4a﹣a） ＝13a， ∴13a＝60+3a， 解得a＝6； 当a为奇数时，4a+a＝5a，也为奇数， ∴（a⊙a）⊙a ＝4a⊙a ＝2|4a+a|﹣（4a﹣a） ＝7a， ∴7a＝60+3a， 解得a＝15． ∴a的值是6或15． 【点评】本题考查了整式的混合运算和有理数的混合运算，解题的关键是根据定义的新运算进行列式解答． 34．（2023秋•东城区校级期中）我们规定：使得a﹣b＝ab成立的一对数a，b为“积差等数对”，记为（a，b）．例如，因为1.5﹣0.6＝1.5×0.6，（﹣2）﹣2＝（﹣2）×2，所以数对（1.5，0.6），（﹣2，2）都是“积差等数对”． （1）下列数对中，是“积差等数对”的是 　 　； ①；②（1.5，3）；③． （2）若（k，﹣4）是“积差等数对”，求k的值； （3）若（m，n）是“积差等数对”，求代数式4[4mn﹣m﹣3（mn﹣1）]﹣2（3m2﹣2n）+6m2的值． 【分析】（1）根据新定义内容进行计算，从而作出判断； （2）根据新定义内容列方程求解； （3）将原式去括号，合并同类项进行化简，然后根据新定义内容列出等式并化简，最后代入求值． 【解答】解：（1）①∵22， ∴（2，）是“积差等数对”； ②∵1.5﹣3≠1.5×3， ∴（1.5，3）不是“积差等数对”； ③∵（﹣1）（﹣1）， ∴（，﹣1）是“积差等数对”； 故答案为：①③； （2）∵（k，﹣4）是“积差等数对”， ∴k+4＝﹣4k， 解得：k， ∴k的值为； （3）原式＝16mn﹣4m﹣12（mn﹣1）﹣6m2+4n+6m2 ＝16mn﹣4m﹣12mn+12﹣6m2+4n+6m2 ＝4mn﹣4m+12+4n， ∵（m，n）是“积差等数对”， ∴m﹣n＝mn， ∴原式＝4mn﹣4（m﹣n）+12 ＝4mn﹣4mn+12 ＝12． 【点评】本题属于新定义内容，考查解一元一次方程，整式的加减—化简求值，理解“积差等数对”的定义，掌握解一元一次方程的步骤以及合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“﹣”号，去掉“﹣”号和括号，括号里的各项都变号）是解题关键． 35．（2023秋•江都区期末）类似于运算符号“+、﹣、×、÷”，新定义一种运算符号“△”，规定：x△y＝3x﹣y． （1）若x△（﹣5x+3）＝13，求x的值； （2）若a△（﹣9b）＝12，请计算（a﹣2b）△（5a﹣2024）的值； （3）若m＝（a2﹣2b）△3b，n＝2b△（6a2+15b+1），比较m与n的大小，并说明理由． 【分析】（1）根据定义的新运算可得3x﹣（﹣5x+3）＝13，然后按照解一元一次方程的步骤进行计算，即可解答； （2）根据定义的新运算可得3a﹣（﹣9b）＝12，从而可得a+3b＝4，然后利用定义的新运算和整体思想进行计算，即可解答； （3）根据定义的新运算进行计算，从而可得m＝3a2﹣9b，n＝﹣6a2﹣9b﹣1，然后利用作差法进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）∵x△（﹣5x+3）＝13， ∴3x﹣（﹣5x+3）＝13， 3x+5x﹣3＝13， 3x+5x＝13+3， 8x＝16， x＝2； （2）∵a△（﹣9b）＝12， ∴3a﹣（﹣9b）＝12， 3a+9b＝12， a+3b＝4， ∴（a﹣2b）△（5a﹣2024） ＝3（a﹣2b）﹣（5a﹣2024） ＝﹣2a﹣6b+2024 ＝﹣2（a+3b）+2024 ＝﹣2×4+2024 ＝﹣8+2024 ＝2016； （3）m＞n， 理由：m＝（a2﹣2b）△3b ＝3（a2﹣2b）﹣3b ＝3a2﹣6b﹣3b ＝3a2﹣9b， n＝2b△（6a2+15b+1） ＝6b﹣（6a2+15b+1） ＝6b﹣6a2﹣15b﹣1 ＝﹣6a2﹣9b﹣1， ∴m﹣n ＝3a2﹣9b﹣（﹣6a2﹣9b﹣1） ＝3a2﹣9b+6a2+9b+1 ＝9a2+1＞0， ∴m＞n． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，整式的加减，解一元一次方程，理解定义的新运算是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$