函数之指数与对数的运算讲义、课件-2025届高三数学一轮复习

2025届高考数学一轮复习教案讲义（原卷版）——函数之指数与对数的运算 【知识梳理】 1.根式的概念及性质 (1)概念：式子叫做 ，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. (2)性质：① 没有偶次方根. ②0的任何次方根都是0，记作＝ . ③()n＝ (n∈N*，且n>1). ④＝a(n为大于1的奇数). ⑤＝|a|＝ (n为大于1的偶数). 2.分数指数幂 规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂 . 3.有理指数幂的运算性质 aras＝ ；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 4.对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝ ，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 5.对数的性质、运算性质与换底公式 (1)对数的性质 ①alogaN＝ ；②logaab＝b(a>0，且a≠1). (2)对数的运算性质 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝ ； ②loga＝ ； ③logaMn＝ (n∈R). (3)换底公式：logab＝ (a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). [常用结论] 换底公式的两个重要结论 (1)logab＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1). (2)logambn＝logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0). 【诊断自测】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)＝－4.(　　) (2)分数指数幂a可以理解为个a相乘.(　　) (3)log2x2＝2log2x.(　　) (4)若MN＞0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　) 2.(必修一P127T5改编)设a＝lg 2，b＝lg 3，则log1210＝(　　) A. B. C.2a＋b D.2b＋a 3.(必修一P110T8改编)已知a＋a－＝3，则a＋a－1＝________；a2＋a－2＝________. 4.计算：π0＋2－2×＋log23－log26＝________. 考点一　指数幂的运算 例1 (1)(多选)下列运算(化简)中正确的有(　　) A.(a)－1·(a－2)－＝a B.(xa－1y)a·(4y－a)＝4x C.[(1－)2]－(1＋)－1＋(1＋)0＝3－2 D.2a3b·(－5ab)÷(4)＝－ab－ (2)化简：÷(a>0). 方法总结　1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： (1)必须同底数幂相乘，指数才能相加. (2)运算的先后顺序. 2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. 3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 训练1 (1)(多选)已知a＋a－1＝3，则下列选项正确的是(　　) A.a2＋a－2＝7 B.a－a－＝±1 C.a＋a－＝± D.a＋a－＝2 (2)计算：＋2－2×－(0.01)0.5. 考点二　对数的运算 例2 (1)log381－log98·log23－2log23＋lg ＋lg ＝________. (2)计算：＝________. (3)已知lg 2＝a，lg 3＝b，用a，b表示log1815＝________. 方法总结　1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. 3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 训练2 (1)(2024·丽水质检)设log83＝p，log35＝q，则lg 5等于(　　) A.p2＋q2 B.(3p＋2q) C. D.pq (2)计算：log535＋2log－log5－log514＝________. (3)＋ln ＋log35×log259＋lg 4＋2lg 5＝________. 考点三　指数与对数运算的实际应用 例3 (1)(2020·新高考Ⅰ卷改编)基本再生数R0与世代间隔T是新冠感染的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠感染疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠感染疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　　) A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天 (2)(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A.p1≥p2 B.p2>10p3 C.p3＝100p0 D.p1≤100p2 方法总结　解决指数、对数运算实际应用问题的步骤 (1)理解题意、弄清楚题目条件与所求之间的关系； (2)运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求. 训练3 (1)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是(参考数据： lg 3≈0.48)(　　) A.1033 B.1053 C.1073 D.1093 (2)果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度.已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t(天)满足的函数关系式为h＝m·at.若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%.那么采摘下来的这种水果多长时间后失去40%新鲜度(　　) A.25天 B.30天 C.35天 D.40天 习题演练 1.若代数式＋有意义，则＋2＝(　　) A.2 B.3 C.2x－1 D.x－2 2.(2022·浙江卷)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝(　　) A.25 B.5 C. D. 3.某品牌计算器在计算对数logab时需按“log(a，b).”某学生在计算logab时(其中a>1且b>1)顺序弄错，误按“log(b，a)”，所得结果为正确值的4倍，则下列结论正确的是(　　) A.a＝2b B.b＝2a C.a＝b2 D.b＝a2 4.(2024·天津质检)计算2log32－log3＋(－1)0＋log38－25log53的结果为(　　) A.－7 B.－3 C.0 D.－6 5.(2024·郑州调研)点声源亦称为“球面声源”或“简单声源”，为机械声源中最基本的辐射体，点声源在空间中传播时，衰减量ΔL与传播距离r(单位：米)的关系视为ΔL＝10lg (单位：dB)，取lg 5≈0.7，则r从5米变化到80米时，衰减量的增加值约为(　　) A.18 dB B.20 dB C.24 dB D.27 dB 6.(多选)已知a，b∈R，4a＝b2＝9，则2a＋b的值可能为(　　) A. B. C. D.24 7.(多选)下列运算中，正确的是(　　) A.2log2－＝－2 B.若a＋＝14，则＋＝4 C.若log73＝a，log74＝b，则log742＝1＋＋ D.若4a＝6b＝9c，则＋＝ 8.化简(a＞0，b＞0)的结果是________. 9.若ex＝2 024，e－y＝1 012，则x＋y＝________. 10.计算：log3＋lg 25＋lg 4＋7log72＋8＝________. 11.计算下列各式： (1)(lg 2)2＋lg 5·lg 20； (2)log 4－log23·log8； (3)8＋＋(1.5)－4·－[(－2)4]. 12.某工厂产生的废气，过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)之间的关系为P＝P0e－kt，其中P0，k是正的常数.如果在前5 h消除了10%的污染物，请解决下列问题： (1)10 h后还剩百分之几的污染物？ (2)污染物减少50%需要花多少时间(精确到1 h)？(参考数据：lg 2≈0.301， lg 3≈0.477) 13.2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为π(x)≈的结论.根据欧拉得出的结论，估计1 000以内的素数的个数为(素数即质数，lg e≈0.434 29，计算结果取整数)(　　) A.189 B.186 C.145 D.109 14.已知函数f(x)＝，g(x)＝. (1)分别计算f(4)－5f(2)g(2)，f(9)－5f(3)g(3)的值； (2)根据(1)的计算过程，写出涉及函数f(x)和g(x)对所有不等于0的实数x都成立的一个等式，并证明. 第 54 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高考数学一轮复习教案讲义（解析版）——函数之指数与对数的运算 【知识梳理】 1.根式的概念及性质 (1)概念：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. (2)性质：①负数没有偶次方根. ②0的任何次方根都是0，记作＝0. ③()n＝a(n∈N*，且n>1). ④＝a(n为大于1的奇数). ⑤＝|a|＝(n为大于1的偶数). 2.分数指数幂 规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. 3.有理指数幂的运算性质 aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 4.对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 5.对数的性质、运算性质与换底公式 (1)对数的性质 ①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1). (2)对数的运算性质 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R). (3)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). [常用结论] 换底公式的两个重要结论 (1)logab＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1). (2)logambn＝logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0). 【诊断自测】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)＝－4.(　　) (2)分数指数幂a可以理解为个a相乘.(　　) (3)log2x2＝2log2x.(　　) (4)若MN＞0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 解析　(1)由于＝＝4，故(1)错误. (2)当<1时，不可以，故(2)错误. (3)log2x2＝2log2|x|，故(3)错误. (4)当M＜0，N＜0时，虽然MN＞0， 但loga(MN)＝logaM＋logaN不成立，故(4)错误. 2.(必修一P127T5改编)设a＝lg 2，b＝lg 3，则log1210＝(　　) A. B. C.2a＋b D.2b＋a 答案　A 解析　log1210＝＝＝. 3.(必修一P110T8改编)已知a＋a－＝3，则a＋a－1＝________；a2＋a－2＝________. 答案　7　47 解析　由a＋a－＝3， 得a＋a－1＋2＝9， 即a＋a－1＝7， 则a2＋a－2＋2＝49， 即a2＋a－2＝47. 4.计算：π0＋2－2×＋log23－log26＝________. 答案　 解析　原式＝1＋×＋log23－log22－log23＝1＋×－1＝. 考点一　指数幂的运算 例1 (1)(多选)下列运算(化简)中正确的有(　　) A.(a)－1·(a－2)－＝a B.(xa－1y)a·(4y－a)＝4x C.[(1－)2]－(1＋)－1＋(1＋)0＝3－2 D.2a3b·(－5ab)÷(4)＝－ab－ 答案　ABD 解析　对于A，(a)－1·(a－2)－＝a－＋＝a，故正确； 对于B，(xa－1y)a·(4y－a)＝4x×a·ya－a＝4xy0＝4x，故正确； 对于C，[(1－)2]－(1＋)－1＋(1＋)0＝(－1)2×－＋1＝－1－(－1)＋1＝1，故错误； 对于D，2a3b·(－5ab)÷(4)＝[2×(－5)÷4]a3＋－b＋－＝－ab－，故正确.故选ABD. (2)化简：÷(a>0). 解　÷＝ ÷＝a÷a＝1. 方法总结　1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： (1)必须同底数幂相乘，指数才能相加. (2)运算的先后顺序. 2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. 3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 训练1 (1)(多选)已知a＋a－1＝3，则下列选项正确的是(　　) A.a2＋a－2＝7 B.a－a－＝±1 C.a＋a－＝± D.a＋a－＝2 答案　ABD 解析　将a＋a－1＝3两边平方，得(a＋a－1)2＝a2＋2＋a－2＝9， 所以a2＋a－2＝7，故A正确； 因为(a－a－)2＝a－2＋a－1＝3－2＝1，a，a－的大小不确定， 所以a－a－＝±1，故B正确； 因为(a＋a－)2＝a＋2＋a－1＝3＋2＝5， 又因为a>0，a－>0，所以a＋a－＝，故C错误； 由立方和公式，可得a＋a－＝(a)3＋(a－)3＝(a＋a－)(a－1＋a－1)＝×(3－1)＝2，故D正确.故选ABD. (2)计算：＋2－2×－(0.01)0.5. 解　＋2－2×－(0.01)0.5＝1＋×－＝1＋×－＝. 考点二　对数的运算 例2 (1)log381－log98·log23－2log23＋lg ＋lg ＝________. 答案　0 解析　原式＝log334－·log32·log23－3＋lg＝4－－3＋＝0. (2)计算：＝________. 答案　1 解析　原式＝ ＝ ＝＝＝＝1. (3)已知lg 2＝a，lg 3＝b，用a，b表示log1815＝________. 答案　 解析　log1815＝＝＝＝. 方法总结　1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. 3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 训练2 (1)(2024·丽水质检)设log83＝p，log35＝q，则lg 5等于(　　) A.p2＋q2 B.(3p＋2q) C. D.pq 答案　C 解析　∵log83＝＝＝p， ∴lg 3＝3plg 2. ∵log35＝＝q， ∴lg 5＝qlg 3＝3pqlg 2＝3pq(1－lg 5)， ∴lg 5＝. (2)计算：log535＋2log－log5－log514＝________. 答案　2 解析　原式＝log535－log5－log514＋log()2 ＝log5＋log2＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2. (3)＋ln ＋log35×log259＋lg 4＋2lg 5＝________. 答案　 解析　＋ln ＋log35×log259＋lg 4＋2lg 5 ＝2－log25＋ln e－1＋log35×log5232＋lg 22＋2lg 5 ＝2log2－1＋log35×log53＋2lg 2＋2lg 5 ＝－1＋×＋2(lg 2＋lg 5) ＝－1＋1＋2＝. 考点三　指数与对数运算的实际应用 例3 (1)(2020·新高考Ⅰ卷改编)基本再生数R0与世代间隔T是新冠感染的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠感染疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠感染疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　　) A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天 答案　B 解析　由R0＝1＋rT，R0＝3.28，T＝6， 得r＝＝＝0.38. 由题意，累计感染病例数增加1倍， 则I(t2)＝2I(t1)， 即e0.38t2＝2e0.38t1，所以e0.38(t2－t1)＝2， 即0.38(t2－t1)＝ln 2， ∴t2－t1＝≈≈1.8(天). (2)(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A.p1≥p2 B.p2>10p3 C.p3＝100p0 D.p1≤100p2 答案　ACD 解析　法一　因为Lp＝20×lg随着p的增大而增大，且Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]， 所以Lp1≥Lp2，所以p1≥p2，故A正确； 假设p2>10p3，则p010>10p010， 所以10－>10， 所以Lp2－Lp3>20，不可能成立，故B不正确； 由Lp＝20×lg，得p＝p010.因为Lp3＝40， 所以p3＝p010＝100p0，故C正确； 因为＝＝10－＋2≥1， 所以p1≤100p2，故D正确. 综上，选ACD. 法二　由题意可知：Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，Lp3＝40， lg p＝＋lg p0，p＝10p0， 对于A，＝10≥1，故A正确； 对于B，＝10≤10，故B错误； 对于C，＝10＝100，故C正确； 对于D，＝10≤10＝100，故D正确. 方法总结　解决指数、对数运算实际应用问题的步骤 (1)理解题意、弄清楚题目条件与所求之间的关系； (2)运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求. 训练3 (1)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是(参考数据： lg 3≈0.48)(　　) A.1033 B.1053 C.1073 D.1093 答案　D 解析　法一　设＝x＝， 两边取对数得lg x＝lg ＝lg 3361－lg 1080＝361×lg 3－80≈93.28， 所以x≈1092.38，即最接近1093. 法二　因为lg 3＝lg 9≈lg 10＝，361×lg 3－80≈100， 故与最接近的是1093. (2)果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度.已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t(天)满足的函数关系式为h＝m·at.若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%.那么采摘下来的这种水果多长时间后失去40%新鲜度(　　) A.25天 B.30天 C.35天 D.40天 答案　B 解析　依题意，得 解得m＝，a10＝2， 当h＝40%时，40%＝·at， 即40%＝·a10·at－10， 解得at－10＝4＝(a10)2＝a20， 于是得t－10＝20，解得t＝30(天)， 所以采摘下来的这种水果30天后失去40%新鲜度. 习题演练 1.若代数式＋有意义，则＋2＝(　　) A.2 B.3 C.2x－1 D.x－2 答案　B 解析　由＋有意义， 得解得≤x≤2. 所以x－2≤0，2x－1≥0， 所以＋2＝＋2|x－2|＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1＋2(2－x)＝3. 2.(2022·浙江卷)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝(　　) A.25 B.5 C. D. 答案　C 解析　因为2a＝5，b＝log83， 即23b＝3， 所以4a－3b＝＝＝＝. 3.某品牌计算器在计算对数logab时需按“log(a，b).”某学生在计算logab时(其中a>1且b>1)顺序弄错，误按“log(b，a)”，所得结果为正确值的4倍，则下列结论正确的是(　　) A.a＝2b B.b＝2a C.a＝b2 D.b＝a2 答案　C 解析　由题意，得logba＝4·logab， 所以＝，即(ln a)2＝(2ln b)2. 因为a>1且b>1，所以ln a＝2ln b， 即a＝b2，故选C. 4.(2024·天津质检)计算2log32－log3＋(－1)0＋log38－25log53的结果为(　　) A.－7 B.－3 C.0 D.－6 答案　D 解析　2log32－log3＋(－1)0＋log38－25log53＝log34－log3＋log38＋1－52log53＝log3＋1－5log59＝log39＋1－9＝－6.故选D. 5.(2024·郑州调研)点声源亦称为“球面声源”或“简单声源”，为机械声源中最基本的辐射体，点声源在空间中传播时，衰减量ΔL与传播距离r(单位：米)的关系视为ΔL＝10lg (单位：dB)，取lg 5≈0.7，则r从5米变化到80米时，衰减量的增加值约为(　　) A.18 dB B.20 dB C.24 dB D.27 dB 答案　C 解析　当r＝5时，ΔL1＝10lg ， 当r＝80时，ΔL2＝10lg 1 600π， 则衰减量的增加值约为ΔL2－ΔL1＝10lg 1 600π－10lg ＝80lg 2＝80(lg 10－ lg 5)≈80×(1－0.7)＝24.故选C. 6.(多选)已知a，b∈R，4a＝b2＝9，则2a＋b的值可能为(　　) A. B. C. D.24 答案　BD 解析　由4a＝9，解得a＝log49＝log2232＝log23， 当b2＝9时，解得b＝3＝log28或b＝－3＝log2， 当b＝log28时，a＋b＝log23＋log28＝log2(3×8)＝log224，所以2a＋b＝24， 当b＝log2时，a＋b＝log23＋log2＝log2＝log2，所以2a＋b＝.故选BD. 7.(多选)下列运算中，正确的是(　　) A.2log2－＝－2 B.若a＋＝14，则＋＝4 C.若log73＝a，log74＝b，则log742＝1＋＋ D.若4a＝6b＝9c，则＋＝ 答案　AB 解析　对于A，2log2－＝－＝－＝－2，正确； 对于B，因为a＋＝14，所以＋＝＝＝4，正确； 对于C，因为log73＝a，log74＝b， 所以log742＝log77＋log73＋log72＝1＋log73＋log74＝1＋a＋，不正确； 对于D，当a＝b＝c＝0时，4a＝6b＝9c成立， 但＋＝无意义，不正确.故选AB. 8.化简(a＞0，b＞0)的结果是________. 答案　 解析　＝＝a＋－1＋b1＋－2－＝ab－1＝. 9.若ex＝2 024，e－y＝1 012，则x＋y＝________. 答案　ln 2 解析　ex＝2 024，e－y＝1 012， 则＝＝2，即ex＋y＝2，则x＋y＝ln 2. 10.计算：log3＋lg 25＋lg 4＋7log72＋8＝________. 答案　 解析　原式＝log33＋lg 52＋lg 22＋2＋23×＝＋2lg 5＋2lg 2＋2＋2 ＝＋2(lg 5＋lg 2)＋2＋2＝＋2＋2＋2＝. 11.计算下列各式： (1)(lg 2)2＋lg 5·lg 20； (2)log 4－log23·log8； (3)8＋＋(1.5)－4·－[(－2)4]. 解　(1)原式＝(lg 2)2＋lg 5·lg(4×5)＝(lg 2)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 5)2＝(lg 2＋lg 5)2＝1. (2)原式＝4log22＋3log23·log32＝4＋3＝7. (3)原式＝2＋1＋·－4＝3＋－4＝－. 12.某工厂产生的废气，过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)之间的关系为P＝P0e－kt，其中P0，k是正的常数.如果在前5 h消除了10%的污染物，请解决下列问题： (1)10 h后还剩百分之几的污染物？ (2)污染物减少50%需要花多少时间(精确到1 h)？(参考数据：lg 2≈0.301， lg 3≈0.477) 解　(1)由P＝P0e－kt可知， 当t＝0时，P＝P0； 当t＝5时，P＝(1－10%)P0， 于是有(1－10%)P0＝P0e－5k， 解得k＝－ln 0.9， 那么P＝P0·0.9， 所以当t＝10时，P＝0.81P0， 即10 h后还剩下81%的污染物. (2)当P＝50%P0时，0.5P0＝P00.9， 解得t＝5log0.90.5＝－5log0.92＝－5×＝－5×≈33， 即污染减少50%大约需要花33 h. 13.2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为π(x)≈的结论.根据欧拉得出的结论，估计1 000以内的素数的个数为(素数即质数，lg e≈0.434 29，计算结果取整数)(　　) A.189 B.186 C.145 D.109 答案　C 解析　由题意知，小于数字x的素数个数大约可以表示为π(x)≈，则估计1 000以内的素数的个数为π(1 000)≈＝≈≈145.故选C. 14.已知函数f(x)＝，g(x)＝. (1)分别计算f(4)－5f(2)g(2)，f(9)－5f(3)g(3)的值； (2)根据(1)的计算过程，写出涉及函数f(x)和g(x)对所有不等于0的实数x都成立的一个等式，并证明. 解　(1)f(4)－5f(2)g(2)＝－5×× ＝－ ＝－＝0， f(9)－5f(3)g(3)＝－5××＝－＝0. (2)由此概括出对所有不等于0的实数x有f(x2)－5f(x)g(x)＝0，证明如下： f(x2)－5f(x)g(x)＝(x－x－)－5×·＝－＝0， 因此，等式成立. 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届高考数学一轮复习讲义 课件——函数之指数与对数的运算 知识梳理 1.根式的概念及性质 根式 负数 0 a a -a 3 2.分数指数幂 没有意义 4 3.有理指数幂的运算性质 aras＝______；(ar)s＝____；(ab)r＝____，其中a>0，b>0，r，s∈Q. ar＋s ars arbr 5 4.对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝____________，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. logaN 6 5.对数的性质、运算性质与换底公式 (1)对数的性质 ①alogaN＝____；②logaab＝b(a>0，且a≠1). (2)对数的运算性质 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝_______________； N logaM＋logaN logaM－logaN nlogaM 7 常用结论 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) × × × × (3)log2x2＝2log2|x|，故(3)错误. (4)当M＜0，N＜0时，虽然MN＞0， 但loga(MN)＝logaM＋logaN不成立，故(4)错误. A 7 47 得a＋a－1＋2＝9， 即a＋a－1＝7， 则a2＋a－2＋2＝49， 即a2＋a－2＝47. 考点一　指数幂的运算 ABD 方法总结 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： (1)必须同底数幂相乘，指数才能相加. (2)运算的先后顺序. 2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. 3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. ABD 解析　将a＋a－1＝3两边平方，得(a＋a－1)2＝a2＋2＋a－2＝9，所以a2＋a－2＝7，故A正确； 考点二　对数的运算 0 1 (3)已知lg 2＝a，lg 3＝b，用a，b表示log1815＝______________. 方法总结 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. 3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. C 2 考点三　指数与对数运算的实际应用 例3 (1)(2020·新高考Ⅰ卷改编)基本再生数R0与世代间隔T是新冠感染的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠感染疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠感染疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　　) A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天 B 解析　由R0＝1＋rT，R0＝3.28，T＝6， 由题意，累计感染病例数增加1倍， 则I(t2)＝2I(t1)， 即e0.38t2＝2e0.38t1， 所以e0.38(t2－t1)＝2， 即0.38(t2－t1)＝ln 2， ACD 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2，p3，则(　　 ) A.p1≥p2 B.p2>10p3 C.p3＝100p0 D.p1≤100p2 所以Lp1≥Lp2，所以p1≥p2，故A正确； 所以Lp2－Lp3>20，不可能成立，故B不正确； 法二　由题意可知：Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，Lp3＝40， 方法总结 解决指数、对数运算实际应用问题的步骤 (1)理解题意、弄清楚题目条件与所求之间的关系； (2)运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求. D (2)果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度.已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t(天)满足的函数关系式为h＝m·at.若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%.那么采摘下来的这种水果多长时间后失去40%新鲜度(　　) A.25天 B.30天 C.35天 D.40天 B 于是得t－10＝20，解得t＝30(天)， 所以采摘下来的这种水果30天后失去40%新鲜度. 习题演练 B C 解析　因为2a＝5，b＝log83， 即23b＝3， 3.某品牌计算器在计算对数logab时需按“log(a，b).”某学生在计算logab时(其中a>1且b>1)顺序弄错，误按“log(b，a)”，所得结果为正确值的4倍，则下列结论正确的是(　　) A.a＝2b B.b＝2a C.a＝b2 D.b＝a2 C 解析　由题意，得logba＝4·logab， 因为a>1且b>1， 所以ln a＝2ln b， 即a＝b2，故选C. D C BD 解析　由4a＝9，解得a＝log49＝log2232＝log23， 当b＝log28时，a＋b＝log23＋log28＝log2(3×8)＝log224，所以2a＋b＝24， AB 9.若ex＝2 024，e－y＝1 012，则x＋y＝________. ln 2 解析　ex＝2 024，e－y＝1 012， 解　(1)原式＝(lg 2)2＋lg 5·lg(4×5)＝(lg 2)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 5)2＝(lg 2＋lg 5)2＝1. (2)原式＝4log22＋3log23·log32＝4＋3＝7. 12.某工厂产生的废气，过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)之间的关系为P＝P0e－kt，其中P0，k是正的常数.如果在前5 h消除了10%的污染物，请解决下列问题： (1)10 h后还剩百分之几的污染物？ 解　由P＝P0e－kt可知，当t＝0时，P＝P0； 当t＝5时，P＝(1－10%)P0，于是有(1－10%)P0＝P0e－5k， 所以当t＝10时，P＝0.81P0， 即10 h后还剩下81%的污染物. (2)污染物减少50%需要花多少时间(精确到1 h)？(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477) 即污染减少50%大约需要花33 h. C (2)根据(1)的计算过程，写出涉及函数f(x)和g(x)对所有不等于0的实数x都成立的一个等式，并证明. 解　由此概括出对所有不等于0的实数x有f(x2)－5f(x)g(x)＝0，证明如下： 因此，等式成立. (1)概念：式子eq \r(n,a)叫做 ，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. (2)性质：① 没有偶次方根. ②0的任何次方根都是0，记作eq \r(n,0)＝ . ③(eq \r(n,a))n＝ (n∈N*，且n>1). ④eq \r(n,an)＝a(n为大于1的奇数). ⑤eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1( ，a≥0，, ，a<0))(n为大于1的偶数). 规定：正数的正分数指数幂的意义是aeq \f(m,n)＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)； 正数的负分数指数幂的意义是a－eq \f(m,n)＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂 . ②logaeq \f(M,N)＝ ； ③logaMn＝ (n∈R). (3)换底公式：logab＝ (a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). 换底公式的两个重要结论 (1)logab＝eq \f(1,logba)(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1). (2)logambn＝eq \f(n,m)logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0). (1)eq \r(4,（－4）4)＝－4.(　　) (2)分数指数幂aeq \f(m,n)可以理解为eq \f(m,n)个a相乘.(　　) (3)log2x2＝2log2x.(　　) (4)若MN＞0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　) 解析　(1)由于eq \r(4,（－4）4)＝eq \r(4,44)＝4，故(1)错误. (2)当<1时，不可以，故(2)错误. 2.(必修一P127T5改编)设a＝lg 2，b＝lg 3，则log1210＝(　　) A.eq \f(1,2a＋b) B.eq \f(1,2b＋a) C.2a＋b D.2b＋a 解析　log1210＝eq \f(1,lg 12)＝eq \f(1,lg 3＋2lg 2)＝eq \f(1,2a＋b). 3.(必修一P110T8改编)已知aeq \s\up6(\f(1,2))＋a－eq \f(1,2)＝3，则a＋a－1＝________；a2＋a－2＝________. 解析　由a＋a－＝3， 4.计算：π0＋2－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(1,4)))eq \s\up6(\f(1,2))＋log23－log26＝________. 解析　原式＝1＋eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)))eq \s\up6(\f(1,2))＋log23－log22－log23＝1＋eq \f(1,4)×eq \f(3,2)－1＝eq \f(3,8). 例1 (1)(多选)下列运算(化简)中正确的有(　 　) A.(aeq \f(1,6))－1·(a－2)－eq \f(1,3)＝aeq \f(1,2) B.(xa－1y)a·(4y－a)＝4x C.[(1－eq \r(2))2]eq \f(1,2)－(1＋eq \r(2))－1＋(1＋eq \r(2))0＝3－2eq \r(2) D.2a3beq \f(2,3)·(－5aeq \f(2,3)beq \f(1,3))÷(4eq \r(3,a4b5))＝－eq \f(5,2)aeq \f(7,3)b－eq \f(2,3) 解析　对于A，(aeq \f(1,6))－1·(a－2)－eq \f(1,3)＝a－eq \f(1,6)＋eq \f(2,3)＝aeq \f(1,2)，故正确； 对于B，(xa－1y)a·(4y－a)＝4xeq \f(1,a)×a·ya－a＝4xy0＝4x，故正确； 对于C，[(1－eq \r(2))2]eq \f(1,2)－(1＋eq \r(2))－1＋(1＋eq \r(2))0＝(eq \r(2)－1)2×eq \f(1,2)－eq \f(1,1＋\r(2))＋1＝eq \r(2)－1－(eq \r(2)－1)＋1＝1，故错误； 对于D，2a3beq \f(2,3)·(－5aeq \f(2,3)beq \f(1,3))÷(4eq \r(3,a4b5))＝[2×(－5)÷4]a3＋eq \f(2,3)－eq \f(4,3)beq \f(2,3)＋eq \f(1,3)－eq \f(5,3)＝－eq \f(5,2)aeq \f(7,3)b－eq \f(2,3)，故正确.故选ABD. (2)化简：eq \r(3,a\f(7,2)·\r(a－3))÷eq \r(\r(3,a－8)·\r(3,a12))(a>0). 解　eq \r(3,a\s\up6(\f(7,2))·\r(a－3))÷eq \r(\r(3,a－8)·\r(3,a12))＝eq \r(3,a\f(7,2)·a－\f(3,2))÷eq \r(a－\f(8,3)·a4)＝aeq \f(2,3)÷aeq \f(2,3)＝1. 由立方和公式，可得aeq \f(3,2)＋a－eq \f(3,2)＝(aeq \f(1,2))3＋(a－eq \f(1,2))3＝(aeq \f(1,2)＋a－eq \f(1,2))(a－1＋a－1)＝eq \r(5)×(3－1)＝2eq \r(5)，故D正确.故选ABD. 训练1 (1)(多选)已知a＋a－1＝3，则下列选项正确的是(　　 ) A.a2＋a－2＝7 B.aeq \f(1,2)－a－eq \f(1,2)＝±1 C.aeq \f(1,2)＋a－eq \f(1,2)＝±eq \r(5) D.aeq \f(3,2)＋a－eq \f(3,2)＝2eq \r(5) 因为(aeq \f(1,2)－a－eq \f(1,2))2＝a－2＋a－1＝3－2＝1，aeq \f(1,2)，a－eq \f(1,2)的大小不确定，所以aeq \f(1,2)－a－eq \f(1,2)＝±1，故B正确； 因为(aeq \f(1,2)＋a－eq \f(1,2))2＝a＋2＋a－1＝3＋2＝5，又因为aeq \f(1,2)>0，a－eq \f(1,2)>0，所以aeq \f(1,2)＋a－eq \f(1,2)＝eq \r(5)，故C错误； (2)计算：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(3,5)))eq \s\up12(0)＋2－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(1,4)))eq \s\up12(－\f(1,2))－(0.01)0.5. 解　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(3,5)))eq \s\up12(0)＋2－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(1,4)))eq \s\up12(－\f(1,2))－(0.01)0.5＝1＋eq \f(1,4)×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2)))eq \s\up12(－\f(1,2))－eq \f(1,10)＝1＋eq \f(1,4)×eq \f(2,3)－eq \f(1,10)＝eq \f(16,15). 例2 (1)log381－log98·log23－2log23＋lg eq \r(2)＋lg eq \r(5)＝________. 解析　原式＝log334－eq \f(3,2)·log32·log23－3＋lgeq \r(10)＝4－eq \f(3,2)－3＋eq \f(1,2)＝0. (2)计算：eq \f(（1－log63）2＋log62·log618,log64)＝________. 解析　原式＝eq \f(1－2log63＋（log63）2＋（1－log63）（1＋log63）,log64)＝eq \f(1－2log63＋（log63）2＋1－（log63）2,log64)＝eq \f(2（1－log63）,2log62)＝eq \f(log66－log63,log62)＝eq \f(log62,log62)＝1. 解析　log1815＝eq \f(lg 15,lg 18)＝eq \f(lg 3＋lg 5,lg 2＋2lg 3)＝eq \f(lg 3＋1－lg 2,lg 2＋2lg 3)＝eq \f(b－a＋1,2b＋a). ∴lg 5＝. 训练2 (1)(2024·丽水质检)设log83＝p，log35＝q，则lg 5等于(　　) A.p2＋q2 B.eq \f(1,5)(3p＋2q) C.eq \f(3pq,1＋3pq) D.pq 解析　∵log83＝eq \f(lg 3,lg 8)＝eq \f(lg 3,3lg 2)＝p，∴lg 3＝3plg 2. ∵log35＝eq \f(lg 5,lg 3)＝q，∴lg 5＝qlg 3＝3pqlg 2＝3pq(1－lg 5)， (2)计算：log535＋2logeq \s\do9(\f(1,2))eq \r(2)－log5eq \f(1,50)－log514＝________. 解析　原式＝log535－log5eq \f(1,50)－log514＋logeq \s\do9(\f(1,2))(eq \r(2))2＝log5eq \f(35,\f(1,50)×14)＋logeq \s\do9(\f(1,2))2＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2. (3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(log25)＋ln eq \f(1,e)＋log35×log259＋lg 4＋2lg 5＝________. 解析　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(log25)＋ln eq \f(1,e)＋log35×log259＋lg 4＋2lg 5＝2－log25＋ln e－1＋log35×log5232＋lg 22＋2lg 5＝2log2eq \f(1,5)－1＋log35×log53＋2lg 2＋2lg 5＝eq \f(1,5)－1＋eq \f(lg 5,lg 3)×eq \f(lg 3,lg 5)＋2(lg 2＋lg 5)＝eq \f(1,5)－1＋1＋2＝eq \f(11,5). 得r＝＝＝0.38. ∴t2－t1＝≈≈1.8(天). (2)(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lgeq \f(p,p0)，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级： 因为eq \f(100p2,p1)＝eq \f(100p010\s\up6(\f(Lp2,20)),p010\s\up6(\f(Lp1,20)))＝10eq \f(Lp2,20)－eq \f(Lp1,20)＋2≥1，所以p1≤100p2，故D正确. 综上，选ACD. 解析　法一　因为Lp＝20×lgeq \f(p,p0)随着p的增大而增大，且Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]， 假设p2>10p3，则p010eq \s\up6(\f(Lp2,20))>10p010eq \s\up6(\f(Lp3,20))，所以10eq \f(Lp2,20)－eq \f(Lp3,20)>10， 由Lp＝20×lgeq \f(p,p0)，得p＝p010eq \s\up6(\f(Lp,20)).因为Lp3＝40,所以p3＝p010eq \s\up6(\f(40,20))＝100p0,故C正确； 对于C，＝10＝100，故C正确； 对于D，eq \f(p1,p2)＝10eq \f(Lp1－Lp2,20)≤10eq \f(90－50,20)＝100，故D正确. lg p＝＋lg p0，p＝10p0， 对于A，eq \f(p1,p2)＝10eq \f(Lp1－Lp2,20)≥1，故A正确； 对于B，eq \f(p2,p3)＝10eq \f(Lp2－Lp3,20)≤10，故B错误； 所以x≈1092.38，即最接近1093. 法二　因为lg 3＝eq \f(1,2)lg 9≈eq \f(1,2)lg 10＝eq \f(1,2)，361×lg 3－80≈100， 故与最接近的是1093. 训练3 (1)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与eq \f(M,N)最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)(　　) A.1033 B.1053 C.1073 D.1093 解析　法一　设＝x＝， 两边取对数得lg x＝lg eq \f(3361,1080)＝lg 3361－lg 1080＝361×lg 3－80≈93.28， 解析　依题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10%＝m·a10，,20%＝m·a20，))解得m＝eq \f(1,20)，a10＝2， 当h＝40%时，40%＝·at， 即40%＝eq \f(1,20)·a10·at－10，解得at－10＝4＝(a10)2＝a20， 1.若代数式eq \r(2x－1)＋eq \r(2－x)有意义，则eq \r(4x2－4x＋1)＋2eq \r(4,（x－2）4)＝(　　) A.2 B.3 C.2x－1 D.x－2 解析　由eq \r(2x－1)＋eq \r(2－x)有意义，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1≥0，,2－x≥0，))解得eq \f(1,2)≤x≤2. 所以x－2≤0，2x－1≥0， 所以eq \r(4x2－4x＋1)＋2eq \r(4,（x－2）4)＝eq \r(（2x－1）2)＋2|x－2|＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1＋2(2－x)＝3. 2.(2022·浙江卷)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝(　　) A.25 B.5 C.eq \f(25,9) D.eq \f(5,3) 所以4a－3b＝＝＝＝. 所以＝，即(ln a)2＝(2ln b)2. 4.(2024·天津质检)计算2log32－log3eq \f(32,9)＋(eq \r(2)－1)0＋log38－25log53的结果为(　　) A.－7 B.－3 C.0 D.－6 解析　2log32－log3eq \f(32,9)＋(eq \r(2)－1)0＋log38－25log53＝log34－log3eq \f(32,9)＋log38＋1－52log53＝log3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4×\f(9,32)×8))＋1－5log59＝log39＋1－9＝－6.故选D. 5.(2024·郑州调研)点声源亦称为“球面声源”或“简单声源”，为机械声源中最基本的辐射体，点声源在空间中传播时，衰减量ΔL与传播距离r(单位：米)的关系视为ΔL＝10lg eq \f(πr2,4)(单位：dB)，取lg 5≈0.7，则r从5米变化到80米时，衰减量的增加值约为(　　) A.18 dB B.20 dB C.24 dB D.27 dB 解析　当r＝5时，ΔL1＝10lg eq \f(25π,4)，当r＝80时，ΔL2＝10lg 1 600π， 则衰减量的增加值约为ΔL2－ΔL1＝10lg 1 600π－10lg eq \f(25π,4)＝80lg 2＝80(lg 10－ lg 5)≈80×(1－0.7)＝24.故选C. 当b＝log2eq \f(1,8)时，a＋b＝log23＋log2eq \f(1,8)＝log2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3×\f(1,8)))＝log2eq \f(3,8)，所以2a＋b＝eq \f(3,8).故选BD. 6.(多选)已知a，b∈R，4a＝b2＝9，则2a＋b的值可能为(　　) A.eq \f(1,24) B.eq \f(3,8) C.eq \f(8,3) D.24 当b2＝9时，解得b＝3＝log28或b＝－3＝log2eq \f(1,8)， 7.(多选)下列运算中，正确的是(　　) A.2log2eq \f(1,4)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,8)))eq \s\up12(\f(2,3))＝－2 B.若a＋eq \f(1,a)＝14，则eq \r(a)＋eq \f(1,\r(a))＝4 C.若log73＝a，log74＝b，则log742＝1＋eq \f(1,a)＋eq \f(b,2) D.若4a＝6b＝9c，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,c)＝eq \f(2,b) 解析　对于A，2log2eq \f(1,4)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,8)))eq \s\up12(\f(2,3))＝eq \f(1,4)－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(3)))eq \s\up12(\f(2,3))＝eq \f(1,4)－eq \f(9,4)＝－2，正确； 对于B，因为a＋eq \f(1,a)＝14，所以eq \r(a)＋eq \f(1,\r(a))＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(a)＋\f(1,\r(a))))\s\up12(2))＝eq \r(a＋\f(1,a)＋2)＝4，正确； 对于C，因为log73＝a，log74＝b，所以log742＝log77＋log73＋log72＝1＋log73＋eq \f(1,2)log74＝1＋a＋eq \f(b,2)，不正确； 对于D，当a＝b＝c＝0时，4a＝6b＝9c成立，但eq \f(1,a)＋eq \f(1,c)＝eq \f(2,b)无意义，不正确.故选AB. 8.化简eq \f(\r(a3b2\r(3,ab2)),（a\s\up6(\f(1,4))b\s\up6(\f(1,2))）4·\r(3,\f(b,a)))(a＞0，b＞0)的结果是________. 解析　eq \f(\r(a3b2\r(3,ab2)),（a\s\up6(\f(1,4))b\s\up6(\f(1,2))）4·\r(3,\f(b,a)))＝eq \f(a\s\up6(\f(3,2))b·a\s\up6(\f(1,6))b\s\up6(\f(1,3)),（a\s\up6(\f(1,4))b\s\up6(\f(1,2))）4·a－\f(1,3)·b\s\up6(\f(1,3)))＝aeq \f(3,2)＋eq \f(1,6)－1＋eq \f(1,3)b1＋eq \f(1,3)－2－eq \f(1,3)＝ab－1＝eq \f(a,b). 则eq \f(ex,e－y)＝eq \f(2 024,1 012)＝2，即ex＋y＝2，则x＋y＝ln 2. 10.计算：log3eq \r(27)＋lg 25＋lg 4＋7log72＋8eq \s\up6(\f(1,3))＝________. 解析　原式＝log33eq \s\up6(\f(3,2))＋lg 52＋lg 22＋2＋23×eq \f(1,3)＝eq \f(3,2)＋2lg 5＋2lg 2＋2＋2＝eq \f(3,2)＋2(lg 5＋lg 2)＋2＋2＝eq \f(3,2)＋2＋2＋2＝eq \f(15,2). 11.计算下列各式： (1)(lg 2)2＋lg 5·lg 20； (2)log eq \r(2)4－log23·logeq \f(1,3)8； (3)8eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,9))) eq \s\up12(0)＋(1.5)－4·eq \r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\f(3,8)))\s\up12(2))－[(－2)4]eq \f(1,2). (3)原式＝2＋1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq \s\up12(－4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,8)))eq \s\up12(\f(2,3))－4＝3＋eq \f(4,9)－4＝－eq \f(5,9). 解得k＝－ln 0.9， 那么P＝P0·0.9， 解　当P＝50%P0时，0.5P0＝P00.9， 解得t＝5log0.90.5＝－5log0.92＝－5×eq \f(lg 2,lg 0.9)＝－5×eq \f(lg 2,2lg 3－lg 10)≈33， 13.2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为π(x)≈eq \f(x,ln x)的结论.根据欧拉得出的结论，估计1 000以内的素数的个数为(素数即质数，lg e≈0.434 29，计算结果取整数)(　　) A.189 B.186 C.145 D.109 解析　由题意知，小于数字x的素数个数大约可以表示为π(x)≈eq \f(x,ln x)，则估计1 000以内的素数的个数为π(1 000)≈eq \f(1 000,ln 1 000)＝eq \f(1 000,\f(lg 1 000,lg e))≈eq \f(1 000,\f(3,0.434 29))≈145.故选C. 14.已知函数f(x)＝eq \f(x\f(1,3)－x－\f(1,3),5)，g(x)＝eq \f(x\f(1,3)＋x－\f(1,3),5). (1)分别计算f(4)－5f(2)g(2)，f(9)－5f(3)g(3)的值； 解　f(4)－5f(2)g(2)＝eq \f(4\f(1,3)－4－\f(1,3),5)－5×eq \f(2\f(1,3)－2－\f(1,3),5)×eq \f(2\f(1,3)＋2－\f(1,3),5)＝eq \f(4\f(1,3)－4－\f(1,3),5)－eq \f(（2\f(1,3)－2－\f(1,3)）（2\f(1,3)＋2－\f(1,3)）,5)＝eq \f(4\f(1,3)－4－\f(1,3),5)－eq \f(4\f(1,3)－4－\f(1,3),5)＝0， f(9)－5f(3)g(3)＝eq \f(9\f(1,3)－9－\f(1,3),5)－5×eq \f(3\f(1,3)－3－\f(1,3),5)×eq \f(3\f(1,3)＋3－\f(1,3),5)＝eq \f(3\f(2,3)－3－\f(2,3),5)－eq \f(3\f(2,3)－3－\f(2,3),5)＝0. f(x2)－5f(x)g(x)＝eq \f(1,5)(xeq \f(2,3)－x－eq \f(2,3))－5×eq \f(x\f(1,3)－x－\f(1,3),5)·eq \f(x\f(1,3)＋x－\f(1,3),5)＝eq \f(x\f(2,3)－x－\f(2,3),5)－eq \f(x\f(2,3)－x－\f(2,3),5)＝0， $$