第二十七章 相似（综合题拓展训练，14考点100题）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（人教版）

第二十七章 相似三角形综合题拓展训练 目录与链接 考点一、黄金分割的应用……………………………………………………………………………2 考点二、相似多边形的应用…………………………………………………………………………7 考点三、过分点作平行线解决问题………………………………………………………………13 考点四、利用平行线分线段成比例定理解决几何问题…………………………………………22 考点五、利用平行线分线段成比例定理解决函数问题…………………………………………35 考点六、相似三角形的判定与构造………………………………………………………………47 考点七、三角形背景下的相似三角形的性质与判定的应用……………………………………58 考点八、四边形形背景下的相似三角形的性质与判定的应用…………………………………74 考点九、圆背景下的相似三角形的性质与判定的应用…………………………………………97 考点十、函数背景下的相似三角形的性质与判定的应用………………………………………110 考点十一、相似三角形的实际应用………………………………………………………………123 考点十二、应用相似三角形的性质与判定解决动点（图）问题………………………………139 考点十三、位似变换的综合应用…………………………………………………………………165 考点十四、利用相似三角形解决最值问题………………………………………………………189 考点一、黄金分割的应用 1．已知、是线段上的两个黄金分割点，其中，那么下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D． 2．宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如古希腊的帕提依庙等．如图，帕提侬神庙平面图的长约为30米，则它的宽约为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．线段上一点把线段分成两部分，如果较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与线段整体长度之比，那么该点就叫做线段的黄金分割点．主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台的长为20米，一名主持人现在站在A处，则她至少走多少米才最自然得体？（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来，后来人们将这个数称为黄金分割数．设，记，，，，则的值为（   ） A． B． C．100 D．505 5．小明同学进行探究学习以下内容：“一个点把一条线段分为两段，如果其中较长的一段与整个线段的比等于较短一段与较长一段的比，我们就说这个点是这条线段的黄金分割点，较长的一段与整个线段的比值（或较短一段与较长一段的比值）叫做黄金分割数．” 探究发现：在现实生活中，黄金分割无处不在；如图1，我国国旗上的正五角星也存在黄金分割数，如：． 问题解决： (1)如图2，已知线段AB的长为1，线段AB上的点，满足关系式．请你计算的长度，并判断的长度是否为黄金分割数． (2)如图2，若在线段上再取一个点，满足；在线段上取一点，，……以此类推，在线段上取一点满足．请你直接写出的长度． 6．线段上的一点将分割成、两段，如果的长度是与长度的比例中项，即，那么称点为线段的黄金分割点．如图，已知线段，点是线段的黄金分割点，求的长度． 考点二、相似多边形的应用 7．如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，按照此规律作下去，则边的长为（   ） A． B． C． D． 8．如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的二面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形绸布相似，则的值等于（   ） A． B． C．2 D． 9．如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠，使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为 ． 10．如图，矩形的边，点分别在边上，且四边形为正方形．若矩形与矩形相似，则的长为 ． 11．某中学有一块正方形的空地，边长为40m，学校计划将空地分为五部分，种植不同的花束．白老师利用课后延时时间将设计任务交给小明和小芳两位同学，并给两位同学每人一张边长为的正方形硬纸板模型用来设计，下面是小明和小芳的设计方案． 小明：如图1，它是由四个全等的直角三角形以及一个小正方形组成的，其中小正方形与大正方形的相似比为． 小芳：如图2，它是由四个矩形和中间一个小正方形组成的，在该图案中矩形矩形，且相似比为，中间小正方形的边长为． (1)结合小明设计的方案，解决下列问题： ①求出图中的长； ②求出每个小直角三角形部分在学校空地的实际周长是多少米？ (2)求小芳的方案中矩形的面积． 考点三、过分点作平行线解决问题 12．如图，数轴上的点A对应直尺的0刻度线，已知图中的虚线相互平行．若点A在数轴上表示的数是，则点B在数轴上表示的数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 13．如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，求的长．小明的解题过程如下： 解：过点D作，交于H，则，，，，． 下列结论正确的是（   ） A．①应填 B．①应填 C．②应填3 D．②应填 14．如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，9，则的长为（ ） A． B． C．4 D．5 15．如图，，则的值为（   ） A． B． C． D． 16．如图，中，的平分线交于点D，与的垂线相交于点E，过点D作于点F，则为（    ） A． B． C． D． 17．如图，是的中线，E是线段上的一点，且，连接并延长交于点F． (1)求的值； (2)若，求的长． 18．如图，是的中线，点M在上，连接并延长交于点N．      【填空】 （1）若，则 ； （2）若，则 ； （3）若，则 ； … 【论证】请选择上述情况中的一种，画出符合条件的图形，并证明你的结论； 【猜想】若，则 （用含n的代数式表示，不用说明理由）． 考点四、利用平行线分线段成比例定理解决几何问题 19．在中，点是的中点，以为圆心以为半径作圆．是的中点，连接，交圆于点．连接，连接并延长，交于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 20．已知在中，，，作点B关于射线的对称点D，连接，点M是线段上的动点，连接，将线段绕点M逆时针旋转的角度为，得到线段，连接交射线于点E．    (1)当，且点M与点C重合时，如图1，请补全图形，并求证：点E为的中点； (2)当，且点M不与点C、D重合时，连接，如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 21．如图，经过格点．    (1)在图1中，先画出圆心O，再画的中点P； (2)在图2中，先在上画点D，使，再在弦上画点E，使． 22．如图，由绕点A按逆时针方向旋转得到，且点B的对应点D恰好落在的延长线上，相交于点P． (1)求的度数； (2)F是延长线上的点，且． ①判断和的数量关系，并证明； ②求证：． 23．如图是由边长均为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点D为的中点．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中，在上找点，连结，使得； (2)在图②中，在上找点M，使得； (3)在图③中，在上找点F，连结，使得． 24．如图，中，，，为等边三角形，且点，，共线， (1)如图1，当点为中点时，与交于点，，求的长； (2)如图2，当点在的延长线上时，连接交于点，请用等式表示与的数量关系，并证明； (3)如图3，当点在上，，点、分别是线段、射线上的点，满足，连接，将绕点逆时针旋转得，连接、，请直接写出当为等腰三角形时的度数． 考点五、利用平行线分线段成比例定理解决函数问题 25．如图，在平面直角坐标系下如图放置，斜边AC交x轴于点E，过点A的双曲线交斜边的中点B，连接，过点C作双曲线．若，A的坐标为，则 ． 26．“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合思想的典型体现．如图，将弦图放置在以为原点的平面直角坐标系中，，分别是，轴正半轴上的动点，正方形中有如图四个全等的、、、，若是中点，连接并延长交于点，连接并延长交于，点是反比例函数（）图象上一点．    （1）若，则点的坐标为 ． （2）若点的坐标为，则 ． 27．如图，在中，轴，垂足为C，边与y轴交于点D，，反比例函数的图象经过点A． (1)求直线和反比例函数的表达式； (2)点E是反比例函数的图象上一点，若求点E的坐标． 28．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B． (1)求a，k的值； (2)直线过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，，连接． ①求的面积； ②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点为顶点的四边形是平行四边形．请求出所有符合条件的点P坐标． 29．抛物线交轴于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（1），连接，是抛物线第四象限内一点，直线交于，交轴于点，若，求点坐标； (3)如图（2），经过第四象限的直线交抛物线于点，，交轴于点，作平行四边形，连接，若轴，当点到距离的最大时，求的值． 考点六、相似三角形的判定与构造 30．已知在中，，则下列选项中阴影部分的三角形与原不相似的是（　　） A．   B．   C．   D．   31．如图，锐角的边上的高线交于点，连接，则图中图中共有相似三角形（   ） A．8对 B．7对 C．6对 D．5对 32．如图，已知、都是等边三角形，点D、E分别在、上，图中的相似三角形共有（   ）对． A．3对 B．4对 C．6对 D．7对 33．在中，，用直尺和圆规在AB上确定点D，使，根据作图痕迹判断，正确的是（ ） A． B． C． D． 34．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点上，点、、、、、、是边上的7个格点，请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与相似，符合题意的三角形共有 个． 35．如图是由小正方形组成的网格，梯形的顶点A，B是格点，边经过格点E，F．在上画点H，使得与相似，画出所有符合条件的点H． 36．平行四边形中，过A作，垂足为，连、为线段上一点，且．求证：． 37．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中画一个格点，并作直线． (2)在图②中画一个格点，点在直线上，连接，使． (3)在图③中画一个格点，点不在直线，连接、，使． 38．如图，已知等腰和等腰有公共的顶点， 且，，，点恰好落在边上（与、不重合），连接． (1)求证：； (2)若与相交于点，求证：． 39．如图，在中，，．过点，与交于点，连接并延长，交于点，交于点，连接并延长，刚好过的中点，交弦于点，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若的半径为，求图中阴影部分的面积． 考点七、三角形背景下的相似三角形的性质与判定的应用 40．如图，直角中，，在上，连接，作分别交于，交于． (1)如图（1），若，求证：； (2)如图（2），若，取的中点，连接交于， 求证：①； ②． 41．阅读理解：两个三角形中有一个角相等或互补，我们称这两个三角形是共角三角形，这个角称为对应角．根据上述定义，判断下列结论，正确的打“”，错误的打“”． （1）三角形一条中线分成的两个三角形是共角三角形．（_____） （2）两个等腰三角形是共角三角形．（_____） 问题提出：小明在研究图的时发现，因为点，分别在和上，所以和是共角三角形，并且还发现．以下是小明的证明思路，请帮小明完善证明过程． 证明：分别过点，作于点，于点，得到图， ，又， （_____），． ， ， 即． 延伸探究：如图，已知，请你参照小明的证明方法，求证：． 结论应用： （1）如图，在平行四边形中，是边上的点且满足，延长到，连接交的延长线于，若，，，的面积为，则的面积是 ． （2）如图，的面积为，延长的各边，使，，，，则四边形的面积为 ． 结论应用： 42．如图，中，，，，点D，E 分别在，边上，，连接，将沿翻折得到，连接，． (1)若点E 是的中点，求的长； (2)若的面积是面积的2倍，求的长． 43．如图，在和中，，连接，，并延长交于点，连接．      (1)如图1，求证：． (2)如图2，若，求证：． (3)如图3，若，求的长． 44．【问题呈现】 如图①，和都是等边三角形，连接．求证：． 【类比探究】 如图②，和都是等腰直角三角形，，连接、．请直接写出 的值． 【拓展提升】 如图③，和都是直角三角形，，且 连接． （1）求 的值； （2）延长交于点F，交于点G．求证：． 45．在图1至图3中，直线与线段相交于点O，． (1)如图1，若，请写出与的数量关系和位置关系； (2)将图1中的绕点O顺时针旋转得到图2，，其中．求证：，； (3)将图2中的拉长为的k倍得到图3，，求的值． 考点八、四边形形背景下的相似三角形的性质与判定的应用 46．如图，平行四边形中，E为上一点，交于点F．已知，则下列判断错误的是（   ）    A．与的周长比为 B．与四边形的面积比为 C．若连接，则与不相似 D．若题中条件“”改为“点E为边的黄金分割点，”，则 47．如图，在矩形中，，点F在边上，且，点E是边上的一个动点，连接，点M是的中点，按下面作图： （1）以点A为圆心，以任意长为半径作弧，交于点G，交于点H （2）以点M为圆心，以长为半径作弧，交射线于点 （3）以点为圆心，以长为半径作弧，交前弧于点，过点M作射线交射线于点N，则在点E从点B运动到点C的过程中，线段所扫过的图形的周长是 48．如图，正方形中，E、F分别是、上的点，于点P． (1)如图1，如果点F是的中点，求证：； (2)如图2，如果，连接，求证：． 49．（1）在和中，，，． ①如图1，当与重合时，　　　； ②如图2，绕点逆时针旋转一定角度，连接，，的值是否改变？请说明理由； （2）如图3，正方形的边长为2，为边上一动点，以为斜边在正方形内部作等腰直角，，连接，，当时，求的长． 50．综合与实践 如图1，在矩形中，，，点，分别是边，上的两点，连接，交于点，且． 数学思考：（1）求的值． 类比探究：（2）如图2，当四边形为平行四边形时，其他条件不变，求的值． 拓展延伸：（3）在（2）的基础上，若，，请直接写出此时的长． 51．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察猜想】 （1）如图①所示，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，，求证：； 【类比探究】 （2）如图（2）所示，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，且，则的值为__________； 【拓展延伸】 （3）如图③所示，在四边形中，．点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F．若，，，则的长为__________． 52．（1）如图①，正方形的边长为1，是延长线上一点，且，与相交于点，则的面积为________； （2）如图热，正方形的边长为1，是延长线上一点，且，与相交于点，则的面积为________； （3）正方形的边长为1，是延长线上一点，且，与相交于点，则的面积为________；（用含的代数式表示） （4）如图③，正方形的边长为，是延长线上一点，且，与相交于点，则的面积为________．（用含，的代数式表示） 53．综合与探究 如图，在平行四边形中，分别是边，上的点，与交于点． （1）【特例感知】 如图（a），若四边形是正方形，当时，则线段与的数量关系是________； （2）【深入探究】 如图（b），若四边形是菱形，且，则线段与满足怎样的数量关系？ 请证明你的猜想； 关于此问，数学兴趣小组给出如下两种解决思路．请选择其中一种思路解决问题． 思路一 思路二 如图，在边上取一点使，…… 如图，在的延长线上取一点使，，…… （3）【类比迁移】 如图（c），若四边形是菱形，为的中点，，请求出的值； （4）【联系拓广】 如图（d），在平行四边形中，，，，是边的中点，当点在直线上运动，且直线与直线所夹的锐角为时，请直接写的长． 考点九、圆背景下的相似三角形的性质与判定的应用 54．如图，在中，，，，，P是上的一点，于点H，以为直径作，当与的交点落在上时，的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 55．如图，在中，，是的直径，与边交于点，为的中点，连接，与交于点．    (1)若，求的大小； (2)求证：； (3)若，，求的面积． 56．如图，四边形内接于，，是对角线，点在的延长线上，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)与的延长线交于点，若，，， ①求的值． ②求的长． 57．如图，等腰内接于，，是边上的中线，过点作的平行线交的延长线于点，交于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：为的切线； (3)若的半径为5，，求的长． 58．如图，是的直径，，点为弧的中点，连接交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)求的周长； (3)若点为上一点，当为等腰三角形时，求的长．    考点十、函数背景下的相似三角形的性质与判定的应用 59．如图，点在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点，点为轴上一点，且，连接，若的面积是6，则的值为 ． 60．如图，已知抛物线与轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点． (1)抛物线的顶点坐标_________； (2)当时，如图1，当点P在直线上方的抛物线上时，连接、，交于点，若，求的取值范围； (3)在（2）的基础上，已知M是直线上一动点，将点M绕着点O顺时针旋转必得到点，若点恰好落在二次函数的图象上，请直接写出点M的坐标． 61．在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧． (1)求点A，点B的坐标； (2)如图1，直线与二次函数的图像交于A，D两点，点D的坐标是．点P是x轴上方的抛物线上的一个动点，过点P作轴，交x轴于点E，交直线于点Q，过点P作于点F，直线交x轴于点H．若，设点P的横坐标是点t，求L关于t的函数关系式，并求L的最大值； (3)已知点M的坐标是，过点M作y轴的垂线，垂足为点N，若二次函数的图像与线段只有一个交点，则a的取值范围是________． 62．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．     (1)求抛物线的表达式． (2)若点在抛物线上，且位于第三象限． ①如图1，作轴于点，交于点．若为的中点，求点的横坐标． ②如图2，连接，，交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值． 63．如图1，抛物线与轴交于点和点（点位于点左侧），与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)连接，点位于线段上方且是该抛物线上的一点．连接与交于点，如图2，连接，，分别设，的面积为，． ①若，求点的横坐标； ②如图3，过点作交于点，连接，分别设，的面积为，，判断是否存在最大值．若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 考点十一、相似三角形的实际应用 64．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理，小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，小孔O到地面距离为，则实像的高度（   ） A． B． C． D． 65．如图，玻璃桌面与地面平行，桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，在地面．上形成的影子为（不计折射），．    (1)在桌面上沿着AB方向平移铅笔，试说明CD的长度不变． (2)桌面上一点P恰在点O的正下方，且，，，桌面的高度为．在点O与所确定的平面内，将绕点A旋转，使得的长度最大． ①画出此时所在位置的示意图； ②求的长度的最大值． 66．如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距18米，路灯的高度比路灯的高度低1米．夜晚，身高为1.6米的小明以1米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为t秒．当行走3秒时，他走到了P处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点B）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)若小明身高是影子与的比例中项，求此时t的值． (3)有言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离． ①从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长 （用含t的代数式表示）； ②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的！请直接写出小明在路灯下的影子的顶端N在地面上移动的速度为   米/秒． 67．综合与实践 背景 晚上小明在广场上散步，如图（a）所示，，是广场上的两根电线杆，小明站在点E处，在两盏路灯B，D的照射下，地面上形成了他的两个影子，．    素材1 两盏路灯B，D的高均为，两盏路灯相距，小明的身高为． 素材2 A，C，E，G，H在同一平面内，电线杆和人均垂直于地面． 问题提出 小明在广场中走动时（始终保证影子，不为0），两个影子端点间的距离是否会发生改变？ 问题解决 任务1 计算 （1）如图（b），当小明影子长为时，此时小明到电线杆的距离为多少？ 任务2 说理 （2）小明在广场上走动的过程中两个影子端点间的距离是否会改变？若的长不变，请求出的长；若的长度发生变化，请说明理由． 任务3 拓展 （3）小明在广场的某个位置向上跳起再落下，在该过程中最长达到，请直接写出小明从起跳到落下的过程中，头顶距离地面的最大高度． 68．张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中高张帅傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点E． (1)当点P恰好为中点时，___________ (2)当四边形为正方形时，求出这个零件的边长； (3)图2，如果把这块材料形状改为的斜板，已知，，，要把它加工成一个形状为平行四边形的工件，使在上，P、N两点分别在，上，且，求出平行四边形的面积． 69．阅读理解： 如图1，是的高，点E、F分别在和边上，且，可以得到以下结论：． 拓展应用： (1)如图2，在中，，边上的高为4，在内放一个正方形，使其一边在上，点E、F分别在上，求正方形的边长是多少？ (2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为，底边长为的等腰三角形展台．现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3所示，将底边的长度看作是0排隔板的长度． ①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度（单位：厘米）随着排数（单位：排）的变化而变化．请完成下表： 排数/排 0 1 2 3 … 隔板长度/厘米 160 __________ 80 … 若用n表示排数，y表示每排的隔板长度，试直接求出y与n的关系式__________； ②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？__________ 70．【数学眼光】 星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】 问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ 考点十二、应用相似三角形的性质与判定解决动点（图）问题 71．如图，在中，，，，动点从点开始在线段上以每秒的速度向点移动，同时点从点开始在线段上以每秒的速度向点移动．当一点停止运动，另一点也随之停止运动．设点，移动的时间为秒．当为何值时，与相似？ 72．如图，在中，，，，D、E分别是、的中点，连接．点P从点D出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，当点P停止运动时，点Q也停止运动，连接，设运动时间为，解答下列问题：    (1)当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与相似？ (2)当t为何值时，为等腰三角形？（直接写出答案即可）； (3)当点Q在B、E之间运动时，是否存在某一时刻t，使得分四边形所成的两部分的面积之比为？若存在，求出此时t的值以及点E到的距离h；若不存在．请说明理由． 73．如图，在中，，点M从点A出发，沿折线以速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿方向以的速度向点A运动，点M到达点C时，点M，D同时停止运动，当点M不与A，C重合时，作点M关于直线的对称点N，连接交于点E，连接．设运动时间为，请解答下列问题． (1)当t为何值时，？ (2)点M在线段上运动时，是否存在某一时刻t使得与相似？若存在，请求出此刻的t值：若不存在，请说明理由； (3)点M在线段上运动时，是否存在某一时刻t使得四边形的面积占面积的六分之五？ (4)当t为何值时，为直角三角形？ 74．已知：如图，在△中，，，，，点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位；点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位，作， ，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为． 解答下列问题： (1)四边形是菱形时，求的值； (2)为何值时，点在边上； (3)连接、设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 75．如图，在中，，，．动点从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点运动．过点作交边或边于点，且点不与点A、重合，点不与点重合．设线段的中点为，将截得到的小三角形绕点旋转，得到，设点的运动时间为秒． (1)求的长． (2)用含的代数式表示线段的长． (3)当点在边上时，连结，当线段的最小时，求的值． (4)在点运动过程中，当点落在斜边中线上时，直接写出的值． 76．如图，在中，，，，动点P从点B出发，以每秒5个单位长的速度沿向点A运动，过点P作于点Q，以为边向右作矩形，使，点F落在射线上．设点P的运动时间为t（）秒． (1)求的长（用含t的代数式表示）； (2)求点E落在区域（含边界）内的时长； (3)连接，当与相似时，求t的值； (4)当将的面积分成两部分时，直接写出点E到的距离． 77．如图，在中，．动点P从点B出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点A运动．作点A关于点P的对称点D，连结与．设点P的运动时间为t秒（）． (1)当点P和点C重合时，线段的长为______； (2)当点P在边上运动时，若为等腰三角形，求t的值； (3)当点P在边上运动时，求周长的最小值，并求出此时t的值； (4)不添加任何辅助线，当图中存在三角形与相似时，直接写出t的值． 78．如图，在中，．点E从A出发，沿方向向B匀速运动，速度是；同时，点F从B出发，沿方向向C匀速运动，速度是．将沿折叠，E的对称点为G．设运动时间为（），请回答下列问题： (1)t为何值时， (2)设四边形的面积为，求S关于t的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使得点G落在线段上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (4)是否存在某一时刻t，使得四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 考点十三、位似变换的综合应用 79．如图，在中，，，，点是的中点，连接，分别交、于点、．给出下面四个结论： ①； ②； ③和是以点为位似中心的位似图形； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ．    80．如图1，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，．    (1)请在图1中画出以点O为位似中心的位似图形（原点右侧），使与的位似比为； (2)若（1）中的直线与双曲线交于M、N两点（点M在点N的左侧），请在备用图中画出草图，解答下列问题： ①请求出点M与点N的坐标： ②点P在双曲线即第三象限的图像上，求面积S的最小值． 81．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度．A、B、C三点在直角坐标系中的位置如图所示． (1)在y轴上存在一点P，使最小，在x轴上存在一点Q，使最小，连接，求所在直线的表达式； (2)以点O为位似中心，在第三象限内画出的位似图形，，并写出三个顶点的坐标； (3)的三个顶点、、三个点能确定一个圆吗？如果能，请直接写出圆心坐标及半径长；若不能，请说明理由． 82．已知，点在平面直角坐标系中，小明给了一些m的取值，列出了如表： m … 0 1 … … 0 … … 2 3 2 … 他在直角坐标系中描出这些点后，猜想点M在以点A为顶点的抛物线上． (1)求该抛物线相应的函数表达式，并说明：无论m取何实数值，点M都在此抛物线上； (2)将抛物线向右平移n（）个单位得到新的抛物线，设是新函数的图象与x轴的一个公共点．当时，结合函数的图象，直接写出n的取值范围； (3)设（1）中的抛物线与x轴的交点分别为点B、C（点B在点C的左侧），点D在该抛物线的对称轴上，是以点D为位似中心的位似图形（点A、B、C的对应点分别是点P、Q、M）．若与的相似比是，求m的值． 83． 九年级教材内容改编 结合教材图形给出新定义 对于图1中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形，得到四边形；放大四边形，得到四边形．   图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形．图1中，四边形和四边形都与四边形形状相同．我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形． 如图1，对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形，这个点就是位似中心 (1)①在图1中位似中心是点______； ②______多边形是特殊的______多边形；（填“位似”或“相似”） (2)如图2，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于O，A两点，点B是此函数图象上一点（点A，B均不与点0重合），已知点B的横坐标与纵坐标相等，以点O为位似中心，相似比为，将缩小，在第一象限内得到它的其中一个位似．    ①画出（不写作法，不用保留作图痕迹），并求出点，的坐标； ②直线与二次函数的图象交于点M，与经过O，，三点的抛物线交于点N，请判断和是否为位似三角形，并根据位似三角形的定义说明理由．[提示：若直角坐标系中有两点，，且满足，则]． 84．在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点旋转一个角度，再将旋转后的多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作；若逆时针旋转，记作． 例如：如图①，先将绕点逆时针旋转，得到，再将以点为位似中心缩小到原来的，得到，这个变换记作． (1)如图②，经过得到，用尺规作出．（保留作图痕迹） (2)如图③，经过得到，经过得到，连接，．求证：四边形是平行四边形． (3)如图④，在中，，，．若经过（2）中的变换得到的四边形是正方形． Ⅰ．用尺规作出点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； Ⅱ．直接写出的长． 85．在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象如图所示，直线分别交x轴，y轴于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)在该反比例函数的图象上取一点C，连接，其中交线段于点D，若，且相似比为2，求该反比例函数的表达式； (3)在的内部取一点P，以P为位似中心画，使它与位似，且相似比为5，若M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上，求位似中心P的坐标． 86．【问题背景】 人教版九年级下册教材第58页第11题：如图1，一块材料的形状是锐角三角形，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，这个正方形零件的边长是多少? 【提出问题】 在满足正方形的一边在三角形的一边上，其余两个顶点分别在另外两边上的条件下，能否在上面的材料上，加工一个面积更大的正方形？如何用直角尺（只能画直角）和圆规画出这个正方形？ 【分析问题】 小敏认为，由于正方形的一边在三角形的一边上，这样就存在三种可能．在已知三边长度的情况下，可以通过计算，分别求出三个正方形的边长，然后比较三条边长的大小，进而知道面积最大的正方形；也可以结合当前所学的位似，分别画出满足条件的正方形，再利用圆规比较三个正方形的边长的大小，即可解决问题． 【解决问题】 为了简化探索过程，小敏取边长分别为的三个等腰三角形（其中为腰）木块进行研究． 如图2，正方形的顶点分别在上，边在上．如图3，正方形的顶点分别在上，边在上． 请你完成下面两个问题： （1）通过计算，比较这两个正方形的边长的大小； （2）在图4中，用直角尺（只能画直角）和圆规画出面积最大的正方形，使其一边在三角形的一边上，其余两个顶点分别在另外两边上（保留画图痕迹）． 【学以致用】 定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形． 小敏类比上面的研究方法，又提出下面问题： 在如图5所示的扇形中，能否用直角尺和圆规画出一个正方形，使其两个顶点在弧上，另外两个顶点在半径上？ 你认为可以吗？如果可以、在图中画出符合条件的正方形（保留画图痕迹）；如果不可以，说明理由． 考点十四、利用相似三角形解决最值问题 87．如图，在平面直角坐标系中，已知，B是y轴上的一动点，以为边构造矩形，且矩形的面积始终是3，连接，则线段的最大值是（    ） A． B． C． D． 88．如图，在正方形中，，，点F在上运动（不与点A，D重合），过点F作交于点G，则的最大值为（    ） A．3 B． C．5 D． 89．如图，在中，，，，的顶点在上运动，且，，为线段的中点，连接，在点运动过程中，线段长的最小值为（    ）． A．1 B．2 C． D． 90．如图中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 91．如图，正方形的边长为1，点E是边上一动点（不与点B，C重合），过点E作交正方形外角的平分线于点F，连接，则面积的最大值为 ． 92．已知，如图，中，，半径为1的与三角形的边都相切，点P为上一动点，点Q为边上一动点，则的最大值与最小值的和为 ． 93．如图，在中，，，分别以点C、A为圆心，以2和3为半径作弧，两弧交于点D（点D在的左侧），连接，则的最大值为 ．    94．如图，在中，，，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为 ． 95．正方形中，，点F为射线上一动点，，垂足为E，连接． （1） ； （2）的最小值为 ． 96．如图，若正方形边长为，是上一点， ，点为上一个动点． 将 沿翻折，点的对应点为，连接，则的最小值为 ． 97．已知在一些边长相同的小正方形组成的网格中，正方形的四个顶点都在小正方形的顶点上．点P为对角线上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形． (1)当点P（在小正方形的顶点上）的位置如图所示时，请用直尺画出平行四边形； (2)当的最小值为时，求正方形的边长． 98．已知等腰直角与等腰直角公共顶点，其中，，，．    (1)如图1，当、、共线时，请你直接写出线段与线段的数量关系； (2)将绕点顺时针旋转一定度数，如图2所示，请问第（1）问中的结论是否仍然成立，请说明理由； (3)若，，将绕点顺时针旋转一周时，连接，直接写出的面积最大值． 99．如图点是双曲线上一动点，且m，n为关于a的一元二次方程的两根，动直线与x轴、y轴正半轴分别交于点A、B，过点A与垂直的直线交y轴于点E，点F是的中点，过B点且与垂直的直线交的延长线于Q点． (1)求双曲线的解析式； (2)当取最小值求b的值； (3)若点O到的距离等于的最小值，求的值． 100．在学习完《图形的旋转》后，数学小组的同学们展开了新的探究． (1)【问题初探】 如图1，在中，点D在边上，交于点E．绕点A逆时针旋转得到（点D的对应点为点，点E的对应点为点），连接，，得到和，如图2，数学小组的同学们发现． 请你帮助他们证明这一发现． (2)【问题应用】 如图3，中，，，，M，N分别为边与的中点．绕点C旋转，点M的对应点为点E，点N的对应点为点F，直线与直线交于点G． ①如图4，当点E落在线段AF上时，求证：； ②当点A，E，F三点在同一条直线上时，直接写出的长． (3)【问题拓展】 如图5，在（2）条件下，连接，取中点K，取中点H，请直接写出的最大值为___________． 试卷第2页，共211页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十七章 相似三角形综合题拓展训练 目录与链接 考点一、黄金分割的应用……………………………………………………………………………2 考点二、相似多边形的应用…………………………………………………………………………7 考点三、过分点作平行线解决问题………………………………………………………………13 考点四、利用平行线分线段成比例定理解决几何问题…………………………………………22 考点五、利用平行线分线段成比例定理解决函数问题…………………………………………35 考点六、相似三角形的判定与构造………………………………………………………………47 考点七、三角形背景下的相似三角形的性质与判定的应用……………………………………58 考点八、四边形形背景下的相似三角形的性质与判定的应用…………………………………74 考点九、圆背景下的相似三角形的性质与判定的应用…………………………………………97 考点十、函数背景下的相似三角形的性质与判定的应用………………………………………110 考点十一、相似三角形的实际应用………………………………………………………………123 考点十二、应用相似三角形的性质与判定解决动点（图）问题………………………………139 考点十三、位似变换的综合应用…………………………………………………………………165 考点十四、利用相似三角形解决最值问题………………………………………………………189 考点一、黄金分割的应用 1．已知、是线段上的两个黄金分割点，其中，那么下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割：短线段与长线段的比等于长线段与整个线段的比，其比值为；据此逐项计算即可作出判断． 【详解】解：∵、是线段上的两个黄金分割点，其中，如图， ∴，， 故选项A正确，选项B错误； ∵， ∴， ∴， 故选项C正确； ∵， ∴， ∴； 故选项D正确； 故选：B． 2．宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如古希腊的帕提依庙等．如图，帕提侬神庙平面图的长约为30米，则它的宽约为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割的概念以及黄金矩形，依据宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形，帕提侬神庙平面图的长约为30米， ∴它的宽约为：（米）， 故选：B． 3．线段上一点把线段分成两部分，如果较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与线段整体长度之比，那么该点就叫做线段的黄金分割点．主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台的长为20米，一名主持人现在站在A处，则她至少走多少米才最自然得体？（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割，设C点为的黄金分割点，利用黄金分割的定义，当时，米；当时，米，则米，从而确定她至少走的路程． 【详解】解：设C点为的黄金分割点， 当时，如图， 根据黄金分割点的定义得，， 即，， 整理得，， 解得，，（舍去）， ∴米； 当时，同理可得，米， ∴米， ∵ ∴主持人至少走米才最理想． 故选：C． 4．在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来，后来人们将这个数称为黄金分割数．设，记，，，，则的值为（   ） A． B． C．100 D．505 【答案】C 【分析】本题考查的分式的规律计算以及二次根式的乘法，正确掌握异分母分式的加减计算法则及运算规律是解题的关键．先计算，，的值，找出规律，然后求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 5．小明同学进行探究学习以下内容：“一个点把一条线段分为两段，如果其中较长的一段与整个线段的比等于较短一段与较长一段的比，我们就说这个点是这条线段的黄金分割点，较长的一段与整个线段的比值（或较短一段与较长一段的比值）叫做黄金分割数．” 探究发现：在现实生活中，黄金分割无处不在；如图1，我国国旗上的正五角星也存在黄金分割数，如：． 问题解决： (1)如图2，已知线段AB的长为1，线段AB上的点，满足关系式．请你计算的长度，并判断的长度是否为黄金分割数． (2)如图2，若在线段上再取一个点，满足；在线段上取一点，，……以此类推，在线段上取一点满足．请你直接写出的长度． 【答案】(1)的长度为黄金分割数 (2) 【分析】本题考查了黄金分割的定义； （1）设，根据题意列出方程，进而根据黄金分割数的定义，即可求解． （2）根据（1）可得，，即可求解． 【详解】（1）解：∵线段的长为1，线段上的点，满足关系式． 设，则， ∴， 解得：或（舍去）； ∴的长度为黄金分割数； （2）解：由（1）可得的长是的长的一个黄金分割数，即，的长是的长的一个黄金分割数，即， ……以此类推，， 由（1）可得， ∴． 6．线段上的一点将分割成、两段，如果的长度是与长度的比例中项，即，那么称点为线段的黄金分割点．如图，已知线段，点是线段的黄金分割点，求的长度． 【答案】 【分析】本题考查的是黄金分割点，读懂材料中黄金分割点的概念及公式是解决此题的关键． 设，根据点是线段的黄金分割点得出，解方程即可求解． 【详解】解∶设，则 ∵点是线段的黄金分割点， ∴，即， 化简，得， 解得，（舍去）， ∴的长度为． 考点二、相似多边形的应用 7．如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，按照此规律作下去，则边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质，根据矩形的性质求出，利用相似多边形的性质找出矩形对角线的变化规律即可求解，根据相似多边形的性质找出矩形对角线的变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵按逆时针方向作矩形的相似矩形， ∴矩形的边长和矩形的相似比为， ∴矩形的对角线和矩形的对角线的比， ∵矩形的对角线为， ∴矩形的对角线， 依此类推，矩形的对角线和矩形的对角线的比为， ∴矩形的对角线， 矩形的对角线， 按此规律第个矩形的对角线， ∴， 故选：． 8．如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的二面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形绸布相似，则的值等于（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】此题考查了矩形的性质，相似多边形的性质，由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意知， ， ∵裁出的每面彩旗与矩形绸布相似， ， ， ， (舍去)或 故选：D． 9．如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠，使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，设，由折叠的性质可得到，利用矩形的性质得到，最后利用相似多边形的性质计算即可求解，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：设， ∵四边形是一张矩形纸片， ∴，， 由折叠的性质得，，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴， ∴， 解得，（不合，舍去）， ∴， 故答案为：． 10．如图，矩形的边，点分别在边上，且四边形为正方形．若矩形与矩形相似，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形，矩形的性质，相似多边形的判定和性质，根据题意可得当四边形为正方形时，，设，则有，，根据相似多边形的性质列式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 当四边形为正方形时，， 设，且四边形为矩形， ∴，， ∵矩形与矩形相似， ∴，即， 解得，（不符合题意，舍去），， 检验，当时，原分式方程的有意义， ∴， ∴， 故答案为： ． 11．某中学有一块正方形的空地，边长为40m，学校计划将空地分为五部分，种植不同的花束．白老师利用课后延时时间将设计任务交给小明和小芳两位同学，并给两位同学每人一张边长为的正方形硬纸板模型用来设计，下面是小明和小芳的设计方案． 小明：如图1，它是由四个全等的直角三角形以及一个小正方形组成的，其中小正方形与大正方形的相似比为． 小芳：如图2，它是由四个矩形和中间一个小正方形组成的，在该图案中矩形矩形，且相似比为，中间小正方形的边长为． (1)结合小明设计的方案，解决下列问题： ①求出图中的长； ②求出每个小直角三角形部分在学校空地的实际周长是多少米？ (2)求小芳的方案中矩形的面积． 【答案】(1)①② (2) 【分析】（1）①根据小正方形与大正方形的相似比为，且大正方形边长为，得到正方形的边长为，设，，根据勾股定理即可得到结论；②根据①中的结果求出模型中小直角三角形的面积，再根据模型和实际的比例关系进行求解即可； （2）设矩形的长为，宽为．根据矩形矩形相似，相似比为，得到矩形的长为，宽为，列出方程进行求解即可得到结论． 【详解】（1）①小正方形与大正方形的相似比为，且大正方形边长为， 正方形的边长为， 设，， ，， ， 整理可得， 解得， 负数舍去， ，即： ②由①知：，， ∴小直角三角形的周长是． 每个小三角形的实际周长为． （2）解：设矩形的长为，宽为． 矩形矩形相似，相似比为， 矩形的长为，宽为， 由图可知，，， 解得，， 矩形的面积为． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，勾股定理，解一元二次方程，综合运用以上知识是解题的关键． 考点三、过分点作平行线解决问题 12．如图，数轴上的点A对应直尺的0刻度线，已知图中的虚线相互平行．若点A在数轴上表示的数是，则点B在数轴上表示的数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段，列出比例式求出的长，再根据两点间的距离公式求出点B在数轴上表示的数即可． 【详解】解：如图，由题意，得：，，， ∴， ∴， ∴点所表示的数为：； 故选C． 13．如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，求的长．小明的解题过程如下： 解：过点D作，交于H，则，，，，． 下列结论正确的是（   ） A．①应填 B．①应填 C．②应填3 D．②应填 【答案】D 【分析】本题主要考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 如图：过点D作，交于H，再根据平行线分线段成比例定理和线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：过点D作，交于H， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴①应填，②应填． 故选：D． 14．如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，9，则的长为（ ） A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，能够通过已知条件准确构造辅助线是解决本题的关键． 根据线段的比例关系及中点平分边的特点过点构造与平行的辅助线，进而构成两组成比例的线段、，再根据比例得到线段之间的倍数关系，求出的长度即可． 【详解】解：过点作交于点． 又． ． 设，． 是的中点． ． 又． ． ． ． ． 即． 解得：． ． 故选：D． 15．如图，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，连接，设，则，，设，则，表示出，，结合求出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴设，则， ∵， ∴ ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， 故选：D． 16．如图，中，的平分线交于点D，与的垂线相交于点E，过点D作于点F，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，角平分线的性质，由勾股定理得，再由角平分线的性质得，进而由面积法求出，则，然后由勾股定理得，则，最后由平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理，角平分线的性质，三角形面积，平行线的判定及平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握勾股定理、角平分线的性质及平行线分线段成比例定理是解题的关键． 17．如图，是的中线，E是线段上的一点，且，连接并延长交于点F． (1)求的值； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查中线定义，线段和差关系，平行线分线段成比例等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． （1）根据题意可知，继而得到本题答案； （2）过D作交于M点，继而得到，再利用中线定义得到，再利用平行线分线段定理可得，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过D作交于M点， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．如图，是的中线，点M在上，连接并延长交于点N．      【填空】 （1）若，则 ； （2）若，则 ； （3）若，则 ； … 【论证】请选择上述情况中的一种，画出符合条件的图形，并证明你的结论； 【猜想】若，则 （用含n的代数式表示，不用说明理由）． 【答案】[填空]（1）；（2）1；（3）；[论证]见解析；[猜想] 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，三角形中位线定理，解题的关键是通过构造三角形的中位线为使用平行线分线段成比例作铺垫． [填空]（1）取中点G，连接，根据三角形中位线定理得出，根据平行线分线段成比例得出，然后根据比例的性质求解即可； （2）仿照（1）求解即可； （3）仿照（1）求解即可； [论证]见上述解析； [猜想] 仿照（1）求解即可． 【详解】[填空]：解：（1）取中点G，连接，则，    ∵为边上的中线， ∴点为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：； （2）取中点G，连接，则，    ∵为边上的中线， ∴， ∴， 设，则， ∴， 故答案为：1； （3）取中点G，连接，则，    ∵为边上的中线， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴； 故答案为：; [论证]：上述已证明； [猜想]解：取中点G，连接，则，    ∵为边上的中线， ∴， ∴， 设，则， ∴， 故答案为：． 考点四、利用平行线分线段成比例定理解决几何问题 19．在中，点是的中点，以为圆心以为半径作圆．是的中点，连接，交圆于点．连接，连接并延长，交于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形中位线定理以及平行线分线段成比例． （1）由三角形中位线定理以及平行线分线段成比例，证明，根据圆周角定理求得，推出是线段的垂直平分线，据此即可证明平分； （2）先求得，求得，再利用三角形中位线定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵点是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 由题意得是的直径， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴，，即平分； （2）解：由（1）知， ∴， ∴， ∵，是的中点， ∴是的中位线， ∴． 20．已知在中，，，作点B关于射线的对称点D，连接，点M是线段上的动点，连接，将线段绕点M逆时针旋转的角度为，得到线段，连接交射线于点E．    (1)当，且点M与点C重合时，如图1，请补全图形，并求证：点E为的中点； (2)当，且点M不与点C、D重合时，连接，如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)图和证明见详解 (2)成立，理由见详解 【分析】本题主要考查轴对称的性质、等腰三角形的性质、平行线所截线段成比例及全等三角形的性质与判定，熟练掌握轴对称的性质、等腰三角形的性质、平行线所截线段成比例及全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）根据题意可直接进行作图，由题意易得是等腰直角三角形，，然后可证，进而问题可求证； （2）在上截取一点F，使得，设与交于点O，由题意可先证，然后可得，则有，进而根据平行线所截线段成比例可进行求解． 【详解】（1）解：所作图形如图所示：    ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由轴对称的性质可知：，， 由旋转的性质可知：，， ∵， ∴， ∴， 即点E为的中点； （2）解：（1）中的结论成立，理由如下： 在上截取一点F，使得，设与交于点O，如图所示，    由轴对称的性质可知：垂直平分， ∴，，，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴点E为的中点． 21．如图，经过格点．    (1)在图1中，先画出圆心O，再画的中点P； (2)在图2中，先在上画点D，使，再在弦上画点E，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）如图取格点M，连接，与网格线交点即为点O，取格点T，S，连接与网格线交点为点K，连接并延长与交点即为点．由得到为直径，由可得点为中点，即为圆心；由得到，继而由垂径定理推论知点P为的中点； （2）取格点，连接与圆相交，交点即为点，由得，则；连接与相交，交点记为点，连接并延长与交点即为点，由垂直平分得，可证明，则，继而． 【详解】（1）解：如图取格点M，连接，与网格线交点即为点O，取格点T，S，连接与网格线交点为点K，连接并延长与交点即为点．    （2）解：取格点，连接与圆相交，交点即为点，连接与相交，交点记为点，连接并延长与交点即为点，    【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，垂径定理的推论熟练掌握知识点是解题的关键． 22．如图，由绕点A按逆时针方向旋转得到，且点B的对应点D恰好落在的延长线上，相交于点P． (1)求的度数； (2)F是延长线上的点，且． ①判断和的数量关系，并证明； ②求证：． 【答案】(1) (2)①，证明见解析②证明见解析 【分析】（1）根据旋转的性质，得出，进而得出，求出结果； （2）①由旋转的性质得出，，进而得出，再根据已知条件得出，最后得出结论即可； ②过点作交于点，得出，由全等得出，，最后得出结果． 【详解】（1）解：由旋转的性质可知，，，， ∴， 在中，， ∴， ∴． （2）①． 证明：由旋转的性质可知，，， 在中，， ∵，， ∴， 即， ∴． ②过点作交于点， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形内角与外角的关系、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、平行线分线段成比例等基础知识，解题的关键是熟练运用这些性质． 23．如图是由边长均为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点D为的中点．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中，在上找点，连结，使得； (2)在图②中，在上找点M，使得； (3)在图③中，在上找点F，连结，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了格点作图，平行四边形的判定与性质，平行线分线段成比例，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）取格点M、N，连接交于E，连接即可； （2）取格点E、F、G、H、K，作直线，，，交于M，即可求解； （3）取格点N、M、E，连接交于F，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 由图知：，， ∴四边形是平行四边形， ∴E是中点， 又D为的中点， ∴； （2）解：如图，点M即为所求， 由图知：，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理， ∴， 连接，， 同理四边形是平行四边形， ∴，互相平分， 又D为的中点， ∴经过点D， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，即为所求， 由图知：，，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 又D为的中点， ∴． 24．如图，中，，，为等边三角形，且点，，共线， (1)如图1，当点为中点时，与交于点，，求的长； (2)如图2，当点在的延长线上时，连接交于点，请用等式表示与的数量关系，并证明； (3)如图3，当点在上，，点、分别是线段、射线上的点，满足，连接，将绕点逆时针旋转得，连接、，请直接写出当为等腰三角形时的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或或 【分析】（1）过点作延长线于点，证，是等边三角形，求出，则可求出，则可得，再求出和，最后利用勾股定理即可解决； （2）在延长线上截取，连接，，证明，再证，易得为的中位线，即可求证； （3）过点作交于点，连接，先通过证明，证，则，再分当时，当时，当时，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：如图，过点作延长线于点， ∵为等边三角形，点为中点， ∴，，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，在延长线上截取，连接，， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作交于点，连接， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 由旋转得，， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ①当时，如图： ∴； ②当时，如图： ∴； ③当时，如图： ∴； 综上，的度数为或或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，中位线的性质，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握这些判定与性质，并可以根据题中信息正确作出辅助线是解题的关键． 考点五、利用平行线分线段成比例定理解决函数问题 25．如图，在平面直角坐标系下如图放置，斜边AC交x轴于点E，过点A的双曲线交斜边的中点B，连接，过点C作双曲线．若，A的坐标为，则 ． 【答案】 【分析】过作，交于，设与轴交于点．根据直角三角形的性质以及三角形中位线定理得出，为的中点，．利用平行线分线段成比例定理得出 求出，，．由过点，的双曲线也经过点，得出，，那么，再求出，根据待定系数法求出的值． 【详解】解：如图，过作，交于，设与轴交于点． 斜边的中点， ，为的中点，． ，的坐标为， ， ， ， ， ， ， ， ． 点纵坐标与点纵坐标相同为，过点的双曲线也经过点， ，点横坐标为， ， ， ， ， ． 双曲线过点， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，待定系数法求反比例函数的解析式等知识，准确作出辅助线求出点坐标是解题的关键． 26．“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合思想的典型体现．如图，将弦图放置在以为原点的平面直角坐标系中，，分别是，轴正半轴上的动点，正方形中有如图四个全等的、、、，若是中点，连接并延长交于点，连接并延长交于，点是反比例函数（）图象上一点．    （1）若，则点的坐标为 ． （2）若点的坐标为，则 ． 【答案】 【分析】（1）证明四边形是正方形，由是的中点，可得，，则，由，，可得，由，可得，同理，则，设，则，计算求出满足要求的解，进而可得结果； （2）由（1）可知，，则，可求，即，，． 【详解】（1）解：由题意可知，，，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设， ∵点是反比例函数（）图象上， ∴， 解得，，（舍去）， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）可知，， ∵坐标为， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵点是反比例函数（）图象上， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，正方形的判定与性质，平行线分线段成比例，反比例函数与几何综合，反比例函数解析式等知识．熟练掌握全等三角形的性质，正方形的判定与性质，平行线分线段成比例，反比例函数与几何综合，反比例函数解析式是解题的关键． 27．如图，在中，轴，垂足为C，边与y轴交于点D，，反比例函数的图象经过点A． (1)求直线和反比例函数的表达式； (2)点E是反比例函数的图象上一点，若求点E的坐标． 【答案】(1)直线为，反比例函数的表达式为 (2)的坐标为：或． 【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质得出，然后确定各个点的坐标，利用待定系数法即可确定直线和反比例函数解析式； （2）分两种情况：如图，连接，，当在的右边时，当时，则，如图，当在的左边时，如，连接，，交于，当为的中点时，则，再进一步解答即可． 【详解】（1）解： 中，，，轴，垂足为， ∴， ∵， ∴， ， ， ，， 设直线为 ， 解得， 直线为， 反比例函数的图象经过， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：如图，连接，，当在的右边时， 当时，则， 设直线为，而， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴令， 解得：，（不符合题意，舍去） 此时， ∴； 如图，当在的左边时，如，连接，，交于， 当为的中点时，则， 设，，而， ∴， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴， ∴， 综上：的坐标为：或． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数与一次函数图象交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，平行线分段成比例定理，一元二次方程的解法，求得坐标是解决问题的关键． 28．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B． (1)求a，k的值； (2)直线过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，，连接． ①求的面积； ②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点为顶点的四边形是平行四边形．请求出所有符合条件的点P坐标． 【答案】(1)，； (2)①8；②符合条件的点P坐标是和． 【分析】（1）将点代入，求出，即可得，将点代入，即可求出k； （2）①如图，过A作轴于点，过作轴于点，交于点，求出，，得到CE，进一步可求出△ABC的面积；②设，．分情况讨论：ⅰ、当四边形为平行四边形时，ⅱ、当四边形为平行四边形时，计算即可． 【详解】（1）解：将点代入，得，， 将点代入，得， 反比例函数的解析式为． （2）解：①如图，过A作轴于点，过作轴于点，交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ②分两种情况：设，． ⅰ、如图，当四边形为平行四边形时， ∵点向下平移1个单位、向右平移个单位得到点， ∴点向下平移1个单位，向右平移个单位得到点， ∴，， ∴． ⅱ、如图，当四边形为平行四边形时， ∵点向上平移1个单位，向左平移个单位得到点， ∴点向上平移1个单位，向左平移个单位得到点， ∴，， ∴． 综上所述，符合条件的点坐标是和． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质． 29．抛物线交轴于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（1），连接，是抛物线第四象限内一点，直线交于，交轴于点，若，求点坐标； (3)如图（2），经过第四象限的直线交抛物线于点，，交轴于点，作平行四边形，连接，若轴，当点到距离的最大时，求的值． 【答案】(1)； (2)点的坐标为 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养． （1）由待定系数法即可求解； （2）作交轴于点，证明，由，得到，则，进而求解； （3）证明四边形为平行四边形，则，得到，进而求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 则， 解得：， 则抛物线的解析式为：； （2）解：作交轴于点，则， 又， ， ， 由，得直线的解析式为， 直线的解析式为， 联立上式和抛物线的解析式得：， 解得：（舍去）或， 点的坐标为； （3）解：作轴交于点， 由平行四边形可得，， 四边形为平行四边形， ， ， ，即， ， 设直线的解析式为， 联立上式和抛物线的解析式得：， 整理得：， ， 解得：， 直线的解析式为． 当直线与抛物线只有一个公共点时到的距离最大． 此时，方程有相等的实数根， 整理得：， 则， 解得：． 考点六、相似三角形的判定与构造 30．已知在中，，则下列选项中阴影部分的三角形与原不相似的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解． 【详解】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项A不符合题意； B、两边对应成比例，而夹角不一定相等，不能证明阴影部分的三角形与原相似，故选项B符合题意； C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项C不符合题意； D、由两组对应边的成比例且夹角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项D不符合题意； 故选：B． 31．如图，锐角的边上的高线交于点，连接，则图中图中共有相似三角形（   ） A．8对 B．7对 C．6对 D．5对 【答案】A 【分析】本题主要考查相似三角形的判定．平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；三边对应成比例，两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；两角对应相等，两个三角形相似．根据相似三角形的判定定理分析判断即可． 【详解】解：根据题意，，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴． 综上所述，图中相似的三角形有，，，，，，，，共计8对． 故选：A． 32．如图，已知、都是等边三角形，点D、E分别在、上，图中的相似三角形共有（   ）对． A．3对 B．4对 C．6对 D．7对 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定，三角形内角和定理，根据相似三角形的判定定理即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图： ∵、都是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， 综上，相似三角形共有对， 故选：D． 33．在中，，用直尺和圆规在AB上确定点D，使，根据作图痕迹判断，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作垂线，相似三角形的判定，过点C作，结合已知条件可知，再证明，然后可得． 【详解】时， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 34．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点上，点、、、、、、是边上的7个格点，请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与相似，符合题意的三角形共有 个． 【答案】5 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理与网格．欲求有几个符合条件的三角形与相似，先利用勾股定理求出的三边的长度，然后再去求以，，为顶点构成的三角形的三边长，比较对应三边时否成比例，便可判定是不符合．按这种方法一一计算判定可得结论． 【详解】解：则，，． 连接， ，，． ， ． 同理可找到，，，和相似，共5个． 故答案为：5． 35．如图是由小正方形组成的网格，梯形的顶点A，B是格点，边经过格点E，F．在上画点H，使得与相似，画出所有符合条件的点H． 【答案】见解析 【分析】本题考查了无刻度直尺作图及相似三角形的判定，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，根据相似三角形的判定，设小正方形的边长为，分两种情况：①作出格点，连接交于点，得出，连接，由边经过格点E，F，可得点在小正方形边的中点，得出，得出，且，得出；②作出格点，连接交于点，得出，连接，由，得出，且，得出． 【详解】如图，点即为所作， 分两种情况： ①由作图可得， 边经过格点E，F，可得点在小正方形边的中点， ， ， ， ； ②由作图可得， 由①得， ， ， ． 36．平行四边形中，过A作，垂足为，连、为线段上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】该题主要考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的性质及相似三角形的判定方法． 先根据平行四边形的性质证出，再根据可得出，由此可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 37．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中画一个格点，并作直线． (2)在图②中画一个格点，点在直线上，连接，使． (3)在图③中画一个格点，点不在直线，连接、，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）如图所示，取格点D，作直线，则直线和点即为所求； （2）如图所示，格点E即为所求； （3）如图所示，格点F即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，直线和点即为所求； 可证明，则， 可证明，则可证明； （2）解：如图所示，格点E即为所求； 可证明，再由即可证明； （3）解：如图所示，格点F即为所求； 可证明， 由勾股定理的逆定理可证明，则可证明． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理及其逆定理，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 38．如图，已知等腰和等腰有公共的顶点， 且，，，点恰好落在边上（与、不重合），连接． (1)求证：； (2)若与相交于点，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟悉基本图形，熟练的运用以上知识是解题的关键． （1）直接证明，然后根据全等三角形的性质证明即可； （2）先证明，，从而可得结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：如图， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 39．如图，在中，，．过点，与交于点，连接并延长，交于点，交于点，连接并延长，刚好过的中点，交弦于点，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若的半径为，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先求出，再证明，得到，则可证明，进而推出，据此可证明结论； （2）先由同弧所对的圆周角相等得到．再由，即可证明． （3）连接．可得，则．即可证明是等边三角形，则，再根据进行求解． 【详解】（1）证明：，， ． ，且为的中点， ， ， ， ，即． 又为的直径， 为的切线． （2）证明：， ． 又， ． （3）解：如图，连接． ， ， ∵， ∴ ． 又， 是等边三角形， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理，求不规则图形面积，同弧所对的圆周角相等，熟知相关知识是解题的关键． 考点七、三角形背景下的相似三角形的性质与判定的应用 40．如图，直角中，，在上，连接，作分别交于，交于． (1)如图（1），若，求证：； (2)如图（2），若，取的中点，连接交于， 求证：①； ②． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定即可得到结论； （2）①过G作交于H，由，得到，根据已知条件设，得到，根据平行线分线段成比例定理得到，求得； ②过C作交的延长线于N，则，根据相似三角形的性质得到，由①知，得到，根据相似三角形的性质得到结论． 【详解】（1）证明： 在和中， ， 即； （2）解：①如图，过作交于， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ， 设，， ， ， ∴， ∴， ， ； ②如图，过作， ∵， ， ， 由①知， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 41．阅读理解：两个三角形中有一个角相等或互补，我们称这两个三角形是共角三角形，这个角称为对应角．根据上述定义，判断下列结论，正确的打“”，错误的打“”． （1）三角形一条中线分成的两个三角形是共角三角形．（_____） （2）两个等腰三角形是共角三角形．（_____） 问题提出：小明在研究图的时发现，因为点，分别在和上，所以和是共角三角形，并且还发现．以下是小明的证明思路，请帮小明完善证明过程． 证明：分别过点，作于点，于点，得到图， ，又， （_____），． ， ， 即． 延伸探究：如图，已知，请你参照小明的证明方法，求证：． 结论应用： （1）如图，在平行四边形中，是边上的点且满足，延长到，连接交的延长线于，若，，，的面积为，则的面积是 ． （2）如图，的面积为，延长的各边，使，，，，则四边形的面积为 ． 【答案】阅读理解：（）；（）；问题提出：，；延伸探究：证明见解析；结论应用：（）；（）． 【分析】阅读理解：（）根据题中定义即可判断； （）根据题中定义即可判断；； 问题提出：分别过点，作于点，于点，证明，然后根据题中定义即可； 延伸探究：过作于，过作交的延长线于，则，然后根据题中定义即可； 结论应用： （）取的靠近三等分点，连接并延长交于点，连接，得，然后代入即可求解； （）连接，由共角三角形的面积比等于对应角两边的乘积之比得：，再根据即可求解； 本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：阅读理解：（）根据新定义可知，三角形一条中线分成的两个三角形是共角三角形， 故答案为：“”， （）两个等腰三角形不一定是共角三角形， 故答案为：； 问题提出：证明：分别过点，作于点，于点，如图， ∵，又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：，； 延伸探究：证明：过作于，过作交的延长线于，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 结论应用：（）取的靠近三等分点，连接并延长交于点，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （）如图，连接， ∵四边形的面积为， ∴， ∵使，，，， ∴由共角三角形的面积比等于对应角两边的乘积之比得：， 则，，则， ，则，，则， ∴ ， 故答案为：． 42．如图，中，，，，点D，E 分别在，边上，，连接，将沿翻折得到，连接，． (1)若点E 是的中点，求的长； (2)若的面积是面积的2倍，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由勾股定理求得，从而求得，过点E作于，求得，，从而得到是等腰直角三角形，得出，则，再由折叠可得：，，得到，最后在中，由勾股定理求解即可． （2）设，，根据折叠性质得，，过作于，设与相交于，证明，得到，进而得到，，证明是等腰直角三角形，得到，可得，证明，得到，则，根据三角形的面积公式结合已知可得，然后解一元二次方程求解的值即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵点E 是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点E作于，如图， ∵， ∴， 由勾股定理，得， ∵ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， 由折叠可得：，， ， 在中，由勾股定理，得． （2）解：， 设，， 沿翻折，得到， ，， 过作于，设与相交于， 则， 又， ， ， ，，， ， ，，则， 是等腰直角三角形， ，则， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 的面积是的面积的2倍， ， 则， 解得，（舍去）， 则． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形的面积公式等知识，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 43．如图，在和中，，连接，，并延长交于点，连接．      (1)如图1，求证：． (2)如图2，若，求证：． (3)如图3，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由题意易证，即得出，又易证，即可证； （2）由相似三角形的性质可得出．再结合，即可求出．从而根据平行线的性质和判定可证，即得出四边形为平行四边形，从而得出平行四边形为矩形，即得出结论； （3）过点C作，交于点G，即可求出，结合相似三角形的性质，又可证，得出．根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可求出 ，再代入数据，即可求出和，进而可利用勾股定理求出的长，最后根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∴； （2）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴平行四边形为矩形， ∴； （3）解：如图，过点C作，交于点G． ∴， ∴，即． 由（1）可知， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴，即 ， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，平行线判定和性质，特殊四边形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质．熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题关键．在求解（3）时正确作出辅助线构造相似三角形也是关键． 44．【问题呈现】 如图①，和都是等边三角形，连接．求证：． 【类比探究】 如图②，和都是等腰直角三角形，，连接、．请直接写出 的值． 【拓展提升】 如图③，和都是直角三角形，，且 连接． （1）求 的值； （2）延长交于点F，交于点G．求证：． 【答案】【问题呈现】见解析；【类比探究】 ；【拓展提升】（1）；（2）见解析 【分析】问题呈现：由等边三角形的性质易得，由证明，则得； 类比探究：由等腰直角三角形及勾股定理得，且得，证明，即可求得的值； 拓展提升：（1）由已知条件得，得，，继而得，即可求得结果； （2）由得，由，由三角形内角和即可得要证结论． 【问题呈现】证明：∵和均为等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； 【类比探究】∵和均为等腰直角三角形，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 【拓展提升】 ∴， ∵， ∴， 即， ∴； ∵， ∴， (2)证明：由(1)得：， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合，考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，有一定的综合性，灵活运用这些知识是解题的关键． 45．在图1至图3中，直线与线段相交于点O，． (1)如图1，若，请写出与的数量关系和位置关系； (2)将图1中的绕点O顺时针旋转得到图2，，其中．求证：，； (3)将图2中的拉长为的k倍得到图3，，求的值． 【答案】(1)，； (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的判定和性质得出； （2）过点作交于，通过证明，得出，，从而，则，等量代换得出．延长交的延长线于，根据平行线的性质及已知得出； （3）过点作交于，通过证明，根据相似三角形的性质得出的值． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴， ∵ ∴，； （2）证明：如图2，过点作交于， 则． 又，， ． ． 又， ． ． ， ，． ． 延长交的延长线于， ， ． ； （3）解：如图3，过点作交于， 则． 又， ． ． 又， 同（2）的方法得． ． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，平全等三角形的性质和判定，行线的性质及相似三角形的判定和性质，综合性强，解题的关键是掌握以上知识点． 考点八、四边形形背景下的相似三角形的性质与判定的应用 46．如图，平行四边形中，E为上一点，交于点F．已知，则下列判断错误的是（   ）    A．与的周长比为 B．与四边形的面积比为 C．若连接，则与不相似 D．若题中条件“”改为“点E为边的黄金分割点，”，则 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质可得，从而可得，再利用平行线的性质可得，从而可得，进而利用相似三角形的性质即可判断A；然后利用相似三角形的性可得，从而可得的面积：的面积，再设的面积为，则的面积为，从而可得的面积，进而可得的面积，再利用平行四边形的性质可得，，从而利用证明，进而可得的面积的面积，再利用面积的和差关系可得四边形的面积，从而可得的面积：四边形的面积比，即可判断B；再根据相似三角形的性质可得，从而可得和不一定相似，即可判断C；最后根据黄金分割的定义可得，从而可得，再利用相似三角形的性质可得，从而进行计算即可判断D，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与的周长比为；与的面积比为；故A不符合题意； ∵， ∴， ∴的面积：的面积， 设的面积为，则的面积为， ∴的面积， ∴的面积的面积的面积， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴的面积的面积， ∴四边形的面积的面积的面积， ∴的面积：四边形的面积比，故B不符合题意； 连接，如图：    ∵， ∴， ∵， ∴和不一定相似，故C符合题意； ∵点E为边的黄金分割点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，黄金分割以及全等三角形的判定与性质等知识 ，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质是解题的关键． 47．如图，在矩形中，，点F在边上，且，点E是边上的一个动点，连接，点M是的中点，按下面作图： （1）以点A为圆心，以任意长为半径作弧，交于点G，交于点H （2）以点M为圆心，以长为半径作弧，交射线于点 （3）以点为圆心，以长为半径作弧，交前弧于点，过点M作射线交射线于点N，则在点E从点B运动到点C的过程中，线段所扫过的图形的周长是 【答案】 【分析】根据四边形是矩形，得出，算出，勾股定理算出，根据作图可得：，得出，证明，得出是的中位线，从而得出，画出当点运动到点时，点运动到点时，对应图象得出，四边形是平行四边形，证明是中位线，得出长度，即可求出在点E从点B运动到点C的过程中，线段所扫过的图形的周长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据作图可得：， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， ∴， 即点是的中点， ∴是的中位线， ∴， 当点运动到点时，点位于点，点运动到点时，点位于点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点是中点，点是中点， ∴是中位线， ∴， 则在点E从点B运动到点C的过程中，线段所扫过的图形的周长是， 故答案为：． 【点睛】该题主要考查了平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，平行线的判定，三角形的中位线定理，勾股定理，矩形的性质等知识点，解题的关键是判断出线段所扫过的图形的形状． 48．如图，正方形中，E、F分别是、上的点，于点P． (1)如图1，如果点F是的中点，求证：； (2)如图2，如果，连接，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据正方形的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据相似三角形的判定定理证出，最后根据相似三角形的性质即可得证； （2）先根据可得，从而可得，再根据相似三角形的判定定理证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得，由此即可得证． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， ，点是的中点， ， ∵， ， ， ， ． （2）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， 又， ， ，即， ． 49．（1）在和中，，，． ①如图1，当与重合时，　　　； ②如图2，绕点逆时针旋转一定角度，连接，，的值是否改变？请说明理由； （2）如图3，正方形的边长为2，为边上一动点，以为斜边在正方形内部作等腰直角，，连接，，当时，求的长． 【答案】（1）①②不改变，理由见详解（2） 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定及性质．正确找到相似三角形并证明是解题的关键． （1）①由等腰直角三角形的性质得到，根据，； ②要判断的值是否改变，需要利用三角形相似的知识．通过证明和相似来分析与的关系，进而判断的值是否改变． （2）涉及到正方形的性质，三角形相似的知识以及等腰直角三角形的性质．利用这些性质找到三角形之间的关系，通过设，根据勾股定理和三角形相似的关系来求解的值． 【详解】解：（1）①∵在和中，，，． ∴和均为等腰直角三角形，， 则， ∴， 故答案为：； ②不发生变化，理由如下： ∵和均为等腰直角三角形， ∴， ∵绕点逆时针旋转一定角度，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）       连接，过作垂足为， 设 ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， 则， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵、是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ， ∴是的中点， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴． 50．综合与实践 如图1，在矩形中，，，点，分别是边，上的两点，连接，交于点，且． 数学思考：（1）求的值． 类比探究：（2）如图2，当四边形为平行四边形时，其他条件不变，求的值． 拓展延伸：（3）在（2）的基础上，若，，请直接写出此时的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据矩形的性质证明，可得，即可求出； （2）如图，在上取点Q，使得，连接，根据平行四边形的性质可证，可得，即可求出； （3）过A作于H，则，由平行四边形的性质和含的直角三角形的特征求出，再根据勾股定理求出，根据（2）的结论求值即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图，在上取点Q，使得，连接． ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：过A作于H，则， ，， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，综合运用以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 51．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察猜想】 （1）如图①所示，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，，求证：； 【类比探究】 （2）如图（2）所示，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，且，则的值为__________； 【拓展延伸】 （3）如图③所示，在四边形中，．点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F．若，，，则的长为__________． 【答案】（1）详见解析（2）（3） 【分析】（1）设与的交点为G，利用证明，得； （2）利用两个角相等证明，得； （3）过点C作交的延长线于点H，可得四边形为矩形，再证明，得，利用已知条件即可求出的长，然后利用勾股定理求出的长，进而即可得解． 【详解】（1）设与的交点为G， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）如图2，设与交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图3，过点C作交的延长线于点H， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质和勾股定理等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 52．（1）如图①，正方形的边长为1，是延长线上一点，且，与相交于点，则的面积为________； （2）如图热，正方形的边长为1，是延长线上一点，且，与相交于点，则的面积为________； （3）正方形的边长为1，是延长线上一点，且，与相交于点，则的面积为________；（用含的代数式表示） （4）如图③，正方形的边长为，是延长线上一点，且，与相交于点，则的面积为________．（用含，的代数式表示） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查正方形的性质，三角形相似的判定和性质．熟练掌握三角形相似的判定定理和性质定理是解题关键． （1）由正方形的性质结合题意可得出，，即易证，得出，从而可求出，最后根据三角形面积公式求解即可； （2）由（1）同理可证，结合，可得出，从而可求出，最后根据三角形面积公式求解即可； （3）由（1）同理可证，结合，可得出，从而可求出，最后根据三角形面积公式求解即可； （4）由（1）同理可证，结合，可得出，从而可求出，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）同理可证， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由（1）同理可证， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）由（1）同理可证， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 53．综合与探究 如图，在平行四边形中，分别是边，上的点，与交于点． （1）【特例感知】 如图（a），若四边形是正方形，当时，则线段与的数量关系是________； （2）【深入探究】 如图（b），若四边形是菱形，且，则线段与满足怎样的数量关系？ 请证明你的猜想； 关于此问，数学兴趣小组给出如下两种解决思路．请选择其中一种思路解决问题． 思路一 思路二 如图，在边上取一点使，…… 如图，在的延长线上取一点使，，…… （3）【类比迁移】 如图（c），若四边形是菱形，为的中点，，请求出的值； （4）【联系拓广】 如图（d），在平行四边形中，，，，是边的中点，当点在直线上运动，且直线与直线所夹的锐角为时，请直接写的长． 【答案】（1）[特例感知]（2）[深入探究]思路一：，证明见详解；思路二：，证明见详解（3）[例比迁移]（4）[联系拓广]的长为或 【分析】（1）[特例感知]根据正方形的性质可得，当时，即，可得，可证，由此即可求解； （2）[深入探究]思路一：四边形是菱形，可得 ，，根据是三角形的外角，，可证，如图，在边上取一点使，则，可证，由此可证，即可求解；思路二：由思路一可得，在的延长线上取一点使，，可得，可证，由此即可求解； （3）[例比迁移]如图所示，连接交于点，可得是等边三角形，，可证，得到，再证，可得，，即，由此即可求解； （4）[联系拓广]根据题意，分类讨论：第一种情况，直线与直线所夹的锐角时，如图所示，连接，过点作延长线于点，运用勾股定理分别得到，，过点作于点，，求出，证明，得到的值，再证明，得到，即可得到的值；第二种情况，直线与直线所夹的锐角时，如图所示，连接交与点，在中，求出，再根据即可． 【详解】解：（1）[特例感知] ∵四边形是正方形， ∴， 当时，即， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）[深入探究] 思路一：∵四边形是菱形， ∴，， 当时，， ∵是三角形的外角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，在边上取一点使，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 思路二：由思路一可得， 在的延长线上取一点使，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）[例比迁移] 如图所示，连接交于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴，即， ∵， ∴； （4）[联系拓广] 第一种情况，直线与直线所夹的锐角时，如图所示，连接，过点作延长线于点， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 过点作于点，， 在中，， ∴，， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 第二种情况，直线与直线所夹的锐角时，如图所示，连接交与点， 由第一种情况可得，，，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， 在中，， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查特殊四边形，全等三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质的综合运用，掌握特殊四边形的判定和性质，构造全等三角形的方法，相似三角形的判定和性质，数形结合分析，分类讨论思想等知识的综合运用是解题的关键． 考点九、圆背景下的相似三角形的性质与判定的应用 54．如图，在中，，，，，P是上的一点，于点H，以为直径作，当与的交点落在上时，的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质，直径所对的圆周角是直角和勾股定理，当与的交点D落在上时，因为是直径，可以判定，证明推出，同理得到，进而证明垂直平分，求出的长度，进而求出的长度，最后证，即可求出的长度． 【详解】解：如图所示，当与的交点D落在上时， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴垂直平分， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴， ∵， ∴， ∴ ， 故选：C． 55．如图，在中，，是的直径，与边交于点，为的中点，连接，与交于点．    (1)若，求的大小； (2)求证：； (3)若，，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，圆周角定理及其推论，直角三角形两锐角互余求解即可； （2）根据圆周角定理及其推论，三角形外角的性质证明，即可得出结论； （3）连接，设，则，，证明，得，即，解得，又由勾股定理，得，即，解得：，则， ，，由勾股定理，得，得到，继而可求得，由（2）知，得出，然后根据三角形中线性质由求解即可． 【详解】（1）解：连接，如图，   ， ∴， ∴，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴． （2）解：如图，   ， ∴ ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ． （3）解：连接，如图，    ∵是的直径， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵ ∴ ，即， ∴ 由勾股定理，得，即 解得：， ∴， ，， 由勾股定理，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知， ∴ ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，三角形中线的性质等知识．熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 56．如图，四边形内接于，，是对角线，点在的延长线上，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)与的延长线交于点，若，，， ①求的值． ②求的长． 【答案】(1)相切，见解析 (2)①；② 【分析】（1）连接，根据圆内接四边形的性质及圆周角定理推出，据此即可得解； （2）连接，与交于点，根据垂径定理得出，，根据题意得到，根据相似三角形的性质得到，据此即可得解； （3）先证明，根据相似三角形的性质得到，再由在中，求解即可． 【详解】（1）解：相切，理由如下， 证明：连接，如图1， ∵ 四边形内接于，， ∴ 是的直径，即点在上． ∴ ． ∴ ． ∵ ． 又∵ ， ∴ ∴，即． ∴ ∵是的半径 ∴是的切线． （2）解：①如图2，与交于点， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴垂直平分 ∴ ，． ∴； ②∵ ，， ∴ ． ∴ ∴设，则，． 在中，， ∴ ． 解得：，（舍）． ∴ ． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出是解本题的关键． 57．如图，等腰内接于，，是边上的中线，过点作的平行线交的延长线于点，交于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：为的切线； (3)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）由可判定，由全等三角形的性质得，由平行四边形的判定方法，即可得证； （2）连接并延长交于，由三角形的外心得，由平行四边形的性质得，即可得证； （3）过点作交于，连接，由等腰三角形的性质得，由勾股定理得，从而可得， 由正弦函数得，可求的值，由勾股定理得，求出和的值，由相似形的判定方法得，由相似形的性质得，即可求解． 【详解】（1）证明：是边上的中线， ， ， ， 在和中， ， （）， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：连接并延长交于， 等腰内接于， ∴弧弧， ， 四边形是平行四边形， ， ， 即：， 为的切线； （3）解：过点作交于，连接， ， ，， 则， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，平行四边形的判定及性质，切线的判定，三角形的外心，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，正弦函数，相似三角形的判定及性质，勾股定理等；掌握圆的基本性质，平行四边形的判定及性质，切线的判定，作出恰当的辅助线构建直角三角形，熟练利用勾股定理求边长是解题的关键． 58．如图，是的直径，，点为弧的中点，连接交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)求的周长； (3)若点为上一点，当为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或或 【分析】（1）连接，易得，，则，，根据点为弧得中点，得出，进而得出，即可求证； （2）根据勾股定理得出，用等面积法求出，再根据勾股定理可得出，，则，即可求解； （3）根据等腰三角形的性质，进行分类讨论：①当时，②当时，③当时． 【详解】（1）证明：连接 是直径， ， ∴， ， ， ∴， 点为弧得中点， ， ， ． （2）解：，， ∴在中，， ∵， ∴， 解得：， 在中，根据勾股定理可得：， ∵， ∴在中，， ， 的周长． （3）解：①当时， ，    ②当时， 与重合，过点F作于点H，连接, ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴，则， 解得：， 根据勾股定理可得：， ∴； ③当时，连接，连接交于点G， ∵，， ∴垂直平分， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴，， 根据勾股定理可得：，， 综上所述：或或或． 【点睛】本题考查了勾股定理，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造直角三角形和求解． 考点十、函数背景下的相似三角形的性质与判定的应用 59．如图，点在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点，点为轴上一点，且，连接，若的面积是6，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 过点A作轴，过点B作轴，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，然后结合图形及面积求解即可． 【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示： ， ， ∵点A在双曲线上，点B在， ，， ， ， ， ， ，轴， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：4． 60．如图，已知抛物线与轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点． (1)抛物线的顶点坐标_________； (2)当时，如图1，当点P在直线上方的抛物线上时，连接、，交于点，若，求的取值范围； (3)在（2）的基础上，已知M是直线上一动点，将点M绕着点O顺时针旋转必得到点，若点恰好落在二次函数的图象上，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)点的坐标为或． 【分析】（1）由，即可求得答案； （2）过点作轴交于，过点轴交于，利用待定系数法可得直线的解析式为设则由可得，即取得最大值结合即可求得答案； （3）过点作轴于点，过点作轴于点，则，可证得出，设点则可得，即可求解． 【详解】（1）解： ， ∴抛物线的顶点坐标为：， 故答案为：． （2）解：当时，抛物线为：， 当时，， ∴点， 当时，， 解得：，， ∴点，， 如图，过点作轴交于，过点轴交于， 设直线的解析式为把，代入，得 ， 解得： ∴直线的解析式为： 设且则 ∵， ∴， 轴，轴， ， ∴当时，取得最大值 ∴的最大值为 ； （3）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则， 当点绕着点顺时针旋转得到点时， 在和中， ， 设点则， ∵点在抛物线上， ， 解得： 或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、相似三角形的判定质、待定系数法求一次函数的解析式和二次函数析式、直角三角形的性质，解题的关键是作出图形利用全等三角形的性质求出点的坐标． 61．在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧． (1)求点A，点B的坐标； (2)如图1，直线与二次函数的图像交于A，D两点，点D的坐标是．点P是x轴上方的抛物线上的一个动点，过点P作轴，交x轴于点E，交直线于点Q，过点P作于点F，直线交x轴于点H．若，设点P的横坐标是点t，求L关于t的函数关系式，并求L的最大值； (3)已知点M的坐标是，过点M作y轴的垂线，垂足为点N，若二次函数的图像与线段只有一个交点，则a的取值范围是________． 【答案】(1)， (2)，最大值为 (3)或或 【分析】本题考查二次函数的综合运用，涉及求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数与直线交点问题； （1）令得，解方程即可得到点A，点B的坐标； （2）先求出一次函数和二次函数的解析式，设直线与轴交于点，则， 再证明，得到，，最后根据，，代入计算即可； （3）分三种情况：当时，当时，二次函数与直线唯一交点，分别画出图形，结合图形计算即可． 【详解】（1）解：令得， 整理得， 解得， ∵二次函数的图像与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧， ∴，； （2）解：∵直线与二次函数的图像交于A，D两点，点D的坐标是 ∴把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为：， 把，代入得， 解得， ∴直线解析式为， 设直线与轴交于点，则， ∴，， ∵点P是x轴上方的抛物线上的一个动点，过点P作轴，交x轴于点E，交直线于点Q，点P的横坐标是点t， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时有最大值，最大值为； （3）解：∵点M的坐标是，过点M作y轴的垂线，垂足为点N， ∴， ∵二次函数的图像与线段只有一个交点， ∴当时， 时，解得； 当时， 时，解得； 当二次函数与直线唯一交点时，只有一个解， ∴，解得（舍去）或， 此时，，即二次函数与直线唯一交点在线段上， 综上所述，a的取值范围是或或． 62．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．     (1)求抛物线的表达式． (2)若点在抛物线上，且位于第三象限． ①如图1，作轴于点，交于点．若为的中点，求点的横坐标． ②如图2，连接，，交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】(1) (2)①点的横坐标为；② 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求出，利用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，，代入直线解析式得出，求解即可；②作轴，与的延长线交于点，则，由相似三角形的性质可得，推出，由题意可得，则，设，则点的纵坐标为，代入直线得出，从而得出，表示，即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①在中，令，则，即， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∵为的中点， ∴， 将代入直线得， 整理得：； 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴点的横坐标为； ②如图，作轴，与的延长线交于点， ， 则， ∴， ∵的面积为，的面积为， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则点的纵坐标为， ∵点在直线上， ∴令，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 63．如图1，抛物线与轴交于点和点（点位于点左侧），与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)连接，点位于线段上方且是该抛物线上的一点．连接与交于点，如图2，连接，，分别设，的面积为，． ①若，求点的横坐标； ②如图3，过点作交于点，连接，分别设，的面积为，，判断是否存在最大值．若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式，令，计算即可得解； （2）①由已知可得，则根据三角形面积公式可求出，代入，即可求出点P的横坐标； ②先求出，直线解析式为，设点A到的距离为，点D到的距离为，证明，得出，根据三角形面积公式可求出，则当最大时，最大，设过点P平行的直线为，则该直线与抛物线只有一个公共点时，最大，然后联立方程组，可得 ，求出h的值，代入方程求出x即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点（点位于点左侧），与轴交于点， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， 令，则， 解得：，， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 把代入，得， 解得，（舍去） ∴点P的横坐标为； ②∵， ， ∴，， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为， 设点A到的距离为，点D到的距离为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当最大时，最大， 设过点P平行的直线为， 该直线与抛物线只有一个公共点时，最大， 联立方程组， 化简，得， ∴， 解得， 代入，得， 解得， ∴点P的横坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法，二次函数与一元二次方程，根的判别式，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 考点十一、相似三角形的实际应用 64．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理，小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，小孔O到地面距离为，则实像的高度（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证明得到，再证明得到，再把①和②相加变形得到，然后把，，代入计算即可，利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系． 【详解】解：依题意， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ， 则①②得， ， ， ∵，， ， 解得， 故选：B． 65．如图，玻璃桌面与地面平行，桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，在地面．上形成的影子为（不计折射），．    (1)在桌面上沿着AB方向平移铅笔，试说明CD的长度不变． (2)桌面上一点P恰在点O的正下方，且，，，桌面的高度为．在点O与所确定的平面内，将绕点A旋转，使得的长度最大． ①画出此时所在位置的示意图； ②求的长度的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②75 【分析】本题考查了相似三角形的应用举例，勾股定理的实际应用，正确写出比例式，并进行换算是解题关键． （1）设平移到，在地面上形成的影子为．利用平行相似即可； （2）①以为圆心，长为半径画圆，当与相切于时，此时最大为； ②先证明，再利用勾股定理求出，由（1）同理得出，即可求出的长度的最大值． 【详解】（1）解：设平移到，在地面上形成的影子为．   ， ，，， ，，， ， ， ， 沿着方向平移时，长度不变． （2）解：①以为圆心，长为半径画圆， 当与相切于时，此时最大为． 此时所在位置为．    ②，， ， ， 设，则， 在中， ， ， ， ，（舍去）， ， 由（1）同理得出， ， ， 即的长度的最大值为． 66．如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距18米，路灯的高度比路灯的高度低1米．夜晚，身高为1.6米的小明以1米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为t秒．当行走3秒时，他走到了P处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点B）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)若小明身高是影子与的比例中项，求此时t的值． (3)有言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离． ①从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长 （用含t的代数式表示）； ②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的！请直接写出小明在路灯下的影子的顶端N在地面上移动的速度为   米/秒． 【答案】(1)米 (2)4或14 (3)①；② 【分析】本题考查了相似三角形的应用，能根据题意列出比例式是解题的关键； （1）根据题意表示出，，长度，设米，则米，由可得，代入计算即可； （2）设，由可得，，由可得，再由是影子与的比例中项，可求t； （3）设O是小明在路灯下影子的起止位置，根据求出即可得出影子的速度． 【详解】（1）解：由题意得米，米，米， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：路灯的高度为米； （2）由题意可知：， ∵， ∴， 设，则有， 解得： ， ∵， ∴， 设，则有， 解得， ∵是影子与的比例中项， ∴，即， 化简得：， 解得：，， ∴t的值为：4或14； （3）①∵， ， ∴， ②如图设O是小明在路灯下影子的起止位置，小明由B到P则影子有O到B，影子交于点G， 有（1）得， ， ， ， ， ， 移动的速度为（米/秒） 故答案为：①；②． 67．综合与实践 背景 晚上小明在广场上散步，如图（a）所示，，是广场上的两根电线杆，小明站在点E处，在两盏路灯B，D的照射下，地面上形成了他的两个影子，．    素材1 两盏路灯B，D的高均为，两盏路灯相距，小明的身高为． 素材2 A，C，E，G，H在同一平面内，电线杆和人均垂直于地面． 问题提出 小明在广场中走动时（始终保证影子，不为0），两个影子端点间的距离是否会发生改变？ 问题解决 任务1 计算 （1）如图（b），当小明影子长为时，此时小明到电线杆的距离为多少？ 任务2 说理 （2）小明在广场上走动的过程中两个影子端点间的距离是否会改变？若的长不变，请求出的长；若的长度发生变化，请说明理由． 任务3 拓展 （3）小明在广场的某个位置向上跳起再落下，在该过程中最长达到，请直接写出小明从起跳到落下的过程中，头顶距离地面的最大高度． 【答案】（1）；（2）的长不变，；（3）头顶距离地面的最大高度为 【分析】（1）证明，运用相似三角形的性质即可得出结论； （2）连接，证明，得出，根据，证明，得出，求出，得出，即可求出结果； （3）由，得出，得出，即，根据，求出结果即可． 【详解】解：（1）根据题意可得：， ， ， ， ∴， 解得： ∴ ∴此时小明到电线杆的距离为； （2）的长不变，连接，如图所示：    根据题意可知：，， ， ∴， 根据解析（1）可知：， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）同（2）可得， ∴， ∴， 即，    ∵， ∴， 解得：， ∴此时小明头顶离地面的最大高度． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，比的基本性质，根据题意证明三角形相似，利用比例式求解是解题的关键． 68．张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中高张帅傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点E． (1)当点P恰好为中点时，___________ (2)当四边形为正方形时，求出这个零件的边长； (3)图2，如果把这块材料形状改为的斜板，已知，，，要把它加工成一个形状为平行四边形的工件，使在上，P、N两点分别在，上，且，求出平行四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了相似三角形的应用，借助标杆或直尺测量物体的高度． （1）根据，得到，利用相似三角形的性质可得到答案； （2）设正方形的边长为 ，根据，得到，得到对应高之比等于相似比，，据此求解即可； （3）过点作于，交于，同理可证，，得到，利用勾股定理和面积法求出，，从而求出，则． 【详解】（1）解：四边形为矩形， ∴，， ∴， ， 为中点， ， ， ； 故答案为：； （2）解：四边形为正方形， ∴，， 设正方形的边长为，则， ∵， ∴， ， ， 解得， ∴这个零件的边长为； （3）解：过点作于，交于，如图所示： 同理可证，， ， 在中，，，， ， ， ， ， ， ， ， 平行四边形的面积为． 69．阅读理解： 如图1，是的高，点E、F分别在和边上，且，可以得到以下结论：． 拓展应用： (1)如图2，在中，，边上的高为4，在内放一个正方形，使其一边在上，点E、F分别在上，求正方形的边长是多少？ (2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为，底边长为的等腰三角形展台．现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3所示，将底边的长度看作是0排隔板的长度． ①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度（单位：厘米）随着排数（单位：排）的变化而变化．请完成下表： 排数/排 0 1 2 3 … 隔板长度/厘米 160 __________ 80 … 若用n表示排数，y表示每排的隔板长度，试直接求出y与n的关系式__________； ②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？__________ 【答案】(1)正方形的边长为 (2)①；；②最多可以摆放38瓶葡萄酒 【分析】本题考查了相似三角形的应用，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，找出规律是解题的关键． （1）过点A作于D，交于H，由，可求解； （2）①由等腰三角形的性质可得，由勾股定理可求，设第1排的隔板长为，由阅读理解的结论可列方程，即可求解． ②分别求出每排最多可以放多少葡萄酒瓶，即可求解． 【详解】（1）解：如图2，过点A作于D，交于H， 由阅读理解的结论可得：， 设正方形的边长为x， ∴， ∴， ∴正方形的边长为； （2）解：①如图，过点A作于D， ∵， ∴， ∴， 设第1排的隔板长为， 由阅读理解的结论可得： 解得：； ∴， ∴； ②当时，隔板长， ∴可以作正方体的个数（个）， 当时，隔板长， ∴可以作正方体的个数（个）， 当时，隔板长， ∴可以作正方体的个数（个）， 当时，隔板长， ∴可以作正方体的个数（个）， 当时，隔板长， ∴可以作正方体的个数（个）， 当时，隔板长， ∴可以作正方体的个数为0个， ∴第1排最多可以摆放13瓶葡萄酒，第2排最多可以摆放10瓶葡萄酒，第3排最多可以摆放8瓶葡萄酒，第4排最多可以摆放5瓶葡萄酒，第5排最多可以摆放2瓶葡萄酒，第6排最多可以摆放0瓶葡萄酒， ∴（瓶）， 综上所述：最多可以摆放38瓶葡萄酒． 70．【数学眼光】 星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】 问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ 【答案】问题一：；问题二：；问题三：见详解 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质， 问题一：根据反射特点可知，即可证明，有，即可求得． 问题二：由反射特点可知，，证得，，有，，结合得到，求得，可得； 问题三：（1）在角度误差上分析；（2）在测量距离上分析即可． 【详解】解：问题一：由反射特点可知， 又∵， ∴， ∴ ∵，， 即：， ∴． 问题二： 由反射特点可知，， ∵ ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，，，， ∴，解得， ∴， 解得； 问题三：（1）理论上入射角等于反射角，即本题中直角减去入射角和反射角得到和，实际操作中有误差； （2）实际中测量两点之间的距离也存在误差． 考点十二、应用相似三角形的性质与判定解决动点（图）问题 71．如图，在中，，，，动点从点开始在线段上以每秒的速度向点移动，同时点从点开始在线段上以每秒的速度向点移动．当一点停止运动，另一点也随之停止运动．设点，移动的时间为秒．当为何值时，与相似？ 【答案】当为 或 时，与相似． 【分析】先利用勾股定理求出，由题意得，，，则，分当时，当时，两种情况利用相似三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】解：在△中，，，， ， 由题意得，，， ， 当时，， ， ， 解得； 当时，， ， ， ， 当为 或 时，经检验，它们都符合题意，此时与相似． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，函数关系式，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 72．如图，在中，，，，D、E分别是、的中点，连接．点P从点D出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，当点P停止运动时，点Q也停止运动，连接，设运动时间为，解答下列问题：    (1)当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与相似？ (2)当t为何值时，为等腰三角形？（直接写出答案即可）； (3)当点Q在B、E之间运动时，是否存在某一时刻t，使得分四边形所成的两部分的面积之比为？若存在，求出此时t的值以及点E到的距离h；若不存在．请说明理由． 【答案】(1)当为或时，以点、、为顶点的三角形与相似 (2)或3或或秒时，是等腰三角形 (3)的值为， 【分析】（1）如图①所示，当时，是直角三角形．解决问题的要点是将的三边长、、用时间表示，这需要利用相似三角形比例线段关系； （2）分三种情形讨论，如图3中，当点在线段上时，；如图4中，当点在线段上时，；如图5中，当点在线段上时，；如图6中，当点在线段上时，．分别列出方程即可解决问题． （3）本问要点是根据题意，列出一元二次方程并求解．假设存在时刻，使，则此时，由此可列出一元二次方程，解方程即求得时刻；点到的距离利用的面积公式得到． 【详解】（1）解：如图1中，    在中，，， ． 、分别是、的中点． ∴，，且， ①时， ，， ∴， ∴， 由题意得：，， 即， 解得； ②如图2中，当时，，   ， ， ， 当为或时，以点、、为顶点的三角形与相似． （2）解：如图3中，当点在线段上时，由，可得，． 如图4中，当点在线段上时，由，可得，解得． 如图5中，当点在线段上时，由，过点Q作于G， ∴，， ∴，即， 解得． 如图6中，当点在线段上时，由，过点P作于M， ∴，， ∴，即， 解得． 综上所述，或3或或秒时，是等腰三角形．    （3）解：假设存在时刻，使， 则此时，如图，作于．    ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ， 即， 解得，（舍去）． 当时， ，， ，， ． ， ． 此时的值为，． 【点睛】本题是动点型综合题，解题关键是掌握动点运动过程中的图形形状、图形面积的表示方法．所考查的知识点涉及到勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、解方程（包括一元一次方程和一元二次方程）等，有一定的难度．注意题中求时刻的方法：最终都是转化为一元一次方程或一元二次方程求解，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 73．如图，在中，，点M从点A出发，沿折线以速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿方向以的速度向点A运动，点M到达点C时，点M，D同时停止运动，当点M不与A，C重合时，作点M关于直线的对称点N，连接交于点E，连接．设运动时间为，请解答下列问题． (1)当t为何值时，？ (2)点M在线段上运动时，是否存在某一时刻t使得与相似？若存在，请求出此刻的t值：若不存在，请说明理由； (3)点M在线段上运动时，是否存在某一时刻t使得四边形的面积占面积的六分之五？ (4)当t为何值时，为直角三角形？ 【答案】(1) (2)时，与相似 (3) (4)或 【分析】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，三角函数等知识，熟练利用三角函数表示线段的长是解题的关键． （1）当时，得，则，代入计算即可； （2）考虑两种情况，当或时，根据相似三角形的性质代入计算即可； （3）过点作的垂线段，交于点，证明，求得，再表示出的面积，即可解答； （4）分点在上或点在上，由轴对称性知，是等腰三角形，从而点为直角顶点，利用相似三角形性质表示出和或的长，由建立方程，进而解决问题． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得， ， 当时， ， ， ， 解得， 时，； （2）解：如图，当时， ， ， 解得， 如图，当， ， ， 解得（舍去）， 综上，时，与相似； （3）解：如图，过点作的垂线段，交于点， ，， ， ， ， ， ， 当四边形的面积占面积的六分之五时，的面积占面积的六分之一， 可得， 解得（舍去）， ； （4）解：点是点关于直线的对称点， ，， 为等腰三角形， 当为直角三角形时，， ， ， 此时 为等腰直角三角形， 即， ①如图，当在上运动时，此时， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ，符合题意， ②如图，当在上运动时，此时， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ，符合题意， 综上所述，当或时，为直角三角形． 74．已知：如图，在△中，，，，，点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位；点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位，作， ，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为． 解答下列问题： (1)四边形是菱形时，求的值； (2)为何值时，点在边上； (3)连接、设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)与之间的函数关系式为； (4)以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时的值为或或． 【分析】（）根据菱形的性质得出即可求解； （）由（）得：四边形是平行四边形，，，证明，根据相似三角形的性质即可求解； （）设与交于点，由（）得：四边形是平行四边形，则，再由即可求解； （）根据相似三角形的性质和勾股定理得出，又，，然后分当时，当时，当时三种情况分析即可； 本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，解一元二次方程，勾股定理，建立函数关系式，等腰三角形的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意得：，， ∴，， ∵， ， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∴， ∴； （2）解：如图，由（）得：四边形是平行四边形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，设与交于点， 由（）得：四边形是平行四边形， ∴， ∴ ， ∴与之间的函数关系式为； （4）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， 当时，， ∴； 当时，，整理得：， 解得：（舍去）或； 当时，，整理得： 解得：（舍去）或； 综上可知：以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时的值为或或． 75．如图，在中，，，．动点从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点运动．过点作交边或边于点，且点不与点A、重合，点不与点重合．设线段的中点为，将截得到的小三角形绕点旋转，得到，设点的运动时间为秒． (1)求的长． (2)用含的代数式表示线段的长． (3)当点在边上时，连结，当线段的最小时，求的值． (4)在点运动过程中，当点落在斜边中线上时，直接写出的值． 【答案】(1)3 (2)或 (3) (4) 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）直接由勾股定理求解即可； （2）分两种情况：当点Q在上时，，当点Q在上时，，分别求长即可； （3）过点M作于N，求得，，由勾股定理得，利用二次函数最值，求得当时 ， 有最小值，有最小值． （4）设斜边的中线为，则，根据，得，即，求出t值即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴． （2）解：当点Q在上时， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 当点Q在上时， 同理可得：， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 综上，线段的长为：或． （3）解：过点M作于N，如图， 由旋转可得：． ∵， ∴四边形为矩形 ∴．， ∴． 由（2）知：， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴当时，有最小值，有最小值． （4）解：设斜边的中线为． ∴． 由旋转可知：四边形为平行四边形， ∴，． 当点落在上， ， ∴． 由（2）知：， ∴． ∴． ∴当点落在斜边中线上时t的值为． 76．如图，在中，，，，动点P从点B出发，以每秒5个单位长的速度沿向点A运动，过点P作于点Q，以为边向右作矩形，使，点F落在射线上．设点P的运动时间为t（）秒． (1)求的长（用含t的代数式表示）； (2)求点E落在区域（含边界）内的时长； (3)连接，当与相似时，求t的值； (4)当将的面积分成两部分时，直接写出点E到的距离． 【答案】(1) (2)秒 (3)的值为或1 (4)1或 【分析】（1）由题意可知，得，由此可知，代入相关数据即可求解； （2）找到临界位置，当点在上时，和重合，在的边界上，若再继续向点运动，则点不在内，再此时证明，可知，据此列出方程即可求解； （3）由（1）可知，，，则，则，分两种情况：当时，；当时，，即：，分别求解即可； （4）由题意得，若将的面积分成两部分，可知或，分两种情况：当时，，当时，，结合面积列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知，，则， ∴； （2）由勾股定理可知，， 当点在上时，和重合，在的边界上，若再继续向点运动，则点不在内， 此时，，，则，， ∵四边形是矩形， ∴，，则， ∴， ∴，即：，解得：， 即：点落在区域（含边界）内的时长为秒； （3）由（1）可知，，，则， 则， ∵， ∴当时，，即：，解得：； 当时，，即：，解得：； 综上，当与相似时，的值为或1； （4）， 若将的面积分成两部分， 则或， 当时，， ∴，解得：， 此时，，，则， ∴点在线段上，则， 即：点到的距离为1； 当时，， ∴，解得：， 此时，，，则， ∴点在射线上，则， 即：点到的距离为； 综上，点到的距离为1或． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、列代数式、方程的应用等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答此题的关键． 77．如图，在中，．动点P从点B出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点A运动．作点A关于点P的对称点D，连结与．设点P的运动时间为t秒（）． (1)当点P和点C重合时，线段的长为______； (2)当点P在边上运动时，若为等腰三角形，求t的值； (3)当点P在边上运动时，求周长的最小值，并求出此时t的值； (4)不添加任何辅助线，当图中存在三角形与相似时，直接写出t的值． 【答案】(1)5 (2)t的值为或 (3) (4)当图中存在三角形与相似时， t的值为或3或 【分析】（1）利用勾股定理和线段的垂直平分线的性质解答即可； （2）利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答，当时，当时，当时，进而得到关于t的方程，解方程即可； （3）延长至，使，取的中点M，连接交于点P，此时周长的最小，利用三角形的中位线的性质得到周长的最小值； （4）利用分类讨论的方法和相似三角形的判定与性质解答即可． 【详解】（1）∵ ∴ 当点P和点C重合时 ∵，点A关于点P的对称点D， ∴ ∴垂直平分 ∴ （2）当时，如图， ∵ ∴ 由题意得： ∴， ∵ ∴，解得：； 当时，如图， 由题意得：，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴，此方程无解； ∴不存在； 当时，如图， 由题意得：， ∴ ∵ ∴，解得： 综上，为等腰三角形时，t的值为或 （3）延长至，使，取的中点M，连接交于点P，此时周长的最小 ∵垂直平分 ∴ ∵ ∴ ∵， ∴为的中位线 ∴ ∴周长的最小值 过点M作 ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴周长的最小值 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵动点P从点B出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点A运动， ∴ （4）当点P为的中点时， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴时满足存在三角形与相似； 当点P与点重合时 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴时满足存在三角形与相似； 当点P与点重合时 如果 ∴，即 由题意得：， ∴ ∴ ∵，解得：（不符合题意得舍去） 综上：当图中存在三角形与相似时， t的值为或3或 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论的思想方法，等腰三角形的性质，本题是动点问题，利用的代数式表示出相应线段的长度是解题的关键． 78．如图，在中，．点E从A出发，沿方向向B匀速运动，速度是；同时，点F从B出发，沿方向向C匀速运动，速度是．将沿折叠，E的对称点为G．设运动时间为（），请回答下列问题： (1)t为何值时， (2)设四边形的面积为，求S关于t的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使得点G落在线段上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (4)是否存在某一时刻t，使得四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)t为时，； (2)S关于t的函数关系式为； (3)存在某一时刻t，使得点G落在线段上，此时； (4)不存在时刻t，使得四边形为菱形，理由见解析． 【分析】（1）利用勾股定理求得，利用折叠的性质表示出线段列出关于t的方程即可求得结论； （2）过点F作于点H，利用相似三角形的判定与性质求得线段，利用三角形的面积公式和中点的性质计算即可得出结论； （3）利用折叠的性质和角平分线的性质定理列出关于t的方程，即可得出结论； （4）利用反证法解答，假设四边形为菱形，则，过点E作于点M，利用相似三角形的判定与性质求得线段，在中，利用勾股定理列出关于t的方程，解方程可得，原方程无解，则结论可得． 【详解】（1）． 由题意得：，， ∴. ∵， ∴， 解得． 当t为时，； （2）过点F作于点H，如图， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 由题意：， ∴． ∵ ∴． ∴S关于t的函数关系式为； （3）存在某一时刻t，使得点G落在线段上，理由： 由题意：， ∵点G落在线段上， ∴. 由（2）知， ∴， 即， 解得. ∴存在某一时刻t，使得点G落在线段上，此时； （4）不存在时刻t，使得四边形为菱形，理由： 若四边形为菱形， ∴， 过点E作于点M，如图， ∵ ∴ ∴， 即， ∴， ∴． ∵， ∴， 整理得：， ∵Δ， ∴此方程无解， ∴不存在时刻t，使得四边形为菱形． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，本题是动点问题，利用已知条件用t的代数式 表示出相应线段的长度是解题的关键. 考点十三、位似变换的综合应用 79．如图，在中，，，，点是的中点，连接，分别交、于点、．给出下面四个结论： ①； ②； ③和是以点为位似中心的位似图形； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ．    【答案】①② 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，位似图形的性质．由斜边中线的性质，可判断①；由斜边中线的性质，求得，得到，证明，可判断②；利用勾股定理求得斜边的长，证明和，利用相似三角形的性质求得的长，推出，可判断③；求得的值，据此可判断③④． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴，故①说法正确； ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②说法正确； ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴和不是以点为位似中心的位似图形，故③说法错误； ∵， ∴， ∵， ∴，故④说法错误， 综上，正确的有①②． 故答案为：①②． 80．如图1，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，．    (1)请在图1中画出以点O为位似中心的位似图形（原点右侧），使与的位似比为； (2)若（1）中的直线与双曲线交于M、N两点（点M在点N的左侧），请在备用图中画出草图，解答下列问题： ①请求出点M与点N的坐标： ②点P在双曲线即第三象限的图像上，求面积S的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①画图见解析，，；② 【分析】（1）根据位似比为，且两三角形在原点两侧确定出A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）①根据（1）所求得到，，进而求出直线的解析式为，据此画出对应的图形，联立直线的解析式与反比例函数解析式，即可求出M、N的坐标；②先分别过点和作轴的平行线，再过点作轴的平行线，与前两线分别交于点、．设，则，，，，，由得到，根据完全平方公式的变形得到 则，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）解：①由（1）作图可得，， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为． 联立得：或 ∴，； ②如备用图，先分别过点和作轴的平行线，再过点作轴的平行线，与前两线分别交于点、． 设，则由题意可得：，，，， ∴，，，，， ∴ ∵， ∴，， ∵， ∵ ∴ ∴当且仅当即时，的面积取得最小值．    【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，完全平方公式的变形求值，画位似图形，求位似图形对应点坐标等等，通过位似比，以及关于原点位似的图形的特点求出A、B的坐标，进而求出M、N的坐标是解题的关键． 81．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度．A、B、C三点在直角坐标系中的位置如图所示． (1)在y轴上存在一点P，使最小，在x轴上存在一点Q，使最小，连接，求所在直线的表达式； (2)以点O为位似中心，在第三象限内画出的位似图形，，并写出三个顶点的坐标； (3)的三个顶点、、三个点能确定一个圆吗？如果能，请直接写出圆心坐标及半径长；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析，，，； (3)能，，半径长为 【分析】（1）根据图形得到，，，作关于y轴的对称点，连接交y轴于点，根据两点之间线段最短，以及轴对称性质，得到，即当，，三点共线时，最小，利用待定系数法求得直线的解析式，得到点的坐标，同理求得点的坐标，连接，设所在直线的表达式为，再利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据位似的性质求得各点的坐标，描点，连线得到； （3）根据不在同一直线上的三个点确定一个圆，作的垂直平分线，作的垂直平分线，与交于点，连接，，，根据垂直平分线性质得到点为的三个顶点、、构成的圆的圆心，根据图形即可得到圆心坐标，再利用勾股定理求解，即可得到半径长． 【详解】（1）解：由图知，，，， 作关于y轴的对称点，连接交y轴于点，根据两点之间线段最短，以及轴对称性质，得到，即当，，三点共线时，最小， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 点的坐标为； 作关于x轴的对称点，连接交x轴于点， 同理可得，此时最小， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，有，解得， 点的坐标为； 连接，设所在直线的表达式为， ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：所作如下图所示： 与位似，， 位似比为， 在第三象限， ，，； （3）解：作的垂直平分线，作的垂直平分线，与交于点， 连接，，， 由图形得，圆心点的坐标为， 半径为． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点情况，作已知图形的位似图形，位似图形性质，不在同一直线上的三个点确定一个圆，垂直平分线性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关性质，并利用数形结合的思想解决问题． 82．已知，点在平面直角坐标系中，小明给了一些m的取值，列出了如表： m … 0 1 … … 0 … … 2 3 2 … 他在直角坐标系中描出这些点后，猜想点M在以点A为顶点的抛物线上． (1)求该抛物线相应的函数表达式，并说明：无论m取何实数值，点M都在此抛物线上； (2)将抛物线向右平移n（）个单位得到新的抛物线，设是新函数的图象与x轴的一个公共点．当时，结合函数的图象，直接写出n的取值范围； (3)设（1）中的抛物线与x轴的交点分别为点B、C（点B在点C的左侧），点D在该抛物线的对称轴上，是以点D为位似中心的位似图形（点A、B、C的对应点分别是点P、Q、M）．若与的相似比是，求m的值． 【答案】(1)，证明见解析； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，等定系数法求函数解析式，位似变换等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接用等定系数法求解即可； （2）先求出点，再利用平移的性质即可求解； （3）利用位似比得到，得到，或，得到，即可求解． 【详解】（1）解：设，将代入得 ， ∴， ， 当时， ∴无论m取何值点M都在该抛物线上． （2）解：由（1）得抛物线的解析式为：， 设抛物线与轴的交点为， 令，则， 解得：，， ∴， 设，， 依题意， 或向右移动到之间时，移动距离为的范围，如图： 移至： 移至，， 移至，， 移至： 移至，， 移至，， ∴． （3）解：如图，与位似，位似比，则， ， ∴， ，， 令，得； 如图， ， ， ， ， ，， 令， 83． 九年级教材内容改编 结合教材图形给出新定义 对于图1中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形，得到四边形；放大四边形，得到四边形．   图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形．图1中，四边形和四边形都与四边形形状相同．我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形． 如图1，对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形，这个点就是位似中心 (1)①在图1中位似中心是点______； ②______多边形是特殊的______多边形；（填“位似”或“相似”） (2)如图2，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于O，A两点，点B是此函数图象上一点（点A，B均不与点0重合），已知点B的横坐标与纵坐标相等，以点O为位似中心，相似比为，将缩小，在第一象限内得到它的其中一个位似．    ①画出（不写作法，不用保留作图痕迹），并求出点，的坐标； ②直线与二次函数的图象交于点M，与经过O，，三点的抛物线交于点N，请判断和是否为位似三角形，并根据位似三角形的定义说明理由．[提示：若直角坐标系中有两点，，且满足，则]． 【答案】(1)①P；②位似，相似． (2)①图见解析，点，的坐标分别为，； ②和是位似三角形，见解析． 【分析】（1）根据位似的概念可知图中的位似中心以及位似多边形是特殊的相似多边形； （2）点B的横坐标与纵坐标相等可联立二次函数表达式与求得点B的坐标，根据位似的概念可求出点A的坐标．运用待定系数法可求出过O，，三点的抛物线的表达式为，通过联立二次函数解析式与可求得点M和N的坐标，最后根据题目中的提示即可得出结论． 【详解】（1）解∶①在图1中可观察得到位似中心为点P； ②根据位似的概念可知，位似多边形为特殊的相似多边形． （2）①，如图所示．   点B的横坐标与纵坐标相等， 点B在直线上． 令， 解得，（舍去）， 则点B的坐标为． 令，解得，． 点A的坐标为． 点O为位似中心，相似比为， ． 点，的坐标分别为，． ②和是位似三角形． 理由如下： 新抛物线经过点O，，， 可设新抛物线的表达式为． 将代入，得， 解得． 经过O，，三点的抛物线的表达式为． 令， 解得，（舍去）． 即点． 同理可得，点． ． ， 和是位似三角形． 【点睛】本题考查了位似的概念及位似与二次函数结合的应用问题，考查了二次函数与直线的交点和用待定系数法求二次函数的表达式．理解位似的概念是本题的难点，能熟练运用待定系数法求出二次函数表达式并将二次函数表达式与含参数的一次函数解析式联立求解是解决本题的关键． 84．在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点旋转一个角度，再将旋转后的多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作；若逆时针旋转，记作． 例如：如图①，先将绕点逆时针旋转，得到，再将以点为位似中心缩小到原来的，得到，这个变换记作． (1)如图②，经过得到，用尺规作出．（保留作图痕迹） (2)如图③，经过得到，经过得到，连接，．求证：四边形是平行四边形． (3)如图④，在中，，，．若经过（2）中的变换得到的四边形是正方形． Ⅰ．用尺规作出点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； Ⅱ．直接写出的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)Ⅰ．见解析；Ⅱ．． 【分析】（1）旋转，可作等边三角形，，从而得出点和点对应点，进而作出图形； （2）根据和位似，与位似得出，，，进而推出，从而，进而得出，同理可得：，从而推出四边形是平行四边形； （3）要使是正方形，应使，，从而得出，从而得出，从而，于是作等边，保证，作直径，保证，这样得出作法． 【详解】（1）如图1， 1．以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两弧在的上方交于点，分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧交于点， 2．延长至，使，延长至，使，连接， 则就是求作的三角形； （2）证明：和位似，与位似， ，，， ， ， ， ， ， 同理可得：， 四边形是平行四边形； （3）如图2， 1．以为边在上方作等边三角形， 2．作等边三角形的外接圆，作直径，连接， 3．作，，延长，交于，连接，， 则四边形是正方形， 证明：由上知：，， ，，，， ， 要使是正方形，应使，， ，， ， ， ， 作等边，保证，作直径，保证，这样得出作法； ，，， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，图形的位似，圆周角定理，确定圆的条件，尺规作图，平行四边形的判定与性质，正方形的判定与性质，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识点是解决问题的关键，需要较强的分析能力． 85．在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象如图所示，直线分别交x轴，y轴于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)在该反比例函数的图象上取一点C，连接，其中交线段于点D，若，且相似比为2，求该反比例函数的表达式； (3)在的内部取一点P，以P为位似中心画，使它与位似，且相似比为5，若M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上，求位似中心P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查相似三角形的性质，反比例函数与几何综合； （1）令，则；，则，进而即可求解； （2）由相似三角形的性质得，从而得的解析式为：，设，进而即可求解； （3）分①当M、N在直线的左侧时，②当M、N在直线的右侧时，两种情况画出图形，利于相似三角形的性质，表示出M、N的坐标即可求解 【详解】（1）解：令中，，则；，则， ∴A，B两点的坐标分别是：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的解析式为：， ∵，相似比为2， ∴， 设，则， ∴，即， ∴该反比例函数的表达式：； （3）解：①当M、N在直线的左侧时， ∵以P为位似中心画，使它与位似，M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上， ∴， ∴M、N关于直线对称， ∴点P在直线上， 设，（）， ∵相似比为5， ∴， ∴，即， 同理：， ∵M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上， ∴，， ∴，， ∵与位似，且相似比为5， ∴， ∴，解得：（舍去）或， ∴； ②同理：当M、N在直线的右侧时，设，， ， 同理：， ∵M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上， ∴，， ∴，， ∵与位似，且相似比为5， ∴， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， 综上所述：或 86．【问题背景】 人教版九年级下册教材第58页第11题：如图1，一块材料的形状是锐角三角形，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，这个正方形零件的边长是多少? 【提出问题】 在满足正方形的一边在三角形的一边上，其余两个顶点分别在另外两边上的条件下，能否在上面的材料上，加工一个面积更大的正方形？如何用直角尺（只能画直角）和圆规画出这个正方形？ 【分析问题】 小敏认为，由于正方形的一边在三角形的一边上，这样就存在三种可能．在已知三边长度的情况下，可以通过计算，分别求出三个正方形的边长，然后比较三条边长的大小，进而知道面积最大的正方形；也可以结合当前所学的位似，分别画出满足条件的正方形，再利用圆规比较三个正方形的边长的大小，即可解决问题． 【解决问题】 为了简化探索过程，小敏取边长分别为的三个等腰三角形（其中为腰）木块进行研究． 如图2，正方形的顶点分别在上，边在上．如图3，正方形的顶点分别在上，边在上． 请你完成下面两个问题： （1）通过计算，比较这两个正方形的边长的大小； （2）在图4中，用直角尺（只能画直角）和圆规画出面积最大的正方形，使其一边在三角形的一边上，其余两个顶点分别在另外两边上（保留画图痕迹）． 【学以致用】 定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形． 小敏类比上面的研究方法，又提出下面问题： 在如图5所示的扇形中，能否用直角尺和圆规画出一个正方形，使其两个顶点在弧上，另外两个顶点在半径上？ 你认为可以吗？如果可以、在图中画出符合条件的正方形（保留画图痕迹）；如果不可以，说明理由． 【答案】解决问题：（1）图2的正方形边长更大，理由见详解；（2）见详解；学以致用：见详解 【分析】解决问题：（1）过A作，交于M，交于N，设正方形边长为x，证明，根据相似三角形性质解得；过B作，交于K，交于H，设正方形边长为，证明，根据相似三角形性质解得．即可判断图2的正方形边长更大． （2）先在上任取一点，过作的垂线，作出以为一边的正方形，连接并延长交于点，再以为边作正方形即可； 学以致用：先画正方形，点、在、上，再作正方形以点为位似中心的位似图形，使它的位似图形的四个顶点落在扇形半径、和弧上即可． 【详解】解决问题：（1）过A作，交于M，交于N， ， ， 设正方形边长为x， 是正方形， ， ， ， ， 解得：； 过B作，交于K，交于H， 设正方形边长为， 是正方形， ， ， ．得． ∴图2的正方形边长更大． （2）先在上任取一点，过作的垂线，然后过作的垂线，然后以为圆心，以为半径画圆交垂线于，然后过作的垂线交于点，作出以为一边的正方形，连接并延长交于点，过点作的垂线交于点，再以为边作正方形即可； 如图，正方形即为所求． 学以致用： 以为圆心，以任意长度为半径画圆交、于，过作的垂线，以为圆心，以长度为半径画圆交垂线于，过作的垂线，然后过作的垂线，交于点，即可画出正方形，然后连接分别弧交于点，连接，分别过作的垂线交、于点，连接，即可作出正方形以点为位似中心的位似图形，它的四个顶点落在扇形半径、和弧上． 如图，正方形即为所求． 【点睛】该题主要考查了位似图形，正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，尺规作图，等知识点，解题的关键是正确做出辅助线以及图象． 考点十四、利用相似三角形解决最值问题 87．如图，在平面直角坐标系中，已知，B是y轴上的一动点，以为边构造矩形，且矩形的面积始终是3，连接，则线段的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴的垂线交射线于点，可证明，则，化简得，而，得到，取中点，连接，则，则，由勾股定理得，由得当点三点共线时，取得最大值，即． 【详解】解：过点作轴的垂线交射线于点，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 取中点，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∵，当点三点共线时，取得最大值， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质，三角形三边关系，解题的难点在于构造相似三角形． 88．如图，在正方形中，，，点F在上运动（不与点A，D重合），过点F作交于点G，则的最大值为（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，二次函数的最值问题，正方形的性质，证明是解题的关键． 先求出，设，则，证明，得到，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：， ． 四边形是正方形， ． 设，则． ， ． ， ， 又， ． ，即． ． ， 当时，取得最大值，最大值为． 故选：B． 89．如图，在中，，，，的顶点在上运动，且，，为线段的中点，连接，在点运动过程中，线段长的最小值为（    ）． A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】连接，利用相似进行转化先得出，是的中点，可得，再根据当时，最短，此时最短，根据直角三角形的面积以及相似三角形的性质，求得的最小值，即可得出的最小值． 【详解】解：连接，如图所示： ， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵中， ∴， ∴，即， ∵是的中点， ∴， ∵，即， ∴， ∴当时，最短，此时最短， 当时，的面积， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上中线的性质、三角形面积的计算等知识，解决问题的关键是利用垂线段最短得到线段的最小值． 90．如图中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以，为邻边作平行四边形，由平行四边形的性质可知是中点，最短也就是最短，所以应该过作的垂线，然后根据和相似，利用相似三角形的性质即可求出的最小值． 【详解】解：，，， ， 四边形是平行四边形， ，， 最短也就是最短， 过作的垂线， ，， ， ， ， ， 则的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是做高线各种相似三角形． 91．如图，正方形的边长为1，点E是边上一动点（不与点B，C重合），过点E作交正方形外角的平分线于点F，连接，则面积的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】主要考查了正方形的性质，角平分线，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式以及二次函数求最值．先根据正方形的性质和角平分线的性质证明出，设，则，再利用同角的余角相等，判断出，进而得出，得出，然后求出，再根据三角形的面积公式求出的面积，再根据函数的性质求最值． 【详解】解：作于， 四边形是正方形， ， 是的角平分线， ， ， ， ， 设，则， ， 四边形是正方形，， ， ，， ， ， ； ， ， ， ， ， 当时，的最大值为． 故答案为：． 92．已知，如图，中，，半径为1的与三角形的边都相切，点P为上一动点，点Q为边上一动点，则的最大值与最小值的和为 ． 【答案】 【分析】设与相切于点D，与相切于点E，连接，过点O，作垂足为交于此时垂线段最短，最小值为求出当与B重合时，的延长线与交于点 最大值． 本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质与判定，勾股定理的应用，相似三角形的性质与判定等知识，关键是确定的最小值与最大值的位置． 【详解】解： 中，， 设与相切于点D，与相切于点E，连接，过点O，作垂足，交于连接，延长与相交于点F，过F作于点G，如图1， 此时垂线段最短，最小值为，则四边形为矩形，平分 ． 设则 由勾股定理得， 解得： 即 如图2，当与B重合时，连接，延长与交于点 此时为最大值， ， ∴的最大值与最小值的和为： ， 故答案为：． 93．如图，在中，，，分别以点C、A为圆心，以2和3为半径作弧，两弧交于点D（点D在的左侧），连接，则的最大值为 ．    【答案】 【分析】此题是一个综合性很强的题目，主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是做辅助线构造． 作，且，连接，证明，求出，再根据三角形三边关系，当、、在同一直线上时取最大值，进而可以解决问题． 【详解】解：，则， 设， 由，可得， ∴， 作，且， 连接，    由可知，， ∵，即， ∴， ∴，即，则：， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ， ， ， 由题意可知，， 当、、在同一直线上时取等号，即：的最大值为：， 故答案为：． 94．如图，在中，，，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查线段的最小值问题，考查了勾股定理，平行四边形性质和相似三角形求线段长度．利用勾股定理得到边的长度，根据平行四边形的性质，得知最短即为最短，利用垂线段最短得到点P的位置，再证明利用对应线段的比得到的长度，继而得到的长度． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵最短也就是最短， ∴过O作的垂线， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴则PQ的最小值为， 故答案为：． 95．正方形中，，点F为射线上一动点，，垂足为E，连接． （1） ； （2）的最小值为 ． 【答案】 【分析】（1）先证明得到； （2）由可证明，得到，得到，当最小时，最小，当且仅当OEC三点共线时，取得最小值， 此时，，则的最小值为，即可得到的最小值． 【详解】解：（1）∵正方形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 取的中点O，则，连接， ∵， ∴当且仅当O、E、C三点共线时，取得最小值， 此时，， ∴的最小值为， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、添加合适的辅助线求线段最值是解题的关键． 96．如图，若正方形边长为，是上一点， ，点为上一个动点． 将 沿翻折，点的对应点为，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，由折叠性质可知，又四边形是正方形，得，，在上截取，连接，证明，则有，要使有最小值，即使有最小值，则当点三点共线时，有最小值，然后由勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】由折叠性质可知：， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 如图，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 要使有最小值，即要使有最小值， 则当点三点共线时，有最小值， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴的最小值为，即的最小值为， 故答案为：． 97．已知在一些边长相同的小正方形组成的网格中，正方形的四个顶点都在小正方形的顶点上．点P为对角线上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形． (1)当点P（在小正方形的顶点上）的位置如图所示时，请用直尺画出平行四边形； (2)当的最小值为时，求正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，利用垂线段求最小值，相似三角形的判定与性质，熟练运用垂线段求最小值是解决本题的关键． （1）根据平行四边形两组对比分别平行的性质画图即可； （2）设与交于点，根据平行四边形的性质可知，，得出最短时，最小，再过作的垂线,垂足为，此时最短，再得出，根据相似比求出正方形边长即可． 【详解】（1）以，为邻边作平行四边形，如图所示 （2）设与交于点， 为平行四边形， ， 最短时，最小， 过作的垂线,垂足为，此时最短， 的最小值为， ， ， 为公共角， ， ， 设正方形边长为， ， ， 解得， 正方形的边长为． 98．已知等腰直角与等腰直角公共顶点，其中，，，．    (1)如图1，当、、共线时，请你直接写出线段与线段的数量关系； (2)将绕点顺时针旋转一定度数，如图2所示，请问第（1）问中的结论是否仍然成立，请说明理由； (3)若，，将绕点顺时针旋转一周时，连接，直接写出的面积最大值． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】题目主要考查等腰三角形的性质，勾股定理解三角形，相似三角形的判定和性质，旋转的性质等，理解题意，作出相应图象进行求解是解题关键． （1）过点E作，根据矩形的判定和性质得出，再由等腰直角三角形的性质确定，利用勾股定理即可得出结果； （2）根据相似三角形的判定和性质及等腰直角三角形的性质求解判断即可； （3）根据运动是相对的，固定，让绕点A旋转，点C的运动轨迹为一个圆，作出相应图象，得出当且取得最大值时，对应的高即为的长，此时面积最大，然后利用等腰三角形的性质结合图形求解即可． 【详解】（1）解：过点E作，如图所示：    ∴ ∵， ∴四边形为矩形，， ∴， ∵等腰直角， ∴ ∴， ∴， ∴； （2）依然成立，理由如下： ∵等腰直角与等腰直角， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵将绕点顺时针旋转一周， ∴根据运动是相对的，固定，让绕点A旋转，点C的运动轨迹为一个圆，如图所示：    要使得的面积取得最大，则当且取得最大值时，对应的高即为的长，此时面积最大， ∵，等腰直角， ∴， ∵， ∴，， ∴的面积为：， ∴的面积最大值为． 99．如图点是双曲线上一动点，且m，n为关于a的一元二次方程的两根，动直线与x轴、y轴正半轴分别交于点A、B，过点A与垂直的直线交y轴于点E，点F是的中点，过B点且与垂直的直线交的延长线于Q点． (1)求双曲线的解析式； (2)当取最小值求b的值； (3)若点O到的距离等于的最小值，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握反比例函数的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据根与系数关系得出的值，即可得出k的值，进而确定双曲线的解析式； （2）根据P点的坐标求出，再用配方法确定的最值，再由根与系数的关系求解即可； （3）作于G，证，根据线段比例关系得出与的数量关系即可． 【详解】（1）解：∵为关于a的一元二次方程的两根， ∴， ∵点是双曲线上一动点， ∴， ∴双曲线的解析式为； （2）∵点P的坐标为， ∴， ∴当时，有最小值为， 即的最小值为； ∴，即， ∴， ∴， 又∵点P 在第三象限， ∴， ∴ 又， ∴ ∴； （3）解：作于G， ∵点O到的距离等于的最小值， ∴由（2）知，， 设， ∵点F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 又∵，   ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 100．在学习完《图形的旋转》后，数学小组的同学们展开了新的探究． (1)【问题初探】 如图1，在中，点D在边上，交于点E．绕点A逆时针旋转得到（点D的对应点为点，点E的对应点为点），连接，，得到和，如图2，数学小组的同学们发现． 请你帮助他们证明这一发现． (2)【问题应用】 如图3，中，，，，M，N分别为边与的中点．绕点C旋转，点M的对应点为点E，点N的对应点为点F，直线与直线交于点G． ①如图4，当点E落在线段AF上时，求证：； ②当点A，E，F三点在同一条直线上时，直接写出的长． (3)【问题拓展】 如图5，在（2）条件下，连接，取中点K，取中点H，请直接写出的最大值为___________． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②或 (3) 【分析】（1）证明，根据旋转得出，，即可证明； （2）①根据M，N分别为边与的中点．得出，证明，即可得．由旋转可知，，证明，即可证明． ②分为当点G在线段上时，和当点G在线段延长线上时，分别画出图形，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求解； （3）取中点P，连接，根据三角形中位线定理得出．．再结合，即可求解； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴．     由旋转可知，， ∴，， ∴． 又∵， ∴． （2）解：①证明：如图3， ∵M，N分别为边与的中点． ∴， ∴， ∴． 由旋转可知，， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在与中， ∵， ∴． ②解：如图4，当点G在线段上时， ∵在中，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图5，当点G在线段延长线上时， 同理可得，． （3）解：取中点P， ∵K为中点，连接， ∴． ∵H为中点， ∴． ∵， ∴， ∴的最大值为． 【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，三角形中位线定理，旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是证明三角形相似． 试卷第2页，共211页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$