2.3.3-2.3.4 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

2.3.3　点到直线的距离公式 2.3.4　两条平行直线间的距离 　 第二章　2.3　直线的交点坐标与距离公式 知识层面 1．探索并掌握点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式．　 2．会求点到直线的距离与两平行直线间的距离． 素养层面 通过研究点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养. 知识点一　点到直线的距离公式 1 知识点二　两条平行直线间的距离 2 课时测评 5 综合应用 3 内容索引 随堂演练 4 知识点一　点到直线的距离公式 返回 在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路 与之连接起来，易知沿仓库垂直于铁路方向所修的 公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P. 问题1．如何建立数学模型，解决仓库到铁路的最短距离？ 提示：如图，平面直角坐标系中，把铁路抽象为直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，仓库抽象为点P(x0，y0)，就转化为求出点P到直线l的最短距离． 问题导思 问题2．向量是解决空间距离、角度问题的有力工具， 如图：怎样用向量方法求点P到直线l的最短距离呢？ 新知构建   点到直线的距离 定义 点到直线的________的长度 公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝______________ 垂线段 (1)利用公式时直线的方程必须是一般式．(2)分子含有绝对值．(3)注意公式特征，分子绝对值符号里面是把坐标(x0，y0)代入直线方程的左边得到的．(4)点到直线的距离是直线外一点与直线上的点连线长度的最小值． 微提醒 (链教材P77例5)求点P(－2，1)到下列直线的距离： (1)3x＋4y－1＝0； 例1 (2)y＝2x＋3； 解：直线方程y＝2x＋3可化为一般式2x－y＋3＝0. (3)2x＋5＝0. 解：直线方程2x＋5＝0可化为x＝－ ，这条直线垂直于x轴， 点到直线的距离的求解策略 1．求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式即可． 2．若已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程即可． 规律方法 对点练1．(1)点P(0，1)到直线x－y－1＝0的距离等于 √ √ √ (3)已知△ABC的三个顶点的坐标为A(3，3)，B(2，－2)，C(－7，1)，则△ABC的面积为_____. 24 返回 知识点二　两条平行直线间的距离 返回 问题3．已知两条平行直线l1，l2的方程， 如何求l1与l2间的距离？ 提示：根据两条平行直线间距离的含义， 在直线l1上取任一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离，这样求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离． 问题导思 新知构建   两条平行直线间的距离 定义 夹在两条平行直线间公垂线段的长度 公式 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋ By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离d＝ 使用两平行直线间的距离公式时，对直线方程有什么要求？ 提示：两条直线的方程都是一般式，并且x，y的系数分别对应相等． 微思考 (1)(链教材P78例7)求两平行直线l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0间的距离； 例2 (2)求与两条平行直线l1：2x－3y＋4＝0与l2：2x－3y－2＝0距离相等的直线l的方程． 解：设所求直线l的方程为2x－3y＋C＝0. 由直线l与两条平行线的距离相等， 故直线l的方程为2x－3y＋1＝0. 变式探究　(变条件)在本例(2)中，求与l1平行且两直线距离为 的直线方程． 解：设所求直线的方程为2x－3y＋C′＝0， 所以C′＝－2或C′＝10. 故所求直线的方程为2x－3y－2＝0或2x－3y＋10＝0. 求两条平行线间距离的方法 1．转化法：将两条平行线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求． 规律方法 对点练2．(1)在梯形ABCD中，|CD|＝2|AB|＝6，且AB和CD所在直线的方程分别是x＋2y－3＝0与x＋2y＋7＝0，则梯形ABCD的面积为 √ (2)已知不过原点的直线l1与直线l2：x－y＋＝0平行，且直线l1与l2的距离为1，则直线l1的一般式方程为__________________． 返回 综合应用 返回 距离公式的综合应用 已知两直线l1与l2，直线l1经过点A(0，3)，直线l2过点B(4，0)，且l1∥l2. (1)若l1与l2的距离为4，求两直线的方程； 解：当l1，l2斜率不存在时，l1：x＝0，l2：x＝4，l1与l2的距离为4，满足条件； 当l1，l2斜率存在时，设l1：kx－y＋3＝0，l2：kx－y－4k＝0， 例3 综上可知，l1：x＝0，l2：x＝4，或l1：7x－24y＋72＝0，l2：7x－24y－28＝0. (2)若l1与l2之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程． 解：若l1与l2之间的距离最大，则l1，l2均与AB垂直，此时最大距离为|AB|＝5， 此时l1：4x－3y＋9＝0，l2：4x－3y－16＝0. 应用数形结合思想求最值 1．数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到．当图形中的元素运动变化时我们能直观地观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围． 2．解决此类问题的关键 (1)将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决． (2)将“形”转化为“数”，利用代数运算精确把握几何图形的变化． 规律方法 对点练3．已知直线l1：ax－2y＋3＝0，l2：x＋(a－3)y＋5a＝0. (1)当a＝1时，求两直线的距离； 解：当a＝1时，l1：x－2y＋3＝0，l2：x－2y＋5＝0， (2)写出原点到直线l1的距离，并求出该距离的最大值． 返回 课堂小结 知识 1．点到直线的距离. 2．两平行线间的距离 方法 公式法、数形结合法、解方程(组)法 易错 误区 运用两平行线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相等 随堂演练 返回 1．点P(x0，y0)到直线x＝1的距离为1，则x0＝ A．0或2 B．1或2 C．0 D．2 因为点P(x0，y0)到直线x＝1的距离为1，所以|x0－1|＝1，解得 x0＝0 或x0＝2.故选A． √ 2．两条平行直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：6x＋8y－5＝0之间的距离是 A．0 B． C．1 D． √ 3．若点(2，k)到直线3x－4y＋6＝0的距离为4，则k的值等于________． －2或8 4．已知点A，B分别是直线l1：2x＋y－2＝0与直线l2：4x＋2y＋1＝0上的点，则|AB|的最小值为________． 返回 课时测评 返回 1．若点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为坐标原点，则|OP|的最小值是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2．设直线l1：x＋3y－7＝0与直线l2：x－y＋1＝0的交点为P，则P到直线l：2x－y＝1的距离为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3．设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是关于x的方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则这两条直线之间的距离为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4．已知点A(1，0)，B(3，1)，C为直线l：x－2y＋4＝0上一动点，则△ABC的面积为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5．(多选)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是 则m－n的可能值为 A．3 B．－17 C．11 D．－9 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6．(多选)已知直线l经过两直线3x＋4y＋1＝0和2x＋y＋4＝0的交点，且M(－1，3)到l的距离与N(2，－4)到l的距离之比为1∶3，则直线l的方程可能为 A．9x－y＋29＝0 B．9x＋y＋25＝0 C．3x＋11y－13＝0 D．3x－11y＋31＝0 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．已知点P在直线2x＋y－3＝0上，且位于第一象限，若P点到直线x－2y－4＝0的距离为 ，则P点的坐标为________． (1，1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8．直线3x－4y－27＝0上到点P(2，1)距离最近的点的坐标是________． (5，－3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9．点D(－2，－2)到直线l：2x－y＋mx－m＝0(m∈R)距离的最大值为_____． 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)直线l在y轴上的截距为4，且过点A(－3，8)． (1)求直线l的方程； 解：根据题意，直线l过点(0，4)，(－3，8)， 则直线l的方程为4x＋3y－12＝0. (2)已知点M(－2，5)，直线l′过M且与l平行，求直线l′与直线l间的距离． 解：因为直线l′过点M(－2，5)，直线l′∥l， 即直线l′与直线l间的距离为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A．30° B．75° C．135° D．165° √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．若a，b为正实数，直线x＋(a－1)y＋1＝0与直线bx＋y－1＝0互相垂直，则点(1，1)到直线ax＋by＋1＝0的距离的最大值为________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(12分)已知直线l1：(2a＋1)x＋(a＋2)y＋3＝0，l2：(a－1)x－2y＋2＝0，且l1∥l2. (1)求a的值； 解：因为l1∥l2，所以(2a＋1)×(－2)－(a＋2)(a－1)＝0， 整理得a2＋5a＝a(a＋5)＝0， 解得a＝0，或a＝－5. 当a＝0时，l1：x＋2y＋3＝0，l2：－x－2y＋2＝0，符合题意； 当a＝－5时，l1：－9x－3y＋3＝0，l2：－6x－2y＋2＝0，l1与l2重合，不满足题意． 综上可知，a的值为0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)直线l过点P(0，1)与l1，l2交于A，B，|AB|＝ ，求直线l的方程． 解：由(1)得l1：x＋2y＋3＝0，l2：x＋2y－2＝0， 故直线l的方程为y＝2x＋1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(5分)(新定义)(多选)已知平面上一点M(5，0)，若一条直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线中是“切割型直线”的是 A．y＝x＋1 B．y＝2 C．y＝ x D．y＝2x＋1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．(13分)(创新题)已知点P和非零实数λ，若两条不同的直线l1，l2均过点P，且斜率之积为λ，则称直线l1，l2是一组“Pλ共轭线对”，如直线l1：y＝2x和l2：y＝－ x是一组“O－1共轭线对”，其中O是坐标原点． (1)已知l1，l2是一组“O－3共轭线对”，且知直线l1：y＝2x，求直线l2的方程； 解：由题意得，l1与l2的交点为原点，且k1·k2＝2k2＝－3，解得k2＝－ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)已知点Q(－1，－ )，直线l1，l2是“Q－2共轭线对”，当l1的斜率变化时，求原点O到直线l1，l2的距离之积的取值范围． 解：由题意得，k1·k2＝－2(k1，k2≠0)， 返回 点O到l1，l2的距离分别为d1，d2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 　 直 线 和 圆 的 方 程 返回 解：根据点到直线的距离公式，得d＝＝. 根据点到直线的距离公式，得d＝＝＝. 即点P(－2，1)到直线y＝2x＋3的距离为. 2．公式法：(1)当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝. (2)当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．　　 x－y＋2＝0 2， 解得得直线l过定点A(1，2)，所以直线l表示过定点(1，2)的直线，如图，当DA⊥l时，|DA|表示点到直线的距离，当DA不垂直于l时，|DB|表示点到直线的距离，显然|DB|＜|DA|，所以点D 到直线l距离的最大值为|DA|＝ ＝5，所以点D到直线l距离的最大值为|DA|＝5. 如图所示，设直线m与两平行直线所夹的锐角或直角为α，两平行直线l1：x－y＋＝0与l2：x－y＋3＝0的距离为d＝＝，因为直线m被两平行直线l1与l2所截得的线段长为，所以sin α＝＝，所以α＝45°，因为直线l1的斜率为k＝，倾斜角为30°， 所以直线m的倾斜角可以是75°或165°.故选BD． 2 由于kl1＝－，所以kl＝2，又直线l过点P(0，1)， 由题意可知，点M到直线的距离小于或等于4即为“切割型直线”．点M(5，0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝3＞4，故A不符合题意；点M(5，0)到直线y＝2的距离d＝2＜4，故B符合题意；点M(5，0)到直线y＝x的距离d＝＝4，故C符合题意；点M(5，0)到直线y＝2x＋1的距离d＝＝＞4，故D不符合题意．故选BC． ， 则d1·d2＝·＝·， $$