函数之单调性与最大（小）值讲义、课件-2025届高三数学一轮复习

2025届高考数学一轮复习教案讲义（解析版）——函数之单调性与最大（小）值 【知识梳理】 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M (3)∀x∈I，都有f(x)≥M； (4)∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 [常用结论] 1．有关单调性的常用结论 在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数． 2．函数y＝f(x)(f(x)≠0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． 【诊断自测】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)对于函数y＝f(x)，若f(1)<f(3)，则f(x)为增函数．(　　) (2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　) (3)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　) (4)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，则函数f(x)在区间D上是增函数．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 解析　(1)错误，应对任意的x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)成立才可以． (2)错误，反例：f(x)＝x在[1，＋∞)上为增函数，但f(x)＝x的单调递增区间是 (－∞，＋∞)． (3)错误，此单调区间不能用“∪”连接，故单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)． 2．(必修一P86T7改编)函数f(x)＝的单调递增区间是________． 答案　[2，＋∞) 解析　由题意可知x2－2x≥0，解得x≤0或x≥2， 所以函数f(x)的定义域为(－∞，0]∪[2，＋∞)， 设y＝，u＝x2－2x，二次函数u＝x2－2x的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，1)， 所以f(x)的单调递增区间是[2，＋∞)． 3．(必修一P81例5改编)函数f(x)＝(x∈[2，6])，则f(x)的最小值为________，最大值为________． 答案　　2 解析　由于f(x)＝在[2，6]上单调递减， 故f(x)的最大值为f(2)＝2，最小值为f(6)＝. 4．函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f(a＋1)＜f(2a)，则实数a的取值范围是________． 答案　[－1，1) 解析　由条件知解得－1≤a＜1. 考点一　函数单调性的判断 例1 (1)(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝ex－e－x B．y＝|x2－2x| C．y＝2x＋2cos x D．y＝ 答案　AC 解析　∵y＝ex与y＝－e－x为R上的增函数， ∴y＝ex－e－x为R上的增函数，故A正确； 由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确； 对于C，y′＝2－2sin x≥0， ∴y＝2x＋2cos x在(0，＋∞)上单调递增，故C正确； y＝的定义域为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，故D不正确． (2)设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递增区间是______________． 答案　(－∞，0)，(1，＋∞) 解析　由题意知g(x)＝ 该函数图象如图所示， 其单调递增区间是(－∞，0)，(1，＋∞)． 方法总结　1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间． 2．(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法． (2)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则． 易错警示　函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”连接，不要用“∪”． 训练1 (1)下列函数在R上为增函数的是(　 ) A．y＝x2 B．y＝x C．y＝－ D．y＝ 答案　B 解析　y＝x2在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故A错误； y＝x在R上为增函数，故B正确； y＝－在[0，＋∞)上单调递减，故C错误； y＝在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减，故D错误． (2)函数y＝的单调递减区间是________． 答案　(－∞，－6] 解析　由题意，要使函数y＝有意义，需满足x2＋2x－24≥0， 解得x≤－6或x≥4， 又由t＝x2＋2x－24在(－∞，－6]上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增， 结合复合函数的单调性的判定方法， 可得函数y＝的单调递减区间是(－∞，－6]． 考点二　利用定义证明函数的单调性 例2 设f(x)是定义在R上的函数，∀m，n∈R，f(m＋n)＝f(m)·f(n)(f(m)≠0，f(n)≠0)，且当x>0时，0<f(x)<1.求证： (1)f(0)＝1； (2)x∈R时，恒有f(x)>0； (3)f(x)在R上是减函数． 证明　(1)根据题意，令m＝0， 可得f(0＋n)＝f(0)·f(n)． ∵f(n)≠0，∴f(0)＝1. (2)由题意知x>0时，0<f(x)<1； 当x＝0时，f(0)＝1>0； 当x<0时，－x>0， ∴0<f(－x)<1. ∵f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)， ∴f(x)·f(－x)＝1， ∴f(x)＝>0. 故x∈R时，恒有f(x)>0. (3)任取x1，x2∈R，且x1<x2， 则f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]， ∴f(x2)－f(x1)＝f[x1＋(x2－x1)]－f(x1)＝f(x1)·f(x2－x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]． 由(2)知f(x1)>0， 又x2－x1>0，∴0<f(x2－x1)<1， 故f(x2)－f(x1)<0， 故f(x)在R上是减函数． 方法总结　1.若给出的是“和型”(f(x＋y)＝…)抽象函数，判定符号时一般变形为f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)，f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f[(x1－x2)＋x2]． 2．若给出的是“积型”(f(xy)＝…)抽象函数，判定符号时的一般变形为f(x2)－f(x1)＝f－f(x1)，f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f. 训练2 试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性． 解　法一　设－1＜x1＜x2＜1， f(x)＝a＝a， 则f(x1)－f(x2)＝a－a＝， 由于－1＜x1＜x2＜1， 所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0， 故当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0， 即f(x1)＞f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0， 即f(x1)＜f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递增． 法二　f′(x)＝＝＝－. 当a＞0时，f′(x)＜0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a＜0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增． 考点三　由单调性求参数的取值范围 例3 已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C．(0，1) D．(0，1] 答案　B 解析　因为函数f(x)＝是定义在R上的增函数， 所以解得0<a≤， 所以实数a的取值范围是. 方法总结　利用单调性求参数的取值(范围)，根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值． 训练3 (1)(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2，0) C．(0，2] D．[2，＋∞) 答案　D 解析　由题意得y＝x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，所以x＝≥1，解得a≥2，故选D. (2)若函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________． 答案　[1，2) 解析　f(x)＝＝＝1＋， ∵f(x)在(a，＋∞)上单调递增， ∴解得1≤a<2. 习题演练 1．(多选)下列四个函数中，在(1，＋∞)上为增函数的是(　　) A．f(x)＝－ B．f(x)＝x2－3x C．f(x)＝|x＋2| D．f(x)＝3－x 答案　AC 解析　对于A，由复合函数单调性得f(x)＝－在(1，＋∞)上为增函数，A符合题意； 对于B，f(x)＝x2－3x图象的对称轴为直线x＝，所以该函数在(1，＋∞)上是先减后增，B不符合题意； 对于C，当x>1时，f(x)＝|x＋2|＝x＋2是增函数，C符合题意； 对于D，f(x)＝3－x在(1，＋∞)上是减函数，D不符合题意． 2．(多选)定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则下列关于函数f(x)的说法中正确的是(　　) A．f(x)在区间[－5，－3]上单调递增 B．f(x)在区间[1，4]上单调递增 C．f(x)在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减 D．f(x)在区间[－5，5]上不单调 答案　ABD 解析　由图可知，f(x)在区间[－5，－3]上单调递增，A正确； f(x)在区间[1，4]上单调递增，B正确； f(x)在区间[－3，1]，[4，5]上单调递减，单调区间不可以用“∪”连接，C错误； f(x)在区间[－5，5]上不单调，D正确． 3．(多选)下列关于函数f(x)＝的结论正确的是(　　) A．定义域、值域分别是[－1，3]和[0，＋∞) B．单调递增区间是(－∞，1] C．定义域、值域分别是[－1，3]和[0，2] D．单调递增区间是[－1，1] 答案　CD 解析　f(x)＝， 则定义域满足－x2＋2x＋3≥0， 解得－1≤x≤3，即定义域为[－1，3]， 考虑函数y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4在[－1，3]上有最大值4，最小值0. 在区间[－1，1]上单调递增，在区间(1，3]上单调递减． 故f(x)＝的值域为[0，2]，在区间[－1，1]上单调递增，在区间(1，3]上单调递减． 4．已知函数f(x)＝ax＋1在R上单调递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的单调递增区间为(　　) A．(－2，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－∞，2) D．(－∞，－2) 答案　C 解析　由函数f(x)＝ax＋1在R上单调递减，可知a<0. ∴g(x)＝a(x2－4x＋3)的图象开口向下，对称轴为直线x＝2， ∴g(x)在(－∞，2)上单调递增．故选C. 5．已知函数f(x)＝(t>0)是区间(0，＋∞)上的增函数，则实数t的取值范围是(　　) A．{1} B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) 答案　D 解析　∵f(x)＝(t>0)是区间(0，＋∞)上的增函数，∴∴t≥1. 6．如果函数y＝f(x)在区间I上是减函数，且函数y＝在区间I上是增函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“可变函数”，区间I叫作“可变区间”．若函数f(x)＝x2－4x＋2是区间I上的“可变函数”，则“可变区间”I为(　　) A．(－∞，－]和[，2] 　 B．[，2] C．(0，] 　 D．[1，] 答案　A 解析　因为函数f(x)＝x2－4x＋2图象的对称轴为直线x＝2， 所以函数y＝f(x)在区间(－∞，2]上是减函数， 又当x≤2且x≠0时，＝x＋－4， 令g(x)＝x＋－4(x≤2且x≠0)， 则g(x)在(－∞，－]和[，2]上单调递增， 故f(x)的“可变区间”I为(－∞，－]和[，2]． 7．(多选)已知函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递增，则a，b的取值可以是(　　) A．a＝－1，b＝2 B．a＝2，b＝1 C．a＝1，b> D．0<a≤1，b＝2 答案　CD 解析　根据题意，f(x)＝＝＝＋，其定义域为. 若函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递增，必有－≤－2，3－<0， 即0<a≤1且>3， 据此分析选项C，D符合． 8．下列函数中满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有>0”的是________(填序号)． ①f(x)＝－；②f(x)＝－3x＋1；③f(x)＝x2＋4x＋3；④f(x)＝x－. 答案　①③④ 解析　由题意，知f(x)在(0，＋∞)上为增函数，①③④在(0，＋∞)上均为增函数． 9．已知函数f(x)＝|x＋a|在区间(－∞，－1)上是单调函数，则实数a的取值范围是________． 答案　(－∞，1] 解析　作出f(x)的图象如图所示， 由图可知－a≥－1， 即a≤1. 10．已知命题p：“若f(x)<f(4)对任意的x∈(0，4)都成立，则f(x)在(0，4)上单调递增”．能说明命题p为假命题的一个函数是_____________． 答案　f(x)＝(x－1)2，x∈(0，4)(答案不唯一，如f(x)＝只要满足题意即可) 解析　由题意知，f(x)＝(x－1)2，x∈(0，4)， 则函数f(x)的图象在(0，4)上先单调递减再单调递增，当x＝1时，函数值最小，且f(x)<f(4)，满足题意， 所以函数f(x)＝(x－1)2，x∈(0，4)可以说明命题p为假命题． 11．已知函数f(x)＝x|x－4|. (1)把f(x)写成分段函数，并在平面直角坐标系内画出函数f(x)的大致图象； (2)写出函数f(x)的单调递减区间． 解　(1)f(x)＝x|x－4|＝ 函数图象如图所示． (2)由(1)中函数的图象可知，函数f(x)的单调递减区间为(2，4)． 12．已知函数f(x)＝a－. (1)求f(0)的值； (2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论． 解　(1)f(0)＝a－＝a－1. (2)f(x)在R上单调递增．证明如下： ∵f(x)的定义域为R， ∴任取x1，x2∈R，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋＝. ∵y＝2x在R上单调递增且x1<x2， ∴0<2x1<2x2， ∴2x1－2x2<0，2x1＋1>0，2x2＋1>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在R上单调递增． 13．(多选)(2024·扬州调研)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)>0，g(x)>0，f(x)是减函数，g(x)是增函数，则下列说法正确的有(　　) A．g(x)＋f(x)是增函数 B．f(x)－g(x)是减函数 C．f(x)g(x)是增函数 D.是减函数 答案　BD 解析　对于A，若g(x)＝2x，f(x)＝， 则g(1)＋f(1)＝，g(－1)＋f(－1)＝， 故g(x)＋f(x)不一定为增函数，A错误； 而f(x)g(x)＝1不是增函数，C错误； 对于B，因为g(x)是增函数， 所以－g(x)为减函数． 又f(x)是减函数，所以f(x)－g(x)＝f(x)＋(－g(x))为减函数，B正确； 对于D，因为g(x)是增函数，且g(x)>0， 所以>0且单调递减． 又f(x)>0，且f(x)为减函数， 所以＝f(x)×为减函数，D正确． 14．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)对于任意的x，y∈(0，＋∞)，总有f(x)＋f(y)＝f(xy)，当x＞1时，f(x)＜0. (1)求f(1)的值； (2)判断函数在(0，＋∞)上的单调性，并证明． 解　(1)令x＝y＝1， 得f(1)＋f(1)＝f(1)，所以f(1)＝0. (2)f(x)在(0，＋∞)上单调递减， 证明如下： 设x1＞x2＞0，令xy＝x1，x＝x2， 则y＝，所以y＞1，f(y)＜0， 由已知得f(x2)＋f＝f(x1)， 即f(x1)－f(x2)＝f＜0， 所以f(x1)＜f(x2)， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高考数学一轮复习教案讲义（原卷版）——函数之单调性与最大（小）值 【知识梳理】 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 当x1＜x2时，都有 ，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1＜x2时，都有 ，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上 或 ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性， 叫做y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I，都有 ； (2)∃x0∈I，使得 (3)∀x∈I，都有 ； (4)∃x0∈I，使得 结论 M为最大值 M为最小值 [常用结论] 1．有关单调性的常用结论 在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数． 2．函数y＝f(x)(f(x)≠0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． 【诊断自测】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)对于函数y＝f(x)，若f(1)<f(3)，则f(x)为增函数．(　　) (2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　) (3)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　) (4)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，则函数f(x)在区间D上是增函数．(　　) 2．(必修一P86T7改编)函数f(x)＝的单调递增区间是________． 3．(必修一P81例5改编)函数f(x)＝(x∈[2，6])，则f(x)的最小值为________，最大值为________． 4．函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f(a＋1)＜f(2a)，则实数a的取值范围是________． 考点一　函数单调性的判断 例1 (1)(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝ex－e－x B．y＝|x2－2x| C．y＝2x＋2cos x D．y＝ (2)设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递增区间是______________． 方法总结　1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间． 2．(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法． (2)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则． 易错警示　函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”连接，不要用“∪”． 训练1 (1)下列函数在R上为增函数的是(　 ) A．y＝x2 B．y＝x C．y＝－ D．y＝ (2)函数y＝的单调递减区间是________． 考点二　利用定义证明函数的单调性 例2 设f(x)是定义在R上的函数，∀m，n∈R，f(m＋n)＝f(m)·f(n)(f(m)≠0，f(n)≠0)，且当x>0时，0<f(x)<1.求证： (1)f(0)＝1； (2)x∈R时，恒有f(x)>0； (3)f(x)在R上是减函数． 方法总结　1.若给出的是“和型”(f(x＋y)＝…)抽象函数，判定符号时一般变形为f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)，f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f[(x1－x2)＋x2]． 2．若给出的是“积型”(f(xy)＝…)抽象函数，判定符号时的一般变形为f(x2)－f(x1)＝f－f(x1)，f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f. 训练2 试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性． 考点三　由单调性求参数的取值范围 例3 已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C．(0，1) D．(0，1] 方法总结　利用单调性求参数的取值(范围)，根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值． 训练3 (1)(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2，0) C．(0，2] D．[2，＋∞) (2)若函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________． 习题演练 1．(多选)下列四个函数中，在(1，＋∞)上为增函数的是(　　) A．f(x)＝－ B．f(x)＝x2－3x C．f(x)＝|x＋2| D．f(x)＝3－x 2．(多选)定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则下列关于函数f(x)的说法中正确的是(　　) A．f(x)在区间[－5，－3]上单调递增 B．f(x)在区间[1，4]上单调递增 C．f(x)在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减 D．f(x)在区间[－5，5]上不单调 3．(多选)下列关于函数f(x)＝的结论正确的是(　　) A．定义域、值域分别是[－1，3]和[0，＋∞) B．单调递增区间是(－∞，1] C．定义域、值域分别是[－1，3]和[0，2] D．单调递增区间是[－1，1] 4．已知函数f(x)＝ax＋1在R上单调递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的单调递增区间为(　　) A．(－2，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－∞，2) D．(－∞，－2) 5．已知函数f(x)＝(t>0)是区间(0，＋∞)上的增函数，则实数t的取值范围是(　　) A．{1} B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) 6．如果函数y＝f(x)在区间I上是减函数，且函数y＝在区间I上是增函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“可变函数”，区间I叫作“可变区间”．若函数f(x)＝x2－4x＋2是区间I上的“可变函数”，则“可变区间”I为(　　) A．(－∞，－]和[，2] 　 B．[，2] C．(0，] 　 D．[1，] 7．(多选)已知函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递增，则a，b的取值可以是(　　) A．a＝－1，b＝2 B．a＝2，b＝1 C．a＝1，b> D．0<a≤1，b＝2 8．下列函数中满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有>0”的是________(填序号)． ①f(x)＝－；②f(x)＝－3x＋1；③f(x)＝x2＋4x＋3；④f(x)＝x－. 9．已知函数f(x)＝|x＋a|在区间(－∞，－1)上是单调函数，则实数a的取值范围是________． 10．已知命题p：“若f(x)<f(4)对任意的x∈(0，4)都成立，则f(x)在(0，4)上单调递增”．能说明命题p为假命题的一个函数是_____________． 11．已知函数f(x)＝x|x－4|. (1)把f(x)写成分段函数，并在平面直角坐标系内画出函数f(x)的大致图象； (2)写出函数f(x)的单调递减区间． 12．已知函数f(x)＝a－. (1)求f(0)的值； (2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论． 13．(多选)(2024·扬州调研)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)>0，g(x)>0，f(x)是减函数，g(x)是增函数，则下列说法正确的有(　　) A．g(x)＋f(x)是增函数 B．f(x)－g(x)是减函数 C．f(x)g(x)是增函数 D.是减函数 14．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)对于任意的x，y∈(0，＋∞)，总有f(x)＋f(y)＝f(xy)，当x＞1时，f(x)＜0. (1)求f(1)的值； (2)判断函数在(0，＋∞)上的单调性，并证明． 第 54 页 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届高考数学一轮复习讲义 课件——函数之单调性与最大（小）值 知识梳理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义   增函数 减函数 定义   一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 当x1＜x2时，都有_____________，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1＜x2时，都有____________，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 f(x1)＜f(x2) f(x1)＞f(x2) 3   增函数 减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上__________或__________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，________叫做y＝f(x)的单调区间. 单调递增 单调递减 区间D 4 2.函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I，都有__________； (2)∃x0∈I，使得__________ (3)∀x∈I，都有___________； (4)∃x0∈I，使得_________ 结论 M为最大值 M为最小值 f(x)≤M f(x0)＝M f(x)≥M f(x0)＝M 5 常用结论 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) × × × √ 解析　(1)错误，应对任意的x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)成立才可以. (2)错误，反例：f(x)＝x在[1，＋∞)上为增函数，但f(x)＝x的单调递增区间是(－∞，＋∞). (3)错误，此单调区间不能用“∪”连接，故单调递减区间为(－∞,0)和(0，＋∞). [2，＋∞) 解析　由题意可知x2－2x≥0， 解得x≤0或x≥2， 所以函数f(x)的定义域为(－∞，0]∪[2，＋∞)， 所以f(x)的单调递增区间是[2，＋∞). 2 4.函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f(a＋1)＜f(2a)，则实数a的取值范围是____________. [－1，1) 考点一　函数单调性的判断 例1 (1)(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) AC 解析　∵y＝ex与y＝－e－x为R上的增函数， ∴y＝ex－e－x为R上的增函数，故A正确； 由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确； 对于C，y′＝2－2sin x≥0， ∴y＝2x＋2cos x在(0，＋∞)上单调递增，故C正确； (－∞，0)，(1，＋∞) 该函数图象如图所示， 其单调递增区间是(－∞，0)，(1，＋∞). 方法总结 1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. 2.(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法. (2)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 易错警示　函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”连接，不要用“∪”. B 解析　y＝x2在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故A错误； y＝x在R上为增函数，故B正确； (－∞，－6] 解得x≤－6或x≥4， 又由t＝x2＋2x－24在(－∞，－6]上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增， 结合复合函数的单调性的判定方法， 考点二　利用定义证明函数的单调性 例2 设f(x)是定义在R上的函数，∀m，n∈R，f(m＋n)＝f(m)·f(n)(f(m)≠0，f(n)≠0)，且当x>0时，0<f(x)<1.求证： (1)f(0)＝1； 证明　根据题意，令m＝0， 可得f(0＋n)＝f(0)·f(n). ∵f(n)≠0， ∴f(0)＝1. (2)x∈R时，恒有f(x)>0； 证明　由题意知x>0时，0<f(x)<1； 当x＝0时，f(0)＝1>0； 当x<0时，－x>0， ∴0<f(－x)<1. ∵f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)， ∴f(x)·f(－x)＝1， 故x∈R时，恒有f(x)>0. (3)f(x)在R上是减函数. 证明　任取x1，x2∈R，且x1<x2， 则f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]， ∴f(x2)－f(x1)＝f[x1＋(x2－x1)]－f(x1)＝f(x1)·f(x2－x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]. 由(2)知f(x1)>0， 又x2－x1>0， ∴0<f(x2－x1)<1， 故f(x2)－f(x1)<0， 故f(x)在R上是减函数. 方法总结 由于－1＜x1＜x2＜1， 所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0， 故当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0， 即f(x1)＞f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0， 即f(x1)＜f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递增. 当a＞0时，f′(x)＜0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a＜0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增. 考点三　由单调性求参数的取值范围 B 方法总结 利用单调性求参数的取值(范围)，根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值. 训练3 (1)(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A.(－∞，－2] B.[－2，0) C.(0，2] D.[2，＋∞) D 解析　由题意得y＝x(x－a)在区间(0，1)上单调递减， [1，2) ∵f(x)在(a，＋∞)上单调递增， 习题演练 AC 对于C，当x>1时，f(x)＝|x＋2|＝x＋2是增函数，C符合题意； 对于D，f(x)＝3－x在(1，＋∞)上是减函数，D不符合题意. 2.(多选)定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则下列关于函数f(x)的说法中正确的是(　　 ) ABD 解析　由图可知，f(x)在区间[－5，－3]上单调递增，A正确； f(x)在区间[1，4]上单调递增，B正确； f(x)在区间[－3,1],[4,5]上单调递减，单调区间不可以用“∪”连接，C错误； f(x)在区间[－5，5]上不单调，D正确. A.f(x)在区间[－5，－3]上单调递增 B.f(x)在区间[1，4]上单调递增 C.f(x)在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减 D.f(x)在区间[－5，5]上不单调 CD 解得－1≤x≤3，即定义域为[－1，3]， 考虑函数y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4在[－1，3]上有最大值4，最小值0. 在区间[－1，1]上单调递增，在区间(1，3]上单调递减. 4.已知函数f(x)＝ax＋1在R上单调递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的单调递增区间为(　　) A.(－2，＋∞) B.(2，＋∞) C.(－∞，2) D.(－∞，－2) C 解析　由函数f(x)＝ax＋1在R上单调递减，可知a<0. ∴g(x)＝a(x2－4x＋3)的图象开口向下，对称轴为直线x＝2， ∴g(x)在(－∞，2)上单调递增.故选C. D A 解析　因为函数f(x)＝x2－4x＋2图象的对称轴为直线x＝2， 所以函数y＝f(x)在区间(－∞，2]上是减函数， CD ①③④ 解析　由题意，知f(x)在(0，＋∞)上为增函数，①③④在(0，＋∞)上均为增函数. 9.已知函数f(x)＝|x＋a|在区间(－∞，－1)上是单调函数，则实数a的取值范围是__________. (－∞，1] 解析　作出f(x)的图象如图所示， 由图可知－a≥－1， 即a≤1. 10.已知命题p：“若f(x)<f(4)对任意的x∈(0，4)都成立，则f(x)在(0，4)上单调递增”.能说明命题p为假命题的一个函数是________________________ ________________________________________. 解析　由题意知，f(x)＝(x－1)2，x∈(0，4)， 则函数f(x)的图象在(0，4)上先单调递减再单调递增， 当x＝1时，函数值最小，且f(x)<f(4)，满足题意， 所以函数f(x)＝(x－1)2，x∈(0，4)可以说明命题p为假命题. 11.已知函数f(x)＝x|x－4|. (1)把f(x)写成分段函数，并在平面直角坐标系内画出函数f(x)的大致图象； 函数图象如图所示. (2)写出函数f(x)的单调递减区间. 解　由(1)中函数的图象可知，函数f(x)的单调递减区间为(2，4). (2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论. 解　f(x)在R上单调递增.证明如下： ∵f(x)的定义域为R， ∴任取x1，x2∈R，且x1<x2， ∵y＝2x在R上单调递增且x1<x2，∴0<2x1<2x2， ∴2x1－2x2<0，2x1＋1>0，2x2＋1>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在R上单调递增. BD 故g(x)＋f(x)不一定为增函数，A错误； 而f(x)g(x)＝1不是增函数，C错误； 对于B，因为g(x)是增函数， 所以－g(x)为减函数. 又f(x)是减函数，所以f(x)－g(x)＝f(x)＋(－g(x))为减函数，B正确； 对于D，因为g(x)是增函数，且g(x)>0， 又f(x)>0，且f(x)为减函数， 14.定义在(0，＋∞)上的函数f(x)对于任意的x，y∈(0，＋∞)，总有f(x)＋f(y)＝f(xy)，当x＞1时，f(x)＜0. (1)求f(1)的值； 解　令x＝y＝1， 得f(1)＋f(1)＝f(1)， 所以f(1)＝0. (2)判断函数在(0，＋∞)上的单调性，并证明. 解　f(x)在(0，＋∞)上单调递减， 证明如下： 设x1＞x2＞0，令xy＝x1，x＝x2， 所以f(x1)＜f(x2)， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减. 1.有关单调性的常用结论 在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数. 2.函数y＝f(x)(f(x)≠0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝eq \f(1,f（x）)的单调性相反. (1)对于函数y＝f(x)，若f(1)<f(3)，则f(x)为增函数.(　　) (2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).(　　) (3)函数y＝eq \f(1,x)的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(　　) (4)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，则函数f(x)在区间D上是增函数.(　　) 2.(必修一P86T7改编)函数f(x)＝eq \r(x2－2x)的单调递增区间是____________. 设y＝eq \r(u)，u＝x2－2x，二次函数u＝x2－2x的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，1)， 3.(必修一P81例5改编)函数f(x)＝eq \f(2,x－1)(x∈[2，6])，则f(x)的最小值为________，最大值为________. 解析　由于f(x)＝eq \f(2,x－1)在[2，6]上单调递减， 故f(x)的最大值为f(2)＝2，最小值为f(6)＝eq \f(2,5). 解析　由条件知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2≤a＋1≤2，,－2≤2a≤2，,a＋1＞2a，))解得－1≤a＜1. A.y＝ex－e－x B.y＝|x2－2x| C.y＝2x＋2cos x D.y＝eq \r(x2＋x－2) y＝eq \r(x2＋x－2)的定义域为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，故D不正确. (2)设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递增区间是___________________. 解析　由题意知g(x)＝ 训练1 (1)下列函数在R上为增函数的是(　 ) A.y＝x2 B.y＝x C.y＝－eq \r(x) D.y＝eq \f(1,x) y＝－eq \r(x)在[0，＋∞)上单调递减，故C错误； y＝eq \f(1,x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减，故D错误. (2)函数y＝eq \r(x2＋2x－24)的单调递减区间是____________. 解析　由题意，要使函数y＝eq \r(x2＋2x－24)有意义，需满足x2＋2x－24≥0， 可得函数y＝eq \r(x2＋2x－24)的单调递减区间是(－∞，－6]. ∴f(x)＝>0. 1.若给出的是“和型”(f(x＋y)＝…)抽象函数，判定符号时一般变形为f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)，f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f[(x1－x2)＋x2]. 2.若给出的是“积型”(f(xy)＝…)抽象函数，判定符号时的一般变形为f(x2)－f(x1)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1·\f(x2,x1)))－f(x1)，f(x2)－f(x1)＝f(x2)－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2·\f(x1,x2))). 训练2 试讨论函数f(x)＝eq \f(ax,x－1)(a≠0)在(－1，1)上的单调性. 解　法一　设－1＜x1＜x2＜1，f(x)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－1＋1,x－1)))＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x－1)))， 则f(x1)－f(x2)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x1－1)))－aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x2－1)))＝eq \f(a（x2－x1）,（x1－1）（x2－1）)， 法二　f′(x)＝eq \f(（ax）′（x－1）－ax（x－1）′,（x－1）2)＝eq \f(a（x－1）－ax,（x－1）2)＝－eq \f(a,（x－1）2). 所以实数a的取值范围是. 例3 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2ax，x≥1，,ax－1，x<1))是R上的增函数，则实数a的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3))) C.(0，1) D.(0，1] 解析　因为函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2ax，x≥1，,ax－1，x<1))是定义在R上的增函数， 所以解得0<a≤， 所以x＝≥1，解得a≥2，故选D. (2)若函数f(x)＝eq \f(x＋a－3,x－1)在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________. 解析　f(x)＝eq \f(x＋a－3,x－1)＝eq \f(x－1＋a－2,x－1)＝1＋eq \f(a－2,x－1)， ∴解得1≤a<2. 1.(多选)下列四个函数中，在(1，＋∞)上为增函数的是(　　) A.f(x)＝－eq \f(3,x＋1) B.f(x)＝x2－3x C.f(x)＝|x＋2| D.f(x)＝3－x 解析　对于A，由复合函数单调性得f(x)＝－eq \f(3,x＋1)在(1，＋∞)上为增函数，A符合题意； 对于B，f(x)＝x2－3x图象的对称轴为直线x＝eq \f(3,2)，所以该函数在(1，＋∞)上是先减后增，B不符合题意； 3.(多选)下列关于函数f(x)＝eq \r(－x2＋2x＋3)的结论正确的是(　　) A.定义域、值域分别是[－1，3]和[0，＋∞) B.单调递增区间是(－∞，1] C.定义域、值域分别是[－1，3]和[0，2] D.单调递增区间是[－1，1] 解析　f(x)＝eq \r(－x2＋2x＋3)，则定义域满足－x2＋2x＋3≥0， 故f(x)＝eq \r(－x2＋2x＋3)的值域为[0，2]，在区间[－1，1]上单调递增，在区间(1，3]上单调递减. 5.已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2，x≥t，,x，0<x<t))(t>0)是区间(0，＋∞)上的增函数，则实数t的取值范围是(　　) A.{1} B.(0，＋∞) C.(1，＋∞) D.[1，＋∞) 解析　∵f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2，x≥t，,x，0<x<t))(t>0)是区间(0，＋∞)上的增函数，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t2≥t，,t>0，))∴t≥1. 6.如果函数y＝f(x)在区间I上是减函数，且函数y＝eq \f(f（x）,x)在区间I上是增函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“可变函数”，区间I叫作“可变区间”.若函数f(x)＝x2－4x＋2是区间I上的“可变函数”，则“可变区间”I为(　　) A.(－∞，－eq \r(2)]和[eq \r(2)，2] 　 B.[eq \r(2)，2] C.(0，eq \r(2)] 　 D.[1，eq \r(3)] 又当x≤2且x≠0时，eq \f(f（x）,x)＝x＋eq \f(2,x)－4，令g(x)＝x＋eq \f(2,x)－4(x≤2且x≠0)， 则g(x)在(－∞，－eq \r(2)]和[eq \r(2)，2]上单调递增，故f(x)的“可变区间”I为(－∞，－eq \r(2)]和[eq \r(2)，2]. 即0<a≤1且eq \f(2b,a)>3，据此分析选项C，D符合. 7.(多选)已知函数f(x)＝eq \f(bx＋3,ax＋2)在区间(－2，＋∞)上单调递增，则a，b的取值可以是(　　) A.a＝－1，b＝2 B.a＝2，b＝1 C.a＝1，b>eq \f(3,2) D.0<a≤1，b＝2 解析　根据题意，f(x)＝eq \f(bx＋3,ax＋2)＝eq \f(\f(b,a)（ax＋2）＋3－\f(2b,a),ax＋2)＝eq \f(3－\f(2b,a),ax＋2)＋eq \f(b,a)，其定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(2,a))). 若函数f(x)＝eq \f(bx＋3,ax＋2)在区间(－2，＋∞)上单调递增，必有－eq \f(2,a)≤－2，3－eq \f(2b,a)<0， 8.下列函数中满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0”的是________(填序号). ①f(x)＝－eq \f(2,x)；②f(x)＝－3x＋1；③f(x)＝x2＋4x＋3；④f(x)＝x－eq \f(1,x). f(x)＝(x－1)2，x∈(0，4)(答案不唯一，如f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x，0<x<4，,1，x＝4，))只要满足题意即可) 解　f(x)＝x|x－4|＝ 12.已知函数f(x)＝a－eq \f(2,2x＋1). (1)求f(0)的值； 解　f(0)＝a－＝a－1. 则f(x1)－f(x2)＝a－eq \f(2,2x1＋1)－a＋eq \f(2,2x2＋1)＝eq \f(2（2x1－2x2）,（1＋2x1）（1＋2x2）). 13.(多选)(2024·扬州调研)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)>0，g(x)>0，f(x)是减函数，g(x)是增函数，则下列说法正确的有(　　) A.g(x)＋f(x)是增函数 B.f(x)－g(x)是减函数 C.f(x)g(x)是增函数 D.eq \f(f（x）,g（x）)是减函数 解析　对于A，若g(x)＝2x，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)， 则g(1)＋f(1)＝，g(－1)＋f(－1)＝， 所以>0且单调递减. 所以eq \f(f（x）,g（x）)＝f(x)×eq \f(1,g（x）)为减函数，D正确. 则y＝，所以y＞1，f(y)＜0， 由已知得f(x2)＋f＝f(x1)， 即f(x1)－f(x2)＝f＜0， $$