专题四 动态圆模型-2024-2025学年高二物理精剖细解讲义（人教版2019选择性必修第二册）

专题四 动态圆模型 ——精剖细解学习讲义 一、动态圆模型 1、临界条件 带电粒子刚好穿出(不穿出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，故边界(边界的切线)与轨迹过切点的半径(直径)垂直。 2、解题方法 3、临界情况 公共弦为小圆直径时，出现极值。当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大；当运动轨迹圆半径小于圆形磁场半径时，则以轨迹圆直径的两端点为入射点和出射点的圆形磁场对应的圆心角最大。 4、放缩圆模型 模型概述：以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法。 适用条件：速度方向一定，大小不同，粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化。 特点：轨迹圆圆心共线，如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上。 5、旋转圆模型 模型概述：以入射点为圆心，将一半径为R＝的圆进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法。 适用条件：速度大小一定，方向不同。粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为R＝，如图所示。 特点：轨迹圆圆心共圆，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上。 6、平移圆模型 模型概述：将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法。 适用条件：速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上。粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示。 特点：轨迹圆圆心共线，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行。 7、磁聚焦会聚模型 模型概述：大量带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出，如下图所示。 证明方法：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点发出的带电粒子必然经过B点。 8、磁聚焦发散模型 模型概述：有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行，如下图所示。 证明方法：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O1A(O2B、O3C)均平行于PO，即出射速度方向相同，为水平方向。 多选题 1．如图所示，在正方形区域abcd内有方向垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场．在t＝0时刻，位于正方形中心O的离子源向平面abcd内各个方向发射出大量带正电的粒子，所有粒子的初速度大小均相同，粒子在磁场中做圆周运动的半径恰好等于正方形的边长，不计粒子的重力以及粒子间的相互作用力．已知平行于ad方向向下发射的粒子在t＝t0时刻刚好从磁场边界cd上某点离开磁场，下列说法正确的是（    ） A．粒子在该磁场中匀速圆周运动的周期为6t0 B．粒子的比荷为 C．粒子在磁场中运动的轨迹越长，对应圆弧的圆心角越大 D．初速度方向正对四个顶点的粒子在磁场中运动时间最长 2．如图所示，在荧屏MN上方分布了水平方向的匀强磁场，方向垂直纸面向里。距离荧屏d处有一粒子源S，能够在纸面内不断地向各个方向同时发射电荷量为q，质量为m的带正电粒子，不计粒子的重力，已知粒子做圆周运动的半径也恰好为d，则（　　） A．粒子能打到板上的区域长度为2d B．能打到板上最左侧的粒子所用的时间为 C．粒子从发射到达到绝缘板上的最长时间为 D．同一时刻发射的粒子打到绝缘板上的最大时间差 3．如图所示，在直角三角形内存在垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），边长度为，现垂直边射入一群质量均为、电荷量均为、速度大小均为的带正电粒子，已知垂直边射出的粒子在磁场中运动的时间为，运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为，则（　　） A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为 B．该匀强磁场的磁感应强度大小为 C．粒子在磁场中运动的轨道半径为 D．粒子进入磁场时速度大小为 4．如图所示，在一圆形区域内有一垂直于圆平面的匀强磁场，一带电粒子a沿圆形磁场的水平直径AB从A点射入磁场，刚好从竖直直径CD上的D点射出磁场，另一个与a完全相同的带电粒子b，以与a相同大小的速度与AB成30°角也从A点射入圆形磁场区域。则下列说法正确的是（　　） A．b粒子将从B点射出磁场，出磁场时速度方向与AB成30°角斜向右下方 B．b粒子将从BD段圆弧上某点射出磁场，出磁场时速度方向与CD平行 C．a、b粒子在磁场中运动的时间之比为3：4 D．a、b粒子在磁场中运动的路程之比为3：2 解答题 5．如图所示，在正方形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场。在t=0时刻，一位于正方形区域中心O的粒子在abcd平面内向各个方向发射出大量带正电的粒子，所有粒子的初速度大小均相同，粒子在磁场中做圆周运动的半径恰好等于正方形边长，不计重力和粒子之间的相互作用力．已知平行于ad方向发射的粒子在t=t0时刻刚好从磁场边界cd上的某点离开磁场，（已知）求： （1）粒子的比荷； （2）从粒子发射到粒子全部离开磁场所用的时间； （3）假设粒子发射的粒子在各个方向均匀分布，在t=t0时刻仍在磁场中的粒子数与粒子发射的总粒子数之比． 6．如图所示，在水平荧光板的上方分布了水平方向的匀强磁场，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里，为中点，点正上方有一粒子源，能够在纸面内向各个方向发射速度大小为的粒子，已知粒子的电荷量为、质量为，，，不计粒子间的相互作用及粒子重力。求： (1)从粒子源发射的粒子运动到板的最短时间； (2)粒子打到板上的区域长度。 7．如图所示，在xOy平面的第Ⅰ象限内存在垂直xOy平面向里、磁感应强度大小为B。的匀强磁场，两个相同的带电粒子以相同的速度先后从y轴上坐标为的A点和B点（坐标未知）垂直于y轴射入磁场，并在x轴上坐标为的C点相遇，不计粒子重力及其相互作用。根据题设条件可以确定，求 （1）带电粒子在磁场中运动的半径 （2）B点的位置坐标 （3）两个带电粒子在磁场中运动的时间 8．如图所示，在平面直角坐标系xOy平面内存在两处磁感应强度大小均为B、方向垂直于xOy平面的匀强磁场，第一象限内的匀强磁场分布在三角形OAC之外的区域，方向向里，A、C两点分别位于x轴和y轴上，，OC的长度为2R；第二象限内的匀强磁场分布在半径为R的圆形区域内，圆形区域的圆心坐标为，圆形区域与x、y轴的切点分别为P、Q，第三、四象限内均无磁场。置于P点的离子发射器，能持续地从P点在xoy平面内向x轴上方180°范围内以恒定速率发射同种正离子，离子质量均为m，电荷量均为q；在y轴上的CG之间放置一个长的探测板，所有打到探测板上的离子都被板吸收。已知从P点垂直于x轴发射的离子恰好经过Q点进入第一象限，不计重力及离子间的相互作用，求： （1）圆形区域内磁场的方向及离子的发射速率； （2）从P点垂直于x轴发射的离子，从发射到第二次经过边界AC所用的时间t； （3）探测板CG上有离子打到的区域长度。    9．有人设计了一粒种子收集装置。如图所示，比荷为的带正电的粒子，由固定于M点的发射枪，以不同的速率射出后，沿射线MN方向运动，能收集各方向粒子的收集器固定在MN上方的K点，O在MN上，且KO垂直于MN。若打开磁场开关，空间将充满磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场，速率为v0的粒子运动到O点时，打开磁场开关，该粒子全被收集，不计粒子重力，忽略磁场突变的影响。 (1)求OK间的距离； (2)速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关，该粒子仍被收集，求MO间的距离； (3)速率为4v0的粒子射出后，运动一段时间再打开磁场开关，该粒子也能被收集。以粒子射出的时刻为计时O点。求打开磁场的那一时刻。    10．某种离子诊断测量简化装置如图所示。竖直平面内存在边界为矩形EFGH、方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，探测板CD平行于HG水平放置，能沿竖直方向缓慢移动且接地。a、b、c三束宽度不计、间距相等的离子束中的离子均以相同速度持续从边界EH水平射入磁场，b束中的离子在磁场中沿半径为R的四分之一圆弧运动后从下边界HG竖直向下射出，并打在探测板的右边缘D点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为N，离子束间的距离均为0.6R，探测板CD的宽度为0.5R，离子质量均为m、电荷量均为q，不计重力及离子间的相互作用。 （1）求离子速度v的大小及c束中的离子射出磁场边界HG时与H点的距离s； （2）求探测到三束离子时探测板与边界HG的最大距离Lmax； （3）若打到探测板上的离子被全部吸收，求探测板对离子束的平均作用力的竖直分量F与板到HG距离L的关系。 分析题中情景 做出动态图 确定临界轨迹 分析临界状态 构建三角形或四边形 进行分析和求解 做出草图 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题四 动态圆模型 ——精剖细解学习讲义 一、动态圆模型 1、临界条件 带电粒子刚好穿出(不穿出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，故边界(边界的切线)与轨迹过切点的半径(直径)垂直。 2、解题方法 3、临界情况 公共弦为小圆直径时，出现极值。当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大；当运动轨迹圆半径小于圆形磁场半径时，则以轨迹圆直径的两端点为入射点和出射点的圆形磁场对应的圆心角最大。 4、放缩圆模型 模型概述：以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法。 适用条件：速度方向一定，大小不同，粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化。 特点：轨迹圆圆心共线，如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上。 5、旋转圆模型 模型概述：以入射点为圆心，将一半径为R＝的圆进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法。 适用条件：速度大小一定，方向不同。粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为R＝，如图所示。 特点：轨迹圆圆心共圆，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上。 6、平移圆模型 模型概述：将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法。 适用条件：速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上。粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示。 特点：轨迹圆圆心共线，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行。 7、磁聚焦会聚模型 模型概述：大量带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出，如下图所示。 证明方法：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点发出的带电粒子必然经过B点。 8、磁聚焦发散模型 模型概述：有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行，如下图所示。 证明方法：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O1A(O2B、O3C)均平行于PO，即出射速度方向相同，为水平方向。 多选题 1．如图所示，在正方形区域abcd内有方向垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场．在t＝0时刻，位于正方形中心O的离子源向平面abcd内各个方向发射出大量带正电的粒子，所有粒子的初速度大小均相同，粒子在磁场中做圆周运动的半径恰好等于正方形的边长，不计粒子的重力以及粒子间的相互作用力．已知平行于ad方向向下发射的粒子在t＝t0时刻刚好从磁场边界cd上某点离开磁场，下列说法正确的是（    ） A．粒子在该磁场中匀速圆周运动的周期为6t0 B．粒子的比荷为 C．粒子在磁场中运动的轨迹越长，对应圆弧的圆心角越大 D．初速度方向正对四个顶点的粒子在磁场中运动时间最长 【答案】BC 【详解】B．粒子在磁场中做匀速圆周运动，初速度平行于ad方向发射的粒子运动轨迹如图，其圆心为O1 设正方形边长为L，由几何关系得 得 则 又 解得 B正确； A．由上知 A错误； CD．由于粒子的初速度大小相等，所有粒子的轨迹半径相等，运动轨迹最长的粒子转过的圆心角最大，在磁场中运动时间也最长，初速度方向正对四个顶点的粒子在磁场中运动的弧长不是最长，则时间不是最长， D错误C正确。 故选BC。 2．如图所示，在荧屏MN上方分布了水平方向的匀强磁场，方向垂直纸面向里。距离荧屏d处有一粒子源S，能够在纸面内不断地向各个方向同时发射电荷量为q，质量为m的带正电粒子，不计粒子的重力，已知粒子做圆周运动的半径也恰好为d，则（　　） A．粒子能打到板上的区域长度为2d B．能打到板上最左侧的粒子所用的时间为 C．粒子从发射到达到绝缘板上的最长时间为 D．同一时刻发射的粒子打到绝缘板上的最大时间差 【答案】BD 【详解】A．打在极板上粒子轨迹的临界状态如图所示： 根据几何关系知，带电粒子能到达板上的长度为： A错误； B．由运动轨迹图可知，能打到板上最左侧的粒子偏转了半个周期，故所用时间为： 又 解得：，B正确； CD．设此时粒子出射速度的大小为v，在磁场中运动时间最长（优弧1）和最短（劣弧2）的粒子运动轨迹示意图如下： 粒子做整个圆周运动的周期，由几何关系可知： 最短时间： 最长时间： 根据题意得同一时刻发射的粒子打到绝缘板上的最大时间差： 解得：，C错误，D正确。 故选BD。 3．如图所示，在直角三角形内存在垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），边长度为，现垂直边射入一群质量均为、电荷量均为、速度大小均为的带正电粒子，已知垂直边射出的粒子在磁场中运动的时间为，运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为，则（　　） A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为 B．该匀强磁场的磁感应强度大小为 C．粒子在磁场中运动的轨道半径为 D．粒子进入磁场时速度大小为 【答案】BCD 【详解】A．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间是T，即 则得周期 T=4t0 故A错误； B．由 得 故B正确； C．设运动时间最长的粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角为θ，则有 得 画出该粒子的运动轨迹如图 设轨道半径为R，由几何知识得 可得 故C正确； D．根据 解得 故D正确。 故选BCD。 4．如图所示，在一圆形区域内有一垂直于圆平面的匀强磁场，一带电粒子a沿圆形磁场的水平直径AB从A点射入磁场，刚好从竖直直径CD上的D点射出磁场，另一个与a完全相同的带电粒子b，以与a相同大小的速度与AB成30°角也从A点射入圆形磁场区域。则下列说法正确的是（　　） A．b粒子将从B点射出磁场，出磁场时速度方向与AB成30°角斜向右下方 B．b粒子将从BD段圆弧上某点射出磁场，出磁场时速度方向与CD平行 C．a、b粒子在磁场中运动的时间之比为3：4 D．a、b粒子在磁场中运动的路程之比为3：2 【答案】BC 【详解】AB．设圆形磁场的半径为R，首先，根据粒子，沿磁场的水平直径AB从A点射入，刚好从D点射出作图可知，粒子a的半径为 然后由题意可知粒子b与a完全相同，入射的初速度也与粒子a相同，所以 然后根据粒子b的入射方向与AB成30°角，圆周运动的半径为R，以及数学关系来画出其运动轨迹，如图所示 作AQ垂直AP，连接QB，在三角形APB中可知 在长方形APBQ中可知 所以Q点为粒子b圆周运动轨迹的圆心，作QM平行AO，连接OM，根据几何关系可知，四边形AOMQ为菱形，且 所以M为出射点，射出方向垂直于半径QM，即与CD平行，且在BD圆弧上，A错误，B正确； CD．a、b的运动时间之比等于夹角之比等于运动路程之比，即为 D错误，C正确。 故选BC。 解答题 5．如图所示，在正方形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场。在t=0时刻，一位于正方形区域中心O的粒子在abcd平面内向各个方向发射出大量带正电的粒子，所有粒子的初速度大小均相同，粒子在磁场中做圆周运动的半径恰好等于正方形边长，不计重力和粒子之间的相互作用力．已知平行于ad方向发射的粒子在t=t0时刻刚好从磁场边界cd上的某点离开磁场，（已知）求： （1）粒子的比荷； （2）从粒子发射到粒子全部离开磁场所用的时间； （3）假设粒子发射的粒子在各个方向均匀分布，在t=t0时刻仍在磁场中的粒子数与粒子发射的总粒子数之比． 【答案】（1）（2）（3） 【详解】(1)初速度平行于ad方向发射的粒子在磁场中运动的轨迹如图甲所示 其圆心为O1，由几何关系有 则有 即 T=12t0 粒子做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供．设粒子做圆周运动的半径为R，根据牛顿第二定律有 又 联立以上可得 (2)如图乙所示 在磁场中运动时间最长的粒子的轨迹应过正方形的顶点；设粒子运动轨迹对应的圆心角为，则 在磁场中运动的最长时间 所以从粒子发射到粒子全部离开磁场所用的时间为 (3)依题意，同一时刻仍在磁场中的粒子到O点距离相等，在t0时刻仍在磁场中的粒子应位于以O为圆心、Ok为半径的弧上，如图丙所示 由几何关系知 此时刻仍在磁场中的粒子数与粒子源发射的总粒子数之比为 6．如图所示，在水平荧光板的上方分布了水平方向的匀强磁场，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里，为中点，点正上方有一粒子源，能够在纸面内向各个方向发射速度大小为的粒子，已知粒子的电荷量为、质量为，，，不计粒子间的相互作用及粒子重力。求： (1)从粒子源发射的粒子运动到板的最短时间； (2)粒子打到板上的区域长度。 【答案】(1)；(2) 【详解】(1)设粒子在磁场中运动的轨道半径为，由 得 周期              当粒子从出发运动到点时的最短时间，相应轨迹圆心角为，如图，粒子从出发运动到板的最短时间为 (2)粒子入射速度方向合适，可以使全部有粒子打到；若粒子沿着方向发射，轨迹恰好与相切于点。所以，粒子打到板上的区域长度为 7．如图所示，在xOy平面的第Ⅰ象限内存在垂直xOy平面向里、磁感应强度大小为B。的匀强磁场，两个相同的带电粒子以相同的速度先后从y轴上坐标为的A点和B点（坐标未知）垂直于y轴射入磁场，并在x轴上坐标为的C点相遇，不计粒子重力及其相互作用。根据题设条件可以确定，求 （1）带电粒子在磁场中运动的半径 （2）B点的位置坐标 （3）两个带电粒子在磁场中运动的时间 【答案】（1）；（2）；（3）， 【详解】（1）根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示 由几何关系可得 则有 解得 （2）因两粒子的速度相同，且是同种粒子，则可知，它们的半径相同，由几何关系有 解得 即B点的位置坐标为。 （3）结合上述分析可知，可知A对应的圆心角为，B对应的圆心角为，则两个带电粒子在磁场中运动的时间分别为 8．如图所示，在平面直角坐标系xOy平面内存在两处磁感应强度大小均为B、方向垂直于xOy平面的匀强磁场，第一象限内的匀强磁场分布在三角形OAC之外的区域，方向向里，A、C两点分别位于x轴和y轴上，，OC的长度为2R；第二象限内的匀强磁场分布在半径为R的圆形区域内，圆形区域的圆心坐标为，圆形区域与x、y轴的切点分别为P、Q，第三、四象限内均无磁场。置于P点的离子发射器，能持续地从P点在xoy平面内向x轴上方180°范围内以恒定速率发射同种正离子，离子质量均为m，电荷量均为q；在y轴上的CG之间放置一个长的探测板，所有打到探测板上的离子都被板吸收。已知从P点垂直于x轴发射的离子恰好经过Q点进入第一象限，不计重力及离子间的相互作用，求： （1）圆形区域内磁场的方向及离子的发射速率； （2）从P点垂直于x轴发射的离子，从发射到第二次经过边界AC所用的时间t； （3）探测板CG上有离子打到的区域长度。    【答案】（1）垂直于纸面向外，；（2）；（3） 【详解】（1）从P点垂直于x轴发射的正离子恰好经过Q点进入第一象限，说明正离子在P点受向右的磁场力，由左手定则知磁场方向垂直于纸面向外。如图所示    设离子在圆形区域圆周运动的半径为r，则 又有 解得 （2）设离子在两磁场中圆周运动的周期为T，则 离子在圆形区域磁场中运动圆心角为90°，则运动时间 离子在两磁场之间匀速直线运动时间 离子在AC右侧区域磁场中运动圆心角为300°，运动时间 则离子从发射到第二次经过边界AC所用的时间 （3）如图所示，因所有离子均以恒定速率发射，故离子在圆形磁场中的轨迹半径均为r，又已知，易得所有离子经过圆形磁场后均水平向右飞出圆形磁场，然后穿过AC进入右侧磁场。从C点进入右侧磁场的离子，经过半个周期打到屏上E点，则 从M点进入右侧磁场的离子，轨迹恰好与屏CG相切与D点，图中CF垂直于，则 则 则探测板上有离子打到的区域为DE，其长度 9．有人设计了一粒种子收集装置。如图所示，比荷为的带正电的粒子，由固定于M点的发射枪，以不同的速率射出后，沿射线MN方向运动，能收集各方向粒子的收集器固定在MN上方的K点，O在MN上，且KO垂直于MN。若打开磁场开关，空间将充满磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场，速率为v0的粒子运动到O点时，打开磁场开关，该粒子全被收集，不计粒子重力，忽略磁场突变的影响。 (1)求OK间的距离； (2)速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关，该粒子仍被收集，求MO间的距离； (3)速率为4v0的粒子射出后，运动一段时间再打开磁场开关，该粒子也能被收集。以粒子射出的时刻为计时O点。求打开磁场的那一时刻。    【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）（1）当粒子到达О点时打开磁场开关，粒子做匀速圆周运动，设轨迹半径为r1，如图所示    由洛伦兹力提供向心力得 其中 （2）速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关，则粒子在磁场中运动的轨迹半径 r2 = 4r1 如图所示，由几何关系有 （4r1-2r1）2＋MO2 = (4r1)2 解得 （3）速率为4v0的粒子射出一段时间t到达N点，要使粒子仍然经过K点，则N点在O点右侧，如图所示    由几何关系有 （4r1-2r1）2＋ON2 = (4r1)2 解得 粒子在打开磁场开关前运动时间为 解得 10．某种离子诊断测量简化装置如图所示。竖直平面内存在边界为矩形EFGH、方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，探测板CD平行于HG水平放置，能沿竖直方向缓慢移动且接地。a、b、c三束宽度不计、间距相等的离子束中的离子均以相同速度持续从边界EH水平射入磁场，b束中的离子在磁场中沿半径为R的四分之一圆弧运动后从下边界HG竖直向下射出，并打在探测板的右边缘D点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为N，离子束间的距离均为0.6R，探测板CD的宽度为0.5R，离子质量均为m、电荷量均为q，不计重力及离子间的相互作用。 （1）求离子速度v的大小及c束中的离子射出磁场边界HG时与H点的距离s； （2）求探测到三束离子时探测板与边界HG的最大距离Lmax； （3）若打到探测板上的离子被全部吸收，求探测板对离子束的平均作用力的竖直分量F与板到HG距离L的关系。 【答案】（1），0.8R；（2）；（3）见解析 【详解】（1）根据洛伦兹力提供离子做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律得 解得 三束粒子的运动轨迹图如下所示 由几何关系得 （2）通过几何关系可知a束中的离子从边界射出时，距H点的距离为 即a、c束中的离子从同一点Q射出，且由几何关系可知α=β。当c束中的离子恰好达到探测板的D点时，探测板与边界HG的最大距离最大，有几何关系可得 解得 （3）a或c束中每个离子动量的竖直分量 若，则所有离子束都打在探测板上，故离子束对探测板的平均作用力为 即 若，则只有a和b离子束都打在探测板上，故离子束对探测板的平均作用力为 即 若，则则只有b离子束都打在探测板上，故离子束对探测板的平均作用力为 即 【点睛】分析清楚粒子的运动情况，画出运动轨迹，根据几何关系结合洛伦兹力提供向心力求解未知量。注意探测板与边界距离的关系对离子束打在探测板上的影响。 分析题中情景 做出动态图 确定临界轨迹 分析临界状态 构建三角形或四边形 进行分析和求解 做出草图 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$