精品解析：河南省郑州市郑州中学2025届高三上学期11月期中考试数学试题

2024-2025学年上学期高三年级期中考试 数学试卷 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数定义域和单调性解不等式，得到，解一元二次不等式得到，由交集概念求出答案. 【详解】集合，， 则. 故选：D. 2. 若复数满足，则（ ） A. 1 B. -1 C. D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算法则即可得出. 【详解】解法一：设，则， 解得，所以，所以， 解法二：因为，所以， 解法三：方程两边同时平方，有，所以， 故选:A. 3. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 4. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与、的大小关系，由此可得出、、三个数的大小关系. 【详解】，，，又，即. 因此，. 故选：B. 【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性比较指数式和对数式的大小关系，一般利用中间值法来比较，属于基础题. 5. 已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】由函数奇偶性，确定为周期函数，再结合，求得，即可求解. 【详解】因为为奇函数，所以关于点中心对称， 又为偶函数，所以关于直线对称， 所以为周期函数且周期， ∴，∵，∴，∴. 故选:C． 6. 若函数，在上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数性质判断上的单调性和值域，结合其区间单调性及分式型函数的性质，讨论参数确定参数范围. 【详解】当时，单调递增且值域为，而在上单调递增， 则在上单调递增，且， 当时，在上单调递增，满足题设； 当时，在上单调递增，此时只需，即； 综上，. 故选：A 7. 已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则函数在内的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义求出，再利用导数求出单调递减区间. 【详解】函数，求导得，则， 由曲线在点处的切线方程为，得，解得， 于是，由，得，而，解得， 所以函数在内的单调递减区间是. 故选：A 8. 已知函数，若方程在上有且只有四个实数根，则实数的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将化简为，根据方程可知或，根据整体的范围可知需满足，解不等式得到的取值范围. 【详解】， 令，则，， 或， ，， 在上有且只有四个实数根，， 解得：. 故选：B. 二、多选题 9. 定义在R上的偶函数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用特殊值及偶函数性质判断A；根据已知条件得、判断B、C；根据函数的性质，举反例判断D. 【详解】由，令，则， 又为偶函数，则，A对； 由上，得①， 在①式，将代换，得②，B错； 在②式，将代换，得，C对； 由且，即周期为2且关于对称， 显然是满足题设的一个函数，此时，D错. 故选：AC 10. 函数（）的图象的一个对称中心为 ，则下列说法正确的是（ ） A. 直线是函数的图象的一条对称轴 B. 函数在上单调递减 C. 函数的图象向右平移个单位可得到的图象 D. 函数在上的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据两角和的余弦公式化简函数解析式，再根据对称中心可得，再根据三角函数性质分别判断各选项. 【详解】由， 由是函数图象的一个对称中心， 即，， 解得，， 又，所以， 所以， 对于A选项：令，，解得，，当时，，即直线是函数的一条对称轴，故A选项正确； 对于B选项：令，，解得，， 即函数的单调递减区间为，，当时，函数在单调递减，所以函数在上单调递增，B选项错误； 对于C选项：函数的图象向右平移个单位可得，C选项正确； 对于D选项：当时，，所以函数，即最大值为，D选项错误； 故选：AC. 11. 下列结论正确的是（ ） A. 若是奇函数，则必有且 B. 函数的单调递减区间是 C. 是定义在上的偶函数，当时，，则当时， D. 若在上是增函数，且，，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据奇函数的性质判断A，分离常数后结合反比例函数的单调性判断B，根据奇函数性质求解析式判断C，根据单调性比较大小即可判断D. 【详解】对于A，因为的定义域为R，由奇函数性质知， 事实上当时，，即是奇函数也是偶函数，故A错误. 对于B，因为，所以函数的单调递减区间是，，故B错误. 对于C，当时，，则，即，故C正确. 对于D，因为，所以. 又因为在上增函数，所以，，所以， 所以，故D正确 故选：CD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题 12. ______ 【答案】 【解析】 【分析】利用，两角和的正切公式，进行变形，化为所求式子的值． 【详解】因为 所以， 所以 故答案为：. 13. 已知，为正实数，且满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】构造代数式，利用基本不等式即可得到最小值. 【详解】， ∵，且，为正实数， ∴， 当且仅当时，即时，取“=”， ∴，则 故答案为： 14. 已知函数，若存在两条不同的直线与曲线和均相切，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出两曲线的切线方程，进而，利用方程根的个数与函数图象交点的个数之间的转化，结合导数讨论函数的单调性和数形结合的思想即可求解. 【详解】设曲线上的切点坐标为，又， 则公切线的方程为，即． 设曲线上的切点坐标为，又， 则公切线的方程为，即， 所以，消去，得． 若存在两条不同的直线与曲线均相切， 则关于的方程有两个不同的实数根． 设，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，由可得， 当且时，，当时，且， 则的大致图象如图所示， 由图可知，，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键点是两曲线的切线方程相等，消去得，利用数形结合的思想将方程的根个数转化为函数图象的交点个数. 四、解答题 15. 已知不等式解集为，不等式的解集为. （1）求. （2）若不等式的解集为，求，的值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）分别解不等式得集合A，B，后可求交集； （2）由（1）可得的根，后由韦达定理可得答案. 【小问1详解】 解得，即， 解得，即 【小问2详解】 由的解集为， ，3是方程的两个根， ，，， 此时满足题意. 故，. 16. 如图，已知在中，内角所对的边分别为，且． （1）求的值； （2）若为边上一点，且，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得，从而可得，即，即可求解； （2）利用余弦定理及向量的数量积求出，利用平面向量基本定理表示出，再平方求解． 【小问1详解】 由题意知，，． 又，故，而，则． 【小问2详解】 在中，， 故． 又，所以，， 所以， 故 故． 17. 已知向量． （1）当时，求的值； （2）设函数，且，求的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行列出等式，计算的值，二倍角公式即可计算； （2）计算，并用辅助角公式化简，根据角的范围可求出值域. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以，所以． 【小问2详解】 ， 因为，所以，所以， 所以的值域为． 18. 已知函数，. （1）当时，求的严格增区间； （2）若恒成立，求a的值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）把代入，利用导数求出严格增区间. （2）利用导数求出函数的最小值，建立不等关系，构造函数求出最值即可. 【小问1详解】 当时，函数的定义域为， 求导得，由，得， 所以的严格增区间为. 【小问2详解】 函数的定义域为，， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，，不符合题意； 当时，由，得，，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 由恒成立，得恒成立，令， 求导得，当时，，当时，， 于是函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 因此，所以. 19. 对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点. （1）求二次函数的不动点； （2）若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值. 【答案】（1）不动点为和； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，解该一元二次方程即可得解； （2）根据题意，转化为有两个不相等的正实数根，结合根与系数的关系，得到，且，化简，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 令，可得， 可得，解得， 所以二次函数的不动点为和. 【小问2详解】 二次函数有两个不相等的不动点，且， 则方程有两个不相等的正实数根， 即方程有两个不相等的正实数根， 所以，且， 因为，即，解得，可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年上学期高三年级期中考试 数学试卷 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. 1 B. -1 C. D. 16 3. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 4. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2025 6. 若函数，在上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则函数在内的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若方程在上有且只有四个实数根，则实数的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 二、多选题 9. 定义在R上的偶函数，满足，则（ ） A B. C. D. 10. 函数（）的图象的一个对称中心为 ，则下列说法正确的是（ ） A. 直线是函数图象的一条对称轴 B. 函数上单调递减 C. 函数的图象向右平移个单位可得到的图象 D. 函数在上的最大值为 11. 下列结论正确的是（ ） A. 若是奇函数，则必有且 B. 函数的单调递减区间是 C. 是定义在上的偶函数，当时，，则当时， D. 若在上增函数，且，，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题 12. ______ 13. 已知，为正实数，且满足，则的最小值为__________． 14. 已知函数，若存在两条不同的直线与曲线和均相切，则实数的取值范围为______. 四、解答题 15. 已知不等式的解集为，不等式的解集为. （1）求. （2）若不等式的解集为，求，的值. 16. 如图，已知在中，内角所对的边分别为，且． （1）求的值； （2）若为边上一点，且，求的长． 17. 已知向量． （1）当时，求值； （2）设函数，且，求的值域． 18. 已知函数，. （1）当时，求的严格增区间； （2）若恒成立，求a的值. 19. 对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点. （1）求二次函数的不动点； （2）若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$