4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

4．3.2　等比数列的前n项和公式 第1课时　等比数列的前n项和公式 [学习目标] 知识 层面 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列通项公式与前n项和公式的关系．　2.会求解与等比数列前n项和有关的基本运算．　3.理解等比数列前n项和公式的函数特征． 素养 层面 通过等比数列前n项和公式的应用，培养数学运算、逻辑推理的素养. 问题1.若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，你能根据Sn与qSn的关系推导该等比数列的前n项和的公式吗？ 提示：能．因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1，上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn， 发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn，即(1－q)Sn＝a1(1－qn)，当q≠1时，有Sn＝，而当q＝1时，Sn＝na1. 问题2.当q≠1时，由等比数列的定义得＝＝…＝＝q，你能依据上式推导前n项和的公式吗？ 提示：能．当q≠1时，由等比数列的定义得＝＝…＝＝q，根据等比数列的性质，有＝＝q，＝q⇒(1－q)Sn＝a1－anq，所以当q≠1时，Sn＝，该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比数列的性质，推导出了公式． 1．等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和 公式 公式一 Sn＝ 公式二 Sn＝ 2.错位相减法 (1)推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法． (2)该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bn ·cn}的前n项和Sn时，可以用这种方法． 学生用书↓第33页 [微提醒]　(1)等比数列前n项和公式分q＝1与q≠1两种情况，因此当公比未知或是代数式时，要对公比分类讨论．(2)当q≠1时，若已知a1，q和n，则用Sn＝较方便，若已知a1，an及q，则用Sn＝较方便．(3)解决等比数列的问题时，a1，an，n，q，Sn五个量中，知道任意三个，由通项公式和前n项和公式，可求出另外两个． (链教材P35例7)已知数列{an}是等比数列． (1)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5； (2)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n； (3)(2024·北京顺义高二期中)若S3＋S6＝S9，求其公比q. 解：(1)法一：由题意知 解得 从而S5＝＝. 法二：由(a1＋a3)q3＝a4＋a6， 得q3＝，从而q＝. 又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10， 所以a1＝8，从而S5＝＝. (2)法一：由Sn＝，an＝a1qn－1以及已知条件，得 所以a1·2n＝192，所以2n＝. 于是189＝a1(2n－1)＝a1， 所以a1＝3.又因为2n－1＝＝32，故n＝6. 法二：由公式Sn＝及已知条件，得189＝，解得a1＝3. 又由an＝a1·qn－1，得96＝3·2n－1，解得n＝6. (3)若q＝1，则S3＝3a1，S6＝6a1，S9＝9a1，显然满足S3＋S6＝S9，所以q＝1符合题意； 若q≠1，则＋＝， 整理得(q6－1)(q3－1)＝0，解得q＝－1(q＝1舍去)． 综上，公比q的值等于1或－1. [变式探究]　(变条件)本例(3)中，若将条件改为“数列{an}是等比数列，且S3＝3a3”，求其公比q的值． 解：法一：当q＝1时，S3＝3a1＝3a3，符合题意； 当q≠1时，＝3a1q2，因为a1≠0，所以1－q3＝3q2(1－q)，解得q＝－，(q＝1舍去)． 综上，q＝1，或q＝－. 法二：由S3＝3a3可知a1＋a2＋a3＝3a3，即a1＋a1q－2a1q2＝0. 由于a1≠0，则2q2－q－1＝0，解得q＝1，或q＝－. 方法技巧 等比数列前n项和运算的技巧 1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． 2．对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可以看作一个整体． [注意]　在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．　　 对点练1.已知数列{an}是等比数列． (1)若an＝3×2n，求S6； (2)若S2＝30，S3＝155，求Sn； (3)若a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求公比q. 解：(1)因为an＝3×2n＝6×2n－1，所以该等比数列的首项a1＝6，公比q＝2， 于是S6＝＝378. (2)由题意知 解得或 从而Sn＝＝＝×5n＋1－或Sn＝＝. (3)因为a2an－1＝a1an＝128， 所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两个根． 从而或又Sn＝＝126， 即＝126，或＝126，所以q＝2或q＝. 学生用书↓第34页 角度1　利用前n项和公式判断等比数列 数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否是等比数列． 解：法一：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2×3n－1. 当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式． 所以an＝ 由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列． 法二：由等比数列{an}的公比q≠1时的前n项和Sn＝A·qn＋B满足的条件为A＝－B，对比可知Sn＝3n－2，2≠1，故{an}不是等比数列． [变式探究] 1.(变条件，变设问)若将本题改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n＋1－2k，则实数k＝________． 答案： 解析：因为Sn＝3n＋1－2k＝3·3n－2k，且{an}为等比数列，所以3－2k＝0，即k＝. 2．(变条件，变设问)若将本题改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝a·＋5，则实数a＝________． 答案：－ 解析：由Sn＝a·＋5，可得Sn＝3a·＋5，依题意有3a＋5＝0，故a＝－. 规律方法 1．已知Sn，通过an＝求通项an，应特别注意当n≥2时，an＝Sn－Sn－1. 2．若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列. 对点练2.已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零且不等于1的常数)，则数列{an}(　　 ) A．一定是等差数列 B．一定是等比数列 C．是等差数列或等比数列 D．既非等差数列，也非等比数列 答案：B 解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)·an－1；当n＝1时，a1＝a－1，满足上式．故an＝(a－1)·an－1，n∈N*，因为＝a，所以数列{an}一定是等比数列．故选B． 角度2　利用an与Sn的关系判断等比数列 若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________． 答案：(－2)n－1 解析：法一：当n＝1时，由Sn＝an＋，得a1＝a1＋，即a1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝an－an－1，即an＝－2an－1，故数列{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列，从而{an}的通项公式是an＝(－2)n－1. 法二：因为Sn＝an＋，所以＝，＝－，于是q＝－2，a1＝1，从而{an}的通项公式是an＝(－2)n－1. 法三：因为Sn＝an＋，所以数列{an}是等比数列，由得所以公比q＝－2， 所以{an}的通项公式是an＝(－2)n－1. 规律方法 解决Sn和an的关系的方法 1．法一：由an与Sn的关系式，结合an＝来求解． 2．法二：由an与Sn的关系式知数列{an}是等比数列，则Sn＝Aan＋B．A＝－，B＝. 3．法三：由an与Sn的关系式知数列{an}是等比数列，赋值求解． 对点练3. (多选)(2024·江苏镇江高二期末)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an＋1(n∈N*)，则(　　) A．a1＝－1 B．S5＝－32 C．数列{an}是等比数列 D．数列的前n项和为2－2n＋1 答案：ACD 解析：因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，S1＝a1＝2a1＋1，所以a1＝－1，故A正确；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2(an－an－1)，所以an＝2an－1，即＝2，所以{an}是以a1＝－1为首项，2为公比的等比数列，故C正确；所以an＝－1·2n－1＝－2n－1，Sn＝2an＋1＝－2n＋1，所以S5＝－25＋1＝－31，故B错误；因为Sn－1＝－2n，所以数列是首项为－2，公比为2的等比数列，则数列前n项和为＝2－2n＋1，故D正确．故选ACD． 知识 1. 等比数列的前n项和公式.2.等比数列前n项和公式的函数特征 方法 1.等比数列的前n项和公式的推导：错位相减法.2.等比数列的前n项和公式的有关运算：基本量法、巧用性质法、方程思想.3.利用等比数列前n项和公式的函数特征判断等比数列：公式法、模型思想 易错 误区 1.等比数列的前n项和公式分公比q＝1与q≠1两种情况，因此当公比未知时，要对公比进行分类讨论.2.等比数列前n项和公式中项数的判断易出错 学生用书↓第35页 1．已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S5等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．93 B．－93 C．45 D．－45 答案：A 解析：S5＝＝＝93.故选A． 2．(2023·全国甲卷)(2023·全国甲卷理)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝(　　) A． B． C．15 D．40 答案：C 解析：由题知1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，即q3＋q4＝4q＋4q2，即q3＋q2－4q－4＝0，即(q－2)(q＋1)(q＋2)＝0.由题知q>0，所以q＝2.所以S4＝1＋2＋4＋8＝15.故选C． 3．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝4n－1＋t，则下列结论正确的是(　　 ) A．首项a1的值不确定 B．公比q＝ C．a2＝1 D．t＝－ 答案：D 解析：已知Sn＝4n－1＋t，则a1＝S1＝40＋t＝t＋1，a2＝S2－S1＝4＋t－(1＋t)＝3，a3＝S3－S2＝16＋t－(4＋t)＝12，所以q＝＝4，因为a1＝t＋1＝＝，所以t＝－.故选D． 4．(易错题)已知在等比数列{an}中，a3＝，S3＝，则a1＝________． 答案：或6 解析：法一：当q＝1时，a1＝a2＝a3＝，满足S3＝.当q≠1时，依题意，得解得综上可得a1＝或a1＝6. 法二：所以a1＋a2＝3，所以＝＝2， 所以q＝1，或q＝－.所以a1＝，或a1＝6. 课时测评9　等比数列的前n项和公式 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．首项为a的数列{an}既是等差数列，又是等比数列，则这个数列的前n项和Sn为(　　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．an－1 　 B．an C．(n－1)a 　 D．na 答案：D 解析：既是等差数列又是等比数列的数列为常数列．故选D． 2．等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于(　　 ) A． B． C． D． 答案：C 解析：当x＝1时，Sn＝n；当x≠1，且x≠0时，Sn＝.故选C． 3．在等比数列{an}中，a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，则公比q等于(　　 ) A． 2 B． C．4 D． 答案：C 解析：因为a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，所以a4－a3＝3(S3－S2)＝3a3，即a4＝4a3，所以q＝＝4.故选C． 4．(2024·北京东城高二期中)1＋3＋32＋33＋…＋3n＋1(n∈R*)可以化简为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：1＋3＋32＋33＋…＋3n＋1＝＝.故选C． 5．(多选)已知等比数列{an}是递增数列，其前n项和为Sn，若a2＋a4＝10，a2a3a4＝64，则下列结论正确的是(　　 ) A．Sn＋1－Sn＝2n＋1 B．an＝2n－1 C．Sn＝2n－1 D．Sn＝2n－1－1 答案：BC 解析：设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由a2a3a4＝64，得a＝43，则a3＝4，由a2＋a4＝10，得＋4q＝10，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2，或q＝.又因为数列{an}是递增数列，所以q＝2，所以2a1＋8a1＝10，解得a1＝1.所以an＝2n－1，Sn＝＝2n－1，所以Sn＋1－Sn＝2n＋1－1－(2n－1)＝2n.故选BC． 6．(多选)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2＋a5＝0，则下列式子中数值确定的是(　　 ) A． B． C． D． 答案：ABC 解析：由8a2＋a5＝0得8a2＋a2q3＝0，因为a2≠0，所以q3＝－8，所以q＝－2.对于A，＝q2＝4；对于B，＝＝＝；对于C，＝＝＝；对于D，＝与n有关，不确定．故选ABC． 7．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn＝93，an＝48，公比q＝2，则项数n＝________，a1＝________． 答案：5　3 解析：由Sn＝93，an＝48，公比q＝2， 得解得 8．(2024·贵州贵阳五校联考)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝λ3n－1，则a4＝________． 答案：54 解析：法一(常规解)：当n＝1时，S1＝a1＝3λ－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝λ(3n－3n－1)＝2λ·3n－1.又{an}是等比数列，所以a1＝2λ＝3λ－1，解得λ＝1，所以an＝2·3n－1，所以a4＝2·33＝54. 法二(速解)：由等比数列{an}的前n项和公式的特点及题意知，λ＝1，所以Sn＝3n－1 ，所以a4＝S4－S3＝(34－1)－(33－1)＝54. 9．(2024·山东烟台高二联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，2Sn＝an＋1－1，则Sn＝________． 答案： 解析：当n＝1时，则有2S1＝a2－1，所以a2＝2S1＋1＝2a1＋1＝3；当n≥2时，由2Sn＝an＋1－1得2Sn－1＝an－1，上述两式相减得2an＝an＋1－an，所以an＋1＝3an，得＝3且＝3，所以数列{an}是以1为首项，以3为公比的等比数列，所以Sn＝＝. 10．(10分)在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通项公式；(4分) (2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.(6分) 解：(1)设等比数列{an}的公比为q，由题意得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2，或q＝2.故an＝(－2)n－1，或an＝2n－1. (2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.由Sm＝63，得＝63，即(－2)m＝－188， 此方程没有正整数解． 若an＝2n－1，则Sn＝＝2n－1. 由Sm＝63，得2m－1＝63，即2m＝64，解得m＝6. 综上，m＝6. (11—13每题5分，共15分) 11．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N*，满足＝9，＝，则数列{an}的公比为(　　 ) A．－2 B．2 C．－3 D．3 答案：B 解析：设数列{an}的公比为q，若q＝1，则＝2，与题中条件矛盾，故q≠1.因为＝＝qm＋1＝9，所以qm＝8. 因为＝＝qm＝8＝， 所以m＝3，所以q3＝8，所以q＝2.故选B． 12．(多选)设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn.已知Sn＋1＝2Sn＋n－1，则下列结论正确的是(　　 ) A．数列{an}为等比数列 B．数列{Sn＋n}为等比数列 C．数列{an}中，a10＝511 D．数列{2Sn}的前n项和为2n＋2－n2－n－4 答案：BCD 解析：因为Sn＋1＝2Sn＋n－1，所以＝＝2.又S1＋1＝2，所以数列{Sn＋n}是首项为2，公比为2的等比数列，故B正确；所以Sn＋n＝2n，则Sn＝2n－n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－1，且a1≠21－1－1，故A错误；由当n≥2时，an＝2n－1－1可得a10＝29－1＝511，故C正确；因为2Sn＝Sn＋1－n＋1＝2n＋1－(n＋1)－n＋1＝2n＋1－2n，所以2S1＋2S2＋…＋2Sn＝22－2×1＋23－2×2＋…＋2n＋1－2n＝22＋23＋…＋2n＋1－2(1＋2＋…＋n)＝－2×＝2n＋2－n2－n－4，所以数列{2Sn}的前n项和为2n＋2－n2－n－4，故D正确．故选BCD． 13．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q≠1.若a1＝1，且对任意的n∈N*都有an＋2＋an＋1＝2an，则S5等于________． 答案：11 解析：an＋2＋an＋1＝2an等价于anq2＋anq＝2an.因为an≠0，故q2＋q－2＝0，即(q＋2)(q－1)＝0.因为q≠1，所以q＝－2，故S5＝＝11. 14．(10分)已知数列的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝1(n∈N*) (1)证明：数列是等比数列；(4分) (2)求的值．(6分) 解：(1)证明：由an＋Sn＝1(n∈N*)①得an＋1＋Sn＋1＝1②， ②－①得：2an＋1＝an，即＝，当n＝1时，2a1＝1，解得a1＝， 所以是以为首项，为公比的等比数列． (2)由(1)知a10＝a1·9＝10， S10＝＝1－， 所以＝＝210－1＝1 023. 15．(5分)(新情境)(多选)如图所示，作边长为3的正△ABC的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去，则下列说法正确的是(　　 ) A．△ABC为第一个正三角形，那么第三个正三角形面积为 B．△ABC为第一个正三角形，那么第三个正三角形面积为 C．n个内切圆的面积和为π D．n个内切圆的面积和为3π 答案：BC 解析：S△ABC＝×32＝，因为下一个三角形面积依次为上一个正三角形面积的倍，所以第三个正三角形的面积为×＝.故A错误，B正确．又根据条件，第一个内切圆的半径为×3＝，面积为π，第二个内切圆的半径为，面积为π，…，这些内切圆的面积组成一个等比数列，首项为π，公比为，故面积之和为＝π，故C正确，D错误．故选BC． 16.(15分)(开放题)在①a1＝1，②a2＋a4＝10，③数列为等比数列这三个条件中选出两个，补充在下面的横线上，并解答这个问题． 问题：已知等比数列的前n项和为Sn，________． (1)求数列的通项公式；(5分) (2)若的前n项和为Tn，且Tm＝26，求m的值．(10分) 注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 解：(1)：选条件①②： 设数列的公比为q，则a2＋a4＝q＋q3＝q(1＋q2)＝10，所以q＝2， 所以an＝a1×qn－1＝2n－1. 选条件①③： 设数列的公比为q，因为a1＝1，数列为等比数列， 所以(S2＋a1)2＝(S1＋a1)·(S3＋a1)， 得(2a1＋a2)2＝2a1·(2a1＋a2＋a3)， 化简可得(2＋q)2＝2(2＋q＋q2)，得q＝2. 所以an＝a1×qn－1＝2n－1. 选条件②③： 设数列的公比为q，因为数列为等比数列， 所以(S2＋a1)2＝(S1＋a1)·(S3＋a1)， 得(2a1＋a2)2＝2a1·(2a1＋a2＋a3)， 化简可得a(2＋q)2＝2a(2＋q＋q2)， 因为a≠0，所以q＝2. 因为a2＋a4＝a1q＋a1q3＝2a1＋8a1＝10， 所以a1＝1，所以an＝a1×qn－1＝2n－1. (2)根据等比数列求和公式可得Sn＝＝＝2n－1，可得Tn＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝－n＝2n＋1－2－n. 所以Tm＝2m＋1－2－m＝26，得m＝4. 学科网（北京）股份有限公司 $$