1.6.3 解三角形应用举例 同步测试-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

1.6.3 解三角形应用举例（同步测试）-2024-2025学年高一数学湘教版（2019）必修第二册 一、选择题 1．如图所示，为了测量山高，选择A和另一座山的山顶C作为测量基点，从A点测得M点的仰角，C点的仰角，，从C点测得.已知山高，则山高（单位：m）为( ) A. B. C. D. 2．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为，则山高( ) A. B. C. D. 3．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物MN的顶部M处的仰角分别为，，，且，则建筑物的高度为( ) A. B. C. D. 4．在中,若,则的形状是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 5．如图所示,从热气球A上测得地面上点B的俯角为,点C的俯角为,图中各点在同一铅垂平面内,已知B,C两点间距离为,则热气球距地面的高度为( ) A. B. C. D. 6．已知三角形的三边长分别为4、6、8,则此三角形为( ) A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 7．下图为抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑,简称“解放碑”,位于重庆市渝中区,是抗战胜利的精神象征,是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑.如图：在解放碑的水平地面上的点A处测得其顶点P的仰角为、点B处测得其顶点P的仰角为,若米,且,则解放碑的高度为( ) A.米 B.55米 C.米 D.米 8．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则的形状是______三角形( ) A.等腰 B.直角 C.等腰直角 D.等腰或直角 二、多项选择题 9．某人向正东方向走了后向右转了，然后沿新方向走了，结果离出发点恰好，则x的值为 A. B. C.2 D.3 10．在中，下列说法正确的有( ) A.若，则一定是锐角三角形 B.若，则一定是等边三角形 C.若，则一定是等腰三角形 D.若，，则一定是等边三角形 三、填空题 11．甲船在B岛的正南方向A处，千米，甲船向正北方向航行，同时乙船自B岛出发向北偏东的方向航行，两船航行速度相同，则甲、乙两船的最近距离为________千米. 12．如图,某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°,沿倾斜角为30°的斜坡前进2千米后到达D处,又测得山顶B的仰角为75°,则山的高度BC为______________千米. 13．某人在塔的正东方向沿着南偏西的方向前进40m以后,望见塔在东北方向上,若沿途测得塔的最大仰角为,则塔高为________________m. 14．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度________m. 四、解答题 15．如图，一艘海轮位于灯塔C的北偏东方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东方向上的B处，求A，B两点间的距离（参考数据：，，结果取整数）. 16．如图，某运动员从A市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在A市南偏东方向距A市，且与海岸距离为的海上B处有一艘小艇与运动员同时出发，要追上这位运动员. （1）小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？ （2）求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与的夹角. 参考答案 1．答案：A 解析：在中，，为直角，则， 在中，，，则， 由正弦定理，可得， 在中，，，. 故选：A. 2．答案：D 解析：在中，，， 由正弦定理得，可得， 过点B作，可得， 所以. 故选：D. 3．答案：B 解析：由题意有：底面， 在直角三角形、直角三角形、直角三角形中， ，，， 在三角形中，由余弦定理可得： ， 在三角形中，由余弦定理可得： ， ， 解得：. 故选：B. 4．答案：C 解析：设中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c, 由正弦定理得:,即, 所以, 因为,所以A为钝角,即为钝角三角形. 故选:C. 5．答案：C 解析：在中,,所以, 在中,,所以, 因为B,C两点间距离为, 所以,解得. 故选：C. 6．答案：D 解析：三角形的三边长分别为4、6、8, 不妨设A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,,, 因为是最大边,所以角C是最大角, 根据余弦定理,得, 因为 所以角C是钝角,可得是钝角三角形. 故选：D. 7．答案：A 解析：设,由已知,,,, 则,,又,, 在中：,则 解得或（舍去）,所以解放碑的高度为米. 故选：A. 8．答案：D 解析：由, 由余弦定理得, 化简得, 当时,即,则为直角三角形; 当时,得,则为等腰三角形; 综上：为等腰或直角三角形,故D正确. 故选：D. 9．答案：AB 解析：如图所示，在中，，，，，由余弦定理得，即，整理得，解得或.故选AB. 10．答案：BD 解析：对于A：若，则，所以C为锐角，若满足A为直角，此时符合，但不是锐角三角形，故A错误； 对于B：由于，利用正弦定理有，整理得，因为A，B，，所以，所以为等边三角形，故B正确； 对于C：因为，所以，又A，，则，，所以，即，所以或，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，因为，所以.又，所以，所以，所以，所以，所以一定是等边三角形，故D正确.故选BD. 11．答案： 解析：设甲、乙两船相距最近时，甲、乙分别行至C、D处，如图所示，则， 设，则， 在中，由余弦定理知， 当时，取得最小值75，即取得最小值， 所以甲、乙两船的最近距离为千米. 故答案为：. 12．答案：2 解析:作,垂足为E,如图所示: 由题意得,,, 所以,,,且, 在中,由正弦定理得,即, ,解得, 所以, 故答案为:2. 13．答案： 解析：画示意图如下图所示, 此人在C处,AB为塔高,他沿CD前进,,此时, 从点C到点D所测塔的仰角,只有点B到CD的距离最短时,仰角最大, 这是因为,为定值. 过点B作于点E,连接AE,则. 在中,,,, 由正弦定理,得,. 在中,, , 在中,, 14．答案： 解析：由题设可知在中,，,由此可得,由正弦定理可得，解之得，又因为，所以，应填. 15．答案：193海里 解析：如图，作于D，则为等腰直角三角形， ，故， 又，， 故A，B两点间的距离（海里）. 16．答案：（1） （2） 解析：（1）设小艇以的速度从B处出发，沿方向，后与运动员在C处相遇，过B作的垂线，则，，在中，，，，则，. 由余弦定理，得， 即. 整理得. 当，即时，取得最小值9，即， 所以小艇至少以的速度行驶才能追上这位运动员. （2）当时， 在中，，，， 由余弦定理，得， 所以， 所以小艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角为. 学科网（北京）股份有限公司 $$