江苏省2024-2025学年苏科版数学八年级上册期末复习（轴对称部分重难点汇编）

江苏省2024-2025学年度八年级上册期末数学复习（轴对称部分重难点汇编） 一、单选题 1．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如果一个等腰三角形的两边长分别是和，那么此三角形的周长是（    ） A． B． C．或 D． 2．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如果等腰三角形的各边长是整数，周长为9，那么这样的等腰三角形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，，的平分线交于点，，，则的面积是（    ） A．6 B．7 C．8 D．14 4．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是（    ） A． B．或 C．或 D． 5．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，在边长一定的等腰直角中，点为斜边的中点，点是边上一动点，过点作，交边于点，在点运动的过程中，关于四边形下列说法正确的是（    ） A．面积不变，周长不变 B．面积不变，周长改变 C．面积改变，周长不变 D．面积改变，周长改变 6．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧相交于点D和点E，直线交于点F，交于点G，连接，若，则的周长为（   ） A．16 B．17 C．18 D．19 7．（23-24八年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，若的面积为9，则的面积为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 8．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，，点，，…在射线上，点，，…在射线上，，，…均为等边三角形，依此类推，若，则的边长为（    ） A．2024 B．4042 C． D． 9．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，是边上的高，是边上的中线，且，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，，为内部一条射线，点P为射线上一点，，点M、N分别为、边上动点，则周长的最小值为（   ）    A．6 B．8 C．12 D．18 11．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，，点B是线段上一动点，且，，以为底边作等腰，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D． 12．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当最小时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）等腰三角形的两边为 a，b，若，则它的周长为 ． 14．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形”这一命题是 命题（填“真”或“假”）． 15．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，将折叠，使点落在边上的处，折痕为，则 ． 16．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交于点，连接，若的周长为15，则的周长是 ． 17．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，边的垂直平分线交于，交于，若平分，，则 度．    18．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，平分交于点，交于点，已知，，则长为 ． 19．（22-23八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，大于长为半径画弧，直线与相交于点E，过点C作，与相交于点F，若，则的度数是 ． 20．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，，边的垂直平分线分别交、于点M、N，点D是边的中点，点P是上任意一点，连接、，若，，当周长取到最小值时， （用含α的代数式表示）． 21．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，，当斜边的垂直平分线分别交线段、于点D,E时，需满足的取值范围为 ． 22．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，和是等腰直角三角形，，连接、．若，，则四边形面积的最大值为 ． 三、解答题 23．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于y轴对称的； (2)在x轴上求作一点P，使的周长最小，并求出的面积． 24．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，为的角平分线．以点为圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接． (1)求证：≌； (2)若，求的度数． 25．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）在中，，直线 l 经过点 A，且与平行．仅用圆规和无刻度的直尺完成下 列画图．（保留画图痕迹，不写作法） (1)如图①，在直线 l 上画出一点 P，使得； (2)如图②，在直线 l 上画出所有的点 Q，使得． 26．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)过点作，垂足为点，若的周长是10，求的长． 27．（23-24八年级上·江苏常州·期末）如图，在中，，是斜边的中点，作，垂足为． (1)求证：E是的中点； (2)将直角边沿点、确定的直线翻折，得到对应线段．当时，判断的形状，并说明理由． 28．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）已知，分别是的边，上的点． (1)如图1，为角平分线上的一点，且，，证明； (2)如图2，为角平分线上的一点，且，请在以下两个选项：①；②中选择一个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明；你选择的条件是______，结论是______；（只填序号） 证明： (3)如图3，若为外一点，分别在边，上求作点、，使得为锐角，且．（要求：利用尺规作图，不写作法，保留必要的作图痕迹） 29．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）【阅读】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为等角三角形．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是等角三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的等角分割线．    【理解】（1）如图1，在中，，，请写出图中两对等角三角形．______；______． 【尝试】（2）如图2，在中，平分，，．求证：为的等角分割线． 【应用】（3）在中，，是的等角分割线，请直接写出的度数． 30．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是（  ） A．        B．        C．       D．     （2）求得的取值范围是（  ） A．     B．    C．    D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”和“中线’字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证： 参考答案： 1．B 【分析】本题考查等腰三角形的定义，分“长的边为底”“长的边为腰”两种情况，结合三角形三边关系，即可求解． 【详解】解：长的边为底时： 三条边长分别为：，，，符合三角形三边关系， 此三角形的周长是； 长的边为腰时： 三条边长分别为：，，， ，不符合三角形三边关系，此种情况不存在， 综上可知，此三角形的周长是． 故选B． 2．B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；所构成的等腰三角形的三边必须满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．由已知条件，根据三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，结合边长是整数进行分析． 【详解】解：等腰三角形周长为9，且各边长为整数， 等腰三角形的边长只能为：1，4，4；或3，3，3；共两个． 故选：B． 3．B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形的面积等知识点，掌握角平分线上的点到两边距离相等是解题的关键． 如图：过点D作于E，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】解：如图：过点D作于E， ∵的平分线，， ∴， ∴的面积是， 故选B． 4．B 【分析】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质．分角是顶角与底角两种情况讨论求解． 【详解】解：角是顶角时，三角形的顶角为； 角是底角时，顶角为， 综上所述，该等腰三角形顶角的度数为或． 故选：B 5．B 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．连接，证明，进而推出四边形的面积等于面积的一半，即可得出结论． 【详解】∵等腰直角， ∴，， 连接 ∵点为斜边的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵的边长一定， ∴四边形的面积为定值， ∵四边形的周长， ∴四边形的周长随着的变化而变化， 故四边形的面积不变，周长改变， 故选B． 6．C 【分析】本题主要考查了勾股定理，尺规基本作图-作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，证明的周长是解题的关键． 先利用勾股定理求出，再根据作图方法可知是线段的垂直平分线，则，最后根据三角形周长公式进行求解即可． 【详解】解：在中，，，， ， 由作图方法可知，是线段的垂直平分线， ， 的周长， 故选：C． 7．C 【分析】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．过点作的垂线，的垂线，由角平分线定理得出，再由三角形面积公式计算即可得到答案． 【详解】解：过点作的垂线，的垂线， 根据题意可得是的角平分线， ，， ， 的面积为9， 即， ， ． 故选C． 8．D 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、三角形的外角性质，等腰三角形的判定及其性质，总结出规律是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，得到，根据等腰三角形的判定定理得到，然后找到规律即可得解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴的边长为． 故选：D． 9．A 【分析】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形外角的性质等知识．如图，连接，则，，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是边上的高，是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 10．A 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称−最短路线问题的应用，解题的关键是确定M、N的位置．作点P关于的对称点，点P关于的对称点，连接，与的交点即为点M，与的交点即为点N，则此时M、N符合题意，求出线段的长即可． 【详解】解：作点P关于的对称点，点P关于的对称点，连接，与的交点即为点M，与的交点即为点N，    的最小周长为， 连接，则， ∴ ， ∴是等边三角形， ∴，即的周长的最小值是6． 故选：A． 11．D 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质以及垂线段最短是解题的关键．过点C作于Q，根据等腰直角三角形的性质可得，由是以为底边的等腰三角形，可得，则点P在的垂直平分线上，当时，的值最小，证明此时是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：过点C作于Q， ∵，， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴点P在的垂直平分线上， 当时，的值最小，此时，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故选：D． 12．B 【分析】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理.三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则 最小，可得 ，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论. 【详解】如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于， 则最小， ，， ， ， ， 故选:C 13．20 【分析】本题主要考查等腰三角形两边相等的性质及三角形的构造条件，三角形三边关系，同时也考查了方程的应用．通过等式可以判断，的长度，已知等腰三角形的两边，通过两边相等及构造条件可以判断三边，求出周长即可． 【详解】解：因为， 所以，． 又因为是等腰三角形， 所以三边长为8，8，4或4，4，8（不满足三角形构造条件，舍去） 所以周长为． 故答案为：20 14．真 【分析】本题主要考查了判断命题真假、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握直角三角形的判定方法．根据真假命题的概念进行判断即可． 【详解】解：一边上的中线等于这边长的一半的三角形是直角三角形是真命题． 如图，已知是的边上的中线，且． 求证：是直角三角形． 证明：∵， ∴， 同理， ∵， 即， ∴，即． ∴是直角三角形． 故答案为：真． 15．103 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形外角的定义及性质，由折叠的性质可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得出答案． 【详解】解：∵， 由折叠可知，． 又∵， ∴． 故答案为：103． 16．9 【分析】本题主要考查的是垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 根据垂直平分线的性质可得，则，然后结合题意求解即可． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交、于点、， ∴， ∵， ∴， ∵的周长为15， ∴， ∴． 故答案为：9． 17．60 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．由线段垂直平分线和角平分线的定义可得，在中由三角形内角和定理可求得． 【详解】解：在线段的垂直平分线上， ， ， 平分， ， 又， ， 故答案为：． 18． 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，证明是解题的关键． 先由勾股定理求出，再由平分和平行线的性质证，得到即可． 【详解】解：在中，由勾股定理得：， 平分， ， ∵ ， ， ， ， 故答案为：． 19．/106度 【分析】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．连接，如图，利用基本作图得到E点为的中点，则根据斜边上的中线性质得到，则，再证明得到，然后根据三角形外角性质计算出，接着计算出． 【详解】解：连接， ， 由作法得垂直平分， ∴E点为的中点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 20． 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、轴对称的性质及三角形内角和，熟练掌握等腰三角形的性质及轴对称的性质是解题的关键；连接，，与交于点H，连接，由题意易得，要使的周长为最小值，则需满足为最小，即为最小，那么只需满足点A、P、D三点共线，即为线段的长，然后问题可求解． 【详解】解：连接，，与交于点H，连接，如图所示： ∵，边的垂直平分线分别交、于点M、N，点D是边的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴要使的周长为最小值，则需满足为最小，即为最小，那么只需满足点A、P、D三点共线，即为线段的长，此时点P与点H重合， ∴， 故答案为． 21．/ 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质及直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据题意分两种情况进行讨论，一是当E点无限靠近A点时，二是当E点与C点重合时，分情况讨论即可得出答案． 【详解】解：根据题意分两种情况进行讨论，（1）当E点无限靠近A点时， 此时无限接近， ， （2）当E点与C点重合时， 此时是等腰直角三角形， ， 综上所述需满足的取值范围为， 故答案为：． 22． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质；证明，则四边形面积的最大时，的面积最大，当时，取得最大值，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至，使得，连接， ∵和是等腰直角三角形，， ∴，，即， ∴， ∴四边形的面积等于， 当面积最大时，四边形面积最大， ∴当时，取得最大值， ∵，， ∴四边形的面积的最大值为， 故答案为：． 23．(1)详见解析 (2)，图见解析 【分析】本题考查了坐标的对称问题，线段和最小作图计算，分割法计算三角形的面积，熟练掌握对称点坐标的计算，正确作图是解题的关键． （1）根据纵不变，横相反，计算坐标，并画图即可． （2） 根据点A关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，点P即为所求．利用分割法计算即可． 【详解】（1）∵与关于y轴对称， ， ∴，画图如下： 则即为所求． （2）根据点A关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P， 则点P即为所求． 根据题意，得． 24．(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）由角平分线定义得出，由作图知由可证明； （2）由作图知：得出由等腰三角形的性质求出则可得出答案． 【详解】（1）证明： ∵是的角平分线， ∴， 由作图知：， 在和中， ∴． （2）∵为的角平分线， 由作图知 ∴ 为的角平分线， ． 25．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质． （1）以点为圆心，为半径画弧交直线于，则，而，，所以，而可得，故； （2）以点为圆心，为半径画弧交直线于，再以点为圆心，为半径画弧交直线于，则，所以，易得，从而可得． 【详解】（1）如图①，点为所作； （2）如图②，点、即为所求， 26．(1)等腰三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质得，所以，根据三角形外角的性质得，再根据，所以，即可得出结论； （2）根据等于三角形三线合一的性质得，所以，所以． 【详解】（1）为等腰三角形， 理由：的垂直平分线交于点， ， ， ， ， ， ， 为等腰三角形； （2）， ， 的周长是10， ， ． 27．(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题）、直角三角形斜边上的中线、等边三角形的判定，熟练掌握翻折的性质、直角三角形斜边上的中线、等边三角形的判定是解答本题的关键． （1）连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得，则为等腰三角形，再结合等腰三角形的性质可得结论． （2）设交于点，根据翻折的性质以及等腰三角形的性质可得，则，可得，进而可得，结合等边三角形的判定可得结论． 【详解】（1）证明：连接． ，是斜边的中点， ． 为等腰三角形． ， 是的中点． （2）是等边三角形． 理由：设交于点， 由翻折可得． ， ． ． ， ， ， ， ． ． ， 是等边三角形． 28．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂线的尺规作图，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）先证明即可解答 ． （2）过点P作于H，于G，由角平分线的性质可得，再利用三角形内角和定理证明，进而得到由此即可证明，则；过点P作于H，于G，由角平分线的性质可得，再利用HL证明，得到，再利用三角形内角和定理证明，由此即可证明． （3）过点P作直线交于C，以C为圆心，以的长为半径画弧，分别交直线于N，交于M，则、即为所求． 【详解】（1）∵为角平分线上的一点， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴． （2）条件①，结论②， 过点P作于H，于G， ∵为角平分线上的一点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 条件②，结论①， 过点P作于H，于G， ∵为角平分线上的一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图所示，即为所求； 过点P作直线交于C，以C为圆心，以的长为半径画弧，分别交直线于N，交于M， 由作图方法可知，，都是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴、即为所求． 29．（1）与，与，与；（2）见解析；（3）或或或 【分析】本题是三角形综合题，考查了等角三角形的定义、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据等角三角形的定义解答； （2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据等角三角形的定义证明即可； （3）分是等腰三角形，、和是等腰三角形，、四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴ ∴，同理，， ∵， ∴与，与，与是等角三角形； （2）∵在中，，， ∴ ∵为角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴为的等角分割线； （3）当是等腰三角形， 如图，时，， ∴， ∴    当是等腰三角形， 如图，时，，    ， ∴， ∴ 当是等腰三角形，的情况不存在， 当是等腰三角形， 如图，时，    ， 当是等腰三角形， 如图，时， ，    设， 则， 则， 由题意得，， 解得，， ∴， 当是等腰三角形，的情况不存在， ∴∠ABC的度数为或或或． 30．（1）B；（2）A；（3）见解析 【分析】 本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力． （1）根据，，推出和全等即可； （2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可； （3）延长到，使，连接，根据证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】 （1）解：在和中 ， ， 故选B； （2）解：由（1）知：， ，， 在中，，由三角形三边关系定理得：， ， 故选C； （3）证明：如图2，延长到，使，连接， 是中线， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， ， ， 即 学科网（北京）股份有限公司 $$