精品解析：湖南省长沙市一中教育集团2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024－2025学年度第一学期九年级期中考试 数学试题卷 考试时间：2024年11月6日 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项） 1. 长沙国庆期间的人流量统计显示，10月4日瞬时客流量达到158.4万人次，成为当天的峰值，这一数据反映了长沙在国庆假期中的旅游热度，尤其是红色旅游景区的人气高涨．将数据158.4万用科学记数法表示应（ ） A. B. C. D. 2. 使有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如表是长沙市一中现代舞蹈社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量是（ ） 年龄/岁 15 16 17 18 频数/名 5 6 A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 4. 已知是方程的一个根，则代数式的值等于（ ） A. 2025 B. 0 C. D. 2023 5. 已知是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，的直径垂直于弦，垂足为，则的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8. 已知抛物线过点，，，四点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上以的速度向点向运动，同时，点在线段上从点到点运动．则能够使与全等的时间为（ ） A. B. 1或 C. 1或 D. 2或 10. 如图，若点M是等边的边上任意一点，将绕点A顺时针旋转得到，且点M在边上，连接，则下列结论：，，，，其中正确的个数有个．（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若方程是关于x的一元二次方程，则______． 12. 如图，菱形的顶点、、在上，过点作的切线交的延长线于点．若的半径为5，则的长为_____． 13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则点在第____象限． 14. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，关于的不等式的解集为______． 15. 如图，在以为直径的半圆O中，作一个矩形，再将矩形绕点C顺时针旋转至矩形，且在半圆上，则旋转角为__________． 16. 感恩的心是一种生活态度，它能够提升我们的生活质量，让我们更加快乐和满足．如图是小双同学在学习二次函数时设计的“爱心”图案．“爱心”是在平面直角坐标系中，由二次函数的图象与其关于直线对称的图象所组成，若两图象相交于，，，四点，则四边形的面积为_____． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简：，再从，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 19. 如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M 和点N，作直线交于点D，连接，若，， （1）求的周长； （2）在下方取点K，以D为圆心为半径画弧，交于点E和点F，求证：． 20. 为了解长沙市九年级学生每周校外锻炼身体的时长（单位：小时）的情况，在全市随机抽取部分九年级学生进行调查，按五个组别：组，组，组，组，组进行整理，绘制如图两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题： （1）这次抽样调查的总人数是_____，扇形统计图中_____，A组所在扇形的圆心角的大小是______； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）若长沙市共约有6万名九年级学生，请你估计全市每周校外锻炼身体时长不少于6小时的九年级学生人数． 21. 如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为． （1）求二次函数的解析式； （2）点为该二次函数的图象在第一象限上一点，当的面积最大时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中找一点，当、、、为顶点所构成的四边形是平行四边形时，直接写出的坐标． 22. 湖南长沙是一个充满文化底蕴的城市，拥有着丰富的旅游特色纪念品．随着国庆小长假旅游旺季的到来，我市某店铺购进了一批旅游纪念品，“文创T恤”和“纪念湘绣”，进货价和销售价如表： 纪念品 价格 文创T恤 纪念湘绣 进货价（元/个） 59 66 销售价（元/个） 79 88 （1）该店铺购进“文创T恤”和“纪念湘绣”共80件，且进货总价不高于4900元，若进货后能全部售出，则分别购进“文创T恤”和“纪念湘绣”多少件，才能获得最大销售利润？最大销售利润是多少？ （2）该店铺为了在国庆假期中尽快售完“文创T恤”，打算调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售8件，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每个多少元时，能使“文创T恤”平均每天销售利润为256元？ 23. 如图，已知正方形，以顶点为直角顶点的等腰在正方形外部绕点旋转． （1）如图1，连接与，在旋转过程中小语同学发现，请你帮小语同学完成证明过程； （2）如图2，若，，在旋转过程中， ①求点与点之间的最大距离； ②当最大时，连接，求的面积． 24. 在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差称为点的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：点在函数图象上，点的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： （1）①点的“纵横值”为______； ②函数的“最优纵横值”为______； （2）若二次函数图象的顶点在直线上，且“最优纵横值”为3，求的值； （3）若二次函数图象的顶点在直线上，当时，二次函数的“最优纵横值”为7，求的值． 25. 已知是的外接圆，点是的中点． （1）如图1，连接交于点，过点作的垂线交延长线于点．设，，请用含的代数式表示； （2）如图2，过点作，交弦的延长线于点． ①求证：； ②若的半径为4，，求的值； （3）如图3，若是半圆，点是上的动点，且点，分别位于的两侧，作关于的轴对称图形，连接，试探究，，三者之间满足的数量关系，并证明所得到的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第一学期九年级期中考试 数学试题卷 考试时间：2024年11月6日 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项） 1. 长沙国庆期间的人流量统计显示，10月4日瞬时客流量达到158.4万人次，成为当天的峰值，这一数据反映了长沙在国庆假期中的旅游热度，尤其是红色旅游景区的人气高涨．将数据158.4万用科学记数法表示应（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【详解】解：158.4万， 故选：C． 2. 使有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件为被开方数大于等于零即可． 【详解】解：若有意义， 则， 解得， 故选：D． 3. 如表是长沙市一中现代舞蹈社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量是（ ） 年龄/岁 15 16 17 18 频数/名 5 6 A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平均数、方差、中位数和众数，根据平均数、方差、中位数和众数的定义即可得出答案． 【详解】解：由于17岁和18岁的人数不确定，所以平均数、方差和众数就不确定， 因为该组数据有20个，中位数为第10个和11个的平均数：， 所以仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量是中位数． 故选：C． 4. 已知是方程的一个根，则代数式的值等于（ ） A. 2025 B. 0 C. D. 2023 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值得到，再整体代入所求式子中求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5. 已知是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．由根与系数的关系可得答案． 【详解】解：在一元二次方程中，，，则． 故选：A 6. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，依据题意，由抛物线为，再结合由抛物线的变化规律“上加下减，左加右减”，从而可得新的抛物线为，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，抛物线为， 向左平移2个单位，再向上平移3个单位，可得新抛物线为，即． 此时顶点坐标为． 故选：B． 7. 如图，的直径垂直于弦，垂足为，则的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，含角的直角三角形的性质，掌握垂径定理和勾股定理的综合运用是解题的关键． 根据题意可得，，如图所示，连接，得到，在中，，由此勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】解：∵的直径垂直于弦，，， ∴，， 如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：B ． 8. 已知抛物线过点，，，四点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，由抛物线过，，可得抛物线的对称轴是直线，又结合，故抛物线开口向下，从而抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，再由，可得，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，抛物线过，， 抛物线的对称轴是直线． 又， 抛物线开口向下． 抛物线上的点离对称轴越近函数值越大． 又， ． 故选：A． 9. 如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上以的速度向点向运动，同时，点在线段上从点到点运动．则能够使与全等的时间为（ ） A. B. 1或 C. 1或 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，运动时间为t时，，，分和两种情况，根据对应边相等列方程，即可求解． 【详解】解：，， ， 运动时间为t时，，， 分两种情况： 当时，， 即， 解得； 当时，， 即， 解得； 综上可知，能够使与全等的时间为1或． 故选C． 10. 如图，若点M是等边的边上任意一点，将绕点A顺时针旋转得到，且点M在边上，连接，则下列结论：，，，，其中正确的个数有个．（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】此题重点考查等边三角的判定与性质、旋转的性质、平行线的判定等知识，证明是等边三角形是解题的关键．设交于点，由等边三角形的性质得 由旋转得，则可证明所以是等边三角形，则 ， 可判断③符合题意； 若则求得 ， 与点是边上任意一点这一条件不符，可判断①不符合题意；若则，与点是边上任意一点这一条件不符，可判断②不符合题意；由得，可知与不一定平行， 可判断④不符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点， ∵是等边三角形， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∴，， ∴是等边三角形， ∴，故③符合题意； 若则 与点是边上任意一点这一条件不符， ∴与不一定垂直，故①不符合题意； 若则， 与点是边上任意一点这一条件不符， 不一定等于故②不符合题意； ∴与不一定平行，故④不符合题意， 故选：A． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若方程是关于x的一元二次方程，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义及绝对值的性质进行列式、求解． 此题考查了一元二次方程定义的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识和绝对值的性质进行求解． 【详解】解：由题意得， ∴ 解得或， ∵，即， ∴， 故答案为：3． 12. 如图，菱形的顶点、、在上，过点作的切线交的延长线于点．若的半径为5，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】题考查了菱形及圆的基本性质，等边三角形的判定与性质，切线的性质及30°角的直角三角形的性质，连接，根据菱形及圆的基本性质证得是等边三角形，再利用等边三角形及切线的性质求得，从而利用角的直角三角形的性质求出即可得到结果． 【详解】解：连接， 则，    ∵四边形是菱形， ∴， ∴，即是等边三角形， ∴， 又∵是切线， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则点在第____象限． 【答案】四． 【解析】 【分析】由二次项系数非零及根的判别式△＞0，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，由a的取值范围可得出a+1＞0，-a-3＜0，进而可得出点P在第四象限，此题得解． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且． ∴，， ∴点在第四象限． 故答案为四． 【点睛】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及点的坐标，利用二次项系数非零及根的判别式△＞0，找出关于a的一元一次不等式组是解题的关键． 14. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，关于的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与不等式．数形结合是解题的关键． 根据不等式的解集为直线在直线下方部分所对应的的取值范围，数形结合作答即可． 【详解】解：由题意知，不等式的解集为， 故答案为：． 15. 如图，在以为直径的半圆O中，作一个矩形，再将矩形绕点C顺时针旋转至矩形，且在半圆上，则旋转角为__________． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，圆的基本性质，矩形的性质，等边三角形的判定和性质等，由旋转的性质可得，，结合圆的基本性质可证是等边三角形，推出，再结合矩形的性质求出即可． 【详解】解：如图，连接， 由旋转的性质得：，， 为直径，O点为圆心， ， ， 是等边三角形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 即旋转角为， 故答案为：． 16. 感恩的心是一种生活态度，它能够提升我们的生活质量，让我们更加快乐和满足．如图是小双同学在学习二次函数时设计的“爱心”图案．“爱心”是在平面直角坐标系中，由二次函数的图象与其关于直线对称的图象所组成，若两图象相交于，，，四点，则四边形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合，轴对称的性质，先求出任意一点关于直线对称的点坐标为，得到对称后的解析式为，再解方程求出，，，四点坐标，求出和，最后根据得到四边形的面积为，代入计算即可． 【详解】解：设任意点关于直线对称的点，交于，过作轴于，过作轴于，连接，，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 设二次函数的图象上有任意一点，则点与关于直线对称的点为，若两图象相交于，，，四点， ∴二次函数的图象与关于直线对称的图象解析式为，， 联立，两个方程相减后整理得， ∴或， 当时，联立，解得或， ∴，， ∴， 当时，联立，解得或， ∴，， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，幂的运算，解题的关键是掌握相关运算．先进行开方、零指数幂，负整数指数幂的运算，绝对值，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 18. 先化简：，再从，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值． 【详解】解： ， ， ， 当时，． 19. 如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M 和点N，作直线交于点D，连接，若，， （1）求的周长； （2）在下方取点K，以D为圆心为半径画弧，交于点E和点F，求证：． 【答案】（1）23 （2） 证明：如图，∵是的垂直平分线， ∴， 由作图知，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． （1）根据作图过程可得是线段的垂直平分线，得，进而可得的周长； （2）根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：由作图可得：是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 20. 为了解长沙市九年级学生每周校外锻炼身体的时长（单位：小时）的情况，在全市随机抽取部分九年级学生进行调查，按五个组别：组，组，组，组，组进行整理，绘制如图两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题： （1）这次抽样调查的总人数是_____，扇形统计图中_____，A组所在扇形的圆心角的大小是______； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）若长沙市共约有6万名九年级学生，请你估计全市每周校外锻炼身体时长不少于6小时的九年级学生人数． 【答案】（1）500，32， （2） 补全图形如下： （3）22800 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图与扇形统计图，样本估计总体． （1）由组人数及其所占百分比可得样本容量，用组人数除以样本容量即可得出m，用乘以组人数所占比例即可得到A组所在扇形的圆心角的大小； （2）根据各组人数之和等于样本容量求出组人数，从而补全图形； （3）用总人数乘以样本中、组人数和所占比例即可． 【小问1详解】 解：这次抽样调查的样本容量是， ∴组的占比为：，即， ∴组所在扇形的圆心角的大小是， 故答案为：500，32，； 【小问2详解】 解：组人数为（人）； 【小问3详解】 解：（名）． 答：估计该市每周校外锻炼身体时长不少于6小时的初中学生有22800名． 21. 如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为． （1）求二次函数的解析式； （2）点为该二次函数的图象在第一象限上一点，当的面积最大时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中找一点，当、、、为顶点所构成的四边形是平行四边形时，直接写出的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）先求出点B，C的坐标，再利用待定系数法求解； （2）先求出直线的解析式，作轴于点D，交直线于点E，设点，用含p的二次函数表示出的面积，即可求解； （3）设点Q的坐标为，分点P在第一、二、四象限三种情况，利用平行四边形的性质列方程，即可求解 【小问1详解】 解：中，令，得， 令，则，解得， ，， 将，，代入， 得：，解得， 二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的解析式为． 如图，作轴于点D，交直线于点E， 设点，则， ， ， 当时，取最大值4， ， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：设点Q的坐标为，分三种情况， 当点Q在第一象限时，， 即， 解得， 点Q的坐标为； 同理，当点Q在第四象限时，， 即， 解得， 点Q的坐标为； 当点Q在第二象限时，， 即， 解得， 点Q的坐标为； 综上可知，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查一次函数的图象和性质，二次函数的最值，平行四边形的性质等，第二问的关键是用二次函数表达出，第三问的关键是注意分情况讨论，避免漏解． 22. 湖南长沙是一个充满文化底蕴的城市，拥有着丰富的旅游特色纪念品．随着国庆小长假旅游旺季的到来，我市某店铺购进了一批旅游纪念品，“文创T恤”和“纪念湘绣”，进货价和销售价如表： 纪念品 价格 文创T恤 纪念湘绣 进货价（元/个） 59 66 销售价（元/个） 79 88 （1）该店铺购进“文创T恤”和“纪念湘绣”共80件，且进货总价不高于4900元，若进货后能全部售出，则分别购进“文创T恤”和“纪念湘绣”多少件，才能获得最大销售利润？最大销售利润是多少？ （2）该店铺为了在国庆假期中尽快售完“文创T恤”，打算调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售8件，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每个多少元时，能使“文创T恤”平均每天销售利润为256元？ 【答案】（1）购进“文创T恤”个，购进“纪念湘绣”个时，有最大利润，最大利润为元 （2）“文创T恤”销售价定为每个元， 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用， 掌握一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用是解题的关键． （1）设购进件“文创T恤”x个，则“纪念湘绣”为个，利用总价单价数量，结合总价不超过4900元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，计算再次购进的两款纪念品全部售出后获得的总利润，利用总利润每件的销售利润销售数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题； （2）设“文创T恤”销售价定为每个元，利用平均每天销售“文创T恤”获得的总利润每件的销售利润平均每天的销售量，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论． 【小问1详解】 解：设分别购进“文创T恤”x个，则“纪念湘绣”为个， ， 解得：， 设利润为元， 利润为：， 要使利润最大，则x取最小值， ∵，x为正整数， ∴， ∴购进“文创T恤”个，购进“纪念湘绣”个时，有最大利润， 最大利润为：元； 【小问2详解】 解：设“文创T恤”销售价定为每个元， ， 解得：，， ∵为尽快售完， ∴， 答：“文创T恤”销售价定为每个元，能使“文创T恤”平均每天销售利润为256元． 23. 如图，已知正方形，以顶点为直角顶点的等腰在正方形外部绕点旋转． （1）如图1，连接与，在旋转过程中小语同学发现，请你帮小语同学完成证明过程； （2）如图2，若，，在旋转过程中， ①求点与点之间的最大距离； ②当最大时，连接，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴； （2）①；②24 【解析】 【分析】（1）先根据证明，得出即可； （2）①连接，，根据题意可知，当点，点，点共线时，可以取得最大值； ②以点为圆心，以8为半径作圆，可知当为圆的切线时，最大，可求得，证明，得出，代入数据求出，根据三角形面积公式求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图所示，连接，． ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 根据题意可知：． 且当点，点，点共线时，可以取得最大值， ∴， 即点与点之间的最大距离为． ②以点为圆心，以8为半径作圆，可知当为圆的切线时，最大． ∵此时与相切， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 过点作直线的垂线，交直线于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即, ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，切线的性质，解题的关键是数形结合，作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 24. 在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差称为点的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：点在函数图象上，点的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： （1）①点的“纵横值”为______； ②函数的“最优纵横值”为______； （2）若二次函数图象的顶点在直线上，且“最优纵横值”为3，求的值； （3）若二次函数图象的顶点在直线上，当时，二次函数的“最优纵横值”为7，求的值． 【答案】（1）① ② （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正确理解“纵横值”和“最优纵横值”的定义是解题的关键． （1）①根据可得“纵横值”； ②计算得 利用反比例函数图象上点的坐标特征可得结论； （2）根据对称轴求得则 所以 ，由最优纵横值为，即可得出 解得 （3）由题意可知则，由当 时，二次函数的最优纵横值为，分两种情况讨论得到关于的方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：①点的“纵横值”为 故答案为：； ②， ， ， 时，的最大值是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵二次函数 的顶点在直线上， ， ， ， ， ∵最优纵横值为， ， ， 【小问3详解】 解：∵二次函数的顶点在直线上， ， ， ， ∵当 时，二次函数的最优纵横值为，当 即时，则时，有最大值为, 解得或 (舍去), 当 即时，则时，有最大值为， ， 解得或 (舍去)。 故的值为或． 25. 已知是的外接圆，点是的中点． （1）如图1，连接交于点，过点作的垂线交延长线于点．设，，请用含的代数式表示； （2）如图2，过点作，交弦的延长线于点． ①求证：； ②若的半径为4，，求的值； （3）如图3，若是半圆，点是上的动点，且点，分别位于的两侧，作关于的轴对称图形，连接，试探究，，三者之间满足的数量关系，并证明所得到的结论． 【答案】（1） （2） ①证明：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； ② （3） ，证明如下； 如图3，作，使，连接， ∴是等腰直角三角形，， 由勾股定理得，， ∵是半圆， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 由轴对称的性质可知，， ∴， 由勾股定理得，，即． 【解析】 【分析】（1）由点是的中点，可得，，则，，由，可得，则，根据，求解作答即可； （2）①由（1）可知，，则，由，，则，，进而可证； ②如图1，连接交于，连接，则，设，则，，由勾股定理得，，即；，即；可得，计算求解，进而可求的值； （3）如图2，作，使，连接，则是等腰直角三角形，，由勾股定理得，，由是半圆，可得，由（1）可知，，则，由，可得，证明，则，由轴对称的性质可知，，则，由勾股定理得，，即． 【小问1详解】 解：∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴； 【小问2详解】 ①略 ②解：如图2，连接交于，连接， 由（1）可知，，为的中点， ∵， ∴为的中点， ∴， 设，则，， 由勾股定理得，，即； ，即； ∴， 解得，， ∴的值为； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了垂径定理，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，中位线，勾股定理，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，同弧所对的圆周角相等．熟练掌握这些知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $