精品解析：四川省蓬溪中学校2024-2025学年高三上学期第二次质量检测（11月）数学试题

蓬溪中学高2022级第五学期第二次质量检测 数 学 试 题 考试时间：120分钟 分值：150分 命题人：王飞 审题人：蒋德均 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 公比为的等比数列满足，，则（   ） A. B. 1 C. 3 D. 或3 3. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若已知函数，角为函数在点处的切线的倾斜角，则（    ） A. B. C. D. 5. 已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的图象与直线有三个交点，，，则（ ） A. 9 B. 13 C. 15 D. 17 7. 在我国，每年因酒后驾车引发的交通事故达数万起，酒后驾车已经成为交通事故的第一大“杀手”．《中华人民共和国道路交通安全法》中规定：酒后驾车是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于．某课题小组研究发现人体血液中的酒精含量（单位：）与饮酒后经过的时间（单位：）近似满足关系式其中为饮酒者的体重（单位：），为酒精摄入量（单位：）．根据上述关系式，已知某驾驶员体重，他快速饮用了含酒精的白酒，若要合法驾驶车辆，最少需在（ ）（取：） A. 12小时后 B. 24小时后 C. 26小时后 D. 28小时后 8. 已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 为调研加工零件效率，调研员通过试验获得加工零件个数与所用时间（单位：）的5组数据为：，根据以上数据可得经验回归方程为：，则下列选项正确的有（ ） A. B. 回归直线必过点 C. 加工6个零件的时间大约为 D. 若去掉，剩下4组数据的经验回归方程不会有变化 10. 已知函数的图象关于对称，下列结论中正确的是（ ） A. 是奇函数 B. C. 若在上单调递增，则 D. 的图象与直线有三个交点 11. 设都是定义在上的奇函数，且为单调函数，，若对任意有(为常数)，，则（ ） A. B. C. 为周期函数 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的值为______. 13. 已知函数是幂函数且图象与轴无交点，则的值为__． 14. 已知函数（且）在上是减函数，则实数a的取值范围是___________________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断并用定义法证明在上的单调性； （3）解关于x的不等式． 16. 设是等差数列，是各项都为正数的等比数列．且，，，． （1）求，的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 17. 已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若． （1）证明：； （2）若，求的取值范围． 18. “南澳牡蛎”是我国地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉.2024年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x（人）与年收益增量y（万元）的数据如下： 人工投入增量x（人） 2 3 4 6 8 10 13 年收益增量y（万元） 13 22 31 42 50 56 58 该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了y与x的两个回归模型： 模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：； 模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对人工投入增量x做变换，令，则，且有，，，. （1）（i）根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程（精确到0.1）； （ii）根据下列表格中的数据，比较两种模型的决定系数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量. 回归模型 模型① 模型② 回归方程 182.4 79.2 （2）根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从正态分布.购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20g的牡蛎的可能性有多大? 附：若随机变量，则，； 样本的最小二乘估计公式为：，，. 19. 已知函数，函数与的图象关于对称， （1）求的解析式； （2）在定义域内恒成立，求的值； （3）求证：，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蓬溪中学高2022级第五学期第二次质量检测 数 学 试 题 考试时间：120分钟 分值：150分 命题人：王飞 审题人：蒋德均 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得集合,再根据交集定义求解． 【详解】，又， 所以， 故选：B． 2. 公比为的等比数列满足，，则（   ） A. B. 1 C. 3 D. 或3 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的通项公式：，代入解关于的方程，即可得的值． 【详解】由，知，，又， 则，所以， 解得（舍，或． 故选：C． 3. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义直接判断即可. 【详解】当时，；而当时，或， 所以“”是“”成立的充分不必要条件. 故选：A 4. 若已知函数，角为函数在点处的切线的倾斜角，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数几何意义，求出的值，再根据同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】因为，所以， 故函数在点处切线的斜率为，即. 故. 故选：C. 5. 已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案. 【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、，即A、C中上函数值为正，排除； 故选：D 6. 已知函数的图象与直线有三个交点，，，则（ ） A. 9 B. 13 C. 15 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的对称性，即可求解． 【详解】因为， 所以函数关于对称. 又因为直线过点， 所以当函数的图象与直线有三个交点时， 根据函数图象的对称性可知，这三个交点中必有一个点的坐标为，另外两个点关于对称， 不妨设，，则必有，， 所以． 故选：C． 7. 在我国，每年因酒后驾车引发的交通事故达数万起，酒后驾车已经成为交通事故的第一大“杀手”．《中华人民共和国道路交通安全法》中规定：酒后驾车是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于．某课题小组研究发现人体血液中的酒精含量（单位：）与饮酒后经过的时间（单位：）近似满足关系式其中为饮酒者的体重（单位：），为酒精摄入量（单位：）．根据上述关系式，已知某驾驶员体重，他快速饮用了含酒精的白酒，若要合法驾驶车辆，最少需在（ ）（取：） A. 12小时后 B. 24小时后 C. 26小时后 D. 28小时后 【答案】B 【解析】 【分析】分段研究函数，当时，，当时，令，解不等式即可. 【详解】当时，， 所以， 当时，令， 即，所以， 所以. 故选：B 8. 已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】不等式可化为，利用导数分析函数的单调性，作函数，的图象，由条件结合图象列不等式求的取值范围. 【详解】函数的定义域为， 不等式化为：． 令，，， 故函数在上单调递增，在上单调递减． 当时，，当时，， 当时，， 当时，，当，且时，， 画出及的大致图象如下， 因为不等式的解集中恰有两个不同的正整数解， 且在的切线方程为，恰好过,故正整数解为． 故， 即． 故. 故选：C. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 为调研加工零件效率，调研员通过试验获得加工零件个数与所用时间（单位：）的5组数据为：，根据以上数据可得经验回归方程为：，则下列选项正确的有（ ） A. B. 回归直线必过点 C. 加工6个零件的时间大约为 D. 若去掉，剩下4组数据的经验回归方程不会有变化 【答案】ACD 【解析】 【分析】求得数据的样本中心点可求出可判断A；令代入回归直线方程可判断B；将代入回归方程求得预测值可判断C；根据恒过，可判断D. 【详解】，， 所以恒过，所以， 解得：，故A正确； 当时，，故B错误； 由，令，则， 故加工6个零件的时间大约为，故C正确； 因为恒过，所以剩下4组数据的经验回归方程不会有变化，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数的图象关于对称，下列结论中正确的是（ ） A. 是奇函数 B. C. 若在上单调递增，则 D. 的图象与直线有三个交点 【答案】AC 【解析】 【分析】先函数对称性求解，得到的解析式.A项，化简可知为奇函数；B项，代入解析式求值即可；C项，利用整体角求的单调递增区间，由可得范围；D项，利用导数可知直线恰为曲线在处的切线，进而可得公共点个数. 【详解】因为的图象关于直线对称， 所以，即，解得， 所以， 验证：当时，，取最大值， 故的图象关于直线对称，满足题意； A项，，，由， 则是奇函数，故A正确； B项，由，故B错误； C项，， 由，解得， 当时，， 由在上单调递增，则， 解得，故C正确； D项，的图象与直线均过点， 由，则， 故直线即与曲线相切， 如图可知的图象与直线有且仅有一个公共点，故D错误. 故选：AC. 11. 设都是定义在上的奇函数，且为单调函数，，若对任意有(为常数)，，则（ ） A. B. C. 为周期函数 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】运用奇函数的性质，结合赋值法得到，判断A； 运用赋值，结合，得到判断B； 设，由已知推得即为周期函数，判断C；根据题意推得 为等差数列，再根据等差数列性质求和即可判断D. 【详解】对于A，在中，且，都是定义在上的奇函数， 令得，则，又为单调函数，则有， 即，所以，所以，所以A错误； 对于B，由，且得，所以B正确； 对于C，设，则由， 可得，所以，所以， 即为周期函数，所以C正确； 对于D，由，得， 即，所以为等差数列，且，即， 故，从而 . 所以D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：求解的关键是由得，进而得到是首项和公差均为4的等差数列从而再利用等差数列的前n项和公式即可计算得解. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式把式子化为，在利用二倍角公式化为，运算可得结果. 【详解】解：由，可得 故答案为：. 【点睛】本题主要考查二倍角公式、诱导公式的应用，属于基础题型，注意运算准确. 13. 已知函数是幂函数且图象与轴无交点，则的值为__． 【答案】2 【解析】 【分析】根据幂函数的定义得到或，再判断与轴是否有交点即可. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得或. 当时，，因为，所以与轴无交点. 当时，，过，与轴有交点，舍去. 综上：. 故答案为：2 14. 已知函数（且）在上是减函数，则实数a的取值范围是___________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数复合函数的单调性即可求解. 【详解】为开口向上，且对称轴为的二次函数，要使（且）在上是减函数，则需满足： 或，解得， 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断并用定义法证明在上的单调性； （3）解关于x的不等式． 【答案】（1） （2）在上单调递增， 证明：在上单调递增，证明如下： 设， 则 ， 由，则，，， 故， 故在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）借助奇函数的性质计算可得、，借助可得，即可得解； （2）借助单调性的定义，令后计算的正负即可得； （3）结合函数定义域，奇函数的性质与函数的单调性计算即可得. 【小问1详解】 由题意可得， 即，即，故，， 又，故，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由函数为奇函数，故， 又函数在上单调递增，故有， 解得. 所以不等式的解集为. 16. 设是等差数列，是各项都为正数的等比数列．且，，，． （1）求，的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）， ，，； （2） 【解析】 【分析】（1）先设等差数列的公差为，等比数列的公比为，再根据题干已知条件列出关于公差与公比的方程组，解出与的值，即可计算出等差数列与等比数列的通项公式； （2）表示出数列的通项，然后利用错位相减法求该数列的前项和． 【小问1详解】 由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则， 化简，得， 整理，得， 解得（舍去），或， 则， 故， ，，； 【小问2详解】 因为，则根据错位相减法得 ， ① ， ② 由①②得， 故. 17. 已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若． （1）证明：； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） 因为，由正弦定理得， 所以， 所以， 而，则或， 即或（舍去），故． （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理、两角和差的正弦公式化简得，进一步即可证明； （2）由题意首先求得的取值范围，进一步将目标式子转换为只含有的式子即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以的取值范围是， 由正弦定理可得：，则， 所以，所以， 因为， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 所以的取值范围是． 18. “南澳牡蛎”是我国地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉.2024年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x（人）与年收益增量y（万元）的数据如下： 人工投入增量x（人） 2 3 4 6 8 10 13 年收益增量y（万元） 13 22 31 42 50 56 58 该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了y与x的两个回归模型： 模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：； 模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对人工投入增量x做变换，令，则，且有，，，. （1）（i）根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程（精确到0.1）； （ii）根据下列表格中的数据，比较两种模型的决定系数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量. 回归模型 模型① 模型② 回归方程 182.4 79.2 （2）根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从正态分布.购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20g的牡蛎的可能性有多大? 附：若随机变量，则，； 样本的最小二乘估计公式为：，，. 【答案】（1）（i）；（ii）模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好． 当时，模型②的收益增量的预测值为 （万元）， （2） 【解析】 【分析】（1）（i）根据公式计算得到回归直线方程；（ii）通过比较的大小可得到拟合效果的差异，将代入回归方程可得到预测值. （2）根据正态分布的对称性得到，购买10只该基地的“南澳牡蛎”，其中质量小于20g的牡蛎为只，故，由间接法列式得到结果即可； 【小问1详解】 （i）由， 有， 且， 所以模型②中关于的回归方程为. （ii）由表格中的数据，有，即， 模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好． 当时，模型②的收益增量的预测值为 （万元）， 这个结果比模型①的预测精度更高、更可靠． 【小问2详解】 由已知单个“南澳牡蛎”质量，则， 由正态分布的对称性可知， ， 设购买10只该基地的“南澳牡蛎”，其中质量小于的牡蛎为只， 故， 所以， 所以这10只“南澳牡蛎”中，会买到质量小于的牡蛎的可能性仅为． 19. 已知函数，函数与的图象关于对称， （1）求的解析式； （2）在定义域内恒成立，求的值； （3）求证：，. 【答案】（1），. （2） （3）证明：由（2）可知：，则，即， 则. 又由（2）可知：在上恒成立， 则在上恒成立且当且仅当时取等， 令，，则， 即， 则 ， 综上，，得证. 【解析】 【分析】（1）设图象上任意一点坐标为，利用其对称点在的图象上可得函数的解析式； （2）令，可得为的一个极大值点，求得，再证明当时，在恒成立即可； （3）由（2）可知：，可得，进而可得，利用在上恒成立，令利用可得答案. 【小问1详解】 依题意，设图象上任意一点坐标为， 则其关于对称的点在图象上， 则， 则， 故； 【小问2详解】 令，， 则在恒成立，又， 且在上是连续函数，则为的一个极大值点， ，， 下证当时，在恒成立， 令，， 当，，在上单调递增， 当，，在上单调递减， 故，在上恒成立，又， 则时，恒成立， 综上，； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略：形如的恒成立的求解策略：1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可；2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可；3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $