集合与常用逻辑用语、不等式之常用逻辑用语讲义、课件-2025届高三数学一轮复习

2025届高考数学一轮复习教案讲义（解析版）——集合与常用逻辑用语、不等式之常用逻辑用语 【知识梳理】 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇒/ p p是q的必要不充分条件 p⇒/ q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇒/ q且q⇒/ p 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示. (2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示. 3.全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中的任意一个x，有p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，綈p(x) ∀x∈M，綈p(x) [常用结论] 1.会区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/ A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇒/ B)两者的不同. 2.p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件. 3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”. 4.命题p和綈p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难，可判断此命题否定的真假. 【诊断自测】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)至少有一个三角形的内角和为π是全称量词命题.(　　) (2)写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词.(　　) (3)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.(　　) (4)若已知p：x＞1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 解析　(1)错误，至少有一个三角形的内角和为π是存在量词命题. 2.(必修一P22习题1.4T2改编)命题“三角形是等边三角形”是命题“三角形是等腰三角形”的(　　) A.充分不必要条件 　　　 B.必要不充分条件 C.充要条件 　　　 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　由“三角形是等边三角形”可得到“该三角形一定是等腰三角形”，但反之不成立. 3.(必修一P30例4(3)改编)命题“有一个偶数是素数”的否定是________. 答案　任意一个偶数都不是素数 4.使－2＜x＜2成立的一个充分条件是______________.(答案不唯一，写出一个即可) 答案　0＜x＜2(答案不唯一) 解析　只要是{x|－2＜x＜2}的一个子集都是使－2＜x＜2成立的充分条件，如－1＜x＜1，或0＜x＜2等. 考点一　充分条件、必要条件的判定 例1 (1)(2023·天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　) A.充分不必要条件 　　　 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 　　　 D.既不充分又不必要条件 答案　B 解析　若a2＝b2，则当a＝－b≠0时， 有a2＋b2＝2a2，2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab， 所以a2＝b2⇒/ a2＋b2＝2ab； 若a2＋b2＝2ab，则有a2＋b2－2ab＝0， 即(a－b)2＝0，所以a＝b， 则有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab⇒a2＝b2. 所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件. (2)(2023·全国甲卷)设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sin α＋cos β＝0，则(　　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答案　B 解析　甲等价于sin2α＝1－sin2β＝cos2β， 等价于sin α＝±cos β， 所以由甲不能推导出sin α＋cos β＝0； 由sin α＋cos β＝0，得sin α＝－cos β， 平方可得sin2α＝cos2β＝1－sin2β， 即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推导出甲. 综上，甲是乙的必要不充分条件. (3)(多选)ab＋b－a－1＝0的一个充分不必要条件可以是(　　) A.a＝－1 B.a＝b C.b＝1 D.ab＝1 答案　AC 解析　由ab＋b－a－1＝0，可得(a＋1)(b－1)＝0，解得a＝－1或b＝1，故选AC. 方法总结　充分、必要条件的两种判定方法： (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 训练1 (1)设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　由a2＞a，得a2－a＞0，解得a＞1或a＜0， ∴“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件. (2)(多选)(2024·武汉调研)下列命题为真命题的是(　　) A.“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件 B.“a>b”是“<”的充要条件 C.“a∈P∩Q”是“a∈P”的充分不必要条件 D.“x或y为有理数”是“xy为有理数”的既不充分又不必要条件 答案　ACD 解析　对于A，由a>b⇒/ ac2>bc2(c＝0时不成立)，由ac2>bc2⇒a>b，则“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件，A中命题是真命题； 对于B，若a>0，b<0，则由a>b得不到<，B中命题是假命题； 易知C，D中命题是真命题，故选ACD. 考点二　充分、必要条件的应用 例2 已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈A是x∈B的必要条件，求m的取值范围. 解　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10， ∴A＝{x|－2≤x≤10}. 由x∈A是x∈B的必要条件，知B⊆A. 则∴0≤m≤3. 即所求m的取值范围是[0，3]. 本例中，若把“x∈A是x∈B的必要条件”改为“x∈A是x∈B的充分不必要条件”，求m的取值范围. 解　∵x∈A是x∈B的充分不必要条件， ∴AB， 则或 解得m≥9， 故m的取值范围是[9，＋∞). 方法总结　充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 训练2 (1)(2023·衡水调研)若集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|bx＞1}，其中b为实数. ①若A是B的充要条件，则b＝________； ②若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是________. 答案　①　② 解析　①由已知可得A＝B， 则x＝2是方程bx＝1的解，解得b＝. ②若A是B的充分不必要条件，则AB， 所以b＞0，且＜2，所以b＞， 则b的取值范围是. (2)(2024·驻马店模拟)已知p：x2－x－12≤0，q：(x＋m)[x－(1＋2m)]≤0(m>0).若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________. 答案　[3，＋∞) 解析　由不等式x2－x－12≤0，解得－3≤x≤4， 设p对应的集合为A，则A＝[－3，4]. 由不等式(x＋m)[x－(1＋2m)]≤0(m>0)， 解得－m≤x≤2m＋1(m>0)， 设q对应的集合为B， 则B＝[－m，2m＋1](m>0). 因为p是q的充分不必要条件， 所以A是B的真子集， 则(不同时取等号)，解得m≥3， 所以实数m的取值范围是[3，＋∞). 考点三　全称量词与存在量词 角度1　含量词命题的否定 例3 (1)(2024·西安模拟)若命题p：∀x∈R，ex≥x＋1，则綈p是(　　) A.∀x∈R，ex≤x＋1 B.∀x∈R，ex<x＋1 C.∃x∈R，ex≤x＋1 D.∃x∈R，ex<x＋1 答案　D 解析　∀x∈R，ex≥x＋1的否定是∃x∈R，ex<x＋1，故选D. (2)已知命题p：∃n∈N，n2≥2n＋5，则綈p为(　　) A.∀n∈N，n2≥2n＋5 B.∃n∈N，n2≤2n＋5 C.∀n∈N，n2＜2n＋5 D.∃n∈N，n2＝2n＋5 答案　C 解析　綈p为∀n∈N，n2＜2n＋5，所以C正确. 角度2　含量词命题的真假判断 例4 (2024·九江联考)下列命题的否定是真命题的为(　　) A.任意两个等边三角形都相似 B.∃x∈R，x2－x＋1＝0 C.存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直 D.∀x∈R，x＋|x|≥0 答案　B 解析　对于A，任意两个等边三角形都相似是真命题，所以其否定是假命题，故A错误； 对于B，x2－x＋1＝0，Δ＝1－4<0，所以方程无解，所以该命题是假命题，其否定是真命题，故B正确； 对于C，存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直，是真命题，其否定是假命题，故C错误； 对于D，∀x∈R，x＋|x|≥0是真命题，其否定是假命题，故D错误. 角度3　含量词命题的应用 例5 若“∃x∈，sin x<m”是假命题，则实数m的最大值为(　　) A. B.－ C. D.－ 答案　D 解析　因为“∃x∈，sin x<m”是假命题， 所以“∀x∈，m≤sin x”是真命题， 即m≤sin x对于∀x∈恒成立， 所以m≤(sin x)min， 因为y＝sin x在上单调递增， 所以x＝－时，y＝sin x最小，其最小值为y＝sin＝－sin ＝－， 所以m≤－，所以实数m的最大值为－. 方法总结　1.含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论. 2.判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立即可. 3.由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即p与綈p的关系，转化成綈p的真假求参数的范围. 训练3 (1)已知命题p：∃x∈(0，＋∞)，3x＋4＝3x.下列说法正确的是(　　) A.p为真命题，綈p：∃x∈(0，＋∞)，3x＋4≠3x B.p为假命题，綈p：∀x∈(0，＋∞)，3x＋4≠3x C.p为真命题，綈p：∀x∈(0，＋∞)，3x＋4≠3x D.p为假命题，綈p：∀x∉(0，＋∞)，3x＋4≠3x 答案　C 解析　方程3x＋4＝3x可化为3x＋4－3x＝0，设f(x)＝3x＋4－3x，则方程3x＋4＝3x的根就是函数f(x)＝3x＋4－3x的零点，当x＝2时，f(2)＝3×2＋4－32>0，当x＝3时，f(3)＝3×3＋4－33<0，由零点存在定理知函数f(x)＝3x＋4－3x在区间(2，3)内存在零点，故方程3x＋4＝3x在(0，＋∞)上有解，故p为真命题.根据存在量词命题的否定方法可得綈p：∀x∈(0，＋∞)，3x＋4≠3x，所以C正确. (2)已知命题“∃x∈{x|－2<x<3}，使得等式2x－m＝0成立”是假命题，则实数m的取值范围是________. 答案　(－∞，－4]∪[6，＋∞) 解析　若原命题为真命题，则∃x∈{x|－2<x<3}， 使得m＝2x成立，则－4<m<6； 故若原命题为假命题， 则实数m的取值范围为(－∞，－4]∪[6，＋∞). 习题演练 1.下列命题中既是全称量词命题，又是真命题的是(　　) A.菱形的四条边都相等 B.∃x∈N，使2x为偶数 C.∀x∈R，x2＋2x＋1＞0 D.π是无理数 答案　A 解析　对于A，所有菱形的四条边都相等，是全称量词命题，且是真命题. 对于B，∃x∈N，使2x为偶数，是存在量词命题. 对于C，∀x∈R，x2＋2x＋1＞0，是全称量词命题，当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0，故是假命题. 对于D，π是无理数，是真命题，但不是全称量词命题. 2.命题“∃x＞0，x2－2|x|＜0”的否定是(　　) A.∃x＞0，x2－2|x|≥0 B.∃x≤0，x2－2|x|≥0 C.∀x＞0，x2－2|x|≥0 D.∀x≤0，x2－2|x|≥0 答案　C 解析　由存在量词命题的否定为全称量词命题知“∃x＞0，x2－2|x|＜0”的否定为“∀x＞0，x2－2|x|≥0”. 3.(2022·浙江卷)设x∈R，则“sin x＝1”是“cos x＝0”的(　　) A.充分不必要条件 　　　 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 　　　 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　由sin x＝1，得x＝2kπ＋(k∈Z)， 则cos＝cos ＝0，故充分性成立； 又由cos x＝0，得x＝kπ＋(k∈Z)， 此时sin＝±1，故必要性不成立. 4.已知命题：“∀x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，4) B.(－∞，4] C.(4，＋∞) D.[4，＋∞) 答案　B 解析　“∀x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，故Δ＝16－4a≥0，解得a≤4. 5.(2023·常德联考)不等式2x2－5x－3<0成立的一个必要不充分条件是(　　) A.－3<x< B.－<x<3 C.－1<x<3 D.<x<3 答案　C 解析　不等式2x2－5x－3<0的解集是，观察四个选项发现是 (－1，3)的真子集，所以“－1<x<3”是“不等式2x2－5x－3<0成立”的一个必要不充分条件，故选C. 6.(2024·深圳模拟)设实数a＞0，则“2a＞2”是“loga＞0”的(　　) A.充分不必要条件 　　　　 B.必要不充分条件 C.充要条件 　　　　 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　由2a＞2，得a＞1； 由loga＞0，可得loga＞loga1， 所以或 解得a＞1或0＜a＜. 因此“2a＞2”是“loga＞0”的充分不必要条件. 7.(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，则(　　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答案　B 解析　当a1＜0，q＞1时，an＝a1qn－1＜0，此时数列{Sn}递减，所以甲不是乙的充分条件. 当数列{Sn}递增时，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn＞0，若a1＞0，则qn＞0(n∈N*)，即q＞0； 若a1＜0，则qn＜0(n∈N*)，不存在，所以甲是乙的必要条件. 综上，甲是乙的必要条件但不是充分条件. 8.(2024·云南名校联考)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|2a－1<x<a＋3}.若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则a的取值范围为(　　) A.[－1，0] B.(－1，0) C.[4，＋∞) D.(4，＋∞) 答案　A 解析　由题意，x2－x－2<0， 解得－1<x<2，则A＝{x|－1<x<2}， 若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件， 则集合A是集合B的真子集， 所以且等号不同时成立， 解得－1≤a≤0，所以a的取值范围为[－1，0]. 9.命题“∀x∈，sin x<cos x”的否定是________. 答案　∃x∈，sin x≥cos x 解析　因为“sin x<cos x”的否定是“sin x≥cos x”，所以“∀x∈，sin x<cos x”的否定是“∃x∈，sin x≥cos x”. 10.(2023·北京海淀区模拟)设a>0，b>0，则使得命题“若ln(a＋b)>0，则ln a＋ln b>0”为假命题的一组a，b的值是________. 答案　a＝1，b＝1(答案不唯一) 解析　根据题意，满足题意的a，b需满足ln(a＋b)>0，则ln a＋ln b≤0， 即ln(a＋b)>ln 1，ln(ab)≤ln 1， 解得a＋b>1，ab≤1， 不妨取a＝1，b＝1(答案不唯一)，满足题意. 11.(2024·辽宁名校联考)若“存在实数x，使不等式组成立”为真命题，则实数a的取值范围是________. 答案　 解析　－≥－，解得x∈. 2x<a，解得x∈. 由题意知∩≠∅， 所以>，即a>. 12.(2023·湖南部分名校调研)已知p：∃x∈R，ax2＋2x＋1<0，q：a∈(1，＋∞)，则綈p是q的________________条件(在“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”中选一个填入). 答案　必要不充分 解析　若綈p：∀x∈R，ax2＋2x＋1≥0为真命题， 则a>0且Δ＝4－4a≤0，解得a≥1. 因为(1，＋∞)[1，＋∞)，所以綈p是q的必要不充分条件. 13.(2023·青岛模拟)下列各命题的否定为真命题的是(　　) A.∀x∈R，x2－x＋≥0 B.∃x∈R，2x>x2 C.∃x∈R＋，>log2x D.∀x∈，sin x<x 答案　D 解析　对于A，∀x∈R，x2－x＋＝≥0为真命题，其否定为假命题，故A错误； 对于B，因为当x＝5时，25＝32>52＝25，所以∃x∈R，2x>x2为真命题，其否定为假命题，故B错误； 对于C，当x∈(0，1)时，>0，log2x<0，所以∃x∈R＋，>log2x为真命题，其否定为假命题，故C错误； 对于D，当x＝0时，sin 0＝0，故∀x∈，sin x<x为假命题，其否定为真命题，故D正确. 14.(多选)(2024·武汉联考)下列命题正确的是(　　) A.“a>1”是“<1”的充分不必要条件 B.命题“任意x<1，都有x2<1”的否定是“存在x≥1，使得x2≥1” C.设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥8”的必要不充分条件 D.设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件 答案　AD 解析　对于A，<1，即－1<0，即<0，即>0，即a<0或a>1，所以“a>1”是“<1”的充分不必要条件，故A正确； 对于B，命题“任意x<1，都有x2<1”的否定是“存在x<1，使得x2≥1”，故B错误； 对于C，因为x≥2且y≥2，所以x2≥4，y2≥4，由不等式的性质得x2＋y2≥8时，取x＝0，y＝3，不满足x≥2且y≥2，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥8”的充分不必要条件，故C错误； 对于D，当a≠0，b＝0时，ab＝0，由ab≠0可得a≠0且b≠0，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D正确. 15.已知函数f(x)的定义域为[a，b]，若“∃x∈[a，b]，f(x)＋f(－x)≠0”是假命题，则f(a＋b)＝________. 答案　0 解析　“∃x∈[a，b]，f(x)＋f(－x)≠0”的否定是∀x∈[a，b]，f(x)＋f(－x)＝0， 依题意得，命题∀x∈[a，b]，f(x)＋f(－x)＝0为真命题， 故函数y＝f(x)，x∈[a，b]为奇函数， 所以a＋b＝0，所以f(a＋b)＝f(0)＝0. 16.(2023·苏州模拟)已知p：|x－1|≤2，q：x2－2x＋1－a2≥0(a＞0)，若p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________. 答案　(0，2] 解析　∵|x－1|≤2，∴－1≤x≤3， 即p：－1≤x≤3. ∵x2－2x＋1－a2≥0(a＞0)， ∴x≤1－a或x≥1＋a， ∴綈q：1－a＜x＜1＋a. ∵p是綈q的必要不充分条件， ∴解得0＜a≤2， ∴实数a的取值范围是(0，2]. 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届高考数学一轮复习讲义课件——集合与常用逻辑用语、不等式之常用逻辑用语 知识梳理 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的______条件，q是p的______条件 p是q的____________条件 p⇒q且q⇒/ p p是q的____________条件 p⇒/ q且q⇒p p是q的______条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇒/ q且q⇒/ p 充分 必要 充分不必要 必要不充分 充要 3 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“____”表示. (2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“____”表示. ∀ ∃ 4 3.全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中的任意一个x，有p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ____________________ ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，綈p(x) ______________________ ∀x∈M，p(x) ∀x∈M，綈p(x) 5 常用结论 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)至少有一个三角形的内角和为π是全称量词命题.(　　) (2)写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词.(　　) (3)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.(　　) (4)若已知p：x＞1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件.(　　) × 解析　(1)错误，至少有一个三角形的内角和为π是存在量词命题. √ √ √ 2.(必修一P22习题1.4T2改编)命题“三角形是等边三角形”是命题“三角形是等腰三角形”的(　　) A.充分不必要条件 　　　 B.必要不充分条件 C.充要条件 　　　 D.既不充分也不必要条件 A 解析　由“三角形是等边三角形”可得到“该三角形一定是等腰三角形”，但反之不成立. 3.(必修一P30例4(3)改编)命题“有一个偶数是素数”的否定是__________________________. 任意一个偶数都不是素数 4.使－2＜x＜2成立的一个充分条件是______________________.(答案不唯一，写出一个即可) 0＜x＜2(答案不唯一) 解析　只要是{x|－2＜x＜2}的一个子集都是使－2＜x＜2成立的充分条件，如－1＜x＜1，或0＜x＜2等. 考点一　充分条件、必要条件的判定 例1 (1)(2023·天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　) A.充分不必要条件 　　　 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 　　　 D.既不充分又不必要条件 B 解析　若a2＝b2，则当a＝－b≠0时， 有a2＋b2＝2a2，2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab， 所以a2＝b2⇒/ a2＋b2＝2ab； 若a2＋b2＝2ab，则有a2＋b2－2ab＝0， 即(a－b)2＝0，所以a＝b， 则有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab⇒a2＝b2. 所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件. (2)(2023·全国甲卷)设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sin α＋cos β＝0，则(　　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 B 解析　甲等价于sin2α＝1－sin2β＝cos2β， 等价于sin α＝±cos β， 所以由甲不能推导出sin α＋cos β＝0； 由sin α＋cos β＝0，得sin α＝－cos β， 平方可得sin2α＝cos2β＝1－sin2β， 即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推导出甲. 综上，甲是乙的必要不充分条件. (3)(多选)ab＋b－a－1＝0的一个充分不必要条件可以是(　　) A.a＝－1 B.a＝b C.b＝1 D.ab＝1 AC 解析　由ab＋b－a－1＝0， 可得(a＋1)(b－1)＝0， 解得a＝－1或b＝1，故选AC. 方法总结 充分、必要条件的两种判定方法： (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 训练1 (1)设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A 解析　由a2＞a，得a2－a＞0， 解得a＞1或a＜0， ∴“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件. ACD 解析　对于A，由a>b⇒/ ac2>bc2(c＝0时不成立)，由ac2>bc2⇒a>b，则“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件，A中命题是真命题； 易知C，D中命题是真命题，故选ACD. 考点二　充分、必要条件的应用 例2 已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈A是x∈B的必要条件，求m的取值范围. 解　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10， ∴A＝{x|－2≤x≤10}. 由x∈A是x∈B的必要条件，知B⊆A. 即所求m的取值范围是[0，3]. 本例中，若把“x∈A是x∈B的必要条件”改为“x∈A是x∈B的充分不必要条件”，求m的取值范围. 解　∵x∈A是x∈B的充分不必要条件， ∴AB， 解得m≥9， 故m的取值范围是[9，＋∞). 方法总结 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 训练2 (1)(2023·衡水调研)若集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|bx＞1}，其中b为实数. ①若A是B的充要条件，则b＝________； ②若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是_____________. 解析　①由已知可得A＝B， ②若A是B的充分不必要条件，则AB， (2)(2024·驻马店模拟)已知p：x2－x－12≤0，q：(x＋m)[x－(1＋2m)]≤0(m>0).若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是___________. [3，＋∞) 解析　由不等式x2－x－12≤0，解得－3≤x≤4， 设p对应的集合为A，则A＝[－3，4]. 由不等式(x＋m)[x－(1＋2m)]≤0(m>0)，解得－m≤x≤2m＋1(m>0)， 设q对应的集合为B，则B＝[－m，2m＋1](m>0). 因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集， 所以实数m的取值范围是[3，＋∞). 考点三　全称量词与存在量词 角度1　含量词命题的否定 例3 (1)(2024·西安模拟)若命题p：∀x∈R，ex≥x＋1，则綈p是(　　) A.∀x∈R，ex≤x＋1 B.∀x∈R，ex<x＋1 C.∃x∈R，ex≤x＋1 D.∃x∈R，ex<x＋1 D 解析　∀x∈R，ex≥x＋1的否定是∃x∈R，ex<x＋1，故选D. (2)已知命题p：∃n∈N，n2≥2n＋5，则綈p为(　　) A.∀n∈N，n2≥2n＋5 B.∃n∈N，n2≤2n＋5 C.∀n∈N，n2＜2n＋5 D.∃n∈N，n2＝2n＋5 C 解析　綈p为∀n∈N，n2＜2n＋5，所以C正确. 角度2　含量词命题的真假判断 例4 (2024·九江联考)下列命题的否定是真命题的为(　　) A.任意两个等边三角形都相似 B.∃x∈R，x2－x＋1＝0 C.存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直 D.∀x∈R，x＋|x|≥0 B 解析　对于A，任意两个等边三角形都相似是真命题，所以其否定是假命题,故A错误； 对于B，x2－x＋1＝0，Δ＝1－4<0，所以方程无解，所以该命题是假命题，其否定是真命题，故B正确； 对于C，存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直，是真命题，其否定是假命题，故C错误； 对于D，∀x∈R，x＋|x|≥0是真命题，其否定是假命题，故D错误. D 方法总结 1.含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论. 2.判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立即可. 3.由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的含义,利用函数的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即p与綈p的关系，转化成綈p的真假求参数的范围. 训练3 (1)已知命题p：∃x∈(0，＋∞)，3x＋4＝3x.下列说法正确的是(　　) A.p为真命题，綈p：∃x∈(0，＋∞)，3x＋4≠3x B.p为假命题，綈p：∀x∈(0，＋∞)，3x＋4≠3x C.p为真命题，綈p：∀x∈(0，＋∞)，3x＋4≠3x D.p为假命题，綈p：∀x∉(0，＋∞)，3x＋4≠3x C 解析　方程3x＋4＝3x可化为3x＋4－3x＝0，设f(x)＝3x＋4－3x，则方程3x＋4＝3x的根就是函数f(x)＝3x＋4－3x的零点，当x＝2时，f(2)＝3×2＋4－32>0，当x＝3时，f(3)＝3×3＋4－33<0，由零点存在定理知函数f(x)＝3x＋4－3x在区间(2，3)内存在零点，故方程3x＋4＝3x在(0，＋∞)上有解，故p为真命题.根据存在量词命题的否定方法可得綈p：∀x∈(0，＋∞)，3x＋4≠3x，所以C正确. (2)已知命题“∃x∈{x|－2<x<3}，使得等式2x－m＝0成立”是假命题，则实数m的取值范围是_____________________. (－∞，－4]∪[6，＋∞) 解析　若原命题为真命题，则∃x∈{x|－2<x<3}， 使得m＝2x成立，则－4<m<6； 故若原命题为假命题， 则实数m的取值范围为(－∞，－4]∪[6，＋∞). 习题演练 1.下列命题中既是全称量词命题，又是真命题的是(　　) A.菱形的四条边都相等 B.∃x∈N，使2x为偶数 C.∀x∈R，x2＋2x＋1＞0 D.π是无理数 A 解析　对于A，所有菱形的四条边都相等，是全称量词命题，且是真命题. 对于B，∃x∈N，使2x为偶数，是存在量词命题. 对于C，∀x∈R，x2＋2x＋1＞0，是全称量词命题， 当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0，故是假命题. 对于D，π是无理数，是真命题，但不是全称量词命题. 2.命题“∃x＞0，x2－2|x|＜0”的否定是(　　) A.∃x＞0，x2－2|x|≥0 B.∃x≤0，x2－2|x|≥0 C.∀x＞0，x2－2|x|≥0 D.∀x≤0，x2－2|x|≥0 C 解析　由存在量词命题的否定为全称量词命题知“∃x＞0，x2－2|x|＜0”的否定为“∀x＞0，x2－2|x|≥0”. 3.(2022·浙江卷)设x∈R，则“sin x＝1”是“cos x＝0”的(　　) A.充分不必要条件 　　　 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 　　　 D.既不充分也不必要条件 A 4.已知命题：“∀x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，4) B.(－∞，4] C.(4，＋∞) D.[4，＋∞) B 解析　“∀x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，故Δ＝16－4a≥0，解得a≤4. C A 7.(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，则(　　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 B 解析　当a1＜0，q＞1时，an＝a1qn－1＜0，此时数列{Sn}递减，所以甲不是乙的充分条件. 当数列{Sn}递增时，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn＞0，若a1＞0，则qn＞0(n∈N*)，即q＞0； 若a1＜0，则qn＜0(n∈N*)，不存在，所以甲是乙的必要条件. 综上，甲是乙的必要条件但不是充分条件. 8.(2024·云南名校联考)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|2a－1<x<a＋3}.若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则a的取值范围为(　　) A.[－1，0] B.(－1，0) C.[4，＋∞) D.(4，＋∞) A 解析　由题意，x2－x－2<0，解得－1<x<2，则A＝{x|－1<x<2}， 若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件， 则集合A是集合B的真子集， 解得－1≤a≤0，所以a的取值范围为[－1，0]. 解析　因为“sin x<cos x”的否定是“sin x≥cos x”， 10.(2023·北京海淀区模拟)设a>0，b>0，则使得命题“若ln(a＋b)>0，则ln a＋ln b>0”为假命题的一组a，b的值是________________________. a＝1，b＝1(答案不唯一) 解析　根据题意，满足题意的a，b需满足ln(a＋b)>0，则ln a＋ln b≤0， 即ln(a＋b)>ln 1，ln(ab)≤ln 1， 解得a＋b>1，ab≤1， 不妨取a＝1，b＝1(答案不唯一)，满足题意. 12.(2023·湖南部分名校调研)已知p：∃x∈R，ax2＋2x＋1<0，q：a∈(1，＋∞)，则綈p是q的________________条件(在“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”中选一个填入). 必要不充分 解析　若綈p：∀x∈R，ax2＋2x＋1≥0为真命题， 则a>0且Δ＝4－4a≤0，解得a≥1. 因为(1，＋∞)[1，＋∞)， 所以綈p是q的必要不充分条件. D 对于B，因为当x＝5时，25＝32>52＝25，所以∃x∈R，2x>x2为真命题，其否定为假命题，故B错误； 14.(多选)(2024·武汉联考)下列命题正确的是(　　) AD 对于B，命题“任意x<1，都有x2<1”的否定是“存在x<1，使得x2≥1”，故B错误； 对于C，因为x≥2且y≥2，所以x2≥4，y2≥4，由不等式的性质得x2＋y2≥8时，取x＝0，y＝3，不满足x≥2且y≥2，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥8”的充分不必要条件，故C错误； 对于D，当a≠0，b＝0时，ab＝0，由ab≠0可得a≠0且b≠0，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D正确. 15.已知函数f(x)的定义域为[a，b]，若“∃x∈[a，b]，f(x)＋f(－x)≠0”是假命题，则f(a＋b)＝________. 0 解析　“∃x∈[a，b]，f(x)＋f(－x)≠0”的否定是∀x∈[a，b]，f(x)＋f(－x)＝0， 依题意得，命题∀x∈[a，b]，f(x)＋f(－x)＝0为真命题， 故函数y＝f(x)，x∈[a，b]为奇函数， 所以a＋b＝0， 所以f(a＋b)＝f(0)＝0. 16.(2023·苏州模拟)已知p：|x－1|≤2，q：x2－2x＋1－a2≥0(a＞0)，若p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________. (0，2] 解析　∵|x－1|≤2，∴－1≤x≤3，即p：－1≤x≤3. ∵x2－2x＋1－a2≥0(a＞0)， ∴x≤1－a或x≥1＋a，∴綈q：1－a＜x＜1＋a. ∵p是綈q的必要不充分条件， ∴实数a的取值范围是(0，2]. 1.会区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/ A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇒/ B)两者的不同. 2.p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件. 3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”. 4.命题p和綈p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难，可判断此命题否定的真假. (2)(多选)(2024·武汉调研)下列命题为真命题的是(　 　) A.“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件 B.“a>b”是“eq \f(1,a)<eq \f(1,b)”的充要条件 C.“a∈P∩Q”是“a∈P”的充分不必要条件 D.“x或y为有理数”是“xy为有理数”的既不充分又不必要条件 对于B，若a>0，b<0，则由a>b得不到eq \f(1,a)<eq \f(1,b)，B中命题是假命题； 则∴0≤m≤3. 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，,1－m≤－2，,1＋m＞10))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，,1－m＜－2，,1＋m≥10，)) 所以b＞0，且＜2，所以b＞， 则b的取值范围是. 则x＝2是方程bx＝1的解，解得b＝eq \f(1,2). 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－m≤－3，,2m＋1≥4))(不同时取等号)，解得m≥3， 即m≤sin x对于∀x∈恒成立， 所以m≤(sin x)min， 角度3　含量词命题的应用 例5 若“∃x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))，sin x<m”是假命题，则实数m的最大值为(　　) A.eq \f(1,2) B.－eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D.－eq \f(\r(3),2) 解析　因为“∃x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))，sin x<m”是假命题， 所以“∀x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))，m≤sin x”是真命题， 因为y＝sin x在上单调递增， 所以x＝－eq \f(π,3)时，y＝sin x最小，其最小值为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝－sin eq \f(π,3)＝－eq \f(\r(3),2)， 所以m≤－， 所以实数m的最大值为－. 此时sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)))＝±1，故必要性不成立. 解析　由sin x＝1，得x＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)， 则coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)))＝cos eq \f(π,2)＝0，故充分性成立； 又由cos x＝0，得x＝kπ＋(k∈Z)， 5.(2023·常德联考)不等式2x2－5x－3<0成立的一个必要不充分条件是(　　) A.－3<x<eq \f(1,2) B.－eq \f(1,2)<x<3 C.－1<x<3 D.eq \f(1,2)<x<3 解析　不等式2x2－5x－3<0的解集是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，3))，观察四个选项发现eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，3))是 (－1，3)的真子集，所以“－1<x<3”是“不等式2x2－5x－3<0成立”的一个必要不充分条件，故选C. 因此“2a＞2”是“logaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))＞0”的充分不必要条件. 6.(2024·深圳模拟)设实数a＞0，则“2a＞2”是“logaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))＞0”的(　　) A.充分不必要条件 　　　　 B.必要不充分条件 C.充要条件 　　　　 D.既不充分也不必要条件 解析　由2a＞2，得a＞1；由logaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))＞0，可得logaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))＞loga1， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞1，,a＋\f(1,2)＞1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＜a＜1，,0＜a＋\f(1,2)＜1，))解得a＞1或0＜a＜eq \f(1,2). 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－1≤－1，,a＋3≥2，))且等号不同时成立， 9.命题“∀x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，sin x<cos x”的否定是____________________________. ∃x∈，sin x≥cos x 所以“∀x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，sin x<cos x”的否定是“∃x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，sin x≥cos x”. 由题意知∩≠∅， 所以>，即a>. 11.(2024·辽宁名校联考)若“存在实数x，使不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)－\f(1,4)≥－\f(1,6)，,2x<a))成立”为真命题，则实数a的取值范围是_______________. 解析　－≥－，解得x∈. 2x<a，解得x∈. 13.(2023·青岛模拟)下列各命题的否定为真命题的是(　　) A.∀x∈R，x2－x＋eq \f(1,4)≥0 B.∃x∈R，2x>x2 C.∃x∈R＋，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(x)>log2 x D.∀x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sin x<x 解析　对于A，∀x∈R，x2－x＋eq \f(1,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2)≥0为真命题，其否定为假命题，故A错误； 对于C，当x∈(0，1)时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(x)>0，log2x<0，所以∃x∈R＋，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(x)>log2x为真命题，其否定为假命题，故C错误； 对于D，当x＝0时，sin 0＝0，故∀x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sin x<x为假命题，其否定为真命题，故D正确. A.“a>1”是“eq \f(1,a)<1”的充分不必要条件 B.命题“任意x<1，都有x2<1”的否定是“存在x≥1，使得x2≥1” C.设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥8”的必要不充分条件 D.设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件 解析　对于A，eq \f(1,a)<1，即eq \f(1,a)－1<0，即eq \f(1－a,a)<0，即eq \f(a－1,a)>0，即a<0或a>1，所以“a>1”是“eq \f(1,a)<1”的充分不必要条件，故A正确； ∴解得0＜a≤2， $$ 2025届高考数学一轮复习教案讲义（原卷版）——集合与常用逻辑用语、不等式之常用逻辑用语 【知识梳理】 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的 条件，q是p的 条件 p是q的 条件 p⇒q且q⇒/ p p是q的 条件 p⇒/ q且q⇒p p是q的 条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇒/ q且q⇒/ p 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示. (2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示. 3.全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中的任意一个x，有p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，綈p(x) [常用结论] 1.会区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/ A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇒/ B)两者的不同. 2.p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件. 3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”. 4.命题p和綈p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难，可判断此命题否定的真假. 【诊断自测】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)至少有一个三角形的内角和为π是全称量词命题.(　　) (2)写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词.(　　) (3)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.(　　) (4)若已知p：x＞1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件.(　　) 2.(必修一P22习题1.4T2改编)命题“三角形是等边三角形”是命题“三角形是等腰三角形”的(　　) A.充分不必要条件 　　　 B.必要不充分条件 C.充要条件 　　　 D.既不充分也不必要条件 3.(必修一P30例4(3)改编)命题“有一个偶数是素数”的否定是________. 4.使－2＜x＜2成立的一个充分条件是______________.(答案不唯一，写出一个即可) 考点一　充分条件、必要条件的判定 例1 (1)(2023·天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　) A.充分不必要条件 　　　 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 　　　 D.既不充分又不必要条件 (2)(2023·全国甲卷)设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sin α＋cos β＝0，则(　　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 (3)(多选)ab＋b－a－1＝0的一个充分不必要条件可以是(　　) A.a＝－1 B.a＝b C.b＝1 D.ab＝1 方法总结　充分、必要条件的两种判定方法： (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 训练1 (1)设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)(多选)(2024·武汉调研)下列命题为真命题的是(　　) A.“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件 B.“a>b”是“<”的充要条件 C.“a∈P∩Q”是“a∈P”的充分不必要条件 D.“x或y为有理数”是“xy为有理数”的既不充分又不必要条件 考点二　充分、必要条件的应用 例2 已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈A是x∈B的必要条件，求m的取值范围. 本例中，若把“x∈A是x∈B的必要条件”改为“x∈A是x∈B的充分不必要条件”，求m的取值范围. 方法总结　充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 训练2 (1)(2023·衡水调研)若集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|bx＞1}，其中b为实数. ①若A是B的充要条件，则b＝________； ②若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是________. (2)(2024·驻马店模拟)已知p：x2－x－12≤0，q：(x＋m)[x－(1＋2m)]≤0(m>0).若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________. 考点三　全称量词与存在量词 角度1　含量词命题的否定 例3 (1)(2024·西安模拟)若命题p：∀x∈R，ex≥x＋1，则綈p是(　　) A.∀x∈R，ex≤x＋1 B.∀x∈R，ex<x＋1 C.∃x∈R，ex≤x＋1 D.∃x∈R，ex<x＋1 (2)已知命题p：∃n∈N，n2≥2n＋5，则綈p为(　　) A.∀n∈N，n2≥2n＋5 B.∃n∈N，n2≤2n＋5 C.∀n∈N，n2＜2n＋5 D.∃n∈N，n2＝2n＋5 角度2　含量词命题的真假判断 例4 (2024·九江联考)下列命题的否定是真命题的为(　　) A.任意两个等边三角形都相似 B.∃x∈R，x2－x＋1＝0 C.存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直 D.∀x∈R，x＋|x|≥0 角度3　含量词命题的应用 例5 若“∃x∈，sin x<m”是假命题，则实数m的最大值为(　　) A. B.－ C. D.－ 方法总结　1.含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论. 2.判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立即可. 3.由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即p与綈p的关系，转化成綈p的真假求参数的范围. 训练3 (1)已知命题p：∃x∈(0，＋∞)，3x＋4＝3x.下列说法正确的是(　　) A.p为真命题，綈p：∃x∈(0，＋∞)，3x＋4≠3x B.p为假命题，綈p：∀x∈(0，＋∞)，3x＋4≠3x C.p为真命题，綈p：∀x∈(0，＋∞)，3x＋4≠3x D.p为假命题，綈p：∀x∉(0，＋∞)，3x＋4≠3x (2)已知命题“∃x∈{x|－2<x<3}，使得等式2x－m＝0成立”是假命题，则实数m的取值范围是________. 习题演练 1.下列命题中既是全称量词命题，又是真命题的是(　　) A.菱形的四条边都相等 B.∃x∈N，使2x为偶数 C.∀x∈R，x2＋2x＋1＞0 D.π是无理数 2.命题“∃x＞0，x2－2|x|＜0”的否定是(　　) A.∃x＞0，x2－2|x|≥0 B.∃x≤0，x2－2|x|≥0 C.∀x＞0，x2－2|x|≥0 D.∀x≤0，x2－2|x|≥0 3.(2022·浙江卷)设x∈R，则“sin x＝1”是“cos x＝0”的(　　) A.充分不必要条件 　　　 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 　　　 D.既不充分也不必要条件 4.已知命题：“∀x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，4) B.(－∞，4] C.(4，＋∞) D.[4，＋∞) 5.(2023·常德联考)不等式2x2－5x－3<0成立的一个必要不充分条件是(　　) A.－3<x< B.－<x<3 C.－1<x<3 D.<x<3 6.(2024·深圳模拟)设实数a＞0，则“2a＞2”是“loga＞0”的(　　) A.充分不必要条件 　　　　 B.必要不充分条件 C.充要条件 　　　　 D.既不充分也不必要条件 7.(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，则(　　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8.(2024·云南名校联考)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|2a－1<x<a＋3}.若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则a的取值范围为(　　) A.[－1，0] B.(－1，0) C.[4，＋∞) D.(4，＋∞) 9.命题“∀x∈，sin x<cos x”的否定是________. 10.(2023·北京海淀区模拟)设a>0，b>0，则使得命题“若ln(a＋b)>0，则ln a＋ln b>0”为假命题的一组a，b的值是________. 11.(2024·辽宁名校联考)若“存在实数x，使不等式组成立”为真命题，则实数a的取值范围是________. 12.(2023·湖南部分名校调研)已知p：∃x∈R，ax2＋2x＋1<0，q：a∈(1，＋∞)，则綈p是q的________________条件(在“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”中选一个填入). 13.(2023·青岛模拟)下列各命题的否定为真命题的是(　　) A.∀x∈R，x2－x＋≥0 B.∃x∈R，2x>x2 C.∃x∈R＋，>log2x D.∀x∈，sin x<x 14.(多选)(2024·武汉联考)下列命题正确的是(　　) A.“a>1”是“<1”的充分不必要条件 B.命题“任意x<1，都有x2<1”的否定是“存在x≥1，使得x2≥1” C.设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥8”的必要不充分条件 D.设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件 15.已知函数f(x)的定义域为[a，b]，若“∃x∈[a，b]，f(x)＋f(－x)≠0”是假命题，则f(a＋b)＝________. 16.(2023·苏州模拟)已知p：|x－1|≤2，q：x2－2x＋1－a2≥0(a＞0)，若p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________. 第 54 页 学科网（北京）股份有限公司 $$