内容正文:
第8讲 电场
第一部分 专题整合 知识突破
专题三 电场和磁场
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第一部分:专题三 电场和磁场
物理
核心素养 助学提能
课堂评价 高考预测
01
02
限时集训 能力达标
03
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第一部分:专题三 电场和磁场
物理
考点一 电场性质
1.电场中的各个物理量的关系
2.电场强度的计算
(1)定义式:E=eq \f(F,q).电场中某点的电场强度是确定值,其大小和方向与试探电荷q无关.
(2)真空中点电荷:E=keq \f(Q,r2).E由场源电荷Q和场源电荷到某点的距离r决定.
(3)匀强电场:E=eq \f(U,d).式中d为两点间沿电场方向的距离.
3.电势高低的判断方法
(1)根据电场线方向,沿着电场线方向,电势越来越低;
(2)根据电势的定义式φ=eq \f(Ep,q),即将+q从电场中的某点移至无穷远处,电场力做功越多,则该点的电势越高;
(3)根据电势差UAB=φA-φB,若UAB>0,则φA>φB,反之,φA<φB.
4.电势能变化的判断方法
(1)根据电场力做功判断,若电场力对电荷做正功,电势能减少;反之则增加.即W=-ΔEp.
(2)根据能量守恒定律判断,电场力做功的过程是电势能和其他形式的能相互转化的过程,若只有电场力做功,电荷的电势能与动能相互转化,而总和保持不变.
5.电场中带电粒子轨迹的判断分析方法
(1)轨迹的切线方向:速度的方向.
(2)某点电场力方向:沿着该点的电场线的切线方向,轨迹向着电场力的方向弯曲.
[例1] (多选)(2024·四川成都三模)如图所示,在真空中水平放置一长方体高为2L,其上下两个面是边长为L的正方形,在顶点A、C、F、H处分别放置电荷量为+Q的点电荷,O1、O2分别是线段AC和线段FH的中点.下列说法正确的是( )
A.该长方体的几何中心处电场强度为零
B.B、D两点电场强度相同
C.沿竖直方向从O1到O2,电势先减小后增大
D.将一电子从B点移到E点,电场力做负功
[解析] 由等量同种点电荷电场特点可知,A、C处放置的正电荷在长方体的几何中心处电场强度方向竖直向下,F、H处放置的正电荷在长方体的几何体中心处电场强度方向竖直向上,且A、C在几何体中心产生的电场强度与H、F在几何体中心产生的电场强度大小相等,方向向反,则该长方体的几何中心处合场强为零,故A正确;由矢量合成可知,B、D两点的电场强度大小相等,方向不同,故B错误;O1、O2连线中点处电势为零,沿竖直方向从O1到O2,电势先减小后增大,故C
正确;O1、O2连线中点处电势为零,即负电荷在此处电势能为零,B、E两点等电势且电势为正,即负电荷在此两点处电势能相等且为负,所以将一电子从B点移到E点电势能先增大后减小,电场力先做负功后做正功,故D错误.
[答案] AC
对称法
1.(2024·河北卷,7)如图,真空中有两个电荷量均为q(q>0)的点电荷,分别固定在正三角形ABC的顶点B、C.M为三角形ABC的中心,沿AM的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带电细杆,电荷量为eq \f(q,2).已知正三角形ABC的边长为a,M点的电场强度为0,静电力常量为k.顶点A处的电场强度大小为( )
A.eq \f(2\r(3)kq,a2)
B.eq \f(kq,a2)(6+eq \r(3))
C.eq \f(kq,a2)(3eq \r(3)+1)
D.eq \f(kq,a2)(3+eq \r(3))
解析:D [由于M点与A点关于带电细杆对称,故细杆在A处产生的电场强度大小E6=E3=eq \f(3kq,a2),方向竖直向上,B、C在A点产生的合场强EA′=eq \f(2kq,a2)cos 30°=eq \f(\r(3)kq,a2),故A点的电场强度大小E=E′A+E6=(eq \r(3)+3)eq \f(kq,a2),D正确.]
2.(多选)(2024·山东卷,10)如图所示,带电量为+q的小球被绝缘棒固定在O点,右侧有固定在水平面上、倾角为30°的光滑绝缘斜面.质量为m、带电量为+q的小滑块从斜面上A点由静止释放,滑到与小球等高的B点时加速度为零,滑到C点时速度为零.已知A、C间的距离为s,重力加速度大小为g,静电力常量为k,下列说法正确的是( )
A.OB的距离l= eq \r(\f(\r(3)kq2,mg))
B.OB的距离l= eq \r(\f(\r(3)kq2,3mg))
C.从A到C,静电力对小滑块做功W=-mgs
D.AC之间的电势差UAC=-eq \f(mgs,2q)
解析:AD [AB.由题意知小滑块在B点处的加速度为零,则根据受力分析有沿斜面方向mgsin 30°=eq \f(kq2,l2)cos 30°,解得l=eq \r(\f(\r(3)kq2,mg)),A正确,B错误;C.因为滑到C点时速度为零,小滑块从A到C的过程,静电力对小滑块做的功为W,根据动能定理有W+mgssin 30°=0,解得W=-eq \f(mgs,2),故C错误;D.根据电势差与电场强度的关系可知A、C之间的电势差UAC=eq \f(W,q)=-eq \f(mgs,2q),故D正确.]
考点二 电场中的图像问题
电场中几种常见的图像
vt
图像
当带电粒子只受静电力时,从vt图像上能确定粒子运动的加速度方向、大小变化情况,进而可判定粒子运动中经过的各点的电场强度方向、电场强度大小、电势高低及电势能的变化情况
φx
图像
(1)从φx图像中可以直接判断各点电势的高低,进而确定电场强度的方向及试探电荷电势能的变化
(2)φx图线切线的斜率大小表示沿x轴方向电场强度E的大小
Ex
图像
以电场强度沿x轴方向为例:
(1)E>0表示电场强度沿x轴正方向,E<0表示电场强度沿x轴负方向
(2)图线与x轴围成的“面积”表示电势差,“面积”大小表示电势差大小,两点的电势高低需根据电场方向判定
Epx
图像
(1)图像的切线斜率大小表示静电力大小
(2)可用于判断电场强度、动能、加速度等随位移的变化情况
[例2] (2024·山东青岛高三期末)如图为不等量同种点电荷q1、q2连线上各点电势随位置坐标变化的φx图像,图线与φ轴正交,交点处的纵坐标为φ0,a、b为x轴上关于原点O对称的两个点.取无穷远处电势为0,某一正电荷的质量为m,电荷量为e,下列说法正确的是( )
A.q1、q2均带负电
B.两电荷电量之比eq \f(q1,q2)=eq \f(4,1)
C.将正电荷从a点由静止释放,到达b点时速度为0
D.将正电荷从a点由静止释放,若经过O点时速度为v0,则a点电势为φa=φ0+eq \f(mv\o\al(2,0),2e)
[解析] 由图可知x轴上的-x0和2x0之间的电势都大于零,故两个点电荷一定都是正电荷,故A错误;在x=0处φx图像切线的斜率为零,则该点处的电场强度为零,有keq \f(q1,x\o\al(2,0))=keq \f(q2,2x02),解得q1∶q2=1∶4,故B错误;因a点电势高于b点电势,正电荷从a点由静止释放到达b点,静电力做正功,因此到达b点时速度不为0,故C错误;从a点静止释放到O点时,由动能定理可得e(φa-φ0)=eq \f(1,2)mveq \o\al(2,0),得φa=φ0+eq \f(mv\o\al(2,0),2e),故D正确.
[答案] D
1.如图甲所示,真空中有一半径为R、电荷量为+Q的均匀带电球体,以球心为坐标原点,沿半径方向建立x轴.理论分析表明,x轴上各点的电场强度随x变化关系如图乙所示,其中x1=eq \f(R,4)和x2=2R处的电场强度大小相等,则( )
A.x1和x2处电场强度方向相反
B.球内部的电场为匀强电场
C.负试探电荷在位置R处的电势能比在位置x2处的电势能大
D.位置x1处的电势高于位置x2处的电势
解析:D [x1和x2处电场强度均为正值,方向相同,A错误;由图乙可知,球内部的电场强度随x的增大而增大,不是匀强电场,B错误;沿电场线方向电势逐渐降低,所以位置R处的电势比位置x2处的电势高,负试探电荷在位置R处的电势能比在位置x2处的电势能小,C错误;由图乙可知电场强度方向由x1指向x2,根据沿电场线方向电势降低可知位置x1处的电势高于位置x2处的电势,D正确.]
2.(2024·山东日照统考)如图所示,O点为两等量异种点电荷连线的中点,一带正电的粒子(不计重力)从连线上的A点由静止释放,在静电力作用下运动到B点.取A点为坐标原点,沿直线向右为x轴正方向.在粒子从A点运动到B点的过程中,下列关于粒子运动的速度v和加速度a随时间t的变化,运动径迹上电势φ和粒子的电势能Ep随位移x的变化图线可能正确的是( )
解析:B [根据等量异种点电荷的电场线分布可知,在粒子从A到B的运动过程中,电场强度先变小后变大,粒子受到的静电力先变小后变大,则加速度先变小后变大,vt图像切线的斜率先变小后变大,故A错误,B正确;沿着电场线方向电势逐渐降低,电势与位移的图像的斜率表示电场强度,电场强度先减小后增大,所以图像的斜率先减小后增大,故C错误;根据Ep=qφ,得eq \f(ΔEp,Δx)=qeq \f(Δφ,Δx)=qE,E先减小后增大,所以Epx图像切线的斜率先减小后增大,故D错误.]
考点三 带电粒子(体)在电场中的运动
1.带电粒子在电场中的运动
2.解题途径的选择
(1)求解带电粒子在匀强电场中的运动时,运动和力、功能关系两个途径都适用,选择依据是题给条件,当不涉及时间时选择功能关系,否则必须选择运动和力的关系.
(2)带电粒子在非匀强电场中运动时,加速度不断变化,只能选择功能关系求解.
[例3] (2024·广东省高三调研)负离子吹风筒是目前比较流行的吹风筒.如图,某负离子吹风筒吹出含有大量氧离子(-2e)的空气,沿水平方向进入电压为U的加速电场,之后进入偏转电场,偏转电场极板水平且两极板间电压恒为U,极板间距为d,长度也为d.若空气流中所含氧离子分布均匀且横截面积足够大,氧离子质量为m,不考虑空气流分层现象,不计离子间作用力,不计空气对离子流和电场的影响,不计氧离子重力以及氧离子进入加速电场的初速度,求:
(1)氧离子进入偏转电场的速度大小;
(2)能够离开偏转电场的氧离子占进入偏转电场氧离子的比例.
[解析] (1)氧离子进入加速电场,根据动能定理有2eU=eq \f(1,2)mveq \o\al(2,0),解得v0=2eq \r(\f(eU,m));
(2)氧离子在偏转电场中做类平抛运动,偏转电场电场强度为E=eq \f(U,d),
根据牛顿第二定律有2eE=ma,
解得a=eq \f(2eU,md),
若氧离子能够射出偏转电场,根据运动学公式得
t=eq \f(d,v0),y=eq \f(1,2)at2,
联立解得y=eq \f(d,4),
因此,距上极板eq \f(d,4)的氧离子恰好能够离开偏转电场,能够离开偏转电场的氧离子占能够进入偏转电场氧离子的比例为k=eq \f(d-y,d)=eq \f(3,4).
[答案] (1)2eq \r(\f(eU,m)) (2)eq \f(3,4)
1.(多选)(2024·四川省绵阳市第二次诊断)如图所示,质量为m、带电荷量为+q的小圆环套在半径为R的光滑绝缘大圆环上,大圆环固定在竖直平面内,O为环心,A为最低点,B为最高点.在大圆环所在的竖直平面内施加水平向右、电场强度为eq \f(mg,q)的匀强电场,并同时给在A点的小圆环一个向右的水平初速度v0,小圆环恰好能够沿大圆环做完整的圆周运动,则小圆环运动过程中( )
A.动能最小与最大的位置在同一等势面上
B.电势能最小的位置恰是机械能最大的位置
C.在A点获得的初速度为 eq \r(21+\r(2)gR)
D.过B点受到大环的弹力大小为mg
解析:BC [由于匀强电场的电场强度为eq \f(mg,q),即静电力与重力大小相等,作出小圆环在大圆环上的等效最低点C与等效最高点D,如图所示.小圆环在等效最低点速度最大,动能最大,在等效最高点速度最小,动能最小,根据沿电场线电势降低,可知φD>φC,
C点与D点不在同一等势面上,A错误;
小圆环在运动过程中,只有电势能、动能与重力势能的转化,即只有电势能与机械能的转化,则电势能最小的位置恰是机械能最大的位置,B正确;
小圆环恰好能够沿大圆环做完整的圆周运动,即小圆环通过等效最高点D的速度为0,对圆环分析有
-qERsin 45°-mg(R+Rcos 45°)=0-eq \f(1,2)mveq \o\al(2,A),
解得vA=eq \r(21+\r(2)gR),C正确;
小圆环运动到B过程有
-mg·2R=eq \f(1,2)mveq \o\al(2,B)-eq \f(1,2)mveq \o\al(2,A),
在B点有FN+mg=meq \f(v\o\al(2,B),R),
解得FN=(2eq \r(2)-3)mg<0,
可知,小圆环过B点受到大环的弹力大小为
(3-2eq \r(2))mg,D错误.]
2.(2024·烟台二模)如图甲所示,A、B两板竖直放置,两板之间的电压U1=100 V,M、N两板水平放置,两板之间的距离d=0.1 m,板长L=0.2 m.一个质量m=2×10-12kg、电荷量q=+1×10-8C的带电粒子(不计重力)从靠近A板处由静止释放,经加速电场加速后从B板的小孔穿出,沿着M、N两板的中轴线垂直进入偏转电场,如果在M、N两板之间加上如图乙所示的偏转电压,当t=eq \f(T,4)时,带电粒子刚开始进入偏转电场,则:
(1)带电粒子从B板的小孔穿出时的速度为多大?
(2)要使带电粒子能够从M、N两板之间(不沿中轴线)穿出,并且穿出后的速度方向保持水平,则交流电U2的周期T为多少?
(3)在满足(2)条件的情况下,它在偏转电场中的最大偏移量是多少?(结果保留一位有效数字)
解析:(1)由动能定理得qU1=eq \f(1,2)mveq \o\al(2,0),
解得v0= eq \r(\f(2qU1,m))=1×103m/s.
(2)要使带电粒子能够从M、N两板之间穿出,并且穿出后速度方向不变,则带电粒子穿过偏转电场的时间t=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n+\f(1,2)))T(n=0,1,2,…) ①,
带电粒子沿水平方向做匀速直线运动,则L=v0t ②,
所以T=eq \f(4×10-4,2n+1) s(n=0,1,2,…) ③,
带电粒子进入偏转电场时的加速度a=eq \f(qE,m) ④,
电场强度E=eq \f(U2,d) ⑤,
带电粒子在进入偏转电场后的前eq \f(T,4)内沿竖直方向
的位移y=eq \f(1,2)aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T,4)))2 ⑥,
要使带电粒子能够从M、N两板之间穿出,需满足
2y≤eq \f(d,2) ⑦,
联立①~⑦式解得n≥4.5,
所以T=eq \f(4×10-4,2n+1) s(n=5,6,7,…).
(3)要使总偏移量最大,则n应取值最小,故n=5,由此解得,最大偏移量y′=2y≈0.04 m.
答案:(1)1×103 m/s (2)eq \f(4×10-4,2n+1) s(n=5,6,7,…) (3)0.04 m
1.(多选)(2024·四川德阳市联考)如图所示,电荷量分别为q和-q(q>0)的点电荷固定在正四面体的两顶点上,a、b是正四面体的另外两个顶点.则( )
A.a点和b点的电势相等
B.a点和b点的电势不相等
C.a点和b点的电场强度等大但方向不同
D.a点和b点的电场强度等大且方向相同
解析:AD [如图所示,O为两点电荷连线的中点,则平面Oab为等量异种点电荷连线的中垂面,根据等量异种点电荷电势分布特点可知,中垂面为一等势面,则a点和b点的电势相等,故A正确,B错误;由图可知,a点到等量异种点电荷连线的中点O的距离等于b点到等量异种点电荷连线的中点O的距离,根据等量异种点电荷电场强度分布特点可知,a点和b点的电场强度大小相等,a点和b点的电场强度方向均与
q、-q连线平行,方向由q指向-q,即a点和b点的电场强度等大且方向相同,故C错误,D正确.]
2.(2024·安徽合肥市一模)如图所示,一绝缘细直杆AC固定在方向水平向左的匀强电场中,直杆与电场线夹角为45°,杆长为l=eq \f(3\r(2),2) m.一套在直杆上的带电小环,由杆A端以某一速度匀速下滑,小环离开杆后恰好通过杆C端正下方P点,C、P两点相距h.已知环的质量m=0.5 kg,环与杆间的动摩擦因数μ=eq \f(1,3),h=1.2 m,重力加速度g取10 m/s2.求:
(1)小环从杆A端运动到P点的时间;
(2)小环运动到杆A端正下方时的动能Ek.
解析:(1)小环从A到C的过程中匀速下滑,设小环所受静电力为F,因小环能到P点,故F方向向右,对小环受力分析可得
mgsin 45°=Fcos 45°+Ff,
FN=mgcos 45°+Fsin 45°,
又因为Ff=μFN,
解得F=2.5 N,
小环从C到P的过程中,在水平方向有
ax=eq \f(F,m),
0=vcos 45°·t1-eq \f(1,2)axteq \o\al(2,1),
竖直方向有h=vsin 45°·t1+eq \f(1,2)gteq \o\al(2,1),
解得t1=0.4 s,v=eq \r(2) m/s,ax=5 m/s2,
则小环从A运动到P点的时间为
t=eq \f(l,v)+t1=1.9 s;
(2)小环从C到A正下方的过程中,在水平方向有
vx=vcos 45°-axt2,-lcos 45°=vcos 45°·t2-eq \f(1,2)axteq \o\al(2,2),
竖直方向有vy=vsin 45°+gt2,
解得vx=-4 m/s,vy=11 m/s,
则小环运动到杆A端正下方时的动能为
Ek=eq \f(1,2)m(veq \o\al(2,x)+veq \o\al(2,y))=34.25 J.
答案:(1)1.9 s (2)34.25 J
$$