1.1.6 第1课时 两点间的距离公式-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

1.6　平面直角坐标系中的距离公式 第1课时　两点间的距离公式 [学习目标] 知识层面 1．探索并掌握平面上两点间的距离公式．　2．会利用两点间的距离公式解决一些相关的问题. 素养层面 通过对两点间距离的学习，提升逻辑推理、数学运算、直观想象素养. 问题1　已知数轴上两点A，B，如何求A，B两点间的距离？ 提示：|AB|＝|xB－xA|. 问题2　已知平面内两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求这两点间的距离？ 提示：(1)当AB与x轴平行时，|AB|＝|x2－x1|； (2)当AB与y轴平行时，|AB|＝|y2－y1|； (3)当AB与坐标轴不平行时，如图，在Rt△ABC中，|AB|2＝|BC|2＋|AC|2， 所以|AB|＝. 1．点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式|AB|＝． 2．两点间距离的特殊情况 (1)原点O(0，0)与任一点A(x，y)间的距离|OA|＝． (2)当AB∥x轴(y1＝y2)时，|AB|＝|x2－x1|． (3)当AB∥y轴(x1＝x2)时，|AB|＝|y2－y1|． [微提醒]　(1)此公式与两点的先后顺序无关．(2)用向量知识分析，|AB|可以理解为向量的模长．也可以理解为向量分别在x轴和y轴上的投影数量的绝对值，分别为|AC|＝|x2－x1|，|CB|＝|y2－y1|.再由勾股定理求|AB|. (链教材P22例22)已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状． 解：法一：因为|AB|＝＝2， |AC|＝＝2， |BC|＝＝2， 所以|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， 所以△ABC是等腰直角三角形． 法二：因为kAC＝＝，kAB＝＝－， 所以kAC·kAB＝－1， 所以AC⊥AB. 又|AC|＝＝2，|AB|＝＝2， 所以|AC|＝|AB|. 所以△ABC是等腰直角三角形． 规律方法 计算两点间的距离的方法 1．对于任意两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，则|AB|＝. 2．对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况|y2－y1|或|x2－x1|求解． 对点练1． 已知A(－1，2)，B(2，)，在x轴上求一点C，使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形，并求|CA|的值． 解：设所求的点为C(x，0)，于是有 |AC|＝＝， |BC|＝＝， 由|AC|＝|BC|，得x＝1， 所以所求点为C(1，0)， 且|CA|＝＝2. 学生用书第21页 应用一　由两点间的距离求参数的值 若点M到x轴和到点N(－4，2)的距离都等于10，则点M的坐标为 ． 答案：(2，10)或(－10，10) 解析：由点M到x轴的距离等于10可知，其纵坐标为±10.设点M的坐标为(xM，±10)．由两点间的距离公式，得|MN|＝＝10或|MN|＝＝10，解得xM＝－10或xM＝2，所以点M的坐标为(2，10)或(－10，10)． [变式探究] (变条件)将本例中“点M到x轴”改为“点M到y轴”，其他条件不变，求点M的坐标． 解：由点M到y轴的距离等于10可知，其横坐标为±10. 设点M的坐标为(±10，yM)， 由两点间的距离公式得 |MN|＝＝10， 或|MN|＝＝10， 解得yM＝－6或10. 所以点M的坐标为(－10，－6)或(－10，10)． 规律方法 根据两点间的距离公式得到所求参数的方程，注意含有根号需要平方，方能求解． 对点练2．已知A(a，3)，B(3，3a＋3)的距离为5，求a的值． 解：|AB|＝＝＝5， 即(a－3)2＋(3a)2＝25， 即5a2－3a－8＝0， 解得a＝－1，或a＝， 因此a的值为－1或. 应用二　由两点间的距离求直线方程 已知直线l过点P(3，1)，且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程． 解：设直线l与直线l1，l2分别交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则两式相减， 得(x1－x2)＋(y1－y2)＝5.① 由已知及两点间的距离公式，得 (x1－x2)2＋(y1－y2)2＝25.② 由①②解得或 又点A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线l上， 因此直线l的斜率为0或不存在．因为直线l过点P(3，1)， 所以直线l的方程为y＝1，或x＝3. 　　规律方法 从交点坐标入手，采用“设而不求”“整体代入”或“整体消元”的思想方法可以优化解题过程．这些解题思想方法在解析几何中经常用到，是需要掌握的技能．另外，灵活运用图形的几何性质，如对称、线段垂直平分线的性质等，同样是很重要的． 对点练3．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l：y＝kx＋1上的两点，若|x2－x1|＝3，且|AB|＝6，求直线l的方程． 解：由题意可知y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1， 所以y1－y2＝k(x1－x2)， 因为|x2－x1|＝3，所以(x2－x1)2＝9， 所以(y2－y1)2＝k2(x1－x2)2＝9k2， 因为|AB|＝ ＝＝6， 所以k2＝3，解得k＝±， 故直线l的方程为y＝x＋1，或y＝－x＋1. 知识 两点间的距离公式 方法 待定系数法、坐标法、设而不求、整体代入、整体消元 易错误区 已知距离求参数问题易漏解 1．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为(　　) A．1 B．－5 C．1或－5 D．－1或5 答案：C 解析：因为|AB|＝＝5，所以a2＋4a－5＝0，解得a＝1，或－5.故选C. 2．△ABC三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)，B(2，2)，C(4，－2)，则AB边上的中线长为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：AB的中点D的坐标为D(－1，－1)，所以|CD|＝＝.故选A. 3．已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，则的值为(　　) A． B． C．3 D．2 答案：D 解析：由两点间的距离公式，得|AC|＝＝4，|CB|＝＝2，故＝＝2.故选D. 4．在平面直角坐标系xOy中，已知A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)，平面内的点P满足|PA|＝|PB|＝|PC|，则点P的坐标为 ． 答案：(3，1) 解析：设点P的坐标为(x，y)，由可得解得因此点P的坐标为(3，1)． 课时测评7　两点间的距离公式 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．已知三角形的三个顶点A(2，4)，B(3，－6)，C(5，2)，则过点A的中线长为(　　) A． B．2 C．11 D．3 答案：B 解析：设BC的中点为D，由B(3，－6)，C(5，2)，得D的坐标为(4，－2)，则|AD|＝＝2.故选B. 2．在直线2x－3y＋5＝0上求一点P，使点P到点A(2，3)的距离为，则点P的坐标是(　　) A．(5，5) B．(－1，1) C．(5，5)或(－1，1) D．(5，5)或(1，－1) 答案：C 解析：设点P(x，y)，则y＝.由|PA|＝，得(x－2)2＋＝13，即(x－2)2＝9，解得x＝－1，或x＝5.当x＝－1时，y＝1；当x＝5时，y＝5，所以P(－1，1)或(5，5)．故选C. 3．(多选题)对于，下列说法正确的是(　　) A．可看作点(x，0)与点(1，2)的距离 B．可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离 C．可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离 D．可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离 答案：BCD 解析：由题意，可得＝＝＝，可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离，可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离，故A不正确．故选BCD. 4．已知△ABC的顶点A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，则△ABC的周长是(　　) A．2 B．3＋2 C．6＋3 D．6＋ 答案：C 解析：由两点间的距离公式及题意得|AB|＝＝3，|BC|＝＝3，|CA|＝＝3.从而△ABC的周长为3＋3＋3＝6＋3.故选C. 5．两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|的值为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)，直线(2a－1)x＋5ay－1＝0过定点B，由两点间的距离公式，得|AB|＝.故选C. 6．已知A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：C 解析：因为A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，所以|AB|＝ ＝＝＝，所以当a＝时，|AB|取得最小值．故选C. 7．过点A(a，4)和点B(b，2)的直线与直线x＋y＋m＝0垂直，则|AB|＝ ． 答案：2 解析：因为过点A(a，4)和点B(b，2)的直线与直线x＋y＋m＝0垂直，所以kAB＝＝1，即a－b＝2，所以|AB|＝＝＝2. 8．在x轴上找一点Q，使点Q与A(5，12)间的距离为13，则点Q的坐标为 ． 答案：(10，0)或(0，0) 解析：设Q(x0，0)，则有13＝，得x0＝0，或x0＝10，即点Q的坐标为(10，0)或(0，0)． 9．点P在直线l：x－y＋4＝0上，且到点M(－2，－4)，N(4，6)的距离相等，则点P的坐标为 ；经过点P且垂直于l的直线方程为 ． 答案：　x＋y－1＝0 解析：设P点的坐标是(a，a＋4)，由题意可知|PM|＝|PN|，即＝，解得a＝－，故P点的坐标是.所以经过点P且垂直于l的直线方程为y－＝－，即x＋y－1＝0. 10．(12分)已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使|AB|＝5，求直线l的方程． 解：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 y＋1＝k(x－1)， 解方程组得 即B. 由|AB|＝ ＝5， 解得k＝－， 所以直线l的方程为y＋1＝－(x－1)， 即3x＋4y＋1＝0. 当过A点的直线的斜率不存在时，方程为x＝1. 此时，与l1的交点为(1，4)，也满足题意． 综上所述，直线l的方程为3x＋4y＋1＝0，或x＝1. (11，12每小题5分，共10分) 11．已知x，y∈R，S＝＋，则S的最小值是(　　) A．0 B．2 C．4 D． 答案：B 解析：S＝＋可以看作是点(x，y)到点(－1，0)与点(1，0)的距离之和，数形结合(图略)易知最小值为2. 故选B. 12．(多选题)直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标是(　　) A．(－4，5) B．(－1，2) C．(－3，4) D．(4，5) 答案：BC 解析：设所求点的坐标为(x0，y0)，则x0＋y0－1＝0，且＝，两式联立解得或故选BC. 13．(13分)已知AO是△ABC的边BC的中线，用坐标法证明|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)． 证明：取BC边所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设A(m，n)，B(－a，0)，C(a，0)(其中a＞0)，则 |AB|2＋|AC|2＝(m＋a)2＋n2＋(m－a)2＋n2＝2(m2＋n2＋a2)， |AO|2＋|OC|2＝m2＋n2＋a2， 所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)． 14．(5分)在平面直角坐标系内有四点A(－1，0)，B(2，1)，C(1，5)，D(－2，2)，P为该平面内的动点，则P到A，B，C，D四点的距离之和的最小值为(　　) A．10 B．＋ C．14 D．＋ 答案：D 解析：依题意可知，四点A(－1，0)，B(2，1)，C(1，5)，D(－2，2)构成一个四边形ABCD，因为|PA|＋|PC|≥|AC|，当且仅当P在对角线AC上时取得等号，因为|PB|＋|PD|≥|BD|，当且仅当P在对角线BD上时取得等号，所以|PA|＋|PC|＋|PB|＋|PD|≥|AC|＋|BD|＝＋＝＋，当且仅当P为两条对角线的交点时取得等号．故P到A，B，C，D四点的距离之和的最小值为＋. 故选D. 15．(15分)已知A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)，试求点D的坐标，使四边形ABCD为等腰梯形． 解：设所求点D坐标为(x，y)． ①若AB∥CD，|BC|＝|AD|，则 解得或 当时，经验证|AB|≠|CD|，符合题意； 当时，|AB|＝＝4，|CD|＝＝4，|AB|＝|CD|，不符合题意，舍去． ②若AD∥BC，|AB|＝|CD|， 则 解得或 当时，经验证|AD|≠|BC|，符合题意； 当时，|AD|＝＝，|BC| ＝＝，|AD|＝|BC|，不符合题意，舍去． 综上，所求点D的坐标为(－2，3)，或. 学生用书第22页 学科网（北京）股份有限公司 $$