4.3.2 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

4.3.2　等比数列的前n项和公式 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 　 第四章　4.3　等比数列 知识层面 1.熟练应用等比数列前n项和的性质解题． 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相 应的问题． 素养层面 通过对等比数列前n项和性质的应用，培养数学运算、逻辑推理的素养. 课时测评 3 综合应用 1 内容索引 随堂演练 2 问题导思 问题1.类似于等差数列中的片段和的性质，在等比数列中，你能发现Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)的关系吗？ 提示：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍成等比数列，证明如下： 思路一：当q＝1时，结论显然成立； 故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列． 思路二：由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，故有S2n－Sn＝qnSn， S3n＝S2n＋q2nSn，故有S3n－S2n＝q2nSn，故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列． 问题2.类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？ 提示：若等比数列{an}的项数有2n项，则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n， 其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，容易发现两列式子中对应项之间存在联系，即S偶＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝qS奇，所以有 ＝q. 若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶，即S奇＝a1＋qS偶． 问题3.你能否用等比数列{an}中的Sm，Sn来表示Sm＋n? 提示：　思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm＝Sm＋qmSn. 思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn＝Sn＋qnSm. 新知构建 1．片段和的性质：数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列，公比是____． 2．S偶与S奇的关系性质：若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： 当n为偶数时， ＝___；当n为奇数时， ＝q. 3．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sm＋qmSn＝Sn＋_______(n，m∈N*)． 4．当q＝1时， ；当q≠1时， . 微提醒 等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0. qn q q 例1 (1)等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4的值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．28 B．32 C．21 D．28或－21 √ 因为{an}为等比数列，所以S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，即7，S4－7，91－S4成等比数列，所以(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28，或S4＝－21.因为S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)＞S2，所以S4＝28.故选A． (2)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________． 2 (3)(2023·全国甲卷)记Sn为等比数列 的前n项和．若8S6＝7S3，则 的公比 为________． 变式探究 1．(变条件)将本例题(1)中的条件“S2＝7，S6＝91”改为“正项等比数列中Sn＝2，S3n＝14”，求S4n的值． 解：法一：设S2n＝x，S4n＝y，则2，x－2，14－x，y－14成等比数列， 法二：因为Sn＝2，S3n＝14.所以q≠1. 所以S4n＝Sn(1＋q2n)(1＋qn)＝2×(1＋4)(1＋2)＝30. 2．(变条件，变设问)将例题(1)中条件“S2＝7，S6＝91”改为“公比q＝2，S99＝56”，求a3＋a6＋a9＋…＋a99的值． 解：法一：因为S99＝ ＝56，q＝2， 所以a3＋a6＋a9＋…＋a99 法二：设b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a97， b2＝a2＋a5＋a8＋…＋a98， b3＝a3＋a6＋a9＋…＋a99， 则b1q＝b2，b2q＝b3，且b1＋b2＋b3＝56， 所以b1(1＋q＋q2)＝56， 所以b1＝ ＝8， 所以b3＝b1q2＝8×22＝32. 方法技巧 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 1．若等比数列{an}共有2n项，要抓住 ＝q和S偶＋S奇＝S2n这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1这一隐含特点．要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． 2．灵活运用等比数列前n项和的有关性质．　 对点练1.(1)(2023·新课标Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝ －5，S6＝21S2，则S8＝ A．120 B．85 C．－85 D．－120 √ 法二：设等比数列 的公比为q，因为S4＝－5，S6＝21S2，所以q≠－1，否则S4＝0，从而，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比数列，所以有(－5－S2)2＝S2(21S2＋5)，解得S2＝－1，或S2＝ ，当S2＝－1时，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，即为－1，－4，－16，S8＋21，易知，S8＋21＝－64，即S8＝－85；当S2＝ 时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a1＋a2)(1＋q2)＝(1＋q2)S2>0，与S4＝－5矛盾，舍去．故选C． (2) 一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍， 前3项之积为64，则数列的通项公式an＝_________________． 返回 综合应用 返回 例2 应用一　等比数列前n项和的实际应用 (链教材P38例10)(2024·吉林长春校考)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游业．根据规划，本年度投入1 000万元，以后每年投入将比上年减少 ，本年度当地旅游业收入估计为500万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 . (1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式； (2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？ 参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，lg 5＝0.699 0. 解：由题意可知bn－an>0， 由此得n≥5，n∈N*. 故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入． 规律方法 应用等比数列前n项和公式解决实际应用问题的步骤 第一步：构建数列模型； 第二步：由题意确定数列为等比数列，并由题干提取的条件得基本量； 第三步：利用等比数列的前n项和公式进行计算． 注意 (1)数列项数的确定，特别是涉及年份的问题，要能正确确认起始年份．(2)正确判断问题是求数列的第n项，还是求数列的前n项和． 对点练2.(2024·福建厦门高二质量检测)某工厂去年12月试产了1 000个电子产品，产品合格率为0.85.从今年1月开始，工厂在接下来的一年中将生产这款产品，1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高10%，产品合格率比前一个月增加0.01. (1)求今年2月生产的不合格产品的数量，并判断哪个月生产的不合格产品的数量最多； 解：记从今年1月起，第n月的产量为an，第n月的产品合格率为bn. 由题可知，数列 为等比数列，首项a1＝1000，公比q＝1＋10%＝1.1， 数列 为等差数列，首项b1＝0.85，公差d＝0.01， 所以an＝1 000×1.1n－1，bn＝0.85＋(n－1)×0.01＝0.01n＋0.84， 所以今年2月份生产的不合格产品数为a2·(1－b2)＝1 000×1.1×(1－0.86)＝154， 设第n月生产的不合格产品数为cn，则cn＝an·(1－bn)＝10×1.1n－1×(16－n)， 所以c1<c2<…<c5＝c6>c7>…>c12， 即5月或6月生产的不合格产品数最多． (2)求该工厂今年全年生产的合格产品的数量． 参考数据：1.111≈2.85，1.112≈3.14. 解：设今年前n个月生产的合格产品总数为Sn，则Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn 所以S12＝850×1.10＋860×1.11＋870×1.12＋…＋950×1.110＋960×1.111①， 1.1S12＝850×1.11＋860×1.12＋…＋950×1.111＋960×1.112②， ①－②得－0.1S12＝850＋10×(1.1＋1.12＋…＋1.111)－960×1.112 ＝850＋10× －960×1.112 ＝740－860×1.112， 所以S12＝10×(860×1.112－740)≈19 604， 即该工厂今年全年生产的合格产品总数约为19 604个． 例3 应用二　等差、等比数列的综合运算 设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N*)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N*)．已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6. (1)求Sn和Tn； 解：设等比数列{bn}的公比为q(q>0)． 由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q2－q－2＝0. 因为q>0，可得q＝2，故bn＝2n－1. 所以Tn＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝ ＝2n－1. 设等差数列{an}的公差为d. 由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4.① 由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋13d＝16，② 联立①②得a1＝1，d＝1，故an＝1＋(n－1)×1＝n. 所以Sn＝1＋2＋…＋n＝ . (2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n的值． 解：由(1)，有 T1＋T2＋…＋Tn＝(21＋22＋…＋2n)－n＝ －n＝2n＋1－n－2. 由Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn可得 ＋2n＋1－n－2＝n＋2n＋1， 整理得n2－3n－4＝0，解得n＝－1(舍去)，或n＝4. 所以n的值为4. 规律方法 与等差、等比数列有关的综合问题，其解题过程应注意以下方法与技巧： 1．化归思想：将非等差、等比数列转化构造成等差、等比数列，以便于利用其公式和性质解题． 2．等差(比)数列公式和性质的灵活应用． 3．当题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系． 对点练3.已知Sn是无穷等比数列{an}的前n项和，且公比q≠1，1是 S2和 S3的等差中项，6是2S2和3S3的等比中项． (1)求S2和S3； (2)求数列{an}的前n项和． 返回 课堂小结 知识 1.等比数列前n项和的性质(片段和性质、奇数项和与偶数项和的性质).2.等比数列前n项和的实际应用 方法 1.等比数列前n项和的性质：简化运算，整体代换思想.2.解决等比数列前n项和实际应用问题的思路：建模、解模、还原.3.等差、等比数列的综合运算：公式法、化归思想 易错 误区 应用片段和性质时易忽略其成立的条件 随堂演练 返回 √ 1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝ ，所以a7＋a8＋a9＝ .故选A． √ 2．已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1 012，偶数项之和为2 024，则这个数列的公比为 A．8 B．－2 C．4 D．2 由题意知，第n天植树2n棵，则前n天共植树2＋22＋…＋2n＝(2n＋1－2)棵，令2n＋1－2≥100，则2n＋1≥102，又26＝64，27＝128，且{2n＋1}单调递增，所以n≥6，即n的最小值为6. 3．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于____． 6 由4a1，2a2，a3成等差数列，可得4a1＋a3＝4a2，即4a1＋a1q2＝4a1q，可得q2－4q＋4＝0，解得q＝2，又因为a1＝1，则S4＝ ＝15. 返回 4．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足4a1，2a2，a3成等差数列，则数列{an}的公比q＝_____，如果a1＝1，则S4＝____． 2 15 课时测评 返回 √ 在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，即S10＝ ，代入(S10－S5)2＝S5(S15－S10)得S15＝ S5，得S15∶S5＝3∶4. 故选A． 1．(2024·浙江绍兴高二质检)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．3∶4 B．2∶3 C．1∶2 D．1∶3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有1个这种细菌和200个这种病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要 A．6秒钟 B．7秒钟 C．8秒钟 D．9秒钟 根据题意，每秒钟细菌杀死的病毒数成等比数列，设需要n秒细菌可将病毒全部杀死，则1＋2＋22＋23＋…＋2n－1≥200，所以 ≥200，所以2n≥201，结合n∈N*，解得n≥8，即至少需8秒细菌将病毒全部杀死．故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3．一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为 A．6 B．8 C．10 D．12 设等比数列的项数为2n项，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为 S偶，则q＝ ＝2，又它的首项为1，所以通项为an＝2n－1，中间两项的和为an＋an＋1＝2n－1＋2n＝24，解得n＝4，所以项数为8.故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝2S8，则 的值是 A．－4 B．－ C． D．4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 5．(多选)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完”．设第一天这根木棰被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，……，第六天被截取剩下的一半剩下a6尺，则下列结论正确的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，Y＝a2＋a4＋…＋a100，则S100＝X＋Y，由等比数列前n项和性质知 ，所以Y＝20，即S100＝X＋Y＝60＋20＝80. 7．若等比数列{an}的公比为 ，且a1＋a3＋…＋a99＝60，则{an}的前100项和为______． 80 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8．(2024·广东佛山高二段考)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且210S30 －(210＋1)S20＋S10＝0，则公比q＝______． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9．《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”的问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问几何日相逢？各穿几何？”其大意为：“今有一堵墙厚5尺，两只老鼠从墙的两边沿一条直线相对打洞穿墙，大老鼠第一天打洞1尺，以后每天是前一天的2倍；小老鼠第一天也打洞1尺，以后每天是前一天的 .问大、小老鼠几天后相遇？各自打洞几尺？”如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打洞长 度之和，则Sn＝____________尺． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足S3＝7，S6＝63. (1)求数列{an}的通项公式；(4分) 解：由题意知S6≠2S3，q≠1， 由等比数列的前n项和等距分段的性质知， q3＝ ＝8，故q＝2， 所以S3＝ ＝7，代入q＝2可得a1＝1， 所以an＝2n－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若bn＝an＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.(6分) 解：由(1)知bn＝2n－1＋n－1， 所以Tn＝(1＋2＋…＋2n－1)＋[1＋2＋…＋(n－1)] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．(新情境)数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了Fn＝22n＋1(n＝0，1，2，…)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F5＝641×6 700 417，不是质数，现设an＝log4(Fn－1)(n＝1，2，…)，Sn表示数列{an}的前n项和．若32Sn＝63an，则n＝ A．5 B．6 C．7 D．8 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．已知Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若S6－3S3＝4，则S9－S6的最小值为______． 32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(10分)为了保障幼儿园儿童的人身安全，甲、乙两省计划若干时间内两省共新购1 000辆校车．其中，甲省采取的新购方案是：本月新购校车10辆，以后每个月的新购量比上一个月增加50%；乙省采取的新购方案是：本月新购校车40辆，以后每个月比上一个月多新购m辆． (1)求经过n个月，两省新购校车的总数S(n)；(4分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以经过n个月，两省新购校车的总数为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若两省计划在3个月内完成新购目标，求m的最小值．(6分) 又m∈N*，故所求m的最小值为278. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(5分)(新情境)螺旋线这个名词来源于希 腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平 面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋 绕而形成的曲线，如图①所示．如图②所示 阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案， 它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形MNPQ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案．如图②阴影部分，设直角三角形AEH的面积为b1，直角三角形EMQ的面积为b2，后续各直角三角形的面积依次为 b3，…，bn，则数列{bn}的前n项和Sn＝___________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．(15分)(2022·新高考Ⅱ卷)已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4. (1)证明：a1＝b1；(5分) 解：证明：设等差数列{an}的公差为d， 解得b1＝a1＝ ，所以原命题得证． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数．(10分) 解：由(1)知，b1＝a1＝ ，所以bk＝am＋a1⇔b1×2k－1＝a1＋(m－1)d＋a1， 返回 即2k－1＝2m，亦即m＝2k－2∈[1，500]，解得2≤k≤10， 所以满足条件的解k＝2，3，4，…，10，故集合{k|bk＝am＋a1， 1≤m≤500}中的元素个数为10－2＋1＝9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 四 章 　 数 列 返回 ＝ ＝ 法二：由法一知q≠1，因为8S6＝7S3，所以＝，所以由性质＝，得＝＝，所以8·(1－q6)＝7·(1－q3)，即8·(1＋q3)(1－q3)＝7·(1－q3)，即8·(1＋q3)＝7，解得q＝－. － 法一：若q＝1，则由8S6＝7S3得8·6a1＝7·3a1，则a1＝0，不合题意．所以q≠1.因为8S6＝7S3，所以8·＝7·，即8·(1－q6)＝7·(1－q3)，即8·(1＋q3)(1－q3)＝7·(1－q3)，即8·(1＋q3)＝7，解得q＝－. ＝a3(1＋q3＋q6＋…＋q96)＝a1q2·＝×＝56×＝32. 法一：设等比数列{an}的公比为q，首项为a1，若q＝1，则S6＝6a1＝3×2a1＝3S2，与题意不符，所以q≠1.由S4＝－5，S6＝21S2可得，＝ －5，＝21×①，由①可得，1＋q2＋q4＝21，解得q2＝4，所以S8＝＝×(1＋q4)＝－5×(1＋16)＝－85.故选C． 12×，n∈N* ＝q＝ 2n－＋1 由题意可知，大老鼠每天打洞的长度构成以1为首项，2为公比的等比数列，前n天打洞长度之和为＝2n－1，小老鼠每天打洞的长度构成以1为首项，为公比的等比数列，前n天打洞长度之和为＝2－ ，所以Sn＝2n－1＋2－＝2n－＋1. ＝ 因为Fn＝22n＋1(n＝0，1，2，…)，所以an＝log4(Fn－1)＝log4(22n＋1－1)＝log422n＝log222n＝×2n＝2n－1，所以{an}是等比数列，首项为1，公比为2，所以Sn＝＝2n－1.所以32(2n－1)＝63×2n－1，解得n＝6.故选B． ＝20× ＋n2＋n－20. 4－4× $$