函数之函数的奇偶性、周期性讲义、课件-2025届高三数学一轮复习

2025届高考数学一轮复习教案讲义（原卷版）——函数之函数的奇偶性、周期性 【知识梳理】 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且 ，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于 对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且 ，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于 对称 2.周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且 ，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个 就叫做f(x)的最小正周期. [常用结论] 1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性. 2.函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0). 【诊断自测】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)上是偶函数.(　　) (2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.(　　) (3)若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期.(　　) (4)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数.(　　) 2.(多选)(必修一P84例6改编)给出下列函数，其中是奇函数的有(　　) A.f(x)＝x4 B.f(x)＝x5 C.f(x)＝x＋ D.f(x)＝ 3.设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________. 4.已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，若f(－1)＝1，则f(2 025)＝______. 考点一　函数奇偶性的判断 例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝ (3)f(x)＝log2(x＋). 方法总结　判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，否则为非奇非偶函数. (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立. 训练1 (1)(多选)下列命题中正确的是(　　) A.奇函数的图象一定过坐标原点 B.函数y＝xsin x是偶函数 C.函数y＝|x＋1|－|x－1|是奇函数 D.函数y＝是奇函数 (2)已知f(x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数，且g(x)≠0，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)＋g(x)为R上的奇函数 B.f(x)－g(x)为R上的偶函数 C.为R上的偶函数 D.|f(x)g(x)|为R上的偶函数 考点二　函数奇偶性的应用 角度1　求解析式(参数或值) 例2 (1)(2023·新高考Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数，则a＝(　　) A.－1 B.0 C. D.1 (2)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，当x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________. 角度2　奇偶性与单调性 例3 (1)(多选)(2024·合肥调研)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在(－∞，0]上单调递减，则(　　) A.f(f(1))<f(f(2)) B.f(g(1))<f(g(2)) C.g(f(1))<g(f(2)) D.g(g(1))<g(g(2)) (2)(2024·广州质检)已知偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，且f(1)＝0，则不等式xf(x－2)>0的解集为(　　) A.(1，3) B.(3，＋∞) C.(－3，－1)∪(3，＋∞) D.(0，1)∪(3，＋∞) 方法总结　1.利用函数的奇偶性可求函数值或参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. 2.比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小. 3.解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组). 训练2 (1)(2023·全国乙卷)已知f(x)＝是偶函数，则a＝(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 (2)已知函数f(x)为R上的偶函数，且对任意x1，x2∈(0，＋∞)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，若a＝f()，b＝f(－1)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.b<c<a (3)函数f(x)是定义域为R的奇函数，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0.则不等式>0的解集为________. 考点三　函数的周期性及应用 例4 (1)函数f(x)满足f(x)f(x＋2)＝13，且f(3)＝2，则f(2 025)＝________. (2)设f(x)是定义在R上周期为4的偶函数，且当x∈[0，2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则函数f(x)在[2，4]上的解析式为_______________. 方法总结　1.求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期. 2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题. 训练3 (多选)已知定义在R上的偶函数f(x)，其周期为4，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2，则(　　) A.f(2 024)＝－1 B.f(x)的值域为[－1，2] C.f(x)在[4，6]上单调递减 D.f(x)在[－6，6]上有8个零点 习题演练 1.(2024·北京海淀区质检)下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是(　　) A.y＝ B.y＝－x|x| C.y＝ex－e－x D.y＝－ln x 2.(2024·重庆诊断)已知定义在R上的函数f(x)满足f(3)＝－2，且h(x)＝－x2＋f(3x)为奇函数，则f(－3)＝(　　) A.4 B.－2 C.0 D.2 3.(2024·济南模拟)设f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则使f(x)＞0的x的取值范围是(　　) A.{x|x＞1} B.{x|－1＜x＜0} C.{x|x＜－1或x＞1} D.{x|1＜x＜0或x＞1} 4.已知函数f(x)满足对于任意的实数x，都有f(x＋2)＝－，且f(1)＝，则 f(2 025)＝(　　) A.－ B. C.－1 D.1 5.(多选)(2024·昆明检测)函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2－1，则(　　) A.f(－1)＝－1 B.g(－1)＝－2 C.f(1)＋g(1)＝1 D.f(1)＋g(1)＝2 6.(多选)下列对函数的奇偶性判断正确的是(　　) A.f(x)＝(x－1)是偶函数 B.f(x)＝是奇函数 C.f(x)＝－x2＋是非奇非偶函数 D.f(x)＝是奇函数 7.(多选)f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(2－x)，则下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)的一个周期为4 B.f(2 024)＝1 C.当x∈[2，3]时，f(x)＝－log2(4－x) D.函数f(x)在[0，2 024]内有1 010个零点 8.写出一个定义域为R，周期为π的偶函数f(x)＝________. 9.(2024·东北三省三校模拟)若f(x)＝＋1为奇函数，则实数a＝________. 10.若函数f(x)＝ex－e－x，则不等式f(ln x)＋f(ln x－1)>0的解集是________. 11.已知函数f(x)＝是奇函数. (1)求实数m的值； (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围. 12.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式； (3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024). 13.已知定义在R上的函数为y＝f(x)满足：①对于任意的x∈R，都有f(x＋1)＝；②函数y＝f(x)是偶函数；③当x∈(0，1]时，f(x)＝x＋ex，则f，f，f从小到大的排列是________________. 14.函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2). (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论； (3)如果f(4)＝1，f(x－1)＜2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围. 第 54 页 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届高考数学一轮复习讲义 课件——函数之函数的奇偶性、周期性 知识梳理 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且______________________，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于______对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且________________________，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于______对称 f(－x)＝f(x) y轴 f(－x)＝－f(x) 原点 3 2.周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且________________________，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个______的正数，那么这个__________就叫做f(x)的最小正周期. f(x＋T)＝f(x) 最小 最小正数 4 常用结论 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)上是偶函数.(　　) (2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.(　　) (3)若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期.(　　) (4)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数.(　　) × × √ × 解析　(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错误. (2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数,且在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错误. (4)反例：f(x)＝x3，x∈[－3，5]，存在x＝1，使f(－1)＝－f(1)，但f(x)既不是奇函数，也不是偶函数，(4)错误. BC 解析　对于f(x)＝x4，f(x)的定义域为R， 由f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)， 可知f(x)＝x4是偶函数， 3.设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________________. (－2，0)∪(2，5] 解析　由图象可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0； 当2＜x≤5时，f(x)＜0，又f(x)是奇函数， ∴当－2＜x＜0时，f(x)＜0， 当－5≤x＜－2时，f(x)＞0. 综上，f(x)＜0的解集为(－2，0)∪(2，5]. 4.已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，若f(－1)＝1，则f(2 025)＝______. -1 解析　因为函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数， 所以f(2 025)＝f(506×4＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－1. 考点一　函数奇偶性的判断 因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)， 所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数. 解　显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称. 因为当x＜0时，－x＞0， 则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)； 当x＞0时，－x＜0， 则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)； 综上可知，对于定义域内的任意x， 总有f(－x)＝－f(x)成立， 所以函数f(x)为奇函数. 解　显然函数f(x)的定义域为R， 故f(x)为奇函数. 方法总结 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，否则为非奇非偶函数. (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立. BC 解析　对于A,只有奇函数在x＝0处有定义时,函数的图象过原点,所以A不正确； 对于B，因为函数y＝xsin x的定义域为R且f(－x)＝(－x)sin(－x)＝f(x)，所以该函数为偶函数，所以B正确； 对于C，函数y＝|x＋1|－|x－1|的定义域为R，且f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝ －(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)，所以函数为奇函数,所以C正确； D 解析　因为f(x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数， 所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x).对于A，x∈R，设F(x)＝f(x)＋g(x)， 则F(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)≠－f(x)－g(x)＝－F(x)，故错误； 对于B，x∈R，设N(x)＝f(x)－g(x)， 则N(－x)＝f(－x)－g(－x)＝－f(x)－g(x)≠f(x)－g(x)＝N(x)，故错误； 对于D，x∈R，设H(x)＝|f(x)g(x)|， H(－x)＝|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|＝H(x)， 所以H(x)为偶函数，故正确. 考点二　函数奇偶性的应用 B 所以g(x)为奇函数. 则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0，故选B. 所以(a－1)ln 3＝－(a＋1)ln 3，解得a＝0(经检验，此时f(x)为偶函数)，故选B. (2)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，当x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________. x－1 解析　当x＜0时，－x＞0. f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1. 角度2　奇偶性与单调性 例3 (1)(多选)(2024·合肥调研)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在(－∞，0]上单调递减，则(　　) A.f(f(1))<f(f(2)) B.f(g(1))<f(g(2)) C.g(f(1))<g(f(2)) D.g(g(1))<g(g(2)) BD 解析　因为f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且两函数在(－∞，0]上单调递减， 所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，g(x)在[0，＋∞)上单调递减，g(x)在R上单调递减，所以f(1)<f(2)，g(0)＝0>g(1)>g(2)， 所以f(g(1))<f(g(2))，g(f(1))>g(f(2))，g(g(1))<g(g(2))，所以BD正确，C错误. 若|f(1)|>|f(2)|，则f(f(1))>f(f(2))，A错误. (2)(2024·广州质检)已知偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，且f(1)＝0，则不等式xf(x－2)>0的解集为(　　) A.(1，3) B.(3，＋∞) C.(－3，－1)∪(3，＋∞) D.(0，1)∪(3，＋∞) D 解析　偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，则在(0，＋∞)上单调递增. 因为f(1)＝0，则当x>0时，xf(x－2)>0即f(|x－2|)>0＝f(1)， 所以x－2>1或x－2<－1，解得x>3或x<1，所以x∈(0，1)∪(3，＋∞). 当x<0时，xf(x－2)>0即f(x－2)<0，f(|x－2|)<0＝f(1)， 所以－1<x－2<1，解得1<x<3，所以解集为空集. 综上，不等式xf(x－2)>0的解集为(0，1)∪(3，＋∞)，故选D. 方法总结 1.利用函数的奇偶性可求函数值或参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. 2.比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小. 3.解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组). D 解析　法一　f(x)的定义域为{x|x≠0}， 因为f(x)是偶函数， 即e(1－a)x－ex＝－e(a－1)x＋e－x， 即e(1－a)x＋e(a－1)x＝ex＋e－x， 所以a－1＝±1， 解得a＝0(舍去)或a＝2. 又y＝x是奇函数， 所以y＝e(a－1)x－e－x是奇函数， 故a－1＝1， 即a＝2. B 解析　由题意得，偶函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减. 所以a<c<b. (－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析　由于f(x)是定义域为R的奇函数， 所以f(0)＝0， 又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0， 所以f(x)的大致图象如图所示. 由于x在分母位置，所以x≠0， 当x<0时，只需f(x)<0，由图象可知x<－2； 当x>0时，只需f(x)>0，由图象可知x>2； 综上，不等式的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞). 考点三　函数的周期性及应用 例4 (1)函数f(x)满足f(x)f(x＋2)＝13，且f(3)＝2，则f(2 025)＝________. 解析　∵f(x)f(x＋2)＝13， ∴f(x)的周期为4， (2)设f(x)是定义在R上周期为4的偶函数，且当x∈[0，2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则函数f(x)在[2，4]上的解析式为_________________________. f(x)＝log2(5－x)，x∈[2，4] 解析　根据题意，设x∈[2，4]， 则x－4∈[－2，0]，则有4－x∈[0，2]， 又x∈[0，2]时，f(x)＝log2(x＋1)， 则f(4－x)＝log2[(4－x)＋1]＝log2(5－x)， 又f(x)为周期为4的偶函数， 所以f(x)＝f(x－4)＝f(4－x)＝log2(5－x)，x∈[2，4]， 则有f(x)＝log2(5－x)，x∈[2，4]. 方法总结 1.求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期. 2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题. 训练3 (多选)已知定义在R上的偶函数f(x)，其周期为4，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2，则(　　) A.f(2 024)＝－1 B.f(x)的值域为[－1，2] C.f(x)在[4，6]上单调递减 D.f(x)在[－6，6]上有8个零点 AB 解析　f(2 024)＝f(506×4)＝f(0)＝－1，所以A正确； 当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2单调递增， 所以当x∈[0，2]时，函数的值域为[－1，2]， 由于函数是偶函数， 所以函数的值域为[－1，2]，所以B正确； 当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2单调递增， 又函数的周期是4， 所以f(x)在[4，6]上单调递增，所以C错误； 令f(x)＝2x－2＝0， 所以x＝1， 所以f(1)＝f(－1)＝0， 由于函数的周期为4， 所以f(5)＝f(－5)＝0，f(3)＝f(－3)＝0， 所以f(x)在[－6，6]上有6个零点，所以D错误. 习题演练 B 对于B，函数y＝－x|x|为奇函数，当x>0时,y＝－x|x|＝－x2,当x≤0时,y＝－x|x|＝x2，故函数y＝－x|x|在定义域内为减函数，故B正确； 对于C，由于函数y＝ex，y＝－e－x均为增函数，故y＝ex－e－x在定义域内为增函数，故C错误； 对于D，函数y＝－ln x为非奇非偶函数，故D错误. 2.(2024·重庆诊断)已知定义在R上的函数f(x)满足f(3)＝－2，且h(x)＝－x2＋f(3x)为奇函数，则f(－3)＝(　　) A.4 B.－2 C.0 D.2 A 解析　因为h(x)＝－x2＋f(3x)是奇函数， 所以有h(－1)＋h(1)＝0， 即－1＋f(－3)－1＋f(3)＝0， 又f(3)＝－2， 所以f(－3)＝4. 3.(2024·济南模拟)设f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则使f(x)＞0的x的取值范围是(　　) A.{x|x＞1} B.{x|－1＜x＜0} C.{x|x＜－1或x＞1} D.{x|1＜x＜0或x＞1} C 解析　∵当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x－1单调递增， 又∵f(x)为偶函数， 故可以作出f(x)的图象如图所示. 由图象可知，若f(x)＞0， 则x＜－1或x＞1. B 5.(多选)(2024·昆明检测)函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2－1，则(　　) A.f(－1)＝－1 B.g(－1)＝－2 C.f(1)＋g(1)＝1 D.f(1)＋g(1)＝2 AC 解析　法一　由f(x)－g(x)＝x3＋x2－1得f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2－1， 又f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数， 所以－f(x)－g(x)＝－x3＋x2－1. 对于A，f(－1)＝(－1)3＝－1，故A正确； 对于B，g(－1)＝－(－1)2＋1＝0，故B错误； 对于C和D，f(1)＋g(1)＝1－1＋1＝1，C正确，D错误. 法二　因为f(x)－g(x)＝x3＋x2－1，且f(x)为奇函数，g(x)为偶函数， 将x＝－1代入得f(－1)－g(－1)＝－1， 所以－f(1)－g(1)＝－1， 即f(1)＋g(1)＝1，故C正确，D错误； 将x＝1代入得f(1)－g(1)＝1， 又f(1)＋g(1)＝1， 所以f(1)＝1，g(1)＝0， 所以f(－1)＝－1，g(－1)＝0，故A正确，B错误. 6.(多选)下列对函数的奇偶性判断正确的是(　　) BD 对于B，设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－x2－x，则f(－x)＝－f(x)，同理当x>0时，f(－x)＝－f(x)，所以该函数是奇函数，故B正确； 7.(多选)f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(2－x)，则下列结论正确的是(　　 ) A.函数f(x)的一个周期为4 B.f(2 024)＝1 C.当x∈[2，3]时，f(x)＝－log2(4－x) D.函数f(x)在[0，2 024]内有1 010个零点 ABC 解析　∵f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， ∴函数的周期为4，故A正确； f(2 024)＝f(4×506)＝f(0)＝1，故B正确； 当x∈[2，3]时，x－2∈[0，1]， 则f(x)＝－f(x－2)＝－log2[2－(x－2)]＝－log2(4－x)，故C正确； 易知f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 021)＝f(2 023)＝0，于是函数f(x)在[0，2 024]内有1 012个零点，故D错误. 8.写出一个定义域为R，周期为π的偶函数f(x)＝_________________. cos 2x(答案不唯一) 1 10.若函数f(x)＝ex－e－x，则不等式f(ln x)＋f(ln x－1)>0的解集是____________. 解析　因为f(x)＝ex－e－x，定义域为R， 且f(－x)＝－(ex－e－x)＝－f(x)，故其为奇函数， 又y＝ex，y＝－e－x均为增函数， 故f(x)为R上的增函数， 则原不等式等价于f(ln x)>f(1－ln x)， 解　设x<0，则－x>0， 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)为奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)， 于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx， 所以m＝2. (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围. 所以1<a≤3， 故实数a的取值范围是(1，3]. 12.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； 证明　∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x). ∴f(x)是周期为4的周期函数. (2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式； 解　当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]， 由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2. 又f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.∴f(x)＝x2＋2x. 又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]， ∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4). 又f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8. 从而求得x∈[2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8. (3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024). 解　f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1. 又f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)＝0， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024)＝506×[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(2 024)＝0＋f(2 024)＝0＋f(0)＝0. 故函数y＝f(x)的周期为2， ∵当x∈(0，1]时，f(x)＝x＋ex单调递增， 14.函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2). (1)求f(1)的值； 解　因为对于任意x1，x2∈D， 有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)， 所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)， 所以f(1)＝0. (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论； 解　f(x)为偶函数. 证明：令x1＝x2＝－1， 有f(1)＝f(－1)＋f(－1)， 令x1＝－1，x2＝x， 有f(－x)＝f(－1)＋f(x)， 所以f(－x)＝f(x)， 所以f(x)为偶函数. (3)如果f(4)＝1，f(x－1)＜2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围. 解　依题意有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2， 由(2)知，f(x)是偶函数， 所以f(x－1)＜2⇔f(|x－1|)＜f(16). 又f(x)在(0，＋∞)上是增函数. 所以0＜|x－1|＜16， 解得－15＜x＜17且x≠1. 所以x的取值范围是{x|－15＜x＜17，且x≠1}. 1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性. 2.函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). (2)若f(x＋a)＝eq \f(1,f（x）)，则T＝2a(a>0). 2.(多选)(必修一P84例6改编)给出下列函数，其中是奇函数的有(　　) A.f(x)＝x4 B.f(x)＝x5 C.f(x)＝x＋eq \f(1,x) D.f(x)＝eq \f(1,x2) 同理可知f(x)＝x5，f(x)＝x＋eq \f(1,x)是奇函数，f(x)＝eq \f(1,x2)是偶函数. 从而f(x)＝＋＝0. 例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝eq \r(3－x2)＋eq \r(x2－3)； 解　由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－x2≥0，,x2－3≥0，))得x2＝3，解得x＝±eq \r(3)， 即函数f(x)的定义域为{－，}， (2)f(x)＝ (3)f(x)＝log2(x＋). f(－x)＝log2[－x＋eq \r(（－x）2＋1)]＝log2(eq \r(x2＋1)－x)＝log2(eq \r(x2＋1)＋x)－1 ＝－log2(eq \r(x2＋1)＋x)＝－f(x)， 训练1 (1)(多选)下列命题中正确的是(　　) A.奇函数的图象一定过坐标原点 B.函数y＝xsin x是偶函数 C.函数y＝|x＋1|－|x－1|是奇函数 D.函数y＝eq \f(x2－x,x－1)是奇函数 对于D，函数y＝eq \f(x2－x,x－1)满足x－1≠0，即x≠1，所以函数的定义域不关于原点对称，所以该函数为非奇非偶函数，所以D不正确. (2)已知f(x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数，且g(x)≠0，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)＋g(x)为R上的奇函数 B.f(x)－g(x)为R上的偶函数 C.eq \f(f（x）,g（x）)为R上的偶函数 D.|f(x)g(x)|为R上的偶函数 对于C，x∈R，g(x)≠0，设M(x)＝eq \f(f（x）,g（x）)，M(－x)＝eq \f(f（－x）,g（－x）)＝－eq \f(f（x）,g（x）) ＝－M(x)≠M(x)，故错误； 角度1　求解析式(参数或值) 例2 (1)(2023·新高考Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)lneq \f(2x－1,2x＋1)为偶函数，则a＝(　　) A.－1 B.0 C.eq \f(1,2) D.1 解析　法一　设g(x)＝ln， 易知g(x)的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))，且g(－x)＝lneq \f(－2x－1,－2x＋1)＝ln eq \f(2x＋1,2x－1)＝－lneq \f(2x－1,2x＋1)＝－g(x)， 若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数， 法二　因为f(x)＝(x＋a)lneq \f(2x－1,2x＋1)为偶函数， f(－1)＝(a－1)ln 3，f(1)＝(a＋1)ln eq \f(1,3)＝－(a＋1)ln 3， 训练2 (1)(2023·全国乙卷)已知f(x)＝eq \f(xex,eax－1)是偶函数，则a＝(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 所以f(x)＝f(－x)，即＝， 法二　f(x)＝eq \f(xex,eax－1)＝eq \f(x,e（a－1）x－e－x)，f(x)是偶函数， 又e>1，所以f()＜f(e)＜f(－1)， (2)已知函数f(x)为R上的偶函数，且对任意x1，x2∈(0，＋∞)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，若a＝f(eq \r(2))，b＝f(－1)，c＝f(eeq \f(1,3))，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.b<c<a b＝f(－1)＝f(1)，()6＝8，(e)6＝e2， 因为8>e2，所以>e， (3)函数f(x)是定义域为R的奇函数，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0.则不等式eq \f(f（x）－2f（－x）,x)>0的解集为_______________________. 由f(－x)＝－f(x)可得，eq \f(f（x）－2f（－x）,x)＝eq \f(f（x）＋2f（x）,x)＝eq \f(3f（x）,x)>0， ∴f(x＋4)＝eq \f(13,f（x＋2）)＝eq \f(13,　\f(13,f（x）)　)＝f(x)， ∴f(2 025)＝f(1)＝＝. ∴f(x＋2)＝， 1.(2024·北京海淀区质检)下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是(　　) A.y＝eq \f(1,x) B.y＝－x|x| C.y＝ex－e－x D.y＝－ln x 解析　对于A，函数y＝eq \f(1,x)为奇函数，在定义域上不单调，故A错误； 4.已知函数f(x)满足对于任意的实数x，都有f(x＋2)＝－eq \f(1,f（x）)，且f(1)＝eq \f(1,3)，则f(2 025)＝(　　) A.－eq \f(1,3) B.eq \f(1,3) C.－1 D.1 解析　由f(x＋2)＝－eq \f(1,f（x）)，得f(x)的周期T＝4，f(2 025)＝f(506×4＋1)＝f(1)＝eq \f(1,3). 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）－g（x）＝x3＋x2－1，,－f（x）－g（x）＝－x3＋x2－1，))得f(x)＝x3，g(x)＝－x2＋1. A.f(x)＝(x－1)eq \r(\f(1＋x,1－x))是偶函数 B.f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x　（x<0），,－x2＋x （x>0）))是奇函数 C.f(x)＝eq \r(3)－x2＋eq \r(x2－3)是非奇非偶函数 D.f(x)＝eq \f(\r(1－x2),|x＋3|－3)是奇函数 解析　对于A，由eq \f(1＋x,1－x)≥0，解得－1≤x<1，所以该函数的定义域是[－1，1)，不关于原点对称，是非奇非偶函数，故A错误； 对于C,由x2－3≥0,解得x≥eq \r(3)或x≤－eq \r(3),所以函数的定义域是(－∞,－eq \r(3)] ∪[eq \r(3)，＋∞)，关于原点对称，又f(－x)＝eq \r(3)－(－x)2＋eq \r(（－x）2－3)＝eq \r(3)－x2＋eq \r(x2－3)＝f(x)，所以该函数是偶函数，故C错误； 对于D，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x2≥0，,|x＋3|－3≠0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤1，,x≠0，))所以该函数的定义域为[－1，0)∪(0，1]，f(x)＝eq \f(\r(1－x2),x).又f(－x)＝eq \f(\r(1－（－x）2),－x)＝－eq \f(\r(1－x2),x)＝－f(x)，所以该函数是奇函数，故D正确. 解析　y＝cos 2x满足定义域为R，最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π，且为偶函数，符合 要求. 即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋1,ex－1)＋1))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋1,e－x－1)＋1))＝eq \f(a＋1,ex－1)－eq \f(（a＋1）ex,ex－1)＋2＝0，解得a＝1. 9.(2024·东北三省三校模拟)若f(x)＝eq \f(a＋1,ex－1)＋1为奇函数，则实数a＝________. 解析　函数f(x)＝eq \f(a＋1,ex－1)＋1的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 若f(x)为奇函数，则f(x)＋f(－x)＝0， (，＋∞) 也即ln x>1－ln x，整理得ln x>， 解得x>eq \r(e)，故不等式的解集为(eq \r(e)，＋∞). 11.已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x>0，,0，x＝0，,x2＋mx，x<0))是奇函数. (1)求实数m的值； 解　要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2>－1，,a－2≤1，)) 13.已知定义在R上的函数为y＝f(x)满足：①对于任意的x∈R，都有f(x＋1)＝eq \f(1,f（x）)；②函数y＝f(x)是偶函数；③当x∈(0，1]时，f(x)＝x＋ex，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(21,4)))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(22,3)))从小到大的排列是____________________. f<f<f 解析　由题意知f(x＋1)＝eq \f(1,f（x）)，且f(x＋2)＝eq \f(1,f（x＋1）)＝f(x)， feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(22,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－\f(2,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(21,4)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6－\f(3,4)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))， ∴f<f<f， 故f<f<f. 所以f(－1)＝f(1)＝0. $$ 2025届高考数学一轮复习教案讲义（解析版）——函数之函数的奇偶性、周期性 【知识梳理】 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 2.周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. [常用结论] 1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性. 2.函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0). 【诊断自测】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)上是偶函数.(　　) (2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.(　　) (3)若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期.(　　) (4)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 解析　(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错误. (2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，且在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错误. (4)反例：f(x)＝x3，x∈[－3，5]，存在x＝1，使f(－1)＝－f(1)，但f(x)既不是奇函数，也不是偶函数，(4)错误. 2.(多选)(必修一P84例6改编)给出下列函数，其中是奇函数的有(　　) A.f(x)＝x4 B.f(x)＝x5 C.f(x)＝x＋ D.f(x)＝ 答案　BC 解析　对于f(x)＝x4，f(x)的定义域为R， 由f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)， 可知f(x)＝x4是偶函数， 同理可知f(x)＝x5，f(x)＝x＋是奇函数，f(x)＝是偶函数. 3.设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________. 答案　(－2，0)∪(2，5] 解析　由图象可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0； 当2＜x≤5时，f(x)＜0，又f(x)是奇函数， ∴当－2＜x＜0时，f(x)＜0， 当－5≤x＜－2时，f(x)＞0. 综上，f(x)＜0的解集为(－2，0)∪(2，5]. 4.已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，若f(－1)＝1，则f(2 025)＝______. 答案　－1 解析　因为函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数， 所以f(2 025)＝f(506×4＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－1. 考点一　函数奇偶性的判断 例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝ (3)f(x)＝log2(x＋). 解　(1)由 得x2＝3，解得x＝±， 即函数f(x)的定义域为{－，}， 从而f(x)＝＋＝0. 因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)， 所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数. (2)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称. 因为当x＜0时，－x＞0， 则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)； 当x＞0时，－x＜0， 则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)； 综上可知，对于定义域内的任意x， 总有f(－x)＝－f(x)成立， 所以函数f(x)为奇函数. (3)显然函数f(x)的定义域为R， f(－x)＝log2[－x＋]＝log2(－x)＝log2(＋x)－1 ＝－log2(＋x)＝－f(x)， 故f(x)为奇函数. 方法总结　判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，否则为非奇非偶函数. (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立. 训练1 (1)(多选)下列命题中正确的是(　　) A.奇函数的图象一定过坐标原点 B.函数y＝xsin x是偶函数 C.函数y＝|x＋1|－|x－1|是奇函数 D.函数y＝是奇函数 答案　BC 解析　对于A，只有奇函数在x＝0处有定义时，函数的图象过原点，所以A不正确； 对于B，因为函数y＝xsin x的定义域为R且f(－x)＝(－x)sin(－x)＝f(x)， 所以该函数为偶函数，所以B正确； 对于C，函数y＝|x＋1|－|x－1|的定义域为R， 且f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)， 即f(－x)＝－f(x)， 所以函数为奇函数，所以C正确； 对于D，函数y＝满足x－1≠0，即x≠1， 所以函数的定义域不关于原点对称， 所以该函数为非奇非偶函数，所以D不正确. (2)已知f(x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数，且g(x)≠0，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)＋g(x)为R上的奇函数 B.f(x)－g(x)为R上的偶函数 C.为R上的偶函数 D.|f(x)g(x)|为R上的偶函数 答案　D 解析　因为f(x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数， 所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x). 对于A，x∈R，设F(x)＝f(x)＋g(x)， 则F(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)≠－f(x)－g(x)＝－F(x)，故错误； 对于B，x∈R，设N(x)＝f(x)－g(x)， 则N(－x)＝f(－x)－g(－x)＝－f(x)－g(x)≠f(x)－g(x)＝N(x)，故错误； 对于C，x∈R，g(x)≠0，设M(x)＝， M(－x)＝＝－＝－M(x)≠M(x)，故错误； 对于D，x∈R，设H(x)＝|f(x)g(x)|， H(－x)＝|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|＝H(x)， 所以H(x)为偶函数，故正确. 考点二　函数奇偶性的应用 角度1　求解析式(参数或值) 例2 (1)(2023·新高考Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数，则a＝(　　) A.－1 B.0 C. D.1 答案　B 解析　法一　设g(x)＝ln， 易知g(x)的定义域为∪， 且g(－x)＝ln＝ln ＝－ln＝－g(x)， 所以g(x)为奇函数. 若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数， 则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0，故选B. 法二　因为f(x)＝(x＋a)ln为偶函数， f(－1)＝(a－1)ln 3，f(1)＝(a＋1)ln ＝－(a＋1)ln 3， 所以(a－1)ln 3＝－(a＋1)ln 3，解得a＝0(经检验，此时f(x)为偶函数)，故选B. (2)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，当x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________. 答案　x－1 解析　当x＜0时，－x＞0. f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1. 角度2　奇偶性与单调性 例3 (1)(多选)(2024·合肥调研)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在(－∞，0]上单调递减，则(　　) A.f(f(1))<f(f(2)) B.f(g(1))<f(g(2)) C.g(f(1))<g(f(2)) D.g(g(1))<g(g(2)) 答案　BD 解析　因为f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且两函数在(－∞，0]上单调递减， 所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，g(x)在[0，＋∞)上单调递减，g(x)在R上单调递减， 所以f(1)<f(2)，g(0)＝0>g(1)>g(2)， 所以f(g(1))<f(g(2))，g(f(1))>g(f(2))，g(g(1))<g(g(2))，所以BD正确，C错误. 若|f(1)|>|f(2)|，则f(f(1))>f(f(2))，A错误. (2)(2024·广州质检)已知偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，且f(1)＝0，则不等式xf(x－2)>0的解集为(　　) A.(1，3) B.(3，＋∞) C.(－3，－1)∪(3，＋∞) D.(0，1)∪(3，＋∞) 答案　D 解析　偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，则在(0，＋∞)上单调递增. 因为f(1)＝0，则当x>0时，xf(x－2)>0即f(|x－2|)>0＝f(1)， 所以x－2>1或x－2<－1，解得x>3或x<1， 所以x∈(0，1)∪(3，＋∞). 当x<0时，xf(x－2)>0即f(x－2)<0，f(|x－2|)<0＝f(1)， 所以－1<x－2<1，解得1<x<3， 所以解集为空集. 综上，不等式xf(x－2)>0的解集为(0，1)∪(3，＋∞)，故选D. 方法总结　1.利用函数的奇偶性可求函数值或参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. 2.比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小. 3.解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组). 训练2 (1)(2023·全国乙卷)已知f(x)＝是偶函数，则a＝(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 答案　D 解析　法一　f(x)的定义域为{x|x≠0}， 因为f(x)是偶函数， 所以f(x)＝f(－x)，即＝， 即e(1－a)x－ex＝－e(a－1)x＋e－x， 即e(1－a)x＋e(a－1)x＝ex＋e－x， 所以a－1＝±1，解得a＝0(舍去)或a＝2. 法二　f(x)＝＝，f(x)是偶函数，又y＝x是奇函数， 所以y＝e(a－1)x－e－x是奇函数， 故a－1＝1，即a＝2. (2)已知函数f(x)为R上的偶函数，且对任意x1，x2∈(0，＋∞)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，若a＝f()，b＝f(－1)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.b<c<a 答案　B 解析　由题意得，偶函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减. b＝f(－1)＝f(1)，()6＝8，(e)6＝e2， 因为8>e2，所以>e， 又e>1，所以f()＜f(e)＜f(－1)， 所以a<c<b. (3)函数f(x)是定义域为R的奇函数，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0.则不等式>0的解集为________. 答案　(－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析　由于f(x)是定义域为R的奇函数， 所以f(0)＝0， 又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0， 所以f(x)的大致图象如图所示. 由f(－x)＝－f(x)可得， ＝＝>0， 由于x在分母位置，所以x≠0， 当x<0时，只需f(x)<0，由图象可知x<－2； 当x>0时，只需f(x)>0，由图象可知x>2； 综上，不等式的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞). 考点三　函数的周期性及应用 例4 (1)函数f(x)满足f(x)f(x＋2)＝13，且f(3)＝2，则f(2 025)＝________. 答案　 解析　∵f(x)f(x＋2)＝13， ∴f(x＋2)＝， ∴f(x＋4)＝＝＝f(x)， ∴f(x)的周期为4， ∴f(2 025)＝f(1)＝＝. (2)设f(x)是定义在R上周期为4的偶函数，且当x∈[0，2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则函数f(x)在[2，4]上的解析式为_______________. 答案　f(x)＝log2(5－x)，x∈[2，4] 解析　根据题意，设x∈[2，4]， 则x－4∈[－2，0]，则有4－x∈[0，2]， 又x∈[0，2]时，f(x)＝log2(x＋1)， 则f(4－x)＝log2[(4－x)＋1]＝log2(5－x)， 又f(x)为周期为4的偶函数， 所以f(x)＝f(x－4)＝f(4－x)＝log2(5－x)，x∈[2，4]， 则有f(x)＝log2(5－x)，x∈[2，4]. 方法总结　1.求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期. 2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题. 训练3 (多选)已知定义在R上的偶函数f(x)，其周期为4，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2，则(　　) A.f(2 024)＝－1 B.f(x)的值域为[－1，2] C.f(x)在[4，6]上单调递减 D.f(x)在[－6，6]上有8个零点 答案　AB 解析　f(2 024)＝f(506×4)＝f(0)＝－1，所以A正确； 当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2单调递增， 所以当x∈[0，2]时，函数的值域为[－1，2]， 由于函数是偶函数，所以函数的值域为[－1，2]，所以B正确； 当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2单调递增， 又函数的周期是4， 所以f(x)在[4，6]上单调递增，所以C错误； 令f(x)＝2x－2＝0，所以x＝1， 所以f(1)＝f(－1)＝0， 由于函数的周期为4， 所以f(5)＝f(－5)＝0，f(3)＝f(－3)＝0， 所以f(x)在[－6，6]上有6个零点，所以D错误. 习题演练 1.(2024·北京海淀区质检)下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是(　　) A.y＝ B.y＝－x|x| C.y＝ex－e－x D.y＝－ln x 答案　B 解析　对于A，函数y＝为奇函数，在定义域上不单调，故A错误； 对于B，函数y＝－x|x|为奇函数， 当x>0时，y＝－x|x|＝－x2， 当x≤0时，y＝－x|x|＝x2， 故函数y＝－x|x|在定义域内为减函数，故B正确； 对于C，由于函数y＝ex，y＝－e－x均为增函数，故y＝ex－e－x在定义域内为增函数，故C错误； 对于D，函数y＝－ln x为非奇非偶函数，故D错误. 2.(2024·重庆诊断)已知定义在R上的函数f(x)满足f(3)＝－2，且h(x)＝－x2＋f(3x)为奇函数，则f(－3)＝(　　) A.4 B.－2 C.0 D.2 答案　A 解析　因为h(x)＝－x2＋f(3x)是奇函数， 所以有h(－1)＋h(1)＝0， 即－1＋f(－3)－1＋f(3)＝0， 又f(3)＝－2， 所以f(－3)＝4. 3.(2024·济南模拟)设f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则使f(x)＞0的x的取值范围是(　　) A.{x|x＞1} B.{x|－1＜x＜0} C.{x|x＜－1或x＞1} D.{x|1＜x＜0或x＞1} 答案　C 解析　∵当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x－1单调递增， 又∵f(x)为偶函数，故可以作出f(x)的图象如图所示. 由图象可知，若f(x)＞0， 则x＜－1或x＞1. 4.已知函数f(x)满足对于任意的实数x，都有f(x＋2)＝－，且f(1)＝，则 f(2 025)＝(　　) A.－ B. C.－1 D.1 答案　B 解析　由f(x＋2)＝－，得f(x)的周期T＝4，f(2 025)＝f(506×4＋1)＝f(1)＝. 5.(多选)(2024·昆明检测)函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2－1，则(　　) A.f(－1)＝－1 B.g(－1)＝－2 C.f(1)＋g(1)＝1 D.f(1)＋g(1)＝2 答案　AC 解析　法一　由f(x)－g(x)＝x3＋x2－1得f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2－1， 又f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数， 所以－f(x)－g(x)＝－x3＋x2－1. 由 得f(x)＝x3，g(x)＝－x2＋1. 对于A，f(－1)＝(－1)3＝－1，故A正确； 对于B，g(－1)＝－(－1)2＋1＝0，故B错误； 对于C和D，f(1)＋g(1)＝1－1＋1＝1，C正确，D错误. 法二　因为f(x)－g(x)＝x3＋x2－1，且f(x)为奇函数，g(x)为偶函数， 将x＝－1代入得f(－1)－g(－1)＝－1， 所以－f(1)－g(1)＝－1，即f(1)＋g(1)＝1，故C正确，D错误； 将x＝1代入得f(1)－g(1)＝1， 又f(1)＋g(1)＝1，所以f(1)＝1，g(1)＝0， 所以f(－1)＝－1，g(－1)＝0，故A正确，B错误. 6.(多选)下列对函数的奇偶性判断正确的是(　　) A.f(x)＝(x－1)是偶函数 B.f(x)＝是奇函数 C.f(x)＝－x2＋是非奇非偶函数 D.f(x)＝是奇函数 答案　BD 解析　对于A，由≥0，解得－1≤x<1， 所以该函数的定义域是[－1，1)，不关于原点对称，是非奇非偶函数，故A错误； 对于B，设x<0，则－x>0， 所以f(－x)＝－x2－x，则f(－x)＝－f(x)， 同理当x>0时，f(－x)＝－f(x)， 所以该函数是奇函数，故B正确； 对于C，由x2－3≥0，解得x≥或x≤－， 所以函数的定义域是(－∞，－]∪[，＋∞)，关于原点对称， 又f(－x)＝－(－x)2＋＝－x2＋＝f(x)， 所以该函数是偶函数，故C错误； 对于D，由即 所以该函数的定义域为[－1，0)∪(0，1]，f(x)＝. 又f(－x)＝＝－＝－f(x)， 所以该函数是奇函数，故D正确. 7.(多选)f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(2－x)，则下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)的一个周期为4 B.f(2 024)＝1 C.当x∈[2，3]时，f(x)＝－log2(4－x) D.函数f(x)在[0，2 024]内有1 010个零点 答案　ABC 解析　∵f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， ∴函数的周期为4，故A正确； f(2 024)＝f(4×506)＝f(0)＝1，故B正确； 当x∈[2，3]时，x－2∈[0，1]， 则f(x)＝－f(x－2)＝－log2[2－(x－2)]＝－log2(4－x)，故C正确； 易知f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 021)＝f(2 023)＝0，于是函数f(x)在[0，2 024]内有1 012个零点，故D错误. 8.写出一个定义域为R，周期为π的偶函数f(x)＝________. 答案　cos 2x(答案不唯一) 解析　y＝cos 2x满足定义域为R，最小正周期T＝＝π，且为偶函数，符合要求. 9.(2024·东北三省三校模拟)若f(x)＝＋1为奇函数，则实数a＝________. 答案　1 解析　函数f(x)＝＋1的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 若f(x)为奇函数，则f(x)＋f(－x)＝0， 即＋＝－＋2＝0，解得a＝1. 10.若函数f(x)＝ex－e－x，则不等式f(ln x)＋f(ln x－1)>0的解集是________. 答案　(，＋∞) 解析　因为f(x)＝ex－e－x，定义域为R， 且f(－x)＝－(ex－e－x)＝－f(x)，故其为奇函数， 又y＝ex，y＝－e－x均为增函数， 故f(x)为R上的增函数， 则原不等式等价于f(ln x)>f(1－ln x)， 也即ln x>1－ln x，整理得ln x>， 解得x>，故不等式的解集为(，＋∞). 11.已知函数f(x)＝是奇函数. (1)求实数m的值； (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围. 解　(1)设x<0，则－x>0， 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx， 所以m＝2. (2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知 所以1<a≤3， 故实数a的取值范围是(1，3]. 12.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式； (3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024). (1)证明　∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x). ∴f(x)是周期为4的周期函数. (2)解　当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]， 由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2. 又f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2. ∴f(x)＝x2＋2x. 又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]， ∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4). 又f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8. 从而求得x∈[2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8. (3)解　f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1. 又f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)＝0， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024)＝506×[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(2 024)＝0＋ f(2 024)＝0＋f(0)＝0. 13.已知定义在R上的函数为y＝f(x)满足：①对于任意的x∈R，都有f(x＋1)＝；②函数y＝f(x)是偶函数；③当x∈(0，1]时，f(x)＝x＋ex，则f，f，f从小到大的排列是________________. 答案　f<f<f 解析　由题意知f(x＋1)＝， 且f(x＋2)＝＝f(x)， 故函数y＝f(x)的周期为2， f＝f，f＝f＝f＝f，f＝f＝f， ∵当x∈(0，1]时，f(x)＝x＋ex单调递增， ∴f<f<f，故f<f<f. 14.函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2). (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论； (3)如果f(4)＝1，f(x－1)＜2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围. 解　(1)因为对于任意x1，x2∈D， 有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)， 所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)， 所以f(1)＝0. (2)f(x)为偶函数. 证明：令x1＝x2＝－1， 有f(1)＝f(－1)＋f(－1)， 所以f(－1)＝f(1)＝0. 令x1＝－1，x2＝x， 有f(－x)＝f(－1)＋f(x)， 所以f(－x)＝f(x)， 所以f(x)为偶函数. (3)依题意有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2， 由(2)知，f(x)是偶函数， 所以f(x－1)＜2⇔f(|x－1|)＜f(16). 又f(x)在(0，＋∞)上是增函数. 所以0＜|x－1|＜16， 解得－15＜x＜17且x≠1. 所以x的取值范围是{x|－15＜x＜17，且x≠1}. 学科网（北京）股份有限公司 $$