专题七 带电粒子在交变电磁场中的运动以及在磁场中的多解问题-2024-2025学年高二物理精剖细解讲义（人教版2019选择性必修第二册）

专题七 带电粒子在交变电磁场中的运动以及在磁场中的多解问题 ——精剖细解学习讲义 一、交变电磁场问题 1、常见类型 ①电场周期性变化，磁场不变；②磁场周期性变化，电场不变；③电场和磁场周期性变化。 2、分析思路 仔细分析并确定各场的变化特点及相应的时间，其变化周期一般与粒子在电场或磁场中的运动周期相关联。应抓住变化周期与运动周期之间的联系作为解题的突破口。 把粒子的运动过程还原成一个直观的运动轨迹草图进行分析。 把粒子的运动分解成多个运动阶段分别进行处理，根据每一个阶段上的受力情况确定粒子的运动规律。 3、分析方法 先读图，看清并且明白不同场的变化情况；受力分析，分析粒子在不同的变化场区的受力情况；过程分析，分析粒子在不同时间段内的运动情况；找衔接点，找出衔接相邻两个过程的速度大小及方向；选规律，联立不同阶段的方程求解。 二、带电粒子在磁场中的多解问题 1、问题 带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解。 2、问题的类型 ①带电粒子电性不确定形成多解：受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，当粒子具有相同初速度时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致多解。如下图所示，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a；若带负电，其轨迹为b。 ②临界状态不是唯一的形成多解：带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此粒子的运动情况为可能从边界穿过去了或者转过180°后从入射面边界反向飞出，如下图所示。 ③磁场方向不确定形成多解：磁感应强度是矢量，如果题述条件只给出磁感应强度大小，而未说明磁感应强度方向，则应考虑因磁场方向不确定而导致的多解。如下图所示，带正电的粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a；若B垂直纸面向外，其轨迹为b。 ④运动的往复性形成多解：带电粒子在部分是电场，部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解，如下图所示。 1．一平行板电容器长，宽，板间距，在板左侧有一足够长的“狭缝”离子源，沿着两板中心平面，连续不断地向整个电容器射入离子，它们的比荷均为，速度均为，距板右侧处有一屏（屏与电容器等宽且足够高），如图甲所示，如果在平行板电容器的两极板间加上如图乙所示的随时间变化的电压，由于离子在电容器中运动所用的时间远小于电压变化的周期，故离子通过电场甲的时间内电场可视为习强电场。试求： （1）试通过计算判断乙图给的电压能否实现任意时刻进入的离子都打在右侧接收屏上； （2）基于第（1）问，若不能，求一个周期内，能够在屏上出现离子的总时间； （3）基于第（2）问，求离子能打在屏上的区域面积。 2．如图甲所示，在空间中建立坐标系，射线管由平行金属板A、B和平行于金属板的细管C组成，放置在第Ⅱ象限，细管C到两金属板距离相等，细管C开口在轴上。放射源在A板左端，可以沿特定方向发射某一初速度的粒子。若金属板长为、间距为，当A、B板间加上某一电压时，粒子刚好能以速度从细管C水平射出，进入位于第Ⅰ象限的静电分析器中。静电分析器中存在着辐向电场（电场线沿半径方向指向圆心），粒子在该电场中恰好做匀速圆周运动，粒子运动轨迹处的场强大小为。时刻粒子垂直轴进入第Ⅳ象限的交变电场中，交变电场的电场强度随时间的变化关系如图乙所示，规定沿轴正方向为电场的正方向。已知粒子的电荷量为（为元电荷）、质量为，重力不计。求： （1）粒子从放射源运动到C的过程中动能的变化量和发射时初速度的大小； （2）粒子在静电分析器中运动的轨迹半径和运动的时间； （3）当时，粒子的坐标。    3．如图甲所示，在xOy平面内存在磁场和电场，磁感应强度和电场强度大小随时间周期性变化，B的变化周期为4t0，E的变化周期为2t0，变化规律分别如图乙和图丙所示。在t=0时刻从O点发射一带负电的粒子（不计重力），初速度大小为v0，方向沿y轴正方向。在x轴上有一点A（图中未标出），坐标为若规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，y轴正方向为电场强度的正方向，v0、t0、B0为已知量，磁感应强度与电场强度的大小满足：；粒子的比荷满足：。求： （1）在时，粒子的位置坐标； （2）粒子偏离x轴的最大距离； （3）粒子运动至A点的时间。 4．如图甲，竖直面MN的左侧空间中存在竖直向上的匀强电场（上、下及左侧无边界）。一个质量为m、电荷量为q、可视为质点的带正电小球，以水平初速度沿PQ向右做直线运动。若小球刚经过D点时（此时开始计时），在电场所在空间叠加如图乙所示随时间周期性变化、垂直纸面向里的匀强磁场，使得小球再次通过D点时速度方向如图所示与PQ连线成60°角，且以后能多次经过D点做周期性运动。图中，均为未知量，且均小于小球在磁场中做圆周运动的周期。已知D、Q间的距离为L，忽略磁场变化造成的影响，重力加速度为g。求（最后结果可以用分数和根号表示）： （1）电场强度E的大小； （2）与的比值； （3）当小球做周期性运动的周期最大时，求出此时的磁感应强度的大小。 5．如图（a），空间直角坐标系中，有一边长为L的正方体区域，其顶点分别是a、b、c、d、O、、、，其中a、、在坐标轴上，区域内（含边界）分布着电场或磁场。时刻，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以初速度从a点沿ad方向射入区域，不计粒子重力。 （1）若区域内仅分布着沿y轴负方向的匀强电场，则粒子恰能从点离开区域，求电场强度E的大小； （2）若区域内仅分布着方向垂直于平面向外的匀强磁场，则粒子恰能从边之间的e点离开区域，已知，求磁感应强度B的大小； （3）若区域内仅交替分布着方向沿x轴负方向的磁场和沿y轴正方向的磁场，且磁感应强度和的大小随时间t周期性变化的关系如图（b）所示，则要使粒子从平面离开区域，且离开时速度方向与平面的夹角为，求磁感应强度大小的可能取值。 6．如图所示，匀强磁场垂直于平面，磁感应强度按图所示规律变化垂直于纸面向外为正时，一比荷为的带正电粒子从原点沿轴正方向射入，速度大小，不计粒子重力。求时带电粒子的坐标。 7．如图（a）所示，M、N为竖直放置的彼此平行的两块平板，两板间的距离为，两板中央各有一个孔、，且正对，两板间有一垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化图像（垂直纸面向里为正）如图（b）所示，有一正离子在时刻垂直于M板从小孔进入磁场，已知正离子质量为，带电量为，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期为，速度为（不考虑磁场变化而产生的电场的影响，不计正离子所受重力，其中、、、、为已知量）。求： （1）磁感应强度的大小； （2）若正离子从时刻开始进入，则打到N板上离点的距离。 8．如图甲所示，水平放置的平行金属板P和Q，相距为d，两板间存在周期性变化的电场或磁场。P、O间的电势差UPQ随时间的变化规律如图乙所示，磁感应强度B随时间变化的规律如图丙所示，磁场方向垂直纸面向里为正方向。t=0时刻，一质量为m、电荷量为+q的粒子（不让重力），以初速度v0由P板左端靠近板面的位置，沿平行于板面的方向射入两板之间，q、m、d、v0、U0为已知量。 （1）若仅存在交变电场，要使电荷飞到Q板时，速度方向恰好与Q板相切，求交变电场周期T； （2）若仅存在匀强磁场，且满足，粒子经一段时间恰能垂直打在Q板上（不考虑粒子反弹），求击中点到出发点的水平距离。 9．在空间存在一个变化的匀强电场和另一个变化的匀强磁场，电场的方向水平向右（如图中由点B到点C），场强变化规律如图甲所示，磁感应强度变化规律如图乙所示，方向垂直于纸面。从t＝1s开始，在A点每隔2s有一个相同的带电粒子（重力不计）沿AB方向（垂直于BC）以速度v0射出，恰好能击中C点，若AB＝BC＝l，且粒子在点A、C间的运动时间小于1s，求： (1)磁场方向（简述判断理由）； (2)E0和B0的比值； (3)t＝1s射出的粒子和t＝3s射出的粒子由A点运动到C点所经历的时间t1和t2之比。 10．如图甲所示，在空间存在一个变化的电场和一个变化的磁场，电场的方向水平向右（图甲中由B到C的方向），电场强度的大小随时间变化情况如图乙所示；磁感应强度方向垂直于纸面，磁感应强度的大小随时间变化情况如图丙所示。在t=1s时，从A点沿AB方向（垂直于BC）以初速度v0射入第一个粒子，并在此之后，每隔2s有一个相同的粒子沿AB方向以初速度v0从A处射入，射入的粒子均能击中C点。若AB＝L，BC=，且粒子由A运动到C的时间均小于1s。不计粒子重力、空气阻力及电磁场变化带来的影响。求： (1)磁场的方向，以及电场强度E0和磁感应强度B0的比值； (2)假设第一个粒子由A运动到C所经历的时间为t，则第二个粒子运动到C的时刻。 11．如图所示，P点距坐标原点的距离为L，坐标平面内的第一象限内有方向垂直坐标平面向外的匀强磁场(图中未画出），磁感应强度大小为B。有一质量为m、电荷量为q的带电粒子从P点以与y轴正方向夹角为θ =的速度垂直磁场方向射入磁场区域，在磁场中运动，不计粒子重力。求： （1）若粒子垂直于x轴离开磁场，则粒子进入磁场时的初速度大小； （2）若粒子从y轴离开磁场，求粒子在磁场中运动的时间。 12．在图甲所示的平面直角坐标系xOy内，正方形区域（0<x<d、0<y<d）内存在垂直xOy平面周期性变化的匀强磁场，规定图示磁场方向为正方向，磁感应强度B的变化规律如图乙所示，变化的周期T可以调节，图中B0为已知。在x＝d处放置一垂直于x轴的荧光屏，质量为m、电荷量为q的带负电粒子在t＝0时刻从坐标原点O沿y轴正方向射入磁场，不计粒子重力。 （1）调节磁场的周期，满足，若粒子恰好打在屏上P（d，0）处，求粒子的速度大小v； （2）调节磁场的周期，满足，若粒子恰好打在屏上Q（d，d）处，求粒子的加速度大小a。 13．如图所示，匀强磁场的磁感应强度大小为。磁场中的水平绝缘薄板与磁场的左、右边界分别垂直相交于，粒子打到板上时会被反弹（碰撞时间极短），反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反。质量为、电荷量为的粒子速度一定，可以从左边界的不同位置水平射入磁场，在磁场中做圆周运动的半径为，且。粒子重力不计，电荷量保持不变。 （1）求粒子运动速度的大小； （2）欲使粒子从磁场右边界射出，求入射点到的最大距离； （3）从点射入的粒子最终从点射出磁场，，，求粒子从到的运动时间。（结果用等物理量表示） 14．如图所示，在xOy坐标平面的第三象限内存在一个与x轴平行的线状粒子源S，其长度为2R，右端紧靠y轴，可以连续不断地产生沿粒子源均匀分布的电量为+q、质量为m的无初速粒子。粒子经y方向的匀强电场加速获得初速度v0后，进入一垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域。该圆形磁场区域与y轴相切，圆心O'坐标为（，0）。在xOy坐标平面的第一象限内依次存在三个宽度均为d、方向垂直纸面向里的匀强磁场区域I、Ⅱ、Ⅲ，三区域的磁感应强度之比为6∶2∶1，区域Ⅲ的右边界安装了一竖直接地挡板，可吸收打在板上的粒子。已知对准O'射入圆形磁场的粒子将沿着x轴射出；从O点射出、方向与x轴成30°的粒子刚好经过区域I的右边界（未进入区域Ⅱ）。不计粒子的重力和粒子间的相互作用，求： (1)圆形磁场的磁感应强度大小B0； (2)I区域的磁感应强度大小B1； (3)若能从O点出射、方向与x轴成θ的粒子刚好经过区域Ⅱ的右边界（未进入区域Ⅲ），求θ的正弦值； (4)若某段时间内从线状离子源飘出N个粒子，求能打在挡板上的粒子数。 15．如图甲所示，正方形区域ABCD内部有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小，M、N分别为AD、BC边中点。现在从M点，平行AB方向，以某一初速度射入一个质量为m、电荷量为q的负电粒子，发现该粒子刚好从B点离开磁场区域，已知磁场区域的边长，该粒子的比荷，不计粒子重力。 （1）求该粒子射入磁场时的速度大小； （2）若取垂直纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度按图乙的方式变化，时刻，粒子同样从M点平行AB射入，发现粒子恰好能从N点离开，已知，求该粒子射入磁场的速度可能的取值以及粒子运动的时间。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题七 带电粒子在交变电磁场中的运动以及在磁场中的多解问题 ——精剖细解学习讲义 一、交变电磁场问题 1、常见类型 ①电场周期性变化，磁场不变；②磁场周期性变化，电场不变；③电场和磁场周期性变化。 2、分析思路 仔细分析并确定各场的变化特点及相应的时间，其变化周期一般与粒子在电场或磁场中的运动周期相关联。应抓住变化周期与运动周期之间的联系作为解题的突破口。 把粒子的运动过程还原成一个直观的运动轨迹草图进行分析。 把粒子的运动分解成多个运动阶段分别进行处理，根据每一个阶段上的受力情况确定粒子的运动规律。 3、分析方法 先读图，看清并且明白不同场的变化情况；受力分析，分析粒子在不同的变化场区的受力情况；过程分析，分析粒子在不同时间段内的运动情况；找衔接点，找出衔接相邻两个过程的速度大小及方向；选规律，联立不同阶段的方程求解。 二、带电粒子在磁场中的多解问题 1、问题 带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解。 2、问题的类型 ①带电粒子电性不确定形成多解：受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，当粒子具有相同初速度时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致多解。如下图所示，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a；若带负电，其轨迹为b。 ②临界状态不是唯一的形成多解：带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此粒子的运动情况为可能从边界穿过去了或者转过180°后从入射面边界反向飞出，如下图所示。 ③磁场方向不确定形成多解：磁感应强度是矢量，如果题述条件只给出磁感应强度大小，而未说明磁感应强度方向，则应考虑因磁场方向不确定而导致的多解。如下图所示，带正电的粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a；若B垂直纸面向外，其轨迹为b。 ④运动的往复性形成多解：带电粒子在部分是电场，部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解，如下图所示。 1．一平行板电容器长，宽，板间距，在板左侧有一足够长的“狭缝”离子源，沿着两板中心平面，连续不断地向整个电容器射入离子，它们的比荷均为，速度均为，距板右侧处有一屏（屏与电容器等宽且足够高），如图甲所示，如果在平行板电容器的两极板间加上如图乙所示的随时间变化的电压，由于离子在电容器中运动所用的时间远小于电压变化的周期，故离子通过电场甲的时间内电场可视为习强电场。试求： （1）试通过计算判断乙图给的电压能否实现任意时刻进入的离子都打在右侧接收屏上； （2）基于第（1）问，若不能，求一个周期内，能够在屏上出现离子的总时间； （3）基于第（2）问，求离子能打在屏上的区域面积。 【答案】（1）不能；（2）0.0128 s；（3）64cm2 【详解】（1）设离子恰好从极板边缘射出时极板两端的电压为U0，则 水平方向有 l=v0t 竖直方向有 又 由以上各式解得 U0=128 V 即当U≥128 V时离子打到极板上，当U＜128 V时离子打到屏上，即乙图给的电压不能实现任意时刻进入的离子都打在右侧接收屏上； （2）在前，离子打到屏上的时间为 又由对称性知，在一个周期内，打到屏上的总时间 t=4t0=0.0128 s （3）利用推论：打到屏上的离子好像是从极板中心沿直线射到屏上，由此可得 解得 y=d 又由对称性知，打到屏上的总长度为2d，则离子打到屏上的区域面积为 S=2da=2×4×8cm2=64 cm2 2．如图甲所示，在空间中建立坐标系，射线管由平行金属板A、B和平行于金属板的细管C组成，放置在第Ⅱ象限，细管C到两金属板距离相等，细管C开口在轴上。放射源在A板左端，可以沿特定方向发射某一初速度的粒子。若金属板长为、间距为，当A、B板间加上某一电压时，粒子刚好能以速度从细管C水平射出，进入位于第Ⅰ象限的静电分析器中。静电分析器中存在着辐向电场（电场线沿半径方向指向圆心），粒子在该电场中恰好做匀速圆周运动，粒子运动轨迹处的场强大小为。时刻粒子垂直轴进入第Ⅳ象限的交变电场中，交变电场的电场强度随时间的变化关系如图乙所示，规定沿轴正方向为电场的正方向。已知粒子的电荷量为（为元电荷）、质量为，重力不计。求： （1）粒子从放射源运动到C的过程中动能的变化量和发射时初速度的大小； （2）粒子在静电分析器中运动的轨迹半径和运动的时间； （3）当时，粒子的坐标。    【答案】（1），；（2），；（3） 【详解】（1）由题意可知，粒子在平行金属板中的逆运动为类平抛运动，粒子运动的轨迹如图所示    沿轴方向有 沿轴方向有 由牛顿第二定律有 联立解得 粒子从放射源运动到的过程中，由动能定理有 解得 动能的变化量 解得 （2）粒子在静电分析器中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有 解得 由 解得 （3）时，粒子在轴方向的速度 所以一个周期内，粒子在轴方向的平均速度 一个周期内粒子沿轴正方向前进的距离 时，粒子的横坐标为 所以时，粒子的横坐标为 粒子的纵坐标为 则在时，粒子的坐标为。 3．如图甲所示，在xOy平面内存在磁场和电场，磁感应强度和电场强度大小随时间周期性变化，B的变化周期为4t0，E的变化周期为2t0，变化规律分别如图乙和图丙所示。在t=0时刻从O点发射一带负电的粒子（不计重力），初速度大小为v0，方向沿y轴正方向。在x轴上有一点A（图中未标出），坐标为若规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，y轴正方向为电场强度的正方向，v0、t0、B0为已知量，磁感应强度与电场强度的大小满足：；粒子的比荷满足：。求： （1）在时，粒子的位置坐标； （2）粒子偏离x轴的最大距离； （3）粒子运动至A点的时间。 【答案】(1)；(2)；（3） 【详解】（1）在时间内，粒子做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得 ， 周期则在时间内转过的圆心角，所以在时，粒子的位置坐标为：（） （2）在时间内，粒子经电场加速后的速度为v，粒子的运动轨迹如图所示 运动的位移 在时间内粒子做匀速圆周运动，半径 故粒子偏离x轴的最大距离 （3）粒子在xoy平面内做周期性运动的运动周期为，一个周期内向右运动的距离 AO间的距离为 所以，粒子运动至A点的时间为 4．如图甲，竖直面MN的左侧空间中存在竖直向上的匀强电场（上、下及左侧无边界）。一个质量为m、电荷量为q、可视为质点的带正电小球，以水平初速度沿PQ向右做直线运动。若小球刚经过D点时（此时开始计时），在电场所在空间叠加如图乙所示随时间周期性变化、垂直纸面向里的匀强磁场，使得小球再次通过D点时速度方向如图所示与PQ连线成60°角，且以后能多次经过D点做周期性运动。图中，均为未知量，且均小于小球在磁场中做圆周运动的周期。已知D、Q间的距离为L，忽略磁场变化造成的影响，重力加速度为g。求（最后结果可以用分数和根号表示）： （1）电场强度E的大小； （2）与的比值； （3）当小球做周期性运动的周期最大时，求出此时的磁感应强度的大小。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）根据题意，在重力场与电场的复合场中，带电小球做直线运动，则有 可得 （2）根据题意，当加上周期性变化的磁场后，带电小球的运动轨迹应如图所示 粒子在时间内做匀速直线运动，其位移 粒子在加入磁场后，在时间内做匀速圆周运动，根据几何关系可得粒子做圆周运动的半径 又 联立解得 （3）带电小球在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力充当向心力有 解得 而带电小球做完整圆周运动的周期 联立可得 显然，小球做周期性运动的周期要最大，则磁感应强度要最小，而磁感应强度最小，则小球在磁场中做圆周运动的轨迹半径要最大，因此小球在电场和重力场的复合场中加上周期性变化的磁场时，恰好做周期性运动时即圆周运动的轨迹恰好和磁场边界MN相切，根据几何关系有 可得 而根据 联立可得 25．如图（a），空间直角坐标系中，有一边长为L的正方体区域，其顶点分别是a、b、c、d、O、、、，其中a、、在坐标轴上，区域内（含边界）分布着电场或磁场。时刻，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以初速度从a点沿ad方向射入区域，不计粒子重力。 （1）若区域内仅分布着沿y轴负方向的匀强电场，则粒子恰能从点离开区域，求电场强度E的大小； （2）若区域内仅分布着方向垂直于平面向外的匀强磁场，则粒子恰能从边之间的e点离开区域，已知，求磁感应强度B的大小； （3）若区域内仅交替分布着方向沿x轴负方向的磁场和沿y轴正方向的磁场，且磁感应强度和的大小随时间t周期性变化的关系如图（b）所示，则要使粒子从平面离开区域，且离开时速度方向与平面的夹角为，求磁感应强度大小的可能取值。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）粒子恰能从点离开区域 解得 （2）粒子恰能从边之间的e点离开区域，根据几何关系 解得 根据 解得 （3）粒子运动周期 半径 （i）若粒子射出时与z轴负方向的夹角为60°，则粒子在正方体区域运动轨迹沿y轴负方向的俯视如答图2所示，沿x轴负方向的侧视如答图3所示，设粒子在平行于yOx平面内运动了n个半周期（答图2、答图3为n=3的情况），则根据答图2，x轴正方向 根据图3，y方向 因为y>L，故粒子无法到达平面，不合题意。 （i i）若粒子射出时与x轴正方向的夹角为60°，则粒子在正方体区域运动轨造沿y轴负方向的俯视如答图4所示，根据答图4，x轴正方向： 据答图3，y负方向 y=2nR（n=0，1，2，3.......） 因为y<L，故粒子能到达平面，符合题意。解得 6．如图所示，匀强磁场垂直于平面，磁感应强度按图所示规律变化垂直于纸面向外为正时，一比荷为的带正电粒子从原点沿轴正方向射入，速度大小，不计粒子重力。求时带电粒子的坐标。 【答案】 【详解】带电粒子在匀强磁场中运动，洛伦兹力提供向心力 解得 r=1m 带电粒子在磁场中运动的周期 在过程中，粒子顺时针运动了，圆弧对应的圆心角 在过程中，粒子又逆时针运动了，圆弧对应的圆心角 轨迹如图a所示，根据几何关系可知 横坐标 纵坐标 带电粒子的坐标为。 7．如图（a）所示，M、N为竖直放置的彼此平行的两块平板，两板间的距离为，两板中央各有一个孔、，且正对，两板间有一垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化图像（垂直纸面向里为正）如图（b）所示，有一正离子在时刻垂直于M板从小孔进入磁场，已知正离子质量为，带电量为，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期为，速度为（不考虑磁场变化而产生的电场的影响，不计正离子所受重力，其中、、、、为已知量）。求： （1）磁感应强度的大小； （2）若正离子从时刻开始进入，则打到N板上离点的距离。 【答案】（1） ；（2） 【详解】（1）正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力，有 正离子做匀速圆周运动的周期为 联立解得 （2）正离子从时刻进入磁场，粒子受到的洛伦兹力方向向上，时间段，正离子逆时针运动圆周，偏转，此时的速度方向竖直向上，磁场方向改变，此时正离子受到的洛伦兹力方向向右，故时间段离子顺时针做圆周运动，直到打在N板上，运动轨迹如图所示 根据洛伦兹力提供向心力，有 解得 根据几何关系可知 则 8．如图甲所示，水平放置的平行金属板P和Q，相距为d，两板间存在周期性变化的电场或磁场。P、O间的电势差UPQ随时间的变化规律如图乙所示，磁感应强度B随时间变化的规律如图丙所示，磁场方向垂直纸面向里为正方向。t=0时刻，一质量为m、电荷量为+q的粒子（不让重力），以初速度v0由P板左端靠近板面的位置，沿平行于板面的方向射入两板之间，q、m、d、v0、U0为已知量。 （1）若仅存在交变电场，要使电荷飞到Q板时，速度方向恰好与Q板相切，求交变电场周期T； （2）若仅存在匀强磁场，且满足，粒子经一段时间恰能垂直打在Q板上（不考虑粒子反弹），求击中点到出发点的水平距离。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）设经时间粒子恰好沿切线飞到上板，竖直速度为零，加速度为，则 半个周期内，粒子向上运动的距离为 联立得 （2）仅存在磁场时，带电粒子在匀强磁场中做半径为的匀速圆周运动，则有 解得 要使粒子能垂直打到上板上，在交变磁场的半周期，粒子轨迹的圆心角设为，如图所示由几何关系得 解得 则粒子打到上极板的位置距出发点的水平距离为 9．在空间存在一个变化的匀强电场和另一个变化的匀强磁场，电场的方向水平向右（如图中由点B到点C），场强变化规律如图甲所示，磁感应强度变化规律如图乙所示，方向垂直于纸面。从t＝1s开始，在A点每隔2s有一个相同的带电粒子（重力不计）沿AB方向（垂直于BC）以速度v0射出，恰好能击中C点，若AB＝BC＝l，且粒子在点A、C间的运动时间小于1s，求： (1)磁场方向（简述判断理由）； (2)E0和B0的比值； (3)t＝1s射出的粒子和t＝3s射出的粒子由A点运动到C点所经历的时间t1和t2之比。 【答案】(1)垂直纸面向外（理由见解析）；(2)2v0∶1；(3)2∶π 【详解】(1)由图可知，电场与磁场是交替存在的，即同一时刻不可能同时既有电场，又有磁场。据题意对于同一粒子，从点A到点C，它只受静电力或磁场力中的一种，粒子能在静电力作用下从点A运动到点C，说明受向右的静电力，又因场强方向也向右，故粒子带正电。因为粒子能在磁场力作用下由A点运动到点C，说明它受到向右的磁场力，又因其带正电，根据左手定则可判断出磁场方向垂直于纸面向外。 (2)粒子只在磁场中运动时，它在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动。因为 AB＝BC＝l 则运动半径 R＝l 由牛顿第二定律知 qv0B0＝ 则 B0＝ 粒子只在电场中运动时，它做类平抛运动，在点A到点B方向上，有 l＝v0t 在点B到点C方向上，有 a＝ l＝at2 解得 E0＝ 则 ＝ (3)t＝1s射出的粒子仅受到静电力作用，则粒子由A点运动到C点所经历的时间 t1＝ 因 E0＝ 则 t1＝ t＝3s射出的粒子仅受到磁场力作用，则粒子由A点运动到C点所经历的时间 t2＝T 因为 T＝ 所以 t2＝ 故 t1∶t2＝2∶π 10．如图甲所示，在空间存在一个变化的电场和一个变化的磁场，电场的方向水平向右（图甲中由B到C的方向），电场强度的大小随时间变化情况如图乙所示；磁感应强度方向垂直于纸面，磁感应强度的大小随时间变化情况如图丙所示。在t=1s时，从A点沿AB方向（垂直于BC）以初速度v0射入第一个粒子，并在此之后，每隔2s有一个相同的粒子沿AB方向以初速度v0从A处射入，射入的粒子均能击中C点。若AB＝L，BC=，且粒子由A运动到C的时间均小于1s。不计粒子重力、空气阻力及电磁场变化带来的影响。求： (1)磁场的方向，以及电场强度E0和磁感应强度B0的比值； (2)假设第一个粒子由A运动到C所经历的时间为t，则第二个粒子运动到C的时刻。 【答案】(1)垂直纸面向外，；(2)3+0.87t 【详解】(1)磁场方向为垂直纸面向外               设带电粒子的质量为m，电荷量为q，第一个带电粒子进入磁场，做匀速圆周运动，则 第二个带电粒子进入电场 联立解得 (2)第一个带电粒子进入磁场，打到C点所用时间为 第二个带电粒子进入电场，打到C点所用时间为 所以第二个粒子运动到C的时刻为（3+0.87t） 11．如图所示，P点距坐标原点的距离为L，坐标平面内的第一象限内有方向垂直坐标平面向外的匀强磁场(图中未画出），磁感应强度大小为B。有一质量为m、电荷量为q的带电粒子从P点以与y轴正方向夹角为θ =的速度垂直磁场方向射入磁场区域，在磁场中运动，不计粒子重力。求： （1）若粒子垂直于x轴离开磁场，则粒子进入磁场时的初速度大小； （2）若粒子从y轴离开磁场，求粒子在磁场中运动的时间。 【答案】（1）；（2）或 【详解】（1）若粒子垂直于x轴离开磁场，粒子的运动轨迹如图所示 由几何关系可得 由洛伦兹力提供向心力得 联立方程，解得 （2）粒子在磁场中做圆周运动的周期为 若粒子从y轴离开磁场，如果粒子带正电，粒子的运动轨迹如图所示 由几何关系可和，粒子在磁场中的偏转角为 所以运动时间为 联立解得 如果粒子带负电，粒子在磁场中运动的轨迹如图所示 根据几何关系可知，粒子在磁场中的偏转角为 α2=90° 所以粒子在磁场中运动的时间为 12．在图甲所示的平面直角坐标系xOy内，正方形区域（0<x<d、0<y<d）内存在垂直xOy平面周期性变化的匀强磁场，规定图示磁场方向为正方向，磁感应强度B的变化规律如图乙所示，变化的周期T可以调节，图中B0为已知。在x＝d处放置一垂直于x轴的荧光屏，质量为m、电荷量为q的带负电粒子在t＝0时刻从坐标原点O沿y轴正方向射入磁场，不计粒子重力。 （1）调节磁场的周期，满足，若粒子恰好打在屏上P（d，0）处，求粒子的速度大小v； （2）调节磁场的周期，满足，若粒子恰好打在屏上Q（d，d）处，求粒子的加速度大小a。 【答案】（1）；（2）（k＝1，2，3…） 【详解】（1）满足，粒子的运动轨迹如图所示 由洛伦兹力提供向心力，有 几何关系可得 2R1＝d 联立解得 （2）满足，粒子的轨迹如图所示 由几何关系可得 d＝kR2，其中k＝1，2，3… 由 可得 （k＝1，2，3…） 而 联立可得 ，k＝1，2，3… 13．如图所示，匀强磁场的磁感应强度大小为。磁场中的水平绝缘薄板与磁场的左、右边界分别垂直相交于，粒子打到板上时会被反弹（碰撞时间极短），反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反。质量为、电荷量为的粒子速度一定，可以从左边界的不同位置水平射入磁场，在磁场中做圆周运动的半径为，且。粒子重力不计，电荷量保持不变。 （1）求粒子运动速度的大小； （2）欲使粒子从磁场右边界射出，求入射点到的最大距离； （3）从点射入的粒子最终从点射出磁场，，，求粒子从到的运动时间。（结果用等物理量表示） 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【详解】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 在磁场中做圆周运动的半径，联立，代入数据得 （2）如图所示，粒子碰撞后的运动轨迹恰好与磁场左边界相切，此时入射点到的距离最大，由几何关系得 整理得 （3）粒子做匀速圆周运动，有 由题意可知粒子垂直打到水平薄板上，设粒子最后一次碰撞到射出磁场的时间为，则粒子从到的运动时间 （a）当时，粒子斜向上射出磁场，粒子从最后一次碰撞到射出磁场转过的夹角为，故 联立代入数据，得 （b）当时，粒子斜向下射出磁场，粒子转过夹角为，故 联立代入数据，得 14．如图所示，在xOy坐标平面的第三象限内存在一个与x轴平行的线状粒子源S，其长度为2R，右端紧靠y轴，可以连续不断地产生沿粒子源均匀分布的电量为+q、质量为m的无初速粒子。粒子经y方向的匀强电场加速获得初速度v0后，进入一垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域。该圆形磁场区域与y轴相切，圆心O'坐标为（，0）。在xOy坐标平面的第一象限内依次存在三个宽度均为d、方向垂直纸面向里的匀强磁场区域I、Ⅱ、Ⅲ，三区域的磁感应强度之比为6∶2∶1，区域Ⅲ的右边界安装了一竖直接地挡板，可吸收打在板上的粒子。已知对准O'射入圆形磁场的粒子将沿着x轴射出；从O点射出、方向与x轴成30°的粒子刚好经过区域I的右边界（未进入区域Ⅱ）。不计粒子的重力和粒子间的相互作用，求： (1)圆形磁场的磁感应强度大小B0； (2)I区域的磁感应强度大小B1； (3)若能从O点出射、方向与x轴成θ的粒子刚好经过区域Ⅱ的右边界（未进入区域Ⅲ），求θ的正弦值； (4)若某段时间内从线状离子源飘出N个粒子，求能打在挡板上的粒子数。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）根据洛伦兹力提供向心力有 解得 （2）设粒子在I区的运动半径为r，根据几何关系有 则 I区域根据洛伦兹力提供向心力有 可得 （3）区域Ⅱ粒子轨迹如图所示 根据几何关系有 ， 解得 ， （4）设与x轴成β方向的粒子正好打到档板，由三个区域的动量定理综合得 解得 由几何关系可得对应在发射源的位置与y轴距离，该点到发射源中点间发射的粒子均能打到档板，所以总共为。 15．如图甲所示，正方形区域ABCD内部有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小，M、N分别为AD、BC边中点。现在从M点，平行AB方向，以某一初速度射入一个质量为m、电荷量为q的负电粒子，发现该粒子刚好从B点离开磁场区域，已知磁场区域的边长，该粒子的比荷，不计粒子重力。 （1）求该粒子射入磁场时的速度大小； （2）若取垂直纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度按图乙的方式变化，时刻，粒子同样从M点平行AB射入，发现粒子恰好能从N点离开，已知，求该粒子射入磁场的速度可能的取值以及粒子运动的时间。 【答案】（1）；（2）， 【详解】（1）粒子的运动轨迹如图甲所示 设粒子做匀速圆周运动的半径为，由几何关系可知 代入数据，解得 由 代入数据，解得 （2）因为，粒子的轨迹如图乙所示 设粒子做匀速圆周运动的半径为，由几何关系可得 ， 由 联立上述方程可解得 ， 粒子运动时间 由于周期性，粒子转过的角度为 ， 代入上述公式，可解得 ， 代入数据解得 ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$