4.3.2 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 [学习目标] 知识 层面 1.熟练应用等比数列前n项和的性质解题．　2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 素养 层面 通过对等比数列前n项和性质的应用，培养数学运算、逻辑推理的素养. 问题1.类似于等差数列中的片段和的性质，在等比数列中，你能发现Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)的关系吗？ 提示：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍成等比数列，证明如下： 思路一：当q＝1时，结论显然成立； 当q≠1时，Sn＝，S2n＝，S3n＝. S2n－Sn＝－＝， S3n－S2n＝－ ＝， 而(S2n－Sn)2＝， Sn(S3n－S2n)＝×， 故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列． 思路二：由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，故有S2n－Sn＝qnSn， S3n＝S2n＋q2nSn，故有S3n－S2n＝q2nSn，故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列． 问题2.类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？ 提示：若等比数列{an}的项数有2n项，则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n， 其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，容易发现两列式子中对应项之间存在联系，即S偶＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝qS奇，所以有＝q. 若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶，即S奇＝a1＋qS偶． 问题3.你能否用等比数列{an}中的Sm，Sn来表示Sm＋n? 提示：　思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm＝Sm＋qmSn. 思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn＝Sn＋qnSm. 1．片段和的性质：数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列，公比是qn． 2．S偶与S奇的关系性质：若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： 当n为偶数时，＝q；当n为奇数时，＝q. 学生用书↓第36页 3．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sm＋qmSn＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)． 4．当q＝1时，＝；当q≠1时，＝. [微提醒]　等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0. (1)等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4的值为(　　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．28 B．32 C．21 D．28或－21 (2)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________． (3)(2023·全国甲卷)记Sn为等比数列的前n项和．若8S6＝7S3，则的公比为________． 答案：(1)A　(2)2　(3)－ 解析：(1)因为{an}为等比数列，所以S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，即7，S4－7，91－S4成等比数列，所以(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28，或S4＝－21.因为S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)＞S2，所以S4＝28.故选A． (2)由题意，得 解得 所以q＝＝＝2. (3)法一：若q＝1，则由8S6＝7S3得8·6a1＝7·3a1，则a1＝0，不合题意．所以q≠1.因为8S6＝7S3，所以8·＝7·，即8·(1－q6)＝7·(1－q3)，即8·(1＋q3)(1－q3)＝7·(1－q3)，即8·(1＋q3)＝7，解得q＝－. 法二：由法一知q≠1，因为8S6＝7S3，所以＝，所以由性质＝，得＝＝，所以8·(1－q6)＝7·(1－q3)，即8·(1＋q3)(1－q3)＝7·(1－q3)，即8·(1＋q3)＝7，解得q＝－. [变式探究] 1．(变条件)将本例题(1)中的条件“S2＝7，S6＝91”改为“正项等比数列中Sn＝2，S3n＝14”，求S4n的值． 解：法一：设S2n＝x，S4n＝y，则2，x－2，14－x，y－14成等比数列， 所以 所以或(舍去)所以S4n＝30. 法二：因为Sn＝2，S3n＝14.所以q≠1. 所以Sn＝，S3n＝＝， 所以＝1＋qn＋q2n＝＝7， 因为an＞0，所以qn＝2， 又S4n＝，所以＝(1＋q2n)(1＋qn)． 所以S4n＝Sn(1＋q2n)(1＋qn)＝2×(1＋4)(1＋2)＝30. 2．(变条件，变设问)将例题(1)中条件“S2＝7，S6＝91”改为“公比q＝2，S99＝56”，求a3＋a6＋a9＋…＋a99的值． 解：法一：因为S99＝＝56，q＝2， 所以a3＋a6＋a9＋…＋a99 ＝a3(1＋q3＋q6＋…＋q96)＝a1q2·＝×＝56×＝32. 法二：设b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a97， b2＝a2＋a5＋a8＋…＋a98， b3＝a3＋a6＋a9＋…＋a99， 则b1q＝b2，b2q＝b3，且b1＋b2＋b3＝56， 所以b1(1＋q＋q2)＝56， 所以b1＝＝8， 所以b3＝b1q2＝8×22＝32. 规律方法 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 1．若等比数列{an}共有2n项，要抓住＝q和S偶＋S奇＝S2n这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1这一隐含特点．要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． 2．灵活运用等比数列前n项和的有关性质． 对点练1.(1)(2023·新课标Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　) A．120 B．85 C．－85 D．－120 (2) 一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则数列的通项公式an＝________． 答案：(1)C　(2)12×，n∈N* 解析：(1)法一：设等比数列{an}的公比为q，首项为a1，若q＝1，则S6＝6a1＝3×2a1＝3S2，与题意不符，所以q≠1.由S4＝－5，S6＝21S2可得，＝－5，＝21×①，由①可得，1＋q2＋q4＝21，解得q2＝4，所以S8＝＝×(1＋q4)＝－5×(1＋16)＝－85.故选C． 法二：设等比数列的公比为q，因为S4＝－5，S6＝21S2，所以q≠－1，否则S4＝0，从而，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比数列，所以有(－5－S2)2＝S2(21S2＋5)，解得S2＝－1，或S2＝，当S2＝－1时，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，即为－1，－4，－16，S8＋21，易知，S8＋21＝－64，即S8＝－85；当S2＝时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a1＋a2)(1＋q2)＝(1＋q2)S2>0，与S4＝－5矛盾，舍去．故选C． (2)设数列{an}的首项为a1，公比为q，所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．因为数列{an}的项数为偶数，所以有q＝＝.又因为a1·a1q·a1q2＝64，所以a·q3＝64，即a1＝12，故所求通项公式为an＝12×－1，n∈N*. 应用一　等比数列前n项和的实际应用 (链教材P38例10)(2024·吉林长春校考)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游业．根据规划，本年度投入1 000万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为500万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加. (1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式； (2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？ 参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，lg 5＝0.699 0. 解：(1)由本年度投入1 000万元，以后每年投入将比上年减少，可知年投入为等比数列，且首项为1 000，公比为1－＝，则第n年的投入为1 000万元， 故n年内的总投入为an＝＝5 000－5 000. 由本年度当地旅游业收入估计为500万元，今后旅游业收入每年会比上年增加，知旅游业年收入也为等比数列，且首项为500，公比为1＋＝，则第n年的收入为500万元， 故n年内的旅游业总收入为bn＝＝2 000－2 000. (2)由题意可知bn－an>0， 即2 000－2 000－5 000＋5 000>0， 化简得2＋5－7>0. 设＝x，代入上式并整理得5x2－7x＋2>0， 解得x<，或x>1(舍去)，即<， 不等式两边同时取常用对数得nlg <lg ， 所以n>＝＝＝≈4.1， 由此得n≥5，n∈N*. 故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入． 学生用书↓第37页 规律方法 应用等比数列前n项和公式解决实际应用问题的步骤 第一步：构建数列模型； 第二步：由题意确定数列为等比数列，并由题干提取的条件得基本量； 第三步：利用等比数列的前n项和公式进行计算． [注意]　(1)数列项数的确定，特别是涉及年份的问题，要能正确确认起始年份．(2)正确判断问题是求数列的第n项，还是求数列的前n项和． 对点练2.(2024·福建厦门高二质量检测)某工厂去年12月试产了1 000个电子产品，产品合格率为0.85.从今年1月开始，工厂在接下来的一年中将生产这款产品，1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高10%，产品合格率比前一个月增加0.01. (1)求今年2月生产的不合格产品的数量，并判断哪个月生产的不合格产品的数量最多； (2)求该工厂今年全年生产的合格产品的数量． 参考数据：1.111≈2.85，1.112≈3.14. 解：(1)记从今年1月起，第n月的产量为an，第n月的产品合格率为bn. 由题可知，数列为等比数列，首项a1＝1000，公比q＝1＋10%＝1.1， 数列为等差数列，首项b1＝0.85，公差d＝0.01， 所以an＝1 000×1.1n－1，bn＝0.85＋(n－1)×0.01＝0.01n＋0.84， 所以今年2月份生产的不合格产品数为a2·(1－b2)＝1 000×1.1×(1－0.86)＝154， 设第n月生产的不合格产品数为cn，则cn＝an·(1－bn)＝10×1.1n－1×(16－n)， 所以＝＝， 当n<5时，>1；当n＝5时，＝1； 当n>5时，<1. 所以c1<c2<…<c5＝c6>c7>…>c12， 即5月或6月生产的不合格产品数最多． (2)设今年前n个月生产的合格产品总数为Sn，则Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn 所以S12＝850×1.10＋860×1.11＋870×1.12＋…＋950×1.110＋960×1.111①， 1．1S12＝850×1.11＋860×1.12＋…＋950×1.111＋960×1.112②， ①－②得－0.1S12＝850＋10×(1.1＋1.12＋…＋1.111)－960×1.112 ＝850＋10×－960×1.112 ＝740－860×1.112， 所以S12＝10×(860×1.112－740)≈19 604， 即该工厂今年全年生产的合格产品总数约为19 604个． 应用二　等差、等比数列的综合运算 设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N*)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N*)．已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6. (1)求Sn和Tn； (2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n的值． 解：(1)设等比数列{bn}的公比为q(q>0)． 由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q2－q－2＝0. 因为q>0，可得q＝2，故bn＝2n－1. 所以Tn＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1. 设等差数列{an}的公差为d. 由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4.① 由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋13d＝16，② 联立①②得a1＝1，d＝1，故an＝1＋(n－1)×1＝n. 所以Sn＝1＋2＋…＋n＝. (2)由(1)，有 T1＋T2＋…＋Tn＝(21＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2. 由Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn可得 ＋2n＋1－n－2＝n＋2n＋1， 整理得n2－3n－4＝0，解得n＝－1(舍去)，或n＝4. 所以n的值为4. 规律方法 与等差、等比数列有关的综合问题，其解题过程应注意以下方法与技巧： 1．化归思想：将非等差、等比数列转化构造成等差、等比数列，以便于利用其公式和性质解题． 2．等差(比)数列公式和性质的灵活应用． 3．当题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系． 对点练3.已知Sn是无穷等比数列{an}的前n项和，且公比q≠1，1是S2和S3的等差中项，6是2S2和3S3的等比中项． (1)求S2和S3； (2)求数列{an}的前n项和． 解：(1)根据已知条件得 整理得解得 (2)因为q≠1，所以 解得 所以Sn＝＝－. 知识 1.等比数列前n项和的性质(片段和性质、奇数项和与偶数项和的性质).2.等比数列前n项和的实际应用 方法 1.等比数列前n项和的性质：简化运算，整体代换思想.2.解决等比数列前n项和实际应用问题的思路：建模、解模、还原.3.等差、等比数列的综合运算：公式法、化归思想 易错 误区 应用片段和性质时易忽略其成立的条件 学生用书↓第38页 1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A． B．－ C． D． 答案：A 解析：因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝，所以a7＋a8＋a9＝.故选A． 2．已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1 012，偶数项之和为2 024，则这个数列的公比为(　　) A．8 B．－2 C．4 D．2 答案：D 解析：由＝q，可知q＝＝2.故选D． 3．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________． 答案：6 解析：由题意知，第n天植树2n棵，则前n天共植树2＋22＋…＋2n＝(2n＋1－2)棵，令2n＋1－2≥100，则2n＋1≥102，又26＝64，27＝128，且{2n＋1}单调递增，所以n≥6，即n的最小值为6. 4．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足4a1，2a2，a3成等差数列，则数列{an}的公比q＝______________，如果a1＝1，则S4＝________． 答案：2　15 解析：由4a1，2a2，a3成等差数列，可得4a1＋a3＝4a2，即4a1＋a1q2＝4a1q，可得q2－4q＋4＝0，解得q＝2，又因为a1＝1，则S4＝＝15. 课时测评10　等比数列前n项和的性质及应用 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．(2024·浙江绍兴高二质检)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．3∶4 B．2∶3 C．1∶2 D．1∶3 答案：A 解析：在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，即S10＝，代入(S10－S5)2＝S5(S15－S10)得S15＝S5，得S15∶S5＝3∶4. 故选A． 2．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有1个这种细菌和200个这种病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要(　　) A．6秒钟 B．7秒钟 C．8秒钟 D．9秒钟 答案：C 解析：根据题意，每秒钟细菌杀死的病毒数成等比数列，设需要n秒细菌可将病毒全部杀死，则1＋2＋22＋23＋…＋2n－1≥200，所以≥200，所以2n≥201，结合n∈N*，解得n≥8，即至少需8秒细菌将病毒全部杀死．故选C． 3．一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 答案：B 解析：设等比数列的项数为2n项，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则q＝＝2，又它的首项为1，所以通项为an＝2n－1，中间两项的和为an＋an＋1＝2n－1＋2n＝24，解得n＝4，所以项数为8.故选B． 4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝2S8，则的值是(　　 ) A．－4 B．－ C． D．4 答案：B 解析：法一：已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝2S8，由等比数列的性质得，S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，且公比不为－1，即2S8，－S8，S12－S8成等比数列，所以＝＝－，则2S12－2S8＝S8，所以2S12＝3S8，所以S12＝S8，所以＝＝－.故选B． 法二：由S4＝2S8，令S8＝k(k≠0)，S4＝2k，因为S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，即2k，－k，k成等比数列，所以S12＝S4＋(S8－S4)＋(S12－S8)＝2k－k＋k＝k，所以＝＝－.故选B． 5．(多选)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完”．设第一天这根木棰被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，……，第六天被截取剩下的一半剩下a6尺，则下列结论正确的是(　　 ) A．a6＝ B．＝8 C．a5＋a6＝ D．a1＋a2＋…＋a6＝ 答案：BD 解析：依题意可知，a1，a2，a3，…成等比数列，且首项与公比均为，所以an＝×＝，则a6＝＝，＝＝8，a5＋a6＝＋＝，a1＋a2＋…＋a6＝＋＋…＋＝＝.故选BD． 6．(多选)已知各项均为正数且单调递减的等比数列{an}满足a3，a4，2a5成等差数列，其前n项和为Sn，且S5＝31，则下列结论正确的是(　　) A．an＝ B．an＝2n＋1 C．Sn＝32－ D．Sn＝2n＋4－16 答案：AC 解析：由a3，a4，2a5成等差数列，得3a4＝a3＋2a5，设{an}的公比为q，则2q2－3q＋1＝0，解得q＝或q＝1(舍去)，所以S5＝＝31，解得a1＝16.所以数列{an}的通项公式为an＝16·＝，Sn＝＝32－，故选AC． 7．若等比数列{an}的公比为，且a1＋a3＋…＋a99＝60，则{an}的前100项和为________． 答案：80 解析：令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，Y＝a2＋a4＋…＋a100，则S100＝X＋Y，由等比数列前n项和性质知＝q＝，所以Y＝20，即S100＝X＋Y＝60＋20＝80. 8．(2024·广东佛山高二段考)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，则公比q＝________． 答案： 解析：由210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，得210(S30－S20)＝S20－S10.又S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，所以＝q10＝.又{an}为正项等比数列，所以q＝. 9．《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”的问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问几何日相逢？各穿几何？”其大意为：“今有一堵墙厚5尺，两只老鼠从墙的两边沿一条直线相对打洞穿墙，大老鼠第一天打洞1尺，以后每天是前一天的2倍；小老鼠第一天也打洞1尺，以后每天是前一天的.问大、小老鼠几天后相遇？各自打洞几尺？”如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和，则Sn＝____________尺． 答案：2n－＋1 解析：由题意可知，大老鼠每天打洞的长度构成以1为首项，2为公比的等比数列，前n天打洞长度之和为＝2n－1，小老鼠每天打洞的长度构成以1为首项，为公比的等比数列，前n天打洞长度之和为＝2－，所以Sn＝2n－1＋2－＝2n－＋1. 10．(10分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足S3＝7，S6＝63. (1)求数列{an}的通项公式；(4分) (2)若bn＝an＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.(6分) 解：(1)由题意知S6≠2S3，q≠1， 由等比数列的前n项和等距分段的性质知， q3＝＝＝8，故q＝2， 所以S3＝＝7，代入q＝2可得a1＝1， 所以an＝2n－1. (2)由(1)知bn＝2n－1＋n－1， 所以Tn＝(1＋2＋…＋2n－1)＋[1＋2＋…＋(n－1)] ＝＋ ＝2n＋－1. (11—13每题5分，共15分) 11．(新情境)数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了Fn＝22n＋1(n＝0，1，2，…)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F5＝641×6 700 417，不是质数，现设an＝log4(Fn－1)(n＝1，2，…)，Sn表示数列{an}的前n项和．若32Sn＝63an，则n＝(　　 ) A．5 B．6 C．7 D．8 答案：B 解析：因为Fn＝22n＋1(n＝0，1，2，…)，所以an＝log4(Fn－1)＝log4(22n＋1－1)＝log422n＝log222n＝×2n＝2n－1，所以{an}是等比数列，首项为1，公比为2，所以Sn＝＝2n－1.所以32(2n－1)＝63×2n－1，解得n＝6.故选B． 12．(新定义)(多选)“提丢斯数列”是18世纪由德国数学家提丢斯给出的，具体如下：取0，3，6，12，24，48，96，192，…这样一组数，容易发现，这组数从第3项开始，每一项是前一项的2倍，将这组数的每一项加上4，再除以10，就得到“提丢斯数列”：0.4，0.7，1.0，1.6，2.8，5.2，10.0，…，则下列说法中正确的是(　　 ) A．“提丢斯数列”是等比数列 B．“提丢斯数列”的第99项为 C．“提丢斯数列”的前31项和为＋ D．“提丢斯数列”中，不超过20的有9项 答案：BC 解析：记“提丢斯数列”为数列{an}，则当n≥3时，an＝＝，当n＝2时，a2＝0.7，符合该式，当n＝1时，a1＝0.55≠0.4不符合上式，故an＝不是等比数列，故A错误；a99＝，故B正确；“提丢斯数列”的前31项和为＋(20＋…＋229)＋×30＝＋，故C正确；令≤20，即2n－2≤，得n＝2，3，4，5，6，7，8，又a1＜20，故不超过20的有8项，故D错误．故选BC． 13．已知Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若S6－3S3＝4，则S9－S6的最小值为________． 答案：32 解析：由等比数列的性质，知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列．又S6－3S3＝4，所以S9－S6＝＝＝4S3＋＋16≥2＋16＝32，当且仅当S3＝2时，等号成立，所以S9－S6的最小值为32. 14.(10分)为了保障幼儿园儿童的人身安全，甲、乙两省计划若干时间内两省共新购1 000辆校车．其中，甲省采取的新购方案是：本月新购校车10辆，以后每个月的新购量比上一个月增加50%；乙省采取的新购方案是：本月新购校车40辆，以后每个月比上一个月多新购m辆． (1)求经过n个月，两省新购校车的总数S(n)；(4分) (2)若两省计划在3个月内完成新购目标，求m的最小值．(6分) 解：(1)设an，bn分别为甲省、乙省在第n个月新购校车的数量．依题意，知{an}是首项为10，公比为1＋50%＝的等比数列，{bn}是首项为40，公差为m的等差数列，所以{an}的前n项和Pn＝， {bn}的前n项和Tn＝＝40n＋， 所以经过n个月，两省新购校车的总数为 S(n)＝Pn＋Tn＝＋40n＋ ＝20＋40n＋ ＝20× ＋n2＋n－20. (2)若计划在3个月内完成新购目标，则S(3)≥1 000.所以S(3)＝20× ＋×32＋×3－20≥1 000，解得m≥277.5. 又m∈N*，故所求m的最小值为278. 15．(5分)(新情境)螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图①所示．如图②所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形MNPQ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案．如图②阴影部分，设直角三角形AEH的面积为b1，直角三角形EMQ的面积为b2，后续各直角三角形的面积依次为b3，…，bn，则数列{bn}的前n项和Sn＝______________． 答案：4－4× 解析：由题意，设由外到内依次各正方形的边长分别为a1，a2，a3，…，an，则a1＝4，a2＝ ＝a1，a3＝＝a2＝a1，…，an＝ ＝an－1⇒＝，于是数列{an}是以4为首项，为公比的等比数列，则an＝4×.由题意可得，S△AHE＝，即b1＝，b2＝，…，bn＝， 于是bn＝＝×，所以{bn}是以为首项，为公比的等比数列，Sn＝×＝4×＝4－4×. 16．(15分)(2022·新高考Ⅱ卷)已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4. (1)证明：a1＝b1；(5分) (2)求集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数．(10分) 解：(1)证明：设等差数列{an}的公差为d， 所以 解得b1＝a1＝，所以原命题得证． (2)由(1)知，b1＝a1＝，所以bk＝am＋a1⇔b1×2k－1＝a1＋(m－1)d＋a1，即2k－1＝2m，亦即m＝2k－2∈[1，500]，解得2≤k≤10， 所以满足条件的解k＝2，3，4，…，10，故集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中的元素个数为10－2＋1＝9. 学科网（北京）股份有限公司 $$