第二十七章 相似（单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（人教版）

第二十七章 相似（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．地图上淮北到合肥的距离为2.4厘米．比例尺是，那么淮北到合肥的实际距离是（  ） A．2400米 B．24000米 C．240000米 D．2400000米 【答案】C 【分析】本题考查了比例尺．根据比例尺图上距离实际距离进行计算． 【详解】解：根据题意，淮北到合肥的实际距离厘米， 厘米米， 淮北到合肥的实际距离是240000米， 故选：C． 2．若四条线段，，，成比例，其中，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例线段，掌握如果四条线段，，，满足，则四条线段，，，称为比例线段是解题关键．根据比例线段的定义得出，再代入数据求解即可． 【详解】解：∵线段，，，成比例， ∴，即， 解得：． 故选B． 3．“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为，四个黄金分割点组成的正方形的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割的比例线段．根据黄金分割的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图，是线段的两个黄金分割点， 线段的长为， ， ， ， 四个黄金分割点组成的正方形的边长为． 故选：B． 4．如图，，分别交，，于点，，，分别交，，于点，，，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，先由，根据平行线分线段成比例可得，再把、、的值代入可以求出，根据计算求值即可． 【详解】解：如下图所示， ， ， ，，， ， 解得：， ， 故选C． 5．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．根据相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，逐项判断即可． 【详解】解：， A、由两个三角形的两个对应角相等可得，故不符合题意； B、不符合两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，无法判定，故符合题意； C、由两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等可得，故不符合题意； D、由两个三角形的两个对应角相等可得，故不符合题意； 故选：B． 6．如图1是《九章算术》中记载的“测井深”示意图，译文指出：“如图2，今有井直径为5尺，不知其深，立5尺长的木于井上，从木的末端E点观察井水水岸A处，测得“入径”为4寸，问井深是多少？（其中1尺寸）”根据译文信息，则井深为（　　） A．500寸 B．525寸 C．50寸 D．575寸 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，根据相似三角形的性质，构建方程求解即可． 【详解】解：5尺寸， 设尺． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 经检验：是分式方程的解． ∴（寸）． 故选：D． 7．如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投射到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，胶片与屏幕的距离为定值，设点光源到胶片的距离长为x（单位：），长为y（单位：），y随x的变化而变化，且当时，，则y与x的函数关系可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为光源与胶片组成的三角形与光源与投影后的图象组成的三角形相似，所以可用相似三角形的相似比解答；将的值代入解析式，即可求得函数解析式； 本题考查的是相似三角形的运用，求函数的解析式，解答此题的关键是找出相似三角形，利用三角形对应高线的比等于相似比解答． 【详解】解： ， ∴ ， ， ， 解得， ∵， ， ； 故选：C． 8．如图，在中，，，D为上一点，且，在上取一点E，若以A、D、E为顶点的三角形与相似，则的长为（　　） A．8 B． C．8或 D．8或 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，本题应分两种情况进行讨论，①；②；可根据各相似三角形得出比例关系式求出的长即可． 【详解】解：当时，如图1， ， ，，， ， ， ； 当时，如图2， ， ，，， ， ． 综上，的长为8或． 故选：C． 9．如图，是面积为的等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 先证明，得到，根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：矩形所截， ∴， ∵ ∴ ∴， 又∵被截成三等份， ∴ ∴，， ∵， ∴，， 则． 故选：C． 10．如图，四边形是边长为2的正方形，点为线段上的动点，为的中点，射线交的延长线于点，过点作的垂线交于点、交的延长线于点，则以下结论：①；②；③当点与点重合时；④当时，；⑤当点和点重合时，，成立的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据正方形的性质得到，则，再由垂线的定义和平角的定义得到，则，再由，即可证明，故①正确；根据，，可判断②；证明，得到，再证明，设，则，则，，由勾股定理得，解得：，则，故③正确；求出，得到，证明是等腰直角三角形，得到，，则，，同理可得，利用勾股定理，则，故④正确；同理可证明，得到，则；证明，求出，，再证明，求出，则，故⑤错误； 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵，， ∴，故②正确； 当点F与点C重合时，如图2， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴， ∴，故③正确； 如图3所示， ∵，即P是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， 同理可得， ∴， ∴，故④正确； 当点P与点B重合时， 同理可证明， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤错误； ∴正确的有4个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，根据题意画出对应的示意图是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质得到是解题的关键． 根据比例的性质，由，得到到，再代入计算即可求解． 【详解】解：已知， ∴， ∴， ∵， ∴原式， 故答案为： ． 12．如图，在中， 分别是边和上的点，且，请你添加一个条件，使得与相似，你添加的条件是 （任填一个）． 【答案】或或（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定，理解图示，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据图示，与有一个公共角，结合相似三角形的判定方法进行推理即可求解． 【详解】解：在中， 分别是边和上的点，且， ∴， 添加条件：， ∴两角对应相等，两三角形相似，即； 添加条件：， ∴两角对应相等，两三角形相似，即； 添加条件：， ∴两边对应成比例，其夹角相等的两个三角形相似，即； 综上所述，添加条件为：或或， 故答案为：或或（答案不唯一） ． 13．如图，与是以原点O为位似中心的位似图形，点的坐标为，点A的坐标为，则相似比为 ． 【答案】 【分析】先由勾股定理算出，，再结合位似的性质进行列式代入数值，进行计算即可作答．本题考查位似变换，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵点的坐标为，点A的坐标为， ∴，， ∵与是以原点为位似中心的位似图形， ∴， ∴相似比为， 故答案为：． 14．宁霞做测量阳光下旗杆长度的试验时发现学校的旗杆是在一个台座上的（如图所示）．经测量旗杆底部点到台座边缘的距离为1，每级台阶高，阶面长，旗杆落在水平地面上的影长，此时，竖直放在水平地面上1长的测杆的影长为，则学校的旗杆高度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键． 如图，记延长线的交点为，由题意知，，，则，依题意得，，即，可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，记延长线的交点为， 由题意知，，， ∴， ∵竖直放在水平地面上1长的测杆的影长为， ∴，即， 解得，， ∴， 故答案为：． 15．如图，已知，若，，则 . 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质； 根据，可得，，根据，，即可求解； 【详解】解：由， 可得，， 故，， 故， 即， 解得 故答案为： 16．如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；…按照此规律作下去．若矩形的面积记作，矩形的面积记，矩形的面积记作，…，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，解题的关键是找出规律． 根据已知和矩形的性质可分别求得，再利用相似多边形的性质可发现规律． 【详解】四边形是矩形， ， ， 按逆时针方向作矩形的相似矩形， 矩形的边长和矩形的边长的比为， 矩形的面积和矩形的面积的比，    ， ， ， 故答案为：. 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．如图，小明和爸爸二人配合测量小区内一棵树的高度．小明在距离树的处，看树的顶端的视线为，原地再看爸爸的头部，视线为，爸爸经过移动调整位置，当时爸爸停止移动，这时测得．已知点，，在地平面的一条直线上，树和二人都垂直于这条直线，小明的眼睛到地面的距离，爸爸的身高，求树的高度． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质与判定，过点作于点，延长交于点，则，先证明四边形和四边形是矩形，得到，，，再证明，可得，求得，进而可求得即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点，则， ，，， 四边形，四边形是矩形． ，，， ， ， ， ， ，即， 解得，经检验符合题意． ， 答：树的高度为． 18．如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理并找准对应线段是解题的关键． （1）由平行线分线段成比例定理得到，代入已知线段长度即可得到的长； （2）由平行线分线段成比例定理得到，由得到，即，即可得到的长， 【详解】（1）解：∵，，，， ， 即， 解得：； （2）解：∵，， ， 即， 解得：． 19．一个矩形的较短边长为2． (1)如图1，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求的长； (2)如图2，已知矩形的另一边长为4，剪去一个矩形后，余下的矩形与原矩形相似，求矩形的面积． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据题意可得，，根据相似多边形的性质得，据此代值计算即可； （2）根据相似多边形的性质得，然后利用比例性质求出，再利用矩形面积公式计算矩形的面积． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似， ∴矩形与矩形相似， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：∵矩形与原矩形相似， ∴， ∵，， ∴， ∴矩形的面积． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，解决本题的关键是掌握如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比． 20．如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，比的利用等知识．熟练掌握相似三角形的判定是解此题的关键． （1）首先得到，然后结合即可证明； （2）由已知条件可得出，，根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，，进一步即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴． （2）解：，，，， ∴，， ∴，， 根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，， ∴， ∴ 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．如图，点在的边上，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练应用相似三角形的判定与性质，正确推出比例线段是解题关键． （1）根据两角对应相等证明； （2）根据（1）的结论推，把有关线段的值代入计算即可． 【详解】（1）证明： ； （2）解：， ， ，， ， ， ． 22．如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，． (1)以原点为位似中心，在轴左侧将放大到原来的倍，并画出放大后的； (2)分别写出，两点的对应点，的坐标； (3)若点在的内部，请直接写出经过（）的变化后，对应点的坐标是_________． 【答案】(1)见解析； (2)的坐标为，点的坐标为； (3)． 【分析】（）根据位似图形的性质和位似比作图即可，； （2）由（1）中图形即可写出，的坐标； （3）利用位似比及点的坐标即可求解； 本题考查了作位似图形，坐标与图形，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：由图可得点的坐标为，点的坐标为； （3）解：∵内部有一点，位似比为， ∴其对应点的坐标为， 故答案为：． 23．如图，在中，，是边上的中线，过点作的平行线，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)当满足________时，四边形是正方形．请说明理由； (3)连接交于，若，则________．（请直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2)当满足是等腰直角三角形时，四边形是正方形，理由见解析 (3) 【分析】（1）由直角三角形的性质可得，推出，结合得出四边形是平行四边形，再结合即可得证； （2）由等腰直角三角形的性质可得，即，即可得证； （3）由直角三角形的性质可得，由（1）可得：四边形是菱形，得出，，进而得出，由相似三角形的性质可得，推出，即可得解． 【详解】（1）证明：∵在中，，是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：当满足是等腰直角三角形时，四边形是正方形，理由如下： ∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∴菱形是正方形； （3）解：∵在中，，是边上的中线， ∴， 由（1）可得：四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、菱形的判定与性质、正方形的判定定理、等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．     (1)求抛物线的表达式． (2)若点在抛物线上，且位于第三象限． ①如图1，作轴于点，交于点．若为的中点，求点的横坐标． ②如图2，连接，，交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】(1) (2)①点的横坐标为；② 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求出，利用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，，代入直线解析式得出，求解即可；②作轴，与的延长线交于点，则，由相似三角形的性质可得，推出，由题意可得，则，设，则点的纵坐标为，代入直线得出，从而得出，表示，即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①在中，令，则，即， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∵为的中点， ∴， 将代入直线得， 整理得：； 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴点的横坐标为； ②如图，作轴，与的延长线交于点， ， 则， ∴， ∵的面积为，的面积为， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则点的纵坐标为， ∵点在直线上， ∴令，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 25．如图①，在中，，，．，垂足为．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；点同时从点出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为，连接，．解答下列问题： (1)求的长度； (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使点在线段的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)在运动过程中，是否存在某一时刻，使的面积与的面积之比是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (4)如图②，点是点关于的对称点，连接，当为何值时，？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据勾股定理可求出，再结合等积法可求出，最后再利用勾股定理求解即可； （2）由线段垂直平分线的性质可得出，即可列出关于t的等式，求解即可； （3）由三角形面积公式和面积的比可求出，过点P作于点E，即易证，得出，代入数据，即可用t表示出的长，从而可列出关于t的等式，求解即可； （4）由题意可判断点共线，过点D作交于点F，易证，，得出，．根据轴对称的性质可求出，代入数据，即可求出，再代入中，解出t的值即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． ∵， ∴，即， 解得：， ∴； （2）解：由（1）可知， ∴． 由题意可知． ∵要使点在线段的垂直平分线上， ∴即可，即， 解得：． （3）解：∵，， ∴． ∵， ∴． 如图，过点P作于点E， ∴， ∴， ∴，即， ∴． ∵， ∴， 解得：（舍），， ∴的值为； （4）解：∵， ∴点共线，如图，过点D作交于点F， ∴， ∴． ∵点是点关于的对称点， ∴，即， ∴． ∵， ∴， ∴，即， 解得：（舍），（舍）， ∴的值为． 【点睛】本题考查勾股定理，等积法的应用，线段垂直平分线的性质，三角形相似的判定和性质，轴对称的性质，一元一次方程和一元二次方程的应用．利用数形结合的思想是解题关键． 试卷第4页，共29页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十七章 相似（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．地图上淮北到合肥的距离为2.4厘米．比例尺是，那么淮北到合肥的实际距离是（  ） A．2400米 B．24000米 C．240000米 D．2400000米 2．若四条线段，，，成比例，其中，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 3．“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为，四个黄金分割点组成的正方形的边长为（　　） A． B． C． D． 4．如图，，分别交，，于点，，，分别交，，于点，，，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 6．如图1是《九章算术》中记载的“测井深”示意图，译文指出：“如图2，今有井直径为5尺，不知其深，立5尺长的木于井上，从木的末端E点观察井水水岸A处，测得“入径”为4寸，问井深是多少？（其中1尺寸）”根据译文信息，则井深为（　　） A．500寸 B．525寸 C．50寸 D．575寸 7．如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投射到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，胶片与屏幕的距离为定值，设点光源到胶片的距离长为x（单位：），长为y（单位：），y随x的变化而变化，且当时，，则y与x的函数关系可表示为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，D为上一点，且，在上取一点E，若以A、D、E为顶点的三角形与相似，则的长为（　　） A．8 B． C．8或 D．8或 9．如图，是面积为的等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 10．如图，四边形是边长为2的正方形，点为线段上的动点，为的中点，射线交的延长线于点，过点作的垂线交于点、交的延长线于点，则以下结论：①；②；③当点与点重合时；④当时，；⑤当点和点重合时，，成立的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知，且，则 ． 12．如图，在中， 分别是边和上的点，且，请你添加一个条件，使得与相似，你添加的条件是 （任填一个）． 13．如图，与是以原点O为位似中心的位似图形，点的坐标为，点A的坐标为，则相似比为 ． 14．宁霞做测量阳光下旗杆长度的试验时发现学校的旗杆是在一个台座上的（如图所示）．经测量旗杆底部点到台座边缘的距离为1，每级台阶高，阶面长，旗杆落在水平地面上的影长，此时，竖直放在水平地面上1长的测杆的影长为，则学校的旗杆高度是 ． 15．如图，已知，若，，则 . 16．如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；…按照此规律作下去．若矩形的面积记作，矩形的面积记，矩形的面积记作，…，则的值为 ． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．如图，小明和爸爸二人配合测量小区内一棵树的高度．小明在距离树的处，看树的顶端的视线为，原地再看爸爸的头部，视线为，爸爸经过移动调整位置，当时爸爸停止移动，这时测得．已知点，，在地平面的一条直线上，树和二人都垂直于这条直线，小明的眼睛到地面的距离，爸爸的身高，求树的高度． 18．如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，求的长． 19．一个矩形的较短边长为2． (1)如图1，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求的长； (2)如图2，已知矩形的另一边长为4，剪去一个矩形后，余下的矩形与原矩形相似，求矩形的面积． 20．如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．如图，点在的边上，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 22．如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，． (1)以原点为位似中心，在轴左侧将放大到原来的倍，并画出放大后的； (2)分别写出，两点的对应点，的坐标； (3)若点在的内部，请直接写出经过（）的变化后，对应点的坐标是_________． 23．如图，在中，，是边上的中线，过点作的平行线，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)当满足________时，四边形是正方形．请说明理由； (3)连接交于，若，则________．（请直接写出答案） 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．     (1)求抛物线的表达式． (2)若点在抛物线上，且位于第三象限． ①如图1，作轴于点，交于点．若为的中点，求点的横坐标． ②如图2，连接，，交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值． 25．如图①，在中，，，．，垂足为．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；点同时从点出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为，连接，．解答下列问题： (1)求的长度； (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使点在线段的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)在运动过程中，是否存在某一时刻，使的面积与的面积之比是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (4)如图②，点是点关于的对称点，连接，当为何值时，？ 试卷第4页，共29页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$