专题03 一次函数的应用重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题03 一次函数的应用重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 一次函数应用之分配方案问题 题型二 一次函数应用之最大利润问题 题型三 一次函数应用之行程问题 题型四 一次函数应用之工程问题 题型五 一次函数应用之分段函数问题 题型六 一次函数应用之几何问题 题型七 一次函数应用之体积问题 题型八 一次函数应用之新定义问题 题型九 一次函数应用之存在性问题 题型十 一次函数应用之动点问题 题型十一 一次函数应用之最值问题 题型十二 一次函数应用之其他问题 【经典例题一 一次函数应用之分配方案问题】 【例1】（24-25八年级上·全国·期中）甲、乙两商场出售相同的某种商品，每件售价均为3000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一件按原价收费，其余每件优惠；乙商场的优惠条件是：每件优惠．设所买商品为件，甲商场收费为元，乙商场收费为元． (1)分别求出，与x之间的关系式； (2)当所买商品为5件时，选择哪家商场更优惠？请说明理由． 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择： 方案一：从纸箱厂购买，每个纸箱价格为4元． 方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装费16000元，每加工一个纸箱还需成本费元． (1)若需要这种规格的纸箱x个，请分别写出两种方案中所需费用y(元)与x(个)之间的函数表达式； (2)在同一直角坐标系中作出它们的图象； (3)假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？ 2．（23-24九年级下·福建泉州·阶段练习）小王计划批发“山东大樱桃”和“泰国榴莲”两个品种的水果共120斤， 樱桃和榴莲的批发价分别为32元/斤和40元/斤，设购买了樱桃x斤（）． (1)小王批发这两种水果花费了4400元，那么小王分别购买了多少斤樱桃和榴莲？ (2)设小王购买两种水果的总花费为y 元，试写出y 与x之间的函数表达式． (3)若要求所批发的榴莲的斤数不少于樱桃斤数的2倍，那么购买樱桃的数量为多 少时，可使小王的总花费最少？这个最少花费是多少？ 3．（23-24八年级上·宁夏银川·期末）从2024年起，宁夏中考体育考试总分将提高至70分．为了适应新的中考要求，学校准备从网上订购一批足球和跳绳，网络搜索后发现足球每个定价150元，跳绳每条定价30元．现有A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案． A网店：买一个足球送一条跳绳； B网店：足球和跳绳都打九折． 已知要购买足球60个，跳绳x条（）． (1)分别求出在A、B两家网店购买所需的费用和； (2)求该校购买多少条跳绳时，在A、B两家网店的花费一样多． 【经典例题二 一次函数应用之最大利润问题】 【例2】（24-25八年级上·全国·期中）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为120只，且每日产出的产品全部售出已知生产x只玩具熊猫的支出成本为R（元），销售收入为P（元），利润为y（元），且R，P关于x的函数表达式分别为，． (1)求y关于x的函数表达式，并画出函数图象． (2)根据图象解决下列问题： ①该玩具厂至少应生产多少只玩具，才能保证不亏损？ ②当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元？（提示：利润=销售收入-支出成本） 1．（24-25九年级上·全国·期末）某超市经销A、B两种商品，A种商品每件进价20元，售价30元；B种商品每件进价35元，售价48元． (1)该超市准备用800元去购进A、B两种商品若干件，怎样购进才能使超市经销这两种商品所获利润最大？（其中B种商品不少于7件） (2)在“五•一”期间，该商场对A、B两种商品进行如下优惠促销活动： 打折前一次购物总金额 优惠措施 不超过300元 不优惠 超过300元且不超过400元 售价打八折 超过400元 售价打七折 促销活动期间小颖去该超市购买A种商品，小华去该超市购买B种商品，分别付款210元与268.8元．促销活动期间小明决定一次去购买小颖和小华购买的同样多的商品，他需付款多少元？ 2．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·开学考试）2018年11月5日中国进口博览会如期举行，旨在坚定支持贸易自由化和经济全球化，主动向世界开发市场，吸引了58个“一带一路”沿线国家的超过1000多家企业参展，将成为共建“一带一路”的又一个重要支撑，仅医疗器械及医药保健展区成交57.6亿美元，某保健公司引进了A、B两种型号的医疗器材共计50台，花费2300万美元，已知A型器材每台40万美元，B型器材每台50万美元． 甲（万美元/台） 乙（万美元/台） A型医疗器材 0.7 1 B型医疗器材 0.8 0.9 (1)求出该公司引进了A、B两种型号的医疗器材各多少台． (2)现该公司需将购进的医疗器材运往甲、乙两个仓库，已知甲仓库容量为30台，乙仓库容量为20台，运费如表，设运往甲仓库的A型医疗器材为x台（），求总运费为y（万美元）关于x的函数关系式，并求出总运费最低的调运方案，最低总运费是多少万美元． 3．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）在期中考试总结会议上，学校决定购买A，B两种奖品共120件，对表现优异的学生进行奖励．已知A种奖品的价格为32元/件，B种奖品的价格为15元/件． (1)请直接写出购买两种奖品的总费用y（元）与购买A种奖品的数量x（件）之间的关系式； (2)当购买了30件A种奖品时，总费用是多少元？ (3)若购买的A种奖品不多于50件，则总费用最多是多少元？ 【经典例题三 一次函数应用之行程问题】 【例3】（23-24八年级上·宁夏银川·期中）一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲乙之间的距离与骑行时间之间的函数关系如图所示，根据图像解答下列问题： (1)A，B两们相距______； (2)出发________小时后两人相遇； (3)甲每小时骑行______，乙每小时骑行_____；图中C点表示的实际意义是______． (4)求出时，S与t之间的函数关系式． 1．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）小明一家利用元旦三天驾车到某景点旅游，小汽车出发前油箱有油，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中余油量与行驶时间之间的关系，如图所示，根据图象回答下列问题： (1)小汽车行驶______h后加油，中途加油______L； (2)求加油前油箱余油量Q与行驶时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； (3)如果小汽车在行驶过程中耗油量速度不变，加油站距景点，车速为，要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由． 2．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途不停留，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示． (1)分别求出轿车和货车的平均速度． (2)求轿车到达终点时，货车离终点的距离． (3)货车出发多长时间后，两车相距？ 3．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家．小明离家的距离y（）与他所用的时间x（）的关系如图所示： (1)小明家离体育场的距离为______，小明跑步的平均速度为______； (2)当时，求y关于x的函数表达式； (3)当小明离家时，直接写出他离开家所用的时间． 【经典例题四 一次函数应用之工程问题】 【例4】（2023·吉林长春·一模）为推进乡村振兴发展，某区决定对A、B两村之间的公路进行改造，并由甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工2天，乙工程队再开始施工，乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余下的任务由甲工程队单独完成，直到公路修通．下图是甲乙两个工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数图像，请根据图像所提供的信息解答下列问题： (1)乙工程队每天修公路_________米． (2)分别求甲、乙工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数关系式． (3)若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需几天完成？ 1．（2022·吉林长春·二模）在创建国家卫生城市环境综合整治行动中，某小区计划对楼体外墙进行粉刷，现有甲、乙两家装饰公司有意承接此项工程，已知甲公司的费用y（元）与粉刷面积的关系如表： 粉刷面积 … 100 200 300 400 … 费用y（元） … 2000 4000 6000 8000 … 乙公司表示：若该小区先支付2000元的基本承包费，则可按10元的价格收费，请据以上信息，解答下列问题： (1)若甲公司收取的费用y（元）与粉刷面积满足我们学过的某一函数关系，试确定这一函数关系式． (2)试确定乙公司收取的费用y（元）与粉刷面积满足的函数关系式． (3)在给出的平面直角坐标系内画出（1）（2）中的函数图象，并确定若该小区粉刷面积约为600，则选择哪家装饰公司施工更合算． 2．（23-24·浙江衢州·中考真题）在社会主义新农村建设中，衢州某乡镇决定对A、B两村之间的公路进行改造，并有甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工3天，乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余下的任务有甲工程队单独完成，直到公路修通．下图是甲乙两个工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）乙工程队每天修公路多少米？ （2）分别求甲、乙工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数关系式． （3）若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需几天完成？ 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）甲、乙两个工程组同时铺设高速路段的沥青路面，两组工程队每天铺设沥青路面的长度均保持不变，合作一段时间后，乙工程队因维修设备而停工，甲工程队单独完成了剩下的任务，甲、乙两工程队铺设沥青路面的长度之和（单位：m）与甲工程队铺设沥青路面的时间（单位：天）之间的关系如图所示． (1)乙工程队铺设沥青路面____________天；甲每天铺设____________米． (2)求乙工程队停工后关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)当甲工程队铺设沥青路面的总长度与乙工程队铺设沥青路面的总长度相等时，乙工程队已经停工____________天． 【经典例题五 一次函数应用之分段函数问题】 【例5】（23-24七年级下·四川成都·期中）某电力公司为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法计算电费；第一档：每月用电不超过180度时，按每度0.5元计费；第二档：每月用电超过180度但不足280度时，其中超过部分按每度0.6元计费；第三档：280度以上时，超出部分按每度0.8元计费． (1)若李明家1月份用电140度应交电费______元，2月份用电250度应交电费______元． (2)若设某月用电量为x度，应交电费为y元，请求出y与x的关系式．并利用关系式求某月交电费120元时的用电量． 1．（23-24八年级上·广东河源·期末）电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法．若某户居民每月应交电费（元）与用电量（度）的函数图象是一条折线（如图所示），根据图象解下列问题： (1)分别求出当和时，与的函数关系式； (2)若该用户某月用了度电，则应缴费多少元？ (3)若该用户某月缴费元时，则该用户该月用了多少度电？ 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）“国家实行计划用水，厉行节约用水”．为鼓励市民节约用水，某市自来水公司对单位和个人按用水量分段计水价收费，该市自来水公司针对单位用水规定用水计划：每月单位计划用水标准为3 000吨，计划内用水每吨收费0.5元，超计划部分每吨按0.8元收费． (1)写出单位水费y（元）与每月用水量x（吨）之间的函数关系式； ①用水量小于或等于3 000吨时，___________； ②用水量大于3 000吨时，___________． (2)九月份甲单位用水2 800吨，水费是___________元；乙单位用水3 200吨，水费是___________元． (3)若十月份丙单位缴水费1 540元，则该单位该月用水多少吨？ 3．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）我市一水果批发市场某商家批发苹果采取分段计价的方式，其价格如下表： 购买苹果数（千克） 不超过50千克的部分 超过50千克的部分 每千克价格（元） 12 10 (1)小刚购买苹果40千克，应付多少元？ (2)若小刚购买苹果千克，用去了元．写出当时，与的关系式； (3)计算出小刚若一次性购买80千克所付的费用比分两次共购买80千克（第一次购买50千克，第二次购买30千克）所付的费用少多少元？ 【经典例题六 一次函数应用之几何问题】 【例6】（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，直线与y轴、x轴交于点A、B，点C在直线上，点C的横坐标为m． (1)求点A、B的坐标； (2)当时，求的面积； (3)当时，求m的值． 1．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． (1)求点C和点D的坐标； (2)y轴上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线与轴、轴分别交于两点． (1)求点和点的坐标； (2)若点是射线上一点，且的面积为，求点的坐标． 3．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为，一次函数经过点M，分别交x轴于点A，交y轴于点B．x轴上有一点P，其横坐标为．过点P作x轴的垂线交射线OM于点C，交一次函数的图象于点D． (1)求点A的坐标； (2)若，求t的值； (3)若，求t的值． 【经典例题七 一次函数应用之体积问题】 【例7】（23-24八年级上·江苏连云港·期末）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的横截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度（厘米）与注水时间（分钟）之间的关系如图2所示，根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)图2中折线表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系；（以上两空选填“甲”或“乙”） (2)点的纵坐标表示的实际意义是 ； (3)注水多长时间时，甲、乙两个水槽中的水的深度相同？ (4)若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积． 1．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）．现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度与注水时间之间的关系如图2．根据图像提供的信息，解答下列问题： (1)图2中折线表示______________槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示_____________槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空填“甲”或“乙”），槽中铁块的高度是______________； (2)注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同； (3)若乙槽底面积为（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积． 2．（2023·河南南阳·二模）为提醒人们节约用水，及时修好漏水的水龙头，避免造成水资源浪费．课外实践活动中，王老师安排数学兴趣小组“慎思组”和“博学组”两组同学分别做水龙头漏水试验，“慎思组”同学用于接水的量筒最大容量为毫升，“博学组”同学用于接水的量筒最大容量为毫升． 试验一：“慎思组”同学在做水龙头漏水试验时，每隔10秒观察一次量筒中水的体积，记录的数据如下表(漏出的水量精确到1毫升)： 时间(秒) 10 20 30 40 50 60 70 漏出的水量(毫升) 2 5 8 11 14 17 20 根据以上信息，请你与他们一起完成以下问题： (1)在图①的平面直角坐标系中描出上表中数据对应的点，画出与的图象，并判断是的什么函数，且求出此函数关系式．    (2)如果继续试验，请求出至少几秒后量筒中的水会满而溢出． (3)按此漏水速度，1小时会漏水___________升(精确到升)． 试验二：“博学组”同学根据自己的试验数据画出的图象如图②所示， (4)为什么图象中会出现与横轴“平行”的部分？请说出你的理由．    3．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，为一深，底面为正方形的长方体的容器，底部放入一小长方体铁块，现在以均匀的速度往容器中注水，图2是容器内水面高度随时间改变的函数关系图象，观察图中所提供的信息，解答下列问题： (1)容器内小长方体铁块的高为多少? (2)求直线的函数关系式； (3)该容器注满水需多少分钟？ (4)求长方体铁块的体积与容器的容积之比是多少？ 【经典例题八 一次函数应用之新定义问题】 【例8】（24-25八年级上·山东济南·期中）阅读理解： 材料一：对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若且，则称点是线段的“完美等距点”． 材料二：在平面直角坐标系中，我们通常用下面的公式求两点间的距离，如果，，那么． 解决问题：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知3个点：，则这三点中，线段的“等距点”是________，线段的“完美等距点”是________； (2)若，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标； (3)当，是否存在这样的点，使点是线段的“等距点”，也是线段的“完美等距点”？若存在，请直接写出所有符合的点的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，图形上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为．对于点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，若，两点间的距离有最小值，且最小值恰好为，则称点为图形的“关联点”． (1)如图，图形是矩形，其中点的坐标为，点的坐标为，则_____．在点，，，中，矩形的“关联点”是_____； (2)如图，图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为．若直线上存在点，使点为正方形的“关联点”，求的取值范围． 2．（23-24八年级下·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，作如下定义；点的坐标为，点的坐标为，若，则称、两点为“同和点”．如图①，点、为“同和点”． (1)若点的坐标为． ①在点，、中，是点的“同和点”的是________．（填“C”、“D”或“E”） ②若点在轴上，且、两点为“同和点”，则点的坐标为________． (2)如图②，直线与轴、轴分别交于点、，点为线段上一动点． ①若点与点为“同和点”，则点的坐标为________． ②若存在点与点为“同和点”，求的取值范围． 3．（23-24八年级下·北京房山·期中）在平面直角坐标系中，对于线段和点，给出如下定义：若在直线上存在点，使得四边形为平行四边形，则称点为线段的“友好平行点”．已知点，． (1)在点，，中，线段的“友好平行点”是 ． (2)若点的坐标为，则点的坐标为 （用含的代数式表示）； (3)若点在第四象限，且点是线段的“友好平行点”． ①求点横坐标的取值范围； ②请直接写出线段长度的取值范围． 【经典例题九 一次函数应用之存在性问题】 【例9】（24-25九年级上·黑龙江绥化·开学考试）如图，已知点是正方形的一个顶点，E是的中点，点P是直线上一点． (1)求点E的坐标和直线的解析式； (2)若的面积为21，求此时P点坐标； (3)若点P是直线在第一象限的一个动点，连接，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P点坐标：若不存在，请说明理由． 1．（23-24八年级下·四川广元·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，直线与分别交轴于点和点，点是直线与轴的交点． (1)求点B、C、D的坐标； (2)设是直线上一点，的面积为，请求出与的函数关系式；探究当点运动到什么位置时，的面积为10，并说明理由． (3)在线段上是否存在点，使为等腰三角形，如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 2．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，直线经过，两点．    (1)若点C是线段上的一个动点，当的面积为2时，求点C的坐标； (2)在（1）的条件下，在y轴上求一点P使得是等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标． 3．（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系中，将直线向下平移2个单位长度得到直线l，且直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点． (1)求直线l的解析式及点A，B的坐标． (2)M是x轴上的一个动点，要使以A，B，M为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，请求出符合条件的所有点M的坐标． 【经典例题十 一次函数应用之动点问题】 【例10】（23-24八年级下·广东汕头·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且满足：．    (1)求的值； (2)为延长线上一动点，以为直角边作等腰直角，连接，求直线与轴交点的坐标． 1．（23-24八年级下·重庆巴南·期末）如图，在中，，现有一动点P从A点以每秒2个单位长度的速度出发向C点运动，到达C点后以每秒1个单位长度的速度向B点运动，当点P到达B点时停止运动，若，设动点P点的运动时间为x秒，的面积为y． (1)请直接写出y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)在直角坐标系中画出y与x的函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)如图直线l为函数的图象，结合函数图象，请直接写出满足的x的取值范围．（保留一位小数，误差在0.2以内） 2．（23-24八年级下·重庆·期末）如图，在中，，，，点D是的中点，动点P以每秒1个单位长度的速度从点D出发沿折线方向运动，到达点B时停止运动，设点P的运动时间为x秒，的面积记为y．    (1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，若直线与该函数图象有且仅有两个交点，则b的取值范围是______． 3．（23-24八年级下·四川眉山·期中）如图，在平面直角坐标系中，点P是直线上一动点，点A在y轴上，且点A坐标为，连结． (1)若恰好是以为底边的等腰三角形，求此时点P坐标； (2)动点P在直线运动过程中，是否存在最小值，若存在最小值，求的最小值，若不存在，请说明理由． 【经典例题十一 一次函数应用之最值问题】 【例11】（23-24八年级上·贵州六盘水·期末）如图，已知A，B两点的坐标分别为，，动点P从原点O出发在x轴上运动． (1)P点运动到什么位置时离A点最近？写出P点的坐标． (2)P点运动到什么位置时，的值最小，最小值是多少？ (3)P点运动到什么位置时，的值最大，最大值是多少？ 1．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）A、B两个蔬菜基地要向C、D两城市运送蔬菜，已知基地有蔬菜200吨，基地有蔬菜300吨，城市需要蔬菜240吨，城市需要蔬菜260吨．从基地运往C、D两城市的费用分别为每吨20元和每吨25元，从基地运往C、D两城市的费用分别为每吨15元和每吨18元，设从基地运往城市的蔬菜为吨，A、B两个蔬菜基地的总运费为元． (1)求与之间的函数解析式，并写出的取值范围； (2)写出总运费最小时的运送方案，并求出此时的总运费； (3)如果从基地运往城市的费用每吨减少元且，其余线路的运费不变，请直接写出总运费最小时的运送方案． 2．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于轴对称的，写出的坐标______； (2)计算：的面积是______； (3)若点为轴上一动点，使得的值最小，直接写出点的坐标______． 3．（23-24八年级上·广西崇左·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 与轴、轴分别交于、两点， 以 为边在第二象限内作正方形 ． (1)直接写出：点的坐标为 ，点的坐标为 ，点的坐标为 ，点 的坐标为 ； (2)能否在轴上找一点 ，使得 的长最小？若能，请求出 点的坐标；若不能，说明理由． 【经典例题十二 一次函数应用之其他问题】 【例12】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）综合与实践 《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究： 【实验观察】 实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表： 供水时间x（小时） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（厘米） 6 18 30 42 54 【探索发现】 （1）①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x，纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点． ②观察上述各点的分布规律，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这个函数的类型最有可能是______；（填“一次函数”、“反比例函数”或“二次函数”）并根据你所选择的函数类型求出函数表达式（自变量取值范围不写） 【结论应用】 （2）应用上述发现的规律估算： ①供水时间达到11小时时，箭尺的读数为多少厘米？ ②如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为96厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）． 1．（24-25八年级上·山东青岛·期中）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现漏刻水位是时间的一次函数，通过观察，每2分钟记录一次箭尺读数，小磊记录实验数据得到下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 … 0 2 4 6 8 … 2 2.8 3.6 4.0 5.2 … (1)在小组探究中，小华采用不同的函数关系表达方式（表格、图象、关系式）验证，均发现小磊记录的上表h，t的数据中，有一对数据记录错误．请用学过的相关知识判断，第___________次数据是不准确的． (2)当记录时间为20分钟时，漏刻水位是多少？ (3)求与的函数关系式，并计算当水位为时，对应时间是多少？ 2．（24-25八年级上·山西运城·期中）综合与实践 问题情境：在物理学中有很多公式可以直接或者间接看成一次函数，例如，在弹性限度内，弹簧的长度随着拉力的增大而不断地增加，当弹簧所受的外力过大时，会损坏它的弹性，使得弹簧被拉到最长且无法复原．某班在实践课上对“弹簧的长度与所受外力之间的关系”进行了探究．    方案设计：“智慧小组”在探究弹簧测力器的“弹簧的长度与所受外力之间的关系”时，多次改变砝码的质量x（单位：），测量得到弹簧的长度y（单位：），且通过实验记录得到的数据如表所示： 砝码的质量 0 50 100 150 200 250 300 400 500 弹簧的长度 2 3 4 5 6 7 如图，“智慧小组”根据实验数据，建立平面直角坐标系，并绘制了部分图象．    问题解决： (1)材料中的数据表格反映了两个变量之间的关系，其中自变量是________． (2)在弹性限度内，求弹簧的长度y与所挂砝码的质量x之间的关系式；当砝码的质量为时，求弹簧的长度． (3)在不损坏该弹簧的弹性限度的情况下，其所挂砝码的质量应不超过________． (4)根据表格数据，在平面直角坐标系中补全该函数的图象． 3．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据大致如表所示： 流水时间 0 水面高度（观察值） 任务1： 分别计算表中每隔水面高度观察值的变化，你能得出什么结论． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度和流水时间满足一次函数关系． 任务2： 请根据表格中的数据求水面高度与流水时间的函数解析式； 【模型应用】 综合实践小组利用建立的模型，预测了后续的水面高度． 任务3： 当流水时间为时，求水面高度的值． 任务4：当甲容器中的水全部流入乙容器时，实验结束，求实验结束的时间． 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，李师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从B市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示． (1)剩余电量为，该电动车在高速公路上行驶了______； (2)求y与x之间的关系式； (3)李师傅从B市高速公路出口驶出时，该电动车的剩余电量为______． 2．（24-25八年级上·上海·期中）已知正比例函数经过点，点在第四象限，过点作轴，垂足为点，点的横坐标为3，且的面积为3． (1)求正比例函数的解析式； (2)在轴上能否找到一点，使的面积为5．若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由 (3)在（2）的条件下，是否在正比例函数上存在一点，且在第四象限，使得若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由 3．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）为了解某品牌汽车的耗油量，在高速公路上我们对这种汽车做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，如表所示： 汽车行驶时间t（小时） 0 1 2 3 … 油箱剩余油量Q（升） … (1)如表反映的两个变量中，自变量是______，自变量的函数是______； (2)根据表可知，该汽车每小时耗油______升，汽车行驶4小时的时候，油箱的剩余油量为______升； (3)根据上表的数据，写出Q与t的关系式（不用指出自变量的取值范围）：______； (4)若汽车油箱中剩余油量为，则汽车行驶了多少小时？ 4．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点B的坐标为，点C的坐标为．点A在x轴的负半轴上，连接，三角形的面积为5． (1)求点A的坐标； (2)动点P从点C出发以每秒2个单位的速度沿x轴负半轴方向运动，设点P的运动时间为t，连接，三角形的面积为S，用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； (3)在（2）的条件下，t为何值时，把三角形的面积分成两部分？ 5．（23-24八年级下·河南新乡·期中）我国传统的计重工具−−秤的应用，方便了人们的生活，如图1，可以用秤砣到秤细的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量、称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为x（斤），则y是x的一次函数，表中为若干次称重时所记录的一些数据． x（厘米） 1 2 3 4 5 6 y（斤） 2 (1)在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误，在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？请以坐标的方式表达出来． (2)当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x每增加1厘米时，秤杆所挂物重y的具体变化是______斤； (3)根据表格和图象的发现，通过计算回答下列问题． ①y与x的函数关系式； ②当秤钩所挂物重是斤时，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为多少厘米？ 6．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，四边形中，，．动点P，Q分别以每秒1个单位长度的速度从D，C同时出发，点P沿方向运动，到达C点停止运动，点Q沿折线方向运动，到达A点停止运动，连接，设点P、点Q的运动时间为t秒，四边形的面积为y． (1)请直接写出y关于时间t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出四边形的面积小于11时t的范围． 7．（2024八年级上·全国·专题练习）小李、小王分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加公益活动．如图，折线和线段分别表示小李、小王离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，解答下列问题： ①小王的骑车速度为 千米/小时； ②小王比小李晚出发 小时； ③小王出发后 小时追上小李； ④当小王到达乙地时，小李距乙地还有 千米； ⑤当小王与小李相距3千米时，时间x的值为 ． 8．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）某通讯公司就手机流量套餐推出三种方案，如下表： A方案 B方案 C方案 每月基本费用（元） 20 56 266 每月免费使用流量（兆） 1024 m 无限 超出后每兆收费（元） n n A，B，C三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系如图所示． (1)请直接写出m，n的值． (2)在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)在这三种方案中，当每月使用的流量在什么范围内，选择B方案最划算？ 9．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，在正方形中，，点为的中点，点为的三等分点（），将点沿的方向以每秒1个单位的速度运动，连接，，，记运动时间为，三角形的面积为．      (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图像，并写出该函数的一条性质：_______________________； (3)结合函数图像，直接写出当时的值：________．（结果保留一位小数） 10．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知直线与坐标轴分别交于A，两点，与直线交于点． (1)若点在轴上，且，求点的坐标； (2)若点在直线上，点横坐标为，且，过点作直线平行于轴，该直线与直线交于点，且，求点的坐标． 11．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）在一次函数的学习中，我们体会了函数关系式与函数图象的对应关系，经历了“画函数的图象一根据图象研究函数的性质一运用函数的性质解决问题”的学习过程. (1)请通过“列表-描点-连线”的过程画出的函数图象； ①下表是与的几组对应值：的值为____________； ②在平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (2)下列关于函数图象及性质描述正确的是__________； ①此函数图象关于轴对称； ②当时，函数有最小值为0. ③当时，随的增大而增大； (3)已知的图象与轴的交点为点，的图象上有一点，在轴上存在一点，使面积为6，直接写出点的坐标. 12．（2024·山西太原·模拟预测）请仔细阅读下面的科普材料，并完成相应的任务． 树的胸径与树高的关系 胸径和树高是树木重要的测量因子，也是反映森林生长状况的重要参数．由于测量树高比测量胸径更加费时、费力，且误差更大，因此实际测量时，多采用树高-胸径模型来估算树木的高度． 技术人员查阅相关资料，发现柳树在某段成长时期，其树高y（单位：m）可以看成胸径x（单位：）的一次函数．下表是他们在当地收集到的“一号”柳树树高与胸径的数据： 胸径 16 21 23 28 35 42 树高 7.2 8.4 9 10.7 11.2 11.7 根据表中的数据，他们在如图所示的平面直角坐标系中描出了坐标点，发现这六个点并不在一条直线上，继续查阅资料，找到如下解决办法： 设树高y与胸径x的函数关系式为，将表格中的数据按x的值从小到大排序后，均分为两组代入得到 第一组：； 第二组：； 分别将两组中的三个式子相加，得到方程组解得，从而得到“一号”柳树树高y与胸径x的一次函数模型为， 技术人员只要测量出“一号”柳树的胸径，就可以利用这个一次函数模型来估算“一号”柳树的高度．    任务： (1)以上材料中，主要运用的数学思想是___________（从下面的选项中选择两个即可）． A．模型思想    B．公理化思想    C．统计思想 (2)技术人员在当地收集到“二号”柳树的树高y与胸径x的数据如下： 胸径： 14 18 25 32 38 45 树高 4.5 5.8 7.55 9.3 10.75 12.3 ①请你参照材料中的方法，求“二号”柳树的树高y与胸径x的一次函数模型（函数表达式）． ②一段时间后技术人员测得“二号”柳树胸径为，查阅相关资料发现，此时对应树高超过才算生长良好，请你判断“二号”柳树生长是否良好． 13．（24-25九年级上·河北石家庄·开学考试）表格中的两组对应值满足一次函数，现画出了它的图象为直线，如图，而某同学为观察，对图象的影响，将上面函数中的与交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线． 0 1 (1)求直线的解析式； (2)请在图上画出直线（不要求列表计算），并求直线被直线和轴所截线段的长； (3)设直线与直线，及轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出的值． 14．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图①，一次函数的图象分别交轴、轴于点A，B，正比例函数的图象与直线交于点． (1)求的值并直接写出正比例函数的解析式； (2)如图②，点在线段上，且与点O，C不重合，过点作轴于点，交线段于点，点的横坐标为4．若是直线上的一点，的面积为面积的3倍，求点的坐标． 15．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，，已知． (1)如图，点C在第二象限，且，． ①如图（1），求点C的坐标； ②如图（2），的平分线交射线于点P，连接，求点P的坐标； (2)如图（3），点D，E分别在x轴，y轴上，若，点I是内角平分线的交点，分别交坐标轴于点F，G，直接写出的周长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一次函数的应用重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 一次函数应用之分配方案问题 题型二 一次函数应用之最大利润问题 题型三 一次函数应用之行程问题 题型四 一次函数应用之工程问题 题型五 一次函数应用之分段函数问题 题型六 一次函数应用之几何问题 题型七 一次函数应用之体积问题 题型八 一次函数应用之新定义问题 题型九 一次函数应用之存在性问题 题型十 一次函数应用之动点问题 题型十一 一次函数应用之最值问题 题型十二 一次函数应用之其他问题 【经典例题一 一次函数应用之分配方案问题】 【例1】（24-25八年级上·全国·期中）甲、乙两商场出售相同的某种商品，每件售价均为3000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一件按原价收费，其余每件优惠；乙商场的优惠条件是：每件优惠．设所买商品为件，甲商场收费为元，乙商场收费为元． (1)分别求出，与x之间的关系式； (2)当所买商品为5件时，选择哪家商场更优惠？请说明理由． 【答案】(1)， (2)乙商场更优惠；理由见解析 【分析】（1）由两家商场的优惠方案分别列式整理即可； （2）由函数解析式分别求出x=5时的函数值，即可得解 本题考查了一次函数的应用和最优方案问题，读懂题目信息，理解两家商场的优惠方案是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：， ； （2）解：当时，，， ∴， ∴当所买商品为5件时，选择乙商场更优惠． 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择： 方案一：从纸箱厂购买，每个纸箱价格为4元． 方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装费16000元，每加工一个纸箱还需成本费元． (1)若需要这种规格的纸箱x个，请分别写出两种方案中所需费用y(元)与x(个)之间的函数表达式； (2)在同一直角坐标系中作出它们的图象； (3)假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？ 【答案】(1)方案一：；方案二： (2)见解析 (3)当时，两种方案所需的费用相同，两种方案都可以；当时，从纸箱厂购买纸箱所需的费用低，选择方案一；当时，蔬菜加工厂自己加工纸箱所需的费用低，选择方案二． 【分析】本题考查一次函数的应用，关键是列出函数解析式． （1）由已知条件可以得出两个方案的解析式； （2）根据函数关系式画出图形即可； （2）列出方程，解得，讨论的取值范围来比较来比较两个方案． 【详解】（1） 解：方案一：， 方案二：． （2）解：如图． （3）解：由题意得：， 得，， 解得， 由图象，可知当，时，两种方案所需的费用相同，两种方案都可以； 当时，从纸箱厂购买纸箱所需的费用低，选择方案一； 当时，蔬菜加工厂自己加工纸箱所需的费用低，选择方案二． 2．（23-24九年级下·福建泉州·阶段练习）小王计划批发“山东大樱桃”和“泰国榴莲”两个品种的水果共120斤， 樱桃和榴莲的批发价分别为32元/斤和40元/斤，设购买了樱桃x斤（）． (1)小王批发这两种水果花费了4400元，那么小王分别购买了多少斤樱桃和榴莲？ (2)设小王购买两种水果的总花费为y 元，试写出y 与x之间的函数表达式． (3)若要求所批发的榴莲的斤数不少于樱桃斤数的2倍，那么购买樱桃的数量为多 少时，可使小王的总花费最少？这个最少花费是多少？ 【答案】(1)50斤樱桃和70斤榴莲 (2) (3)购买樱桃的数量为40斤，可使小王的总花费最少，最少花费是4480元 【分析】本题考查一次函数的应用以及一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答． （1）根据题意可以求得表格应填写的式子，然后列出相应的方程即可解答本题； （2）由总花费斤樱桃的花费斤榴莲的花费，即可求解； （3）根据题意求得x的取值范围，再根据一次函数的性质即可解答本题． 【详解】（1）解：设购买了樱桃x斤（），则榴莲购买了斤，小王购买樱桃应付的钱数是，购买榴莲应付的钱数是， 由题意，得， 解得， 则榴莲购买了斤． 答：小王分别购买了50斤樱桃和70斤榴莲． （2）由题意，得， ∴． （3）∵，解得， 由题意， ∴， ∵，，有y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最小值4480元． 答：购买樱桃的数量为40斤，可使小王的总花费最少，最少花费是4480元． 3．（23-24八年级上·宁夏银川·期末）从2024年起，宁夏中考体育考试总分将提高至70分．为了适应新的中考要求，学校准备从网上订购一批足球和跳绳，网络搜索后发现足球每个定价150元，跳绳每条定价30元．现有A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案． A网店：买一个足球送一条跳绳； B网店：足球和跳绳都打九折． 已知要购买足球60个，跳绳x条（）． (1)分别求出在A、B两家网店购买所需的费用和； (2)求该校购买多少条跳绳时，在A、B两家网店的花费一样多． 【答案】(1)， (2)300 【分析】本题主要考查一次函数的应用，根据题意写出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意列出解析式即可； （2）根据题意得到，计算得到答案即可． 【详解】（1）解：在店购买可列式：； 在网店购买可列式：； （2）解：当时， ， 解得：， 答：该校购买300条跳绳时，两家网店的花费一样多． 【经典例题二 一次函数应用之最大利润问题】 【例2】（24-25八年级上·全国·期中）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为120只，且每日产出的产品全部售出已知生产x只玩具熊猫的支出成本为R（元），销售收入为P（元），利润为y（元），且R，P关于x的函数表达式分别为，． (1)求y关于x的函数表达式，并画出函数图象． (2)根据图象解决下列问题： ①该玩具厂至少应生产多少只玩具，才能保证不亏损？ ②当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元？（提示：利润=销售收入-支出成本） 【答案】(1)，图象见解析 (2)①该玩具厂至少应生产20只玩具，才能保证不亏损②当日产量为90只时，每日获得的利润为1750元 【分析】此题主要考查了一次函数的应用，利用数形结合得出是解题关键． （1）利用，进而得出函数解析式即可，进而利用两点法画出直线即可； （2）①利用函数图象得出时，的取值范围即可；②将代入解析式求出即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 如图所示：    （2）解：①当时能保证不亏损， ∴， 解之：； ∴该玩具厂至少应生产20只玩具，才能保证不亏损； ②当时，， 解之：， ∴ 当日产量为90只时，每日获得的利润为1750元 1．（24-25九年级上·全国·期末）某超市经销A、B两种商品，A种商品每件进价20元，售价30元；B种商品每件进价35元，售价48元． (1)该超市准备用800元去购进A、B两种商品若干件，怎样购进才能使超市经销这两种商品所获利润最大？（其中B种商品不少于7件） (2)在“五•一”期间，该商场对A、B两种商品进行如下优惠促销活动： 打折前一次购物总金额 优惠措施 不超过300元 不优惠 超过300元且不超过400元 售价打八折 超过400元 售价打七折 促销活动期间小颖去该超市购买A种商品，小华去该超市购买B种商品，分别付款210元与268.8元．促销活动期间小明决定一次去购买小颖和小华购买的同样多的商品，他需付款多少元？ 【答案】(1)购进A商品26件，购进B商品8件才能使超市经销这两种商品所获利润最大 (2)小明付款382.2元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用， （1）两个关系式为：利润＝A种商品的利润＋B种商品的利润，进而根据函数的特点及自变量的取值得到利润最大的购买方案； （2）易得小颖购买的商品没有打折，让总价钱除以商品的单价即为相应的件数，小华购买的商品打了8折，求得小华购买商品的原价，进而得到相应的数量，根据打折方案得到相应的价钱即可； 得到总利润的关系式是解决此题的关键． 【详解】（1）设利润为W，B种商品购进x件， ， ∵， ∴W随x的增大而减小， ∵，且为整数，A种商品的件数也为整数， ∴时，利润最大，A种商品的件数为件， 答：A种商品26件，B种商品8件时，利润最大； （2）小颖购买A商品的件数为：（件）, ∵不是48的整倍数， ∴小华购买B商品的件数为（件）， 小明一次购买需付原价为：， ∴实际付款为：（元）． 2．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·开学考试）2018年11月5日中国进口博览会如期举行，旨在坚定支持贸易自由化和经济全球化，主动向世界开发市场，吸引了58个“一带一路”沿线国家的超过1000多家企业参展，将成为共建“一带一路”的又一个重要支撑，仅医疗器械及医药保健展区成交57.6亿美元，某保健公司引进了A、B两种型号的医疗器材共计50台，花费2300万美元，已知A型器材每台40万美元，B型器材每台50万美元． 甲（万美元/台） 乙（万美元/台） A型医疗器材 0.7 1 B型医疗器材 0.8 0.9 (1)求出该公司引进了A、B两种型号的医疗器材各多少台． (2)现该公司需将购进的医疗器材运往甲、乙两个仓库，已知甲仓库容量为30台，乙仓库容量为20台，运费如表，设运往甲仓库的A型医疗器材为x台（），求总运费为y（万美元）关于x的函数关系式，并求出总运费最低的调运方案，最低总运费是多少万美元． 【答案】(1)该公司引进20台A型号医疗器材，30台B型号医疗器材 (2)y与x的函数关系式为；总运费最低的调运方案为：运往甲仓库的A型医疗器材为15台，运往甲仓库的B型医疗器材为15台，运往乙仓库的A型医疗器材为5台，运往乙仓库的B型医疗器材为15台；最低总运费为41万美元． 【分析】本题考查了二元一次方程组应用，一次函数的应用，为方程和函数综合应用的常规题型．准确用x表示运往甲、乙仓库的各种器材数是解题关键． （1）根据两种器材数量和为50台和总费用2300万美元为等量关系列方程组； （2）用x表示运往甲仓库的B型器材数、运往乙仓库的A、B型器材数，根据题意求运费和，得到y关于x的函数为一次函数，且x的系数为负数，所以x越大y越小． 【详解】（1）设该公司引进a台A型号医疗器材，则引进B型号器材b台，根据题意得： ， 解得：， 答：该公司引进20台A型号医疗器材，30台B型号医疗器材． （2）依题意得，运往甲仓库的B型医疗器材为台，运往乙仓库的A型为台，运往乙仓库的B型为x台， ∴， 整理得：， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴当时，y有最小值，最小值为， 答：y与x的函数关系式为；总运费最低的调运方案为：运往甲仓库的A型医疗器材为15台，运往甲仓库的B型医疗器材为15台，运往乙仓库的A型医疗器材为5台，运往乙仓库的B型医疗器材为15台；最低总运费为41万美元． 3．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）在期中考试总结会议上，学校决定购买A，B两种奖品共120件，对表现优异的学生进行奖励．已知A种奖品的价格为32元/件，B种奖品的价格为15元/件． (1)请直接写出购买两种奖品的总费用y（元）与购买A种奖品的数量x（件）之间的关系式； (2)当购买了30件A种奖品时，总费用是多少元？ (3)若购买的A种奖品不多于50件，则总费用最多是多少元？ 【答案】(1)； (2)2310元； (3)总费用最多是2650元． 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，理解题意，确定函数关系式是解本题的关键； （1）由总费用等于购买两种奖品的费用之和建立函数关系式即可； （2）把代入（1）中的解析式计算即可； （3）利用一次函数的性质解答即可； 【详解】（1）解：根据题意，得： ， 即购买两种奖品的总费用y（元）与购买A种奖品的数量x（件）之间的关系式为； （2）当时，， 答：当购买了30件A种奖品时，总费用是2310元； （3）由题意，得， 由（1）可知为， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值为， 答：若购买的A种奖品不多于50件，则总费用最多是2650元． 【经典例题三 一次函数应用之行程问题】 【例3】（23-24八年级上·宁夏银川·期中）一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲乙之间的距离与骑行时间之间的函数关系如图所示，根据图像解答下列问题： (1)A，B两们相距______； (2)出发________小时后两人相遇； (3)甲每小时骑行______，乙每小时骑行_____；图中C点表示的实际意义是______． (4)求出时，S与t之间的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3)12，20，甲到达村 (4) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键： （1）根据图象，得到两人未出发时，相距，即可； （2）两人第一次相距的距离为0时，两人相遇，从图象获取答案即可； （3）根据图象和题意可知，甲骑行速度大于乙骑行的速度，甲2小时到达村，乙2.5小时到达村，利用速度等于路程除以时间，进行计算即可； （4）设函数解析式为，待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】（1）解：由图象可知，时，， 即：A，B两们相距； （2）解：由图象可知，当时，， 即：出发小时后，两人相遇； （3）解：由图象可知，乙经过，行驶了km， ∴乙的速度为：， ∴甲的速度为：， 点实际意义为：甲到达村； （4）解：设，把代入，得： ，解得：， ∴． 1．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）小明一家利用元旦三天驾车到某景点旅游，小汽车出发前油箱有油，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中余油量与行驶时间之间的关系，如图所示，根据图象回答下列问题： (1)小汽车行驶______h后加油，中途加油______L； (2)求加油前油箱余油量Q与行驶时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； (3)如果小汽车在行驶过程中耗油量速度不变，加油站距景点，车速为，要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由． 【答案】(1)3，24 (2)， (3)油箱中的油不够用，理由见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意，能从图象中获取信息是解答的关键． （1）直接从图象中的数据得到答案即可； （2）利用待定系数法结合图象求解即可； （3）求出油箱中的油最多可以行驶的路程，然后与300比较大小即可得出答案． 【详解】（1）解：根据图象，小汽车行驶后加油，中途加油， 故答案为：3，24； （2）解：设加油前油箱余油量Q与行驶时间t的函数关系式为， 将，代入，得， 解得， ∴加油前油箱余油量Q与行驶时间t的函数关系式为，自变量t的取值范围为； （3）解：油箱中的油不够用，理由为： 根据图象，油箱中的油从加油站出发，最多可以行驶的路程为， ∵， ∴油箱中的油不够用． 2．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途不停留，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示． (1)分别求出轿车和货车的平均速度． (2)求轿车到达终点时，货车离终点的距离． (3)货车出发多长时间后，两车相距？ 【答案】(1)轿车的平均速度为，货车的平均速度为 (2)轿车到达终点时，货车离终点的距离为 (3)货车出发或后，两车相距 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度，时间，路程三者之间的数量关系和待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）轿车和货车到达目的地分别用时和，分别根据“速度路程时间”计算即可； （2）由图象可知，当轿车到达终点时，货车离终点还有的路程，根据“路程时间速度”计算即可； （3）根据题意两车相距，可分两种情况讨论，相遇前和相遇后，利用待定系数法求出当时关于的函数关系式，将代入关系式，求出相应的值是相遇前两车相距时的时间，两车相遇后，由（2）得：轿车到达终点时，货车离终点的距离为；当时，两车相距，可得方程，解方程即可得到相遇后两车两车相距时的时间，从而得到答案． 【详解】（1）解：轿车的平均速度为，货车的平均速度为， 轿车的平均速度为，货车的平均速度为； （2）解：， 轿车到达终点时，货车离终点的距离为； （3）解：两车相遇前，即时，设与的函数关系式为：，将和代入得： 解得： ∴， 当时，即， 解得：； 两车相遇后，由（2）得：轿车到达终点时，货车离终点的距离为； ∴当时，两车相距， ∴， 解得：， ∴货车出发或后，两车相距． 3．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家．小明离家的距离y（）与他所用的时间x（）的关系如图所示： (1)小明家离体育场的距离为______，小明跑步的平均速度为______； (2)当时，求y关于x的函数表达式； (3)当小明离家时，直接写出他离开家所用的时间． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键： （1）从函数图象获取信息，利用速度等于路程除以时间进行计算即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，小明家离体育场的距离为，跑步的平均速度为：； 故答案为：； （2）当时，设， 把代入函数解析式，得： ，解得：， ∴； （3）当时，； 当时，，解得：； 答：当小明离家时，他离开家所用的时间为或． 【经典例题四 一次函数应用之工程问题】 【例4】（2023·吉林长春·一模）为推进乡村振兴发展，某区决定对A、B两村之间的公路进行改造，并由甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工2天，乙工程队再开始施工，乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余下的任务由甲工程队单独完成，直到公路修通．下图是甲乙两个工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数图像，请根据图像所提供的信息解答下列问题： (1)乙工程队每天修公路_________米． (2)分别求甲、乙工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数关系式． (3)若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需几天完成？ 【答案】(1)180 (2)甲：；乙： (3)6天 【分析】（1）根据函数图像可得乙工程队在4天内修了720米的公路，由此即可得； （2）先求出两个函数图像的交点坐标为，再利用待定系数法求解即可得； （3）设若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需天完成，求出甲工程队每天修公路的长度和公路的总长度，建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：乙工程队每天修公路（米）， 故答案为：180． （2）解：， 两个函数图像的交点坐标为， 设甲工程队修公路的长度（米）与施工时间（天）之间的函数关系式为， 将代入得：，解得， 则甲工程队修公路的长度（米）与施工时间（天）之间的函数关系式为， 设乙工程队修公路的长度（米）与施工时间（天）之间的函数关系式为， 将点，代入得：，解得， 则乙工程队修公路的长度（米）与施工时间（天）之间的函数关系式为． （3）解：设若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需天完成， 甲工程队每天修公路（米）， 公路的总长度为（米）， 由题意得：， 解得， 答：若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需6天完成． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用，从函数图像中正确获取信息是解题关键． 1．（2022·吉林长春·二模）在创建国家卫生城市环境综合整治行动中，某小区计划对楼体外墙进行粉刷，现有甲、乙两家装饰公司有意承接此项工程，已知甲公司的费用y（元）与粉刷面积的关系如表： 粉刷面积 … 100 200 300 400 … 费用y（元） … 2000 4000 6000 8000 … 乙公司表示：若该小区先支付2000元的基本承包费，则可按10元的价格收费，请据以上信息，解答下列问题： (1)若甲公司收取的费用y（元）与粉刷面积满足我们学过的某一函数关系，试确定这一函数关系式． (2)试确定乙公司收取的费用y（元）与粉刷面积满足的函数关系式． (3)在给出的平面直角坐标系内画出（1）（2）中的函数图象，并确定若该小区粉刷面积约为600，则选择哪家装饰公司施工更合算． 【答案】(1) (2) (3)乙 【分析】（1）根据表中的已知点的坐标确定函数的解析式即可； （2）根据乙公司表示：若该小区先支付2000元的基本承包费，则可按10元的价格收费，则； （3）利用两点法画出函数的图象，然后把分别代入解析式即可判断． 【详解】（1）解：由表中的数据可知甲公司收取的费用y（元）与粉刷面积成正比例， 设，把代入得：， 解得， 所以； （2）解：根据题意得； （3）解：画出函数的图象如图： 把代入得，（元）， 把代入得，（元）， ， 所以，确定若该小区粉刷面积约为600，则选择乙装饰公司进行施工更合算． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，根据题意得出相等关系是解题的关键． 2．（23-24·浙江衢州·中考真题）在社会主义新农村建设中，衢州某乡镇决定对A、B两村之间的公路进行改造，并有甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工3天，乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余下的任务有甲工程队单独完成，直到公路修通．下图是甲乙两个工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）乙工程队每天修公路多少米？ （2）分别求甲、乙工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数关系式． （3）若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需几天完成？ 【答案】（1）120米（2）y乙=120x﹣360，y甲=60x（3）9 【详解】解：（1）由图得：720÷（9﹣3）=120（米）， 答：乙工程队每天修公路120米． （2）设y乙=kx+b，则，解得：．∴y乙=120x﹣360． 当x=6时，y乙=360． 设y甲=kx，则360=6k，k=60，∴y甲=60x． （3）当x=15时，y甲=900，∴该公路总长为：720+900=1620（米）． 设需x天完成，由题意得： （120+60）x=1620，解得：x=9． 答：该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需9天完成 （1）根据图形用乙工程队修公路的总路程除以天数，即可得出乙工程队每天修公路的米数． （2）根据函数的图象运用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式． （3）先求出该公路总长，再设出需要x天完成，根据题意列出方程组，求出x，即可得出该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需要的天数． 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）甲、乙两个工程组同时铺设高速路段的沥青路面，两组工程队每天铺设沥青路面的长度均保持不变，合作一段时间后，乙工程队因维修设备而停工，甲工程队单独完成了剩下的任务，甲、乙两工程队铺设沥青路面的长度之和（单位：m）与甲工程队铺设沥青路面的时间（单位：天）之间的关系如图所示． (1)乙工程队铺设沥青路面____________天；甲每天铺设____________米． (2)求乙工程队停工后关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)当甲工程队铺设沥青路面的总长度与乙工程队铺设沥青路面的总长度相等时，乙工程队已经停工____________天． 【答案】(1)30；3 (2) (3)10 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得到有用信息是解题的关键． （1）由图可知，前30天甲乙两工程队合作，30天以后甲工程队单独做，据此计算即可； （2）设乙工程队停工后关于的函数解析式为，用待定系数法求解，再结合图象即可得到自变量的取值范围； （3）先计算甲乙两工程队每天各铺设沥青多少千米，再计算乙工程队铺设沥青的总长度，设乙工程队已停工的天数为，根据甲工程队铺设沥青的总长度与乙工程队铺设沥青的总长度相等列方程计算即可． 【详解】（1）解：由图可知，前30天甲乙两工程队合作，30天以后甲工程队单独做， 甲工程队铺设沥青了60天，乙工程队铺设沥青了30天， ∴甲每天铺设（米）； 故答案为：30；3； （2）解：设乙工程队停工后关于的函数解析式为， 将和两个点代入，可得， 解得， ； （3）解：甲工程队每天铺设沥青（米）， 甲乙合作每天铺设沥青（米）， 乙工程队每天铺设沥青（米），乙工程队铺设沥青的总长度为（米）， 设乙工程队已停工的天数为， 则， 解得：， 答：乙工程队已停工的天数为10天． 【经典例题五 一次函数应用之分段函数问题】 【例5】（23-24七年级下·四川成都·期中）某电力公司为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法计算电费；第一档：每月用电不超过180度时，按每度0.5元计费；第二档：每月用电超过180度但不足280度时，其中超过部分按每度0.6元计费；第三档：280度以上时，超出部分按每度0.8元计费． (1)若李明家1月份用电140度应交电费______元，2月份用电250度应交电费______元． (2)若设某月用电量为x度，应交电费为y元，请求出y与x的关系式．并利用关系式求某月交电费120元时的用电量． 【答案】(1)，． (2)；度． 【分析】此题考查的是函数的应用，掌握实际问题的等量关系和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． （1）根据题意，列出算式，即可求出结论； （2）根据题意，对x分类讨论，即可求出y与x的关系式，然后将代入到各个关系式中，求出满足对应范围的x的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴（元）， ∵， ∴（元）， 即李明家1月份用电度应交电费元，2月份用电度应交电费元， 故答案为：，． （2）根据题意得： 当时，， 当时， ， 当时，电费为：， 则y关于x的函数关系式为． 把代入，可得，故不符合x对应的取值范围，舍去； 把代入，可得，故符合x对应的取值范围； 把代入，可得，故不符合x对应的取值范围，舍去． 即某月交电费120元时的用电量为度． 1．（23-24八年级上·广东河源·期末）电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法．若某户居民每月应交电费（元）与用电量（度）的函数图象是一条折线（如图所示），根据图象解下列问题： (1)分别求出当和时，与的函数关系式； (2)若该用户某月用了度电，则应缴费多少元？ (3)若该用户某月缴费元时，则该用户该月用了多少度电？ 【答案】(1)当时，；当时， (2)应缴费元 (3)该用户该月用了度电 【分析】本题考查了一次函数的图象，一次函数的应用，通过一次函数的图象获取有用的信息是解答本题的关键． （1）当时，设与的函数关系式是，把代入求解，得到与的函数关系式，当时，设与的函数关系式是，把，代入求解，即得答案； （2）当时，代入计算即得答案； （3）因为该用户某月缴费105元，所以该用户该月用电量超过100度，将代入计算即得答案，  ． 【详解】（1）当时， 设与的函数关系式是， 则有， 解得， 与的函数关系式是； 当时， 设与的函数关系式是， 则有， 解得， 与的函数关系式； （2）当时，（元）， 该用户某月用了度电，应缴费元； （3）该用户某月缴费元， 该用户该月用电量超过度， 将代入， 得， 解得， 该用户该月用了度电． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）“国家实行计划用水，厉行节约用水”．为鼓励市民节约用水，某市自来水公司对单位和个人按用水量分段计水价收费，该市自来水公司针对单位用水规定用水计划：每月单位计划用水标准为3 000吨，计划内用水每吨收费0.5元，超计划部分每吨按0.8元收费． (1)写出单位水费y（元）与每月用水量x（吨）之间的函数关系式； ①用水量小于或等于3 000吨时，___________； ②用水量大于3 000吨时，___________． (2)九月份甲单位用水2 800吨，水费是___________元；乙单位用水3 200吨，水费是___________元． (3)若十月份丙单位缴水费1 540元，则该单位该月用水多少吨？ 【答案】(1)　 (2)1 400　1 660 (3)3 050吨 【分析】本题主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力，先根据题意列出函数关系式，再代入求值，解题的关键是分析题意根据实际意义准确的列出解析式． （1）①直接写出与之间的函数关系式；②吨，收费元，超过部分按元收费，据此求出与之间的函数关系式； （2）将和代入（）的解析式中即可求得； （3）元，用水已超过吨，将代入②的解析式中即可求得. 【详解】（1）解：①用水量小于或等于3 000吨时，； 当用水量大于3 000吨时，． （2）当时，； 当时，． （3）因为（元）， 十月份丙单位缴水费0元， 所以该月用水超过吨． 令，得． 答：丙单位十月份用水吨． 3．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）我市一水果批发市场某商家批发苹果采取分段计价的方式，其价格如下表： 购买苹果数（千克） 不超过50千克的部分 超过50千克的部分 每千克价格（元） 12 10 (1)小刚购买苹果40千克，应付多少元？ (2)若小刚购买苹果千克，用去了元．写出当时，与的关系式； (3)计算出小刚若一次性购买80千克所付的费用比分两次共购买80千克（第一次购买50千克，第二次购买30千克）所付的费用少多少元？ 【答案】(1)480元 (2) (3)60元 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． （1）根据题意和表格中的数据，可以计算出小刚购买苹果40千克，应付多少元； （2）根据表格中的数据，写出当时，与的关系式； （3）根据（2）中的函数关系式，可以求得两种情况下的花费，然后作差即可解答本题． 【详解】（1）解：由表格可得， （元， 答：小刚购买苹果40千克，应付480元； （2）由题意可得， 当时，与的关系式是， 即当时，与的关系式是； （3）小刚若一次性购买80千克所付的费用为：（元， 分两次共购买80千克所付的费用为：（元， （元， 答：小刚若一次性购买80千克所付的费用比分两次共购买80千克所付的费用少60元． 【经典例题六 一次函数应用之几何问题】 【例6】（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，直线与y轴、x轴交于点A、B，点C在直线上，点C的横坐标为m． (1)求点A、B的坐标； (2)当时，求的面积； (3)当时，求m的值． 【答案】(1)； (2) (3)2或6 【分析】（1）由一次函数图象与性质，令或，解方程即可得到答案； （2）根据题意得到点的纵坐标，代值求解即可得到答案； （3）根据点C的横坐标求出纵坐标，得到和面积，从而得到，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，，则； 当时，，，则． （2）解：当时，，则， ∴． （3）解：∵点C的横坐标为m， ∴点C的纵坐标为， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得或2． 【点睛】本题考查一次函数综合，涉及一次函数图象与性质、求直线与坐标轴的交点、平面直角坐标系中三角形面积的求法、解绝对值方程及解一元一次方程等知识，熟练掌握一次函数图象与性质是解题的关键． 1．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． (1)求点C和点D的坐标； (2)y轴上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，P点的坐标为或 【分析】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键． （1）根据直线解析式可求出A、B两点坐标，从而可求出和，再根据勾股定理即可求出的长，设，则,再在中，利用勾股定理可列出关于x的等式，解出x，即可求出D点坐标； （2）求出的值，再根据，即可求出的值，从而即得出P点坐标． 【详解】（1）令得：， ∴． ∴， 令得：， 解得：， ∴． ∴． 在中，， ∵， ∴， ∴． 设，则． 在中，，即， 解得：， ∴． 故，； （2）存在，理由如下： ∵， ∴． ∵点P在y轴上，， ∴，即， 解得：， ∴P点的坐标为或． 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线与轴、轴分别交于两点． (1)求点和点的坐标； (2)若点是射线上一点，且的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，一次函数与几何图形面积的综合， （1）根据一次函数与坐标轴的交点的计算方法即可求解； （2）设，根据三角形的面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于两点， 令，则；令，则； ∴； （2）解：∵点是射线上一点， 设， ∵的面积为，且， ∴， 解得，， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为，一次函数经过点M，分别交x轴于点A，交y轴于点B．x轴上有一点P，其横坐标为．过点P作x轴的垂线交射线OM于点C，交一次函数的图象于点D． (1)求点A的坐标； (2)若，求t的值； (3)若，求t的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握一次函数与二元一次方程组的关系，准确计算． （1）把利用待定系数法求出直线的解析式； （2）根据点C、D的解析式，表示出，，根据列方程求解即可； （3）根据点C、D的解析式，表示出，，根据，分两种情况列方程求解即可； 【详解】（1）解：∵点M的坐标为，一次函数经过点M， ∴，解得：, ∴一次函数为， 当时，，解得， ∴点， （2）依题意得：的解析式为， ∵点， ∴点，点， ∴， ， 若，，解得：， （3）当时； ，， 当，即，解得， 当时； ，， 当，即，解得， 【经典例题七 一次函数应用之体积问题】 【例7】（23-24八年级上·江苏连云港·期末）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的横截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度（厘米）与注水时间（分钟）之间的关系如图2所示，根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)图2中折线表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系；（以上两空选填“甲”或“乙”） (2)点的纵坐标表示的实际意义是 ； (3)注水多长时间时，甲、乙两个水槽中的水的深度相同？ (4)若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积． 【答案】(1)乙，甲； (2)乙槽中铁块的高度为14厘米； (3)注水2分钟； (4)84立方厘米． 【分析】本题考查的是用一次函数解决实际问题．解题时注意应用一次函数的性质，理解图象的实际意义． （1）根据题目中甲槽向乙槽注水可以得到折线是乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，相应的线段表示表示的意义可求； （2）点B表示的实际意义是乙槽内液面恰好与圆柱形铁块顶端相平； （3）分别求出两个水槽中y与x的函数关系式，令y相等即可得到水位相等的时间； （4）用水槽的体积减去水槽中水的体积即可得到铁块的体积． 【详解】（1）图2中折线表示乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示甲槽中水的深度与注水时间之间的关系． 故答案为：乙，甲； （2）由图象可知，水面上升到与铁块上面重合后，水面上升的速度发生变化，故到点B的纵坐标表示的实际意义是乙槽中铁块的高度为14厘米． 故答案为：乙槽中铁块的高度为14厘米； （3）设线段、的解析式分别为：， ， ∵经过点和，DE经过和 ，解得， ，解得， ∴解析式为，解析式为， 令， 解得， ∴注水2分钟时，甲、乙两个水槽中水的深度相同； （4）若乙槽中没有铁块，则乙槽水位上升高度为厘米， ∴乙槽中铁块体积为立方厘米． 1．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）．现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度与注水时间之间的关系如图2．根据图像提供的信息，解答下列问题： (1)图2中折线表示______________槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示_____________槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空填“甲”或“乙”），槽中铁块的高度是______________； (2)注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同； (3)若乙槽底面积为（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积． 【答案】(1)乙、甲、14 (2) (3) 【分析】（1）根据图像分析可知水深减少的图像为甲槽的，水深增加的为乙槽的，并水深14cm之后增加的变慢，即可得到铁块的高度； （2）分别求出两个水槽中y与x的函数关系式，令y相等即可得到水位相等的时间； （3）用水槽的体积减去水槽中水的体积即可得到铁块的体积． 【详解】（1）解：折线表示乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示甲槽中水的深度与注水时间之间的关系，槽中铁块的高度是， 故答案为：乙；甲；14； （2）设线段的解析式分别为， 经过点和，经过点和，    ，    ， 解得，             ， 线段的解析式分别为和， 令，解得， 当注水时，甲、乙两个水槽中水的深度相同； （3）由图像知：当水槽中水面没有没过铁块时，水面上升了，即上升； 当水面没过铁块时，上升了，即上升， 设铁块的底面积为，则乙槽中不放铁块时水增加的体积为， 放了铁块时水增加的体积为， ，解得， ∴铁块的体积． 【点睛】本题考查的是用一次函数解决实际问题，正确分析函数图像中的信息是解题的关键． 2．（2023·河南南阳·二模）为提醒人们节约用水，及时修好漏水的水龙头，避免造成水资源浪费．课外实践活动中，王老师安排数学兴趣小组“慎思组”和“博学组”两组同学分别做水龙头漏水试验，“慎思组”同学用于接水的量筒最大容量为毫升，“博学组”同学用于接水的量筒最大容量为毫升． 试验一：“慎思组”同学在做水龙头漏水试验时，每隔10秒观察一次量筒中水的体积，记录的数据如下表(漏出的水量精确到1毫升)： 时间(秒) 10 20 30 40 50 60 70 漏出的水量(毫升) 2 5 8 11 14 17 20 根据以上信息，请你与他们一起完成以下问题： (1)在图①的平面直角坐标系中描出上表中数据对应的点，画出与的图象，并判断是的什么函数，且求出此函数关系式．    (2)如果继续试验，请求出至少几秒后量筒中的水会满而溢出． (3)按此漏水速度，1小时会漏水___________升(精确到升)． 试验二：“博学组”同学根据自己的试验数据画出的图象如图②所示， (4)为什么图象中会出现与横轴“平行”的部分？请说出你的理由．    【答案】(1)图见解析，一次函数， (2)秒 (3) (4)因为“博学组”接水的量筒40秒后装满就溢出了 【分析】（1）根据图中的数据直接在坐标系中描出各点即可．根据图象可知是的一次函数，先设出y与x的函数关系式为，根据表中数据，得出，求出y与x的函数关系式； （2），再根据题意可得不等式，从而可求可求出多少秒后，量筒中的水会满面开始溢出． （3）根据（1）中的函数关系式，把秒代入即可求出答案． （4）根据“博学组”接水的量筒装满后开始溢出，量筒内的水不再发生变化，即可得出图象中会出现与横轴“平行”的部分的原因． 【详解】（1）解：（1）图像如图①所示．是的一次函数．    设与之间的函数表达式为()， 由题意得，解得 ∴ （2）令， 解得： 答：至少670秒后，量筒中的水会满而溢出． （3）当时，(毫升) 毫升升升 故答案为：1.1 （4）∵“博学组”接水的量筒筒40秒后装满后开始溢出，量筒内的水位不再发生变化， ∴图象中会出现与横轴“平行”的部分． 【点睛】本题考查一次函数的应用，正确作图和数据分析是解题的关键． 3．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，为一深，底面为正方形的长方体的容器，底部放入一小长方体铁块，现在以均匀的速度往容器中注水，图2是容器内水面高度随时间改变的函数关系图象，观察图中所提供的信息，解答下列问题： (1)容器内小长方体铁块的高为多少? (2)求直线的函数关系式； (3)该容器注满水需多少分钟？ (4)求长方体铁块的体积与容器的容积之比是多少？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据函数关系图象的得出时，，即可得出小长方体铁块的高； （2）根据已知图象得出，两点坐标，，，代入即可得出答案； （3）根据3分钟后水面上升速度为，进而得出容器注满水所需时间． （4）设每分钟的注水量为，根前3分钟和后6分钟的高度变化，算出下底面中未被长方体覆盖部分的面积和容器的底面积，从而得到长方体铁块与容器的底面积之比，结合各自的高算出体积之比． 【详解】（1）解：函数关系图象的得出时，， 3分钟后图象发生变化也就是水面超过小长方体， 容器内小长方体铁块的高为：； （2）根据已知图象得出，两点坐标， ，，代入， ，解得：， ； （3）根据3分钟后水面上升速度为， ， 容器注满水所需时间为：min． （4）设每分钟的注水量为． 则下底面中未被长方体铁块覆盖部分的面积是：， 容器的底面积为：． 二者比为， 小长方体底面积：容器底面积． 小长方体体积：容器体积． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用以及利用图象获取正确信息，难度中等，利用已知图象得出正确信息是考查重点，需牢固掌握，解答时计算长方体的体积与容器的体积的比是难点． 【经典例题八 一次函数应用之新定义问题】 【例8】（24-25八年级上·山东济南·期中）阅读理解： 材料一：对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若且，则称点是线段的“完美等距点”． 材料二：在平面直角坐标系中，我们通常用下面的公式求两点间的距离，如果，，那么． 解决问题：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知3个点：，则这三点中，线段的“等距点”是________，线段的“完美等距点”是________； (2)若，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标； (3)当，是否存在这样的点，使点是线段的“等距点”，也是线段的“完美等距点”？若存在，请直接写出所有符合的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)和； (2)或 (3)或 【分析】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，灵活应用两点之间的距离公式和勾股定理是解题的关键． （1）依据两点之间的距离公式分别计算各点到O，A的距离，根据等距点和完美等距点做出判断； （2）设出H点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论； （3）假定存在，设出N点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论， 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴B为等距点． ∵，， ∴， ∴C为等距点． ∵，， ∴， ∴D不为等距点． ∵， ∴，，，， ∴C为完美等距点， 故答案为：B和C；C； （2）在上， ， ， ， ， 或， 设的坐标为， 或， ，， 或， 解得：或． 的坐标为或； （3）因为是的等距点，设点的坐标为， ， 为线段的“完美等距点”， ， 为等腰直角三角形， ①如图1， ， ， ，，， ， 则，， ， 解得：， 当时，      点的坐标为                               ②， ， ，，， ，    则，， ， 解得：， 当时，，                                                                 点的坐标为， 点的坐标为或． 1．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，图形上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为．对于点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，若，两点间的距离有最小值，且最小值恰好为，则称点为图形的“关联点”． (1)如图，图形是矩形，其中点的坐标为，点的坐标为，则_____．在点，，，中，矩形的“关联点”是_____； (2)如图，图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为．若直线上存在点，使点为正方形的“关联点”，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)，过程见解析 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的新定义题型，读懂题意结合所学知识是解本题的关键． （1）由点 可得， ，再根据题意将点 到矩形的最短距离算出来， 若大小等于， 则符合题意，即可求解； （2）先求出正方形上任意两点之间的最大距离为 ， 再根据直线在坐标轴内平移，找出直线上关联点到正方形距离等于 时的临界点时的值即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， ， 到矩形的最小距离为： ，，不符合题意； 到矩形的最小距离为：，符合题意； 到矩形的最小距离为： ，，不符合题意； 到矩形的最小距离为：， 符合题意， 故 是矩形的“关联点”， 故答案为，； （2）根据题意可得，正方形上任意两点之间的最大距离为 ， 根据题意画出临界点如图所示： 当直线经过点时，为最大值， 当直线经过时，为最小值， ， 当直线经过点时， ，解得， 当直线经过时， ， 解得 ， 所以取值范围为：． 2．（23-24八年级下·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，作如下定义；点的坐标为，点的坐标为，若，则称、两点为“同和点”．如图①，点、为“同和点”． (1)若点的坐标为． ①在点，、中，是点的“同和点”的是________．（填“C”、“D”或“E”） ②若点在轴上，且、两点为“同和点”，则点的坐标为________． (2)如图②，直线与轴、轴分别交于点、，点为线段上一动点． ①若点与点为“同和点”，则点的坐标为________． ②若存在点与点为“同和点”，求的取值范围． 【答案】(1)①E ② (2)① ② 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，理解“同和点"的定义并运用是解题的关键； （1）由同和点的定义可求解；由同和点的定义可求解； （2）由同和点的定义，列出等式可求解；由同和点的定义，列出等式可得． 【详解】（1）①∵点的坐标为 ∴ ∵点，、 ∴ ∴点的“同和点”的是E ②点在轴上，且、两点为“同和点”， ∴ （2）∵直线与轴、轴分别交于点、， 当时，；当时， ∴ ∵点与点为“同和点”， 设 ∴ ∴ ∴点的坐标为 设 ∵点与点为“同和点”， ∴ ∴ ∵点为线段上一动点 ∴ ∴ 3．（23-24八年级下·北京房山·期中）在平面直角坐标系中，对于线段和点，给出如下定义：若在直线上存在点，使得四边形为平行四边形，则称点为线段的“友好平行点”．已知点，． (1)在点，，中，线段的“友好平行点”是 ． (2)若点的坐标为，则点的坐标为 （用含的代数式表示）； (3)若点在第四象限，且点是线段的“友好平行点”． ①求点横坐标的取值范围； ②请直接写出线段长度的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)①；② 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键． （1）设点，点，根据题意可得的中点即为的中点，由中点坐标公式可得、的关系式，即可求解； （2）由（1）知，点的坐标为，即可求解； （3）①根据题意可得且，即可求解；②由点、的坐标得：，得到，当时，，当时，，即可求解． 【详解】（1）解：设点，点， 四边形为平行四边形， 的中点即为的中点， 由中点坐标公式得：， 解得：， 则， 故点、符合上述条件， 点、是线段的“友好平行点”， 故答案为：、； （2）由（1）知，点的坐标为， 故答案为：； （3）①点在第四象限，且点是线段的“友好平行点”， 且， 解得：， 点横坐标的取值范围是：； ②由点、的坐标得：， 故， 当时，，当时，， ． 【经典例题九 一次函数应用之存在性问题】 【例9】（24-25九年级上·黑龙江绥化·开学考试）如图，已知点是正方形的一个顶点，E是的中点，点P是直线上一点． (1)求点E的坐标和直线的解析式； (2)若的面积为21，求此时P点坐标； (3)若点P是直线在第一象限的一个动点，连接，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P点坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点E的坐标为，直线的解析式为 (2)或 (3)或或 【分析】本题考查题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解一元一次方程、以及勾股定理，掌握待定系数法是解题的关键． （1）先根据正方形的性质求出点E和C的坐标，利用待定系数法求函数解析式即可； （2）设点P的坐标为，利用列方程解题； （3）设点P的坐标为，分为，和三种情况，利用勾股定理计算即可解题． 【详解】（1）解：∵点是正方形的一个顶点， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， （2）解：设点P的坐标为， ∴， 解得：， 当时，； 当时，； ∴点P的坐标为或； （3）解：设点P的坐标为， 当时，，解得：，， ∴点P的坐标为或（舍去）； 当时，，即，解得， ∴点P的坐标为； 当时，解得：（舍去）或， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 1．（23-24八年级下·四川广元·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，直线与分别交轴于点和点，点是直线与轴的交点． (1)求点B、C、D的坐标； (2)设是直线上一点，的面积为，请求出与的函数关系式；探究当点运动到什么位置时，的面积为10，并说明理由． (3)在线段上是否存在点，使为等腰三角形，如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，或，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点问题，一次函数与几何图形的综合应用： （1）分别令，求出一次函数与坐标轴的交点坐标即可； （2）根据的面积等于，列出函数关系式，令，求出的坐标即可； （3）设，两点间距离公式求出，分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，当时，， ∴， ∵，当时，，当时，， ∴． （2）∵是直线上一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，，当时，， ∴， 当或，，理由如下： 当时，， 解得：或， ∴或． （3）设， ∵， ∴， 当时，则：解得：或（舍去）， ∴； 当时：，解得：或，均不符合题意，舍去； 当时：，解得：， ∴； 综上：或． 2．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，直线经过，两点．    (1)若点C是线段上的一个动点，当的面积为2时，求点C的坐标； (2)在（1）的条件下，在y轴上求一点P使得是等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2)或或或． 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）设直线的解析式为，把，代入解方程组得到直线的解析式为，设，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （2）根据勾股定理得到，当时，是等腰三角形，当时，是等腰三角形，过作轴于，求得；根据勾股定理得到． 【详解】（1）设直线的解析式为， 直线经过，两点， ， 解得， 直线的解析式为， 点是线段上的一个动点， 设， 的面积为2， ， ， 点的坐标为； （2）点的坐标为； ， 当时，是等腰三角形， 或， 当时，是等腰三角形， 过作轴于，   ， ； 当时，是等腰三角形， 在中， ， ， ， ， 综上所述，或或或． 3．（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系中，将直线向下平移2个单位长度得到直线l，且直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点． (1)求直线l的解析式及点A，B的坐标． (2)M是x轴上的一个动点，要使以A，B，M为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，请求出符合条件的所有点M的坐标． 【答案】(1)，， (2)或或 【分析】（1）根据平移的规律得出直线l的解析式，由函数解析式令求A点坐标，求B点坐标； （2）分，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：将直线向下平移2个单位长度得到直线l， ∴直线l的解析式为， 当时，，解得， 当时，， ∴，； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 设， 当时，， 解得或， ∴M的坐标为或； 当时， ∵， ∴， ∴M的坐标为； 综上，M的坐标为或或． 【经典例题十 一次函数应用之动点问题】 【例10】（23-24八年级下·广东汕头·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且满足：．    (1)求的值； (2)为延长线上一动点，以为直角边作等腰直角，连接，求直线与轴交点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了非负数的性质，一次函数的几何应用： （1）利用非负数的性质可得，即可求解； （2）先证明，得出，，设，点的坐标为，可求出直线的函数表达式，即可． 【详解】（1）解：． 且， 解得：， 即点的坐标分别为， ∴， ； （2）解：如图所示，过点作轴于．   为等腰直角三角形， ，， ， ， 在中，， ， 在和中： ， ， ，， 设， ， ， 点的坐标为， 设直线的函数表达式为，由题意得： ， 解得：，， 直线的函数表达式为， 当时，， 与轴的交点坐标为， 即点． 1．（23-24八年级下·重庆巴南·期末）如图，在中，，现有一动点P从A点以每秒2个单位长度的速度出发向C点运动，到达C点后以每秒1个单位长度的速度向B点运动，当点P到达B点时停止运动，若，设动点P点的运动时间为x秒，的面积为y． (1)请直接写出y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)在直角坐标系中画出y与x的函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)如图直线l为函数的图象，结合函数图象，请直接写出满足的x的取值范围．（保留一位小数，误差在0.2以内） 【答案】(1)点P在线段上时，，自变量x的取值范围为；点P在线段上时，，自变量x的取值范围为； (2)见解析；见解析 (3) 【分析】本题是一次函数应用问题，考查了求一次函数解析式、画函数图象、函数性质等知识，注意数形结合； （1）分点P在线段上；点P在线段上两种情况计算即可； （2）描点画出图象，根据图象升降、对称性与坐标轴的交点等写出一条性质即可； （3）结合图象写出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：点P在线段上时，如图； 由于，即； 则， ，其中； 点P在线段上时，如图，， 此时； 则，， ，此时； 综上，点P在线段上时，，自变量x的取值范围为；点P在线段上时，，自变量x的取值范围为； （2）解：函数图象如下： 当时，函数值y随自变量的增大而增大； （3）解：当时，表明函数y的图象不会在的图象的下方，观察图象知，． 2．（23-24八年级下·重庆·期末）如图，在中，，，，点D是的中点，动点P以每秒1个单位长度的速度从点D出发沿折线方向运动，到达点B时停止运动，设点P的运动时间为x秒，的面积记为y．    (1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，若直线与该函数图象有且仅有两个交点，则b的取值范围是______． 【答案】(1) (2)见解析，时，y随x增大而增大 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，勾股定理： （1）先利用勾股定理求出，再分当点P在上运动时，当点P在上运动时，两种情况讨论求解即可； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，并写出对应的函数性质即可； （3）分别求出直线恰好经过时，当直线恰好经过时，b的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 当点P在上运动时，则， ∴； 当点P在上运动时，过点C作于E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；    综上所述，； （2）解：如图所示，函数图象即为所求； 由函数图象可知，时，y随x增大而增大；    （3）解：当直线恰好经过时，， 当直线恰好经过时，，解得， ∴由函数图象可知，当时， 直线与该函数图象有且仅有两个交点．    3．（23-24八年级下·四川眉山·期中）如图，在平面直角坐标系中，点P是直线上一动点，点A在y轴上，且点A坐标为，连结． (1)若恰好是以为底边的等腰三角形，求此时点P坐标； (2)动点P在直线运动过程中，是否存在最小值，若存在最小值，求的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)P（，） (2)存在，13 【分析】本题考查了一次函数点的坐标特征，等腰三角形的性质，线段最短问题，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键． （1）过点P作于B，由等腰三角形的性质可得，得出，再进行求解即可； （2）作点O关于直线的对称点，点P运动至三点共线时，最小，据此求解即可． 【详解】（1）当恰好是以为底边的等腰三角形时，如图，过点P作于B， 则有， ∵， ∴， 此时P的纵坐标为， ∴， ∴此时所求点P坐标为（，）． （2）动点P在直线运动过程中，存在最小值． 如图，作点O关于直线的对称点， 则有，     在中，令，得，令，得， 直线与x轴交点为，， 直线与x轴及y轴围成的三角形是等腰直角三角形， ∵点O关于直线的对称点， ， ∵，当点P运动至三点共线时取等号，   ∵，             ∴的最小值为13， 即的最小值为13． 【经典例题十一 一次函数应用之最值问题】 【例11】（23-24八年级上·贵州六盘水·期末）如图，已知A，B两点的坐标分别为，，动点P从原点O出发在x轴上运动． (1)P点运动到什么位置时离A点最近？写出P点的坐标． (2)P点运动到什么位置时，的值最小，最小值是多少？ (3)P点运动到什么位置时，的值最大，最大值是多少？ 【答案】(1)P点运动到时距离A点最近 (2)见解析， (3)见解析， 【分析】本题考查了垂线段的性质、坐标与图形—轴对称变换、勾股定理、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据垂线段的性质即可得出答案； （2）作B点关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，此时最小，则，过A作x轴的垂线，过作x轴的平行线，交点为点C，则，再由勾股定理计算即可得出答案； （3）连接并延长，交x轴于点，则当P在点位置时最大，待定系数法求出直线解析式，得出，最后再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由垂线段最短可得：P点运动到时距离A点最近； （2）解：作B点关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，此时最小， ， 过A作x轴的垂线，过作x轴的平行线，交点为点C ，， 最小值为， （3）解：连接并延长，交x轴于点， ， ∵三角形任意两之差小于第三边， ∴当P在点位置时最大， 设直线的函数关系式为：， ，， ， ， ， 当时，，解得， ， ， 最大值为． 1．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）A、B两个蔬菜基地要向C、D两城市运送蔬菜，已知基地有蔬菜200吨，基地有蔬菜300吨，城市需要蔬菜240吨，城市需要蔬菜260吨．从基地运往C、D两城市的费用分别为每吨20元和每吨25元，从基地运往C、D两城市的费用分别为每吨15元和每吨18元，设从基地运往城市的蔬菜为吨，A、B两个蔬菜基地的总运费为元． (1)求与之间的函数解析式，并写出的取值范围； (2)写出总运费最小时的运送方案，并求出此时的总运费； (3)如果从基地运往城市的费用每吨减少元且，其余线路的运费不变，请直接写出总运费最小时的运送方案． 【答案】(1)， (2)A往C运200吨，不往D运，B往C运40吨，往D运260吨，此时总运费最小为9280元 (3)当时，A往C运200吨，不往D运，B往C运40吨，往D运260吨，此时总运费最小；当时，A不往C运，往D运200吨，B往C运240吨，往D运60吨，此时总运费最小 【分析】此题考查一次函数的应用，解题关键在于根据题意列出w与x之间的函数关系式，并注意分类讨论思想的应用． （1）根据调运总费用等于四种调运单价乘以对应的吨数的积的和，得w与x的函数关系； （2）根据一次函数的性质解答即可； （3）由题意可得w与x的关系式，根据x的取值范围不同而有不同的解，分情况讨论：当时，当时，根据一次函数的性质即可解决． 【详解】（1）解：由题意可得， 化简可得，其中； （2）w随x增大而增大，故当时，总运费最小为9280元，此时A往C运200吨，不往D运，B往C运40吨，往D运260吨； （3）此时w与x之间的函数关系变为， 当时，w随x增大而增大，仍当时w最小，此时维持原调运方案不变； 当时，w随x增大而减小，当时w最小，此时应让A不往C运，往D运200吨，B往C运240吨，往D运60吨． 2．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于轴对称的，写出的坐标______； (2)计算：的面积是______； (3)若点为轴上一动点，使得的值最小，直接写出点的坐标______． 【答案】(1)图见解析， (2)6 (3) 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、轴对称—最短路线问题、求一次函数的解析式，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案； （2）利用割补法计算三角形面积即可； （3）连接交轴于点，连接，此时满足的值最小，利用待定系数法求出直线的解析式，令，则，由此即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标为， ， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解：连接交轴于点，连接，此时满足的值最小， 设直线的解析式为：， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为：， 令，则， 点的坐标为， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·广西崇左·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 与轴、轴分别交于、两点， 以 为边在第二象限内作正方形 ． (1)直接写出：点的坐标为 ，点的坐标为 ，点的坐标为 ，点 的坐标为 ； (2)能否在轴上找一点 ，使得 的长最小？若能，请求出 点的坐标；若不能，说明理由． 【答案】(1)，，， (2)能，点的坐标为 【分析】（1）令及可以求出，点的坐标，要求点，的坐标首先需要证，证出，即可求出的坐标，同理可以求出点的坐标； （2）先作出关于x轴的对称点，连接，与轴交点就是符合条件的点，求出的坐标，进而求出直线，再求出与轴交点即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴的坐标， 当时， ， ∴的坐标， 如图所示，过点作轴于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵轴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴D的坐标为， 同理可得C的坐标为； 故答案为：，，，． （2）点关于轴对称的点为 直线与轴的交点就是能使的长最小的点 设直线的函数解析式为 直线的函数解析式为 把代入得 点的坐标为 【点睛】本题主要查了一次函数综合题，全等三角形的性质及判定，坐标与图形，轴对称的性质求线段的最值问题，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【经典例题十二 一次函数应用之其他问题】 【例12】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）综合与实践 《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究： 【实验观察】 实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表： 供水时间x（小时） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（厘米） 6 18 30 42 54 【探索发现】 （1）①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x，纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点． ②观察上述各点的分布规律，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这个函数的类型最有可能是______；（填“一次函数”、“反比例函数”或“二次函数”）并根据你所选择的函数类型求出函数表达式（自变量取值范围不写） 【结论应用】 （2）应用上述发现的规律估算： ①供水时间达到11小时时，箭尺的读数为多少厘米？ ②如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为96厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）． 【答案】（1）①图见解析，②一次函数，；（2）①供水时间达到小时时，箭尺的读数为厘米，②当箭尺读数为厘米时是点钟． 【分析】本题考查了一次函数的应用，利用了待定系数法求解析式，利用函数值求自变量的值，掌握相关知识是解题的关键． （1）①在平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点即可； ②观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上，是一次函数，设这条直线所对应的函数表达式为，利用待定系数法即可求解； （2）①利用前面求得的函数表达式求出时，的值即可得出箭尺的读数； ②利用前面求得的函数表达式求出时，的值，由本次实验记录的开始时间是上午，即可求解． 【详解】解：（1）①根据题意，建立平面直角坐标系描点，如图， ②观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上，是一次函数， 设这条直线所对应的函数表达式为：，把点，代入得： ， 解得：， ∴一次函数表达式为：， 故答案为：一次函数，； （2）当时，， ∴供水时间达到小时时，箭尺的读数为厘米； 当时，则， 解得：， ∴供水时间为15小时， ∵本次实验记录的开始时间是上午8：00， ， ∴当箭尺读数为厘米时是点钟． 1．（24-25八年级上·山东青岛·期中）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现漏刻水位是时间的一次函数，通过观察，每2分钟记录一次箭尺读数，小磊记录实验数据得到下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 … 0 2 4 6 8 … 2 2.8 3.6 4.0 5.2 … (1)在小组探究中，小华采用不同的函数关系表达方式（表格、图象、关系式）验证，均发现小磊记录的上表h，t的数据中，有一对数据记录错误．请用学过的相关知识判断，第___________次数据是不准确的． (2)当记录时间为20分钟时，漏刻水位是多少？ (3)求与的函数关系式，并计算当水位为时，对应时间是多少？ 【答案】(1)（4） (2)当记录时间为20分钟时，漏刻水位是 (3)即当水位为时，对应时间是 【分析】本题考查一次函数的应用； （1）由表格中数据知，时间每增加2分钟，h增加，据此可知是错误的值； （2）由（1）知时间每增加2分钟，h增加，列式计算即可解答； （3）设水位与时间的一次函数关系式为，再用待定系数法求解析式，然后把代入解析式求解即可． 【详解】（1）解：由表格中数据知，时间每增加2分钟，h增加， 当时，对应 ∴第（4）次数据是不准确的； （2）解：由（1）知时间每增加2分钟，h增加， 当时，则， 即当记录时间为20分钟时，漏刻水位是； （3）解：设水位与时间的一次函数关系式为， 把，代入，得， 解得， ∴， 当时，， 解得． 即当水位为时，对应时间是． 2．（24-25八年级上·山西运城·期中）综合与实践 问题情境：在物理学中有很多公式可以直接或者间接看成一次函数，例如，在弹性限度内，弹簧的长度随着拉力的增大而不断地增加，当弹簧所受的外力过大时，会损坏它的弹性，使得弹簧被拉到最长且无法复原．某班在实践课上对“弹簧的长度与所受外力之间的关系”进行了探究．    方案设计：“智慧小组”在探究弹簧测力器的“弹簧的长度与所受外力之间的关系”时，多次改变砝码的质量x（单位：），测量得到弹簧的长度y（单位：），且通过实验记录得到的数据如表所示： 砝码的质量 0 50 100 150 200 250 300 400 500 弹簧的长度 2 3 4 5 6 7 如图，“智慧小组”根据实验数据，建立平面直角坐标系，并绘制了部分图象．    问题解决： (1)材料中的数据表格反映了两个变量之间的关系，其中自变量是________． (2)在弹性限度内，求弹簧的长度y与所挂砝码的质量x之间的关系式；当砝码的质量为时，求弹簧的长度． (3)在不损坏该弹簧的弹性限度的情况下，其所挂砝码的质量应不超过________． (4)根据表格数据，在平面直角坐标系中补全该函数的图象． 【答案】(1)砝码的质量 (2)，，， (3) (4)画图见解析 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，理解题意是关键． （1）根据函数的定义可得自变量为砝码的质量； （2）根据表格信息，图象信息，判断函数的类型，再利用待定系数法求解函数解析式即可，再计算当时的函数值即可； （3）根据表格信息可得：在不损坏该弹簧的弹性限度的情况下，其所挂砝码的质量应不超过． （4）根据表格信息，描点画图即可． 【详解】（1）解：材料中的数据表格反映了两个变量之间的关系，其中自变量是砝码的质量， （2）解：由题意可得：当时，设， ∴， 解得：， ∴函数关系式为：， 当时，设函数为， ∴， 解得：， ∴函数关系式为：， 当时， ； 当时，， ∴当砝码的质量为时，弹簧的长度为． （3）解：由表格信息可得：在不损坏该弹簧的弹性限度的情况下，其所挂砝码的质量应不超过． （4）解：画图如下：    3．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据大致如表所示： 流水时间 0 水面高度（观察值） 任务1： 分别计算表中每隔水面高度观察值的变化，你能得出什么结论． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度和流水时间满足一次函数关系． 任务2： 请根据表格中的数据求水面高度与流水时间的函数解析式； 【模型应用】 综合实践小组利用建立的模型，预测了后续的水面高度． 任务3： 当流水时间为时，求水面高度的值． 任务4：当甲容器中的水全部流入乙容器时，实验结束，求实验结束的时间． 【答案】任务1：每隔水面高度减小；任务2：；任务3：当流水时间为时，水面高度的值为；任务4：实验结束的时间是 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式． 任务1：观察表格可知，每隔水面高度减小； 任务2：用待定系数法可得； 任务3：在中，令得； 任务4：在中，令得． 【详解】解：任务1：观察表格可知，每隔水面高度减小； 任务2：设， 把，代入得： ，解得， ； 任务3：在中， 令得， 当流水时间为时，水面高度的值为； 任务4：在中， 令得， 解得， 实验结束的时间是． 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，李师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从B市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示． (1)剩余电量为，该电动车在高速公路上行驶了______； (2)求y与x之间的关系式； (3)李师傅从B市高速公路出口驶出时，该电动车的剩余电量为______． 【答案】(1)150 (2) (3)32 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意、求出函数关系式是解题的关键． （1）直接根据图象求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）先求得当时，求出y的值即可． 【详解】（1）解：由函数图象知，当时，， ∴剩余电量为，该电动车在高速公路上行驶了， 故答案为：150； （2）解：设y与x之间的关系式为， 把，代入，得， 解得， ∴ （3）解：当时，， ∴电动车的剩余电量为， 故答案为：32． 2．（24-25八年级上·上海·期中）已知正比例函数经过点，点在第四象限，过点作轴，垂足为点，点的横坐标为3，且的面积为3． (1)求正比例函数的解析式； (2)在轴上能否找到一点，使的面积为5．若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由 (3)在（2）的条件下，是否在正比例函数上存在一点，且在第四象限，使得若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2)存在，或 (3)存在，或 【分析】（1）首先确定点的坐标，然后代入正比例函数并求解，即可获得答案； （2）设，根据的面积为5，点的坐标为，可得，求解即可获得答案； （3）设，分点在上和点在的延长线上两种情况，分别求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵点的横坐标为3，且的面积为3， ∴， 解得， ∵点在第四象限， ∴点的坐标为， ∵正比例函数经过点， ∴， 解得， ∴正比例函数的解析式是； （2）存在，理由如下： 设， ∵的面积为5，点的坐标为， ∴， ∴或， ∴点坐标为或； （3）设，如图， ①点在上时， 当时，， 又∵, 若时，， ∴， 解得 ， ∴， ∴点的坐标为； 同理，当点时，也可求出点的坐标也为； ②点在的延长线上时， 当时，， 若时，， ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为； 当点时，， 若时，同理可得，点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、正比例函数和一次函数的图像和性质等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题 3．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）为了解某品牌汽车的耗油量，在高速公路上我们对这种汽车做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，如表所示： 汽车行驶时间t（小时） 0 1 2 3 … 油箱剩余油量Q（升） … (1)如表反映的两个变量中，自变量是______，自变量的函数是______； (2)根据表可知，该汽车每小时耗油______升，汽车行驶4小时的时候，油箱的剩余油量为______升； (3)根据上表的数据，写出Q与t的关系式（不用指出自变量的取值范围）：______； (4)若汽车油箱中剩余油量为，则汽车行驶了多少小时？ 【答案】(1)汽车行驶时间t，油箱剩余油量Q (2)6， (3) (4)小时 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据表格中的数据求出函数关系式， （1）根据函数的定义解答即可； （2）由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶1小时，油量减少，据此可得汽车行驶4小时时，该车油箱的剩余油量； （3）根据（2）中的信息，列出函数关系式即可． 【详解】（1）解：∵在这个变化过程中，油箱剩余油量随汽车行驶时间变化而变化， ∴汽车行驶时间是自变量，油箱剩余油量是因变量， 故答案为：汽车行驶时间t，油箱剩余油量Q． （2）解：由表格可知：（升），（升），（升）， ∴汽车每行驶1小时，耗油6升， ∴汽车行驶4小时时，耗油量为：（升）， ∴该汽车油箱的剩余油量为：（升）， 故答案为：6，． （3）解：由（2）得：， 故答案为：． （4）解：由题可得：， ∵ ∴当时，即， 解得：， ∴汽车油箱中剩余油量为时，汽车行驶了小时． 4．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点B的坐标为，点C的坐标为．点A在x轴的负半轴上，连接，三角形的面积为5． (1)求点A的坐标； (2)动点P从点C出发以每秒2个单位的速度沿x轴负半轴方向运动，设点P的运动时间为t，连接，三角形的面积为S，用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； (3)在（2）的条件下，t为何值时，把三角形的面积分成两部分？ 【答案】(1) (2) (3)1或1.5 【分析】本题考查一次函数的几何应用、坐标与图形、三角形的面积，数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． （1）设点A坐标为，利用坐标与图形性质求解即可； （2）分当点P在上运动时和当点P在射线上运动时两种情况，利用三角形的面积求解关系式即可； （3）分当点P在上运动时和当点P在线段上运动时，利用面积关系求解t值即可． 【详解】（1）解：设点A坐标为， 由题意可知：，，， ∴， 解得， ∵点A在x轴的负半轴上， ， 点A坐标为； （2）解：当点P在上运动时，即， 由题意可知，，， ∴， 当点P在射线上运动时，即， 由题意可知，，， ∴， 综上所述，． （3）解：当点P在上运动时， 由题意可知，，， 当时，即， 解得：， 当时，即， 解得：， ∵，， ∴当点P在上运动时，不满足把三角形的面积分成两部分， 综上所述，或． 5．（23-24八年级下·河南新乡·期中）我国传统的计重工具−−秤的应用，方便了人们的生活，如图1，可以用秤砣到秤细的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量、称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为x（斤），则y是x的一次函数，表中为若干次称重时所记录的一些数据． x（厘米） 1 2 3 4 5 6 y（斤） 2 (1)在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误，在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？请以坐标的方式表达出来． (2)当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x每增加1厘米时，秤杆所挂物重y的具体变化是______斤； (3)根据表格和图象的发现，通过计算回答下列问题． ①y与x的函数关系式； ②当秤钩所挂物重是斤时，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为多少厘米？ 【答案】(1)描点见解析， (2) (3)①；②10厘米 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用： （1）根据数据描点即可判断； （2）根据表中数据当时，，当时，，由此即可求解； （3）①设y与x的函数关系式为，根据表中数据有当时，，当时，，代入即可得到二元一次方程组，求解即可得到函数解析式； ②把代入函数解析式，求解x的值即可解答． 【详解】（1）解：把表中数据描点如下：   观察图象可知：由于y是x的一次函数，没有位于直线上， ∴，，即这组数据错误． （2）解：根据表中数据当时，，当时，，由此可得： 当x每增加1厘米时，秤杆所挂物重y增加了（斤）． 故答案为：； （3）解：①∵y是x的一次函数， ∴设y与x的函数关系式为， 根据表中数据有当时，，当时，， ∴， 解得， ∴y与x的函数关系式为． ②当时，， 解得． ∴秤钩所挂物重是斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为10厘米． 6．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，四边形中，，．动点P，Q分别以每秒1个单位长度的速度从D，C同时出发，点P沿方向运动，到达C点停止运动，点Q沿折线方向运动，到达A点停止运动，连接，设点P、点Q的运动时间为t秒，四边形的面积为y． (1)请直接写出y关于时间t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出四边形的面积小于11时t的范围． 【答案】(1) (2)见解析；当时，y随t的增大而减小 (3)或 【分析】此题考查了坐标与图形、求函数解析式、从函数图象获取信息是解题的关键． （1）根据动点P、Q运动的路线分段进行分析，写出解析式即可； （2）利用描点、连线画出二次函数的图象即可； （3）根据图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 当点Q在上时，连接， 由题意可得，， ∴ 即， 当点Q在上时，如图， 由题意可得，，， ∴ 即, 综上可知， （2）函数图象如图所示： 当时，y随t的增大而减小 （3）由图象可知，四边形的面积小于11时为或． 7．（2024八年级上·全国·专题练习）小李、小王分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加公益活动．如图，折线和线段分别表示小李、小王离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，解答下列问题： ①小王的骑车速度为 千米/小时； ②小王比小李晚出发 小时； ③小王出发后 小时追上小李； ④当小王到达乙地时，小李距乙地还有 千米； ⑤当小王与小李相距3千米时，时间x的值为 ． 【答案】①18；②0.5；③1；④4.5；⑤或或或 【分析】①根据函数图象中的数据先求出小王的骑车速度即可； ②利用小王的骑车速度求出点的坐标即可； ③求出小李小王骑车行驶的直线解析式，联立方程组求出交点坐标即可； ④根据当时，，求出小李距乙地的距离即可； ⑤分四种情况根据相距3千米时列方程即可求出的值即可． 本题考查了从函数图象获取信息，以及一次函数的应用，明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 【详解】解：①由图可得， 小王的骑车速度是：（千米小时）， ②点的横坐标为：， 点表示的实际意义是：小李行走了0.5小时后，小王才出发； 故答案为：18；0.5； ③设线段对应的函数表达式为， ，， ， 解得：， 线段对应的函数表达式为； 设所在直线的解析式为，将点，代入得： ， 解得， 所在直线的解析式为， 联立方程组得，解得， 小王出发后1小时追上小李． 故答案为：1． ④当时，， 此时小李距离乙地的距离为：（千米）， 当小王到达乙地时，小李距乙地还有4.5千米． 故答案为：4.5； ⑤当时，， 当时，解得， 当时，解得， 当小李骑行24千米时，，解得 综上分析，当小王与小李相距3千米时，时间的值为或． 故答案为：或． 8．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）某通讯公司就手机流量套餐推出三种方案，如下表： A方案 B方案 C方案 每月基本费用（元） 20 56 266 每月免费使用流量（兆） 1024 m 无限 超出后每兆收费（元） n n A，B，C三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系如图所示． (1)请直接写出m，n的值． (2)在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)在这三种方案中，当每月使用的流量在什么范围内，选择B方案最划算？ 【答案】(1)， (2) (3)当时，选择B方案最划算． 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）m的值可以从图象上直接读取，n的值可以根据方案A和方案B的费用差和流量差相除求得； （2）设函数表达式为，把，代入，再求解即可； （3）B方案超过兆后超出后每兆收费元，当时，设函数解析式为：，把代入可得： ，当时，可得，再解方程，结合图象可得答案． 【详解】（1）解：由图象可得：， ． （2）解：设函数表达式为， 把，代入，得 ， 解得， ∴y关于x的函数表达式． （3）解：∵B方案超过兆后超出后每兆收费元， ∴当时， 设函数解析式为：， 把代入可得：， 解得：， ∴， 当时， ∴， 解得：， ∴当时，选择B方案最划算． 9．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，在正方形中，，点为的中点，点为的三等分点（），将点沿的方向以每秒1个单位的速度运动，连接，，，记运动时间为，三角形的面积为．      (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图像，并写出该函数的一条性质：_______________________； (3)结合函数图像，直接写出当时的值：________．（结果保留一位小数） 【答案】(1) (2)图象见解析，函数的最大值为 (3)0.7或4.8 【分析】本题主要考查一次函数与几何综合，进行分类讨论求出一次函数解析式是解答本题的关键． （1）分点在和上两种情况讨论，在上时，根据求解即可；在上时，根据求解即可； （2）根据列表，描点、连线画出图象即可； （3）结合函数图象解答即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴ ∵为的中点， ∴ 又点为的三等分点（）， ∴ ①当点在上运动时，即，此时，， ∴ 即； ②当点在上运动时，即，如图， 此时，， ∴ ， 即： 综上， （2）解：①画的图象 列表： x 0 3 y 描点，连线，如下图： ②画的图象 列表： x 3 6 y 描点，连线，如上图： 性质：函数的最大值为， 故答案为：函数的最大值为 （3）解：由图象知，当时，的值约为0.7或4.8 故答案为：0.7或4.8 10．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知直线与坐标轴分别交于A，两点，与直线交于点． (1)若点在轴上，且，求点的坐标； (2)若点在直线上，点横坐标为，且，过点作直线平行于轴，该直线与直线交于点，且，求点的坐标． 【答案】(1)P的坐标为或 (2)点M的坐标为 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数与几何的综合等知识点，表示出点的坐标是解题的关键． （1）根据题意求得的长，从而求得，即可确定点P的坐标； （2）根据题意可得，进而得到可求得m的值，最后确定点M的坐标即可． 【详解】（1）解：∵直线与坐标轴跟别交于A，B两点， ∴当时，；当时，， ∴， ∴， ∵点P在y轴上，且， ∴， ∴P的坐标为或． （2）解：∵点M在直线上，点M横坐标为m，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点M的坐标为． 11．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）在一次函数的学习中，我们体会了函数关系式与函数图象的对应关系，经历了“画函数的图象一根据图象研究函数的性质一运用函数的性质解决问题”的学习过程. (1)请通过“列表-描点-连线”的过程画出的函数图象； ①下表是与的几组对应值：的值为____________； ②在平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (2)下列关于函数图象及性质描述正确的是__________； ①此函数图象关于轴对称； ②当时，函数有最小值为0. ③当时，随的增大而增大； (3)已知的图象与轴的交点为点，的图象上有一点，在轴上存在一点，使面积为6，直接写出点的坐标. 【答案】(1)①0；②画图象见解析 (2)①③ (3)或或或 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，画函数图象，一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积． （1）①把代入即可求得的值；②描点、连线即可； （2）根据图象判断即可； （3）根据函数解析式求得、的坐标，然后利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）①把代入得， ， 故答案为：； ②解：如图， （2）观察图象： ①此函数图象关于轴对称，正确； ②当时，函数有最小值为，故错误． ③当时，随的增大而增大；则，随的增大而增大，故正确； 故答案为：①③； （3）的图象上有一点， ， 或， 或， 的图象与轴的交点为点，在轴上存在一点，使面积为， ， 当时，， 此时或； 当时，， 此时或． 综上所述，或或或． 12．（2024·山西太原·模拟预测）请仔细阅读下面的科普材料，并完成相应的任务． 树的胸径与树高的关系 胸径和树高是树木重要的测量因子，也是反映森林生长状况的重要参数．由于测量树高比测量胸径更加费时、费力，且误差更大，因此实际测量时，多采用树高-胸径模型来估算树木的高度． 技术人员查阅相关资料，发现柳树在某段成长时期，其树高y（单位：m）可以看成胸径x（单位：）的一次函数．下表是他们在当地收集到的“一号”柳树树高与胸径的数据： 胸径 16 21 23 28 35 42 树高 7.2 8.4 9 10.7 11.2 11.7 根据表中的数据，他们在如图所示的平面直角坐标系中描出了坐标点，发现这六个点并不在一条直线上，继续查阅资料，找到如下解决办法： 设树高y与胸径x的函数关系式为，将表格中的数据按x的值从小到大排序后，均分为两组代入得到 第一组：； 第二组：； 分别将两组中的三个式子相加，得到方程组解得，从而得到“一号”柳树树高y与胸径x的一次函数模型为， 技术人员只要测量出“一号”柳树的胸径，就可以利用这个一次函数模型来估算“一号”柳树的高度．    任务： (1)以上材料中，主要运用的数学思想是___________（从下面的选项中选择两个即可）． A．模型思想    B．公理化思想    C．统计思想 (2)技术人员在当地收集到“二号”柳树的树高y与胸径x的数据如下： 胸径： 14 18 25 32 38 45 树高 4.5 5.8 7.55 9.3 10.75 12.3 ①请你参照材料中的方法，求“二号”柳树的树高y与胸径x的一次函数模型（函数表达式）． ②一段时间后技术人员测得“二号”柳树胸径为，查阅相关资料发现，此时对应树高超过才算生长良好，请你判断“二号”柳树生长是否良好． 【答案】(1)AC (2)①，②不良 【分析】本题考查一次函数的应用： （1）根据题意即可得出结论； （2）①根据材料中方法求出二号柳树的树高与胸径的一次函数模型即可；②把代入①中解析式求出与14比较即可． 【详解】（1）解：主要运用的数学思想是模型思想与统计思想， 故选：AC； （2）解：①设树高与胸径的函数关系式为，将表格中的数据按的值从小到大排序后，均分为两组代入得到： 第一组：，，； 第二组：，，． 分别将两组中的三个式子相加，得到方程组， 解得， “二号”柳树树高与胸径的一次函数模型为； ②当时，， “二号”柳树生长良好． 13．（24-25九年级上·河北石家庄·开学考试）表格中的两组对应值满足一次函数，现画出了它的图象为直线，如图，而某同学为观察，对图象的影响，将上面函数中的与交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线． 0 1 (1)求直线的解析式； (2)请在图上画出直线（不要求列表计算），并求直线被直线和轴所截线段的长； (3)设直线与直线，及轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出的值． 【答案】(1) (2)图见详解；直线被直线和轴所截线段的长为 (3)或7或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据题意写出直线的解析式，根据解析式画出图象即可；先求出直线与直线的交点坐标，再利用直线与y轴的交点坐标，根据勾股定理即可求出答案； （3）求得两直线与直线的交点横坐标，再分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：在直线：中， 当时，；当时，， ， 解得， 直线的解析式为； （2）由题意可知，直线的解析式为，如图， 设直线与直线交于点A，于y轴交于点B，过点A作轴于点C， 联立， 解得， 两直线的交点为， 直线与y轴的交点为， 在中，， 直线被直线和轴所截线段的长为； （3） 把代入得， 解得， 把代入得， 解得， 当第三个点在轴上时，，解得； 当第三个点在直线上时，，解得； 当第三个点在直线上时，，解得； 当直线与直线，及轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称时，a的值为或7或． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，两直线相交问题，待定系数法求一次函数解析式，分类讨论是解题的关键． 14．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图①，一次函数的图象分别交轴、轴于点A，B，正比例函数的图象与直线交于点． (1)求的值并直接写出正比例函数的解析式； (2)如图②，点在线段上，且与点O，C不重合，过点作轴于点，交线段于点，点的横坐标为4．若是直线上的一点，的面积为面积的3倍，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，待定系数法求正比例函数解析式，掌握一次函数的图象与性质，正比例函数的图象与性质，三角形面积的计算是解题的关键． （1）将代入求解即可得到的值，再将代入求出的值即可； （2）先求出点、的坐标，然后即可求出的长，再求出的面积，然后可以得出的面积，设，根据，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）将代入得：， 解得：， ， ， ， 正比例函数的解析式为； （2）点在线段上，点的横坐标为4， 在中，当时，， ， 轴于点，交线段于点， 点的横坐标与点的横坐标相同为4， 在中，当时，， ， ， ，， ， 的面积为面积的3倍， ， 轴于点，点的横坐标为4， ， 直线上的一点， 设， ，即， 解得：或， 点的坐标为或． 15．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，，已知． (1)如图，点C在第二象限，且，． ①如图（1），求点C的坐标； ②如图（2），的平分线交射线于点P，连接，求点P的坐标； (2)如图（3），点D，E分别在x轴，y轴上，若，点I是内角平分线的交点，分别交坐标轴于点F，G，直接写出的周长． 【答案】(1)①；② (2)4 【分析】（1）过点C作轴于点E，轴于点F，得出四边形是矩形，证明，可证四边形是正方形，得，根据得，可得点C的坐标；②②设交于点T，过点T作于点H，证明，得出，，求出，设，在中由勾股定理求得，故可得结论； （2）过点I作于点M，于点N，于点K，连接得，，证明，，同理可得，求出，在线段上截取，使得，证明，得，从而可得结论． 【详解】（1）解：如图，过点C作轴于点E，轴于点F， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴； ②如下图中，设交于点T，过点T作于点H， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得，， ∴， ∴直线的解析式为； 设直线的解析式为 把代入得，， ∴ ∴直线的解析式为 联立方程组得，， 解得，， ∴； （2）解：如下图中，过点I作于点M，于点N，于点K，连接 ∵I是的内心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 同理可证，， ∴， ∵I是的内心， ∴， ∴， ∴， 在线段上截取，使得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长 【点睛】本题主要考查坐标与图形，一次函数与几何综合，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及角平分线性质定理等知识，正确作出辅助构造全等三角形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$