1.4.2 第1课时 距离问题-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　距离问题 [学习目标] 知识层面 1．能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题． 2．通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 素养层面 通过空间中点、线、面距离的相互转化，培养直观想象和数学运算素养. 知识点一　点到直线的距离 问题1． (1)点到直线的距离是什么？ (2)两条平行线之间的距离是什么？ 提示：　(1)点到直线的距离就是点与直线上任一点的距离中的最小值． (2)两条平行直线之间的距离就是一条直线上任一点到另一条直线的距离． 　如图，直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点．设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得点P到直线l的距离为PQ＝＝． [微思考]　如何求两条平行线之间的距离？ 提示：两条平行线之间的距离可以转化为其中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离． 如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，AD＝4，E，F分别是AB，PC的中点． 学生用书第32页 (1)求点F到直线BD的距离； (2)求点D到直线EF的距离． 解：(1)如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz， 则B(2，0，0)，D(0，4，0)，F(1，2，1)，＝(－2，4，0)，||＝2， 直线BD的单位方向向量u＝＝，＝(1，－2，－1)， 点F到直线BD的距离d＝＝＝1. (2)因为E为AB的中点，F为PC的中点， 所以E(1，0，0)，F(1，2，1)，＝(0，2，1)，＝(1，－4，0)，||＝， 直线EF的单位方向向量v＝＝， 点D到直线EF的距离d＝＝＝. 规律方法 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 第一步(建系)：建立空间直角坐标系； 第二步(求方向向量)：求直线的方向向量； 第三步(求模)：计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影，向量的模； 第四步(求距离)：利用勾股定理求点到直线的距离． 另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 　　 对点练1．如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝3，底面ABCD是边长为4的菱形，且∠BAD＝60°，E为AD中点．求点B1到直线A1E的距离． 解：由题意易知BE⊥BC，则如图所示，分别以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则E(2，0，0)，A1(2，－2，3)，B1(0，0，3)，B(0，0，0)， 又因为＝(0，2，－3)，设a＝＝(－2，2，0)，u＝＝， 所以点B1到直线A1E的距离d＝＝＝. 知识点二　点到平面的距离 问题2．(1)点到平面的距离是什么？ (2)如何用向量求点到平面的距离？ 提示：(1)点到平面的距离就是过该点作已知平面的垂线，垂足与该点间的线段长度． (2)利用平面的斜向量以及斜向量在已知平面的法向量上的投影向量所建构的直角三角形求解． 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度． 因此PQ＝＝＝． [微思考]　当直线与平面平行时，如何求直线与平面的距离？两平行平面间的距离呢？ 提示：如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解；如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解． 如图所示，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2.求点A到平面MBC的距离． 解：取CD的中点O，连接OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD， 又平面MCD⊥平面BCD， 所以MO⊥平面BCD． 以O为坐标原点，分别以直线OC，BO，OM为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示． 因为△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形， 所以OB＝OM＝， 则O(0，0，0)，C(1，0，0)，M(0，0，)，B(0，－，0)，A(0，－，2)， 所以＝(1，，0)，＝(0，，)． 设平面MBC的法向量为n＝(x，y，z)，由得 即取x＝，可得平面MBC的一个法向量为n＝(，－1，1)． 又＝(0，0，2)，所以所求距离d＝＝. 学生用书第33页 [变式探究] (变结论)若本例条件不变，且P是CD上的点，且DP＝PC，求P到平面ABC的距离． 解：因为DP＝PC，所以P，＝， 设平面ABC的一个法向量为u＝(x，y，z)，＝(0，0，2)，＝(1，，0)， 所以即 取y＝1，则x＝－，z＝0，可得u＝(－，1，0)， 所以P到平面ABC的距离d＝＝， 所以点P到平面ABC的距离为. 规律方法 用向量法求点面距离的步骤 第一步(建系)：建立恰当的空间直角坐标系； 第二步(求点坐标)：写出(求出)相关点的坐标； 第三步(求向量)：求出相关向量的坐标(，α内两不共线向量，平面α的法向量n)； 第四步(求距离)：d＝.　　 对点练2．如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点O为A1B的中点，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AA1＝2. (1)证明：BC∥平面AOC1； (2)求点B到平面AOC1的距离． 解：(1)证明：连接A1C，交AC1于点E，则E为A1C的中点．连接OE， 在△A1BC中，OE为中位线，则OE∥BC． 因为OE⊂平面AOC1，BC⊄平面AOC1，所以BC∥平面AOC1. (2)设AC的中点为D，在平面ACC1A1内过点D作AC的垂线，连接BD． 如图所示，以D为坐标原点，分别以DB，DC，DE所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz. 则D(0，0，0)，B(，0，0)，A(0，－，0)，O，C1(0，，2)， 所以＝(，，0)，＝，＝(0，2，2)． 设平面AOC1的法向量为n＝(x，y，z)，则得 不妨取y＝，则n＝(，，－)． 故点B到平面AOC1的距离为＝＝. 线线距、线面距和面面距 直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，边长为2，侧棱A1A＝3，M，N分别为A1B1，A1D1的中点，E，F分别是C1D1，B1C1的中点． (1)求证：平面AMN∥平面EFBD； (2)求平面AMN与平面EFBD的距离． 解：(1)证明：法一：连接B1D1，NF(图略)， 因为M，N分别为A1B1，A1D1的中点，E，F分别是C1D1，B1C1的中点，所以MN∥EF∥B1D1， 因为MN⊄平面EFBD，EF⊂平面EFBD，所以MN∥平面EFBD， 因为NF∥AB，所以ABFN是平行四边形，所以AN∥BF， 因为AN⊄平面EFBD，BF⊂平面EFBD，所以AN∥平面EFBD， 因为AN∩MN＝N，所以平面AMN∥平面EFBD． 法二：如图所示，建立空间直角坐标系D-xyz， 则A(2，0，0)，N(1，0，3)，B(2，2，0)，E(0，1，3)，F(1，2，3)，M(2，1，3)，所以＝(1，1，0)，＝(－1，－1，0)， ＝(－1，0，3)，＝(－1，0，3)， 所以＝－，＝，所以EF∥MN，AN∥BF， 因为MN⊄平面EFBD，EF⊂平面EFBD， 所以MN∥平面EFBD， 因为AN⊄平面EFBD，BF⊂平面EFBD， 所以AN∥平面EFBD， 又MN∩AN＝N，所以平面AMN∥平面EFBD． (2)法一：平面AMN与平面EFBD的距离等于B到平面AMN的距离h. 在△AMN中，AM＝AN＝，MN＝，S△AMN＝××＝， 所以由VB-AMN＝VN-AMB可得×h＝××2×3×1，所以h＝. 法二：设平面AMN的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即则可取n＝(3，－3，1)， 因为＝(0，2，0)， 所以平面AMN与平面EFBD的距离为d＝＝＝. 规律方法 求线面距离或两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离求解．　　 对点练3．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点． (1)求直线FC1到直线AE的距离； (2)求直线FC1到平面AB1E的距离． 解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系， B1(1，1，1)，E，F，A(1，0，0)，C1(0，1，1)， 因为＝，＝， 所以∥，即AE∥FC1， 所以点F到直线AE的距离即为直线FC1到直线AE的距离， u＝＝，＝， 2＝，·u＝， 所以直线FC1到直线AE的距离为＝＝. (2)因为AE∥FC1，FC1⊄平面AB1E，AE⊂平面AB1E，所以FC1∥平面AB1E， 所以直线FC1到平面AB1E的距离等于C1到平面AB1E的距离， ＝(1，0，0)，＝(0，1，1)，＝， 设平面AB1E的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即 取z＝2，可得n＝(1，－2，2)， 所以C1到平面AB1E的距离为＝＝， 所以直线FC1到平面AB1E的距离为. 知识 1.点到直线的距离.2.点到平面的距离以及直线与平面.3.平面与平面间的距离 方法 向量法、数形结合法、转化法 易错 误区 对距离公式理解不到位，生搬硬套导致失误 学生用书第34页 1．已知点M(－1，1，－2)，平面α过原点O，且垂直于向量n＝(1，－2，2)，则点M到平面α的距离是(　　) A．7 B． C． D． 答案：D 解析：由题意，＝(1，－1，2)，n＝(1，－2，2)，则·n＝1＋2＋4＝7，所以点M到平面α的距离为d＝＝＝.故选D． 2．(多选)点M在z轴上，它与经过坐标原点且方向向量为s＝(1，－1，1)的直线l的距离为，则点M的坐标是(　　) A．(0，0，－3) B．(0，0，3) C．(0，0，) D．(0，0，－) 答案：AB 解析：设M(0，0，m)，则＝(0，0，m)，又直线l的方向向量为s＝(1，－1，1)，所以点M到直线l的距离d＝＝＝，所以m＝±3，则M(0，0，3)或M(0，0，－3)．故选AB． 3．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(1，2，3)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是__________． 答案： 解析：因为两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(1，2，3)，故＝(1，2，3)，又两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，所以两平面间的距离d＝＝＝. 4．已知点A(1，0，2)，B(－1，1，2)，C(1，1，－2)，则三角形ABC的面积是________． 答案： 解析：由A(1，0，2)，B(－1，1，2)，C(1，1，－2)，则＝(－2，1，0)，＝(2，0，－4)，则||＝＝2，且点A到直线BC的距离为d＝＝＝，所以三角形ABC的面积是S△ABC＝×||×d＝×2×＝. 课时测评9　距离问题 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．若A(x，1－x，x－2)，B(0，x＋1，2x＋1)，当||取最小值时，x的值等于(　　) A．0 B． C．－ D． 答案：C 解析：由A，B两点坐标可得＝(－x，2x，x＋3)，所以可得||＝＝＝，由二次函数性质可知，当x＝－时，||取最小值．故选C． 2．已知直线l过定点A(2，3，1)，且方向向量为s＝(0，1，1)，则点P(4，3，2)到l的距离d为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：＝(2，0，1)，由点到直线的距离公式得d＝＝＝.故选A． 3．已知A(0，0，1)，B(0，2，0)，C(3，0，0)，O(0，0，0)，则点O到平面ABC的距离是(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：＝(0，2，－1)，＝(3，0，－1)，设平面ABC的法向量为m＝(x，y，z)，则即令z＝6，得x＝2，y＝3，故m＝(2，3，6)，故点O到平面ABC的距离为＝＝.故选A． 4．Rt△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，则点P到斜边AB的距离是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：以点C为坐标原点，CA，CB，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4，0，0)，B(0，3，0)，P，所以＝(－4，3，0)，＝，所以点P到AB的距离d＝＝＝3.故选C． 5．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN与平面ACD1间的距离是(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：如图，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，D1(0，0，1)，M，N，C(0，1，0)，所以＝(－1，0，1)，＝.所以＝，又直线AD1与MN不重合，所以MN∥AD1，又MN⊄平面ACD1，⊂平面ACD1，所以MN∥平面ACD1.因为AD1＝(－1，0，1)，D1C＝(0，1，－1)，设平面ACD1的法向量n＝(x，y，z)，则所以所以x＝y＝z，令x＝1，则n＝(1，1，1)．又因为＝，所以点M到平面ACD1的距离d＝＝＝.故直线MN与平面ACD1间的距离为.故选D． 6．(多选)已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，若点P(－2，1，z)到α的距离为，则z＝(　　) A．－16 B．－4 C．4 D．16 答案：AC 解析：点A(－1，3，0)，P(－2，1，z)，所以＝(－1，－2，z)，又n＝(－2，－2，1)，则d＝＝＝＝，解得z＝4或－16.故选AC． 7．已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，则点B到直线A1C1的距离为________． 答案： 解析：以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(4，0，1)，C1(0，3，1)，所以直线A1C1的方向向量为＝(－4，3，0)，而＝(0，3，1)，所以点B到直线A1C1的距离 d＝ ＝＝＝. 8．在四棱锥S-ABCD中，＝(4，－1，0)，＝(0，3，0)，＝(－3，1，－5)，则这个四棱锥的高h为____________． 答案：5 解析：设平面ABCD的法向量为n＝(x，y，z)，则有即所以x＝y＝0，所以取n＝(0，0，1)，所以此四棱锥的高h＝＝＝5. 9．已知棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1，则平面AB1C 与平面A1C1D 之间的距离为________． 答案： 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则 A1(1，0，0)，C1(0，1，0)，D(0，0，1)，A(1，0，1)，所以 ＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，＝(－1，0，0)，设平面 A1C1D 的一个法向量为m＝(x，y，1)，则即 解得故m＝(1，1，1)，显然平面AB1C∥平面A1C1D，所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d＝＝＝. 10．(10分)如图，在长方体ABCD- A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3. (1)证明：B2C2∥A2D2； (2)求D到平面A2C2D2的距离． 解：(1)证明：以C为坐标原点，CD，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则C(0，0，0)，C2(0，0，3)，B2(0，2，2)，D2(2，0，2)，A2(2，2，1)， 所以＝(0，－2，1)，＝(0，－2，1)，所以∥， 又B2C2，A2D2不在同一条直线上， 所以B2C2∥A2D2. (2)设平面A2C2D2的法向量为m＝(a，b，c)， 又＝(－2，－2，2)，＝(－2，0，1)， 则即 令a＝1，则b＝1，c＝2，所以m＝(1，1，2)， 又＝(0，0，2)， 所以D到平面A2C2D2的距离为d＝＝＝. (11—13每小题5分，共15分) 11．空间直角坐标系Oxyz中，A(1，2，0)，B(0，1，2)，C(1，0，2)，点P在平面ABC内，且OP⊥平面ABC，则BP＝(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：由A(1，2，0)，B(0，1，2)，C(1，0，2)，得＝(－1，－1，2)，＝(0，－2，2)，设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则即令y＝1，则x＝1，z＝1，故n＝(1，1，1)，又＝(0，1，2)，OP⊥平面ABC，所以||＝＝＝，又||＝＝，所以BP＝＝＝.故选A． 12．(多选)在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在棱DC上运动(不与顶点重合)，则点B到平面AD1P的距离可以是(　　) A．1 B． C．2 D．3 答案：BC 解析：以D为原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(3，0，0)，B(3，3，0)，D1(0，0，3)，设P(0，t，0)(0＜t＜3)，所以＝(－3，t，0)，＝(－3，0，3)，＝(0，3，0)，设n＝(x，y，z)为平面AD1P的法向量，则有即令y＝3，可得n＝(t，3，t)，则点B到平面AD1P的距离为d＝＝，因为0＜t＜3，所以2t2＋9∈(9，27)，所以d∈(，3)．故选BC． 13．(开放题)在空间直角坐标系Oxyz中，A(1，2，1)，B(2，1，m)，C(0，1，2)，若点C到直线AB的距离不小于，写出一个满足条件的m的值为___. 答案：1(答案不唯一，只要1－≤m≤1＋即可) 解析：因为＝(1，－1，m－1)，＝(－1，－1，1)，所以点C到直线AB的距离d＝＝≥，解得1－≤m≤1＋. 14．(12分)已知空间中三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)． (1)求以AB，AC为边的平行四边形的面积； (2)求VO-ABC，其中O是空间坐标系的原点． 解：(1)＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)，||＝＝， 所以C到直线AB的距离为d＝＝＝. 所以以AB，AC为边的平行四边形的面积为S＝|AB|·d＝×＝7. (2)设平面ABC的法向量为m＝(x，y，z)， 由(1)可知：＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)， 所以有⇒取x＝1可得m＝(1，1，1)， 又＝(0，2，3)， 则点O到平面ABC的距离为d＝＝＝， △ABC的面积为××＝， 所以VO-ABC＝××＝. 15．(5分)(新角度)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点H在棱AA1上，且HA1＝，在侧面BCC1B1内作边长为的正方形EFGC1，P是侧面BCC1B1内一动点，且点P到平面CDD1C1的距离等于线段PF的长，则当点P运动时，HP的最小值是(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：根据题意，以D为原点建立空间直角坐标系如图所示，则F，H，设P(x，1，z)，(0≤x≤1，0≤z≤1)，因为点P到平面CDD1C1的距离等于线段PF的长，所以x＝，化简得＝2，则6x－1≥0，解不等式可得x≥，综上可得≤x≤1.HP＝＝，所以当x＝时，HP取最小值是.故选D． 16．(13分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，AA1B1B为矩形，AB＝3，BC＝5. (1)证明：AA1⊥平面ABC； (2)在线段BC上是否存在点P，使得点P到平面A1C1B的距离为2，若存在，求BP的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：因为AA1C1C是正方形，AA1B1B为矩形， 所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，且AB，AC⊂平面ABC，AB∩AC＝A， 所以AA1⊥平面ABC． (2)因为AB＝3，AC＝4，BC＝5，所以AB⊥AC, 因此AB，AC，AA1两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图， 则有B(0，3，0)，C(4，0，0)，A1(0，0，4)，C1(4，0，4)， 所以＝(4，－3，0)，＝(0，－3，4)，＝(4，－3，4)， 设平面A1C1B的一个法向量为m＝(x，y，z)， 则有即令y＝4，则m＝(0，4，3)， 假设在线段BC上存在点P，满足题设条件，设＝λ，0≤λ≤1，则＝＋＝＋λ＝(0，3，0)＋λ(4，－3，0)＝(4λ，3－3λ，0)， 所以P(4λ，3－3λ，0)，＝(4λ，－3λ，0)， 所以点P到平面A1C1B的距离为d＝＝＝2，解得λ＝，满足题意， 故在BC上存在点P，使点P到平面A1C1B的距离为2，此时BP＝BC＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$