计数原理、概率、随机变量及其分布之二项分布、超几何分布与正态分布讲义、课件-2025届高三数学一轮复习

2025届高考数学一轮复习教案讲义（解析版）——计数原理、概率、随机变量及其分布之二项分布、超几何分布与正态分布 【知识梳理】 1.伯努利试验与二项分布 (1)伯努利试验 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. (2)二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p). 2.两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p). (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). 3.超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，称随机变量X服从超几何分布. 4.正态分布 (1)定义 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝·e，x∈R，其中，μ∈R，σ＞0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2). (2)正态曲线的特点 ①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称. ②曲线在x＝μ处达到峰值. ③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴. (3)3σ原则 ①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； ③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. (4)正态分布的均值与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. [常用结论] 1.两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形. 2.超几何分布有时也记为X～H(n，M，N)，其均值E(X)＝， D(X)＝. 3.若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为“1”解题. 4.利用n重伯努利试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率. 【诊断自测】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是2的倍数的次数，则X服从二项分布.(　　) (2)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布.(　　) (3)n重伯努利试验中各次试验的结果必须相互独立.(　　) (4)正态分布是对于连续型随机变量而言的.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2.(选修三P76练习1改编)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数，则随机变量X的均值E(X)＝(　　) A.2 B.1 C. D. 答案　A 解析　由题意可知，X～B， E(X)＝4×＝2. 3.(选修三P78例5改编)在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则P(X＝2)＝________. 答案　 解析　由题意，X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝4， 故P(X＝2)＝＝. 4.(必修三P87T2改编)已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X＞2c－1)＝P(X＜c＋3)，则c＝________. 答案　 解析　随机变量X服从正态分布N(3，1)， ∵P(X＞2c－1)＝P(X＜c＋3)， ∴＝3，∴c＝. 考点一　二项分布 例1 (2024·常德模拟)某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件，其中有A，B，C三款软件投入使用，经一学年使用后，团队调查了这个专业大一四个班的使用情况，从各班抽取的样本人数如下表： 班级 一 二 三 四 人数 3 2 3 4 (1)从这12人中随机抽取2人，求这2人恰好来自同一班级的概率； (2)从这12名学生中，指定甲、乙、丙三人为代表，已知他们下午自习时间每人选择一款软件，其中选A，B两款软件学习的概率都是，且他们选择A，B，C任一款软件都是相互独立的，设这三名学生中下午自习时间选软件C的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望. 解　(1)从这12人中随机抽取2人，共有C＝66种可能情况， 记“这2人恰好来自同一班级”为事件A， 则事件A包含的可能情况有 C＋C＋C＋C＝3＋1＋3＋6＝13种， 所以P(A)＝. (2)由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3， 因为选A，B两款软件学习的概率都是，且他们选择A，B，C任一款软件都是相互独立的， 所以他们选择C款软件学习的概率是 1－－＝， 所以这三名学生中下午自习时间选软件C的人数服从二项分布ξ～B， 所以P(ξ＝0)＝C＝， P(ξ＝1)＝C＝＝， P(ξ＝2)＝C＝＝， P(ξ＝3)＝C＝， 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 所以E(ξ)＝3×＝2. 方法总结　判断某随机变量服从二项分布的关键点 (1)在每一次试验中，事件发生的概率相同. (2)各次试验中的事件是相互独立的. (3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生. 训练1 (2024·烟台模拟)为了了解观众对某电视剧的评价，某机构随机抽取了10位观众对其打分(满分为10分)，得到如下表格： 观众序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 评分 7.8 8.9 8.6 7.4 8.5 8.5 9.5 9.9 8.3 9.1 (1)求这组数据的第75百分位数； (2)将频率视为概率，现从观众中随机抽取3人对该电视剧进行评价，记抽取的3人中评分超过9.0的人数为X，求X的分布列、数学期望与方差. 解　(1)将这组数据从小到大进行排列， 7.4，7.8，8.3，8.5，8.5，8.6，8.9，9.1，9.5，9.9， 因为75%×10＝7.5， 所以第8个数据为所求， 所以这组数据的第75百分位数为9.1. (2)样本中评分超过9.0的有3个， 所以评分超过9.0的概率(频率)为0.3， 依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3， 且X～B(3，0.3)， 则P(X＝0)＝C×0.73＝0.343， P(X＝1)＝C×0.3×0.72＝0.441， P(X＝2)＝C×0.32×0.7＝0.189， P(X＝3)＝C×0.33＝0.027， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.343 0.441 0.189 0.027 所以E(X)＝3×0.3＝0.9， D(X)＝3×0.3×0.7＝0.63. 考点二　超几何分布 例2 (2024·宿州模拟)宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市.为了统计智算中心的算力，现从全市n个大型机房和6个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全是小型机房的概率为. (1)求n的值； (2)若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为X，求X的分布列和数学期望. 解　(1)由题知，共有n＋6个机房，抽取2个机房有C种方法，其中全是小机房有C种方法，因此全是小机房的概率为p＝＝， 解得n＝4.即n的值为4. (2)X的可能取值为0，1，2，3. P(X＝0)＝＝＝， P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝＝， P(X＝3)＝＝＝. 则随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 则X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 方法总结　1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数； (3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布. 2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型. 训练2 (2024·郑州调研)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个. (1)求三种粽子各取到1个的概率； (2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列，并求E(X). 解　(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”， 则由古典概型的概率计算公式有 P(A)＝＝. (2)X的所有可能值为0，1，2，且 P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 综上，X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 考点三　正态分布 例3 (1)(多选)(2024·哈尔滨模拟)某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是(　　) A.甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B.甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C.甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D.甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 答案　AC 解析　X，Y均服从正态分布，X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)， 结合正态密度函数的图象可知，μ1＝μ2，σ1<σ2， 故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，故A正确，B错误； 甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，故C正确，D错误. (2)(多选)(2024·泉州部分学校联考)已知某地区有20 000名同学参加某次模拟考试(满分为150分)，其中数学考试成绩X近似服从正态分布N(90，σ2)(σ>0)，则下列说法正确的是(　　) (参考数据：①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； ③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3) A.根据以上数据无法估计本次数学考试的平均分 B.σ的值越大，成绩不低于100分的人数越多 C.若σ＝15，则这次考试分数高于120的约有46人 D.从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过90的概率为 答案　BD 解析　对于A，由题意知，数学考试成绩X的平均值为90，故A错误； 对于B，根据N(90，σ2)(σ>0)中标准差的意义，σ的值越大则高于90分低于100分的人数越少， 所以成绩不低于100分的人数越多，故B正确； 对于C，当σ＝15时， P(X>120)＝[1－P(60≤X≤120)] ≈×(1－0.954 5)＝0.022 75， 故这次考试分数高于120的约有 20 000×0.022 75＝455(人)，故C错误； 对于D，由数学考试成绩X近似服从正态分布N(90，σ2)(σ>0)知P(X>90)＝， 由n重伯努利试验可知，从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过90的概率为C＋C＝＋＝，故D正确. 方法总结　解决正态分布问题的三个关键点 (1)对称轴为x＝μ. (2)标准差为σ. (3)分布区间. 由μ，σ利用对称性可求指定范围内的概率值，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0. 训练3 (1)(2024·枣庄模拟)某地区有20 000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布N(72，82)，则数学成绩位于[80，88]的人数约为(　　) 参考数据：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. A.455 B.2 718 C.6 346 D.9 545 答案　B 解析　由题意可知，μ＝72，σ＝8，P(80≤X≤88)＝P(μ＋σ≤X≤μ＋2σ)＝[P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]≈×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9， 则数学成绩位于[80，88]的人数约为0.135 9×20 000＝2 718. (2)(多选)(2024·常州调研)已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布N(110，81)，其中90分为及格线，则下列结论中正确的有(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5)(　　) A.该校学生成绩的期望为110 B.该校学生成绩的标准差为9 C.该校学生成绩的标准差为81 D.该校学生成绩及格率超过95% 答案　ABD 解析　因为该校学生的成绩服从正态分布N(110，81)，则μ＝110，方差σ2＝81，标准差σ＝9， 因为μ－2σ＝110－2×9＝92， P(ξ≥90)>P(ξ>92)＝P(ξ>μ－2σ) ＝＋P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ) ≈＋×0.954 5＝0.977 25>0.95， 所以该校学生成绩的期望为110，标准差为9，该校学生成绩及格率超过95%. 所以A，B，D正确，C错误. 　 二项分布与超几何分布的区别与联系 1.教材和考题中常涉及二项分布与超几何分布，学生对这两种模型的定义不能很好地理解，一遇到“取”或“摸”的题型，就认为是超几何分布，事实上，超几何分布和二项分布确实有着密切的联系，但也有明显的区别. 2.超几何分布的抽取是不放回抽取，各次抽取不独立，二项分布的抽取是有放回抽取，各次抽取相互独立.当超几何分布所对应的总体数量很大时可以近似地看作二项分布. 例1 写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？ (1)X1表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数. (2)有一批产品共有N件，其中次品有M件(N＞M＞0)，采用有放回抽取方法抽取n次(n＞N)，抽出的次品件数为X2. (3)有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法抽n件，出现次品的件数为X3(N－M＞n＞0，且M≥n). 解　(1)X1的分布列为 X1 0 1 2 … n P C· C· C· … C X1服从二项分布，即X1～B. (2)X2的分布列为 X2 0 1 2 … n P C· C· … X2服从二项分布，即X2～B. (3)X3的分布列为 X3 0 1 … k … n P … … X3服从超几何分布. 例2 为庆祝建军节的到来，某校举行“强国强军”知识竞赛.该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在A，B两名学生中产生，该班委设计了一个选拔方案：A，B两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答.已知这6个问题中，学生A能正确回答其中的4个问题，而学生B能正确回答每个问题的概率均为.A，B两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的. (1)分别求A，B两名学生恰好答对2个问题的概率； (2)设A答对的题数为X，B答对的题数为Y，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由. 解　(1)由题意，知A恰好答对2个问题的概率为P1＝＝， B恰好答对2个问题的概率为 P2＝C＝. (2)X的可能取值为1，2，3， 则P(X＝1)＝＝； P(X＝2)＝＝； P(X＝3)＝＝. 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝2， D(X)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝. 易知Y～B， 所以E(Y)＝3×＝2，D(Y)＝3××＝. 因为E(X)＝E(Y)，D(X)＜D(Y)， 所以A与B答题的平均水平相当，但A比B更稳定.所以选择学生A. 训练 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为[490，495]，(495，500]，…，(510，515].由此得到样本的频率分布直方图(如下图). (1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量； (2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列； (3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列. 解　(1)质量超过505克的产品的频率为 5×0.05＋5×0.01＝0.3， 所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件). (2)质量超过505克的产品数量为12件，则质量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0，1，2， X服从超几何分布. P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， ∴X的分布列为 X 0 1 2 P (3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为＝. 从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2重伯努利试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0，1，2，且Y～B， P(Y＝k)＝C，k＝0，1，2. 所以P(Y＝0)＝C·＝， P(Y＝1)＝C··＝， P(Y＝2)＝C·＝. ∴Y的分布列为 Y 0 1 2 P 习题演练 1.若随机变量X～B，则P(X＝3)等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　随机变量X～B， 则P(X＝3)＝C＝. 2.(2024·湖州质检)设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≥a)＝0.5，P(X<b)＝3P(X≥b)，则P(X≤2a－b)＝(　　) A.0.25 B.0.3 C.0.5 D.0.75 答案　A 解析　由已知得a＝μ，P(X<b)＝1－P(X≥b)，P(X≥b)＝0.25， 故由正态曲线的对称性可得 P(X≤2a－b)＝P(X≥b)＝0.25. 3.(2024·长沙调研)已知随机变量X，Y分别满足X～B(8，p)，Y～N(μ，σ2)，且E(X)＝E(Y)，若P(Y≥3)＝，则p＝(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由Y～N(μ，σ2)和P(Y≥3)＝得μ＝3， 所以E(X)＝E(Y)＝3， 又X～B(8，p)，所以E(X)＝8p＝3， 所以p＝. 4.(多选)(2024·张家口模拟)袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则(　　) A.X～B B.P(X＝2)＝ C.E(X)＝ D.D(X)＝ 答案　ACD 解析　从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到的黑球概率相等，又取到黑球记1分，取4次球的总分数，即为取到黑球的个数，所以随机变量X服从二项分布， 即X～B，故A正确； P(X＝2)＝C＝，故B错误； 因为X～B，所以E(X)＝4×＝，故C正确； D(X)＝4××＝，故D正确. 5.若随机变量X～N(1，σ2)，且正态分布N(1，σ2) 的正态密度曲线如图所示，则下列选项中不可以表示图中阴影部分面积的是(　　) A.－P(X≤0) B.－P(X≥2) C.P(X≤2)－P(X≤0) D.－P(1≤X≤2) 答案　D 解析　根据正态分布的性质可知，正态密度曲线关于直线x＝1对称，所以题图中阴影部分的面积为－P(X≤0)，A正确； 根据对称性，P(X≤0)＝P(X≥2)，B正确； 阴影部分的面积也可以表示为 ，C正确； 阴影部分的面积也可以表示为P(0≤X≤1)， 而P(0≤X≤1)＝P(1≤X≤2)，D不正确. 6.(多选)(2024·成都段测)袋中有6个大小相同的黑球，编号分别为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号分别为7，8，9，10.现从中任取4个球，则下列结论中正确的是(　　) A.取出的最大号码X服从超几何分布 B.取出的黑球个数Y服从超几何分布 C.取出2个白球的概率为 D.若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 答案　BD 解析　对于A，根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取， 由此可知取出的最大号码X不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故A错误； 对于B，取出的黑球个数Y符合超几何分布的定义，将黑球视作第一类，白球视作第二类，可以用超几何分布的数学模型计算概率，故B正确； 对于C，取出2个白球的概率为＝，故C错误； 对于D，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分， 则取出四个黑球的总得分最大，总得分最大的概率为＝，故D正确. 7.(多选)(2024·厦门模拟)李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36，骑自行车平均用时34分钟，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则(　　) A.P(X>32)>P(Y>32) B.P(X≤36)＝P(Y≤36) C.李明计划7：34前到校，应选择坐公交车 D.李明计划7：40前到校，应选择骑自行车 答案　BCD 解析　对于A，由条件可知X～N(30，62)，Y～N(34，22)，根据正态曲线的对称性可知P(Y>32)>0.5>P(X>32)，故A错误； 对于B，P(X≤36)＝P(X≤30＋6)，P(Y≤36)＝P(Y≤34＋2)，所以P(X≤36)＝P(Y≤36)，故B正确； 对于C，P(X≤34)>0.5＝P(Y≤34)， 所以P(X≤34)>P(Y≤34)，故C正确； 对于D，P(X≤40)<P(X<42)＝P(X<30＋12)， P(Y≤40)＝P(Y≤34＋6)， 所以P(X≤40)<P(Y≤40)，故D正确. 8.小赵计划购买某种理财产品，设该产品每年的收益率为X，若P(X＞0)＝3P(X≤0)，则小赵购买该产品4年，恰好有2年是正收益的概率为________. 答案　 解析　由题可知该产品每年为正收益的概率为，则小赵购买该产品4年，恰好有2年是正收益的概率为C×＝. 9.(2024·苏北四市调研)某学校组织1 200名学生进行“防疫知识测试”.测试后统计分析，学生的平均成绩＝80，方差s2＝25.学校要对成绩高于90分的学生进行表彰.假设学生的测试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)(其中μ近似为平均数，σ2近似为方差s2)，则估计获表彰的学生人数为________.(四舍五入，保留整数) 参考数据：随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 答案　27 解析　由题意得μ＝80，σ＝5，μ＋2σ＝90， 故P(X>90)＝P(X>μ＋2σ)≈－×0.954 5＝0.022 75，所以1 200×0.022 75＝27.3≈27. 10.一袋中有除颜色不同，其他都相同的2个白球，2个黄球，1个红球，从中任意取出3个球，有黄球的概率是________，若ξ表示取到黄球的个数，则E(ξ)＝________. 答案　　 解析　从中任意取出3个球，样本点总数n＝C＝10， 其中有黄球包含的样本点个数 m＝CC＋CC＝9. 所以有黄球的概率是P＝＝. ξ表示取到黄球的个数， 则ξ的所有可能取值为0，1，2， P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝， 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. 11.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率均为，每位选手每次编程都互不影响. (1)求乙闯关成功的概率； (2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和均值，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大. 解　(1)乙正确完成2个程序或者3个程序则闯关成功，记乙闯关成功为事件A， 则P(A)＝C×＋＝. (2)由题意知，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 所以甲闯关成功的概率为＋＝， 因为<， 所以甲闯关成功的可能性更大. 12.(2024·九江模拟)为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了规定.某中学研究型学习调查研究“中学生每日使用手机的时间”，从该校中随机调查了100名学生，得到如下统计表： 时间t/min [0，12) [12，24) [24，36) [36，48) [48，60) [60，72] 人数 10 38 32 10 7 3 (1)估计该校学生每日使用手机的时间的平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表)； (2)以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选3人，记这3人每日使用手机的时间在[48，72]的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望E(X). 解　(1)由题意得，该校100名学生每日使用手机的时间的平均数为 ＝6×＋18×＋30×＋42×＋54×＋66×＝＝27(min). 所以估计该校学生每日使用手机的时间的平均数为27 min. (2)由题意知该校学生每日使用手机的时间在[48，72]内的概率估计为＝， 则X～B， 所以P(X＝0)＝C＝， P(X＝1)＝C××＝， P(X＝2)＝C××＝， P(X＝3)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝ . 13.(多选)(2024·武汉调研)已知离散型随机变量X服从二项分布B(n，p)，其中n∈N*，0<p<1.记X为奇数的概率为a，X为偶数的概率为b，则下列说法中正确的有(　　) A.a＋b＝1 B.当p＝时，a＝b C.当0<p<时，a随着n的增大而增大 D.当<p<1时，a随着n的增大而减小 答案　ABC 解析　对于A，由概率的基本性质可知a＋b＝1，故A正确； 对于B，当p＝时，离散型随机变量X服从二项分布B， 则P(X＝k)＝C(k＝0，1，2，3，…，n)， 所以a＝(C＋C＋C＋…) ＝×2n－1＝， b＝(C＋C＋C＋…) ＝×2n－1＝， 所以a＝b，故B正确； 对于C，D，a＝Cp1(1－p)n－1＋Cp3(1－p)n－3＋… ＝＝， 当0<p<时，a＝为正项，且a随着n的增大而增大，故C正确； 当<p<1时，(1－2p)n正负交替，故D不正确. 14.(2024·济南模拟)为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平.某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格. 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩xi(分) 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，s2，经计算 (xi－)2＝1 690，x＝33 050. (1)求； (2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列； (3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布N(μ，σ2)，用，s2的值分别作为μ，σ2的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间[30，82]的人数为Y，求Y的数学期望E(Y). 附：若ξ～N(μ，σ2)， 则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5， P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3. 解　(1)＝×(38＋41＋44＋51＋54＋56＋58＋64＋74＋80)＝56. (2)因为体质测试不合格的学生有3名， 所以X的可能取值为0，1，2，3. 因为P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P (3)因为＝56， s2＝ (xi－)2＝×1 690＝169， 所以μ＝56，σ＝13. 因为P(30≤X≤82)＝P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5， 所以学生的体质测试成绩恰好落在区间[30，82]的概率约为0.954 5， 故Y～B(100，0.954 5)， 所以E(Y)＝100×0.954 5＝95.45. 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届高考数学一轮复习讲义 课件——计数原理、概率、随机变量及其分布之二项分布、超几何分布与正态分布 知识梳理 1.伯努利试验与二项分布 (1)伯努利试验 ____________________的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为_________________. (2)二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝_____________，k＝0，1，2，…，n，称随机变量X服从二项分布，记作_________________. 只包含两个可能结果 n重伯努利试验 X～B(n，p) 3 2.两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝ ___，D(X)＝________. (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝____，D(X)＝___________. p(1－p) np np(1－p) p 4 3.超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝ __________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，称随机变量X服从超几何 分布. 5 正态分布 x＝μ x＝μ (3)3σ原则 ①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； ③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. (4)正态分布的均值与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝____，D(X)＝______. μ σ2 7 常用结论 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是2的倍数的次数，则X服从二项分布.(　　) (2)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布.(　　) (3)n重伯努利试验中各次试验的结果必须相互独立.(　　) (4)正态分布是对于连续型随机变量而言的.(　　) √ √ √ √ A 3.(选修三P78例5改编)在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则P(X＝2)＝________. 解析　由题意，X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝4， 4.(必修三P87T2改编)已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X＞2c－1)＝P(X＜c＋3)，则c＝________. 解析　随机变量X服从正态分布N(3，1)， ∵P(X＞2c－1)＝P(X＜c＋3)， 考点一　二项分布 解　由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3， 方法总结 判断某随机变量服从二项分布的关键点 (1)在每一次试验中，事件发生的概率相同. (2)各次试验中的事件是相互独立的. (3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生. 解　将这组数据从小到大进行排列， 7.4，7.8，8.3，8.5，8.5，8.6，8.9，9.1，9.5，9.9， 因为75%×10＝7.5，所以第8个数据为所求， 所以这组数据的第75百分位数为9.1. (2)将频率视为概率，现从观众中随机抽取3人对该电视剧进行评价，记抽取的3人中评分超过9.0的人数为X，求X的分布列、数学期望与方差. 解　样本中评分超过9.0的有3个，所以评分超过9.0的概率(频率)为0.3， 依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，且X～B(3，0.3)， 考点二　超几何分布 (2)若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为X，求X的分布列和数学期望. 解　X的可能取值为0，1，2，3. 方法总结 1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布. 2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型. 训练2 (2024·郑州调研)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个. (1)求三种粽子各取到1个的概率； 解　令A表示事件“三种粽子各取到1个”， (2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列，并求E(X). 解　X的所有可能值为0，1，2，且 考点三　正态分布 AC A.甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B.甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C.甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D.甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 结合正态密度函数的图象可知，μ1＝μ2，σ1<σ2， 故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，故A正确，B错误； 甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，故C正确，D错误. BD 解析　对于A，由题意知，数学考试成绩X的平均值为90，故A错误； 对于B，根据N(90，σ2)(σ>0)中标准差的意义，σ的值越大则高于90分低于100分的人数越少，所以成绩不低于100分的人数越多，故B正确； 对于C，当σ＝15时， 方法总结 解决正态分布问题的三个关键点 (1)对称轴为x＝μ. (2)标准差为σ. (3)分布区间. 由μ，σ利用对称性可求指定范围内的概率值，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0. 训练3 (1)(2024·枣庄模拟)某地区有20 000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布N(72，82)，则数学成绩位于[80，88]的人数约为(　　) 参考数据：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. A.455 B.2 718 C.6 346 D.9 545 B 则数学成绩位于[80，88]的人数约为0.135 9×20 000＝2 718. (2)(多选)(2024·常州调研)已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布N(110，81)，其中90分为及格线，则下列结论中正确的有(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5)(　　　) A.该校学生成绩的期望为110 B.该校学生成绩的标准差为9 C.该校学生成绩的标准差为81 D.该校学生成绩及格率超过95% ABD 解析　因为该校学生的成绩服从正态分布N(110，81)， 则μ＝110，方差σ2＝81，标准差σ＝9， 因为μ－2σ＝110－2×9＝92， 所以该校学生成绩的期望为110，标准差为9，该校学生成绩及格率超过95%. 所以A，B，D正确，C错误. 　　二项分布与超几何分布的区别与联系 1.教材和考题中常涉及二项分布与超几何分布，学生对这两种模型的定义不能很好地理解，一遇到“取”或“摸”的题型，就认为是超几何分布，事实上，超几何分布和二项分布确实有着密切的联系，但也有明显的区别. 2.超几何分布的抽取是不放回抽取，各次抽取不独立，二项分布的抽取是有放回抽取，各次抽取相互独立.当超几何分布所对应的总体数量很大时可以近似地看作二项分布. 例1 写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？ (1)X1表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数. 解　X1的分布列为 (2)有一批产品共有N件，其中次品有M件(N＞M＞0)，采用有放回抽取方法抽取n次(n＞N)，抽出的次品件数为X2. 解　X2的分布列为 (3)有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法抽n件，出现次品的件数为X3(N－M＞n＞0，且M≥n). 解　X3的分布列为 (2)设A答对的题数为X，B答对的题数为Y，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由. 解　X的可能取值为1，2，3， 因为E(X)＝E(Y)，D(X)＜D(Y)， 所以A与B答题的平均水平相当，但A比B更稳定.所以选择学生A. 训练 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为[490，495]，(495，500]，…，(510，515].由此得到样本的频率分布直方图(如下图). (1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量； 解　质量超过505克的产品的频率为 5×0.05＋5×0.01＝0.3， 所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件). (2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列； 解　质量超过505克的产品数量为12件，则质量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0，1，2，X服从超几何分布. (3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列. 习题演练 B 2.(2024·湖州质检)设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≥a)＝0.5，P(X<b)＝3P(X≥b)，则P(X≤2a－b)＝(　　) A.0.25 B.0.3 C.0.5 D.0.75 A 解析　由已知得a＝μ，P(X<b)＝1－P(X≥b)，P(X≥b)＝0.25， 故由正态曲线的对称性可得P(X≤2a－b)＝P(X≥b)＝0.25. C ACD D 阴影部分的面积也可以表示为P(0≤X≤1)， 而P(0≤X≤1)＝P(1≤X≤2)，D不正确. BD 解析　对于A，根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取， 由此可知取出的最大号码X不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故A错误； 对于B，取出的黑球个数Y符合超几何分布的定义，将黑球视作第一类，白球视作第二类，可以用超几何分布的数学模型计算概率，故B正确； 7.(多选)(2024·厦门模拟)李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36，骑自行车平均用时34分钟，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则(　　　) A.P(X>32)>P(Y>32) B.P(X≤36)＝P(Y≤36) C.李明计划7：34前到校，应选择坐公交车 D.李明计划7：40前到校，应选择骑自行车 BCD 解析　对于A，由条件可知X～N(30，62)，Y～N(34，22)， 根据正态曲线的对称性可知P(Y>32)>0.5>P(X>32)，故A错误； 对于B，P(X≤36)＝P(X≤30＋6)，P(Y≤36)＝P(Y≤34＋2)， 所以P(X≤36)＝P(Y≤36)，故B正确； 对于C，P(X≤34)>0.5＝P(Y≤34)， 所以P(X≤34)>P(Y≤34)，故C正确； 对于D，P(X≤40)<P(X<42)＝P(X<30＋12)， P(Y≤40)＝P(Y≤34＋6)， 所以P(X≤40)<P(Y≤40)，故D正确. 8.小赵计划购买某种理财产品，设该产品每年的收益率为X，若P(X＞0)＝3P(X≤0)，则小赵购买该产品4年，恰好有2年是正收益的概率为________. 27 解析　由题意得μ＝80，σ＝5，μ＋2σ＝90， 所以1 200×0.022 75＝27.3≈27. 10.一袋中有除颜色不同，其他都相同的2个白球，2个黄球，1个红球，从中任 意取出3个球，有黄球的概率是________，若ξ表示取到黄球的个数，则E(ξ)＝ ________. (2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和均值，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大. 解　由题意知，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3， 解　由题意得，该校100名学生每日使用手机的时间的平均数为 (2)以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选3人，记这3人每日使用手机的时间在[48，72]的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望E(X). ABC 解析　对于A，由概率的基本性质可知a＋b＝1，故A正确； 解　因为体质测试不合格的学生有3名， 所以X的可能取值为0，1，2，3. (2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列； 因为P(30≤X≤82)＝P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5， 所以学生的体质测试成绩恰好落在区间[30，82]的概率约为0.954 5， 故Y～B(100，0.954 5)，所以E(Y)＝100×0.954 5＝95.45. Cpk(1－p)n－k 4.正态分布 (1)定义 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝·e，x∈R，其中，μ∈R，σ＞0为参数，则称随机变量X服从_________，记为X～N(μ，σ2). (2)正态曲线的特点 ①曲线是单峰的，它关于直线_________对称. ②曲线在_______处达到峰值. ③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴. 1.两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形. 2.超几何分布有时也记为X～H(n，M，N)，其均值E(X)＝， D(X)＝. 3.若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为“1”解题. 4.利用n重伯努利试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率. 2.(选修三P76练习1改编)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数，则随机变量X的均值E(X)＝(　　) A.2 B.1 C. D. 解析　由题意可知，X～B，E(X)＝4×＝2. 故P(X＝2)＝＝. ∴＝3，∴c＝. 则事件A包含的可能情况有C＋C＋C＋C＝3＋1＋3＋6＝13种， 所以P(A)＝. 例1 (2024·常德模拟)某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件，其中有A，B，C三款软件投入使用，经一学年使用后，团队调查了这个专业大一四个班的使用情况，从各班抽取的样本人数如下表： 班级 一 二 三 四 人数 3 2 3 4 (1)从这12人中随机抽取2人，求这2人恰好来自同一班级的概率； 解　从这12人中随机抽取2人，共有C＝66种可能情况， 记“这2人恰好来自同一班级”为事件A， 所以这三名学生中下午自习时间选软件C的人数服从二项分布ξ～B， (2)从这12名学生中，指定甲、乙、丙三人为代表，已知他们下午自习时间每人选择一款软件，其中选A，B两款软件学习的概率都是，且他们选择A，B，C任一款软件都是相互独立的，设这三名学生中下午自习时间选软件C的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望. 因为选A，B两款软件学习的概率都是，且他们选择A，B，C任一款软件都是相互独立的， 所以他们选择C款软件学习的概率是1－－＝， 所以E(ξ)＝3×＝2. 所以P(ξ＝0)＝C＝，P(ξ＝1)＝C＝＝， P(ξ＝2)＝C＝＝，P(ξ＝3)＝C＝， 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 训练1 (2024·烟台模拟)为了了解观众对某电视剧的评价，某机构随机抽取了10位观众对其打分(满分为10分)，得到如下表格： 观众序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 评分 7.8 8.9 8.6 7.4 8.5 8.5 9.5 9.9 8.3 9.1 (1)求这组数据的第75百分位数； X 0 1 2 3 P 0.343 0.441 0.189 0.027 所以E(X)＝3×0.3＝0.9，D(X)＝3×0.3×0.7＝0.63. 则P(X＝0)＝C×0.73＝0.343，P(X＝1)＝C×0.3×0.72＝0.441， P(X＝2)＝C×0.32×0.7＝0.189，P(X＝3)＝C×0.33＝0.027， 所以X的分布列为 例2 (2024·宿州模拟)宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市.为了统计智算中心的算力，现从全市n个大型机房和6个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全是小型机房的概率为. (1)求n的值； 解　由题知，共有n＋6个机房，抽取2个机房有C种方法，其中全是小机房有C种方法，因此全是小机房的概率为p==，解得n=4.即n的值为4. X 0 1 2 3 P 则X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝. 则随机变量X的分布列为 则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝. 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝. P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝. 综上，X的分布列为 X 0 1 2 P 例3 (1)(多选)(2024·哈尔滨模拟)某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是(　　) 解析　X，Y均服从正态分布，X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)， (2)(多选)(2024·泉州部分学校联考)已知某地区有20 000名同学参加某次模拟考试(满分为150分)，其中数学考试成绩X近似服从正态分布N(90，σ2)(σ>0)，则下列说法正确的是(　　) (参考数据：①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； ③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3) A.根据以上数据无法估计本次数学考试的平均分 B.σ的值越大，成绩不低于100分的人数越多 C.若σ＝15，则这次考试分数高于120的约有46人 D.从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过90的概率为 由n重伯努利试验可知，从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过90的概率为C＋C＝＋＝，故D正确. P(X>120)＝[1－P(60≤X≤120)]≈×(1－0.954 5)＝0.022 75， 故这次考试分数高于120的约有20 000×0.022 75＝455(人)，故C错误； 对于D，由数学考试成绩X近似服从正态分布N(90，σ2)(σ>0)知P(X>90)＝， 解析　由题意可知，μ＝72，σ＝8，P(80≤X≤88)＝P(μ＋σ≤X≤μ＋2σ)＝ [P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]≈×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9， P(ξ≥90)>P(ξ>92)＝P(ξ>μ－2σ)＝＋P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ) ≈＋×0.954 5＝0.977 25>0.95， X1 0 1 2 … n P C· C· C· … C X1服从二项分布，即X1～B. X2 0 1 2 … n P C· C· … X2服从二项分布，即X2～B. X3 0 1 … k … n P … … X3服从超几何分布. 例2 为庆祝建军节的到来，某校举行“强国强军”知识竞赛.该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在A，B两名学生中产生，该班委设计了一个选拔方案：A，B两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答.已知这6个问题中，学生A能正确回答其中的4个问题，而学生B能正确回答每个问题的概率均为.A，B两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的. (1)分别求A，B两名学生恰好答对2个问题的概率； 解　由题意，知A恰好答对2个问题的概率为P1＝＝， B恰好答对2个问题的概率为P2＝C＝. 易知Y～B，所以E(Y)＝3×＝2，D(Y)＝3××＝. 则P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝. 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝2， D(X)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝. P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， ∴X的分布列为 X 0 1 2 P 所以P(Y＝0)＝C·＝，P(Y＝1)＝C··＝，P(Y＝2)＝C·＝. ∴Y的分布列为 Y 0 1 2 P 解　根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为＝. 从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2重伯努利试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0，1，2，且Y～B， P(Y＝k)＝C，k＝0，1，2. 1.若随机变量X～B，则P(X＝3)等于(　　) A. B. C. D. 解析　随机变量X～B，则P(X＝3)＝C＝. 又X～B(8，p)，所以E(X)＝8p＝3， 所以p＝. 3.(2024·长沙调研)已知随机变量X，Y分别满足X～B(8，p)，Y～N(μ，σ2)，且E(X)＝E(Y)，若P(Y≥3)＝，则p＝(　　) A. B. C. D. 解析　由Y～N(μ，σ2)和P(Y≥3)＝得μ＝3， 所以E(X)＝E(Y)＝3， 因为X～B，所以E(X)＝4×＝，故C正确； D(X)＝4××＝，故D正确. 4.(多选)(2024·张家口模拟)袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则(　　　) A.X～B B.P(X＝2)＝ 　　C.E(X)＝ D.D(X)＝ 解析　从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到的黑球概率相等，又取到黑球记1分，取4次球的总分数，即为取到黑球的个数，所以随机变量X服从二项分布，即X～B，故A正确； P(X＝2)＝C＝，故B错误； 阴影部分的面积也可以表示为，C正确； 5.若随机变量X～N(1，σ2)，且正态分布N(1，σ2) 的正态密度曲线如图所示，则下列选项中不可以表示图中阴影部分面积的是(　　) A.－P(X≤0) 　　B.－P(X≥2) C.P(X≤2)－P(X≤0) 　　D.－P(1≤X≤2) 解析　根据正态分布的性质可知，正态密度曲线关于直线x＝1对称，所以题图中阴影部分的面积为－P(X≤0)，A正确； 根据对称性，P(X≤0)＝P(X≥2)，B正确； 6.(多选)(2024·成都段测)袋中有6个大小相同的黑球，编号分别为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号分别为7，8，9，10.现从中任取4个球，则下列结论中正确的是(　　) A.取出的最大号码X服从超几何分布 B.取出的黑球个数Y服从超几何分布 C.取出2个白球的概率为 D.若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 对于C，取出2个白球的概率为＝，故C错误； 对于D，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分， 则取出四个黑球的总得分最大，总得分最大的概率为＝，故D正确. 解析　由题可知该产品每年为正收益的概率为，则小赵购买该产品4年，恰好有2年是正收益的概率为C×＝. 9.(2024·苏北四市调研)某学校组织1 200名学生进行“防疫知识测试”.测试后统计分析，学生的平均成绩＝80，方差s2＝25.学校要对成绩高于90分的学生进行表彰.假设学生的测试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)(其中μ近似为平均数，σ2近似为方差s2)，则估计获表彰的学生人数为________.(四舍五入，保留整数) 参考数据：随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 故P(X>90)＝P(X>μ＋2σ)≈－×0.954 5＝0.022 75， 其中有黄球包含的样本点个数m＝CC＋CC＝9. 所以有黄球的概率是P＝＝. ξ表示取到黄球的个数，则ξ的所有可能取值为0，1，2， P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝， 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. 解析　从中任意取出3个球，样本点总数n＝C＝10， 11.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率均为，每位选手每次编程都互不影响. (1)求乙闯关成功的概率； 解　乙正确完成2个程序或者3个程序则闯关成功，记乙闯关成功为事件A， 则P(A)＝C×＋＝. 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 所以甲闯关成功的概率为＋＝， 因为<，所以甲闯关成功的可能性更大. P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 12.(2024·九江模拟)为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了规定.某中学研究型学习调查研究“中学生每日使用手机的时间”，从该校中随机调查了100名学生，得到如下统计表： 时间t/min [0，12) [12，24) [24，36) [36，48) [48，60) [60，72] 人数 10 38 32 10 7 3 (1)估计该校学生每日使用手机的时间的平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表)； ＝6×＋18×＋30×＋42×＋54×＋66×＝＝27(min). 所以估计该校学生每日使用手机的时间的平均数为27 min. P(X＝1)＝C××＝， P(X＝2)＝C××＝， P(X＝3)＝＝， 解　由题意知该校学生每日使用手机的时间在[48，72]内的概率估计为＝， 则X～B， 所以P(X＝0)＝C＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝ . 13.(多选)(2024·武汉调研)已知离散型随机变量X服从二项分布B(n，p)，其中n∈N*，0<p<1.记X为奇数的概率为a，X为偶数的概率为b，则下列说法中正确的有(　　　) A.a＋b＝1 B.当p＝时，a＝b C.当0<p<时，a随着n的增大而增大 D.当<p<1时，a随着n的增大而减小 b＝(C＋C＋C＋…)＝×2n－1＝，所以a＝b，故B正确； 对于C，D，a＝Cp1(1－p)n－1＋Cp3(1－p)n－3＋… ＝＝， 当0<p<时，a＝为正项，且a随着n的增大而增大，故C正确； 当<p<1时，(1－2p)n正负交替，故D不正确. 对于B，当p＝时，离散型随机变量X服从二项分布B， 则P(X＝k)＝C(k＝0，1，2，3，…，n)， 所以a＝(C＋C＋C＋…)＝×2n－1＝， 14.(2024·济南模拟)为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平.某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格. 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩xi(分) 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，s2，经计算 (xi－)2＝1 690，x＝33 050. (1)求； 解　＝×(38＋41＋44＋51＋54＋56＋58＋64＋74＋80)＝56. 因为P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P (3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布N(μ，σ2)，用，s2的值分别作为μ，σ2的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间[30，82]的人数为Y，求Y的数学期望E(Y). 附：若ξ～N(μ，σ2)， 则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5， P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3. 解　因为＝56，s2＝(xi－)2＝×1 690＝169，所以μ＝56，σ＝13. $$ 2025届高考数学一轮复习教案讲义（原卷版）——计数原理、概率、随机变量及其分布之二项分布、超几何分布与正态分布 【知识梳理】 1.伯努利试验与二项分布 (1)伯努利试验 的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为 . (2)二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝ ，k＝0，1，2，…，n，称随机变量X服从二项分布，记作 . 2.两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝ . (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝ . 3.超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝ ，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，称随机变量X服从超几何分布. 4.正态分布 (1)定义 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝·e，x∈R，其中，μ∈R，σ＞0为参数，则称随机变量X服从 ，记为X～N(μ，σ2). (2)正态曲线的特点 ①曲线是单峰的，它关于直线 对称. ②曲线在 处达到峰值. ③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴. (3)3σ原则 ①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； ③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. (4)正态分布的均值与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝ ，D(X)＝ . [常用结论] 1.两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形. 2.超几何分布有时也记为X～H(n，M，N)，其均值E(X)＝， D(X)＝. 3.若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为“1”解题. 4.利用n重伯努利试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率. 【诊断自测】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是2的倍数的次数，则X服从二项分布.(　　) (2)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布.(　　) (3)n重伯努利试验中各次试验的结果必须相互独立.(　　) (4)正态分布是对于连续型随机变量而言的.(　　) 2.(选修三P76练习1改编)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数，则随机变量X的均值E(X)＝(　　) A.2 B.1 C. D. 3.(选修三P78例5改编)在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则P(X＝2)＝________. 4.(必修三P87T2改编)已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X＞2c－1)＝P(X＜c＋3)，则c＝________. 考点一　二项分布 例1 (2024·常德模拟)某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件，其中有A，B，C三款软件投入使用，经一学年使用后，团队调查了这个专业大一四个班的使用情况，从各班抽取的样本人数如下表： 班级 一 二 三 四 人数 3 2 3 4 (1)从这12人中随机抽取2人，求这2人恰好来自同一班级的概率； (2)从这12名学生中，指定甲、乙、丙三人为代表，已知他们下午自习时间每人选择一款软件，其中选A，B两款软件学习的概率都是，且他们选择A，B，C任一款软件都是相互独立的，设这三名学生中下午自习时间选软件C的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望. 方法总结　判断某随机变量服从二项分布的关键点 (1)在每一次试验中，事件发生的概率相同. (2)各次试验中的事件是相互独立的. (3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生. 训练1 (2024·烟台模拟)为了了解观众对某电视剧的评价，某机构随机抽取了10位观众对其打分(满分为10分)，得到如下表格： 观众序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 评分 7.8 8.9 8.6 7.4 8.5 8.5 9.5 9.9 8.3 9.1 (1)求这组数据的第75百分位数； (2)将频率视为概率，现从观众中随机抽取3人对该电视剧进行评价，记抽取的3人中评分超过9.0的人数为X，求X的分布列、数学期望与方差. 考点二　超几何分布 例2 (2024·宿州模拟)宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市.为了统计智算中心的算力，现从全市n个大型机房和6个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全是小型机房的概率为. (1)求n的值； (2)若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为X，求X的分布列和数学期望. 方法总结　1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数； (3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布. 2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型. 训练2 (2024·郑州调研)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个. (1)求三种粽子各取到1个的概率； (2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列，并求E(X). 考点三　正态分布 例3 (1)(多选)(2024·哈尔滨模拟)某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是(　　) A.甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B.甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C.甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D.甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 (2)(多选)(2024·泉州部分学校联考)已知某地区有20 000名同学参加某次模拟考试(满分为150分)，其中数学考试成绩X近似服从正态分布N(90，σ2)(σ>0)，则下列说法正确的是(　　) (参考数据：①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； ③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3) A.根据以上数据无法估计本次数学考试的平均分 B.σ的值越大，成绩不低于100分的人数越多 C.若σ＝15，则这次考试分数高于120的约有46人 D.从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过90的概率为 方法总结　解决正态分布问题的三个关键点 (1)对称轴为x＝μ. (2)标准差为σ. (3)分布区间. 由μ，σ利用对称性可求指定范围内的概率值，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0. 训练3 (1)(2024·枣庄模拟)某地区有20 000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布N(72，82)，则数学成绩位于[80，88]的人数约为(　　) 参考数据：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. A.455 B.2 718 C.6 346 D.9 545 (2)(多选)(2024·常州调研)已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布N(110，81)，其中90分为及格线，则下列结论中正确的有(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5)(　　) A.该校学生成绩的期望为110 B.该校学生成绩的标准差为9 C.该校学生成绩的标准差为81 D.该校学生成绩及格率超过95% 　 二项分布与超几何分布的区别与联系 1.教材和考题中常涉及二项分布与超几何分布，学生对这两种模型的定义不能很好地理解，一遇到“取”或“摸”的题型，就认为是超几何分布，事实上，超几何分布和二项分布确实有着密切的联系，但也有明显的区别. 2.超几何分布的抽取是不放回抽取，各次抽取不独立，二项分布的抽取是有放回抽取，各次抽取相互独立.当超几何分布所对应的总体数量很大时可以近似地看作二项分布. 例1 写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？ (1)X1表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数. (2)有一批产品共有N件，其中次品有M件(N＞M＞0)，采用有放回抽取方法抽取n次(n＞N)，抽出的次品件数为X2. (3)有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法抽n件，出现次品的件数为X3(N－M＞n＞0，且M≥n). 例2 为庆祝建军节的到来，某校举行“强国强军”知识竞赛.该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在A，B两名学生中产生，该班委设计了一个选拔方案：A，B两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答.已知这6个问题中，学生A能正确回答其中的4个问题，而学生B能正确回答每个问题的概率均为.A，B两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的. (1)分别求A，B两名学生恰好答对2个问题的概率； (2)设A答对的题数为X，B答对的题数为Y，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由. 训练 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为[490，495]，(495，500]，…，(510，515].由此得到样本的频率分布直方图(如下图). (1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量； (2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列； (3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列. 习题演练 1.若随机变量X～B，则P(X＝3)等于(　　) A. B. C. D. 2.(2024·湖州质检)设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≥a)＝0.5，P(X<b)＝3P(X≥b)，则P(X≤2a－b)＝(　　) A.0.25 B.0.3 C.0.5 D.0.75 3.(2024·长沙调研)已知随机变量X，Y分别满足X～B(8，p)，Y～N(μ，σ2)，且E(X)＝E(Y)，若P(Y≥3)＝，则p＝(　　) A. B. C. D. 4.(多选)(2024·张家口模拟)袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则(　　) A.X～B B.P(X＝2)＝ C.E(X)＝ D.D(X)＝ 5.若随机变量X～N(1，σ2)，且正态分布N(1，σ2) 的正态密度曲线如图所示，则下列选项中不可以表示图中阴影部分面积的是(　　) A.－P(X≤0) B.－P(X≥2) C.P(X≤2)－P(X≤0) D.－P(1≤X≤2) 6.(多选)(2024·成都段测)袋中有6个大小相同的黑球，编号分别为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号分别为7，8，9，10.现从中任取4个球，则下列结论中正确的是(　　) A.取出的最大号码X服从超几何分布 B.取出的黑球个数Y服从超几何分布 C.取出2个白球的概率为 D.若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 7.(多选)(2024·厦门模拟)李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36，骑自行车平均用时34分钟，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则(　　) A.P(X>32)>P(Y>32) B.P(X≤36)＝P(Y≤36) C.李明计划7：34前到校，应选择坐公交车 D.李明计划7：40前到校，应选择骑自行车 8.小赵计划购买某种理财产品，设该产品每年的收益率为X，若P(X＞0)＝3P(X≤0)，则小赵购买该产品4年，恰好有2年是正收益的概率为________. 9.(2024·苏北四市调研)某学校组织1 200名学生进行“防疫知识测试”.测试后统计分析，学生的平均成绩＝80，方差s2＝25.学校要对成绩高于90分的学生进行表彰.假设学生的测试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)(其中μ近似为平均数，σ2近似为方差s2)，则估计获表彰的学生人数为________.(四舍五入，保留整数) 参考数据：随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 10.一袋中有除颜色不同，其他都相同的2个白球，2个黄球，1个红球，从中任意取出3个球，有黄球的概率是________，若ξ表示取到黄球的个数，则E(ξ)＝________. 11.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率均为，每位选手每次编程都互不影响. (1)求乙闯关成功的概率； (2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和均值，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大. 12.(2024·九江模拟)为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了规定.某中学研究型学习调查研究“中学生每日使用手机的时间”，从该校中随机调查了100名学生，得到如下统计表： 时间t/min [0，12) [12，24) [24，36) [36，48) [48，60) [60，72] 人数 10 38 32 10 7 3 (1)估计该校学生每日使用手机的时间的平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表)； (2)以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选3人，记这3人每日使用手机的时间在[48，72]的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望E(X). 13.(多选)(2024·武汉调研)已知离散型随机变量X服从二项分布B(n，p)，其中n∈N*，0<p<1.记X为奇数的概率为a，X为偶数的概率为b，则下列说法中正确的有(　　) A.a＋b＝1 B.当p＝时，a＝b C.当0<p<时，a随着n的增大而增大 D.当<p<1时，a随着n的增大而减小 14.(2024·济南模拟)为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平.某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格. 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩xi(分) 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，s2，经计算 (xi－)2＝1 690，x＝33 050. (1)求； (2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列； (3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布N(μ，σ2)，用，s2的值分别作为μ，σ2的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间[30，82]的人数为Y，求Y的数学期望E(Y). 附：若ξ～N(μ，σ2)， 则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5， P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3. 第 54 页 学科网（北京）股份有限公司 $$