计数原理、概率、随机变量及其分布之古典概型、概率的基本性质讲义、课件-2025届高三数学一轮复习

2025届高考数学一轮复习教案讲义（解析版）——计数原理、概率、随机变量及其分布之古典概型、概率的基本性质 【知识梳理】 1.古典概型 具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 2.古典概型的概率公式 设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 3.概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有0≤P(A)≤1； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)； 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1. 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). [常用结论] 概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0. 【诊断自测】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其样本点是“发芽与不发芽”.(　　) (2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件.(　　) (3)从－3，－2，－1，0，1，2中任取一个数，取到的数小于0或不小于0的可能性相同.(　　) (4)从1，2，3这三个数中任取两个数，其和不小于4的概率为.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 解析　对于(1)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确；对于(2)，三个事件不是等可能，其中“一正一反”应包括“正反”与“反正”两个样本点，所以(2)不正确. 2.(必修二P237例7改编)单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案.假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率是________. 答案　 解析　选择一个答案有选A，选B，选C，选D共4种等可能的结果，故答对的概率p＝. 3.袋中装有大小、形状完全相同的6个白球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为________. 答案　 解析　完全相同的6个白球，4个红球，从中任取一球，一共有C＝10种取法，取到白球有C＝6种取法， 则取到白球的概率p＝＝. 4.某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次中9环，有4次中8环，有1次未中靶.假设此人再射击1次，则中靶的概率约为________. 答案　0.9 解析　法一　由题意知＋＋＝＝0.9. 法二　由题意，未中靶的概率为＝0.1， 故中靶的概率为1－0.1＝0.9. 考点一　古典概型 例1 (1)(2024·东莞调研)甲、乙、丙、丁四人在足球训练中进行传球训练，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙、丙、丁中的任何一个人，以此类推，则经过3次传球后乙恰好接到1次球的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　按接球人分类：①不含甲，三人时，乙丙丁，乙丁丙，丙乙丁，丙丁乙，丁乙丙，丁丙乙，共6种； 两人时，乙丙乙，丙乙丙，乙丁乙，丁乙丁，丁丙丁，丙丁丙，共6种； ②含甲，乙甲乙，丙甲丙，丁甲丁，乙丙甲，乙甲丙，乙丁甲，乙甲丁，丙乙甲，丙甲乙，丁乙甲，丁甲乙，丙丁甲，丙甲丁，丁甲丙，丁丙甲，共15种， 故共计27种. 其中乙恰好接到1次球的情况有16种，所以所求概率为. (2)(2024·沈阳模拟)如图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻(上、下相邻或左、右相邻)的开关改变状态.若从这十六个开关中随机选两个不同的开关先后各按1次(例如：先按(1，1)，再按(4，4))，则(2，3)和(4，1)的最终状态都未发生改变的概率为________. (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) 答案　 解析　要使得(2，3)的状态发生改变， 则需要按(1，3)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，3)这五个开关中的一个， 要使得(4，1)的状态发生改变，则需要按(3，1)，(4，1)，(4，2)这三个开关中的一个， 所以要使得(2，3)和(4，1)的最终状态都未发生改变， 则需按其他八个开关中的两个或(1，3)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，3)中的两个或(3，1)，(4，1)，(4，2)中的两个， 故所求概率为＝. 方法总结　求样本空间中样本点个数的方法 (1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x，y)可看成是有序的，如(1，2)与(2，1)不同；有时也可看成是无序的，如(1，2)与(2，1)相同. (3)排列组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识. 训练1 (1)(2023·益阳调研)2022年10月12日“天宫课堂”首次在问天实验舱中授课，航天员老师们演示和讲解的多种实验，极大地激发了学生的学习兴趣.在一次模仿操作实验中，学生们从标号分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9种不同的种子中随机抽取2种种子进行实验，则抽到的2种不同的种子的标号之和恰为10的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　从标号分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9种不同的种子中随机抽取2种种子的所有结果有C＝36(种)， 而标号之和恰为10的结果有{1，9}，{2，8}，{3，7}，{4，6}，共4种， 所以所求的概率p＝＝. (2)(2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　法一　设6个主题分别为A，B，C，D，E，F，甲、乙两位同学所选主题的所有可能情况如表： 乙 甲　 A B C D E F A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D) (A，E) (A，F) B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D) (B，E) (B，F) C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D) (C，E) (C，F) D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D) (D，E) (D，F) E (E，A) (E，B) (E，C) (E，D) (E，E) (E，F) F (F，A) (F，B) (F，C) (F，D) (F，E) (F，F) 共36种情况，其中甲、乙两位同学抽到不同主题的情况有30种，故抽到不同主题的概率为＝. 法二　甲、乙两位同学抽到相同主题的情况有6种，故抽到不同主题的概率为1－＝. 考点二　概率的基本性质 例2 从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如表所示： 红灯个数 0 1 2 3 4 5 6个及 6个以上概率 0.02 0.1 a 0.35 0.2 0.1 0.03 求：(1)表中字母a的值； (2)至少遇到4个红灯的概率； (3)至多遇到5个红灯的概率. 解　(1)由题意可得0.02＋0.1＋a＋0.35＋0.2＋0.1＋0.03＝1，解得a＝0.2. (2)设事件A为遇到红灯的个数为4，事件B为遇到红灯的个数为5， 事件C为遇到红灯的个数为6个及6个以上， 则事件“至少遇到4个红灯”为A∪B∪C， 因为事件A，B，C互斥， 所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.2＋0.1＋0.03＝0.33， 即至少遇到4个红灯的概率为0.33. (3)设事件D为遇到6个及6个以上红灯，则至多遇到5个红灯为事件. 则P()＝1－P(D)＝1－0.03＝0.97. 方法总结　复杂事件概率的求解方法 (1)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和. (2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其对立事件，通过求其对立事件的概率，然后转化为所求问题. 训练2 (多选)(2024·河北名校联考)中国篮球职业联赛中，某男篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如下表： 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 100 55 18 记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，则(　　) A.P(A)＝0.55 B.P(B)＝0.18 C.P(C)＝0.27 D.P(B∪C)＝0.55 答案　ABC 解析　由题意可知P(A)＝＝0.55， P(B)＝＝0.18， ∵事件A∪B为事件C的对立事件，且事件A，B，C两两互斥， ∴P(C)＝1－P(A∪B)＝1－P(A)－P(B)＝0.27， ∴P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.45. 考点三　古典概型的综合应用 例3 (2024·南充诊断)某大学“爱牙协会”为了解“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”情况之间的关系，随机对200名青少年展开了调查，得知这200个人中共有120个人“有蛀牙”，其中“不爱吃甜食”且“有蛀牙”的有30人，“不爱吃甜食”且“无蛀牙”的有50人.有2×2列联表如表所示. 有蛀牙 无蛀牙 总计 爱吃甜食 不爱吃甜食 总计 (1)根据已知条件完成如表所示的2×2列联表，依据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关； (2)若从“无蛀牙”的青少年中用分层随机抽样的方法抽取8人做进一步调查，再从抽取的这8人中随机抽取2人去担任“爱牙宣传志愿者”，求抽取的2人都是“不爱吃甜食”且“无蛀牙”的青少年的概率. 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.05 0.01 0.005 xα 3.841 6.635 7.879 解　(1)由题意可知，2×2列联表为 有蛀牙 无蛀牙 总计 爱吃甜食 90 30 120 不爱吃甜食 30 50 80 总计 120 80 200 零假设H0：“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”无关. ∵χ2＝200×＝28.125>7.879＝x0.005， 根据小概率值α＝0.005的独立性检验，推断H0不成立， ∴认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关，此推断犯错误的概率不大于0.005. (2)若从“无蛀牙”的青少年中用分层随机抽样的方法抽取8人做进一步调查， 则爱吃甜食的有3人，设为x，y，z，不爱吃甜食的有5人，设为a，b，c，d，e， 从中随机抽取2人，所有情况为{x，y}，{x，z}，{y，z}，{x，a}，{x，b}，{x，c}，{x，d}，{x，e}，{y，a}，{y，b}，{y，c}，{y，d}，{y，e}，{z，a}，{z，b}，{z，c}，{z，d}，{z，e}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{c，d}，{c，e}，{d，e}，共28种， 其中抽取的2人都是“不爱吃甜食”且“无蛀牙”的为{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{c，d}，{c，e}，{d，e}，共10种， 故抽取的2人都是“不爱吃甜食”且“无蛀牙”的青少年的概率p＝＝. 方法总结　有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型.概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出的信息，准确从题中提炼信息是解题的关键.复杂事件的概率可将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题. 训练3 某城市100户居民的月平均用电量(单位：千瓦时)以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图. (1)求直方图中x的值； (2)求月平均用电量的众数和中位数； (3)在月平均用电量为[240，260)，[260，280)，[280，300]的三组用户中，用分层随机抽样的方法抽取6户居民，并从抽取的6户中任选2户参加一个访谈节目，求参加节目的2户来自不同组的概率. 解　(1)由(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0＋0.012 5＋x＋0.005 0＋0.002 5)×20＝1得x＝0.007 5， 所以直方图中x的值是0.007 5. (2)月平均用电量的众数是＝230. 因为(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0)×20＝0.45<0.5， 且(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0＋0.012 5)×20＝0.7>0.5， 所以月平均用电量的中位数在[220，240)内， 设中位数为a，由(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0)×20＋0.012 5×(a－220)＝0.5， 解得a＝224， 所以月平均用电量的中位数是224. (3)月平均用电量为[240，260)的用户有 0.007 5×20×100＝15(户)， 月平均用电量为[260，280)的用户有 0.005×20×100＝10(户)， 月平均用电量在[280，300]的用户有 0.002 5×20×100＝5(户). 所以在[240，260)，[260，280)，[280，300]中分别抽取3户、2户和1户. 设参加节目的2户来自不同组为事件A， 则P(A)＝＝. 习题演练 1.(多选)下列试验是古典概型的是(　　) A.在区间[－1，5]上任取一个数x，使x2－3x＋2>0 B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球为白球的概率 C.向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率 D.老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言，甲被选中的概率 答案　BD 解析　A中，在区间[－1，5]上任取一个数x，使x2－3x＋2>0，该事件个数是无限的； B中，从中任取一球的事件有限，且任取一球为白球或黑球的概率是等可能的； C中，向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率不符合有限性； D中，老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人的事件有限，甲、乙、丙被选中的概率是等可能的. 2.(2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　记高一年级2名学生分别为a1，a2，高二年级2名学生分别为b1，b2，则从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的基本事件有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，b2)，共6个，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，共4个，所以这2名学生来自不同年级的概率p＝＝. 3.(2024·杭州调研)杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图.现将三张分别印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片(卡片的形状、大小和质地完全相同)放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为A，B，C， 则样本点有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9个， 其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的样本点有(A，B)，(B，A)，共2个， 所以所求的概率p＝. 4.(2024·张家口质检)已知a是1，3，3，5，7，8，10，11的第75百分位数，在1，3，3，5，7，8，10，11中随机取两个数，这两个数都小于a的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为8×75%＝6，所以a＝＝9. 8个数中有6个数小于9， 所以随机取两个数，这两个数都小于a的概率为＝. 5.(2024·深圳模拟)从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，这三个数之积为偶数的样本点有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共9个， 它们之和大于8的样本点有(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共5个， 故所求概率p＝. 6.(2023·南京模拟)有5个形状大小相同的球，其中3个红色、2个蓝色，从中一次性随机取2个球，则下列说法正确的是(　　) A.“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”是互斥事件 B.“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”是互斥事件 C.“至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个蓝球”的概率 D.“至多取到1个红球”的概率大于“至多取到1个蓝球”的概率 答案　C 解析　对于A、B，两事件能同时发生，不是互斥事件，A、B错误； 对于C，“至少取到1个红球”的概率p＝＝0.9，“至少取到1个蓝球”的概率 p＝＝0.7，故C正确； 对于D，“至多取到1个红球”的概率p＝＝0.7，“至多取到1个蓝球”的概率p＝＝0.9，故D错误. 7.(2024·厦门模拟)某中学体育节中，羽毛球单打12强中有3个种子选手，将这12人任意分成3个组(每组4个人)，则3个种子选手恰好被分在同一组的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由已知条件得，将12人任意分成3组(每组4个人)，不同的分组方法有种，3个种子选手分在同一组的方法有种， 故3个种子选手恰好被分在同一组的概率为＝. 8.(2024·海南四校大联考)从不包含大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A＝“抽到红心”，事件B＝“抽到方片”，且P(A)＝P(B)＝，记事件C＝“抽到黑花色”，则P(C)＝________. 答案　 解析　记事件D＝“抽到红花色”， 因为D＝A∪B，且A，B不会同时发生， 所以A，B是互斥事件， 则P(D)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝. 又因为C，D互斥，且C∪D是必然事件， 所以C，D互为对立事件， 所以P(C)＝1－P(D)＝. 9.(2024·重庆诊断)饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现锅中煮有白菜馅饺子4个，韭菜馅饺子3个，这两种饺子的外形完全相同.从中任意舀取3个饺子，则每种口味的饺子都至少舀取到1个的概率为________. 答案　 解析　分为两类，舀取到的饺子有1个白菜馅，2个韭菜馅，或是2个白菜馅，1个韭菜馅， 所以所求概率p＝＝. 10.(2024·聊城模拟)若互不相等的实数m，n，s，t满足mn＝st，则称m，n，s，t具有“准等比”性质.现从2，4，8，16，32，64，128这7个数中随机选取4个不同的数，则这4个数具有“准等比”性质的概率为________. 答案　 解析　从7个数中随机选取4个不同的数共有C＝35种不同的选法. 因为2＝21，4＝22，8＝23，16＝24，32＝25，64＝26，128＝27， 所以具有“准等比”性质的4个数有{2，16，4，8}，{2，32，4，16}，{2，64，8，16}，{2，64，4，32}，{2，128，4，64}，{2，128，8，32}，{8，16，4，32}，{4，64，8，32}，{4，128，16，32}，{4，128，8，64}，{16，32，8，64}，{16，64，8，128}，{32，64，16，128}，共13种. 所以这4个数具有“准等比”性质的概率为. 11.2021年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况. (1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？ (2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访. 　员工 项目　　 A B C D E F 子女教育 ○ ○ × ○ × ○ 继续教育 × × ○ × ○ ○ 大病医疗 × × × ○ × × 住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○ 住房租金 × × ○ × × × 赡养老人 ○ ○ × × × ○ ①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； ②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率. 解　(1)由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层随机抽样的方法从中抽取25位员工， 因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人. (2)①从已知的6人中随机抽取2人的样本空间为{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)}，共15个样本点. ②由表格知，符合题意的样本空间为{(A，B)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，E)，(C，F)，(D，F)，(E，F)}，共11个样本点， 所以事件M发生的概率P(M)＝. 12.某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图. 注：分组区间为[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100] (1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？ (2)在(1)中所述的优秀学生中用分层随机抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率. 解　(1)由题可得，男生优秀人数为100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生优秀人数为100×(0.015＋0.03)×10＝45. (2)因为样本容量与总体中的个体数的比是＝，所以样本中包含的男生人数为30×＝2，女生人数为45×＝3. 则从5人中任意选取2人共有C＝10种，抽取的2人中没有一名男生有C＝3种，则至少有一名男生有C－C＝7种.故至少有一名男生的概率为p＝. 13.(2024·北京通州区质检)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现双方各出上、中、下等马各一匹，分三组各进行一场比赛，胜两场及以上者获胜.若双方均不知对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为________；若已知田忌的上等马与齐王的中等马分在一组，则田忌获胜的概率为________. 答案　　 解析　齐王的上、中、下等马分别记为a1，a2，a3， 田忌的上、中、下等马分别记为b1，b2，b3， 齐王与田忌赛马，双方每组对阵情况有： (a1，b1)，(a2，b2)，(a3，b3)，齐王获胜； (a1，b1)，(a2，b3)，(a3，b2)，齐王获胜； (a2，b1)，(a1，b2)，(a3，b3)，齐王获胜； (a2，b1)，(a1，b3)，(a3，b2)，田忌获胜； (a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b3)，齐王获胜； (a3，b1)，(a2，b2)，(a1，b3)，齐王获胜，共6种； 其中田忌获胜的只有一种(a2，b1)，(a1，b3)，(a3，b2)， 则田忌获胜的概率为. 若已知田忌的上等马与齐王的中等马分在一组， 此时情况为(a2，b1)，(a1，b2)，(a3，b3)或(a2，b1)，(a1，b3)，(a3，b2)，共2种， 此时田忌获胜的概率为. 14.为了了解某种新型药物对治疗某种疾病的疗效，某机构日前联合医院，进行了小规模的调查，结果显示，相当多的受访者担心使用新药后会有副作用.为了了解使用该种新型药品后是否会引起疲乏症状，该机构随机抽取了某地患有这种疾病的275人进行调查，得到统计数据如表： 新药 疲乏症状 合计 无疲乏症状 有疲乏症状 未使用新药 150 25 t 使用新药 x y 100 合计 225 m 275 (1)求2×2列联表中的数据x，y，m，t的值，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，判断有疲乏症状与是否使用该新药有关？ (2)从使用该新药的100人中按是否有疲乏症状，采用分层随机抽样的方法抽出4人，再从这4人中随机抽取2人做进一步调查，求这2人中恰有1人有疲乏症状的概率. 附：χ2＝， n＝a＋b＋c＋d. α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解　(1)由数表知，x＝225－150＝75，y＝100－75＝25，m＝275－225＝50，t＝150＋25＝175， 零假设H0：有疲乏症状与是否使用该新药无关. 根据列联表中的数据，经计算得到 χ2＝＝ ≈4.911＞3.841＝x0.05. 根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为有疲乏症状与是否使用新药有关. (2)从使用新药的100人中用分层随机抽样抽取4人的抽样比为＝，则抽取有疲乏症状的人数为×25＝1，无疲乏症状的有3人， 记2人中恰有1人有疲乏症状的事件为M，于是得P(M)＝＝， 所以这2人中恰有1人有疲乏症状的概率是. 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届高考数学一轮复习讲义 课件——计数原理、概率、随机变量及其分布之古典概型、概率的基本性质 知识梳理 1.古典概型 具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. (1)有限性：样本空间的样本点只有________； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性______. 有限个 相等 3 4 3.概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有0≤P(A)≤1； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P()＝0； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝___________； 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝_________； 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1. 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). P(A)＋P(B) 1－P(B) 5 常用结论 概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，当A∩B＝，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0. 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其样本点是“发芽与不发芽”.(　　) (2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件.(　　) (3)从－3，－2，－1，0，1，2中任取一个数，取到的数小于0或不小于0的可能性相同.(　　) × × √ √ 解析　对于(1)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确； 对于(2)，三个事件不是等可能，其中“一正一反”应包括“正反”与“反正”两个样本点，所以(2)不正确. 2.(必修二P237例7改编)单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案.假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概 率是________. 3.袋中装有大小、形状完全相同的6个白球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为________. 4.某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次中9环，有4次中8环，有1次未中靶.假设此人再射击1次，则中靶的概率约为________. 0.9 考点一　古典概型 例1 (1)(2024·东莞调研)甲、乙、丙、丁四人在足球训练中进行传球训练，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙、丙、丁中的任何一个人，以此类推，则经过3次传球后乙恰好接到1次球的概率为(　　) C 解析　按接球人分类：①不含甲，三人时，乙丙丁，乙丁丙，丙乙丁，丙丁乙，丁乙丙，丁丙乙，共6种； 两人时，乙丙乙，丙乙丙，乙丁乙，丁乙丁，丁丙丁，丙丁丙，共6种； ②含甲，乙甲乙，丙甲丙，丁甲丁，乙丙甲，乙甲丙，乙丁甲，乙甲丁，丙乙甲，丙甲乙，丁乙甲，丁甲乙，丙丁甲，丙甲丁，丁甲丙，丁丙甲，共15种， 故共计27种. (2)(2024·沈阳模拟)如图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻(上、下相邻或左、右相邻)的开关改变状态.若从这十六个开关中随机选两个不同的开关先后各按1次(例如：先按(1，1)，再按(4，4))，则(2，3)和(4，1)的最终状态都未发生改变的概率为 ________. (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) 解析　要使得(2，3)的状态发生改变， 则需要按(1，3)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，3)这五个开关中的一个， 要使得(4，1)的状态发生改变，则需要按(3，1)，(4，1)，(4，2)这三个开关中的一个， 所以要使得(2，3)和(4，1)的最终状态都未发生改变， 则需按其他八个开关中的两个或(1，3)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，3)中的两个或(3，1)，(4，1)，(4，2)中的两个， 方法总结 求样本空间中样本点个数的方法 (1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x，y)可看成是有序的，如(1，2)与(2，1)不同；有时也可看成是无序的，如(1，2)与(2，1)相同. (3)排列组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识. 训练1 (1)(2023·益阳调研)2022年10月12日“天宫课堂”首次在问天实验舱中授课，航天员老师们演示和讲解的多种实验，极大地激发了学生的学习兴趣.在一次模仿操作实验中，学生们从标号分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9种不同的种子中随机抽取2种种子进行实验，则抽到的2种不同的种子的标号之和恰为10的概率为(　　) A A 解析　法一　设6个主题分别为A，B，C，D，E，F，甲、乙两位同学所选主题的所有可能情况如表： 乙 甲　 A B C D E F A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D) (A，E) (A，F) B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D) (B，E) (B，F) C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D) (C，E) (C，F) D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D) (D，E) (D，F) E (E，A) (E，B) (E，C) (E，D) (E，E) (E，F) F (F，A) (F，B) (F，C) (F，D) (F，E) (F，F) 考点二　概率的基本性质 例2 从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如表所示： 解　由题意可得0.02＋0.1＋a＋0.35＋0.2＋0.1＋0.03＝1，解得a＝0.2. 红灯个数 0 1 2 3 4 5 6个及 6个以上概率 0.02 0.1 a 0.35 0.2 0.1 0.03 求：(1)表中字母a的值； (2)至少遇到4个红灯的概率； 解　设事件A为遇到红灯的个数为4，事件B为遇到红灯的个数为5， 事件C为遇到红灯的个数为6个及6个以上， 则事件“至少遇到4个红灯”为A∪B∪C， 因为事件A，B，C互斥， 所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.2＋0.1＋0.03＝0.33， 即至少遇到4个红灯的概率为0.33. (3)至多遇到5个红灯的概率. 方法总结 复杂事件概率的求解方法 (1)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和. (2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其对立事件，通过求其对立事件的概率，然后转化为所求问题. 训练2 (多选)(2024·河北名校联考)中国篮球职业联赛中，某男篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如下表： ABC 记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，则(　　　) A.P(A)＝0.55 B.P(B)＝0.18 C.P(C)＝0.27 D.P(B∪C)＝0.55 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 100 55 18 ∵事件A∪B为事件C的对立事件，且事件A，B，C两两互斥， ∴P(C)＝1－P(A∪B)＝1－P(A)－P(B)＝0.27， ∴P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.45. 考点三　古典概型的综合应用 例3 (2024·南充诊断)某大学“爱牙协会”为了解“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”情况之间的关系，随机对200名青少年展开了调查，得知这200个人中共有120个人“有蛀牙”，其中“不爱吃甜食”且“有蛀牙”的有30人，“不爱吃甜食”且“无蛀牙”的有50人.有2×2列联表如表所示. (1)根据已知条件完成如表所示的2×2列联表，依据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关；   有蛀牙 无蛀牙 总计 爱吃甜食       不爱吃甜食       总计       解　由题意可知，2×2列联表为   有蛀牙 无蛀牙 总计 爱吃甜食 90 30 120 不爱吃甜食 30 50 80 总计 120 80 200 零假设H0：“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”无关. 根据小概率值α＝0.005的独立性检验，推断H0不成立， ∴认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关，此推断犯错误的概率不大于0.005. 解　若从“无蛀牙”的青少年中用分层随机抽样的方法抽取8人做进一步调查， 则爱吃甜食的有3人，设为x，y，z，不爱吃甜食的有5人，设为a，b，c，d，e， 从中随机抽取2人，所有情况为{x，y}，{x，z}，{y，z}，{x，a}，{x，b}，{x，c}，{x，d}，{x，e}，{y，a}，{y，b}，{y，c}，{y，d}，{y，e}，{z，a}，{z，b}，{z，c}，{z，d}，{z，e}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{c，d}，{c，e}，{d，e}，共28种， 方法总结 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型.概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出的信息，准确从题中提炼信息是解题的关键.复杂事件的概率可将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题. (1)求直方图中x的值； 解　由(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0＋0.012 5＋x＋0.005 0＋0.002 5)×20＝1得 x＝0.007 5， 所以直方图中x的值是0.007 5. 训练3 某城市100户居民的月平均用电量(单位：千瓦时)以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图. (2)求月平均用电量的众数和中位数； 因为(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0)×20＝0.45<0.5， 且(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0＋0.012 5)×20＝0.7>0.5， 所以月平均用电量的中位数在[220，240)内， 设中位数为a，由(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0)×20＋0.012 5×(a－220)＝0.5， 解得a＝224， 所以月平均用电量的中位数是224. (3)在月平均用电量为[240，260)，[260，280)，[280，300]的三组用户中，用分层随机抽样的方法抽取6户居民，并从抽取的6户中任选2户参加一个访谈节目，求参加节目的2户来自不同组的概率. 解　月平均用电量为[240，260)的用户有0.007 5×20×100＝15(户)， 月平均用电量为[260，280)的用户有0.005×20×100＝10(户)， 月平均用电量在[280，300]的用户有0.002 5×20×100＝5(户). 所以在[240，260)，[260，280)，[280，300]中分别抽取3户、2户和1户. 设参加节目的2户来自不同组为事件A， 习题演练 1.(多选)下列试验是古典概型的是(　　) A.在区间[－1，5]上任取一个数x，使x2－3x＋2>0 B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球为白球的概率 C.向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率 D.老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言，甲被选中的概率 BD 解析　A中，在区间[－1，5]上任取一个数x，使x2－3x＋2>0，该事件个数是无限的； B中，从中任取一球的事件有限，且任取一球为白球或黑球的概率是等可能的； C中，向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率不符合有限性； D中，老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人的事件有限，甲、乙、丙被选中的概率是等可能的. D C 解析　记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为A，B，C， 则样本点有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9个， 其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的样本点有(A，B)，(B，A)，共2个， C D 解析　从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，这三个数之积为偶数的样本点有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共9个， 它们之和大于8的样本点有(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共5个， 6.(2023·南京模拟)有5个形状大小相同的球，其中3个红色、2个蓝色，从中一次性随机取2个球，则下列说法正确的是(　　) A.“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”是互斥事件 B.“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”是互斥事件 C.“至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个蓝球”的概率 D.“至多取到1个红球”的概率大于“至多取到1个蓝球”的概率 C 解析　对于A、B，两事件能同时发生，不是互斥事件，A、B错误； A 解析　记事件D＝“抽到红花色”， 因为D＝A∪B，且A，B不会同时发生， 9.(2024·重庆诊断)饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现锅中煮有白菜馅饺子4个，韭菜馅饺子3个，这两种饺子的外形完全相同.从中任意 舀取3个饺子，则每种口味的饺子都至少舀取到1个的概率为________. 解析　分为两类，舀取到的饺子有1个白菜馅，2个韭菜馅，或是2个白菜馅，1个韭菜馅， 10.(2024·聊城模拟)若互不相等的实数m，n，s，t满足mn＝st，则称m，n，s，t具有“准等比”性质.现从2，4，8，16，32，64，128这7个数中随机选取4个 不同的数，则这4个数具有“准等比”性质的概率为________. 因为2＝21，4＝22，8＝23，16＝24，32＝25，64＝26，128＝27， 所以具有“准等比”性质的4个数有{2，16，4，8}，{2，32，4，16}，{2，64，8，16}，{2，64，4，32}，{2，128，4，64}，{2，128，8，32}，{8，16，4，32}，{4，64，8，32}，{4，128，16，32}，{4，128，8，64}，{16，32，8，64}，{16，64，8，128}，{32，64，16，128}，共13种. 11.2021年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况. (1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？ 解　由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层随机抽样的方法从中抽取25位员工， 因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人. (2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访. 　员工 项目　　 A B C D E F 子女教育 ○ ○ × ○ × ○ 继续教育 × × ○ × ○ ○ 大病医疗 × × × ○ × × 住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○ 住房租金 × × ○ × × × 赡养老人 ○ ○ × × × ○ ①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； 解　从已知的6人中随机抽取2人的样本空间为{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)}，共15个样本点. ②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率. 解 由表格知，符合题意的样本空间为{(A，B)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，E)，(C，F)，(D，F)，(E，F)}，共11个样本点， 12.某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图. 注：分组区间为[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100] (1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？ 解　由题可得，男生优秀人数为100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生优秀人数为100×(0.015＋0.03)×10＝45. (2)在(1)中所述的优秀学生中用分层随机抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率. 13.(2024·北京通州区质检)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现双方各出上、中、下等马各一匹，分三组各进行一场比赛，胜两场及以上者获胜.若双方均不知对方马的出场顺序，则 田忌获胜的概率为_______；若已知田忌的上等马与齐王的中等马分在一组， 则田忌获胜的概率为________. 解析　齐王的上、中、下等马分别记为a1，a2，a3， 田忌的上、中、下等马分别记为b1，b2，b3， 齐王与田忌赛马，双方每组对阵情况有： (a1，b1)，(a2，b2)，(a3，b3)，齐王获胜； (a1，b1)，(a2，b3)，(a3，b2)，齐王获胜； (a2，b1)，(a1，b2)，(a3，b3)，齐王获胜； (a2，b1)，(a1，b3)，(a3，b2)，田忌获胜； (a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b3)，齐王获胜； (a3，b1)，(a2，b2)，(a1，b3)，齐王获胜，共6种； 14.为了了解某种新型药物对治疗某种疾病的疗效，某机构日前联合医院，进行了小规模的调查，结果显示，相当多的受访者担心使用新药后会有副作用.为了了解使用该种新型药品后是否会引起疲乏症状，该机构随机抽取了某地患有这种疾病的275人进行调查，得到统计数据如表： 新药 疲乏症状 合计 无疲乏症状 有疲乏症状 未使用新药 150 25 t 使用新药 x y 100 合计 225 m 275 (1)求2×2列联表中的数据x，y，m，t的值，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，判断有疲乏症状与是否使用该新药有关？ 解　由数表知，x＝225－150＝75，y＝100－75＝25，m＝275－225＝50，t＝150＋25＝175， 零假设H0：有疲乏症状与是否使用该新药无关. 根据列联表中的数据，经计算得到 根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为有疲乏症状与是否使用新药有关. 2.古典概型的概率公式 设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝_____＝. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. (4)从1，2，3这三个数中任取两个数，其和不小于4的概率为.(　　) 解析　选择一个答案有选A，选B，选C，选D共4种等可能的结果，故答对的概率p＝. 解析　完全相同的6个白球，4个红球，从中任取一球，一共有C＝10种取法，取到白球有C＝6种取法， 则取到白球的概率p＝＝. 解析　法一　由题意知＋＋＝＝0.9. 法二　由题意，未中靶的概率为＝0.1， 故中靶的概率为1－0.1＝0.9. A. B. C. D. 其中乙恰好接到1次球的情况有16种，所以所求概率为. 故所求概率为＝. 所以所求的概率p＝＝. A. B. C. D. 解析　从标号分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9种不同的种子中随机抽取2种种子的所有结果有C＝36(种)， 而标号之和恰为10的结果有{1，9}，{2，8}，{3，7}，{4，6}，共4种， (2)(2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为(　　) A. B. C. D. 共36种情况，其中甲、乙两位同学抽到不同主题的情况有30种，故抽到不同主题的概率为＝. 法二　甲、乙两位同学抽到相同主题的情况有6种，故抽到不同主题的概率为1－＝. 解　设事件D为遇到6个及6个以上红灯，则至多遇到5个红灯为事件. 则P()＝1－P(D)＝1－0.03＝0.97. 解析　由题意可知P(A)＝＝0.55，P(B)＝＝0.18， ∵χ2＝200×＝28.125>7.879＝x0.005， (2)若从“无蛀牙”的青少年中用分层随机抽样的方法抽取8人做进一步调查，再从抽取的这8人中随机抽取2人去担任“爱牙宣传志愿者”，求抽取的2人都是“不爱吃甜食”且“无蛀牙”的青少年的概率. 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.05 0.01 0.005 xα 3.841 6.635 7.879 其中抽取的2人都是“不爱吃甜食”且“无蛀牙”的为{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{c，d}，{c，e}，{d，e}，共10种， 故抽取的2人都是“不爱吃甜食”且“无蛀牙”的青少年的概率p＝＝. 解　月平均用电量的众数是＝230. 则P(A)＝＝. 2.(2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为(　　) A. B. C. D. 解析　记高一年级2名学生分别为a1，a2，高二年级2名学生分别为b1，b2，则从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的基本事件有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，b2)，共6个，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，共4个，所以这2名学生来自不同年级的概率p＝＝. 3.(2024·杭州调研)杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图.现将三张分别印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片(卡片的形状、大小和质地完全相同)放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是(　　) A. B. C. D. 所以所求的概率p＝. 所以随机取两个数，这两个数都小于a的概率为＝. 4.(2024·张家口质检)已知a是1，3，3，5，7，8，10，11的第75百分位数，在1，3，3，5，7，8，10，11中随机取两个数，这两个数都小于a的概率为(　　) A. B. C. D. 解析　因为8×75%＝6，所以a＝＝9. 8个数中有6个数小于9， 5.(2024·深圳模拟)从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为(　　) A. B. C. D. 故所求概率p＝. 对于C，“至少取到1个红球”的概率p＝＝0.9，“至少取到1个蓝球”的概率p＝＝0.7，故C正确； 对于D，“至多取到1个红球”的概率p＝＝0.7，“至多取到1个蓝球”的概率p＝＝0.9，故D错误. 7.(2024·厦门模拟)某中学体育节中，羽毛球单打12强中有3个种子选手，将这12人任意分成3个组(每组4个人)，则3个种子选手恰好被分在同一组的概率为(　　) A. B. C. D. 解析　由已知条件得，将12人任意分成3组(每组4个人)，不同的分组方法有种，3个种子选手分在同一组的方法有种， 故3个种子选手恰好被分在同一组的概率为＝. 又因为C，D互斥，且C∪D是必然事件， 所以C，D互为对立事件，所以P(C)＝1－P(D)＝. 8.(2024·海南四校大联考)从不包含大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A＝“抽到红心”，事件B＝“抽到方片”，且P(A)＝P(B)＝，记事件C ＝“抽到黑花色”，则P(C)＝________. 所以A，B是互斥事件，则P(D)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝. 所以所求概率p＝＝. 解析　从7个数中随机选取4个不同的数共有C＝35种不同的选法. 所以这4个数具有“准等比”性质的概率为. 所以事件M发生的概率P(M)＝. 解 因为样本容量与总体中的个体数的比是＝，所以样本中包含的男生人数为30×＝2，女生人数为45×＝3. 则从5人中任意选取2人共有C＝10种，抽取的2人中没有一名男生有C＝3种，则至少有一名男生有C－C＝7种.故至少有一名男生的概率为p＝. 其中田忌获胜的只有一种(a2，b1)，(a1，b3)，(a3，b2)，则田忌获胜的概率为. 若已知田忌的上等马与齐王的中等马分在一组，此时情况为(a2，b1)，(a1，b2)，(a3，b3)或(a2，b1)，(a1，b3)，(a3，b2)，共2种，此时田忌获胜的概率为. χ2＝＝≈4.911＞3.841＝x0.05. (2)从使用该新药的100人中按是否有疲乏症状，采用分层随机抽样的方法抽出4人，再从这4人中随机抽取2人做进一步调查，求这2人中恰有1人有疲乏症状的概率. 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解　从使用新药的100人中用分层随机抽样抽取4人的抽样比为＝，则抽取有疲乏症状的人数为×25＝1，无疲乏症状的有3人， 记2人中恰有1人有疲乏症状的事件为M，于是得P(M)＝＝， 所以这2人中恰有1人有疲乏症状的概率是. $$ 2025届高考数学一轮复习教案讲义（原卷版）——计数原理、概率、随机变量及其分布之古典概型、概率的基本性质 【知识梳理】 1.古典概型 具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. (1)有限性：样本空间的样本点只有 ； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性 . 2.古典概型的概率公式 设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝ 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 3.概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有0≤P(A)≤1； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝ ； 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝ ； 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1. 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). [常用结论] 概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0. 【诊断自测】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其样本点是“发芽与不发芽”.(　　) (2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件.(　　) (3)从－3，－2，－1，0，1，2中任取一个数，取到的数小于0或不小于0的可能性相同.(　　) (4)从1，2，3这三个数中任取两个数，其和不小于4的概率为.(　　) 2.(必修二P237例7改编)单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案.假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率是________. 3.袋中装有大小、形状完全相同的6个白球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为________. 4.某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次中9环，有4次中8环，有1次未中靶.假设此人再射击1次，则中靶的概率约为________. 考点一　古典概型 例1 (1)(2024·东莞调研)甲、乙、丙、丁四人在足球训练中进行传球训练，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙、丙、丁中的任何一个人，以此类推，则经过3次传球后乙恰好接到1次球的概率为(　　) A. B. C. D. (2)(2024·沈阳模拟)如图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻(上、下相邻或左、右相邻)的开关改变状态.若从这十六个开关中随机选两个不同的开关先后各按1次(例如：先按(1，1)，再按(4，4))，则(2，3)和(4，1)的最终状态都未发生改变的概率为________. (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) 方法总结　求样本空间中样本点个数的方法 (1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x，y)可看成是有序的，如(1，2)与(2，1)不同；有时也可看成是无序的，如(1，2)与(2，1)相同. (3)排列组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识. 训练1 (1)(2023·益阳调研)2022年10月12日“天宫课堂”首次在问天实验舱中授课，航天员老师们演示和讲解的多种实验，极大地激发了学生的学习兴趣.在一次模仿操作实验中，学生们从标号分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9种不同的种子中随机抽取2种种子进行实验，则抽到的2种不同的种子的标号之和恰为10的概率为(　　) A. B. C. D. (2)(2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为(　　) A. B. C. D. 考点二　概率的基本性质 例2 从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如表所示： 红灯个数 0 1 2 3 4 5 6个及 6个以上概率 0.02 0.1 a 0.35 0.2 0.1 0.03 求：(1)表中字母a的值； (2)至少遇到4个红灯的概率； (3)至多遇到5个红灯的概率. 方法总结　复杂事件概率的求解方法 (1)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和. (2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其对立事件，通过求其对立事件的概率，然后转化为所求问题. 训练2 (多选)(2024·河北名校联考)中国篮球职业联赛中，某男篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如下表： 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 100 55 18 记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，则(　　) A.P(A)＝0.55 B.P(B)＝0.18 C.P(C)＝0.27 D.P(B∪C)＝0.55 考点三　古典概型的综合应用 例3 (2024·南充诊断)某大学“爱牙协会”为了解“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”情况之间的关系，随机对200名青少年展开了调查，得知这200个人中共有120个人“有蛀牙”，其中“不爱吃甜食”且“有蛀牙”的有30人，“不爱吃甜食”且“无蛀牙”的有50人.有2×2列联表如表所示. 有蛀牙 无蛀牙 总计 爱吃甜食 不爱吃甜食 总计 (1)根据已知条件完成如表所示的2×2列联表，依据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关； (2)若从“无蛀牙”的青少年中用分层随机抽样的方法抽取8人做进一步调查，再从抽取的这8人中随机抽取2人去担任“爱牙宣传志愿者”，求抽取的2人都是“不爱吃甜食”且“无蛀牙”的青少年的概率. 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.05 0.01 0.005 xα 3.841 6.635 7.879 方法总结　有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型.概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出的信息，准确从题中提炼信息是解题的关键.复杂事件的概率可将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题. 训练3 某城市100户居民的月平均用电量(单位：千瓦时)以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图. (1)求直方图中x的值； (2)求月平均用电量的众数和中位数； (3)在月平均用电量为[240，260)，[260，280)，[280，300]的三组用户中，用分层随机抽样的方法抽取6户居民，并从抽取的6户中任选2户参加一个访谈节目，求参加节目的2户来自不同组的概率. 习题演练 1.(多选)下列试验是古典概型的是(　　) A.在区间[－1，5]上任取一个数x，使x2－3x＋2>0 B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球为白球的概率 C.向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率 D.老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言，甲被选中的概率 2.(2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为(　　) A. B. C. D. 3.(2024·杭州调研)杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图.现将三张分别印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片(卡片的形状、大小和质地完全相同)放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是(　　) A. B. C. D. 4.(2024·张家口质检)已知a是1，3，3，5，7，8，10，11的第75百分位数，在1，3，3，5，7，8，10，11中随机取两个数，这两个数都小于a的概率为(　　) A. B. C. D. 5.(2024·深圳模拟)从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为(　　) A. B. C. D. 6.(2023·南京模拟)有5个形状大小相同的球，其中3个红色、2个蓝色，从中一次性随机取2个球，则下列说法正确的是(　　) A.“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”是互斥事件 B.“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”是互斥事件 C.“至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个蓝球”的概率 D.“至多取到1个红球”的概率大于“至多取到1个蓝球”的概率 7.(2024·厦门模拟)某中学体育节中，羽毛球单打12强中有3个种子选手，将这12人任意分成3个组(每组4个人)，则3个种子选手恰好被分在同一组的概率为(　　) A. B. C. D. 8.(2024·海南四校大联考)从不包含大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A＝“抽到红心”，事件B＝“抽到方片”，且P(A)＝P(B)＝，记事件C＝“抽到黑花色”，则P(C)＝________. 9.(2024·重庆诊断)饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现锅中煮有白菜馅饺子4个，韭菜馅饺子3个，这两种饺子的外形完全相同.从中任意舀取3个饺子，则每种口味的饺子都至少舀取到1个的概率为________. 10.(2024·聊城模拟)若互不相等的实数m，n，s，t满足mn＝st，则称m，n，s，t具有“准等比”性质.现从2，4，8，16，32，64，128这7个数中随机选取4个不同的数，则这4个数具有“准等比”性质的概率为________. 11.2021年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况. (1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？ (2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访. 　员工 项目　　 A B C D E F 子女教育 ○ ○ × ○ × ○ 继续教育 × × ○ × ○ ○ 大病医疗 × × × ○ × × 住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○ 住房租金 × × ○ × × × 赡养老人 ○ ○ × × × ○ ①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； ②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率. 12.某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图. 注：分组区间为[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100] (1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？ (2)在(1)中所述的优秀学生中用分层随机抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率. 13.(2024·北京通州区质检)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现双方各出上、中、下等马各一匹，分三组各进行一场比赛，胜两场及以上者获胜.若双方均不知对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为________；若已知田忌的上等马与齐王的中等马分在一组，则田忌获胜的概率为________. 14.为了了解某种新型药物对治疗某种疾病的疗效，某机构日前联合医院，进行了小规模的调查，结果显示，相当多的受访者担心使用新药后会有副作用.为了了解使用该种新型药品后是否会引起疲乏症状，该机构随机抽取了某地患有这种疾病的275人进行调查，得到统计数据如表： 新药 疲乏症状 合计 无疲乏症状 有疲乏症状 未使用新药 150 25 t 使用新药 x y 100 合计 225 m 275 (1)求2×2列联表中的数据x，y，m，t的值，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，判断有疲乏症状与是否使用该新药有关？ (2)从使用该新药的100人中按是否有疲乏症状，采用分层随机抽样的方法抽出4人，再从这4人中随机抽取2人做进一步调查，求这2人中恰有1人有疲乏症状的概率. 附：χ2＝， n＝a＋b＋c＋d. α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 第 54 页 学科网（北京）股份有限公司 $$