4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 [学习目标] 知识 层面 1.理解等差数列前n项和的性质并学会运用．　2.能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值．　3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题. 素养 层面 通过对等差数列前n项和的性质的应用，培养数学运算、逻辑推理的素养. 知识点一　等差数列前n项和的性质 问题1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，你能发现Sn，S2n－Sn，S3n－S2n的关系吗？ 提示：S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同样我们发现S3n＝3Sn＋3n2d，这里出现了一个数列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列． 问题2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，则数列是等差数列吗？ 提示：由等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d，得＝a1＋(n－1)，所以数列是以a1为首项，以为公差的等差数列，且点(n＝1，2，3，…)共线． 学生用书↓第21页 问题3.公差为d，项数为2n项的等差数列{an}中，各项和S2n、奇数项之和S奇与偶数项之和S偶分别如何表示？若项数为(2n＋1)项呢？ 提示：(1)若数列共有2n项，则S2n＝＝＝n(an＋an＋1)， S奇＝＝＝nan，S偶＝＝＝nan＋1. (2)若数列共有(2n＋1)项，则S2n＋1＝＝＝(2n＋1)an＋1，S奇＝＝＝(n＋1)an＋1，S偶＝＝＝nan＋1. 等差数列前n项和的性质 性质1： “片段和” 性质 (1)若Sn，S2n，S3n，…分别为等差数列{an}的前n项，前2n项，前3n项，…和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d． (2)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，公差为 性质2： “奇偶项” 性质 (1)若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝(S奇≠0)． (2)若等差数列的项数为2n－1(n∈N*)，则S2n－1＝(2n－1)an(an是数列的中间项)，S奇－S偶＝an，＝(S奇≠0) 性质3： 其它性质 (1)在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n)． (2)若{an}，{bn}为等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则＝，＝·. [微提醒]　(1)上述性质可用于小题，大题中要先证再用．(2)性质Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等差数列，不能误解为Sn，S2n，S3n，…成等差数列． (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，若－＝100，则d的值为(　　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．1 B． C． D． (2)(2024·宁夏中宁月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S2n＝6，S3n＝12，则Sn的值为(　　 ) A．0 B．2　 C．3 D．4 (3)已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为(　　 ) A．5 B．4 C．3 D．2 答案：(1)A　(2)B　(3)C 解析：(1)根据Sn＝，得－＝＝100，则d＝1.故选A． (2)因为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，故有2(6－Sn)＝Sn＋(12－6)，解得Sn＝2.故选B． (3)由题知S偶－S奇＝5d，所以d＝＝3.故选C． 规律方法 利用等差数列前n项和的性质简化计算 1．在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求是基本解法，但有时运算量大些． 2．等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果． 3．设而不求，整体代换也是很好的解题方法． 对点练1.(1)(2024·陕西西安月考)等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为165，所有的偶数项之和为150，则n＝________． (2)(2024·江苏镇江高二期中)已知Sn是等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2 022，－＝6，则S2 024＝________． 答案：(1)10　(2)2 024 解析：(1)因为等差数列共有2n＋1项，所以由＝得，＝，解得n＝10. (2)由等差数列的性质可得数列也为等差数列．设其公差为d，则－＝6d＝6，所以d＝1.故＝＋2 023d＝－2 022＋2 023＝1，所以S2 024＝1×2 024＝2 024. 对点练2.(2024·湖北鄂南高二检测)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，求S110. 解：法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 因为S10＝100，S100＝10， 所以 解得 所以S110＝110a1＋d ＝110×＋×＝－110. 法二：因为S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列，设公差为d，所以该数列的前10项和为10×100＋d＝S100＝10，解得d＝－22， 所以前11项和S110＝11×100＋×(－22)＝－110. 法三：由也是等差数列，构造新的等差数列b1＝＝10，b10＝＝， 则d＝(b10－b1)＝＝－， 所以b11＝＝b10＋d＝＋＝－1， 所以S110＝－110. 法四：直接利用性质若Sn＝m，则Sm＝n，Sm＋n＝－(m＋n)，可知S110＝－110. 学生用书↓第22页 知识点二　等差数列前n项和的最值 问题4.根据上节课所学，若一个数列{an}的前n项和为Sn＝－n2＋5n，你能说明数列{an}的单调性吗？该数列的前n项和有最值吗？ 提示：由Sn＝－n2＋5n求得an＝－2n＋6，d＝－2<0，故数列{an}是递减数列，由an＝－2n＋6知，a1>a2>0，a3＝0，0>a4>a5>…，则该数列的前n项和Sn在n＝2或n＝3时取到最大值． 等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中， 当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定； 当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定． (2)Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值． [微思考]　在求等差数列前n项和的最值中，Sn取得最大或最小值时的n唯一吗？是否也一定在顶点处取到呢？ 提示：由于n取正整数，所以Sn取得最大或最小值时的n不一定唯一(例如人教A版教材P23例9在n＝5，或n＝6时取最大值)，同时也不一定在顶点处取到最值，而可能是在离顶点最近的横坐标取正整数的点处取到最值． (链教材P23例9)数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2. (1)求{an}的通项公式； (2){an}的前多少项和最大． 解：(1)法一(公式法)： 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝33n－n2－33(n－1)＋(n－1)2＝34－2n， 又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1，满足an＝34－2n. 故{an}的通项公式为an＝34－2n. 法二(结构特征法)： 由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以{an}是等差数列，由Sn的结构特征知 解得a1＝32，d＝－2， 所以an＝32＋(n－1)×(－2)＝34－2n. (2)法一(公式法)： 令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17， 故数列{an}的前17项大于或等于零，又a17＝0， 故数列{an}的前16项或前17项的和最大． 法二(函数性质法)： 由y＝－x2＋33x的对称轴为x＝， 距离最近的整数为16，17. 由Sn＝－n2＋33n的图象可知： 当n≤17时，an≥0，当n≥18时，an<0， 故数列{an}的前16项或前17项的和最大． [变式探究] 1．(一题多解)(变条件)若将本例条件变为“Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝25，S9＝S17”，求{an}的前多少项和最大及最大和的值． 解：法一：因为S9＝S17，a1＝25， 所以9×25＋d＝17×25＋d， 解得d＝－2. 所以Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169. 所以当n＝13时，Sn有最大值169. 法二：同法一，求出公差d＝－2. 所以an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27. 因为a1＝25＞0， 由得 又因为n∈N*，所以当n＝13时，可得Sn有最大值169. 法三：因为S9＝S17，所以a10＋a11＋…＋a17＝0. 由等差数列的性质得a13＋a14＝0. 因为a1＞0，所以d＜0.所以a13＞0，a14＜0. 所以当n＝13时，可得Sn有最大值169. 法四：因为S9＝S17，所以二次函数对称轴为n＝＝13，且开口方向向下， 所以当n＝13时，Sn取得最大值169. 2．(变条件，变设问)若将本例条件变为“Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝－11，a3＋a7＝－6”，求Sn的最小值． 解：由题设，知解得d＝2， 则Sn＝－11n＋×2＝n2－12n， 所以当n＝6时，Sn取得最小值，Sn的最小值为－36. 规律方法 求等差数列前n项和的最值的方法 1．二次函数法：用求二次函数的最值的方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N＋，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观． 2．邻项变号法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值． 对点练3.已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝2n2－30n. (1)求出数列的通项公式，并判断这个数列是不是等差数列； (2)求Sn的最小值，并求Sn取得最小值时n的值． 解：(1)当n＝1时，有a1＝S1＝－28. 当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32. 又因为4×1－32＝－28，所以n＝1时an＝4n－32也成立， 因此数列的通项公式为an＝4n－32. 因为an＋1－an＝4(n＋1)－32－(4n－32)＝4， 所以{an}是等差数列． (2)法一：因为Sn＝2n2－30n＝2(n2－15n)＝2－， 又因为n是正整数，所以当n＝7或8时，Sn最小，最小值是2×72－30×7＝－112. 法二：由an＝4n－32可知数列{an}是递增的等差数列，而且首项a1＝－28<0. 令an≤0，可得4n－32≤0，解得n≤8，而且a8＝0. 由此可知，n＝7或8时，Sn最小，最小值是＝－112. 学生用书↓第23页 等差数列前n项和的实际应用 (链教材P23例8)从4月1日开始，有一新款服装投入某商场销售.4月1日该款服装售出10件，以后每天售出的该款服装都比前一天多15件，直到4月12日销售量达到最大，然后每一天售出的该款服装都比前一天少9件． (1)记从4月1日起该款服装日销售量为an，销售天数为n，1≤n≤30，求an关于n的函数关系式； (2)求4月份该款服装的总销售量； (3)按规律，当该商场销售此服装超过1 200件时，该款服装在社会上就开始流行；当此服装的销售量连续下降，且日销售量低于100件时，则不再流行．试问该款服装在社会上流行是否超过10天？请说明理由． 解：(1)设从4月1日起该款服装日销售量构成数列. 由题意知，数列a1，a2，…，a12是首项为10，公差为15的等差数列， 所以an＝10＋(n－1)×15＝15n－5(1≤n≤12，n∈N*)． 而a13，a14，a15…，a30是首项为a13＝a12－9＝166，公差为－9的等差数列， 所以an＝166＋(n－13)×(－9)＝－9n＋283(13≤n≤30，n∈N*)． 所以an＝ (2)4月份该款服装的总销售量为＋ ＝＋＝2721(件)． (3)4月1日至4月12日的销售总量＝＝1 110(件)<1 200(件)， S13＝S12＋a13＝1 110＋166＝1 276(件)>1 200(件)， 故4月13日前该款服装在社会上还没有流行，但日销量不低于100件， 由－9n＋283<100，得n>. 故从4月21日开始该款服装在社会上不再流行，即该款服装在社会上流行没有超过10天． 规律方法 应用等差数列解决实际问题的一般思路 对点练4.(1)朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如象招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人．”其大意为“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人．”在该问题中的1 864人全部派遣到位需要的天数为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．9 B．16 C．18 D．20 (2)(链教材P55T3(2))《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，其中一道题目的背景是这样的：把100片面包分给5个人，使每个人分得的面包数成等差数列，且使较大的三个数之和的是较小的两个数之和，若将这5个数从小到大排列成递增的等差数列，则该数列的公差为________． 答案：(1)B　(2) 解析：(1)根据题意设每天派出的人数组成数列{an}，分析可得数列是首项a1＝64，公差d＝7的等差数列，设该问题中的1 864人全部派遣到位的天数为n，则64n＋×7＝1 864，依次将选项中的n值代入检验得，n＝16满足方程．故选B． (2)设5个数从小到大排列所成的等差数列为，公差为d，则(a3＋a4＋a5)＝a1＋a2，S5＝100 ，所以解得a1＝，d＝. 知识 1.等差数列前n项和的性质.2.等差数列前n项和的最值 方法 1.等差数列前n项和的性质：简化运算，整体代换思想.2.等差数列前n项和的最值：二次函数法、邻项变号法、性质法、数形结合思想.3. 解决等差数列前n项和实际应用问题的思路：建模、解模、还原 易错 误区 1.对性质不熟导致运算繁琐.2.由于n取正整数，所以Sn取得最大或最小值时的n不一定在顶点处取到最值，而可能是在离顶点最近的横坐标取正整数的点处取到最值 1．(2024·九省适应性测试)记等差数列的前n项和为Sn，a3＋a7＝6，a12＝17，则S16＝(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A． 120 B． 140 C． 160 D． 180 答案：C 解析：因为a3＋a7＝2a5＝6，所以a5＝3，所以a5＋a12＝3＋17＝20，所以S16＝＝8(a5＋a12)＝160.故选C． 2．(2024·四川成都高二月考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝(　　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．63 B．45 C．36 D．27 答案：B 解析：由等差数列前n项和的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即S9＝3S6－3S3，又S3＝9，S6＝36，所以S9＝3×36－3×9＝81，所以a7＋a8＋a9＝S9－S6＝81－36＝45.故选B． 3．(2024·天津滨海高二期末)若数列{an}的通项公式为an＝45－3n，则该数列的前n项和取得最大值时，n＝(　　) A．13 B．14 C．13或14 D．14或15 答案：D 解析：由an＝45－3n＝0，得n＝15，又a1＝42，a2>0，…，a14>0，故n＝14，或15时，Sn取得最大值．故选D． 4．在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，若－＝2，则S10等于(　　 ) A．10 B．100 C．110 D．120 答案：B 解析：因为{an}是等差数列，a1＝1，所以也是等差数列且首项为＝1.又－＝2，所以的公差是1，所以＝1＋(10－1)×1＝10，所以S10＝100.故选B． 课时测评6　等差数列前n项和的性质及应用 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝12，S10＝48，则S15为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．84 B．108 C．144 D．156 答案：B 解析：由等差数列的性质知S5，S10－S5，S15－S10也构成等差数列，所以2(S10－S5)＝S5＋S15－S10，所以2×(48－12)＝12＋S15－48，解得S15＝108.故选B． 2．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1等于(　　 ) A．35 B．32 C．23 D．38 答案：A 解析：由题意可知，九个儿子的年龄成公差d＝－3的等差数列，且九项之和为207.故S9＝9a1＋d＝9a1－108＝207，解得a1＝35.故选A． 3．等差数列的前n项和为Sn，且S2 023>0，S2 024<0，则Sn取得最大值时，n＝(　　) A．1 010 B．1 011 C．1 012 D．1 013 答案：C 解析：由S2 023>0，可得S2 023＝＝2 023a1 012>0，即a1 012>0.由S2 024<0，可得S2 024＝＝1 012(a1 012＋a1 013)<0，即a1 012＋a1 013<0，故a1 013<0，则数列是前1 012项为正数，从第1 013项开始为负数的递减数列，故Sn取得最大值时，n＝1 012.故选C． 4．(2024·福建莆田期中)已知等差数列的前n项和为Sn且S7＝7，S15＝75，则的前n项和为(　　) A．Tn＝＋ B．Tn＝－ C．Tn＝＋ D．Tn＝－ 答案：B 解析：设等差数列的公差为d，因为S7＝7，S15＝75，所以解得所以an＝－2＋(n－1)＝n－3，Sn＝＝，设bn＝＝，所以当n≥2时，bn－bn－1＝－＝，所以数列是等差数列，首项为－2，公差为.则其前n项和Tn＝＝＝－.故选B． 5．(多选)记Sn为等差数列的前n项和，则(　　) A．S6＝2S4－S2 B．S6＝3(S4－S2) C．S2n，S4n－S2n，S6n－S4n成等差数列 D．，，成等差数列 答案：BCD 解析：由已知得Sn＝a1n＋，对于A，S6＝6a1＋15d，S4＝4a1＋6d，S2＝2a1＋d，所以2S4－S2＝6a1＋11d≠S6，故A错误；对于B，3(S4－S2)＝6a1＋15d＝S6，故B正确；对于C，根据片段和的性质即可得到，故C正确；对于D，根据成等差数列， 故D正确．故选BCD． 6．(多选)等差数列{an}是递增数列，满足a7＝3a5，前n项和为Sn，下列选项正确的是(　　 ) A．d＞0 B．a1＜0 C．当n＝5时Sn最小 D．Sn＞0时n的最小值为8 答案：ABD 解析：由题意，设等差数列{an}的公差为d，因为a7＝3a5，可得a1＋6d＝3(a1＋4d)，解得a1＝－3d.又由等差数列{an}是递增数列，可知d＞0，则a1＜0，故A、B正确；因为Sn＝n2＋n＝n2－n，由n＝－＝可知，当n＝3，或n＝4时Sn最小，故C错误；令Sn＝n2－n＞0，解得n＜0或n＞7(n∈N*)，即Sn＞0时n的最小值为8，故D正确．故选ABD． 7．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________． 答案：10 解析：由题意知钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．所以钢管总数为1＋2＋3＋…＋n＝.当n＝19时，S19＝190，当n＝20时，S20＝210>200，所以当n＝19时，剩余钢管根数最少，为200－190＝10(根)． 8．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时，Sn取得最大值，则公差d的取值范围是____________． 答案： 解析：由题意，当且仅当n＝8时，Sn有最大值，可知即解得－1<d<－. 9．已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且＝，则＋＝________． 答案： 解析：因为b3＋b18＝b6＋b15＝b10＋b11，所以＋＝＝＝＝＝＝. 10．(10分)某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？ 解：设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，则a1＝50＋1 000×1%＝60(元)， a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5(元)， … a10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5(元)， 即第10个月应付款55.5元． 由题知，20个月贷款还清． 由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列， 所以有S20＝×20＝1 105(元)， 即全部付清后实际付款1 105＋150＝1 255(元)． (11—13每题5分，共15分) 11．(2023·新课标Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列，则(　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答案：C 解析：甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d，即Sn＝na1＋d，则＝a1＋d＝n＋a1－，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即－＝D，＝S1＋(n－1)D，即Sn＝nS1＋n(n－1)D，Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D，当n≥2时，上两式相减得：Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D，即an＝a1＋2(n－1)D，当n＝1时，上式成立，于是an＝a1＋2(n－1)D，又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D为常数，因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件．故选C． 12．设Sn为等差数列{an}的前n项和，(n＋1)Sn<nSn＋1.若<－1，则(　　 ) A．Sn的最大值是S8 B．Sn的最小值是S8 C．Sn的最大值是S7 D．Sn的最小值是S7 答案：D 解析：由(n＋1)Sn<nSn＋1，得<，整理可得an<an＋1，所以等差数列{an}为递增数列．又<－1，所以a8>0，a7<0，所以当n≤7时，an<0；当n≥8时，an>0.所以Sn有最小值，最小值为S7.故选D． 13．(多选)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n可以是(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．6 答案：ABC 解析：＝＝＝＝＝＝＝7＋.当n＝1，2，3，5，11时，为整数，即当n＝1，2，3，5，11时，为整数．故选ABC． 14．(10分)已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和，a8＝4，________． (1)判断2 024是否是数列{an}中的项，并说明理由；(4分) (2)求Sn的最小值． 从①S11＝－22，②S5＝S6中任选一个，补充在上面的问题中并作答．(6分) 解：若选①， (1)设数列{an}的公差为d， 则 解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝－17＋(n－1)×3＝3n－20. 令3n－20＝2 024，得n＝681∉N*， 所以2 024不是数列{an}中的项． (2)令an＝3n－20>0，解得n>， 所以当n≤6时，an<0. 故当n＝6时，Sn取到最小值， 为S6＝6a1＋15d＝－57. 若选②， (1)设数列{an}的公差为d， 则 解得 所以an＝－10＋(n－1)×2＝2n－12. 令2n－12＝2 024，解得n＝1 018∈N*， 所以2 024是数列{an}中的项． (2)令2n－12>0，得n>6， 所以当n≤6时，an≤0. 故当n＝6，或n＝5时，Sn取到最小值， 为S5＝S6＝6×(－10)＋×2＝－30. 15．(5分)(2024·江苏连云港期末)风雨桥(如图①所示)是侗族最具特色的民间建筑之一．风雨桥由桥、塔、亭组成．其中亭、塔的俯视图通常是正方形、正六边形或正八边形．图②是某风雨桥亭的大致俯视图，其中正六边形的边长的计算方法如下：A1B1＝A0B0－B0B1，A2B2＝A1B1－B1B2，…，AnBn＝An－1Bn－1－Bn－1Bn，其中B3B4＝B2B3＝B1B2＝B0B1，n∈N*.已知该风雨桥亭共5层，若A0B0＝8 m，B0B1＝0.5 m，则图②中的五个正六边形的周长总和为(　　) A．120 m B．210 m C．130 m D．310 m 答案：B 解析：由已知得AnBn＝An－1Bn－1－Bn－1Bn (n≤4且n∈N*)，B3B4＝B2B3＝B1B2＝B0B1＝0.5 m，易知图②中五个正六边形的边长(单位：m)构成以a1＝8为首项，d＝－0.5为公差的等差数列.设数列(k∈N*，1≤k≤5)的前5项和为S5，则S5＝5a1＋×5×4×d＝5×8－×5×4×0.5＝35，所以图②中的五个正六边形的周长总和为6S5＝6×35＝210 m．故选B． 16．(15分)在数列{an}中，an＋1＋an＝2n－44(n∈N*)，a1＝－23. (1)求数列{an}的通项公式；(5分) (2)设数列{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．(10分) 解：(1)由an＋1＋an＝2n－44(n∈N*)， 得an＋2＋an＋1＝2(n＋1)－44， 所以an＋2－an＝2. 又a2＋a1＝2－44＝－42，所以a2＝－19. 同理可得a3＝－21，a4＝－17. 由an＋2－an＝2可得a1，a3，a5，…是以a1为首项，2为公差的等差数列，a2，a4，a6，…是以a2为首项，2为公差的等差数列， 所以an＝ (2)当n为偶数时， Sn＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an) ＝(2×1－44)＋(2×3－44)＋…＋[2×(n－1)－44] ＝2[1＋3＋…＋(n－1)]－×44 ＝－22n＝(n－22)2－242， 故当n＝22时，Sn取得最小值－242. 当n为奇数时， Sn＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an) ＝a1＋(2×2－44)＋…＋[2×(n－1)－44] ＝a1＋2[2＋4＋…＋(n－1)]＋×(－44) ＝－23＋－22(n－1) ＝－22n－＝(n－22)2－， 故当n＝21，或n＝23时，Sn取得最小值－243. 综上，当n为偶数时，Sn取得最小值－242；当n为奇数时，Sn取得最小值－243. 学生用书↓第24页 学科网（北京）股份有限公司 $$