精品解析：福建省厦门市第十一中学2024-2025学年九年级上学期期中质量检测数学试卷

2024-2025学年第一学期厦门市第十一中学九年级数学期中检测卷 （试卷满分：150分考试时间：120分钟） 注意事项： 1．全卷三大题，25小题，试卷共6页，另有答题卡． 2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分． 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 如图所示图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义．根据轴对称图形和中心对称图形的定义求解即可．轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，本选项不符合题意； B．是中心对称图形，也是轴对称图形，本选项符合题意； C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意； 故选：B． 2. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标．关于原点对称的两点，则其横、纵坐标互为相反数，由点关于原点对称的坐标特征即可求得对称点的坐标． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为； 故选：B． 3. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点式即可求解． 【详解】解：抛物线中， ∴顶点坐标为， 故选：． 【点睛】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数顶点式是解题的关键． 4. 如图，点，，均在上，，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角与圆心角的关系，利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半进行计算． 【详解】解：， ． 故选：D． 5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 6. 如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积．根据这扇车门底边扫过的区域是扇形，求出扇形的半径和圆心角，然后由扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意这扇车门底边扫过的区域是扇形， 其中扇形的半径为，圆心角最大角度为， ∴扇形的最大面积为：， 故选：B． 7. 某校开展课外阅读活动，经过两年，2021级的学生人均阅读量从七年级的每年36万字增长到九年级时的每年49万字，设2021级的学生人均阅读量年平均增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量增长率），如果设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据题意即可列出方程求解． 【详解】解：设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x， 根据题意即可列出方程：． 故选：A． 8. 已知的半径是，点到同一平面内直线的距离为一元二次方程的根，则直线与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解一元二次方程，先求解方程，再比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定． 【详解】 ∴， 解得， ∴点到同一平面内直线的距离， ∴直线与的位置关系是相离， 故选：C． 9. 如图，二次函数的图象与正比例函数的图象交于点，与轴交于点，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用已知函数图像得出在下方时，x的取值范围即可． 【详解】如图所示：若，则二次函数图像在一次函数图像的下面， 此时x的取值范围是：． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数和正比例函数的性质，解题的关键是注意利用数形结合的思想． 10. 如图，在平面直角坐标系中，有，，三点，若点C是以点P为圆心，1为半径的圆上一点，则的面积最大值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，点和圆的位置关系以及切线的性质等知识，作射线，过点P作轴于H，可得，则∠，设射线交于C，过点C作圆的切线，可知此时的面积最大，即可求解． 【详解】解：作射线，过点P作轴于H， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， 设射线交于C，过点C作圆的切线，则切线， ∴此时的面积最大， ∵圆的半径为1， ∴， ∴的面积最大值为， 故选：A． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 二次函数的图象的对称轴是直线________． 【答案】 【解析】 【分析】直接由顶点式可以得到对称轴． 【详解】解：由得，二次函数图象的对称轴为直线， 故答案为：． 【点睛】本题考查了学生对于二次函数顶点式的应用，学会通过顶点式得到对称轴是本题的关键，属于基础题型． 12. 若的半径为2，M为平面内一点，，则点M在_________．（填“上”、“内部”或“外部”） 【答案】外部 【解析】 【分析】根据点到圆心的距离和半径的关系即可判断点与圆的位置关系；距离大于半径点在圆的外部，距离等于半径点在圆上，距离小于半径点在圆内部． 【详解】解：的半径为2，， 点M到圆心的距离大于半径， 点M在外部， 故答案为：外部． 【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系；掌握点到圆心的距离与半径的关系是解题的关键． 13. 已知是方程的解，则m的值为____________． 【答案】4 【解析】 【分析】直接把代入方程，即可求出的值． 【详解】由题意得： 把代入方程中， 则，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的解的定义，正确求出的值． 14. 我国东汉初年的数学典籍《周髀算经》中总结了对几何工具“矩”（即直角形状的曲尺，如图1所示）的使用之道，其中就有“环矩以为圆”的方法．我国许多数学家对该方法作了如下更具体的描述：如图2所示，在平面内固定两个钉子A，B，保持“矩”的两边始终紧靠两钉子的内侧，转动“矩”，则“矩”的顶点C的运动路线将会是一个圆．依此描述，请用你学过的一个数学概念或定理解释“环矩以为圆”这种方法的道理：________________． 【答案】圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的特征，圆的定义，理解“圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合．”是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴点C到中点的距离等于， ∴“矩”的顶点C的运动路线是以线段的中点为圆心，的长为半径的圆， ∴“环矩以为圆”这种方法的道理：圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合． 故答案为：圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合． 15. 如图，在和中，，将绕点顺时针旋转一定角度，当时，的度数是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转变换、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，结合等腰三角形的性质和平行线的性质分别求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论， 当点在点的左侧时，如图①， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在点的右侧时，如图②， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上所述，当时，的度数为或． 16. 在平面直角坐标系中，，，是二次函数图像上三点．若，，则______（填“”或“”）；若对于，，，存在，则的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、不等式的性质以及解不等式组，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．先求得二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由得抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∵，， ∴， ∴； ∵，，， ∴， 由题意可知，存在， ∴，且离对称轴最远，离对称轴最近， ∴， ∴且， ∵，， ∴且， 解得． 故答案为：，． 三、解答题（共86分） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解方程是解题的关键． 由，变形为，进一步计算即可求解． 【详解】解： ∴或 ∴，． 18. 如图，是的直径，是的弦，于点E，点F在上且，连接．求证：； 【答案】 证明：∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，弧、弦的关系，由垂径定理得到，而，得到，从而推出，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】略 19. 先化简、再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算及化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 将代入，得： 原式． 20. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”学校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆200人次，进馆人次逐月增加，到第三个月来进馆288人次．若进馆人次的月平均增长率相同，求进馆人次的月平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设进馆人次的月平均增长率是x，根据第一个月及第三个月的进馆人次数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设进馆人次的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得，（负值舍去）， 即进馆人次的月平均增长率为． 21. 按照下列要求作出图形（不写作法，保留作图痕迹）． （1）尺规作图：将图1中的破轮子复原 （2）如图2，矩形的顶点在圆上，顶点，，在圆内，请仅用无刻度的直尺画出图2中的圆心． 【答案】（1） 解：图1中的破轮子复原后图形如图： （2） 解：圆心O如图： 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作图、无刻度直尺作图，涉及矩形的性质，圆的对称性，圆周角定理等知识点，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）尺规作、的垂直平分线，交点即为圆心O，再以为半径，O为圆心画圆即可把破轮子复原； （2）延长交圆于点H，延长交圆于点M、N，连接、并延长，交于点E，连接、交于点F，延长交圆于点G，连接，连接并延长，交于点O．理由为：由和圆周角定理可得，得到，结合可得，则，可得垂直平分弦，即过圆心，再由圆周角可得为直径，则与的交点即为圆心O． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵为直径， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理得到是的切线； （2）根据勾股定理得到，求得，根据切线的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，是的直径， ∴是的切线， ∵是的切线； ∴， ∵， ∴， 解得． 23. 如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中． （1）求二次函数的表达式； （2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数表达式、二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等. （1）根据待定系数法求解即可； （2）设，因为点在第二象限，所以．依题意，得，即可得出，求出，由，求出，即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：将代入， 得， 解得， 所以，二次函数的表达式为． 【小问2详解】 设，因为点在第二象限，所以． 依题意，得，即，所以． 由已知，得， 所以． 由， 解得（舍去）， 所以点坐标为． 24. 在中，，，D为上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段． （1）如图1，当点D与点B重合时，连接，交于点H，求证：； （2）当时（图2中，图3中），F为线段的中点，连接．在图2，图3中任选一种情况，完成下列问题： ①依题意，补全图形． ②猜想的大小，并证明． 【答案】（1） 证明：，， ， 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， 是等边三角形． ， ， 则； （2） 选择图2：①补全图形如图所示： ②猜想． 如图，过点作于点，连接， 则， ，， ，， ， 为线段中点， ， ． 由（1）可知是等边三角形， ，， ， 在利中， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据题意得，由旋转的性质得是等边三角形，即可证明； （2）①根据旋转和题目要求补全图；②猜想．过点作于点，连接，则有、和，根据题意有，由（1）可知是等边三角形，即可证得，即可证明猜想． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 选择图2： ①略 ②略 【点睛】本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质和全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握旋转的性质，并利用等边三角形性质证明全等． 25. 【问题提出】 在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为的正方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案． 说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面．喷洒覆盖率，为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积． 【数学建模】 这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题． 【探索发现】 （1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率______． （2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置；，以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置．与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由． （3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率．已知正方形各边上依次取点F，G，H，E，使得，设，的面积为，求关于的函数表达式，并求当取得最小值时的值． 【问题解决】 （4）该公司现有喷洒半径为的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率？（直接写出结果即可） 【答案】（1）； （2）不能，理由： 对于任意的，喷洒面积，而草坪面积始终为． 因此，无论取何值，喷洒覆盖率始终为． 这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒覆盖率不起作用． （3）；当取得最小值时； （4） 【解析】 【分析】（1）根据定义，分别计算圆的面积与正方形的面积，即可求解； （2）根据（1）的方法求得喷洒覆盖率即可求解； （3）根据勾股定理求得的关系，进而根据圆的面积公式得出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解； （4）根据（3）的结论可得当圆为正方形的外接圆时，面积最小，则求得半径为的圆的内接正方形的边长为，进而将草坪分为个正方形，即可求解． 【详解】（1）当喷洒半径为时，喷洒的圆面积． 正方形草坪的面积． 故喷洒覆盖率． （2）略 （3）如图所示，连接， 要使喷洒覆盖率，即要求，其中为草坪面积，为喷洒面积． ∴都经过正方形的中心点， 在中，，， ∵ ∴， 在中， ∴ ∴ ∴当时，取得最小值，此时 解得： （4）由（3）可得，当的面积最小时，此时圆为边长为的正方形的外接圆， 则当时，圆的内接正方形的边长为 而草坪的边长为，，即将草坪分为个正方形，将半径为的自动喷洒装置放置于9个正方形的中心，此时所用装置个数最少， ∴至少安装个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率 【点睛】本题考查了正方形与圆综合问题，二次函数的应用；本题要求我们先理解和计算喷洒覆盖率，然后通过调整喷洒装置的数量和喷洒半径来分析喷洒覆盖率的变化，最后在一个特定的条件下找出喷洒面积和喷洒半径之间的函数关系．解决此类问题的关键在于将实际问题转化为数学问题，即如何将喷洒覆盖率的计算问题转化为面积计算和函数求解问题．同时，在解决具体问题时，需要灵活运用已知的数学知识，如圆的面积公式，正方形面积公式，以及函数解析式求解等．最后，还需要注意将数学计算结果还原为实际问题的解决方案． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期厦门市第十一中学九年级数学期中检测卷 （试卷满分：150分考试时间：120分钟） 注意事项： 1．全卷三大题，25小题，试卷共6页，另有答题卡． 2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分． 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 如图所示图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点，，均在上，，则的度数（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 6. 如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（ ） A. B. C. D. 7. 某校开展课外阅读活动，经过两年，2021级的学生人均阅读量从七年级的每年36万字增长到九年级时的每年49万字，设2021级的学生人均阅读量年平均增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知的半径是，点到同一平面内直线的距离为一元二次方程的根，则直线与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法判断 9. 如图，二次函数的图象与正比例函数的图象交于点，与轴交于点，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，有，，三点，若点C是以点P为圆心，1为半径的圆上一点，则的面积最大值为（ ） A. B. C. D. 2 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 二次函数的图象的对称轴是直线________． 12. 若的半径为2，M为平面内一点，，则点M在_________．（填“上”、“内部”或“外部”） 13. 已知是方程的解，则m的值为____________． 14. 我国东汉初年的数学典籍《周髀算经》中总结了对几何工具“矩”（即直角形状的曲尺，如图1所示）的使用之道，其中就有“环矩以为圆”的方法．我国许多数学家对该方法作了如下更具体的描述：如图2所示，在平面内固定两个钉子A，B，保持“矩”的两边始终紧靠两钉子的内侧，转动“矩”，则“矩”的顶点C的运动路线将会是一个圆．依此描述，请用你学过的一个数学概念或定理解释“环矩以为圆”这种方法的道理：________________． 15. 如图，在和中，，将绕点顺时针旋转一定角度，当时，的度数是______． 16. 在平面直角坐标系中，，，是二次函数图像上三点．若，，则______（填“”或“”）；若对于，，，存在，则的取值范围是______． 三、解答题（共86分） 17. 解方程：． 18. 如图，是的直径，是的弦，于点E，点F在上且，连接．求证：； 19. 先化简、再求值：，其中． 20. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”学校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆200人次，进馆人次逐月增加，到第三个月来进馆288人次．若进馆人次的月平均增长率相同，求进馆人次的月平均增长率． 21. 按照下列要求作出图形（不写作法，保留作图痕迹）． （1）尺规作图：将图1中的破轮子复原 （2）如图2，矩形的顶点在圆上，顶点，，在圆内，请仅用无刻度的直尺画出图2中的圆心． 22. 如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 23. 如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中． （1）求二次函数的表达式； （2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 24. 在中，，，D为上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段． （1）如图1，当点D与点B重合时，连接，交于点H，求证：； （2）当时（图2中，图3中），F为线段的中点，连接．在图2，图3中任选一种情况，完成下列问题： ①依题意，补全图形． ②猜想的大小，并证明． 25. 【问题提出】 在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为的正方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案． 说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面．喷洒覆盖率，为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积． 【数学建模】 这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题． 【探索发现】 （1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率______． （2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置；，以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置．与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由． （3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率．已知正方形各边上依次取点F，G，H，E，使得，设，的面积为，求关于的函数表达式，并求当取得最小值时的值． 【问题解决】 （4）该公司现有喷洒半径为的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率？（直接写出结果即可） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $