5.2.1 基本初等函数的导数-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

5.2.1　基本初等函数的导数 　 第五章　5.2　导数的运算 知识层面 1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3, y＝ ，y＝ 的导数．　 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．　 3.会使用导数公式表. 素养层面 通过定义求函数的导数，培养逻辑推理的素养；通过对导数的计算，提高数学的运算素养. 课时测评 3 综合应用 1 内容索引 随堂演练 2 问题1.　回顾之前所学，你学过哪些基本初等函数？ 提示：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数． 问题导思 问题2.　如何求常函数f(x)＝c的导数？ 我们通过同样的方法容易得到几个常见的幂函数的导数： f(x)＝x⇒f′(x)＝1＝1x1－1； f(x)＝x2⇒f′(x)＝2x＝2x2－1； f(x)＝x3⇒f′(x)＝3x2＝3x3－1； △x→0 △x→0 1．几个常用函数的导数 这6个函数都是幂函数f(x)＝xα，对它们的求导要熟练记住公式，就没必要再利用定义求导了． 新知构建 原函数 导数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x2 f′(x)＝2x f(x)＝x3 f′(x)＝3x2 f(x)＝ f′(x)＝－ f(x)＝ f′(x)＝ 微提醒 2．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝______ f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝__________ f(x)＝sin x f′(x)＝__________ f(x)＝cos x f′(x)＝____________ f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝___________ f(x)＝ex f′(x)＝_______ f(x)＝logax (a>0，且a≠1) f′(x)＝_________ f(x)＝ln x f′(x)＝_______ 0 αxα－1 cos x axln a ex －sin x 函数f(x)＝ln x与g(x)＝logax的求导有什么内在联系？ 微思考 角度1　利用导数公式求函数的导数 (链教材P75例1)求下列函数的导数： 例1 (4)y＝lg x； (5)y＝5x； 解：因为y＝5x，所以y′＝5x ln 5. 规律方法 求简单函数的导函数的基本方法 1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导． 2．若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导． 注意 “ 与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别． 对点练1.(1)(多选)下列结论正确的是 √ √ √ y′＝cos x 角度2　导数公式的应用 (链教材P75例2)某城市近10年间房价年均上涨率为10%，房价p(单位：万元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少(精确到0.01万元/年)？(参考数据：1.15＝1.611，ln 1.1＝0.095) 例2 解：由题意得p′(t)＝1.1tln 1.1， 所以p′(5)＝1.15ln 1.1≈1.611×0.095≈0.15(万元/年)， 所以在第5个年头，该市房价上涨的速度大约是0.15万元/年． 规律方法 由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数． 对点练2.从时刻t＝0开始的t(s)内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公式q＝cos t表示．求第5秒和第7秒时的电流(单位：安)． 解：由q＝cos t得q′＝－sin t， 所以q′(5)＝－sin 5，q′(7)＝－sin 7， 即第5秒，第7秒时的电流分别是－sin 5安，－sin 7安． 返回 综合应用 返回 利用导数公式研究曲线的切线方程 已知函数f(x)＝x2，l是曲线y＝f(x)的切线，且l经过点(2，3)． (1)判断(2，3)是不是曲线y＝f(x)上的点； (2)求l的方程． 例3 解：因为 f(2)＝22＝4≠3，所以点(2，3)不是曲线y＝f(x)上的点． 解：设切点为(x0，f(x0))．因为f′(x)＝2x， 所以切线的斜率为f′(x0)＝2x0， 由此可解得x0＝1或x0＝3. 因此，切点为(1，1)或(3，9)，切线方程为y－1＝2(x－1)，或y－9＝6(x－3)． 即l的方程为y＝2x－1，或y＝6x－9. 变式探究 1．(变条件、变设问)将本例变为“已知曲线f(x)＝x－2，求曲线在(a，a－2) (a>0)处的切线方程”． 2．(变条件，变设问)将本例变为“已知y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线”，试求k的值． 解：由题意f′(x)＝－2x－3，所以曲线f(x)＝x－2在点(a，a－2)处的切线方程为y－a－2＝－2a－3(x－a)，即y＝－2a－3x＋3a－2. 规律方法 1．利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数； (2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． 2．求过点P与曲线相切的直线方程的一般步骤 解：设所求切线的斜率为k. (2)求曲线y＝ln x的切线斜率等于4时的切线方程． 解：设切点坐标为(x0，y0)． 返回 课堂小结 知识 1.几个常用函数的导数.2.基本初等函数的导数公式.3.利用导数研究曲线的切线方程 方法 方程思想、待定系数法 易错误区 不化简成基本初等函数或者公式变形不够彻底导致求导错误 随堂演练 返回 1．已知f(x)＝x2，则f′(3)等于 A．0 B．2x C．6 D．9 因为f(x)＝x2，所以f′(x)＝2x，所以f′(3)＝6.故选C． √ 2．一质点的运动方程为s＝cos t，则t＝1时质点的瞬时速度为 A．2cos 1 B．－sin 1 C．sin 1 D．2sin 1 s′＝－sin t，当t＝1时，s′＝－sin 1，所以当t＝1时质点的瞬时速度为－sin 1.故选B． √ √ √ 3．(多选)下列选项正确的是 √ x＋y－6＝0 返回 课时测评 返回 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2．下列各式正确的是 A．(sin 10°)′＝cos 10° B．(cos x)′＝sin x C．(sin x)′＝cos x D．(x－5)′＝－ x－6 √ 根据基本初等函数求导公式，(sin 10°)′＝0，故A错误；(cos x)′＝－sin x，故B错误；(sin x)′＝cos x，故C正确；(x－5)′＝－5x－6，故D错误．故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3．下列结论正确的个数为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4．已知函数f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)，若f′(－1)＝－4，则α的值等于 A．4 B．－4 C．5 D．－5 因为f′(x)＝αxα－1，f′(－1)＝α(－1)α－1＝－4，所以α＝4.故选A． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5．(多选)已知f(x)＝2x的导数为f′(x)，则必有 A．f(x)>f′(x) B．f(x)≥f′(x)(x≥1) C．f(x)<f′(x) D．f(x)≤f′(x)(x≤1) 由f(x)＝2x，得f′(x)＝2，所以f(x)－f′(x)＝2(x－1)，当x≥1时，f(x)≥f′(x)，当x≤1时，f(x)≤f′(x)，所以选项B、D正确．故选BD． √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6．已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x．若实数m满足f′(m)－g′(m)＝1，则实数m的值为_____． 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．(开放题)若函数f(x)在R上可导，且f(x)·f′(x)为单调函数．写出满足上述条件的一个函数_______________________． f(x)＝x2(答案不唯一) 设f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，所以f(x)· f′(x)＝2x3在R上单调递增，满足条件．所以f(x)＝x2满足条件． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2或－2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)f(x)＝x4；(2分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解：因为f(x)＝sin x，所以f′(x)＝cos x， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (4)f(x)＝ex.(3分) 解：因为f(x)＝ex，所以f′(x)＝ex， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离． 解：如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近． 则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex， 所以ex0＝1，得x0＝0， 代入y＝ex，得y0＝1，即P(0，1)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角α的范围是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12．设f0(x)＝cos x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2 024(x)＝ A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x √ 根据题意，f0(x)＝cos x，则f1(x)＝f0′(x)＝－sin x，f2(x)＝f1′(x)＝－cos x，f3(x)＝f2′(x)＝sin x，f4(x)＝f3′(x)＝cos x，…，则fn(x)的解析式重复出现，每4次一循环，故f2 024(x)＝f4×506(x)＝f4(x)＝cos x．故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．(开放题)(2024·四川内江高二期末)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)的解析式________________________． ①f(xy)＝f(x)f(y)；②f′(x)是偶函数； ③f(x)在(0，＋∞)上单调递增． f(x)＝x(满足条件即可) 如f(x)＝x，f(xy)＝xy，f(x)f(y)＝xy，故f(xy)＝f(x)f(y)，f′(x)＝1是偶函数，又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝x(满足条件即可). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(10分)设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg xn，求a1＋a2＋…＋a99的值． 解：导函数y′＝(n＋1)xn，切线斜率k＝y′|x＝1＝n＋1， 所以切线方程为y＝(n＋1)x－n， 所以a1＋a2＋…＋a99＝(lg 1－lg 2)＋(lg 2－lg 3)＋ … ＋(lg 99－lg 100)＝lg 1－lg 100＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(5分)(新定义)(多选)已知函数f(x)的导数为f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．(10分)求曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝x3的公切线的斜率． 解：(1)当公切线切点相同时，对C1，C2分别求导得y1′＝2x，y2′＝3x2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)当公切线切点不同时，在曲线C1，C2上分别任取一点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 五 章 　 一 元 函 数 的 导 数 及 其 应 用 返回 所以f′(x)＝lim ＝lim0＝0，即(c)′＝0. f(x)＝＝x－1⇒f′(x)＝－x－2＝－x－1－1； f(x)＝＝x⇒f′(x)＝x－＝x－1.通过观察上面几个式子，我们发现了这几个幂函数的导数的规律，即(xα)′＝αxα－1. 由y＝ln 3得y′＝0，故①错误；对于f(x)＝，f′(x)＝－，故f′(3)＝－，故②正确；对于y＝2x，则y′＝2x ln 2，故③错误；对于y＝log2x，则y′＝，故④错误．故选D． 设切点坐标为(x0，y0)，由函数y＝的导函数得y′＝－，由直线y＝－x＋b得到斜率为－1，所以－＝－1，解得x0＝±1，把x0＝－1代入y＝中解得y0＝－1，把x0＝1代入y＝中解得y0＝1，所以切点坐标是(－1，－1)或(1，1)，当切点坐标是(－1，－1)时，代入直线的方程y＝－x＋b，得b＝－2；当切点坐标是(1，1)时，代入直线的方程y＝－x＋b，得b＝2.综上所述，b＝2，或－2. $$