专题01 函数重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题01 函数重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 函数的概念 题型二 函数的解析式 题型三 求自变量的取值范围 题型四 求自变量的值或函数值 题型五 函数图象识别 题型六 从函数的图象获取信息 题型七 用描点法画函数图象 题型八 动点问题的函数图象 题型九 函数的三种表示方法 题型十 函数相关多结论问题 【知识点1 函数的概念】 一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。 注意：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次看每一个x的值是否对应唯一确定的y值． 【知识点2 求函数的值】 (1) 当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个． (2)函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，即给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值． 【知识点3 函数的图象】 把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象． 【经典例题一 函数的概念】 【例1】（23-24八年级·全国·假期作业）下列关系式中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的概念可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此分析每一选项即可得出答案． 【详解】A． 符合函数定义，是函数，故选项错误，不符合题意；   B． 符合函数定义，是函数，故选项错误，不符合题意；    C． 对于x的每一个取值（），y都有两个值，不是函数，故选项正确，符合题意；   D． 符合函数定义，是函数，故选项错误，不符合题意． 故选：C 【点睛】本题考查了函数的定义，一般地，在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 1．（23-24九年级上·山东聊城·期末）下列式子：①②③④⑤．其中y是x的函数的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据以下特征进行判断即可：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 【详解】解：①，y是x的函数； ②，y不是x的函数； ③，y是x的函数； ④，当x取一个值时，有两个y值与之对应，故y不是x的函数； ⑤．y是x的函数； 所以其中y是x的函数的个数是3， 故选：B 【点睛】本题主要考查的是函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列图象中，不能表示是的函数的是 ．（填序号） 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查函数定义，解题的关键是理解掌握自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数．根据函数的定义，自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数，即可得出答案． 【详解】解：根据函数的定义可知，③和④部分自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有俩个确定的值与之对应，⑤自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有无数个的值与之对应，不满足函数定义．其余均满足函数的定义即自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，． 故答案为：③④⑤． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）指出下列变化过程中，哪个变量随着另一个变量的变化而变化？ （1）一辆汽车以的速度匀速行驶，行驶的路程与行驶时间． （2）圆的半径和圆面积满足：． （3）银行的存款利率与存期． 【答案】见解析 【分析】根据函数的概念，因变量随着自变量的变化而变化，据此逐一判断可得． 【详解】解：（1），随着的变化而变化； （2）圆的半径和圆面积关系式，其中随着的变化而变化； （3）银行的存款利率随着存期的变化而变化． 【点睛】本题主要考查函数的定义，理解和掌握函数的定义是解题的关键． 【经典例题二 函数的解析式】 【例2】（23-24八年级下·河南鹤壁·期中）函数中自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据二次根式，以及分母不为0可得且，然后进行计算即可解答． 【详解】解：∵函数有意义， ∴且， 解得且. 故选：D 1．（2022·黑龙江大庆·中考真题）函数叫做高斯函数，其中x为任意实数，表示不超过x的最大整数．定义，则下列说法正确的个数为(   ) ①； ②； ③高斯函数中，当时，x的取值范围是； ④函数中，当时，． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据表示不超过x的最大整数，即可解答． 【详解】解：①，故原说法错误； ②，正确，符合题意； ③高斯函数中，当时，x的取值范围是，正确，符合题意； ④函数中，当时，，正确，符合题意； 所以，正确的结论有3个． 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是明确表示不超过x的最大整数． 2．（24-25七年级上·上海闵行·期中）用一根长15厘米的铁丝制成一个长方形框架，设长方形的一边长为x厘米，面积为y平方厘米，则y关于x的函数解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查列函数关系式，易得长方形另一边长为周长的一半减去已知边长，那么长方形的面积等于相邻两边长的积．掌握长方形的边长与所给周长与另一边长的关系是解决本题的关键． 【详解】解：由题意得：长方形的另一边长， 则， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·广东梅州·阶段练习）秋天到来了，小明家的苹果获得了丰收，他主动帮助妈妈到集市上去卖刚刚采摘下的苹果．已知销售数量（千克）与售价（元）的关系如下表所示： 销售数量（千克） 1 2 3 4 5 售价（元） 2.1 4.2 6.3 8.4 10.5 (1)表格中自变量是_____，因变量是_____； (2)根据表格中的数据，售价与销售数量的关系式是_____； (3)当时，求的值． 【答案】(1)销售量，售价 (2) (3)31.5 【分析】本题考查了函数关系式，函数的表示方法，以及已知自变量求函数值，根据表格得到售价与数量成正比是解题的关键． （1）根据实际情况结合自变量和因变量的定义即可解答； （2）设售价与销售数量的关系式为，根据表中数据，代入求解即可； （3）当时，的值是元的倍，据此即可求解． 【详解】（1）解：根据题可知，当销售量每增加千克，售价就增加元， 则自变量是销售量，因变量是售价； （2）解：设售价与销售数量的关系式为， 将代入，则， ， 售价与销售数量的关系式是； （3）解：由（2）知售价与销售数量的关系式是； 当时，元． 【经典例题三 求自变量的取值范围】 【例3】（24-25九年级上·山东临沂·开学考试）已知函数．当时，函数值为，并且，为整数，则当时，函数值不可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数值，解题的关键是根据已知条件与所求的函数值建立关系．由当时，函数值为，可得到，再代入当时的函数值中，即可求解． 【详解】解：函数，当时，函数值为， ， 整理可得：， 当时，， ，为整数， 一定为奇数， 函数值不可能是， 故选：B． 1．（23-24八年级下·山东济宁·期末）按照如图所示的程序计算函数的值时，若输入的值是3，则输出的值是7，若输入的值是1，则输出的值是（   ） A．-3 B．-2 C．0 D．2 【答案】C 【分析】直接利用已知代入得出b的值，进而求出输入1时，得出y的值． 【详解】∵当输入x的值是3，输出y的值是7， ∴7＝2×3＋b， 解得：b＝1， 故输入x的值是1时，y＝1×1−1＝0． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了函数值，正确得出b的值是解题关键． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）在周长为的等腰三角形中，底边长为，腰长为，则关于的函数解析式为 ，定义域为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列函数解析式，根据等腰三角形周长公式及三角形三边关系求解即可． 【详解】∵在周长为的等腰三角形中，底边长为，腰长为， ∴，整理得， 由等腰三角形可得， ∴，解得， ∴关于的函数解析式为，定义域为， 故答案为：，． 3．（23-24八年级下·广东潮州·阶段练习）点在第一象限，且，点的坐标为．设的面积为． (1)当点的横坐标为时，试求的面积； (2)求关于的函数解析式及自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列函数关系式，坐标与图形； （1）直接运用面积公式即可求解； （2）运用面积公式，将，代入即可，运用第一象限上点的特征，求出自变量的取值范围． 【详解】（1）解：当时，， ， （2）点在第一象限， ，， ， 综上，， 【经典例题四 求自变量的值或函数值】 【例4】（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）已知函数，则当时，的值为（   ） A． B．或 C．或5 D．或5 【答案】A 【分析】此题考查的是根据函数值，求自变量的值，把代入解析式即可求解，掌握分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 【详解】解：当时，， 解得：，， ∵， ∴， 当时，， 解得：， ∵， ∴此情况不存在， ∴的值为， 故选：A． 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）变量y与x之间的关系式为，当自变量时，因变量y的值是（    ） A． B． C．1 D．5 【答案】D 【分析】本题考查求函数值，熟练掌握求函数值的方法是解决本题的关键．将自变量代入该函数解析式进行计算求解． 【详解】解：当自变量时， 因变量， 故选：D． 2．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）函数，对于自变量取的每一个值，因变量的对应值称为函数值，记作：，已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求解析式，求函数值，读懂题意是解题的关键．由可求得的值，从而得到，进而即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知函数． (1)写成的形式； (2)写出函数的定义域； (3)求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查求函数表达式，自变量的取值范围． 分母有理化等知识，利用等式性质变形求解析式是解答此题的关键， （1）根据等式基本性质进行变形可得； （2）根据分母不等于0可得； （3）把代入可求出y值． 【详解】（1）解： ， ∴y关于x的函数解析式为： （2）∵， ∴， ∴． ∴函数的定义域为：． （3）当时， 【经典例题五 函数图象识别】 【例5】（23-24八年级下·云南曲靖·期末）如图，向高为的圆柱形水杯中注水，已知水杯底面圆半径为，那么注水量与水深的函数关系的图象是（　　） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的图象的知识点，根据圆柱形水杯是均匀的物体，随着水的深度变高，需要的注水量也是均匀升高，判断函数为正比例函数关系式，正确理解函数的图象是解题的关键． 【详解】由于圆柱形水杯是均匀的物体，随着水的深度变高，需要的注水量也是均匀升高的，可知， 只有选项适合均匀升高这个条件， 故选：． 1．（2024·山东东营·模拟预测）周日早晨，妈妈送张浩到离家的少年宫，用时20分钟．妈妈到了少年宫后直接返回家里，还是用了20分钟．张浩在少年宫玩了20分钟的乒乓球，然后张浩跑步回家，用了15分钟．如图中，正确描述张浩离家时间和离家距离关系的是(      ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的图象，解答此题的关键是根据张浩去时用的时间，在少年宫玩了分钟的乒乓球的时间，返回的时间判断出折线的走势．依据题意，根据运动的路程与时间判断折线的走势，注意几个时间段：妈妈送张浩到离家的少年宫，用时分钟，张浩在少年宫玩了分钟的乒乓球，张浩跑步回家，用了分钟，据此判断即可． 【详解】解：根据题意，妈妈送张浩到离家的少年宫，用时分钟，张浩在少年宫玩了分钟的乒乓球，张浩跑步回家，用了分钟，总用时分钟． 在图象上表现为C． 故选：C． 2．（23-24九年级上·江苏·期末）如图（1），△ABC和是两个腰长不相等的等腰直角三角形，其中，∠A＝．点、C'、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将在直线l上自左向右平移，开始时，点与点B重合，当点移动到与点C重合时停止．设△移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图（2）所示，则BC的长是 ． 【答案】6 【分析】观察函数图象可得，重叠部分的图形均为等腰直角三角形，运动距离为a时函数面积为1，知，求出a的值，再运动4个单位长度，面积保持不变，由此求出的长度，即可得到答案． 【详解】解：如图，运动过程中，重叠部分的图形均为等腰直角三角形，图2至图4重叠部分面积不变，都是的值，由题中的函数图象知，．当恰为1时（如图2）． 设，则， ∴a＝2， 使保持1时， 即下图中图2—图4的情形，即图2中的长为4． ∴BC的长为6． 故答案为：6． 【点睛】此题考查了运动问题，函数图象，会看函数图象，根据图形运动结合函数图象得到相关信息由此解决问题是解题的关键． 3．（23-24七年级下·陕西西安·期中）小刚和小聪同住一个小区，商量周日去体育场看一场足球赛．周日下午，小刚先出发去体育场，走了一段路后，在途中停下去便利店买水，后来发现球赛的时间快到了，就加快脚步走向体育场：小聪因家中有事迟出发，离家后跑步去体育场，如图所示：他们从家到体育场所走的路程S（米）与小刚离家时间t（分钟）之间的对应关系，根据图象回答下列问题： (1)小刚家到体育场的路程是_________米，小聪比小刚早到体育场_________分钟； (2)小刚出发几分钟后，小聪追上了小刚？ (3)体育场的球赛是下午，小刚在便利店买完水后如果还按原来走路的速度到体育场，是否会迟到？若迟到，请计算出迟到几分钟？若没迟到，请说明理由． 【答案】(1)1200，6 (2)小刚出发分钟后，小聪追上了小刚 (3)不会迟到，理由见解析 【分析】（1）由图可知小刚家到体育场的路程是1200米，小刚到体育场用时20分钟，小聪在第14分钟到体育场，相减即可求解； （2）先求出小聪的速度，再求出小聪追上小刚所需时间，最后加上8分钟即可； （3）先求出小刚原来步行速度，再求出走完剩下路程所需时间，进而得出小刚到达体育场所需时间，根据题意可知小刚出门25分钟后球赛开始，比较即可得出结论． 【详解】（1）解：由图可知： 小刚家到体育场的路程是1200米， （分钟）， 即小聪比小刚早到体育场6分钟， 故答案为：1200，6； （2）解：小聪的速度：， ， ， 答：小刚出发分钟后，小聪追上了小刚； （3）解：小刚原来步行速度：， ， ∴小刚到达体育场所用时间： ， 即小刚出门25分钟后球赛开始， ∵， ∴不会迟到． 【点睛】本题主要考查了根据函数图象获取信息，解题的关键是正确识图，从图象中获取正确数据． 【经典例题六 从函数的图象获取信息】 【例6】（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图1所示，在甲、乙两地之间有一车站丙（离乙地较近），一辆货车从甲地出发经丙站驶往乙地，一辆轿车从乙地出发经丙站驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，图2分别是货车、轿车行驶时离丙站的路程与行驶时间之间的函数图象．则下列说法错误的是（   ） A．货车的速度为 B． C．当时，两车相遇 D．当时，轿车刚好到达丙车站 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象，有理数的除法运算．从图象中获取正确的信息是解题的关键． 由图可知，甲地与丙地相距，货车的速度为，可判断A的正误；从甲地到乙地的距离为，则乙地与丙地相距，即，可判断B的正误；轿车的速度为，则两车的相遇时间为，可判断C的正误；轿车刚好到达丙车站的时间为，可判断D的正确． 【详解】解：由图可知，甲地与丙地相距， 货车的速度为，A正确，故不符合要求； ∴从甲地到乙地的距离为， ∴乙地与丙地相距， ∴，B正确，故不符合要求； 轿车的速度为， 两车的相遇时间为，C错误，故符合要求； 轿车刚好到达丙车站的时间为，D正确，故不符合要求； 故选：C． 1．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示，给出下列结论：①A，B之间的距离为；②乙行走的速度是甲的1.5倍；③；④，其中正确的结论个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，路程、时间与速度的关系，正确理解函数图象得到相关信息并运用数形结合的思想是解题的关键．由图象所给信息对结论逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知当时，甲、乙两人在A、B两地还未出发， 故A，B之间的距离为，故①正确； 前为甲、乙的速度和行走了， 故， 由图象可知乙用了走完了， 则， 则， ，故②正确； 又∵两人相遇时停留了， ∴两人相遇后从开始继续行走，由图象时的拐点可知，到乙到达目的地， 则两人相遇后行走了，两人之间的距离为（米）， 则，故③正确； 从开始为甲独自行走， 则 ， 故，故④正确； 故选：A． 2．（23-24八年级上·山东青岛·期中）甲、乙两人分别从、两地同时出发，相向而行，匀速前往地、地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示，有下列说法：（1）、之间的距离为；（2）乙行走的速度是甲的倍；（3）；（4）以上结论正确的是 ． 【答案】（1），（2），（4） 【分析】本题考查了函数图象的识别，观察函数图象结合数量关系逐一分析四个说法的正误是解题的关键．（1）由时，可得出A、B之间的距离为；（2）根据速度路程时间可求出乙的速度，再根据甲的速度路程时间乙的速度可求出甲的速度，二者相除即可得出乙行走的速度是甲的1.5倍；（3）根据路程二者速度和运动时间，即可求出；（4）根据甲走完全程所需时间两地间的距离甲的速度，即可求出．综上即可得出结论． 【详解】解：（1）当时， ∴A、B之间的距离为，故结论（1）正确； （2）乙的速度为， 甲的速度为， ， ∴乙行走的速度是甲的倍，故结论（2）正确； （3），故结论（3）错误； （4），故结论（4）正确． 故结论正确的有（1），（2），（4）． 故答案为：（1），（2），（4）． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期中）甲骑电动车，乙骑自行车从西流湖公园门口出发沿同一路线匀速行驶，甲、乙两人距出发地的距离与乙的行驶时间的函数图象如图①所示；甲、乙两人之间的距离与乙的行驶时间的函数图象如图②所示．请结合图象信息解决以下问题： (1)对比图①、图②可知：______，______． (2)求出图①中交点M的坐标，并指出它的实际意义． (3)请直接写出乙出发多长时间，甲、乙两人之间的距离为？ 【答案】(1)10，1.5 (2)交点M的坐标为，交点M的的实际意义是乙出发后甲追上乙； (3)乙出发或或时，甲、乙两人之间的距离为． 【分析】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲乙的速度，再分别得到、的值； （2）交点M的的实际意义是甲追上乙，根据题意和图象中的数据即可求解； （3）由图象可知甲乙相距有三种情况，然后分别计算三种情况下乙出发的时间即可解答本题． 【详解】（1）解：由图可得， 甲的速度为：， 乙的速度为：， ∴， ， 故答案为：10，1.5； （2）解：设乙出发后甲追上乙， 由题意得， 解得， ， ∴交点M的坐标为， 交点M的的实际意义是乙出发后甲追上乙； （3）解：由题意可得， 时，乙行驶的路程为：； 此时甲、乙两人之间的距离为； 设乙出发时， 当时， ， 解得，（舍去）； 当时， ， 解得，， 当时， ， 解得，， 即乙出发或或时，甲、乙两人之间的距离为． 【经典例题七 用描点法画函数图象】 【例7】（2021·陕西西安·模拟预测）变量的一些对应值如下表： … … … … 根据表格中的数据规律，当时，的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格描点，连线，发现函数图像的特征，列出函数的解析式，利用函数解析式求函数值即可． 【详解】解：根据表格数据画出图象如图： 由图象可知，函数的解析式为， 把x＝﹣5代入得，． 故选择：B． 【点睛】本题考查分段函数，读懂表格信息，会利用图像求函数的解析式，会利用解析式求函数值是解题关键． 1．（23-24八年级下·福建福州·期中）用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（     ） x 0 1 2 y 10 8 6 2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象，数形结合是解题的关键． 在坐标系描点，即可得到在同一直线上的三点，从而得到结论． 【详解】解：根据表格数据描点，如图， ， 则点，，在同一直线上，点没在这条直线上， 故选：D. 2．（23-24八年级下·全国·课前预习）描点法画函数图象的一般步骤： 第一步： ．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格． 第二步： ．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点． 第三步： ．按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来． 【答案】 列表 描点 连线 3．（24-25八年级上·四川达州·期中）小红根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．如图是小红的探 究过程，请你补充完整． (1)列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 1 0 k … 根据函数的解析式和表中的数据，可计算   ； (2)描点并画出该函数的图象； (3)①根据函数图象，写出函数图象的两条性质： ； ② 若关于x的方 程有两个实数解 ，则 n的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①（ⅰ）的函数图象关于直线对称，（ⅱ）当时，随增大而增大，当时，随增大而减小； ② 【分析】题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答． （1）将代入得，计算求解即可； （2）描点连线即可； （3）①根据函数的图象即可得到结论； ②根据函数的图象，利用数形结合的思想即可得到结论． 【详解】（1）解：将代入得， 故答案为：； （2）解：图象如下： （3）①根据函数图象，（ⅰ）的函数图象关于直线对称，（ⅱ）当时，随增大而增大，当时，随增大而减小； ②由图象可知，当时，方程有一个实数解， 则当时，方程有两个实数解， 即：方程有两个实数解，的取值范围为． 【经典例题八 动点问题的函数图象】 【例8】（24-25八年级上·四川达州·期中）如图，在中，，D 为斜边的中点，动点P 从B 点出发，沿运动，如图 1所示，设 ，点P 运动的路程为x ，若y 与x 之间的函数图象如图2 所示，则y 的最大值为（       ） A．2 B．3 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解决问题．根据已知条件和图象可以得到、的长度，当时，点P与点C重合，此时，从而可以求出函数的最大值． 【详解】解：根据函数图象可得，当时，点P与点C重合，，， ∵，点D为的中点， ∴当时，， 此时函数有最大值，则y 的最大值为3， 故选：B． 1．（23-24八年级下·全国·期末）如图，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点问题的函数图象，勾股定理，根据图象可知点在BC上运动时，此时不断增大，而从向运动时，先变小后变大，从而可求出线段长度解答，读懂图象，从函数图象中获取信息是解题的关键． 【详解】根据题意观察图象可得， 当点在上运动时，时，有最小值， 观察图象可得，的最小值为， 即时，， 又∵， 因点从点运动到点，根据函数的对称性可得， ∴的面积是， 故选：． 2．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图甲，点G为边的中点，点H在上，动点P以每秒的速度沿路线运动，到点H停止，相应的的面积关于运动时间的函数图象如图乙所示，若，则下列结论正确为 ①图甲中长8； ②图甲中的长是6； ③图乙中点M表示时y值为； ④图乙中点N表示时y值为． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查动点函数问题，根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件是解题的关键． 根据图象可得函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小逐个分析即可解答． 【详解】解：①根据函数图象可以知：从0到2，y随x的增大而增大，经过了2秒，P运动了，因而， ，故①正确； ② 根据函数图象可知：从经过了3秒，P运动了，因而故②正确； ③P在段时，底边不变，高不变，因而面积不变，由图象可知，面积，故③正确； ④图2中的N点表示第12秒时，表示点P到达H点， 的面积是，故④错误． 故答案为：①②③． 3．（23-24七年级下·山东青岛·期中）已知动点以每秒的速度沿图1的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间（秒）之间的关系如图2中的图象所示．其中，则______；当______时，的面积是． 【答案】10；2.5或7.5 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，数形结合是解题的关键． 根据函数图象结合题意分析，分别求得，，的长，进而根据路程除以速度等于时间得出的值，根据的面积是，得出点的位置，进而即可求解． 【详解】解：依题意，当从运动时，增大，则， 当从运动时，不变，根据函数图象可得， 当从运动时，减小，结合函数图象可得， ， ， ； ， ，的面积是； 点在上或上，到的距离为， ，则， 或， ． 【经典例题九 函数的三种表示方法】 【例9】（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）某航空公司规定，旅客可免费携带一定质量的行李，超出部分需另外收费，下表列出了乘客携带的行李质量x（千克）与其运费y（元）之间的一些数据： x（千克） 20 23 26 29 32 y（元） 0 90 180 270 360 若旅客携带了36千克的行李，他应该支付的运费为（    ） A．450元 B．480元 C．510元 D．600元 【答案】B 【分析】本题主要考查函数的表示方法，“当行李的质量超过20千克时，求出每千克需要支付的费用”是解题的关键． 由图表可知，当行李的质量超过20千克时，求出每千克需要支付的费用，即可求出答案． 【详解】解：由图表可知，当行李的质量超过20千克时，每千克需要支付的费用为（元）， 则（元）． 故选：B． 1．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如下表： 防水时间（） 1 2 3 4 … 水池中水量（） 48 46 44 42 … 下面说法不正确的是（    ） A．放水时间是自变量，水池中的水量是因变量 B．随着放水时间的增加，水池中水量减少 C．放水后，水池中的水全部放完 D．放水后，水池中还有水 【答案】D 【分析】根据表格中的数量关系可辨别各选项是否符合题意． 【详解】解：A、由题意可得，放水时间是自变量，水池中的水量是因变量，故选项正确； B、水池中原有水，每分钟放水，随着放水时间的增加，水池中水量减少，故选项正确，不符合题意； C、放水后，水池中的水还有，此时水池中水全部放完，故选项正确，不符合题意； D、放水后，水池中的水还有，故选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了利用函数解决实际问题的能力，解题的关键是准确理解题目中的数量关系，并能列式表达． 2．（23-24八年级下·湖南湘西·期末）阅读下面材料：小明想探究函数的性质，他借助计算器求出了y与x的几组对应值，并在平面直角坐标系中画出了函数图象：小聪看了一眼就说：“你画的图象肯定是错误的．”请回答：小聪判断的理由是 ．写出函数的一条性质： ． x … 1 2 3 … y … 2.83 1.73 0 0 1.73 2.83 … 【答案】 因为函数值不可能为负，所以在x轴下方不会有图象 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大（答案不唯一） 【分析】此题考查函数的表示方法：表格法和图象法，还考查了函数的性质：利用表格中x与y的对应值确定函数图象的位置及函数的性质，正确理解表格中自变量与函数值的对应关系，分析其变化规律是解题的关键. 根据表格函数值没有负数解答，根据表格的x与y的值得到增减性. 【详解】解：由表格可知：∵函数值不可能为负， ∴在x轴下方不会有图象， 性质：当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， 故答案为：因为函数值不可能为负，所以在x轴下方不会有图象；当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大； 3．（2021·河南·二模）小云在学习二次根式以后突发奇想，就尝试着来研究和二次根式相关的函数下面是小云对其探究的过程，请补充完整：与x的几组对应值如表： x 0 1 2 3 y m 2 n 可得 ______ ， ______ ． 结合表，在平面直角坐标系xOy中，画出当时的函数y的图象． 结合表格和图象，请写出函数的三条性质． 【答案】（1）； ；（2）见解析；（3）①函数关于y轴对称；②函数没有最大值，有最小值2；③当时，y随x的增大而增大． 【分析】表示的是时，y的值，把代入函数解析式即可；n表示的是时，y的值，把代入函数解析式即可． 根据表格描点，连线，就可以得到． 结合图象，可以得出相关结论． 【详解】解：把代入函数， 可得； 把代入函数， 可得． 故答案为：；． 根据表格，可在图中描点，得到图形，如下图， 结合表格和图象，可得：函数关于y轴对称；函数没有最大值，有最小值2；当时，y随x的增大而增大． 【点睛】本题主要考查函数的表示方式：表格法和图象法，把两种表示方法结合在一起是本题解题关键． 【经典例题十 函数相关多结论问题】 【例10】（24-25九年级上·湖南岳阳·开学考试）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为60千米/时，两车之间的距离（千米）与货车行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论：①快递车从甲地到乙地的速度为100千米/时；②甲、乙两地之间的距离为120千米；③图中点的坐标为；④快递车从乙地返回时的速度为90千米/时．其中正确的是（    ） A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①③ 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键．根据函数图象得到3小时行驶120千米，即可判断①②，根据快递车到达乙地后缷完物品再另装货物共用分钟，得到点的横坐标，进而求得纵坐标，判断③，设快递车从乙地返回时的速度为千米时则返回时与货车共同行驶的时间为小时此时两车还相距千米，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：①设快递车从甲地到乙地的速度为千米时，由图像可得 ， ， 故①正确； ②因为千米是快递车到达乙地后两车之间的距离，不是甲、乙两地之间的距离， 故②错误； ③因为快递车到达乙地后缷完物品再另装货物共用分钟， 所以图中点的横坐标为， 纵坐标为， 故③正确； ④设快递车从乙地返回时的速度为千米时则返回时与货车共同行驶的时间为小时，此时两车还相距千米， 由题意，得， ， 故④正确． 其中正确的是：①③④． 故选C． 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）惠农种子公司以一定价格销售“丰收一号”玉米种子，如果一次购买以上(不含)的种子，超过的那部分种子的价格将打折，并依此得到付款金额y(单位：元)与一次购买种子质量x(单位：)之间的函数关系如图所示．下列四种说法：①一次购买种子时，付款金额为100元；②一次购买种子质量不超过时，销售价格为5元/；③一次购买以上的种子时，超过的那部分种子的价格打五折；④一次购买种子比分两次购买且每次购买种子少花20元钱．其中正确的有（    ） A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据购买种子花费50元可得一次购买种子质量不超过时，销售价格为元/，据此可判断①；根据购买种子花费150元，可建立方程求出一次购买以上的种子时，超过的部分价格为元，据此可判断③；再分别求出一次购买种子，一次购买种子，分两次购买且每次购买种子的费用，即可判断①④． 【详解】解：由函数图象可知一次购买种子质量不超过时，销售价格为元/，故②正确； 设一次购买以上的种子时，超过的部分价格为m元， 由题意得，， 解得， ∴一次购买以上的种子时，超过的部分价格为元， ∵， ∴一次购买以上的种子时，超过的那部分种子的价格打五折，故③正确； ∵元， ∴一次购买种子时，付款金额为100元，故①正确； 一次购买种子时，所需费用为元， 分两次购买且每次购买种子的费用为元， ∴一次购买种子比分两次购买且每次购买种子少花25元钱，故④错误； ∴正确的有①②③， 故选：C． 1．（23-24七年级下·内蒙古包头·阶段练习）小张从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示，下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，则下列说法中正确的个数是（    ） ①小张家距离单位4千米；②小张上班所用的时间为分钟；③小张上坡的速度是千米/小时；④小张下班所用时间为分钟． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象．从图象中获取正确的信息是解题的关键． 由题意知，小张家距离单位4千米；小张上班所用的时间为分钟；小张上坡的速度是千米/小时；小张下班返回时走下坡路的速度为千米/小时，路程为千米，可求走上坡路的时间为分钟，小张下班返回时走上坡路的速度为千米/小时，路程为千米，可求走上坡路的时间为分钟，小张下班返回时走平路的时间为3分钟，进而可得小张下班所用时间为分钟；然后判断作答即可． 【详解】解：由题意知，小张家距离单位4千米；小张上班所用的时间为分钟；小张上坡的速度是千米/小时； 小张下班返回时走下坡路的速度为千米/小时，路程为千米， ∴走上坡路的时间为分钟， 小张下班返回时走上坡路的速度为千米/小时，路程为千米， ∴走上坡路的时间为分钟， 小张下班返回时走平路的时间为3分钟， ∴小张下班所用时间为分钟； ∴①②④正确，故符合要求；③错误，故不符合要求； 故选：C． 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个过程中，汽车离开A城的距离与时间t的对应关系如图所示，下列说法： ①A、B两城相距300 ②甲车比乙车多用两个小时 ③甲车出发一个半小时后被乙车追上 ④甲乙两车的速度比为 ⑤乙车追上甲车时距终点B城还有150 其中正确的说法是（　　） A．①②④⑤ B．①②③④ C．①②⑤ D．①③⑤ 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象去分析各个说法即可． 【详解】①由图象得甲乙两人到达终点时，都是距离城的距离为，故①正确； ②甲所用的时间为（小时），乙所用的时间为（小时）， （小时）， 甲车比乙车多用两个小时，故②正确； ④，，，故④正确； ③由图象得甲比乙早出发一个小时，路程差，则乙追上甲用时为小时，即甲车出发两个半小时后被乙车追上，故③错误； ⑤由③④得：乙车追上甲车时距终点城为，故⑤正确． 故选：A． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）以下四种情景分别所描述了两个变量之间的关系： ①篮球运动员投篮时，抛出去的篮球的高度与时间的关系. ②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量的关系. ③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系. ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系. 用图像法依次刻画以上变量之间的关系，排序正确的是 【答案】①④②③ 【分析】本题考查了函数的图象，解题的关键是了解两个变量之间的关系，解决此类题目还应有一定的生活经验．①篮球运动员投篮时，抛出去的篮的高度变大后逐渐变小至；②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量成正比例关系；③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系是一次函数关系；④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离从开始变大，到达体育馆打篮球的时候与家的距离不变，返回时与家的距离变小直至为．据此可以得到答案． 【详解】解：①篮球运动员投篮时，抛出去的篮的高度变大后逐渐变小至0； ②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量成正比例关系； ③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系是一次函数关系； ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离从0开始变大，到达体育馆打篮球的时候与家的距离不变，返回时与家的距离变小直至为0． 故顺序为①④②③． 故答案为：①④②③． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）函数的自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）甲、乙两车从A地出发，沿同一条高速公路行驶至距A地400千米的B地，分别表示甲、乙两车行驶的路程y（千米）与时间x（时）之间的关系（如图所示），则乙比甲从A地到B地所用时间少（    ）时 A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要查了从函数图象获取信息．先求出乙的速度，可得甲行驶300千米时，所用的时间为时，从而得到甲的速度，进而得到甲到达B地所用的时间，即可求解． 【详解】解：根据题意得：乙的速度为千米/时， 当时，乙所用的时间为时， 此时甲行驶的时间为时， ∴甲的速度为千米/时， ∴甲到达B地所用的时间为时， ∴乙比甲从A地到B地所用时间少时． 故选：B． 4．（24-25八年级上·广东深圳·期中）甲、乙两人同起点同方向出发，匀速步行3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3分钟，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，则下列说法正确是（    ） A．甲步行的平均速度为32米/分． B．乙步行的平均速度为20米/分． C．当t时，乙到达终点． D．乙比甲提前分钟到达终点． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象，求出甲、乙的速度，再求出它们到达终点的时间即可求解，看懂函数的图象是解题的关键． 【详解】解：由图可得，甲的速度为米分，故选项A错误，不符合题意； 设乙的速度为米分， 由图可得，， 解得， ∴乙的速度为米分，故选项B说法错误，不符合题意； ∴甲到达终点的时间为分钟， 乙达到终点的时间为分钟， ∵甲先出发分钟，∴当t时，乙到达终点．故选项C错误； ∴乙先到终点原地休息了分钟，故选项D符合题意． 故选D． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）某天早晨，王老师从家出发步行前往学校，途中在路边一饭店吃早餐，如图所示是王老师从家到学校这一过程中所走的路程s（米）与时间t（米）之间的关系．下列说法错误的是（　　） A．学校离他家500米，从出发到学校，王老师共用了25分钟 B．王老师吃早餐用10分钟 C．吃完早餐后的平均速度是100米/分钟 D．王老师吃早餐以前的速度比吃完早餐以后的速度慢 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的图象，解题时要熟练掌握并能结合函数的图象进行分析是关键． 依据题意，根据函数的图象逐个进行分析判断可以得解． 【详解】解：由题意，结合图象可得， A．他家与学校的距离为1000米，从家出发到学校，王老师共用了25分钟，故选项说法错误，符合题意； B．王老师从家出发10分钟后开始用早餐，到20分钟结束，花了：（分钟），故选项说法正确，不符合题意； C．用完早餐以后的速度是：（米/分），故该选项说法正确，不符合题意， D． 王老师用早餐前步行的速度是：（米/分），用完早餐以后的速度是100（米/分），故该选项说法正确，不符合题意， 故选：A． 6．（24-25七年级上·上海闵行·期中）如图（图1中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒的速度沿路线匀速运动，的面积y与点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如右图2所示，则的长度为 ． 【答案】6 【分析】本题考查函数图象问题，注意将实际运行状态与函数图象对应，关注图象中的拐点是解题的关键．将实际运行状态与函数图象对应，关注图象中的拐点，给合函数图象给定的信息确定等量关系求解． 【详解】解：如图，点P运动至点B时，，即， 的面积，解得： ∴， 时,点P运动至点E，即 ∴， 故答案为：6． 7．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·阶段练习）甲、乙两人在直线道路上同起点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发秒，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲跑步时间x（秒）之间的关系如图所示，则乙的速度为 米秒． 【答案】3 【分析】本题考查了函数图象，关键是由函数图象信息得出两人运动的时间和路程． 由已知可知甲分钟走了米，速度为米秒，乙用秒走了同样的路程米，求出乙的速度． 【详解】解：甲的速度：（米秒）， 乙的速度：（米秒）． 故答案为：3． 8．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图(1)，在物理实验课上，小明做“小球反弹实验”已知桌面的长为，小球P与木块Q（大小厚度忽略不计）同时从点A出发，向点B做匀速直线运动，速度较快的小球P到达B处的挡板l后被弹回（忽略转向时间），沿原来的路径和速度返回，遇到木块Q后又被反弹回挡板l，如此反复，直到木块Q到达l，小球P和木块Q同时停止运动．设小球P的运动时间为，木块Q与小球P之间的距离为，图(2)是y与x的部分图象． （1）小球P的运动速度为 ． （2）t的值为 ． 【答案】 100 （或） 【分析】本题考查了函数的应用，解一元一次方程，掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意可知小球从出发正好到达处时所用的时间为，从而求出的速度； （2）同（1）求出的速度，进而列出关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：（l）由图2可知，小球P从点A出发，正好到达点B处时，所用的时间为， ∴小球P的运动速度为． （2）木块Q的运动速度为． 当时，． 又∵， ∴，解得． 故答案为：100，． 9．（23-24七年级下·福建三明·期中）甲乙二人在一条直道上进行跑步锻炼，甲从A处出发沿直道匀速跑向处，到达处立即停止跑步，原地休息；在甲出发的同时，乙从处出发，沿直道匀速跑向A处，到达A处后，立即反向以原速度跑回处，到达处才停止跑步．在甲乙二人整个跑步过程中，甲、乙二人距处距离之和与甲出发的时间之间的关系如图所示．则当甲乙二人第一次相遇时，乙离A处的距离为 米．    【答案】 【分析】本题主要考函数图像的应用、一元一次方程的应用等知识点，从函数图像获取所需信息成为解题的关键． 由图可知：米，进而求得甲的速度为米/秒，乙的速度为：米/米；设t秒后甲乙二人第一次相遇，再列方程求得t，进而完成解答． 【详解】解：如图：由图可知：米， 乙到达处时，甲、乙距B处的距离之和为375米， ∴乙到达A处时，甲距B处的距离之和为米， 甲从A处跑到B处所用的时间为20秒， ∴甲的速度为：米/秒， 乙的速度为：米/米， 设t秒后，甲乙二人第一次相遇，即，解得：， ∴当甲乙二人第一次相遇时，乙离A处的距离为米． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图1，在矩形中，点P从点A出发，匀速沿向点运动，连接，设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图2所示，则当点为中点时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象、勾股定理，从函数图象中获取信息是解题的关键．通过观察图2可以得出，，，由勾股定理可以求出a的值，当P为的中点时，由股定理求出长度． 【详解】解：因为P点是从A点出发的，A为初始点，观察图象时，则， P从A向B移动的过程中，是不断增加的，而P从B向D移动的过程中，是不断减少的， 因此转折点为B点，P运动到B点时，即时，，此时， 即，，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， ， 当P为的中点时， ， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·辽宁营口·期中）某商店出售一种商品，其数量x与售价y之间的关系如下表：（表中是包装费） 数量x/件 … 售价y/元 … (1)写出用数量x表示售价y的代数式． (2)求8件这种商品的售价． 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系，求函数值．熟练掌握用关系式表示变量间的关系，求函数值是解题的关键． （1）由表格可知，数量x表示售价y的代数式为； （2）将，代入求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，数量x表示售价y的代数式为； （2）解：当时，， ∴8件这种商品的售价为元． 12．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）为贯彻落实教育部《教育信息化2.0行动计划》精神，某中学在科创实践类比赛中，开展无人机进行展示活动．已知无人机上升和下降的速度相同，设无人机的离地高度与无人机飞行的时间之间的关系如图所示． 根据图象回答下列问题： (1)无人机上升到最高点停留时间是___________s． (2)在上升或下降过程中，无人机的速度是___________． (3)图中字母a表示的数是________． (4)求当操控无人机飞行的时间是多少时，无人机离地高度恰好为？ 【答案】(1)20 (2)5 (3)48 (4)或 【分析】本题考查图象法表示变量之间的关系，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键： （1）从图象获取信息作答即可； （2）利用速度等于路程除以时间进行求解即可； （3）根据时间等于路程除以速度，进行求解即可； （4）分无人机上升和下降两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，无人机上升到最高点停留时间是； 故答案为：20； （2）； 故答案为：5； （3）； 故答案为：48； （4）由图象可知：当或时，无人机离地高度恰好为； 答：当操控无人机飞行的时间是或时，无人机离地高度恰好为． 13．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）为响应国家号召“低碳生活，绿色出行”李老师骑单车上班，当他骑了一段时间，想起要去家访生病的小明，于是又折回到刚经过的小明家，到小明家家访完后继续去学校，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： (1)图中自变量是__________，因变量是__________； (2)李老师家到小明家的路程是__________米．李老师在小明家家访用了__________分钟； (3)请计算李老师家访完后到学校的骑车速度． 【答案】(1)离开家的时间，离家的距离 (2)900；4 (3)李老师家访完后到学校的骑车速度为150米/分 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． （1）根据函数图象可知纵坐标是离家距离，横坐标是时间，从而得出自变量是离家的时间，因变量是离家的距离； （2）根据函数图象进行回答即可； （3）观察图象计算李老师家访完后到学校的骑车路程除以所用的时间即可． 【详解】（1）解：根据图象，纵坐标为离家的距离，横坐标为离家的时间，故图中自变量是离开家的时间，因变量是离家的距离， 故答案为：离开家的时间，离家的距离； （2）解：由图象可知：李老师家到小明家的路程是900米， 李老师在小明家停留了（分钟）， 故答案为：900；4； （3）解：由图象可知：李老师家访完后到学校的骑车速度为（米/分）． 14．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品，新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销，甲商场所有商品按 折出售，乙商场对一次购物中价格超过 元后的部分打 折． (1)以 （单位：元）表示商品原价，（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出 关于 的函数关系式； (2)当商品的原价为250时，在哪家商场通过打折后更划算． (3)当商品的原价为多少元时，两家商场打折后的价格相同． 【答案】(1)， (2)在乙商场通过打折后更划算 (3)200元 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求函数值，一元一次方程的应用： （1）根据所给打折方式列出对应的函数关系式即可； （2）把代入（1）所求关系式中求出甲、乙两个商场打折后的价格，比较即可得到答案； （3）设m（单位：元）表示商品原价，则根据题意可得，根据（1）所求可知，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 当时，，当时，， ∴，； （2）解：当商品的原价为250时，甲商场的费用为元，乙商场的费用为元， ∵， ∴在乙商场通过打折后更划算； （3）解：设m（单位：元）表示商品原价 根据题意可知当商品原价不超过100元时，甲商场打折后的价格一定比乙商场的高， ∴， ∴根据（1）所求可知， ∴， 答：当商品的原价为200元时，两家商场打折后的价格相同． 15．（24-25八年级上·广东深圳·期中）通过《一次函数》的学习，我们学会了列表、描点、连线的方法来画出函数图象并结合函数图象研究函数性质．小明想应用这个方法来探究函数的性质．下面是他的探究过程，请你补充完整： (1)列表： 直接填空：_______． (2)描点并画出该函数的图象． (3)观察的图象，类比一次函数，请写出该函数的两条性质： ①______________； ②______________． (4)在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点．则该函数图象与直线围成的区域内（不包括边界）整点的个数为_______． 【答案】(1) (2)图见解析 (3)函数有最小值为 当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小 (4) 【分析】（1）把代入函数关系式进行计算即可； （2）描点、连线画出函数图象即可； （3）观察函数图象，从该图象的最值及增减性解答即可； （4）观察函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，， ， 故答案为：； （2）解：描点、连线画出该函数图象如下： （3）解：写出该函数的两条性质： 函数有最小值为； 当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小； 故答案为：函数有最小值为；当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小； （4）解：观察函数图象可知： 该函数图象与直线围成的区域内（不包括边界）整点的个数为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求函数值，化简绝对值，用描点法画函数图象，从函数的图象获取信息等知识点，画出函数图象并从图象中获取信息是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 函数重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 函数的概念 题型二 函数的解析式 题型三 求自变量的取值范围 题型四 求自变量的值或函数值 题型五 函数图象识别 题型六 从函数的图象获取信息 题型七 用描点法画函数图象 题型八 动点问题的函数图象 题型九 函数的三种表示方法 题型十 函数相关多结论问题 【知识点1 函数的概念】 一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。 注意：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次看每一个x的值是否对应唯一确定的y值． 【知识点2 求函数的值】 (1) 当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个． (2)函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，即给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值． 【知识点3 函数的图象】 把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象． 【经典例题一 函数的概念】 【例1】（23-24八年级·全国·假期作业）下列关系式中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·山东聊城·期末）下列式子：①②③④⑤．其中y是x的函数的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列图象中，不能表示是的函数的是 ．（填序号） 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）指出下列变化过程中，哪个变量随着另一个变量的变化而变化？ （1）一辆汽车以的速度匀速行驶，行驶的路程与行驶时间． （2）圆的半径和圆面积满足：． （3）银行的存款利率与存期． 【经典例题二 函数的解析式】 【例2】（23-24八年级下·河南鹤壁·期中）函数中自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 1．（2022·黑龙江大庆·中考真题）函数叫做高斯函数，其中x为任意实数，表示不超过x的最大整数．定义，则下列说法正确的个数为(   ) ①； ②； ③高斯函数中，当时，x的取值范围是； ④函数中，当时，． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25七年级上·上海闵行·期中）用一根长15厘米的铁丝制成一个长方形框架，设长方形的一边长为x厘米，面积为y平方厘米，则y关于x的函数解析式是 ． 3．（23-24七年级下·广东梅州·阶段练习）秋天到来了，小明家的苹果获得了丰收，他主动帮助妈妈到集市上去卖刚刚采摘下的苹果．已知销售数量（千克）与售价（元）的关系如下表所示： 销售数量（千克） 1 2 3 4 5 售价（元） 2.1 4.2 6.3 8.4 10.5 (1)表格中自变量是_____，因变量是_____； (2)根据表格中的数据，售价与销售数量的关系式是_____； (3)当时，求的值． 【经典例题三 求自变量的取值范围】 【例3】（24-25九年级上·山东临沂·开学考试）已知函数．当时，函数值为，并且，为整数，则当时，函数值不可能为（　　） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·山东济宁·期末）按照如图所示的程序计算函数的值时，若输入的值是3，则输出的值是7，若输入的值是1，则输出的值是（   ） A．-3 B．-2 C．0 D．2 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）在周长为的等腰三角形中，底边长为，腰长为，则关于的函数解析式为 ，定义域为 ． 3．（23-24八年级下·广东潮州·阶段练习）点在第一象限，且，点的坐标为．设的面积为． (1)当点的横坐标为时，试求的面积； (2)求关于的函数解析式及自变量的取值范围． 【经典例题四 求自变量的值或函数值】 【例4】（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）已知函数，则当时，的值为（   ） A． B．或 C．或5 D．或5 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）变量y与x之间的关系式为，当自变量时，因变量y的值是（    ） A． B． C．1 D．5 2．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）函数，对于自变量取的每一个值，因变量的对应值称为函数值，记作：，已知，则 ． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知函数． (1)写成的形式； (2)写出函数的定义域； (3)求的值． 【经典例题五 函数图象识别】 【例5】（23-24八年级下·云南曲靖·期末）如图，向高为的圆柱形水杯中注水，已知水杯底面圆半径为，那么注水量与水深的函数关系的图象是（　　） A．B． C． D． 1．（2024·山东东营·模拟预测）周日早晨，妈妈送张浩到离家的少年宫，用时20分钟．妈妈到了少年宫后直接返回家里，还是用了20分钟．张浩在少年宫玩了20分钟的乒乓球，然后张浩跑步回家，用了15分钟．如图中，正确描述张浩离家时间和离家距离关系的是(      ) A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏·期末）如图（1），△ABC和是两个腰长不相等的等腰直角三角形，其中，∠A＝．点、C'、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将在直线l上自左向右平移，开始时，点与点B重合，当点移动到与点C重合时停止．设△移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图（2）所示，则BC的长是 ． 3．（23-24七年级下·陕西西安·期中）小刚和小聪同住一个小区，商量周日去体育场看一场足球赛．周日下午，小刚先出发去体育场，走了一段路后，在途中停下去便利店买水，后来发现球赛的时间快到了，就加快脚步走向体育场：小聪因家中有事迟出发，离家后跑步去体育场，如图所示：他们从家到体育场所走的路程S（米）与小刚离家时间t（分钟）之间的对应关系，根据图象回答下列问题： (1)小刚家到体育场的路程是_________米，小聪比小刚早到体育场_________分钟； (2)小刚出发几分钟后，小聪追上了小刚？ (3)体育场的球赛是下午，小刚在便利店买完水后如果还按原来走路的速度到体育场，是否会迟到？若迟到，请计算出迟到几分钟？若没迟到，请说明理由． 【经典例题六 从函数的图象获取信息】 【例6】（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图1所示，在甲、乙两地之间有一车站丙（离乙地较近），一辆货车从甲地出发经丙站驶往乙地，一辆轿车从乙地出发经丙站驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，图2分别是货车、轿车行驶时离丙站的路程与行驶时间之间的函数图象．则下列说法错误的是（   ） A．货车的速度为 B． C．当时，两车相遇 D．当时，轿车刚好到达丙车站 1．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示，给出下列结论：①A，B之间的距离为；②乙行走的速度是甲的1.5倍；③；④，其中正确的结论个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（23-24八年级上·山东青岛·期中）甲、乙两人分别从、两地同时出发，相向而行，匀速前往地、地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示，有下列说法：（1）、之间的距离为；（2）乙行走的速度是甲的倍；（3）；（4）以上结论正确的是 ． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期中）甲骑电动车，乙骑自行车从西流湖公园门口出发沿同一路线匀速行驶，甲、乙两人距出发地的距离与乙的行驶时间的函数图象如图①所示；甲、乙两人之间的距离与乙的行驶时间的函数图象如图②所示．请结合图象信息解决以下问题： (1)对比图①、图②可知：______，______． (2)求出图①中交点M的坐标，并指出它的实际意义． (3)请直接写出乙出发多长时间，甲、乙两人之间的距离为？ 【经典例题七 用描点法画函数图象】 【例7】（2021·陕西西安·模拟预测）变量的一些对应值如下表： … … … … 根据表格中的数据规律，当时，的值是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·福建福州·期中）用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（     ） x 0 1 2 y 10 8 6 2 A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·全国·课前预习）描点法画函数图象的一般步骤： 第一步： ．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格． 第二步： ．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点． 第三步： ．按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来． 3．（24-25八年级上·四川达州·期中）小红根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．如图是小红的探 究过程，请你补充完整． (1)列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 1 0 k … 根据函数的解析式和表中的数据，可计算   ； (2)描点并画出该函数的图象； (3)①根据函数图象，写出函数图象的两条性质： ； ② 若关于x的方 程有两个实数解 ，则 n的取值范围是 ． 【经典例题八 动点问题的函数图象】 【例8】（24-25八年级上·四川达州·期中）如图，在中，，D 为斜边的中点，动点P 从B 点出发，沿运动，如图 1所示，设 ，点P 运动的路程为x ，若y 与x 之间的函数图象如图2 所示，则y 的最大值为（       ） A．2 B．3 C．6 D．7 1．（23-24八年级下·全国·期末）如图，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是（  ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图甲，点G为边的中点，点H在上，动点P以每秒的速度沿路线运动，到点H停止，相应的的面积关于运动时间的函数图象如图乙所示，若，则下列结论正确为 ①图甲中长8； ②图甲中的长是6； ③图乙中点M表示时y值为； ④图乙中点N表示时y值为． 3．（23-24七年级下·山东青岛·期中）已知动点以每秒的速度沿图1的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间（秒）之间的关系如图2中的图象所示．其中，则______；当______时，的面积是． 【经典例题九 函数的三种表示方法】 【例9】（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）某航空公司规定，旅客可免费携带一定质量的行李，超出部分需另外收费，下表列出了乘客携带的行李质量x（千克）与其运费y（元）之间的一些数据： x（千克） 20 23 26 29 32 y（元） 0 90 180 270 360 若旅客携带了36千克的行李，他应该支付的运费为（    ） A．450元 B．480元 C．510元 D．600元 1．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如下表： 防水时间（） 1 2 3 4 … 水池中水量（） 48 46 44 42 … 下面说法不正确的是（    ） A．放水时间是自变量，水池中的水量是因变量 B．随着放水时间的增加，水池中水量减少 C．放水后，水池中的水全部放完 D．放水后，水池中还有水 2．（23-24八年级下·湖南湘西·期末）阅读下面材料：小明想探究函数的性质，他借助计算器求出了y与x的几组对应值，并在平面直角坐标系中画出了函数图象：小聪看了一眼就说：“你画的图象肯定是错误的．”请回答：小聪判断的理由是 ．写出函数的一条性质： ． x … 1 2 3 … y … 2.83 1.73 0 0 1.73 2.83 … 3．（2021·河南·二模）小云在学习二次根式以后突发奇想，就尝试着来研究和二次根式相关的函数下面是小云对其探究的过程，请补充完整：与x的几组对应值如表： x 0 1 2 3 y m 2 n 可得 ______ ， ______ ． 结合表，在平面直角坐标系xOy中，画出当时的函数y的图象． 结合表格和图象，请写出函数的三条性质． 【经典例题十 函数相关多结论问题】 【例10】（24-25九年级上·湖南岳阳·开学考试）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为60千米/时，两车之间的距离（千米）与货车行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论：①快递车从甲地到乙地的速度为100千米/时；②甲、乙两地之间的距离为120千米；③图中点的坐标为；④快递车从乙地返回时的速度为90千米/时．其中正确的是（    ） A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①③ 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）惠农种子公司以一定价格销售“丰收一号”玉米种子，如果一次购买以上(不含)的种子，超过的那部分种子的价格将打折，并依此得到付款金额y(单位：元)与一次购买种子质量x(单位：)之间的函数关系如图所示．下列四种说法：①一次购买种子时，付款金额为100元；②一次购买种子质量不超过时，销售价格为5元/；③一次购买以上的种子时，超过的那部分种子的价格打五折；④一次购买种子比分两次购买且每次购买种子少花20元钱．其中正确的有（    ） A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 1．（23-24七年级下·内蒙古包头·阶段练习）小张从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示，下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，则下列说法中正确的个数是（    ） ①小张家距离单位4千米；②小张上班所用的时间为分钟；③小张上坡的速度是千米/小时；④小张下班所用时间为分钟． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个过程中，汽车离开A城的距离与时间t的对应关系如图所示，下列说法： ①A、B两城相距300 ②甲车比乙车多用两个小时 ③甲车出发一个半小时后被乙车追上 ④甲乙两车的速度比为 ⑤乙车追上甲车时距终点B城还有150 其中正确的说法是（　　） A．①②④⑤ B．①②③④ C．①②⑤ D．①③⑤ 1．（2024七年级上·全国·专题练习）以下四种情景分别所描述了两个变量之间的关系： ①篮球运动员投篮时，抛出去的篮球的高度与时间的关系. ②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量的关系. ③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系. ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系. 用图像法依次刻画以上变量之间的关系，排序正确的是 2．（2024七年级上·全国·专题练习）函数的自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）甲、乙两车从A地出发，沿同一条高速公路行驶至距A地400千米的B地，分别表示甲、乙两车行驶的路程y（千米）与时间x（时）之间的关系（如图所示），则乙比甲从A地到B地所用时间少（    ）时 A．2 B．1 C． D． 4．（24-25八年级上·广东深圳·期中）甲、乙两人同起点同方向出发，匀速步行3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3分钟，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，则下列说法正确是（    ） A．甲步行的平均速度为32米/分． B．乙步行的平均速度为20米/分． C．当t时，乙到达终点． D．乙比甲提前分钟到达终点． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）某天早晨，王老师从家出发步行前往学校，途中在路边一饭店吃早餐，如图所示是王老师从家到学校这一过程中所走的路程s（米）与时间t（米）之间的关系．下列说法错误的是（　　） A．学校离他家500米，从出发到学校，王老师共用了25分钟 B．王老师吃早餐用10分钟 C．吃完早餐后的平均速度是100米/分钟 D．王老师吃早餐以前的速度比吃完早餐以后的速度慢 6．（24-25七年级上·上海闵行·期中）如图（图1中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒的速度沿路线匀速运动，的面积y与点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如右图2所示，则的长度为 ． 7．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·阶段练习）甲、乙两人在直线道路上同起点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发秒，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲跑步时间x（秒）之间的关系如图所示，则乙的速度为 米秒． 8．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图(1)，在物理实验课上，小明做“小球反弹实验”已知桌面的长为，小球P与木块Q（大小厚度忽略不计）同时从点A出发，向点B做匀速直线运动，速度较快的小球P到达B处的挡板l后被弹回（忽略转向时间），沿原来的路径和速度返回，遇到木块Q后又被反弹回挡板l，如此反复，直到木块Q到达l，小球P和木块Q同时停止运动．设小球P的运动时间为，木块Q与小球P之间的距离为，图(2)是y与x的部分图象． （1）小球P的运动速度为 ． （2）t的值为 ． 9．（23-24七年级下·福建三明·期中）甲乙二人在一条直道上进行跑步锻炼，甲从A处出发沿直道匀速跑向处，到达处立即停止跑步，原地休息；在甲出发的同时，乙从处出发，沿直道匀速跑向A处，到达A处后，立即反向以原速度跑回处，到达处才停止跑步．在甲乙二人整个跑步过程中，甲、乙二人距处距离之和与甲出发的时间之间的关系如图所示．则当甲乙二人第一次相遇时，乙离A处的距离为 米．    10．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图1，在矩形中，点P从点A出发，匀速沿向点运动，连接，设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图2所示，则当点为中点时，的长为 ． 11．（24-25七年级上·辽宁营口·期中）某商店出售一种商品，其数量x与售价y之间的关系如下表：（表中是包装费） 数量x/件 … 售价y/元 … (1)写出用数量x表示售价y的代数式． (2)求8件这种商品的售价． 12．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）为贯彻落实教育部《教育信息化2.0行动计划》精神，某中学在科创实践类比赛中，开展无人机进行展示活动．已知无人机上升和下降的速度相同，设无人机的离地高度与无人机飞行的时间之间的关系如图所示． 根据图象回答下列问题： (1)无人机上升到最高点停留时间是___________s． (2)在上升或下降过程中，无人机的速度是___________． (3)图中字母a表示的数是________． (4)求当操控无人机飞行的时间是多少时，无人机离地高度恰好为？ 13．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）为响应国家号召“低碳生活，绿色出行”李老师骑单车上班，当他骑了一段时间，想起要去家访生病的小明，于是又折回到刚经过的小明家，到小明家家访完后继续去学校，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： (1)图中自变量是__________，因变量是__________； (2)李老师家到小明家的路程是__________米．李老师在小明家家访用了__________分钟； (3)请计算李老师家访完后到学校的骑车速度． 14．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品，新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销，甲商场所有商品按 折出售，乙商场对一次购物中价格超过 元后的部分打 折． (1)以 （单位：元）表示商品原价，（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出 关于 的函数关系式； (2)当商品的原价为250时，在哪家商场通过打折后更划算． (3)当商品的原价为多少元时，两家商场打折后的价格相同． 15．（24-25八年级上·广东深圳·期中）通过《一次函数》的学习，我们学会了列表、描点、连线的方法来画出函数图象并结合函数图象研究函数性质．小明想应用这个方法来探究函数的性质．下面是他的探究过程，请你补充完整： (1)列表： 直接填空：_______． (2)描点并画出该函数的图象． (3)观察的图象，类比一次函数，请写出该函数的两条性质： ①______________； ②______________． (4)在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点．则该函数图象与直线围成的区域内（不包括边界）整点的个数为_______． 学科网（北京）股份有限公司 $$