集合与常用逻辑用语、不等式之基本不等式讲义、课件-2025届高三数学一轮复习

2025届高考数学一轮复习教案讲义（原卷版）——集合与常用逻辑用语、不等式之基本不等式 【知识梳理】 1.基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号. (3)其中 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数. 2.两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥ (a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. (2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. 3.利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值 . (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 . [常用结论] 1.ab≤≤.要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式. 2.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致. 【诊断自测】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)不等式ab≤与≥成立的条件是相同的.(　　) (2)函数y＝x＋的最小值是2.(　　) (3)函数y＝sin x＋，x∈的最小值是4.(　　) (4)“x＞0且y＞0”是“＋≥2”的充要条件.(　　) 2.(必修一P48T1改编)已知x>1，则x＋的最小值为________. 3.(必修一P58T5改编)若a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为________. 4.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2. 考点一　利用基本不等式求最值 角度1　配凑法 例1 (1)已知0＜x＜，则x的最大值为________. (2)(2024·烟台质检)当x>0时，的最大值为________. 角度2　常数代换法 例2 (1)(2023·邵阳联考)若a>0，b>0，a＋b＝9，则＋的最小值为________. (2)已知0<x<1，则＋的最小值是________. 角度3　消元法 例3 (2024·郑州模拟)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________. 方法总结　1.利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. 2.常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求＋的最值”的问题，先将＋转化为·，再用基本不等式求最值. 3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 训练1 (1)已知x>0，y>0，且4x＋2y－xy＝0，则2x＋y的最小值为(　　) A.16 B.8＋4 C.12 D.6＋4 (2)(2024·天津模拟)函数y＝(x＞－1)的最小值为________. 考点二　利用基本不等式求参数的值或范围 例4 (1)对任意的正实数x，y，＋≤k恒成立，则k的最小值为(　　) A. B. C.2 D. (2)(2024·佛山模拟)若两个正实数x，y满足4x＋y－xy＝0，且不等式xy≥m2－6m恒成立，则实数m的取值范围是________. 方法总结　对于不等式恒成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用基本不等式求最值. 训练2 (1)当x＞a时，2x＋的最小值为10，则a＝(　　) A.1 B. C.2 D.4 (2)已知x>0，y≥0，且x＋2y＝1.若m2－m≤－恒成立，则满足条件的整数m的个数是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 考点三　利用基本不等式解决实际问题 例5 为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的M，N两点为▱AMBN一组相对的顶点，当▱AMBN的周长恒为20米时，小花圃占地面积(单位：平方米)最大为(　　) A.6 B.12 C.18 D.24 方法总结　利用基本不等式解决实际应用问题的思路 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解. 训练3 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系式为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公司创造的最大年平均利润是________万元. 若a＞0，b＞0，则≤≤≤.其中和分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数.要根据题目需要选择合适的形式. 一、利用不等式链求最值 例1 (多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　) A.有最大值 B.＋有最小值3 C.a2＋b2有最小值 D.＋有最大值 二、利用基本不等式链证明不等式 例2 已知a，b，c都是非负实数，求证：＋＋≥(a＋b＋c). 训练 当－＜x＜时，函数y＝＋的最大值为________. 习题演练 1.已知a＞0，b＞0，若2a＋b＝4，则ab的最大值为(　　) A. B.4 C. D.2 2.已知正数a，b满足a2＋b2＝13，则a的最大值为(　　) A.6 B.8 C.4 D.16 3.(2024·商丘质检)已知ab>0，若3是9与3的等比中项，则a＋b的最小值为(　　) A.3＋2 B.7 C.2＋2 D.9 4.(2023·长沙雅礼中学质检)已知x>0，y>0，且x＋y＝7，则(1＋x)(2＋y)的最大值为(　　) A.36 B.25 C.16 D.9 5.若x＜，则f(x)＝3x＋1＋有(　　) A.最大值0 B.最小值9 C.最大值－3 D.最小值－3 6.(2024·巴蜀中学模拟)已知x>0，y>0，且xy＋x－2y＝4，则2x＋y的最小值是(　　) A.4 B.5 C.7 D.9 7.(多选)(2023·厦门质检)已知正实数x，y满足x＋y＝1，则(　　) A.x2＋y的最小值为 B.＋的最小值为8 C.＋的最大值为 D.log2x＋log4y没有最大值 8.(2024·太原模拟)已知x>0，y>0，＋y＝2，则的最小值为________. 9.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨. 10.函数y＝(x>－1)的最小值为________. 11.已知x＞0，y＞0，且2x＋8y＝xy，求： (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值. 12.已知－1<a<2，求＋的最小值. 13.(2024·西安质检)已知正实数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意的实数x恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A.[3，＋∞) B.(－∞，3] C.(－∞，6] D.[6，＋∞) 14.某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.当直角梯形的高为多少(cm)时，用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)? 第 54 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高考数学一轮复习教案讲义（解析版）——集合与常用逻辑用语、不等式之基本不等式 【知识梳理】 1.基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号. (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数. 2.两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. (2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. 3.利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. [常用结论] 1.ab≤≤.要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式. 2.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致. 【诊断自测】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)不等式ab≤与≥成立的条件是相同的.(　　) (2)函数y＝x＋的最小值是2.(　　) (3)函数y＝sin x＋，x∈的最小值是4.(　　) (4)“x＞0且y＞0”是“＋≥2”的充要条件.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 解析　(1)不等式ab≤成立的条件是a，b∈R，≥成立的条件是a≥0，b≥0. (2)由于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 故函数y＝x＋无最小值. (3)由于sin x＝时sin x＝2无解， 故sin x＋的最小值不为4. (4)“＋≥2”的充要条件是“xy＞0”. 2.(必修一P48T1改编)已知x>1，则x＋的最小值为________. 答案　3 解析　x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3， 当且仅当x－1＝， 即x＝2时等号成立. 3.(必修一P58T5改编)若a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为________. 答案　9 解析　由ab＝a＋b＋3≥2＋3，得ab－2－3≥0， 解得≥3(≤－1舍去)， 即ab≥9.当且仅当a＝b＝3时取等号. 4.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2. 答案　25 解析　设矩形的一边为x m，面积为y m2， 则另一边为×(20－2x)＝(10－x)(m)， 其中0＜x＜10， 所以y＝x(10－x)≤＝25， 当且仅当x＝10－x，即x＝5时，等号成立， 所以ymax＝25， 即矩形场地的最大面积是25 m2. 考点一　利用基本不等式求最值 角度1　配凑法 例1 (1)已知0＜x＜，则x的最大值为________. 答案　 解析　∵0＜x＜， ∴1－2x2＞0， x＝·≤·＝. 当且仅当2x2＝1－2x2，即x＝时等号成立. (2)(2024·烟台质检)当x>0时，的最大值为________. 答案　 解析　当x>0时，＝≤＝，当且仅当x＝，即x＝2时等号成立， 即的最大值为. 角度2　常数代换法 例2 (1)(2023·邵阳联考)若a>0，b>0，a＋b＝9，则＋的最小值为________. 答案　8 解析　由a>0，b>0，a＋b＝9， 得＋＝＋＝4＋＋≥4＋2＝8(当且仅当＝， 即a＝6，b＝3时等号成立)， 故＋的最小值为8. (2)已知0<x<1，则＋的最小值是________. 答案　9 解析　由0<x<1，得1－x>0. ＋＝[x＋(1－x)]＝5＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当＝即x＝时取等号， 所以＋的最小值是9. 角度3　消元法 例3 (2024·郑州模拟)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________. 答案　6 解析　法一(换元消元法) 由已知得9－(x＋3y)＝xy＝·x·3y≤·， 当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号. 即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0， 令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0， 得t≥6，即x＋3y的最小值为6. 法二(代入消元法) 由x＋3y＋xy＝9，得x＝， 所以x＋3y＝＋3y＝＝ ＝＝3(1＋y)＋－6 ≥2－6＝12－6＝6， 当且仅当3(1＋y)＝，即y＝1，x＝3时取等号， 即x＋3y的最小值为6. 方法总结　1.利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. 2.常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求＋的最值”的问题，先将＋转化为·，再用基本不等式求最值. 3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 训练1 (1)已知x>0，y>0，且4x＋2y－xy＝0，则2x＋y的最小值为(　　) A.16 B.8＋4 C.12 D.6＋4 答案　A 解析　由题意可知＋＝1， ∴2x＋y＝(2x＋y)＝＋＋8≥2＋8＝16，当且仅当＝， 即x＝4，y＝8时，等号成立， 则2x＋y的最小值为16. (2)(2024·天津模拟)函数y＝(x＞－1)的最小值为________. 答案　9 解析　因为x＞－1，则x＋1＞0， 所以y＝＝ ＝(x＋1)＋＋5≥2＋5＝9， 当且仅当x＋1＝，即x＝1时等号成立， 所以函数的最小值为9. 考点二　利用基本不等式求参数的值或范围 例4 (1)对任意的正实数x，y，＋≤k恒成立，则k的最小值为(　　) A. B. C.2 D. 答案　B 解析　依题意得k≥恒成立， 故k≥. 因为＝，2＝2≤5x＋y， 所以＝≤＝6， 当且仅当y＝5x时，等号成立， 所以的最大值为，所以k≥， 即k的最小值为. (2)(2024·佛山模拟)若两个正实数x，y满足4x＋y－xy＝0，且不等式xy≥m2－6m恒成立，则实数m的取值范围是________. 答案　[－2，8] 解析　因为正实数x，y满足4x＋y－xy＝0， 所以xy＝4x＋y≥2＝4， 即≥4⇒xy≥16， 当且仅当y＝4x时等号成立， 由xy≥m2－6m恒成立， 可得16≥m2－6m，解得－2≤m≤8. 方法总结　对于不等式恒成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用基本不等式求最值. 训练2 (1)当x＞a时，2x＋的最小值为10，则a＝(　　) A.1 B. C.2 D.4 答案　A 解析　2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2＋2a＝8＋2a， 即8＋2a＝10，故a＝1. (2)已知x>0，y≥0，且x＋2y＝1.若m2－m≤－恒成立，则满足条件的整数m的个数是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案　C 解析　因为x>0，y≥0，且x＋2y＝1， 所以－＝－ ＝－＝－ ＝＋－10≥2－10＝－2， 当且仅当＝， 即x＝1，y＝0时等号成立， 则m2－m≤－2， 即m2－5m＋4≤0，解得1≤m≤4， 所以整数m可取1，2，3，4，共4个，故选C. 考点三　利用基本不等式解决实际问题 例5 为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的M，N两点为▱AMBN一组相对的顶点，当▱AMBN的周长恒为20米时，小花圃占地面积(单位：平方米)最大为(　　) A.6 B.12 C.18 D.24 答案　D 解析　设AM＝x，AN＝y， 则由已知可得x＋y＝10， 在△MAN中，MN＝6， 由余弦定理可得， cos A＝＝－1＝－1≥－1＝－1＝， 当且仅当x＝y＝5时等号成立， 此时(cos A)min＝， 所以(sin A)max＝＝， 所以四边形AMBN的最大面积为2××5×5×＝24(平方米)， 此时四边形AMBN是边长为5米的菱形. 方法总结　利用基本不等式解决实际应用问题的思路 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解. 训练3 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系式为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公司创造的最大年平均利润是________万元. 答案　8 解析　每台机器运转x年的年平均利润为＝万元， 由于x＞0，故≤18－2＝8， 当且仅当x＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大为8万元. 若a＞0，b＞0，则≤≤≤.其中和分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数.要根据题目需要选择合适的形式. 一、利用不等式链求最值 例1 (多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　) A.有最大值 B.＋有最小值3 C.a2＋b2有最小值 D.＋有最大值 答案　ACD 解析　对于A，由基本不等式可得≤＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立，A正确； 对于B，由≤＝＝，得＋≥，当且仅当a＋2b＝2a＋b，即a＝b＝时等号成立，B错误； 对于C，由≥＝，得a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时等号成立，C正确； 对于D，由≤＝，得＋≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，D正确. 二、利用基本不等式链证明不等式 例2 已知a，b，c都是非负实数，求证：＋＋≥(a＋b＋c). 证明　∵≥. 即≥(a＋b)， 同理，≥(b＋c)， ≥(c＋a)， 相加可得＋＋≥(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a) ＝(a＋b＋c)， 当且仅当a＝b＝c时等号成立. 训练 当－＜x＜时，函数y＝＋的最大值为________. 答案　2 解析　由≤，得a＋b≤2， 则y＝＋≤2＝2， 当且仅当＝， 即x＝时等号成立. 习题演练 1.已知a＞0，b＞0，若2a＋b＝4，则ab的最大值为(　　) A. B.4 C. D.2 答案　D 解析　由题意得4＝2a＋b≥2， 即2≥，两边平方得4≥2ab， ∴ab≤2，当且仅当a＝1，b＝2时，等号成立， ∴ab的最大值为2. 2.已知正数a，b满足a2＋b2＝13，则a的最大值为(　　) A.6 B.8 C.4 D.16 答案　B 解析　∵a2＋b2＝13， ∴a≤＝＝8， 当且仅当a＝时等号成立， ∴a的最大值为8. 3.(2024·商丘质检)已知ab>0，若3是9与3的等比中项，则a＋b的最小值为(　　) A.3＋2 B.7 C.2＋2 D.9 答案　A 解析　由题意得32＝9·3，即9＝9＋， 所以＋＝1， 又ab>0，所以a>0，b>0， 所以a＋b＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2，当且仅当＝， 即a＝＋1，b＝2＋时等号成立， 故a＋b的最小值为3＋2. 4.(2023·长沙雅礼中学质检)已知x>0，y>0，且x＋y＝7，则(1＋x)(2＋y)的最大值为(　　) A.36 B.25 C.16 D.9 答案　B 解析　由x＋y＝7，得(x＋1)＋(y＋2)＝10， 则(1＋x)(2＋y)≤＝25， 当且仅当1＋x＝2＋y， 即x＝4，y＝3时等号成立， 所以(1＋x)(2＋y)的最大值为25. 5.若x＜，则f(x)＝3x＋1＋有(　　) A.最大值0 B.最小值9 C.最大值－3 D.最小值－3 答案　C 解析　∵x＜，∴3x－2＜0， f(x)＝3x－2＋＋3＝－＋3 ≤－2＋3＝－3. 当且仅当2－3x＝， 即x＝－时取“＝”. 6.(2024·巴蜀中学模拟)已知x>0，y>0，且xy＋x－2y＝4，则2x＋y的最小值是(　　) A.4 B.5 C.7 D.9 答案　C 解析　法一　因为xy＋x－2y＝4， 所以(y＋1)x＝4＋2y， 则x＝＝2＋， 故2x＋y＝4＋＋(y＋1)－1≥3＋2＝7， 当且仅当＝y＋1， 即y＝1，x＝3时等号成立. 法二　由xy＋x－2y＝4， 得(x－2)·(y＋1)＝2， 因为y＋1>0，所以x－2>0， 故2x＋y＝2(x－2)＋(y＋1)＋3≥2＋3＝7， 当且仅当2(x－2)＝y＋1， 即y＝1，x＝3时等号成立. 7.(多选)(2023·厦门质检)已知正实数x，y满足x＋y＝1，则(　　) A.x2＋y的最小值为 B.＋的最小值为8 C.＋的最大值为 D.log2x＋log4y没有最大值 答案　AC 解析　因为x，y为正实数，且x＋y＝1， 所以y＝1－x，x∈(0，1)， 所以x2＋y＝x2－x＋1＝＋， 当x＝时，x2＋y取最小值，故A正确； ＋＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当x＝，y＝时等号成立， 所以＋的最小值为9，故B错误； (＋)2＝x＋y＋2＝1＋2≤1＋x＋y＝2， 当且仅当x＝y＝时等号成立， 故＋≤，即＋的最大值为，故C正确； log2x＋log4y＝log2x＋log2＝log2(x)， x2y＝x2(1－x)＝x·x·(2－2x)≤＝， 当且仅当x＝2－2x，即x＝时等号成立， 所以x≤. 所以log2x＋log4y有最大值log2，故D错误. 8.(2024·太原模拟)已知x>0，y>0，＋y＝2，则的最小值为________. 答案　1 解析　由＋y＝2可得＝2－y， 则x＝>0，可得0<y<2. ＝≥＝1， 当且仅当y＝2－y，即y＝1时，等号成立， 故的最小值为1. 9.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨. 答案　20 解析　该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为万元，·4＋4x≥160，当且仅当＝4x，即x＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小. 10.函数y＝(x>－1)的最小值为________. 答案　0 解析　因为y＝＝x－1＋＝x＋1＋－2(x>－1)， 所以y≥2－2＝0， 当且仅当x＝0时，等号成立. 所以y＝(x>－1)的最小值为0. 11.已知x＞0，y＞0，且2x＋8y＝xy，求： (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值. 解　(1)∵xy＝2x＋8y≥2， 即xy≥8，即xy≥64， 当且仅当2x＝8y， 即x＝16，y＝4时，等号成立， ∴xy的最小值为64. (2)由2x＋8y＝xy，得＋＝1， 则x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18. 当且仅当＝， 即x＝12，y＝6时等号成立， 所以x＋y的最小值为18. 12.已知－1<a<2，求＋的最小值. 解　法一　＋＝， 设t＝a＋2，t∈(1，4)，则a＝t－2. 所以＝＝－ ＝－≥－＝3， 当且仅当t＝，即t＝2时等号成立， 所以＋的最小值是3. 法二　因为－1<a<2， 所以a＋1>0，2－a>0，且(1＋a)＋(2－a)＝3， 所以＋＝(1＋a＋2－a) ＝≥＝3， 当且仅当＝， 即a＝0时等号成立， 所以＋的最小值是3. 13.(2024·西安质检)已知正实数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意的实数x恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A.[3，＋∞) B.(－∞，3] C.(－∞，6] D.[6，＋∞) 答案　D 解析　因为a＞0，b＞0，＋＝1， 所以a＋b＝(a＋b)＝10＋＋≥10＋2＝16， 当且仅当＝，即a＝4，b＝12时取等号. 由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m， 即x2－4x－2≥－m对任意的x恒成立， 又x2－4x－2＝(x－2)2－6≥－6， 所以－6≥－m，即m≥6. 14.某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.当直角梯形的高为多少(cm)时，用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)? 解　设直角梯形的高为x cm， ∵宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2，且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm， ∴海报宽AD＝x＋4，海报长DC＝＋8， 故S矩形ABCD＝AD·DC＝(x＋4) ＝8x＋＋1 472≥2＋1 472＝192＋1 472， 当且仅当8x＝，即x＝12时，等号成立. ∴当直角梯形的高为12 cm时，用纸量最少. 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届高考数学一轮复习讲义 课件——集合与常用逻辑用语、不等式之基本不等式 知识梳理 a＝b 3 2.两个重要的不等式 2ab 4 3.利用基本不等式求最值 5 常用结论 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) × × × × 3 3.(必修一P58T5改编)若a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为______. 9 4.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2. 25 解析　设矩形的一边为x m，面积为y m2， 当且仅当x＝10－x，即x＝5时，等号成立， 所以ymax＝25， 即矩形场地的最大面积是25 m2. 考点一　利用基本不等式求最值 8 解析　由a>0，b>0，a＋b＝9， 9 解析　由0<x<1，得1－x>0. 角度3　消元法 例3 (2024·郑州模拟)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________. 6 解析　法一(换元消元法) 当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号. 即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0， 令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0， 得t≥6，即x＋3y的最小值为6. 法二(代入消元法) 方法总结 A 即x＝4，y＝8时，等号成立， 则2x＋y的最小值为16. 9 解析　因为x＞－1，则x＋1＞0， 所以函数的最小值为9. 考点二　利用基本不等式求参数的值或范围 B (2)(2024·佛山模拟)若两个正实数x，y满足4x＋y－xy＝0，且不等式xy≥m2－6m恒成立，则实数m的取值范围是________. [－2，8] 解析　因为正实数x，y满足4x＋y－xy＝0， 当且仅当y＝4x时等号成立， 由xy≥m2－6m恒成立， 可得16≥m2－6m， 解得－2≤m≤8. 方法总结 对于不等式恒成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用基本不等式求最值. A 即8＋2a＝10， 故a＝1. C 解析　因为x>0，y≥0，且x＋2y＝1， 即x＝1，y＝0时等号成立， 即m2－5m＋4≤0， 解得1≤m≤4， 所以整数m可取1，2，3，4，共4个，故选C. 考点三　利用基本不等式解决实际问题 例5 为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的M，N两点为▱AMBN一组相对的顶点，当▱AMBN的周长恒为20米时，小花圃占地面积(单位：平方米)最大为(　　) D 解析　设AM＝x，AN＝y， 则由已知可得x＋y＝10， 在△MAN中，MN＝6， A.6 B.12 C.18 D.24 此时四边形AMBN是边长为5米的菱形. 方法总结 利用基本不等式解决实际应用问题的思路 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解. 训练3 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系式为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公司创造的最大年平均利润是________万元. 8 当且仅当x＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大为8万元. 　基本不等式链 ACD 习题演练 1.已知a＞0，b＞0，若2a＋b＝4，则ab的最大值为(　　) D ∴ab≤2，当且仅当a＝1，b＝2时，等号成立， ∴ab的最大值为2. B 解析　∵a2＋b2＝13， A 又ab>0，所以a>0，b>0， 4.(2023·长沙雅礼中学质检)已知x>0，y>0，且x＋y＝7，则(1＋x)(2＋y)的最大值为(　　) A.36 B.25 C.16 D.9 B 解析　由x＋y＝7，得(x＋1)＋(y＋2)＝10， 当且仅当1＋x＝2＋y， 即x＝4，y＝3时等号成立， 所以(1＋x)(2＋y)的最大值为25. C 解析　∵x＜，∴3x－2＜0， 6.(2024·巴蜀中学模拟)已知x>0，y>0，且xy＋x－2y＝4，则2x＋y的最小值是(　　) A.4 B.5 C.7 D.9 C 解析　法一　因为xy＋x－2y＝4， 所以(y＋1)x＝4＋2y， 法二　由xy＋x－2y＝4， 得(x－2)·(y＋1)＝2， 因为y＋1>0，所以x－2>0， 当且仅当2(x－2)＝y＋1， 即y＝1，x＝3时等号成立. 7.(多选)(2023·厦门质检)已知正实数x，y满足x＋y＝1，则(　　) AC 解析　因为x，y为正实数，且x＋y＝1， 所以y＝1－x，x∈(0，1)， 1 9.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨. 20 0 11.已知x＞0，y＞0，且2x＋8y＝xy，求： (1)xy的最小值； 当且仅当2x＝8y， 即x＝16，y＝4时，等号成立， ∴xy的最小值为64. (2)x＋y的最小值. 即x＝12，y＝6时等号成立， 所以x＋y的最小值为18. 设t＝a＋2，t∈(1，4)，则a＝t－2. 法二　因为－1<a<2， 所以a＋1>0，2－a>0，且(1＋a)＋(2－a)＝3， D 由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m， 即x2－4x－2≥－m对任意的x恒成立， 又x2－4x－2＝(x－2)2－6≥－6，所以－6≥－m，即m≥6. 1.基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2) (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号. (3)其中 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数. (1)a2＋b2≥ (a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. (2)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值 . (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大 值 . 2 S2 1.ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)≤eq \f(a2＋b2,2).要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式. 2.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致. (1)不等式ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)与eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)成立的条件是相同的.(　　) (2)函数y＝x＋eq \f(1,x)的最小值是2.(　　) (3)函数y＝sin x＋eq \f(4,sin x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的最小值是4.(　　) (4)“x＞0且y＞0”是“eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)≥2”的充要条件.(　　) 解析　(1)不等式ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)成立的条件是a，b∈R，eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)成立的条件是a≥0，b≥0. (2)由于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，故函数y＝x＋eq \f(1,x)无最小值. (3)由于sin x＝eq \f(4,sin x)时sin x＝2无解，故sin x＋eq \f(4,sin x)的最小值不为4. (4)“eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)≥2”的充要条件是“xy＞0”. 2.(必修一P48T1改编)已知x>1，则x＋eq \f(1,x－1)的最小值为________. 解析　x＋eq \f(1,x－1)＝x－1＋eq \f(1,x－1)＋1≥2eq \r(（x－1）·\f(1,x－1))＋1＝3， 当且仅当x－1＝， 即x＝2时等号成立. 解析　由ab＝a＋b＋3≥2eq \r(ab)＋3，得ab－2eq \r(ab)－3≥0， 解得≥3(≤－1舍去)， 即ab≥9.当且仅当a＝b＝3时取等号. 则另一边为eq \f(1,2)×(20－2x)＝(10－x)(m)，其中0＜x＜10， 所以y＝x(10－x)≤eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋（10－x）,2)))eq \s\up12(2)＝25， ∴1－2x2＞0，xeq \r(1－2x2)＝eq \f(\r(2),2)·eq \r(2x2) eq \r(1－2x2)≤eq \f(\r(2),2)·eq \f(2x2＋1－2x2,2)＝eq \f(\r(2),4). 当且仅当2x2＝1－2x2，即x＝eq \f(1,2)时等号成立. 角度1　配凑法 例1 (1)已知0＜x＜eq \f(\r(2),2)，则xeq \r(1－2x2)的最大值为________. 解析　∵0＜x＜， (2)(2024·烟台质检)当x>0时，eq \f(3x,x2＋4)的最大值为________. 解析　当x>0时，eq \f(3x,x2＋4)＝eq \f(3,x＋\f(4,x))≤eq \f(3,2\r(x·\f(4,x)))＝eq \f(3,4)，当且仅当x＝eq \f(4,x)，即x＝2时等号 成立， 即的最大值为. 故＋的最小值为8. 角度2　常数代换法 例2 (1)(2023·邵阳联考)若a>0，b>0，a＋b＝9，则eq \f(36,a)＋eq \f(a,b)的最小值为________. 得eq \f(36,a)＋eq \f(a,b)＝eq \f(4（a＋b）,a)＋eq \f(a,b)＝4＋eq \f(4b,a)＋eq \f(a,b)≥4＋2eq \r(\f(4b,a)·\f(a,b))＝8(当且仅当eq \f(4b,a)＝eq \f(a,b)， 即a＝6，b＝3时等号成立)， 所以＋的最小值是9. (2)已知0<x<1，则eq \f(1,x)＋eq \f(4,1－x)的最小值是________. eq \f(1,x)＋eq \f(4,1－x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,1－x)))[x＋(1－x)]＝5＋eq \f(1－x,x)＋eq \f(4x,1－x)≥5＋2eq \r(\f(1－x,x)·\f(4x,1－x))＝9， 当且仅当eq \f(1－x,x)＝eq \f(4x,1－x)即x＝eq \f(1,3)时取等号， 由已知得9－(x＋3y)＝xy＝eq \f(1,3)·x·3y≤eq \f(1,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3y,2)))eq \s\up12(2)， 即x＋3y的最小值为6. 由x＋3y＋xy＝9，得x＝， 所以x＋3y＝eq \f(9－3y,1＋y)＋3y＝eq \f(9－3y＋3y（1＋y）,1＋y)＝eq \f(9＋3y2,1＋y)＝eq \f(3（1＋y）2－6（1＋y）＋12,1＋y)＝3(1＋y)＋eq \f(12,1＋y)－6≥2eq \r(3（1＋y）·\f(12,1＋y))－6＝12－6＝6， 当且仅当3(1＋y)＝eq \f(12,1＋y)，即y＝1，x＝3时取等号， 1.利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. 2.常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求eq \f(a,x)＋eq \f(b,y)的最值”的问题，先将eq \f(a,x)＋eq \f(b,y)转化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)＋\f(b,y)))·eq \f(x＋y,t)，再用基本不等式求最值. 3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 训练1 (1)已知x>0，y>0，且4x＋2y－xy＝0，则2x＋y的最小值为(　　) A.16 B.8＋4eq \r(2) C.12 D.6＋4eq \r(2) 解析　由题意可知＋＝1， ∴2x＋y＝(2x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(4,y)))＝eq \f(8x,y)＋eq \f(2y,x)＋8≥2eq \r(\f(8x,y)·\f(2y,x))＋8＝16，当且仅当eq \f(8x,y)＝eq \f(2y,x)， (2)(2024·天津模拟)函数y＝eq \f(（x＋5）（x＋2）,x＋1)(x＞－1)的最小值为________. 所以y＝eq \f([（x＋1）＋4][（x＋1）＋1],x＋1)＝eq \f(（x＋1）2＋5（x＋1）＋4,x＋1)＝(x＋1)＋eq \f(4,x＋1)＋5≥2eq \r(（x＋1）·\f(4,x＋1))＋5＝9， 当且仅当x＋1＝eq \f(4,x＋1)，即x＝1时等号成立， 例4 (1)对任意的正实数x，y，eq \r(x)＋eq \r(5y)≤keq \r(x＋y)恒成立，则k的最小值为(　　) A.eq \r(5) B.eq \r(6) C.2eq \r(2) D.eq \r(10) 解析　依题意得k≥eq \f(\r(x)＋\r(5y),\r(x＋y))恒成立，故k≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(x)＋\r(5y),\r(x＋y))))eq \s\do7(max).因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(x)＋\r(5y),\r(x＋y))))eq \s\up12(2)＝eq \f(x＋5y＋2\r(5xy),x＋y)，2eq \r(5xy)＝2eq \r(5x·y)≤5x＋y，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(x)＋\r(5y),\r(x＋y))))eq \s\up12(2)＝eq \f(x＋5y＋2\r(5xy),x＋y)≤eq \f(x＋5y＋5x＋y,x＋y)＝6，当且仅当y＝5x时，等号成立，所以eq \f(\r(x)＋\r(5y),\r(x＋y))的最大值为eq \r(6)，所以k≥eq \r(6)，即k的最小值为eq \r(6). 所以xy＝4x＋y≥2＝4， 即≥4⇒xy≥16， 训练2 (1)当x＞a时，2x＋eq \f(8,x－a)的最小值为10，则a＝(　　) A.1 B.eq \r(2) C.2eq \r(2) D.4 解析　2x＋eq \f(8,x－a)＝2(x－a)＋eq \f(8,x－a)＋2a≥2eq \r(2（x－a）·\f(8,x－a))＋2a＝8＋2a， (2)已知x>0，y≥0，且x＋2y＝1.若eq \f(1,2)m2－eq \f(5,2)m≤eq \f(x＋2y＋1,x)－eq \f(4,x＋y)恒成立，则满足条件的整数m的个数是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 所以eq \f(x＋2y＋1,x)－eq \f(4,x＋y)＝eq \f(x＋2y＋x＋2y,x)－eq \f(4,x＋y)＝eq \f(2x＋4y,x)－eq \f(4x＋8y,x＋y)＝eq \f(4x＋4y－2x,x)－eq \f(8x＋8y－4x,x＋y)＝eq \f(4x＋4y,x)＋eq \f(4x,x＋y)－10≥2eq \r(\f(4x＋4y,x)·\f(4x,x＋y))－10＝－2， 当且仅当＝， 则m2－m≤－2， 由余弦定理可得，cos A＝eq \f(x2＋y2－62,2xy)＝eq \f(（x＋y）2－36,2xy)－1＝eq \f(32,xy)－1≥eq \f(32,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))\s\up12(2))－1＝eq \f(32,25)－1＝eq \f(7,25)， 当且仅当x＝y＝5时等号成立，此时(cos A)min＝eq \f(7,25)， 所以(sin A)max＝＝， 所以四边形AMBN的最大面积为2×eq \f(1,2)×5×5×eq \f(24,25)＝24(平方米)， 解析　每台机器运转x年的年平均利润为eq \f(y,x)＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(18－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(25,x)))))万元， 由于x＞0，故≤18－2＝8， 若a＞0，b＞0，则eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤eq \r(\f(a2＋b2,2)).其中eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))和eq \r(\f(a2＋b2,2))分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数.要根据题目需要选择合适的形式. 一、利用不等式链求最值 例1 (多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　 ) A.eq \r(ab)有最大值eq \f(1,2) B.eq \f(1,a＋2b)＋eq \f(1,2a＋b)有最小值3 C.a2＋b2有最小值eq \f(1,2) D.eq \r(a)＋eq \r(b)有最大值eq \r(2) 解析　对于A，由基本不等式可得eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)＝eq \f(1,2)，当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时，等号成立，A正确； 对于B，由eq \f(2,\f(1,a＋2b)＋\f(1,2a＋b))≤eq \f(（a＋2b）＋（2a＋b）,2)＝eq \f(3（a＋b）,2)＝eq \f(3,2)，得eq \f(1,a＋2b)＋eq \f(1,2a＋b)≥eq \f(4,3)，当且仅当a＋2b＝2a＋b，即a＝b＝eq \f(1,2)时等号成立，B错误； 对于C，由eq \r(\f(a2＋b2,2))≥eq \f(a＋b,2)＝eq \f(1,2)，得a2＋b2≥eq \f(1,2)，当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时等号成立，C正确； 对于D，由eq \f(\r(a)＋\r(b),2)≤eq \r(\f(a＋b,2))＝eq \r(\f(1,2))，得eq \r(a)＋eq \r(b)≤eq \r(2)，当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时等号成立，D正确. 当且仅当a＝b＝c时等号成立. 二、利用基本不等式链证明不等式 例2 已知a，b，c都是非负实数，求证：eq \r(a2＋b2)＋eq \r(b2＋c2)＋eq \r(c2＋a2)≥eq \r(2)(a＋b＋c). 证明　∵eq \r(\f(a2＋b2,2))≥eq \f(a＋b,2).即eq \r(a2＋b2)≥eq \f(\r(2),2)(a＋b)， 同理，eq \r(b2＋c2)≥eq \f(\r(2),2)(b＋c)，eq \r(c2＋a2)≥eq \f(\r(2),2)(c＋a)， 相加可得eq \r(a2＋b2)＋eq \r(b2＋c2)＋eq \r(c2＋a2)≥eq \f(\r(2),2)(a＋b)＋eq \f(\r(2),2)(b＋c)＋eq \f(\r(2),2)(c＋a)＝eq \r(2)(a＋b＋c)， 当且仅当＝， 即x＝时等号成立. 训练 当－eq \f(1,2)＜x＜eq \f(5,2)时，函数y＝eq \r(2x－1)＋eq \r(5－2x)的最大值为________. 2 解析　由eq \f(a＋b,2)≤eq \r(\f(a2＋b2,2))，得a＋b≤2eq \r(\f(a2＋b2,2))， 则y＝eq \r(2x－1)＋eq \r(5－2x)≤2eq \r(\f(2x－1＋5－2x,2))＝2eq \r(2)， A.eq \f(1,4) B.4 C.eq \f(1,2) D.2 解析　由题意得4＝2a＋b≥2， 即2≥，两边平方得4≥2ab， ∴a的最大值为8. 2.已知正数a，b满足a2＋b2＝13，则aeq \r(b2＋3)的最大值为(　　) A.6 B.8 C.4 D.16 ∴a≤＝＝8， 当且仅当a＝eq \r(b2＋3)时等号成立， 即a＝＋1，b＝2＋时等号成立， 故a＋b的最小值为3＋2. 3.(2024·商丘质检)已知ab>0，若3是9eq \f(1,a)与3eq \f(4,b)的等比中项，则a＋b的最小值为(　　) A.3＋2eq \r(2) B.7 C.2＋2eq \r(5) D.9 解析　由题意得32＝9eq \f(1,a)·3eq \f(4,b)，即9＝9eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)，所以eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝1， 所以a＋b＝(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))＝3＋eq \f(b,a)＋eq \f(2a,b)≥3＋2eq \r(2)，当且仅当eq \f(b,a)＝eq \f(2a,b)， 则(1＋x)(2＋y)≤eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(（1＋x）＋（2＋y）,2))) eq \s\up12(2)＝25， 即x＝－时取“＝”. 5.若x＜eq \f(2,3)，则f(x)＝3x＋1＋eq \f(9,3x－2)有(　　) A.最大值0 B.最小值9 C.最大值－3 D.最小值－3 f(x)＝3x－2＋eq \f(9,3x－2)＋3＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（2－3x）＋\f(9,2－3x)))＋3≤－2eq \r(（2－3x）·\f(9,2－3x))＋3＝－3. 当且仅当2－3x＝， 当且仅当eq \f(4,y＋1)＝y＋1，即y＝1，x＝3时等号成立. 则x＝＝2＋， 故2x＋y＝4＋eq \f(4,y＋1)＋(y＋1)－1≥3＋2eq \r(\f(4,y＋1)·（y＋1）)＝7， 故2x＋y＝2(x－2)＋(y＋1)＋3≥2eq \r(2（x－2）（y＋1）)＋3＝7， 当x＝eq \f(1,2)时，x2＋y取最小值eq \f(3,4)，故A正确； eq \f(1,x)＋eq \f(4,y)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))(x＋y)＝5＋eq \f(y,x)＋eq \f(4x,y)≥5＋2eq \r(\f(y,x)·\f(4x,y))＝9， A.x2＋y的最小值为eq \f(3,4) B.eq \f(1,x)＋eq \f(4,y)的最小值为8 C.eq \r(x)＋eq \r(y)的最大值为eq \r(2) D.log2x＋log4y没有最大值 所以x2＋y＝x2－x＋1＝＋， 当且仅当x＝2－2x，即x＝eq \f(2,3)时等号成立，所以xeq \r(y)≤eq \f(2\r(3),9). 所以log2x＋log4y有最大值log2eq \f(2\r(3),9)，故D错误. 当且仅当x＝eq \f(1,3)，y＝eq \f(2,3)时等号成立，所以eq \f(1,x)＋eq \f(4,y)的最小值为9，故B错误； (eq \r(x)＋eq \r(y))2＝x＋y＋2eq \r(xy)＝1＋2eq \r(xy)≤1＋x＋y＝2，当且仅当x＝y＝eq \f(1,2)时等号成立， 故eq \r(x)＋eq \r(y)≤eq \r(2)，即eq \r(x)＋eq \r(y)的最大值为eq \r(2)，故C正确； log2x＋log4y＝log2x＋log2eq \r(y)＝log2(xeq \r(y))，x2y＝x2(1－x)＝eq \f(1,2)x·x·(2－2x)≤ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋x＋2－2x,3))) eq \s\up12(3)＝eq \f(4,27)， ＝≥＝1， 当且仅当y＝2－y，即y＝1时，等号成立， 故的最小值为1. 8.(2024·太原模拟)已知x>0，y>0，eq \f(1,x)＋y＝2，则eq \f(x,y)的最小值为________. 解析　由＋y＝2可得＝2－y， 则x＝>0，可得0<y<2. 解析　该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买eq \f(400,x)次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(400,x)·4＋4x))万元，eq \f(400,x)·4＋4x≥160，当且仅当eq \f(1 600,x)＝4x，即x＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小. 当且仅当x＝0时，等号成立. 所以y＝(x>－1)的最小值为0. 10.函数y＝eq \f(x2,x＋1)(x>－1)的最小值为________. 解析　因为y＝eq \f(x2－1＋1,x＋1)＝x－1＋eq \f(1,x＋1)＝x＋1＋eq \f(1,x＋1)－2(x>－1)， 所以y≥2－2＝0， 解　∵xy＝2x＋8y≥2， 即xy≥8，即xy≥64， 解　由2x＋8y＝xy，得＋＝1， 则x＋y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,x)＋\f(2,y)))(x＋y)＝10＋eq \f(2x,y)＋eq \f(8y,x)≥10＋2eq \r(\f(2x,y)·\f(8y,x))＝18. 当且仅当＝， 当且仅当t＝eq \f(4,t)，即t＝2时等号成立，所以eq \f(1,1＋a)＋eq \f(4,2－a)的最小值是3. 12.已知－1<a<2，求eq \f(1,1＋a)＋eq \f(4,2－a)的最小值. 解　法一　eq \f(1,1＋a)＋eq \f(4,2－a)＝eq \f(3（a＋2）,（1＋a）（2－a）)， 所以eq \f(3（a＋2）,（1＋a）（2－a）)＝eq \f(3t,（t－1）（4－t）)＝－eq \f(3t,t2－5t＋4)＝－eq \f(3,t＋\f(4,t)－5)≥ －eq \f(3,2\r(t·\f(4,t))－5)＝3， 所以eq \f(1,1＋a)＋eq \f(4,2－a)＝eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋a)＋\f(4,2－a)))(1＋a＋2－a)＝eq \f(1,3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5＋\f(2－a,1＋a)＋\f(4（1＋a）,2－a)))≥ eq \f(1,3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(2－a,1＋a)·\f(4（1＋a）,2－a))))＝3， 当且仅当eq \f(2－a,1＋a)＝eq \f(4（1＋a）,2－a)，即a＝0时等号成立， 所以＋的最小值是3. 13.(2024·西安质检)已知正实数a，b满足eq \f(1,a)＋eq \f(9,b)＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意的实数x恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A.[3，＋∞) B.(－∞，3] C.(－∞，6] D.[6，＋∞) 解析　因为a＞0，b＞0，＋＝1， 所以a＋b＝(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(9,b)))＝10＋eq \f(b,a)＋eq \f(9a,b)≥10＋2eq \r(\f(b,a)·\f(9a,b))＝16， 当且仅当eq \f(b,a)＝eq \f(9a,b)，即a＝4，b＝12时取等号. $$