专题三 有界匀强磁场的运动模型-2024-2025学年高二物理精剖细解讲义（人教版2019选择性必修第二册）

专题三 有界匀强磁场的运动模型 ——精剖细解学习讲义 一、运动模型 1、问题的描述 带电粒子在有边界的磁场中运动时，由于边界的限制往往会出现临界问题。 解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。 2、数学知识 几何模型：圆与直线相交、圆与圆相交，构造图像中的三角形。 确定角度：若有已知角度，则利用互余、互补、偏向角与圆心角的关系、弦切角与圆心角的关系确定；若没有已知角度，则利用边长关系确定。 对称性（如下图所示）：圆与直线相交，圆弧轨迹关于圆心到边界的垂线轴对称；轨迹圆和磁场圆相交，圆弧轨迹关于两圆心的连线轴对称。 3、极值的求解 物理方法：利用临界条件求极值；利用问题的边界条件求极值；利用矢量图求极值。 数学方法：利用三角函数求极值；利用二次方程的判别式求极值；利用不等式的性质求极值；利用图像法、等效法、数学归纳法求极值。 【注意】带电粒子刚好穿出磁场边界的条件：带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切；时间最长或最短的临界条件：①当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长，运动时间越长；②当比荷相同，入射速率v不同时，圆心角越大，运动时间越长。 4、直线边界模型 该模型粒子进出磁场具有对称性，模型图如下： 时间的计算：图甲中粒子在磁场中运动的时间t==；图乙中粒子在磁场中运动的时间t=T==；图丙中粒子在磁场中运动的时间t=T=。 5、平行边界 该模型往往存在临界条件，模型图如下： 时间的计算：图甲中粒子在磁场中运动的时间t1=，t2==；图乙中粒子在磁场中运动的时间t=；图丙中粒子在磁场中运动的时间t=T==；图丁中粒子在磁场中运动的时间t=T=。 6、圆形边界 沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出，运动具有对称性，如下图所示，粒子做圆周运动的半径r＝，粒子在磁场中运动的时间t＝T＝，运动角度关系为：θ＋α＝90°。 不沿径向射入时，射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ，如图所示。 正对圆心射入圆形磁场区域，如下图所示，正对圆心射出，两圆心和出（入）射点构成直角三角形，有，则磁偏转半径，根据半径公式联立求解时间。速度v0越大，则磁偏转半径r越大，圆心角α越小，时间t越短。若r=R，构成正方形。 不正对圆心射入圆形磁场区域，如下图所示，左边两个图有两个等腰三角形，一条共同的底边；最后一个图示当r=R时，构成菱形。 7、环形磁场模型 环形磁场模型的临界圆如下图所示，三个环形磁场的临界半径分别为：；；由勾股定理(R2-R1)2=R12+r2，解得：。 1．真空区域有宽度为、磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向如图所示，MN、PQ是磁场的边界。MN边界上有一个点状的粒子放射源S，它可以向各个方向发射质量为m、电荷量为+q（q>0）、速率为v（未知）的带电粒子。若粒子沿着与MN夹角为37°的方向射入磁场中，刚好未能从PQ边界射出，在磁场中运动时间t（未知）后从MN边界离开。不计粒子的重力，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： (1)带电粒子在磁场中运动的速率v和时间t； (2)PQ边界有粒子射出的长度x。 2．为防止宇宙间各种高能粒子对在轨航天员造成的危害，科学家研制出各种磁防护装置。某同学设计了一种磁防护模拟装置，装置截面如图所示，以O点为圆心的内圆、外圆半径分别为R、，区域中的危险区内有垂直纸面向外的匀强磁场，外圆为绝缘薄板，且直径CD的两端各开有小孔，外圆的左侧有两块平行金属薄板，其右板与外圆相切，在切点C处开有一小孔，两板间电压为U。一质量为m、电荷量为q、带正电的粒子（不计重力）从左板内侧的A点由静止释放，粒子经电场加速后从C孔沿CO方向射入磁场，恰好不进入安全区，粒子每次与绝缘薄板碰撞后均原速率反弹，经多次反弹后恰能从D孔处射出危险区。求： （1）粒子通过C孔时速度v的大小； （2）磁感应强度B的大小； （3）粒子从进入危险区到离开危险区所需的时间t。 3．如图所示，两足够长的平行边界MN、PQ区域内，有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，两平行金属板E、F之间的电压为U，一质量为m、带电量为的粒子（不计重力），由E板中央处A点由静止释放，经F板上的小孔C射出后，垂直进入磁场，且进入磁场时与边界MN成60°角。求： （1）粒子在磁场中做圆周运动的半径r； （2）若粒子恰好不从边界PQ离开磁场，求两边界MN、PQ间的距离d； 4．如图所示，空间存在垂直纸面向里的匀强磁场，宽度为d，磁感应强度为B，一个带有负电荷的带电粒子，垂直磁场的左边界以速度v射入磁场，穿出磁场时速度方向与原来入射方向的夹角为30°，不粒子的重力，求： （1）带电粒子的比荷； （2）带电粒子穿过磁场区域的时间t。 5．离子注入技术可应用于金属材料改性，注入一定剂量和能量的离子到金属材料表面，从而改变材料的性能。离子注入系统的装置原理如图所示，四分之一圆柱环的内环半径，外环半径，在同一竖直面内，P为的中点，负离子源和加速器在P点小孔的左侧，质量为m、电荷量为的负离子从静止开始经电场加速后从P点垂直于射入环形匀强磁场区域（图中未画出），磁场区域与圆柱环区域重叠（环形磁场的圆心为），磁场方向沿y轴正方向。当磁感应强度大小为时，离子恰好垂直于边界从的中点Q射出磁场。不考虑离子重力以及离子间的相互作用。 （1）求加速电场M、N两板间的电压； （2）只改变匀强磁场的磁感应强度大小，使离子恰好到达点，求其在磁场中运动的时间； （3）保持加速电场的电压不变，为使离子到达弧面，被弧面的金属材料吸收，求环形区域内磁场的磁感应强度大小的取值范围。    6．如图所示，三个矩形区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ中，分别存在有界的匀强电场或磁场，为水平中轴线，其中区域Ⅰ、Ⅲ中有大小相等、方向相反的匀强电场，电场强度大小为，区域Ⅱ中存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为。在区域Ⅰ的中线上，将比荷为的带正电的粒子从距离边界线为（未知）的点由静止释放，粒子恰好能够进入区域Ⅲ运动。已知区域Ⅱ的水平宽度为，区域Ⅰ、Ⅲ的水平宽度足够大，不考虑电磁场的边界效应，不计粒子的重力。 (1)求的值； (2)若释放点到边界的距离为，求粒子前两次经过边界的时间间隔； (3)若释放点到边界的距离为，且粒子恰能经过点，求区域Ⅰ的竖直高度。 7．如图所示，足够长水平挡板位于x轴，其下表面为荧光屏，接收到电子后会发光，荧光屏的同一位置接收两个电子，称为“两次发光区域”。在第四象限足够大区域有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第三象限有垂直纸面向里、半径为2L的圆形匀强磁场，磁感应强度大小为，边界与y轴相切于A点。一群电子从与x轴平行的虚线处垂直虚线射入圆形磁场后均从A点进入右侧磁场，这群电子在虚线处的x坐标范围为。电子电量为e、质量为m，不计电子重力及电子间的相互作用。 （1）求电子在圆形磁场区域内的轨迹半径及初速度大小； （2）求落在荧光屏最右侧的电子进入圆形磁场时的x坐标； （3）若入射电子在虚线处均匀分布，且各位置只有1个，求落在荧光屏上“两次发光区域”和“一次发光区域”的电子数之比。 8．受控热核聚变反应的装置中温度极高，因而带电粒子没有通常意义上的容器可装，而是由磁场将带电粒子束缚在某个区域内。现有一个环形区域，其截面内圆半径R1=m，外圆半径R2=3m，区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，如图所示。已知磁感应强度大小B=1.0T，被束缚的带正电粒子的比荷=4.0×107C/kg，中空区域中的带电粒子由内、外圆的圆心O点以不同的初速度射入磁场，不计带电粒子的重力和它们之间的相互作用，且不考虑相对论效应。 (1)求带电粒子在磁场中运动的周期T和带电粒子不能穿越磁场外边界的最大速度v0； (2)若中空区域中的带电粒子以（1）中的最大速度v0从O点沿圆环半径方向射入磁场，求带电粒子第一次回到O点所需要的时间； (3)为了使束缚效果最好，在半径为R1的圆内也加上磁场，磁感应强度B'=2B，方向相同。求粒子不能射出半径为R2的圆形区域的最大速度v。 9．如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一带负电的粒子质量为m（不计重力），以速度v从A点沿直径AOB方向射入磁场，从C点射出磁场，OC与OB成60°。 （1）现将该粒子的速度变为，仍从A点沿直径AOB方向射入磁场，求此时粒子在磁场中的运动时间； （2）如果想使粒子通过磁场区域后速度方向的偏转角度最大，在保持原入射速度大小不变的条件下，可用下面两种方式来实现。 ①粒子的入射点不变，改变粒子的入射方向，让粒子的入射方向与AO方向成θ角，求θ角的正弦值； ②将粒子的入射点沿圆弧向上平移一段距离d，沿平行于AOB方向射入，求d。 10．如图装置是波荡器的简化模型，S是离子源，可水平向右发射初速度为的电子，且离子源S可沿竖直分界线M上下自由移动，M、N之间宽为L，此区间内可加一竖直向上的匀强电场，电场强度可调；N分界线的右侧有n个互不重叠的圆形磁场区域，沿水平直线等间距分布，AF为其中心线，圆形磁场半径均为R，磁感应强度大小可调且所有圆形磁场内的磁感应强度始终保持相等，相邻磁场方向相反且均垂直纸面。若离子源S正对波荡器的中心线，MN间电场强度调为零，则电子从A点沿中心线向右射入波荡器，调节磁感应强度大小为（未知），电子恰好能从点正上方离开第一个磁场，电子的质量为m，电荷量为e，忽略相对论效应及磁场边界效应，不计电子的重力。 （1）求磁感应强度大小； （2）若离子源S沿分界线M向上移动到某位置，M、N间加上电场后，则电子以从A点射入波荡器，离子源S需沿M边界上移多高；已知的距离，调节磁场区域的圆心间距D和磁感应强度B的大小，可使电子每次穿过中心线时速度方向与中心线的夹角均为30°，电子做扭摆运动，最终通过中心线上的F点，求D的大小和磁感应强度B的大小； （3）在（2）问的情况下，求电子从A点开始做扭摆运动的周期。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题三 有界匀强磁场的运动模型 ——精剖细解学习讲义 一、运动模型 1、问题的描述 带电粒子在有边界的磁场中运动时，由于边界的限制往往会出现临界问题。 解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。 2、数学知识 几何模型：圆与直线相交、圆与圆相交，构造图像中的三角形。 确定角度：若有已知角度，则利用互余、互补、偏向角与圆心角的关系、弦切角与圆心角的关系确定；若没有已知角度，则利用边长关系确定。 对称性（如下图所示）：圆与直线相交，圆弧轨迹关于圆心到边界的垂线轴对称；轨迹圆和磁场圆相交，圆弧轨迹关于两圆心的连线轴对称。 3、极值的求解 物理方法：利用临界条件求极值；利用问题的边界条件求极值；利用矢量图求极值。 数学方法：利用三角函数求极值；利用二次方程的判别式求极值；利用不等式的性质求极值；利用图像法、等效法、数学归纳法求极值。 【注意】带电粒子刚好穿出磁场边界的条件：带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切；时间最长或最短的临界条件：①当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长，运动时间越长；②当比荷相同，入射速率v不同时，圆心角越大，运动时间越长。 4、直线边界模型 该模型粒子进出磁场具有对称性，模型图如下： 时间的计算：图甲中粒子在磁场中运动的时间t==；图乙中粒子在磁场中运动的时间t=T==；图丙中粒子在磁场中运动的时间t=T=。 5、平行边界 该模型往往存在临界条件，模型图如下： 时间的计算：图甲中粒子在磁场中运动的时间t1=，t2==；图乙中粒子在磁场中运动的时间t=；图丙中粒子在磁场中运动的时间t=T==；图丁中粒子在磁场中运动的时间t=T=。 6、圆形边界 沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出，运动具有对称性，如下图所示，粒子做圆周运动的半径r＝，粒子在磁场中运动的时间t＝T＝，运动角度关系为：θ＋α＝90°。 不沿径向射入时，射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ，如图所示。 正对圆心射入圆形磁场区域，如下图所示，正对圆心射出，两圆心和出（入）射点构成直角三角形，有，则磁偏转半径，根据半径公式联立求解时间。速度v0越大，则磁偏转半径r越大，圆心角α越小，时间t越短。若r=R，构成正方形。 不正对圆心射入圆形磁场区域，如下图所示，左边两个图有两个等腰三角形，一条共同的底边；最后一个图示当r=R时，构成菱形。 7、环形磁场模型 环形磁场模型的临界圆如下图所示，三个环形磁场的临界半径分别为：；；由勾股定理(R2-R1)2=R12+r2，解得：。 1．真空区域有宽度为、磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向如图所示，MN、PQ是磁场的边界。MN边界上有一个点状的粒子放射源S，它可以向各个方向发射质量为m、电荷量为+q（q>0）、速率为v（未知）的带电粒子。若粒子沿着与MN夹角为37°的方向射入磁场中，刚好未能从PQ边界射出，在磁场中运动时间t（未知）后从MN边界离开。不计粒子的重力，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： (1)带电粒子在磁场中运动的速率v和时间t； (2)PQ边界有粒子射出的长度x。 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）粒子刚好未能从边界射出磁场，轨迹如图所示 根据几何关系可知 解得 根据洛伦兹力提供向心力，有 解得 粒子运动的周期 粒子运动的时间 （2）当粒子初速度平行MN时，轨迹如图所示 根据几何关系可知 由图甲知 则PQ边界有粒子射出的长度 2．为防止宇宙间各种高能粒子对在轨航天员造成的危害，科学家研制出各种磁防护装置。某同学设计了一种磁防护模拟装置，装置截面如图所示，以O点为圆心的内圆、外圆半径分别为R、，区域中的危险区内有垂直纸面向外的匀强磁场，外圆为绝缘薄板，且直径CD的两端各开有小孔，外圆的左侧有两块平行金属薄板，其右板与外圆相切，在切点C处开有一小孔，两板间电压为U。一质量为m、电荷量为q、带正电的粒子（不计重力）从左板内侧的A点由静止释放，粒子经电场加速后从C孔沿CO方向射入磁场，恰好不进入安全区，粒子每次与绝缘薄板碰撞后均原速率反弹，经多次反弹后恰能从D孔处射出危险区。求： （1）粒子通过C孔时速度v的大小； （2）磁感应强度B的大小； （3）粒子从进入危险区到离开危险区所需的时间t。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）粒子从A点运动到C点，根据动能定理有 解得 （2）设带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为r，由几何关系有 解得 由牛顿第二定律有 解得 （3）设粒子在磁场中运动的轨迹所对应的圆心角为，如图所示 由几何关系有 解得 由几何关系可知，粒子在危险区运动时与绝缘薄板发生2次碰撞后射出危险区，粒子在磁场中运动的周期为 粒子从C点到第一次与绝缘薄板碰撞所需时间为 粒子从进入危险区到离开危险区所需的时间为 3．如图所示，两足够长的平行边界MN、PQ区域内，有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，两平行金属板E、F之间的电压为U，一质量为m、带电量为的粒子（不计重力），由E板中央处A点由静止释放，经F板上的小孔C射出后，垂直进入磁场，且进入磁场时与边界MN成60°角。求： （1）粒子在磁场中做圆周运动的半径r； （2）若粒子恰好不从边界PQ离开磁场，求两边界MN、PQ间的距离d； 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）设粒子离开电场时的速度为v，由动能定理有 解得 粒子离开电场后，垂直进入磁场，由洛伦兹力提供向心力有 联立解得 （2）若粒子恰好不从边界PQ离开磁场，运动轨迹如图所示 由几何关系得 则 解得 4．如图所示，空间存在垂直纸面向里的匀强磁场，宽度为d，磁感应强度为B，一个带有负电荷的带电粒子，垂直磁场的左边界以速度v射入磁场，穿出磁场时速度方向与原来入射方向的夹角为30°，不粒子的重力，求： （1）带电粒子的比荷； （2）带电粒子穿过磁场区域的时间t。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，如图 由数学知识可知 由洛伦兹力提供向心力得 解得带电粒子的比荷为 （2）带电粒子穿过磁场区域的时间 又，解得 5．离子注入技术可应用于金属材料改性，注入一定剂量和能量的离子到金属材料表面，从而改变材料的性能。离子注入系统的装置原理如图所示，四分之一圆柱环的内环半径，外环半径，在同一竖直面内，P为的中点，负离子源和加速器在P点小孔的左侧，质量为m、电荷量为的负离子从静止开始经电场加速后从P点垂直于射入环形匀强磁场区域（图中未画出），磁场区域与圆柱环区域重叠（环形磁场的圆心为），磁场方向沿y轴正方向。当磁感应强度大小为时，离子恰好垂直于边界从的中点Q射出磁场。不考虑离子重力以及离子间的相互作用。 （1）求加速电场M、N两板间的电压； （2）只改变匀强磁场的磁感应强度大小，使离子恰好到达点，求其在磁场中运动的时间； （3）保持加速电场的电压不变，为使离子到达弧面，被弧面的金属材料吸收，求环形区域内磁场的磁感应强度大小的取值范围。    【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）模型简化如图所示，当磁感应强度大小为时，离子恰好垂直于边界从中点射出磁场，根据几何关系可知，离子做圆周运动的半径 由洛伦兹力提供向心力得 解得 在电场中加速的过程，由动能定理得 解得 （2）若离子到达位置，设此时磁感应强度大小为，离子做圆周运动的轨迹半径为，由几何关系得 离子在磁场中的运动周期为 离子到达点，在磁场中运动的时间 解得 （3）若离子到达位置，由洛伦兹力提供向心力得 代入 联立解得 若离子恰好能打在位置，设此时磁感应强度大小为，离子做圆周运动的轨迹半径为，由几何关系得 解得 由洛伦兹力提供向心力得 解得 为使离子能够到达弧面，环形区域内磁场磁感应强度大小的取值范围为 6．如图所示，三个矩形区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ中，分别存在有界的匀强电场或磁场，为水平中轴线，其中区域Ⅰ、Ⅲ中有大小相等、方向相反的匀强电场，电场强度大小为，区域Ⅱ中存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为。在区域Ⅰ的中线上，将比荷为的带正电的粒子从距离边界线为（未知）的点由静止释放，粒子恰好能够进入区域Ⅲ运动。已知区域Ⅱ的水平宽度为，区域Ⅰ、Ⅲ的水平宽度足够大，不考虑电磁场的边界效应，不计粒子的重力。 (1)求的值； (2)若释放点到边界的距离为，求粒子前两次经过边界的时间间隔； (3)若释放点到边界的距离为，且粒子恰能经过点，求区域Ⅰ的竖直高度。 【答案】(1) (2) (3)，其中 【详解】（1）设粒子的质量为，电荷量为，根据牛顿第二定律可得 又联立可得 设粒子在磁场中做圆周运动的速度大小为，根据运动学公式可得 解得 粒子在磁场中运动时，根据洛伦兹力提供向心力可得 粒子恰好能够进入区域III时，在磁场中做圆周运动的半径为，联立解得 （2）当点到边界的距离为时，由（1）可知，粒子在磁场中做圆周运动的半径，粒子在区域Ⅱ、Ⅲ中的运动轨迹如图所示，由几何关系知，粒子在磁场中做圆周运动的圆心角，粒子做圆周运动的速度 粒子在区域Ⅱ中运动第一段圆弧的时间 粒子在区域Ⅲ中运动的时间 则粒子前两次经过边界的时间间隔 （3）粒子前两次经过边界时在磁场中的偏移 粒子前两次经过边界时在电场中的偏移 区域Ⅰ的竖直高度 ，其中 解得 ，其中 7．如图所示，足够长水平挡板位于x轴，其下表面为荧光屏，接收到电子后会发光，荧光屏的同一位置接收两个电子，称为“两次发光区域”。在第四象限足够大区域有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第三象限有垂直纸面向里、半径为2L的圆形匀强磁场，磁感应强度大小为，边界与y轴相切于A点。一群电子从与x轴平行的虚线处垂直虚线射入圆形磁场后均从A点进入右侧磁场，这群电子在虚线处的x坐标范围为。电子电量为e、质量为m，不计电子重力及电子间的相互作用。 （1）求电子在圆形磁场区域内的轨迹半径及初速度大小； （2）求落在荧光屏最右侧的电子进入圆形磁场时的x坐标； （3）若入射电子在虚线处均匀分布，且各位置只有1个，求落在荧光屏上“两次发光区域”和“一次发光区域”的电子数之比。 【答案】（1）2L；；（2）；（3）2：1 【详解】（1）粒子在圆形磁场中做圆周运动的半径 根据 联立，解得 （2）依题意，可得 由几何关系，可得 又 解得 可得 解得 （3）由轨迹图可知     电子源上从左到右的电子在整个过程中，到达荧光屏的位置与坐标原点的距离逐渐增大，当从A射入速度与x轴方向夹角为60°时，电子达到光屏的最右侧，距离达到最大，此后电子落点开始向光屏左侧移动。根据几何关系可知，电子源最右侧电子打在光屏上点即为两种发光区域的临界点，根据几何关系可知，电子源最左侧电子打在光屏上的x坐标为 即光屏上x坐标范围(0，4L)为“一次发光区域”，为“两次发光区域”。根据几何关系可知，在落点与坐标原点距离增大的过程中，当电子在A点的入射速度垂直y轴时，电子打在光屏上的x坐标也为 此时电子恰好沿圆形磁场径向射入，出发时的x坐标为 综上所述可知，落在荧光屏上“一次发光区域”的粒子分布在之间，落在荧光屏上“两次发光区域”的粒子分布在虚线区域所对应轴上的之间。因此可知，落在荧光屏上“两次发光区域”和“一次发光区域”的电子数之比为2:1。 8．受控热核聚变反应的装置中温度极高，因而带电粒子没有通常意义上的容器可装，而是由磁场将带电粒子束缚在某个区域内。现有一个环形区域，其截面内圆半径R1=m，外圆半径R2=3m，区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，如图所示。已知磁感应强度大小B=1.0T，被束缚的带正电粒子的比荷=4.0×107C/kg，中空区域中的带电粒子由内、外圆的圆心O点以不同的初速度射入磁场，不计带电粒子的重力和它们之间的相互作用，且不考虑相对论效应。 (1)求带电粒子在磁场中运动的周期T和带电粒子不能穿越磁场外边界的最大速度v0； (2)若中空区域中的带电粒子以（1）中的最大速度v0从O点沿圆环半径方向射入磁场，求带电粒子第一次回到O点所需要的时间； (3)为了使束缚效果最好，在半径为R1的圆内也加上磁场，磁感应强度B'=2B，方向相同。求粒子不能射出半径为R2的圆形区域的最大速度v。 【答案】(1)1.57×10-7s，4×107m/s (2)5.74×10-7s (3)8×107m/s 【详解】（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有 解得带电粒子在磁场中运动的周期为 当带电粒子以某一速度射入磁场时，粒子的运动轨迹恰好与外圆相切，此时粒子的速度为不能穿越磁场外边界的最大速度，如图所示 根据几何关系有 解得 洛伦兹力提供带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律有 解得 （2）带电粒子以速度v0射入磁场中时，根据几何关系有 解得 故其运动轨迹如图所示 带电粒子在磁场中运动的圆心角为，在磁场中运动的时间为 带电粒子在磁场外做匀速直线运动，所用的时间为 带电粒子从某点进入磁场到其第一次回到该点所需要的时间 解得 （3）要使束缚效果最好，则B′与B的方向应相同，如图所示 粒子在内圆区域内运动时，轨迹圆心为O1，在圆环区域内运动时，轨迹圆心为O2，设粒子在两区域内的运动半径分别为r1、r2，因为 所以 根据几何关系有 则三角形OO1O2为等腰三角形，∠OO1O2=2α，所以 解得 则 9．如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一带负电的粒子质量为m（不计重力），以速度v从A点沿直径AOB方向射入磁场，从C点射出磁场，OC与OB成60°。 （1）现将该粒子的速度变为，仍从A点沿直径AOB方向射入磁场，求此时粒子在磁场中的运动时间； （2）如果想使粒子通过磁场区域后速度方向的偏转角度最大，在保持原入射速度大小不变的条件下，可用下面两种方式来实现。 ①粒子的入射点不变，改变粒子的入射方向，让粒子的入射方向与AO方向成θ角，求θ角的正弦值； ②将粒子的入射点沿圆弧向上平移一段距离d，沿平行于AOB方向射入，求d。 【答案】（1）；（2）①，② 【详解】（1）粒子以速度v沿直径AOB方向射入磁场时，由 得半径 根据几何关系可知 所以 以速度射入时，半径 设第二次射入时的圆心角为，根据几何关系可知 所以 则第二次运动的时间为（由运动弧长计算） （2）①由（1）可知 当粒子的入射点和出射点的连线是磁场圆的直径时，粒子速度偏转的角度最大，如图所示 计算得出 （2）②当粒子的入射点和出射点的连线是磁场圆的直径时，粒子速度偏转的角度最大，如图 平移距离为 解得 10．如图装置是波荡器的简化模型，S是离子源，可水平向右发射初速度为的电子，且离子源S可沿竖直分界线M上下自由移动，M、N之间宽为L，此区间内可加一竖直向上的匀强电场，电场强度可调；N分界线的右侧有n个互不重叠的圆形磁场区域，沿水平直线等间距分布，AF为其中心线，圆形磁场半径均为R，磁感应强度大小可调且所有圆形磁场内的磁感应强度始终保持相等，相邻磁场方向相反且均垂直纸面。若离子源S正对波荡器的中心线，MN间电场强度调为零，则电子从A点沿中心线向右射入波荡器，调节磁感应强度大小为（未知），电子恰好能从点正上方离开第一个磁场，电子的质量为m，电荷量为e，忽略相对论效应及磁场边界效应，不计电子的重力。 （1）求磁感应强度大小； （2）若离子源S沿分界线M向上移动到某位置，M、N间加上电场后，则电子以从A点射入波荡器，离子源S需沿M边界上移多高；已知的距离，调节磁场区域的圆心间距D和磁感应强度B的大小，可使电子每次穿过中心线时速度方向与中心线的夹角均为30°，电子做扭摆运动，最终通过中心线上的F点，求D的大小和磁感应强度B的大小； （3）在（2）问的情况下，求电子从A点开始做扭摆运动的周期。 【答案】（1）；（2），， ；（3） 【详解】（1）由题意可知，初速度为的电子从A点沿中心线向右射入波荡器，在第一个磁场中做匀速圆周运动，电子恰好能从点正上方离开第一个磁场，由几何知识可知，电子的轨道半径为R，由洛伦兹力提供向心力可得 解得 （2）设离子源S需沿M边界上移h高度，可知电子在MN间做类平抛运动，由平抛运动的推论可得 解得 此时电子在A点的速度为 从C点射入第一个磁场，则电子的运动轨迹如图所示，由题意和几何知识可得 电子做匀速圆周运动的圆心恰好在磁场圆上，且在磁场圆的正上方或正下方，由几何知识可得 由牛顿第二定律可得 联立解得 （3）由几何知识可知 则电子每次从水平线到磁场区域的时间为 由几何知识可得电子在磁场中做圆周运动的圆心角为 则电子每次在磁场中做圆周运动的时间为 则有电子从A点开始做扭摆运动的周期为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22 学科网（北京）股份有限公司 $$