精品解析：江苏省南京市玄武区 2024-2025学年八年级数学上学期期中质量调研试题

2024～2025学年度第一学期期中质量调研卷 八年级数学 （总分：100分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1. 下列表情符号中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这个概念逐一判断即可． 【详解】解：除了选项B外，其它三个选项中的符号都能找到一条直线，直线两旁的部分能够重合，故它们是轴对称图形；而选项B中的符号，找不到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，它不是轴对称图形； 故选：B． 2. 下列数据不是勾股数的是（ ） A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 8，12，16 D. 9，40，41 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查勾股数，解题的关键是掌握①三个数必须是正整数，②满足勾股定理．根据勾股数的定义求解即可． 【详解】解：A．，且3， 4，5都是正整数，所以3，4，5是勾股数，此选项不符合题意； B．，且5，12，13都是正整数，所以5，12，13是勾股数，此选项不符合题意； C．，所以8，12，16不是勾股数，此选项符合题意； D．，且9，40，41都是正整数，所以9，40，41是勾股数，此选项不符合题意； 故选：C． 3. 为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ） A. 三边中线交点 B. 三条角平分线交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等的性质进行分析，即可作答． 【详解】解：∵A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平， ∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点， 故选：C 4. 根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（ ） A. AB=5，BC=6 B. AB=5，BC=6，AC=13 C. ∠A=50°，∠B=80°，AB=8 D. ∠A=40°，∠B=50°，∠C=90° 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形的三边关系以及三角形的性质对每个选项一一判断即可. 【详解】A.两条边无法做出唯一三角形； B.5+6＜13，不能构成三角形； C.AB为∠A、∠B的夹边，能画出唯一的△ABC； D.△ABC的边长不一定，不能画出唯一的△ABC. 故选C. 【点睛】本题主要考查三角形的画法，利用三角形的三边关系进行判断是解题的关键. 5. 如图，南北向的公路上有一点，东西向的公路上有一点，若要在南北向的公路上确定点，使得是等腰三角形，则这样的点最多能确定的个数是（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质；分三种情况考虑：以A为顶点；以B为顶点；以P为顶点． 【详解】解：如图，以A为顶点，这样的点P有两个，分别是； 以B为顶点，点满足题意； 以P为顶点，则点满足题意． 综上，满足题意的点共有4个； 故选：B． 6. 如图，已知点在同一直线上，和都是等边三角形．交于点，交于点、交于点．①；②；③是等边三角形；④连接，则平分，以上结论正确的有（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】由等边三角形的性质可证明，从而得，，则可判定①与②；证明，得，则可判定③；过点C作，垂足分别为M，N，则可证明，则有，从而可判定④，则最后可确定答案． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴， ∵点在同一直线上， ∴， ∴， ∴， ∴，， 故①正确； ∵， ∴； 故②正确； ∵ ∴， ∴； ∵， ∴是等边三角形； 故③正确； 如图，过点C作，垂足分别为M，N， 则； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴平分； 故④正确； 综上，全部正确； 故选：D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7. 等腰三角形的对称轴是____________________________． 【答案】底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线． 【解析】 【分析】本题根据等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是底边上的高所在的直线，因为等腰三角形底边上的高，顶角平分线，底边上的中线三线合一，所以等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线． 【详解】解：根据等腰三角形的性质，等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线． 故答案为：底边上的高（顶角平分线或底边的中线）． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质及轴对称图形的知识；对两个性质的熟练掌握是正确解答本题的关键． 8. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，且AB=DE，请添加一个条件_____，使△ABC≌△DEF． 【答案】∠A=∠D或BC=EF或BE=CF或∠ACB=∠F 【解析】 【分析】判定一般三角形全等一共有四种方法，根据这四种方法一一选择即可． 【详解】解：添加BE=CF ∵BE=CF， ∴BC=EF， ∵AB∥DE， ∴∠B=∠DEF， ∵AB=DE， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 故答案为：AB=DE（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定，根据判定的方法选择合适的方法，关键是要能熟练运用三角形的判定方法． 9. 一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是__________． 【答案】10 【解析】 【详解】2 cm为腰时，不构成三角形；4 cm为腰时，周长=4+4+2=10 cm. 10. 如图， 在中，边 的垂直平分线分别交 、 于点 、，，的周长为，则的周长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长计算公式，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，再由线段垂直平分线的定义得到，根据三角形周长公式推出，据此可得答案． 【详解】解：∵边 的垂直平分线分别交 、 于点 、， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 11. 如图，在直角三角形中，，，，为的中线，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及直角三角形斜边上中线性质，掌握这两个知识是解题的关键；由勾股定理求得斜边的长，由直角三角形斜边上中线性质即可求得的长． 【详解】解：∵，，， ∴； ∵为的斜边上中线， ∴； 故答案为：． 12. 一个三角形三边长为15、20、25，则三角形的面积为___________． 【答案】150 【解析】 【分析】由勾股定理逆定理可知这个三角形是直角三角形，将两直角边代入三角形面积公式计算即可． 【详解】∵， ∴这个三角形是直角三角形 ∴这个三角形的面积． 故答案为150． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，观察出勾股数，并验证是解决本题的关键． 13. 如图，△ABC是等边三角形，BC＝BD，∠BAD＝20°，则∠BCD的度数为______． 【答案】50°##50度 【解析】 【分析】由等边三角形的性质可得，，由等腰三角形的性质可求，可求解． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 又， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用这些性质进行推理． 14. 如图，平分，于，于，. 若，则____________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DE=DF， ∵AB=6，BC=8， ∴S△ABC=AB•DE+BC•DF=×6DE+×8DE=21， 即3DE+4DE=21， 解得DE=3． 故答案为3． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，三角形的面积，是基础题，熟记性质是解题的关键． 15. 如图，在中，于点，于点，交于点，已知，，则的长为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，判定三角形全等是关键；由面积可求得；再证明，则得，则由可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵，， ∴，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 16. 如图，四个全等的直角三角形与小正方形拼成的大正方形图案，如果大正方形的面积为25，小正方形的面积为4，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么的值为______． 【答案】46 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，完全平方公式，根据勾股定理得到，等积法求出，再利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：由题意和勾股定理，得：， 四个直角三角形的面积之和为：，即：， ∴； 故答案为：46． 17. 如图，一张矩形纸片，其中，，将纸片沿对角线对折，点落在点的位置，交于点，则的长为______． 【答案】##0.875 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，等腰三角形的判定，掌握折叠的性质是关键；由矩形知；由折叠性质易得；设，则；在中，利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：∵四边形矩形， ∴， ∴； 由折叠性质知：， ∴， ∴； 设，则； 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即 故答案为：． 18. 如图，已知，中，，，的顶点分别在上，点在内部，当点在上运动时，点随之在上运动，的形状始终保持不变，在运动过程中，点到点的距离最大为______． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，两点间线段最短等知识，构造辅助线是解题的关键． 取中点，连接，则，，由勾股定理求得； 由，当O、P、C三点共线时，点到点的距离最大，最大值为． 【详解】解：如图，取中点，连接； ∵，， ∴，， 由勾股定理得； ∵， ∴当O、P、C三点共线时，点到点的距离最大，最大值为． 故答案为：17． 三、解答题（本大题共8小题，共64分） 19. 如图，点在上，点在上，，．求证：． 【答案】 证明：在与中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，证明三角形全等是关键；由题意用即可证明，从而有对应角相等． 【详解】略 20. 如图，为等边三角形，平分交于点D，交于点E． （1）求证：是等边三角形． （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵为等边三角形， ∴． ∵， ∴，． ∴是等边三角形． （2） 证明：∵为等边三角形， ∴． ∵平分， ∴． ∵是等边三角形， ∴． ∴． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和平行线的性质解答． （1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可． （2）根据等边三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图所示，在中，，，点为的中点，交的平分线于点，于点， 交的延长线于点． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接，， ∵是的中点，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）如图所示，连接，，先利用证明得到，再由角平分线的性质得到，即可利用证明则； （）证明，得到，由（）得，则，据此求出的长，即可求出的长； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在和中， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 22. 如图所示是每一个小方格都是边长为1的正方形网格． （1）在上找一点P，使点P到和的距离相等； （2）在射线上找一点Q，使． 【答案】（1） 如图 （2） 如图 【解析】 【分析】本题考查了格点作图，作角平分线，作线段垂直平分线，利用网格的特点结合问题灵活处理是解题的关键． （1）找到格点G，使，连接，它与的交点P满足条件； （2）作出的垂直平分线，与射线相交，交点Q即满足条件． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略． 23. 证明命题：直角三角形角所对的边是斜边的一半，请写已知，求证，并证明． 【答案】 已知：中，，， 求证：， 证明：如图， 延长到D，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】先画图，延长到D，使，连接，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】略 【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质和等边三角形的性质和判定，能正确作出辅助线是解此题的关键． 24. 如图，四边形中，，，，，．求四边形的面积． 【答案】114 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和逆定理的应用，理解：在一个三角形中，两条较短边的平方和等于最长边的平方，这个三角形就是直角三角形． 根据勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理得到是直角三角形，然后根据直角三角形的面积公式求解． 【详解】解：，，， 在中 ． 在中 ， ， 是直角三角形， ． 25. 在中，，点D是射线上一动点（不与点B、C重合），以为边在其右侧作，使得、，连接． （1）如图①，点D在线段上，求证：． （2）设．当点D在射线上移动时，探究α与β之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 解：当点D在射线上移动时，或，理由如下： ①当点D在线段上移动时， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∵， ∴，即； ②当点D在的延长线上时， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理是解题的关键． （1）由，可证； （2）①当点D在线段上移动时，由（1）可知：，则，由，，可得，进而可得；②当点D在的延长线上时，同理求解作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 【新知学习】 如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么我们就把这样的三角形叫做“智慧三角形”． 【概念理解】 （1）下列三个三角形，是智慧三角形的是______（填序号）； 【灵活应用】 （2）如图，已知线段和直线，用无刻度的直尺和圆规在上找出所有满足条件的点，使得为“智慧三角形”（不写作法，保留作图痕迹）； 【深入探究】 （3）如图，等边三角形边长．若动点以的速度从点出发，沿的边运动．若另一动点以的速度从点出发，沿边运动，两点同时出发，当点首次回到点时，两点同时停止运动．设运动时间为，那么为______时，为“智慧三角形”． 【答案】（1）① （2）如图所示： （3）或或或 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质即可判断． （2）分别按照直径所对的圆周角为直角，和分别过点，作线段的垂线的方法即可找到四个点，使得为“智慧三角形”． （3）分当点在线段上，点在线段上时和当点在线段上，点在线段上时两种情形，分别构建方程求解即可． 【详解】（1）∵直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半， ∴①是“智慧三角形”． 故答案为：①． （2）解：①选用圆规画出的垂直平分线，即可得出中点，以点为圆心，以为半径画圆，与直线相交的两个点，即为和，与连接形成的，， ∵， ∴，均为智慧三角形． ②延长线段，再分别过，作线段的垂线，交直线于点和，与连接形成的，，如图所示： ∵， ∴，均为智慧三角形． （3）①当点在线段上，点在线段上时，若，则， ∴， 解得：． 若，则， ∴， ∴． ②当点在线段上，点在线段上时，若，则， ∴， ∴， 若，则， ∴， ∴， 综上所述：满足条件的的值为或或或． 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，一元一次方程，等边三角形的性质，圆周角，作图，动点问题等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方程的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第一学期期中质量调研卷 八年级数学 （总分：100分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1. 下列表情符号中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列数据不是勾股数的是（ ） A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 8，12，16 D. 9，40，41 3. 为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ） A. 三边中线交点 B. 三条角平分线交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点 4. 根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（ ） A. AB=5，BC=6 B. AB=5，BC=6，AC=13 C. ∠A=50°，∠B=80°，AB=8 D. ∠A=40°，∠B=50°，∠C=90° 5. 如图，南北向的公路上有一点，东西向的公路上有一点，若要在南北向的公路上确定点，使得是等腰三角形，则这样的点最多能确定的个数是（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 6. 如图，已知点在同一直线上，和都是等边三角形．交于点，交于点、交于点．①；②；③是等边三角形；④连接，则平分，以上结论正确的有（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7. 等腰三角形的对称轴是____________________________． 8. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，且AB=DE，请添加一个条件_____，使△ABC≌△DEF． 9. 一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是__________． 10. 如图， 在中，边 的垂直平分线分别交 、 于点 、，，的周长为，则的周长是________． 11. 如图，在直角三角形中，，，，为的中线，则的长为______． 12. 一个三角形三边长为15、20、25，则三角形的面积为___________． 13. 如图，△ABC是等边三角形，BC＝BD，∠BAD＝20°，则∠BCD的度数为______． 14. 如图，平分，于，于，. 若，则____________. 15. 如图，在中，于点，于点，交于点，已知，，则的长为______． 16. 如图，四个全等的直角三角形与小正方形拼成的大正方形图案，如果大正方形的面积为25，小正方形的面积为4，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么的值为______． 17. 如图，一张矩形纸片，其中，，将纸片沿对角线对折，点落在点的位置，交于点，则的长为______． 18. 如图，已知，中，，，的顶点分别在上，点在内部，当点在上运动时，点随之在上运动，的形状始终保持不变，在运动过程中，点到点的距离最大为______． 三、解答题（本大题共8小题，共64分） 19. 如图，点在上，点在上，，．求证：． 20. 如图，为等边三角形，平分交于点D，交于点E． （1）求证：是等边三角形． （2）求证：． 21. 如图所示，在中，，，点为的中点，交的平分线于点，于点， 交的延长线于点． （1）求证：； （2）求的长． 22. 如图所示是每一个小方格都是边长为1的正方形网格． （1）在上找一点P，使点P到和的距离相等； （2）在射线上找一点Q，使． 23. 证明命题：直角三角形角所对的边是斜边的一半，请写已知，求证，并证明． 24. 如图，四边形中，，，，，．求四边形的面积． 25. 在中，，点D是射线上一动点（不与点B、C重合），以为边在其右侧作，使得、，连接． （1）如图①，点D在线段上，求证：． （2）设．当点D在射线上移动时，探究α与β之间的数量关系，并说明理由． 26. 【新知学习】 如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么我们就把这样的三角形叫做“智慧三角形”． 【概念理解】 （1）下列三个三角形，是智慧三角形的是______（填序号）； 【灵活应用】 （2）如图，已知线段和直线，用无刻度的直尺和圆规在上找出所有满足条件的点，使得为“智慧三角形”（不写作法，保留作图痕迹）； 【深入探究】 （3）如图，等边三角形边长．若动点以的速度从点出发，沿的边运动．若另一动点以的速度从点出发，沿边运动，两点同时出发，当点首次回到点时，两点同时停止运动．设运动时间为，那么为______时，为“智慧三角形”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $